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INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS 
SUPERIORES DE MONTERREY 
 
CAMPUS MONTERREY 
 
 
PROGRAMA DE GRADUADOS EN TECNOLOGÍAS DE 
INFORMACIÓN Y ELECTRÓNICA 
 
 
 
Análisis de pérdidas conductivas en guías de ondas triangulares 
 
 
TESIS 
 
PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO 
ACADEMICO DE: 
 
MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA CON ESPECIALIDAD 
EN SISTEMAS ELECTRÓNICOS 
 
 
POR: 
 
Jesús Rodrigo Mendoza Pérez 
 
 
 
MONTERREY , N.L. DICIEMBRE 2006 
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY 
 
DIVISIÓN DE TECNOLOGÍAS DE INFORMACIÓN Y ELECTRÓNICA 
 
PROGRAMA DE GRA DUADOS EN TECNOLOGÍAS DE INFORMACIÓN Y 
ELECTRÓNICA 
 
 
Los miembros del comité de tesis recomendamos que la presente tesis del Ing. Jesús 
Rodrigo Mendoza Pérez sea aceptada como requisito parcial para obtener el grado 
académico de Maestro en Ingeniería Electrónica con especialidad en Sistemas Electrónicos. 
 
Comité de tesis: 
 
 
______________________________ 
Dr. Julio César Gutiérrez Vega 
Asesor 
 
 
 
______________________________ 
Dr. Rodolfo Rodríguez y Masegosa 
Sinodal 
 
 
 
______________________________ 
Dr. Carlos Manuel Hinojosa Espinosa 
Sinodal 
 
 
 
_________________________________________ 
Dr. Graciano Dieck Assad 
Director del Programa de Graduados en Tecnologías de Información y Electrónica 
Diciembre 2006 
Análisis de pérdidas conductivas en guías de onda triangulares 
 
 
 
 
 
 
POR: 
 
Jesús Rodrigo Mendoza Pérez 
 
 
 
 
TESIS 
 
 
 
Presentada al Programa de Graduados en Tecnologías de Información y 
Electrónica 
 
Este trabajo es requisito parcial para obtener el grado de Maestro 
en Ciencias en Ingeniería Electrónica con especialidad en Sistemas 
Electrónicos 
 
 
 
 
INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS 
SUPERIORES DE MONTERREY 
 
 
 
 
 
 
Diciembre 2006 
 
 i 
Resumen 
 
 
Se presenta el análisis de estructuras de guía de onda triangulares. Se abordan dos 
geometrías, es decir, dos sistemas con diferentes secciones transversales. En primera 
instancia el caso más sencillo, un triángulo equilátero y como segundo caso, un triángulo 
isósceles. Para ambos casos, se lleva a cabo la definición modal, es decir, el análisis del 
campo TM y del TE. De igual modo, se desarrolla el análisis de pérdidas por paredes 
conductivas en los sistemas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ii 
Índice de Contenido 
 
 
Resumen i 
Índice de Contenido ii 
Índice de Figuras iv 
Capítulo 1 
1. Introducción 1 
1.1 Antecedentes 1 
1.2 Justificación 1 
1.3 Objetivos 1 
1.4 Metodología 1 
 
Capítulo 2 
2. Campos electromagnéticos en una guía de onda con sección transversal 3 
triangular equilátera 
2.1 Introducción 3 
2.2 Las ecuaciones de onda y las ecuaciones componentes de campo para 3 
propagación en dirección z. 
2.3 Definición modal 5 
2.3.1 Análisis del campo TM 6 
2.3.2 Análisis del campo TE 9 
2.4 Distribuciones modales 12 
 
Capítulo 3 
3. Análisis de pérdidas en la guía de onda 20 
3.1 Atenuación en guías de onda 20 
3.1.1 Atenuación del dieléctrico 21 
3.1.2 Pérdidas en las paredes de la guía de onda 24 
3.2 Análisis de pérdidas. 29 
3.2.1 Cálculo de pérdidas para los modos TM. 29 
3.2.2 Cálculo de pérdidas para los modos TE. 33 
3.3 Gráficas de atenuación. 36 
 
Capítulo 4 
4. Campos electromagnéticos en una guía de onda con sección transversal 42 
triangular isósceles 
4.1 Introducción 42 
4.2 Definición modal 42 
4.2.1 Análisis del campo TM 42 
4.2.2 Análisis del campo TE 45 
4.3 Distribuciones modales 47 
 
Capítulo 5 
5. Análisis de pérdidas en la guía de onda 55 
 iii 
5.1 Análisis de pérdidas. 55 
5.1.1 Cálculo de pérdidas para los modos TM. 55 
5.1.2 Cálculo de pérdidas para los modos TE. 59 
5.2 Gráficas de atenuación. 62 
 
Capítulo 6 
6. Conclusiones y trabajo futuro 68 
6.1 Conclusiones 68 
6.2 Trabajo futuro 68 
 
Apéndice 69 
 
Referencias bibliográficas 74 
Vita 75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 iv 
Índice de Figuras 
 
 
Figura 2.1 Sección transversal de la guía de onda a analizar 3 
Figura 2.2 Definición de β 7 
Figura 2.3 Componentes del campo TM para el modo 1 12 
Figura 2.4 Campos transversal eléctrico y magnético para el modo TM con m=1 13 
Figura 2.5 Componentes del campo TM para el modo 2 13 
Figura 2.6 Campos transversal eléctrico y magnético para el modo TM con m=2 14 
Figura 2.7 Componentes del campo TM para el modo 3 14 
Figura 2.8 Componentes del campo TM para el modo 4 15 
Figura 2.9 Componentes del campo TM para el modo 5 15 
Figura 2.10 Componentes del campo TE para el modo 1 16 
Figura 2.11 Campos transversal eléctrico y magnético para el modo TE con m=1 16 
Figura 2.12 Componentes del campo TE para el modo 2 17 
Figura 2.13 Campos transversal eléctrico y magnético para el modo TE con m=2 17 
Figura 2.14 Componentes del campo TE para el modo 3 18 
Figura 2.15 Componentes del campo TE para el modo 4 18 
Figura 2.16 Componentes del campo TE para el modo 5 19 
Figura 3.1 Cantidades de campo en las paredes de una guía de onda con paredes 
conductoras no ideales. 
26 
Figura 3.2 Diferenciales de línea para la integración. 31 
Figura 3.3 Trayectoria de integración. 31 
Figura 3.4 Gráfica de atenuación para el modo TM con m = 1 37 
Figura 3.5 Gráfica de atenuación para el modo TM con m = 2 37 
Figura 3.6 Gráfica de atenuación para el modo TM con m = 3 38 
Figura 3.7 Gráfica de atenuación para el modo TM con m = 4 38 
Figura 3.8 Gráfica de atenuación para el modo TM con m = 5 39 
Figura 3.9 Gráfica de atenuación para el modo TE con m = 1 39 
Figura 3.10 Gráfica de atenuación para el modo TE con m = 2 40 
Figura 3.11 Gráfica de atenuación para el modo TE con m = 3 40 
Figura 3.12 Gráfica de atenuación para el modo TE con m = 4 41 
Figura 3.13 Gráfica de atenuación para el modo TE con m = 5 41 
Figura 4.1 Sección transversal de la guía de onda a analizar 42 
Figura 4.2 Definición de β 43 
Figura 4.3 Componentes del campo TM para el modo p=3, q= 1 48 
Figura 4.4 Campos transversal eléctrico y magnético para el modo TM con p=3, q=1 48 
Figura 4.5 Componentes del campo TM para el modo p=4, q= 2 49 
Figura 4.6 Campos transversal eléctrico y magnético para el modo TM con p=4, q=2 49 
Figura 4.7 Componentes del campo TM para el modo p=5, q= 1 50 
Figura 4.8 Componentes del campo TM para el modo p=5, q= 3 50 
Figura 4.9 Componentes del campo TM para el modo p=6, q= 2 51 
Figura 4.10 Componentes del campo TE para el modo p=3, q= 1 51 
Figura 4.11 Campos transversal eléctrico y magnético para el modo TE con p=3, q=1 52 
Figura 4.12 Componentes del campo TE para el modo p=4, q= 2 52 
 v 
Figura 4.13 Campos transversal eléctrico y magnético para el modo TE con p=4, q=2 53 
Figura 4.14 Componentes del campo TE para el modo p=5, q= 1 53 
Figura 4.15 Componentes del campo TE para el modo p=5, q= 3 54 
Figura 4.16 Componentes del campo TE para el modo p=6, q= 2 54 
Figura 5.1 Diferenciales de línea para la integración 57 
Figura 5.2 Trayectoria de integración 58 
Figura 5.3 Gráfica de atenuación para el modo TM con p = 3, q=1 63 
Figura 5.4 Gráfica de atenuación para el modo TM con p = 4, q=2 63 
Figura 5.5 Gráfica de atenuación para el modo TM con p = 5, q=1 64 
Figura 5.6 Gráfica de atenuación para el modo TM con p = 5, q=3 64 
Figura 5.7 Gráfica de atenuación para el modo TM con p = 6, q=2 65 
Figura 5.8 Gráfica de atenuación para el modo TE con p = 3, q=1 65 
Figura 5.9 Gráfica de atenuación para el modo TE con p = 4, q=2 66 
Figura 5.10 Gráfica de atenuación para el modo TE con p = 5, q=1 66 
Figura 5.11 Gráfica de atenuación para el modo TE con p = 5, q=3 67 
Figura 5.12 Gráfica de atenuación para el modo TE con p = 6, q=2 67 
 
 
 1 
Capítulo 1 
 
1. Introducción 
 
1.1 Antecedentes 
 
Las guías de onda son estructuras que, como su nombre lo indica, están diseñadas para 
guiar la propagación de ondas electromagnéticas. Su función consiste en encauzar las 
ondas, es decir, restringen la propagacióna una sola dirección posible, básicamente 
satisfacen los criterios de las líneas de transmisión [1], [2]. Dependiendo de la aplicación, 
pueden ser construidas con materiales conductores o dieléctricos. La característica principal 
de un sistema de este tipo, además del material que lo conforma (metales de alta 
conductividad tales como plata, cobre, aluminio, bronce o dieléctricos) [1], es la geometría 
de su sección transversal. Las geometrías más comunes son rectangular, circular y elíptica. 
 
 
1.2 Justificación 
 
Los sistemas de guía de onda tienen muchas aplicaciones y cada vez es más frecuente y 
requerido su uso, específicamente en el área de telecomunicaciones (antenas de microstrip, 
resonadores) [2], [4], [5]. Una de las ventajas que ofrecen las topologías triangulares es que 
en el caso de resonador se presentan pérdidas considerablemente menores que en 
resonadores circulares [5]. Por ello, su estudio es de gran interés. Un análisis adecuado 
incluye un estudio de los modos de propagación, así como el análisis de pérdidas. Y, 
aunque se han desarrollado métodos para analizar guías de onda de sección transversal 
general [7]–[9], el caso triangular no ha sido estudiado a fondo particularmente. 
 
 
1.3 Objetivos 
 
El procedimiento para analizar y caracterizar una guía de onda es conocido, pero existe 
muy poca información que describa el comportamiento de las topologías triangulares [6], 
[10], [11]. En esta investigación se aborda el estudio de dos guías de onda de sección 
transversal triangular para obtener las ecuaciones que describen los modos de propagación 
en cada una, y posteriormente realizar el análisis de pérdidas correspondiente. 
 
 
1.4 Metodología 
 
Por principio se hará una revisión bibliográfica del tema y se estudiarán los conceptos 
relacionados con el mismo. Se revisarán ejemplos de soluciones para otras topologías. 
Posteriormente se procederá al propio análisis del problema planteado, comenzando por la 
geometría más sencilla, un triángulo equilátero. Se realizará la definición modal y análisis 
de campos, para después hacer el estudio de las pérdidas en el sistema. Sucesivamente se 
 2 
llevará a cabo el mismo procedimiento con la guía de sección transversal triangular 
isósceles. 
 3 
Capítulo 2 
 
2. Campos electromagnéticos en una guía de onda con sección trans versal triangular 
equilátera 
 
2.1 Introducción 
 
En este apartado se definirán las generalidades del sistema de guía de onda que se estudiará 
a lo largo del capítulo. 
 
Se comenzará por establecer la geometría del mismo. La guía de onda tiene una 
sección transversal de triángulo equilátero de lado a, como se ilustra en la siguiente figura: 
 
 
Figura 2.1 Sección transversal de la guía de onda a analizar. 
 
 
Es importante para los fines del análisis posterior, que el vértice izquierdo se 
encuentra en el origen. Las paredes del sistema son de metal, que en primera instancia se 
considerará ideal y posteriormente se harán otras consideraciones para el análisis de 
pérdidas. Por otra parte, la propagación de las ondas electromagnéticas se dará a lo largo 
del eje z. 
 
 
2.2 Las ecuaciones de onda y las ecuaciones componentes de campo para propagación 
en dirección z 
 
Para efectos del análisis, se considera que los sistemas de guía de onda tienen una 
coordenada z como la dirección de propagación. Dado que se están empleando sistemas 
coordenados ortogonales que cumplen con la regla de la mano derecha, las otras dos 
coordenadas serán transversales a la dirección z. Por convención, se les denotará t1 y t2. Por 
ejemplo, en coordenadas rectangulares t1 ~ x y t2 ~ y; en cilíndricas, t1 ~ ? y t2 ~ f . 
 
Para ondas que se propagan en la dirección z positiva, usamos el factor de 
propagación 
 4 
( ) zjzzjz eee βαβαγ −−+−− ==∈ (2.1) 
 
donde ? debe ser determinado para cada configuración de guía de onda. Para que la 
propagación ocurra, ß debe ser un número real. 
 
Las ecuaciones de onda expresadas en términos de las componentes transversales 
del laplaciano 
 
( ) ( ) 0,, 212212 =+∇
→→
ttEkttE ct (2.2) 
 
( ) ( ) 0,, 212212 =+∇
→→
ttHkttH ct (2.3) 
 
donde 
 
( ) ( )ddc jjkkk ωµσµωγωµσγγ −∈+=−+=+≡
−
2222222 (2.4) 
 
con µ, ∈, sd siendo propiedades del material dentro de la guía, usualmente un dieléctrico. 
∇t2 son las derivadas de ∇2 en coordenadas transversales. De esta última ecuación se 
obtienen los valores apropiados de ? para las guías de onda. 
 
En general, los campos vectoriales poseen tres componentes (debido a que son 
funciones de las coordenadas transversales); llamadas componentes 2
^
1
^
,tt y 
^
z . Las 
componentes 
^
z satisfacen las ecuaciones de onda escalares: 
 
( ) ( ) 0,, 212212 =+∇
→→
ttEkttE zczt (2.5) 
 
( ) ( ) 0,, 212212 =+∇
→→
ttHkttH zczt (2.6) 
 
Estas últimas dos ecuaciones son importantes ya que al encontrar soluciones para Ez 
y Hz, se pueden determinar las soluciones para todas las demás componentes transversales 
al combinar apropiadamente derivadas de ellas como sigue, donde h1 y h2 son los factores 
de escala en coordenadas transversales del sistema coordenado: 
 
( )
2
2
21
2
1
211 , t
H
kh
j
t
E
kh
ttE z
c
z
c ∂
∂
−
∂
∂
−=
ωµγ
 (2.7) 
 
( )
1
2
12
2
2
212 , t
H
kh
j
t
E
kh
ttE z
c
z
c ∂
∂
−
∂
∂
−=
ωµγ
 (2.8) 
 5 
( )
1
2
12
2
2
211 , t
E
kht
H
kh
jttH z
c
z
c ∂
∂
−
∂
∂∈
=
γω (2.9) 
 
( )
2
2
21
2
1
212 , t
E
kht
H
kh
jttH z
c
z
c ∂
∂
−
∂
∂∈
=
γω (2.10) 
 
Para ondas que se propagan en la dirección z negativa el factor exponencial sería e?z, 
de este modo pueden emplearse los resultados precedentes reemplazando simplemente ? 
por –?. 
 
La solución para una configuración de guía de onda determinada debe entonces seguir, 
en general, los siguientes lineamientos: 
 
1. Resolver las ecuaciones 2.5 y 2.6 para Ez (t1, t2) y Hz (t1, t2). 
2. Aplicar condiciones de frontera a Ez y Hz para determinar tantas constantes de las 
soluciones como sea posible. Esto puede requerir usar las ecuaciones 2.7 a 2.10 para 
obtener componentes de campo para las cuales las condiciones de frontera sean 
conocidas. Como se puede inferir, durante este paso es posible obtener valores de 
kc, a partir de los cuales se puede calcular la constante ? mediante la ecuación 2.4. 
3. Calcular las componentes de campo transversal usando las ecuaciones 2.7 a 2.10. 
4. Construir las ecuaciones de campo total empleando 
 
( ) ( ) ( ) ( ) zz ezzttEtzttEtzttEzttE γ−
→



 +++=
^
212
^
2121
^
21121 ,,,,,,,, 
(2.11) 
 
( ) ( ) ( ) ( ) zz ezzttHtzttHtzttHzttH γ−
→



 +++=
^
212
^
2121
^
21121 ,,,,,,,, 
(2.12) 
 
5. Si se desea establecer las expresiones en el dominio del tiempo, pueden obtenerse 
mediante 
 
( ) ( ) tjezttEztt ω


=
→→
,,Re,, 2121E (2.13) 
[3] 
 
 
2.3 Definición modal 
 
En este apartado se hará el análisis del sistema de guía de onda que se estableció 
previamente, siguiendo el método ant eriormente descrito. 
 
 6 
Antes se deben hacer algunas consideraciones, tales como: 
• Al estudiar el campo transversal magnético se considera que Hz = 0 
• Al estudiar el campo transversal eléctrico se considera que Ez = 0 
• Las funciones que describen los campos TM y TE satisfacen la ecuación de 
Helmholtz: 
 
02
2
2
2
2
=+
∂
∂
+
∂
∂
zc
zz Ek
y
E
x
E
 (2.14) 
 
 
2.3.1 Análisis del campo TM 
 
La función que describe la onda TM en coordenadas polares es la siguiente: 
 
( )[ ] 










 ++










 −+=
3
2cos
3
2coscos πϕπϕϕ rksenrksenrksenE cccz (2.15) 
 
Expresada en coordenadas cartesianas toma la forma: 
 
( )














−−+














+−+= y
x
kseny
x
ksenxksenE cccz 2
3
22
3
2
 (2.16) 
 
Al aplicar condicionesde frontera se tiene que kc debe valer: 
 
m
a
kc
3
4π
= ; m = 0, 1, 2… (2.17) 
 
De este modo, el campo longitudinal Ez eléctrico se define por: 
 
( )
















−−+
















+−+





= yxm
a
senyxm
a
senmx
a
senyxEz 2
3
23
4
2
3
23
4
3
4, πππ 
(2.18) 
 
Solucionando para esta geometría particular. La onda tiene número de onda 
c
k
ω
λ
π
==
2 . 
 
Se continúa con el paso 2 del proceso para obtener otras constantes. 
 
 
 
 
 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 Definición de β . 
 
 
22
ckk −=β (2.19) 
 
Cálculo de las componentes transversales eléctricas: 
 
 (0 para TM) 
( )
y
H
k
j
x
E
k
yxE z
c
z
c
x
∂
∂
−
∂
∂
−=
→
22
,
ωµβ
 
 (0 para TM) 
( )
x
H
k
j
y
E
k
yxE z
c
z
c
y
∂
∂
+
∂
∂
−=
→
22
,
ωµβ
 
 
Solucionando: 
 
( )
























+−
















+−




 −+−= yxk
k
yxk
k
xkk
k
E c
c
c
c
cc
c
x 2
3
2
cos
22
3
2
cos
2
cos
2
β
 
 
( )
























+−
















+−−−= yxkyxkxk
k
E ccc
c
x 2
3
2
cos
2
1
2
3
2
cos
2
1cosβ 
(2.20) 
 
























+−
















+−−= yxkkyxkk
k
E cccc
c
y 2
3
2
cos
2
3
2
3
2
cos
2
3
2
β 
 
























+−
















+−−= yxkyxk
k
E cc
c
y 2
3
2
cos
2
3
2
cos
2
3β
 
 8 
(2.21) 
 
Cálculo de las componentes transversales magnéticas: 
 
 (0 para TM) 
( )
x
H
ky
E
k
jyxH z
c
z
c
x ∂
∂
−
∂
∂∈
= 22,
βω
 
 (0 para TM) 
( )
y
H
kx
E
k
jyxH z
c
z
c
y ∂
∂
−
∂
∂∈
−= 22,
βω 
 
 
Solucionando: 
 
























+−
















+−∈= yxkkyxkk
k
jH cccc
c
x 2
3
2
cos
2
3
2
3
2
cos
2
3
2
ω 
 
























+−
















+−∈= yxkyxk
k
jH cc
c
x 2
3
2
cos
2
3
2
cos
2
3ω 
(2.22) 
 
( )
























+−
















+−−∈−= yxkyxkxk
k
jH ccc
c
y 2
3
2
cos
2
1
2
3
2
cos
2
1
2
3cosω 
(2.23) 
 
 
Finalmente, los campos eléctrico y magnético total quedan determinados por: 
 
^^^
zEyExEE zyx ++=
→
 (2.24) 
 
^^
yHxHH yx +=
→
 (2.25) 
 
Donde: 
 
( )






















+−














+−−−= y
x
ky
x
kxk
k
E ccc
c
x 2
3
2
cos
2
1
2
3
2
cos
2
1
cos
β
 
 
 9 
























+−
















+−−= yxkyxk
k
E cc
c
y 2
3
2
cos
2
3
2
cos
2
3β 
 
















−−+
















+−+





= yxm
a
senyxm
a
senmx
a
senEz 2
3
23
4
2
3
23
4
3
4 πππ 
 
























+−
















+−∈= yxkyxk
k
jH cc
c
x 2
3
2
cos
2
3
2
cos
2
3ω 
 
( )
























+−
















+−−∈−= yxkyxkxk
k
jH ccc
c
y 2
3
2
cos
2
1
2
3
2
cos
2
1
2
3cosω 
 
 
2.3.2 Análisis del campo TE 
 
La función que describe la onda TE en coordenadas polares es la siguiente: 
 
( )[ ] 










 ++










 −+=
3
2coscos
3
2coscoscoscos πϕπϕϕ rkrkrkH cccz (2.26) 
 
Expresada en coordenadas cartesianas toma la forma: 
 
( )














−−+














+−+= y
x
ky
x
kxkH cccz 2
3
2
cos
2
3
2
coscos (2.27) 
 
De este modo, el campo longitudinal Hz magnético se define por: 
 
( )














−−+














+−+





= y
x
m
a
y
x
m
a
mx
a
yxH z 2
3
23
4
cos
2
3
23
4
cos
3
4
cos,
πππ 
(2.28) 
 
Solucionando para esta geometría particular. La onda tiene número de onda 
λ
π2
=k . 
 
Se continúa con el paso 2 del proceso para obtener otras constantes: 
 
22
ckk −=β 
 10 
Cálculo de las componentes transversales magnéticas: 
 
 (0 para TE) 
( )
x
H
k
j
y
E
k
jyxH z
c
z
c
x
∂
∂
−
∂
∂∈
=
→
22,
βω
 
 (0 para TE) 
( )
y
H
k
j
x
É
k
jyxH z
c
z
c
y
∂
∂
−
∂
∂∈
−=
→
22,
βω
 
 
 
Solucionando: 
 
( )






























+−




−






















+−−




−+−−= yxksen
k
yxksen
k
xksenk
k
jH c
c
c
c
cc
c
x 2
3
222
3
222
β 
 
( )
























+−
















+−−= yxksenyxksenxksen
k
jH ccc
c
x 2
3
22
1
2
3
22
1β 
(2.29) 
 
































−−−−
























+−−−= yxksenkyxksenk
k
jH cccc
c
y 2
3
22
3
2
3
22
3
2
β 
 
























−−−
















+−= yxksenyxksen
k
jH cc
c
y 2
3
22
3
22
3β
 
(2.30) 
 
Cálculo de las componentes transversales eléctricas: 
 
 
(0 para TE) 
y
H
k
j
x
E
k
E z
c
z
c
x ∂
∂
−
∂
∂
−= 22
ωµβ
 
 
 
 (0 para TE) 
x
H
k
j
y
E
k
E z
c
z
c
y ∂
∂
+
∂
∂
−= 22
ωµβ 
 
 11 
Solucionando: 
 
































−−−−
























+−−−= yxksenkyxksenk
k
jE cccc
c
x 2
3
22
3
2
3
22
3
2
ωµ 
 
























−−−
















+−= yxksenyxksen
k
jE cc
c
x 2
3
22
3
22
3ωµ
 
(2.31) 
 
( )
































+−+
























+−+−= yxksen
k
yxksen
k
xksenk
k
jE c
c
c
c
cc
c
y 2
3
222
3
222
ωµ 
 
( )
























++
















+−+−= yxksenyxksenxksen
k
jE ccc
c
y 2
3
22
1
2
3
22
1ωµ 
(2.32) 
 
Finalmente, el campo eléctrico total queda determinado por: 
 
^^
yExEE yx +=
→
 (2.33) 
 
^^^
zHyHxHH zyx ++=
→
 (2.34) 
 
Donde: 
 
























−−−
















+−= yxksenyxksen
k
jE cc
c
x 2
3
22
3
22
3ωµ 
 
( )
























++
















−−+−= yxksenyxksenxksen
k
jE ccc
c
y 2
3
22
1
2
3
22
1ωµ 
 
( )
























+−
















+−−= yxksenyxksenxksen
k
jH ccc
c
x 2
3
22
1
2
3
22
1β
 
 
 12 
























−−−
















+−= yxksenyxksen
k
jH cc
c
y 2
3
22
3
22
3β 
 
















−−+
















+−+





= yxm
a
yxm
a
mx
a
H z 2
3
23
4cos
2
3
23
4cos
3
4cos πππ 
 
 
2.4 Distribuciones modales 
 
En las siguientes figuras se muestran las componentes de campo en la guía de onda, en el 
caso ideal, para los primeros cinco modos de propagación TE y TM. Para dichos fines, se 
tomó un triángulo con lado igual a 1. Cabe mencionar que en el caso de los modos TM, Hz 
siempre tiene un valor de cero; y para el caso de los modos TE, Ez siempre toma valor de 
cero. 
 
 
Figura 2.3 Componentesdel campo TM para el modo 1. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, e)Hy, f) Hz. 
Nótese que Hz= 0. 
 13 
 
Figura 2.4 Campos transversal eléctrico y magnético para el modo TM con m=1. a) y b) 
Campo transversal eléctrico y diagrama vectorial, c) y d) Campo transversal magnético y 
diagrama vectorial. 
 
Figura 2.5 Componentes del campo TM para el modo 2. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, e)Hy, f) Hz. 
Nótese que Hz= 0. 
 14 
 
Figura 2.6 Campos transversal eléctrico y magnético para el modo TM con m=2. a) y b) 
Campo transversal eléctrico y diagrama vectorial, c) y d) Campo transversal magnético y 
diagrama vectorial. 
 
Figura 2.7 Componentes del campo TM para el modo 3. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, e)Hy, f) Hz. 
Nótese que Hz= 0. 
 15 
 
Figura 2.8 Componentes del campo TM para el modo 4. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, e)Hy, f) Hz. 
Nótese que Hz= 0. 
 
Figura 2.9 Componentes del campo TM para el modo 5. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, e)Hy, f) Hz. 
Nótese que Hz= 0. 
 16 
 
Figura 2.10 Componentes del campo TE para el modo 1. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, e)Hy, f) Hz. 
Nótese que Ez= 0. 
 
Figura 2.11 Campos transversal eléctrico y magnético para el modo TE con m=1. a) y b) 
Campo transversal eléctrico y diagrama vectorial, c) y d) Campo transversal magnético y 
diagrama vectorial. 
 17 
 
Figura 2.12 Componentes del campo TE para el modo 2. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, e)Hy, f) Hz. 
Nótese que Ez= 0. 
 
Figura 2.13 Campos transversal eléctrico y magnético para el modo TE con m=2. a) y b) 
Campo transversal eléctrico y diagrama vectorial, c) y d) Campo transversal magnético y 
diagrama vectorial. 
 18 
 
Figura 2.14 Componentes del campo TE para el modo 3. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, e)Hy, f) Hz. 
Nótese que Ez= 0. 
 
Figura 2.15 Componentes del campo TE para el modo 4. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, e)Hy, f) Hz. 
Nótese que Ez= 0. 
 
 19 
 
Figura 2.16 Componentes del campo TE para el modo 5. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, e)Hy, f) Hz. 
Nótese que Ez= 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
Capítulo 3 
 
3. Análisis de pérdidas en la guía de onda 
 
3.1 Atenuación en guías de onda 
 
El análisis realizado en el capítulo anterior, desprecia las pérdidas en el sistema. El 
dieléctrico se asumió sin pérdid as (pérdidas tangenciales iguales a cero) y las paredes de la 
guía de onda se consideraron con conductividad infinita. Pero en la práctica la atenuación 
debe ser tomada en cuenta. 
 
Para incluir dichas pérdidas, teóricamente deberían resolverse todas las 
configuraciones de guía de onda. Para conductividad de pared finita deben haber 
→
E , 
→
H y 
→
J dentro de las paredes, las cuales deben ser descritas por las ecuaciones de Maxwell. Esto 
requiere escr ibir las soluciones de la ecuación de onda tanto para el conductor como para el 
dieléctrico (empleando '' ∈−=∈∈
−
j ) y después uniendo ambas soluciones en la frontera. 
Cuando se considera el grado de detalle involucrado en una solución única para el caso sin 
pérdidas –donde los campos sólo existen dentro de la guía- es evidente que el trabajo 
requerido paras unir solucio nes de dos campos, es significativamente mayor. 
 
Afortunadamente se puede prevenir desarrollar toda una solución completa debido a 
que usualmente la atenuación es muy pequeña. Por ejemplo, las pérdidas tangenciales del 
dieléctrico son del orden de 10-4 y las conductividades de pared son muy altas, siendo del 
orden de 107 S/m. 
 
Uno se puede percatar de que para pequeñas pérdidas el valor de β permanece 
prácticamente invariante como en el caso de las líneas de transmisión. Esto significa que se 
puede aproximar β al su valor de la guía de onda sin pérdidas, así la constante de 
propagación puede escribirse como: 
 
losslessjj βαβαγ +≈+= (3.1) 
 
Esto significa que para sistemas prácticos se puede evaluar α independientemente 
de β . Consecuentemente la variación en z de los campos puede expresarse como: 
 
( ) zjzzjzzjjz osslessleeeeee βαβαβαγ −−−−+− ≈== (3.2) 
 
De este modo, todo lo que se necesita hacer es obtener una expresión para α y 
después multiplicar todas las soluciones sin pérdidas por e -αz, lo cual es mucho más 
sencillo que resolver nuevamente todo el problema. 
 
La atenuación tiene importancia aunque tome valores pequeños, esencialmente en 
algunos sistemas de microondas en los cuales las señales son muy pequeñas, como las 
 21 
señales de retorno de los radares, medición remota de microondas terrestres o señales en 
radio astronomía. Dado que la guía presenta pérdidas, absorbe energía y para que un 
sistema se mantenga en equilibrio térmico, también debe radiarla. La energía radiada en la 
guía contendrá el espectro de frecuencias que se pueden propagar a través de ella. Esas 
componentes espectrales corrompen y enmascaran la señal deseada como ruido. Por ello, la 
atenuación debe ser tomada en cuenta al momento de hacer el diseño general del sistema. 
 
Para pequeñas pérdidas se calculan por separado las pérdidas del dieléctrico y de 
pared y después se suman ambas para obtener: 
 
wdwalldielectric ααααα +≡+= (3.3) 
 
A continuación se desarrollarán las expresiones para dichas constantes de atenuación. 
[3] 
 
3.1.1 Atenuación del dieléctrico 
 
Las pérdidas del dieléctrico comúnmente se calculan usando la constante dieléctrica 
compleja y la pérdida tangencial para pérdidas conductivas. Estas se obtienen de la 
siguiente manera (el subíndice d es de dieléctrico): 
 
( ) ( )
→→→→→→→→→→
∈≡∈−∈≡





−∈=+∈=∈+=∈+=∇ EjEjjEjjEjEjEEjJHx dddd ωωω
σ
ωσωωσω '''
(3.4) 
 
pérdidas tangenciales = 
''
''
tan
∈
=
∈
∈
≡
ω
σ
δ d (3.5) 
 
Para modos TEM u ondas planas uniformes se tiene que la constante de propagación está 
dada por: 
 
βαµµωµωµωωµσµωγ jjjjjjj ddTEM +=∈−∈=∈−∈=−∈= '''''''
222 
(3.6) 
 
Elevando ambos lados al cuadrado: 
 
βαβαµωµω dd jj 2'''
2222 +−=∈+∈− 
 
Igualando componentes reales e imaginarios: 
 
'22 ∈−=− ωµβα d (3.7) 
 
βαµω d2''
2 =∈ (3.8) 
 22 
Resolviendo para β : 
 
dα
µωβ
2
''2 ∈= (3.9) 
 
Substituyendo el resultado anterior en la ecuación 3.7 y acomodando términos: 
 
0
4
'''
224
224 =∈−∈+ µωαµωα dd 
 
Resolviendo como una ecuación cuadrática para αd2: 
 
( )
2
'''' 224
222
2 ∈+∈±∈−=
µωµωµω
α d 
 
Dado que debe ser un número real positivo, se toma el signo positivo del radical. Después 
se obtiene la raíz cuadrada: 
 
( )
2
'''' 224
222 ∈+∈+∈−
=
µωµωµω
α d 
 
mnepd /2
'
''
11
'
2






∈
∈
++−
∈= µωα 
 
 
pérdidadeánguloTEM
mnepd
=
++−
=
δ
δ
ωα
)(
/
2
tan11 2
 (3.10) 
 
Substituyendo este resultado en la ecuación 3.7 se tiene que β vale: 
 
)(
/
2
tan11
'
2
TEM
mradd
δ
µωα
++
∈= (3.11) 
 
Para fines prácticos se usará ∈ en lugar de ∈´. Para ilustrar la consecuencia de pequeñas 
pérdidas sobre β se considerará el caso usual (δ es el ángulo de pérdida no la profundidad 
de piel): 
 23 
110
'
''
tan 4 <<≈
∈
∈
= −δ 
 
Entonces se pueden usar los dos primeros términos de la expansión en series: 
 
( ) nxx n +≈+ 11 , x << 1 (3.12) 
 
Aplicando este resultado al radical interior de la ecuación 3.11 para n= ½: 
 
2
2
'
''
4
1
1'
2
'
''
2
1
11
' 





∈
∈
+∈=






∈
∈
++
∈= µωµωβ 
 
Ahora, para una pérdida tangencial de 10-4, el segundo término en el radical es 2.5 x 10-9, 
claramente despreciable con respecto a 1. Así pues: 
 
∈=∈≈ µωµωβ 'TEM (3.13) 
 
Lo que es igual que la β del cálculo sin pérdidas, y justifica el uso de β sin pérdidas del 
capítulo anterior. 
 
Se procede de igual manera para los modos TE y TM. Teniendo que: 
 
βαµωµωωµσµωγ jjkjkkk dcdcc +=∈+∈−=+∈−=−=
−
'''' 22222
2
2 
(3.14) 
 
Elevando ambos lados al cuadrado: 
 
βαβαµωµω ddc jjk 2'''
22222 +−=∈+∈− 
 
Igualando las partes real e imaginaria y resolviendo las dos ecuaciones resultantes del modo 
hecho anteriormente se tieneque: [3] 
 
TMoTEpara
mnep
kk
c
cc
d
ωω
µωµω
µωα
>






∈
∈
+





−
∈
−+





−
∈
∈= /
2
'
''
1
'
11
'
'
22
2
2
2
2
 (3.15) 
 
 24 
TMoTEpara
mrad
kk
c
cc
d
ωω
µωµω
µωα
>






∈
∈
+





−
∈
−+





∈
−
∈= /
2
'
''
1
'
1
'
1
'
22
2
2
2
2
 (3.16) 
 
[3] 
 
3.1.2 Pérdidas en las paredes de la guía de onda 
 
Empleando el vector de Poynting se puede calcular el flujo de potencia por unidad de área 
en cualquier sistema de guía de onda de la siguiente manera: 
 
2*****
*
/HE½HE½HE½HHEE½E½ mWHS tzztttztzt
→→→→→→→→→→→→→
×+×+×=




 +×




 +=×= 
 
Nótese que aunque t
→
E y t
→
H son los campos totales transversales deberán ser 
ortogonales en el plano z, satisfaciendo que el ángulo entre ellas sea de 90º. El primer 
término deberá estar en la dirección z en tanto que los dos restantes estarán en la dirección 
transversal. Por consiguiente: 
 
→→→→→→→→→
===×=⋅= ttttHEttttz HEHEHEHEzSS tt ½½sin½½
***
^
θ (3.17) 
 
Se asume la solución sin pérdidas y se multiplica por el factor de atenuación. Esto es, para 
t
→
E : 
 
2
^
1
^
21 EEE teetee
zzj
t
zzj
tt ww
αβαβ −−
→
−−
→→
+= 
 
De este modo se tiene que: 
 
z
t
z
t
z
tttt
www eEeEeEEEE ααα −−−
→→→
=+=⋅= 2222
*
21
 (3.18) 
 
De manera similar, usando Zw para la impedancia de onda, se puede expresar tH
→
 como: 
 
 25 
z
w
tz
w
t
w
tz
ttt www e
Z
E
e
Z
E
Z
E
eHHH ααα −−−
→→→
=+=+=
2
2
2
2
21
21 (3.19) 
Substituyendo las ecuaciones 3.18 y 3.19 en 3.17, se obtiene: 
 
2
2
/
2
mWe
Z
E
S z
w
t
z
wα−= (3.20) 
 
La potencia total que se propaga en la dirección z queda dada por: 
 
Wdae
Z
E
daSP t
z
w
t
tioncrosstztioncrossZ
wα2
2
secsec
2
−∫∫ == 
 
Dado que el diferencial de área de la sección transversal no involucra la coordenada z 
(dst=h1h2dt1dt2), el exponente puede separarse del integrando, resultando en: 
 
Wda
Z
E
eP tw
t
tioncross
z
Z
w
2
2
sec
2 ∫−= α 
La pérdida de potencia por metro de la guía puede ser determinada por: 
 
( ) mWPda
Z
E
e
dz
dP
P zwtw
t
tioncross
z
w
z
L
w /2
2
2
2
sec
2 αα α =−=−= ∫− (3.21) 
 
Resolviendo para a w: 
 
z
L
w P
P
2
=α (3.22) 
 
De la misma manera, bajo el supuesto de pequeñas pérdidas se calcula PL utilizando 
la solución sin pérdidas. Así, se puede calcular PL usando las componentes z de los vectores 
de Poynting obtenidos para los modos de la guía de onda ideal. De dicha forma, se llega al 
cálculo real de las pérdidas por metro PL. 
 
Las pérdidas por metro PL se evalúan tomando la corriente por área de pared Js de la 
solución sin pérdidas, y posteriormente asumiendo que esta es una corriente equivalente 
fluyendo en un conductor con pérdidas que produce pérdidas del tipo I2R. Se calculan las 
pérdidas para 1 metro para obtener PL. 
La potencia absorbida por la pared puede ser representada por el vector de Poynting 
dentro de la misma, el cual para las guías de onda involucra las componentes transversales 
apropiadas de 
→
S . Cabe recordar que la frontera de la pared es paralela a la dirección z. 
 26 
Dicho concepto se ilustra en la figura 3.1. Por otro lado, dado que el conductor no es 
perfecto, se pueden tener tanto 
→
H tangencial como 
→
E tangencial, así como una densidad 
de corriente 
→
WJ dentro de la pared. En la figura antes mencionada se exageró el grosor de 
las paredes para poder mostrar todas las cantidades vectoriales, y se duplican para el caso 
de la pared inferior. Por último, la profundidad de penetración real es de sólo unas micras. 
 
 
 
 
Figura 3.1 Cantidades de campo en las paredes de una guía de onda con paredes 
conductoras no ideales. 
 
La pérdida de potencia en la pared puede atribuirse a la parte real de wS
→
. Puesto que 
→
E y 
→
H son ortogonales: 
 




 ×=




 ×=




=
→→→→ ^
** HE½ReHE½ReRe tSP wwwwwwall (3.23) 
No obstante, aunque se hayan empleado valores de área, 
→
E y 
→
H también existen 
dentro del conductor debido a la continuidad requerida de campos tangenciales ( 0=
→
sJ 
ahora). Por lo anterior es posible aplicar la ley de Ampere dentro de la pared alrededor del 
contorno ABCD, con esquinas localizadas sobre la superficie de la guía para que el grosor t 
quede incluido: 
enclosed
A
D
w
D
C
w
C
B
w
B
A
ww IdlHdlHdlHdlHdlH =⋅+⋅+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫
→→→→→→→→→→
 
 
 27 
Las integrales de B a C y de D a A son cero debido a que 
→
H es normal respecto a las 
trayectorias ahí. Dado que los campos decaen rápidamente el valor de wH
→
 a lo largo de la 
trayectoria CD es prácticamente cero también. De esta manera, sólo queda una integral, y la 
ley de Ampere se reduce a: 
 
enclosed
A
D
ABw IdlH =⋅∫
→→
 (
→→
ABw dlaparaleloH ) 
 
Si la trayectoria AB se hace pequeña, Hw no variará significativamente, por lo que puede 
quitarse de la integral. Así se tiene que: 
 
( ) enclosedw IABH =− 
 
Ahora, dado que la conductividad es muy alta, la corriente de conducción domina 
sobre la corriente de desplazamiento ( σw wE
→
 >> jω∈ wE
→
 ). Por lo que se puede aproximar 
la corriente encerrada por la corriente que cruza la trayectoria AB en la superficie inferior, 
la cual está dada por: 
 
( ) senclosed JABI −≈ 
 
Entonces la ley de Ampere conduce a: 
 
( ) ( ) sw JABABH −≈− 
 
O bien: 
 
sw JH ≈ (3.24) 
 
Por supuesto que el cálculo anterior es válido para un conductor perfecto, pero se ha 
demostrado que es esencialmente aplicable para buenos conductores. Para comp letar el 
análisis se necesita una expresión para Ew. Para ello se empleará la siguiente expresión que 
relaciona 
→
E y 
→
H en un buen conductor: 
 
ws HZ=wE 
 
Donde: 
 
ss
www
s jRRj
j
Z +=+=
+
=
δσδσδσ
111
 con 
wfµσπ
δ 1= 
 
 28 
El campo eléctrico de pared puede ser expresado como: 
 
( ) ( )sssssww jRRJjRRHE +≈+= (3.25) 
Substituyendo las ecuaciones 3.24 y 3.25 en 3.23, se obtiene: 
 
( ) 2
2
2
1
^
*
2
1 /Re mWRJtJjRRJPP ssssssww
→→
=




 +== (3.26) 
 
(Nota: Se emplearon signos de igual aunque fueron utilizadas aproximaciones.) 
 
Las pérdidas de potencia por metro se obtienen de integrar esta componente del 
vector de Poynting sobre el contorno transversal de la guía, es decir, alrededor del área 
interior de la guía, y para 1 m en la dirección z. Esto proporciona un área de la superficie de 
la guía en la cual el vector de Poynting fluye: 
 
∫ ∫∫ ∫∫ ∫
→→
===
ttt C
ssC sssC swL
dzdlRHdzdlRJdzdlPP
1
0
2
tan
1
0
2
1
0 2
1
2
1 (3.27) 
 
Es importante recalcar que aunque el contorno Ct es una trayectoria cerrada 
alrededor de las paredes de la guía, no es la integral de contorno usual. Todas las 
contribuciones de pérdidas de pared deberán ser positivas, así si la integral es escrita como 
la suma de las integrales alrededor del contorno de cada sección, debe arrojar un valor 
positivo. Cambiar la dirección no niega las pérdidas. 
 
La potencia transmitida Pz es obtenida usando la ecuación 3.17 donde se termina con la 
componente z de 
→
S integrada sobre la sección transversal. Esto se denota formalmente 
como: 
 
t
z
tioncrosstztioncrossz daHEdaSP 





×==
→→
∫∫
*
2
1
secsec Re (3.28) 
 
Donde 
→
E y 
→
H son las soluciones sin pérdidas dentro de la guía. Substituyendo estas 
últimas dos expresiones en la ecuación 3.22 se obtiene, tras cancelar los factores ½: [3] 
 
( ) tztioncross
C
ss
t
z
tioncross
C
sss
w
daS
dzdlHR
daHE
dzdlRJ
tt
2Re2
Re2 sec
1
0
2
tan
*
sec
1
0
2
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
→
→→
→
=






×
=α 
 
cualquier modo, soluciones de campo sin pérdidas (3.29) 
 29 
3.2 Análisis de pérdidas 
 
De acuerdo a la teoría de perturbación clásica de primer orden, la constante de atenuación α 
para un cierto modode propagación queda dado por: 
 
dSHZ
dlHZ
P
P
trans
S
wave
g
l
wall
T
L
2
2
tan
2
1
2 →
→
∫
∫
==α (3.30) 
 
Donde: 
 
σ
ωµ
2
=wallZ ; 







∈
=
=
=
0ω
β
β
ωµ
TM
TE
wave
Z
Z
Z 
 
σ = conductividad del metal 
µ = permeabilidad del metal 
∈0 = permitividad del vacío 
 
[4] 
 
Primero se desarrollará el cálculo de la constante de atenuación para los modos TM 
y posteriormente para los TE. 
 
 
3.2.1 Cálculo de pérdidas para los modos TM 
 
En primer lugar se tiene que: 
 
σ
ωµ
β
ω
2
∈
=
wave
wall
Z
Z
 
 
Factor que puede ponerse fuera de la integral, por lo que la constante de atenuación queda 
expresada como: 
dSH
dlH
trans
g
l
2
2
tan
22 →
→
∫ ∫
∫∈
=
σ
ωµ
β
ω
α 
 30 
En donde: 
 
22
22
3
4





−




=−= m
ac
kk c
πωβ 
 
Debido a la complejidad de los cálculos, se trabajan por separado las partes superior e 
inferior de la constante. 
 
Por una parte se trabaja la integral de abajo que es más sencilla: 
 
[ ]∫ ∫∫ ∫ +=→ dxdyHHdxdyH yxtrans 22
2
 
 
Por cuestiones de simetría, se puede calcular la mitad de la integral y multiplicarla por un 
factor de 2, esto es: 
 
[ ] dxdyHH
ax
x
x
yx∫ ∫
=
= 







+
2
0
3
0
222 
 
Donde: 
 
2
2
22
2
2
3
2
cos
2
3
2
cos
4
3






















+−














+−= y
x
ky
x
k
k
e
H cc
c
x
ω 
 
( )
2
2
22
2
2
3
2
cos
2
1
2
3
2
cos
2
1
cos






















+−














+−−= y
x
ky
x
kxk
k
e
H ccc
c
y
ω
 
 
De esta manera, la integral de abajo resulta: 
 



















−










+




+
+




−




−




−
=∫ ∫
→
a
k
a
k
a
k
asenka
k
aka
k
asenka
k
a
k
sen
k
e
dxdyH
ccc
c
c
c
c
c
cc
c
trans
2
cos16
2
cos
2
12
2
cos32
9
2
12
2
cos32
2
3616
24
3
43
222
4
222 ω
 
 
Por otra parte, se tiene que la integral de arriba está dada por: 
 





 +=
→→
∫
^^
tan
2
tan yHxHHdondedlH yxgg 
 31 
Para poder integrar, se necesita calcular los diferenciales de línea. Para lo cual se establece 
que: 
 
Figura 3.2 Diferenciales de línea para la integración. 
 
Donde: 
^
1 xdxdl =
→
 
 
dxyxdl





 +−=
→ ^^
2 2
3
2 
 
dxyxdl





 −−=
→ ^^
3 2
3
2 
 
Para calcular gH tan
→
, el orden de integración será: 
 
 
Figura 3.3 Trayectoria de integración. 
 
 
Por lo que: 
 
∫∫∫∫
→→→→
++=
3
2
tan
2
2
tan
1
2
tan
2
tan dlHdlHdlHdlH gggg 
 
 32 
[ ]
( )
dxH
HH
dxH
HH
dxHHdlH
xy
a
z
yx
xay
a
a
z
yx
ya
zxg 23
2
3
2
3
2
3
3
2
0
2
2
32
2
2
0
0
22
2
tan
=−=
=
→
∫∫∫∫ 





+



−−+








+



+−++=
 
 
Donde: 
 
[ ] 0
00
22 =+
=
∫ dxHH
y
a
zx 
 
 0 
( )
( ) ( )
( )
dxHHHdxH
HH a
a
xayz
xay
y
xay
x
xay
a
a
z
yx 2
3
2
3
1
2
3
2
3
2
3
2
2
33
32
2
2
∫∫ 







+







+−=








+





+−
−=
−=−=
−=
 
 
 
 0 
dxHH
H
dxH
HH
a
xy
z
xy
y
y
x
xy
a
z
yx 2
3
2
3
2
3
2
3
2
0
3
2
2
33
3
2
0
2
2
∫∫ 







+







−−=








+





−−
=
==
=
 
 
Cálculos para los cuales se tiene que las funciones evaluadas toman los valores: 
 
( )

















 +−−










 +−
∈
=
−=
axkaxk
k
j
H cc
c
xayx 2
3
cos
2
3
2cos
2
3
3
ω
 
 
( )
( )

















 +−−










 +−−
∈
=
−=
axkaxkxk
k
j
H ccc
c
xayy 2
3
2cos
2
1
2
3
cos
2
1
cos
3
ω
 
 
( ) ( ){ }xkxk
k
j
H cc
c
xyx
2coscos
3
−
∈
=
=
ω 
 
( ) ( )





 −
∈
−=
=
xkxk
k
j
H cc
c
xyy
2cos
2
1
cos
2
1
3
ω
 
 
Realizando las sustituciones y manejo algebraico adecuado, finalmente se obtiene la 
ecuación que determina el factor de atenuación, la cual es : 
 
 33 
 
(3.31) 
 
3.2.2 Cálculo de pérdidas para los modos TE 
 
En primer lugar se tiene que: 
 
σ
ωµ
β
ω
2
∈
=
wave
wall
Z
Z
 
 
Factor que puede ponerse fuera de la integral, por lo que la constante de atenuación queda 
expresada como: 
dSH
dlH
trans
g
l
2
2
tan
22 →
→
∫ ∫
∫∈
=
σ
ωµ
β
ω
α 
 
En donde: 
 
22
22
3
4





−




=−= m
ac
kk c
πωβ 
 
Debido a la complejidad de los cálculos, se trabajan por separado las partes superior e 
inferior de la constante. 
 
Por una parte se trabaja la integral de abajo que es más sencilla: 
[ ]∫ ∫∫ ∫ +=→ dxdyHHdxdyH yxtrans 22
2
 
 
Por cuestiones de simetría, se puede calcular la mitad de la integral y multiplicarla por un 
factor de 2, esto es: 
 
 34 
[ ] dxdyHH
ax
x
x
yx∫ ∫
=
= 







+
2
0
3
0
222 
 
Donde: 
 
2
2
2
2
2
3
22
1
2
3
22
1
)(






















+−














+−−= y
x
kseny
x
ksenxksen
k
H ccc
c
x
β 
 
2
2
2
2
2
3
22
3
24
3






















−−−














+−= y
x
kseny
x
ksen
k
H cc
c
y
β 
 
De esta manera, la integral de abajo resulta: 
 

















+










−




−





++




+




+−
=∫∫
→
akasenkakakasenkak
akakaksenak
k
dxdyH
cccccc
cccc
c
trans
2
112
2
1cos
2
112
2
1cos16
2
1
cos329
2
1
36
2
1
cos1632
72
3
32224
4
22 β 
 
 
Por otra parte, se tiene que la integral de arriba, como en el caso TM, está dada por: 
 





 +=
→→
∫
^^
tan
2
tan yHxHHdondedlH yxgg 
 
Para poder integrar, se necesita utilizar los diferenciales de línea calculados para el caso 
TM (figura 3.2), y el o rden de integración será el mismo de la figura 3.3. 
 
Por lo que: 
 
∫∫∫∫
→→→→
++=
3
2
tan
2
2
tan
1
2
tan
2
tan dlHdlHdlHdlH gggg 
 
[ ]
( )
dxH
HH
dxH
HH
dxHHdlH
xy
a
z
yx
xay
a
a
z
yx
ya
zxg 2
3
2
3
2
3
2
3
3
2
0
2
2
32
2
2
0
0
22
2
tan
=−=
=
→
∫∫∫∫ 







+





−−+








+





+−++=
 
Donde: 
 
 35 
[ ] [ ]dxHHdxHH
a
yzyx
ya
zx ∫∫ ==
=
+=+
0
2
0
2
0
0
0
22 
 
( )
( ) ( )
( )
dxHHHdxH
HH a
a xay
z
xay
y
xay
x
xay
a
a
z
yx ∫∫ 







+







+−=








+





+−
−=
−=−=
−= 2
3
2
2
33
32
2
2
3
2
3
1
22
3
2
3
 
 
dxHHHdxH
HH
a
xy
z
xy
y
y
x
xy
a
z
yx ∫∫ 







+







−−=








+





−−
=
==
=
2
0
3
2
2
33
3
2
0
2
2
3
2
3
1
22
3
2
3
 
 
 
Cálculos para los cuales se tiene que las funciones evaluadas toman los valores: 
 
 
( ) 


 +=
= 20
xk
senxksen
k
H cc
c
yx
β 
 
( ) 










+=
= 2
cos2cos
0
xkxkH ccyz 
 
( ) ( )

















 −−










 −−=
−=
xaksenxaksenxksen
k
H ccc
c
xayx 2
3
2
1
2
2
3
2
1
3
β
 
 
( ) 
















 +−−










 −=
−=
xaksenxaksen
k
H cc
c
xayy 2
32
2
3
2
3
3
β
 
 
( ) ( ) 









 +−+










 −+=
−=
xakxakxkH cccxayz 2
3
cos2
2
3
coscos
3
 
 
( ) ( )





 +=
=
xksenxksen
k
H cc
c
xyx
2
2
1
2
1
3
β 
 
( ) ( ){ }xksenxksen
k
H cc
c
xyy
2
2
3
3
+=
=
β 
 
( ) ( )xkxkH ccxyz 2coscos23 +== 
 36 
Realizando las sustituciones y manejo algebraico adecuado, finalmente se obtiene la 
ecuación que determina el factor de atenuación, la cual es: 
 
 
(3.32) 
 
3.3 Gráficas de atenuación 
 
En este apartadose incluyen las gráficas de atenuación para los primeros cinco modos TM 
y TE. Para obtenerlas se emplearon las ecuaciones 3.31 y 3.32. Hay que hacer notar que 
están normalizadas, es decir, en ellas a los parámetros a, ε, µ, σ, y c se les asignó valor 
unitario, dejando a α sólo en función de ω y de m. 
 
37 
 
Figura 3.4 Gráfica de atenuación para el modo TM con m = 1. 
 
Figura 3.5 Gráfica de atenuación para el modo TM con m = 2. 
 
38 
 
Figura 3.6 Gráfica de atenuación para el modo TM con m = 3. 
 
Figura 3.7 Gráfica de atenuación para el modo TM con m = 4. 
 
39 
 
Figura 3.8 Gráfica de atenuación para el modo TM con m = 5. 
 
Figura 3.9 Gráfica de atenuación para el modo TE con m = 1. 
 
40 
 
Figura 3.10 Gráfica de atenuación para el modo TE con m = 2. 
 
Figura 3.11 Gráfica de atenuación para el modo TE con m = 3. 
 
 
 
41 
 
Figura 3.12 Gráfica de atenuación para el modo TE con m = 4. 
 
Figura 3.13 Gráfica de atenuación para el modo TE con m = 5. 
 42 
Capítulo 4 
 
4. Campos electromagnéticos en una guía de onda con sección transversal triangular 
isósceles 
 
4.1 Introducción 
 
En este apartado se definirán las generalidades del sistema de guía de onda que se estudiará 
a lo largo del capítulo. 
 
Es necesario establecer la geometría del mismo. La guía de onda tiene una sección 
transversal de triángulo isósceles de lado a, como se ilustra en la siguiente figura: 
 
 
Figura 4.1 Sección transversal de la guía de onda a analizar. 
 
Para los propósitos del análisis posterior, es necesario indicar que el vértice donde 
se forma el ángulo de 90º se encuentra en el origen. Las paredes del sistema son de metal, 
que en primera instancia se considerará ideal y posteriormente se harán otras 
consideraciones para el análisis de pérdidas. Por otra parte, la propagación de las ondas 
electromagnéticas se dará a lo largo del eje z. 
 
 
4.2 Definición modal 
 
En este apartado se hará el análisis del sistema de guía de onda que se estableció 
previamente, siguiendo el método descrito al final del apartado 2.2 y teniendo en cuenta las 
consideraciones hechas en la sección 2.3. 
 
 
4.2.1 Anális is del campo TM 
 
La función que describe la onda TM en coordenadas cartesianas es la siguiente: 
 43 











−










=
a
ypsen
a
xqsen
a
yqsen
a
xpsenEz
ππππ (4.1) 
 
Esta solución proviene de la resta de dos soluciones para una membrana cuadrada con los 
índices invertidos. Cabe mencionar que existen ciertas restricciones para que se cumpla, y 
son que p y q deben ser números enteros, p debe ser mayor que q y ambos deben ser pares o 
impares al mismo tiempo. 
 
Al aplicar condiciones de frontera se tiene que kc debe valer: 
 
22 qp
a
k c +=
π ; p > q = 1, 2, 3… (4.2) 
 
Solucionando para esta geometría particular. La onda tiene número de onda 
c
k
ω
λ
π
==
2
. 
 
Se continúa con el paso 2 del proceso para obtener otras constantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.2 Definición de β . 
 
 
22
ckk −=β (4.3) 
 
Cálculo de las componentes transversales eléctricas: 
 
 (0 para TM) 
( )
y
H
k
j
x
E
k
yxE z
c
z
c
x
∂
∂
−
∂
∂
−=
→
22
,
ωµβ
 
 
 
 44 
 (0 para TM) 
( )
x
H
k
j
y
E
k
yxE z
c
z
c
y
∂
∂
+
∂
∂
−=
→
22
,
ωµβ
 
 
Solucionando: 
 

















−










−=
a
xq
a
yp
sen
a
q
a
xp
a
yq
sen
a
p
k
E
c
x
ππππππβ
coscos2 
(4.4) 
 

















−










−=
a
yp
a
xq
sen
a
p
a
xq
a
xp
sen
a
q
k
E
c
y
ππππππβ
coscos
2
 
(4.5) 
 
Cálculo de las componentes transversales magnéticas: 
 
 (0 para TM) 
( )
x
H
ky
E
k
jyxH z
c
z
c
x ∂
∂
−
∂
∂∈
= 22,
βω
 
 (0 para TM) 
( )
y
H
kx
E
k
jyxH z
c
z
c
y ∂
∂
−
∂
∂∈
−= 22,
βω 
 
Solucionando: 
 

















−










−=
a
yp
a
xq
sen
a
p
a
xq
a
xp
sen
a
q
k
H
c
x
ππππππβ
coscos
2
 
(4.6) 
 

















−










−=
a
xq
a
yp
sen
a
q
a
xp
a
yq
sen
a
p
k
H
c
y
ππππππβ
coscos2 
(4.7) 
 
 
Finalmente, los campos eléctrico y magnético total quedan determinados por: 
 
^^^
zEyExEE zyx ++=
→
 (4.8) 
 
^^
yHxHH yx +=
→
 (4.9) 
 45 
Donde: 
 











−










=
a
ypsen
a
xqsen
a
yqsen
a
xpsenEz
ππππ 
 

















−










−=
a
xq
a
yp
sen
a
q
a
xp
a
yq
sen
a
p
k
E
c
x
ππππππβ
coscos2 
 

















−










−=
a
yp
a
xq
sen
a
p
a
xq
a
xp
sen
a
q
k
E
c
y
ππππππβ
coscos
2
 
 

















−










∈=
a
yp
a
xq
sen
a
p
a
xq
a
xp
sen
a
q
k
j
H
c
x
ππππππω
coscos
2
 
 

















−










∈−=
a
xq
a
yp
sen
a
q
a
xp
a
yq
sen
a
p
k
j
H
c
y
ππππππω
coscos
2
 
 
 
4.2.2 Análisis del campo TE 
 
La función que describe la onda TE en coordenadas rectangulares es la siguiente: 
 











+










=
a
yp
a
xq
a
yq
a
xp
H z
ππππ
coscoscoscos (4.10) 
 
 
Solucionando para esta geometría particular. La onda tiene número de onda 
λ
π2
=k . 
 
Se continúa con el paso 2 del proceso ya conocido para obtener otras constantes: 
 
22
ckk −=β 
 
Cálculo de las componentes transversales magnéticas: 
 
 (0 para TE) 
( )
x
H
k
j
y
E
k
jyxH z
c
z
c
x
∂
∂
−
∂
∂∈
=
→
22
,
βω
 
 
 
 46 
 (0 para TE) 
( )
y
H
k
j
x
É
k
jyxH z
c
z
c
y
∂
∂
−
∂
∂∈
−=
→
22
,
βω
 
 
Solucionando: 
 

















+










=
a
yp
a
xq
sen
a
q
a
yq
a
xp
sen
a
p
k
j
H
c
x
ππππππβ
coscos
2 (4.11) 
 

















+










=
a
yp
sen
a
xq
a
p
a
yq
sen
a
xp
a
q
k
j
H
c
y
ππππππβ
coscos
2
 (4.12) 
 
 
Cálculo de las componentes transversales eléctricas: 
 
 (0 para TE) 
y
H
k
j
x
E
k
E z
c
z
c
x ∂
∂
−
∂
∂
−=
22
ωµβ
 
 (0 para TE) 
x
H
k
j
y
E
k
E z
c
z
c
y ∂
∂
+
∂
∂
−=
22
ωµβ
 
 
 
Solucionando: 
 

















+










=
a
yp
sen
a
xq
a
p
a
yq
sen
a
xp
a
q
k
jE
c
x
ππππππωµ
coscos
2
 (4.13) 
 

















+










−=
a
yp
a
xq
sen
a
q
a
yq
a
xp
sen
a
p
k
jE
c
y
ππππππωµ
coscos
2
 (4.14) 
 
 
Finalmente, el campo eléctrico total queda determinado por: 
 
^^
yExEE yx +=
→
 (4.15) 
 
^^^
zHyHxHH zyx ++=
→
 (4.16) 
 
Donde: 
 47 
 

















+










=
a
yp
sen
a
xq
a
p
a
yq
sen
a
xp
a
q
k
jE
c
x
ππππππωµ
coscos
2
 
 

















+










−=
a
yp
a
xq
sen
a
q
a
yq
a
xp
sen
a
p
k
jE
c
y
ππππππωµ
coscos2 
 

















+










=
a
yp
a
xq
sen
a
q
a
yq
a
xp
sen
a
p
k
j
H
c
x
ππππππβ
coscos
2 
 

















+










=
a
yp
sen
a
xq
a
p
a
yq
sen
a
xp
a
q
k
j
H
c
y
ππππππβ
coscos
2
 
 











+










=
a
yp
a
xq
a
yq
a
xpH z
ππππ coscoscoscos 
 
 
4.3 Distribuciones modales 
 
En las siguientes figuras se muestran las componentes de campo en la guía de onda, en el 
caso ideal, para los primeros cinco modos de propagación TE y TM. Para dichos fines, se 
tomó un triángulo con lado iguala 1. Cabe menc ionar que en el caso de los modos TM, Hz 
siempre tiene un valor de cero; y para el caso de los modos TE, Ez siempre toma valor de 
cero. 
 
 48 
 
Figura 4.3 Componentes del campo TM para el modo p=3, q= 1. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, 
e)Hy, f) Hz. Nótese que Hz= 0. 
 
Figura 4.4 Campos transversal eléctrico y magnético para el modo TM con p=3, q=1. a) y 
b) Campo transversal eléctrico y diagrama vectorial, c) y d) Campo transversal magnético y 
diagrama vectorial. 
 49 
 
Figura 4.5 Componentes del campo TM para el modo p=4, q= 2. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, 
e)Hy, f) Hz. Nótese que Hz= 0. 
 
Figura 4.6 Campos transversal eléctrico y magnético para el modo TM con p=4, q=2. a) y 
b) Campo transversal eléctrico y diagrama vectorial, c) y d) Campo transversal magnético y 
diagrama vectoria l. 
 50 
 
Figura 4.7 Componentes del campo TM para el modo p=5, q= 1. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, 
e)Hy, f) Hz. Nótese que Hz= 0. 
 
Figura 4.8 Componentes del campo TM para el modo p=5, q= 3. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, 
e)Hy, f) Hz. Nótese que Hz= 0. 
 
 51 
 
Figura 4.9 Componentes del campo TM para el modo p=6, q= 2. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, 
e)Hy, f) Hz. Nótese que Hz= 0. 
 
Figura 4.10 Componentes del campo TE para el modo p=3, q= 1. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, 
e)Hy, f) Hz. Nótese que Ez= 0. 
 
 
 52 
 
Figura 4.11 Campos transversal eléc trico y magnético para el modo TE con p=3, q=1. a) y 
b) Campo transversal eléctrico y diagrama vectorial, c) y d) Campo transversal magnético y 
diagrama vectorial. 
 
Figura 4.12 Componentes del campo TE para el modo p=4, q= 2. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, 
e)Hy, f) Hz. Nótese que Ez= 0. 
 53 
 
Figura 4.13 Campos transversal eléctrico y magnético para el modo TE con p=4, q=2. a) y 
b) Campo transversal eléctrico y diagrama vectorial, c) y d) Campo transversal magnético y 
diagrama vectorial. 
 
Figura 4.14 Componentes del campo TE para el modo p=5, q= 1. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, 
e)Hy, f) Hz. Nótese que Ez= 0. 
 54 
 
Figura 4.15 Componentes del campo TE para el modo p=5, q= 3. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, 
e)Hy, f) Hz. Nótese que Ez= 0. 
 
Figura 4.16 Componentes del campo TE para el modo p=6, q= 2. a)Ex, b)Ey, c)Ez, d)Hx, 
e)Hy, f) Hz. Nótese que Ez= 0. 
 
 
 
 
 
 55 
Capítulo 5 
 
5. Análisis de pérdidas en la guía de onda 
 
5.1 Análisis de pérdidas 
 
Repasando lo visto anteriormente, de acuerdo a la teoría de perturbación clásica de primer 
orden, la constante de atenuación α para un cierto modo de propagación queda dado por: 
 
dSHZ
dlHZ
P
P
trans
S
wave
g
l
wall
T
L
2
2
tan
2
1
2 →
→
∫
∫
==α (5.1) 
 
Donde: 
 
σ
ωµ
2
=wallZ ; 







∈
=
=
=
0ω
β
β
ωµ
TM
TE
wave
Z
Z
Z 
 
σ = conductividad del metal 
µ = permeabilidad del metal 
∈0 = permitividad del vacío 
 
Primero se desarrollará el cálculo de la constante de atenuación para los modos TM 
y posteriormente para los TE. 
 
 
5.1.1 Cálculo de pérdidas para los modos TM 
 
En primer lugar se tiene que: 
 
σ
ωµ
β
ω
2
∈
=
wave
wall
Z
Z 
 
Factor que puede ponerse fuera de la integral, por lo que la constante de atenuación queda 
expresada como: 
 
 56 
dSH
dlH
trans
g
l
2
2
tan
22 →
→
∫ ∫
∫∈
=
σ
ωµ
β
ω
α 
 
En donde: 
 
2
22
2
22 




 +−




=−= qp
ac
kk c
πω
β 
 
Debido a la complejidad de los cálculos, se trabajan por separado las partes superior e 
inferior de la constante. 
 
Por una parte se trabaja la integral de abajo que es más sencilla: 
 
[ ]∫ ∫∫ ∫ +=→ dxdyHHdxdyH yxtrans 22
2
 
 
 
Donde: 
 
2
4
22
2
coscos

















−










=
a
yp
a
xq
sen
a
p
a
yq
a
xp
sen
a
q
k
e
H
c
x
ππππππω
 
 
2
4
22
2
coscos

















−










=
a
xq
a
yp
sen
a
q
a
xp
a
yq
sen
a
p
k
e
H
c
y
ππππππω 
 
De esta manera, la integral de abajo resulta: 
 
 57 
 
 
Por otra parte, se tiene que la integral de arriba está dada por: 
 





 +=
→→
∫
^^
tan
2
tan yHxHHdondedlH yxgg 
 
Para poder integrar, se necesita calcular los diferenciales de línea. Para lo cual se establece 
que: 
 
 
Figura 5.1 Diferenciales de línea para la integración. 
 
Donde: 
^
1 xdxdl =
→
 
 
^
2 ydydl −=
→
 
 
dxyxdl





 +−=
→ ^^
3
2
1 
 58 
Para calcular gH tan
→
, el orden de integración será: 
 
 
Figura 5.2 Trayectoria de integración. 
 
Por lo que: 
 
∫∫∫∫
→→→→
++=
3
2
tan
2
2
tan
1
2
tan
2
tan dlHdlHdlHdlH gggg 
 
[ ] [ ] dyHdxHHdxHdlH
x
a
y
xay
a
yx
ya
xg
00
2
0
22
0
0
2
2
tan
22
=−==
→
∫∫∫∫ +















++= 
 
Cálculos para los cuales se tiene que las funciones evaluadas toman los valores: 











−




∈=
= a
xqsen
a
p
a
xpsen
a
q
k
H
c
yx
ππππω
20
 
 
( ) ( )









 −





−


 −





∈=
−= a
xap
a
xq
sen
a
p
a
xaq
a
xp
sen
a
q
k
H
c
xayx
ππππππω
coscos2 
 
( ) ( )









 −





−


 −





∈=
−= a
xap
sen
a
xq
a
q
a
xaq
sen
a
xp
a
p
k
H
c
xayy
ππππππω
coscos2 
 
( ) ( )





 −
∈
=
=
π
π
π
πω
psen
a
q
qsen
a
p
k
H
c
yx 20
 
 
 
Realizando las sustituciones y manejo algebraico adecuado, finalmente se obtiene la 
ecuación que determina el factor de atenuación, la cual es: 
 
 59 
 
(5.2) 
 
5.1.2 Cálculo de pérdidas para los modos TE 
 
En primer lugar se tiene que: 
 
σ
ωµ
β
ω
2
∈
=
wave
wall
Z
Z
 
 
Factor que puede ponerse fuera de la integral, por lo que la constante de atenuación queda 
expresada como: 
 
dSH
dlH
trans
g
l
2
2
tan
22 →
→
∫ ∫
∫∈
=
σ
ωµ
β
ω
α 
 
En donde: 
22
22
3
4





−




=−= m
ac
kk c
πωβ 
 
Debido a la complejidad de los cálculos, se trabajan por separado las partes superior e 
inferior de la constante. 
 60 
Por una parte se trabaja la integral de abajo que es más sencilla: 
[ ]∫ ∫∫ ∫ +=→ dxdyHHdxdyH yxtrans 22
2
 
 
 
Donde: 
 
2
4
2
2 coscos

















+










=
a
yp
a
xq
sen
a
q
a
yq
a
xp
sen
a
p
k
H
c
x
ππππππβ
 
 
2
4
2
2
coscos

















+










=
a
yp
sen
a
xq
a
p
a
yq
sen
a
xp
a
q
k
H
c
y
ππππππβ
 
 
De esta manera, la integral de abajo resulta: 
 
 
 
 
Por otra parte, se tiene que la integral de arriba, como en el caso TM, está dada por: 
 





 +=
→→
∫
^^
tan
2
tan yHxHHdondedlH yxgg 
 
Para poder integrar, se necesita utilizar los diferenciales de línea calculados para el caso 
TM (figura 5.1), y el orden de integració n será el mismo de la figura 5.2. 
 
Por lo que: 
 61 
∫∫∫∫
→→→→
++=
3
2
tan
2
2
tan
1
2
tan
2
tan dlHdlHdlHdlH gggg 
 
[ ] [ ] dyHHdxHHdxHHdlH
x
a
zy
xay
a
zx
ya
zxg
00
22
0
22
0
0
22
2
tan
22
=−==
→
∫∫∫∫ ++





+++= 
 
 
Cálculos para los cuales se tiene que las funciones evaluadas toman los valores: 
 











+




=
= a
xq
sen
a
q
a
xp
sen
a
p
k
H
c
yx
ππππβ
20
 
 





+




=
= a
xq
a
xp
H
yz
ππ
coscos
0
 
 
( ) ( )









 −





+


 −





=
−= a
xap
a
xq
sen
a
q
a
xaq
a
xp
sen
a
p
k
H
c
xayx
ππππππβ
coscos
2
 
 
( ) ( )









 −





+


 −





=
−= a
xap
sen
a
xq
a
p
a
xaq
sen
a
xp
a
q
k
H
c
xayy
ππππππβ
coscos2 
 
( ) ( )



 −





+


 −





=
−= a
xap
a
xq
a
xaq
a
xp
H
xayz
ππππ
coscoscoscos 
 











+




=
= a
yp
sen
a
p
a
yq
sen
a
q
k
H
c
xy
ππππβ
20
 
 
 





+




=
= a
yp
a
yq
H
xz
ππ
coscos
0
 
 
Realizando las sustituciones y manejo algebraico adecuado, finalmente se obtiene la 
ecuación que determinael factor de atenuación, la cual es: 
 
 62 
 
 
(5.3) 
 
5.2 Gráficas de atenuación 
 
En este apartado se incluyen las gráficas de atenuación para los primeros cinco modos TM 
y TE. Para obtenerlas se emplearon las ecuaciones 3.31 y 3.32. Hay que hacer notar que 
están normalizadas, es decir, en ellas a los parámetros a, ε, µ, σ, y c se les asignó valor 
unitario, dejando a α sólo en función de ω y de m. 
 
 
63 
 
Figura 5.3 Gráfica de atenuación para el modo TM con p = 3, q=1. 
 
Figura 5.4 Gráfica de atenuación para el modo TM con p = 4, q=2. 
 64 
 
Figura 5.5 Gráfica de atenuación para el modo TM con p = 5, q=1. 
 
Figura 5.6 Gráfica de atenuación para el modo TM con p = 5, q=3. 
 
65 
 
Figura 5.7 Gráfica de atenuación para el modo TM con p = 6, q=2. 
 
Figura 5.8 Gráfica de atenuación para el modo TE con p = 3, q=1. 
 
66 
 
Figura 5.9 Gráfica de atenuación para el modo TE con p = 4, q=2. 
 
Figura 5.10 Gráfica de atenuación para el modo TE con p = 5, q=1. 
 
67 
 
Figura 5.11 Gráfica de atenuación para el modo TE con p = 5, q=3. 
 
Figura 5.12 Gráfica de atenuación para el modo TE con p = 6, q=2. 
 68 
Capítulo 6 
 
6. Conclusiones y trabajo futuro 
 
6.1 Conclusiones 
 
Se llevó a cabo el análisis de las dos geometrías propuestas, es decir, de las guías de onda 
de sección transversal triangular equilátera y triangular isósceles. Para ambos casos, a partir 
de los campos semilla, se obtuvieron las ecuaciones que describen el comportamiento de 
las componentes transversales eléctricas y transversales magnéticas, tanto para los modos 
transversal magné tico como transversal eléctrico. Con las ecuaciones obtenidas se 
obtuvieron las gráficas de las distribuciones modales para los primeros cinco modos TM y 
TE. Dichas gráficas describen el comportamiento de las componentes de campo al interior 
de la guía para cada uno de los modos. 
 
 Posteriormente se realizó el análisis de pérdidas para los modos TM y TE en ambas 
geometrías, así como la obtención de las curvas representativas. Sobre éstas últimas, cabe 
recalcar que se encuentran normalizadas y presentan un comportamiento típico. Dicho 
comportamiento consiste en que la función se indetermina para valores iguales o menores 
que kc, después se presenta un mínimo que corresponde al punto óptimo en el cual se 
presentan las menores pérdidas y gradualmente se incrementa su valor disparándose hasta 
infinito. Por último, las unidades de las pérdidas ilustradas en ellas son de decibeles /metro 
(dB/m). 
 
 
6.2 Trabajo futuro 
 
A modo de continuación de la investigación aquí presentada se deberían hacer los cálculos 
de las pérdidas en el resonador, como se plantea en [3] y [4]. 
 
Por otra parte, podrían analizarse sistemas de guía con secciones transversales 
triangulares diferentes a las analizadas. Por ejemplo, podría estudiarse el caso de un 
triángulo escaleno y/o un triángulo rectángulo. Toda vez realizados dichos análisis se podrá 
proceder a obtener una generalización de las ecuaciones que describan correctamente los 
campos y sus componentes dentro de la guía. 
 
 Finalmente, queda abierto el trabajo para que una vez realizados los estudios 
anteriores, se pueda proceder a establecer una comparación con otras geometrías y así 
definir las ventajas y/o desventajas con respecto a ellas en lo referente a la atenuación. 
 
 
 
 
 
 
 69 
Apéndice 
 
Factores de atenuación 
 
En este apartado se presentan nuevamente las ecuaciones obtenidas para la atenuación tanto 
para los modos TM como TE para ambas geometrías. Esto con la finalidad de que puedan 
apreciarse debidamente ya que son la parte más importante de este trabajo. 
 
 
 
 
 
 
 70 
 
 
 
 
Ecuación de pérdidas para los modos TM caso equilátero 
 
 
 
 
 
 71 
 
 
 
 
Ecuación de pérdidas para los modos TE caso equilátero 
 
 72 
 
 
 
Ecuación de pérdidas para los modos TM caso isósceles 
 73 
 
 
 
Ecuación de pérdidas para los modos TE caso isósceles
 74 
Referencias Bibliográficas 
 
 
 
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