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Universidad Virtual 
 
Escuela de Graduados en Educación 
 
 
“La modelación matemática como estrategia de enseñanza para el 
desarrollo de competencias matemáticas en el tema relación funcional” 
 
Tesis que para obtener el grado de: 
Maestría en Educación 
Presenta: 
Diana Paola Medina Cañas 
 
Asesor tutor: 
María Dhelma Rendón Saldívar 
 
Asesor titular: 
Dr. Ruth Rodríguez Gallegos. 
 
Tultitlán, México, México. Marzo, 2011 
 
ii 
 
Dedicatorias 
 
 
∗ A mis papás por su amor y comprensión. 
∗ A mis hermanos por todo su apoyo. 
∗ A Martín por su paciencia, tolerancia y cariño. 
∗ A Dios por darme salud y vida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii 
 
Agradecimientos 
 
∗ A las doctoras Ruth Rodríguez Gallegos y María Dhelma Rendón por su apoyo y 
orientación en la elaboración de esta tesis. 
∗ Al Tecnológico de Monterrey por aportarme los recursos necesarios para realizar 
este proyecto de investigación. 
∗ A las autoridades de la Escuela Secundaria 225 por permitirme aplicar mi estudio 
de campo, brindándome las facilidades necesarias para el mismo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iv 
 
Tabla de contenidos 
 
Resumen….………………………………...……………………………...….......... 1 
Capítulo 1. Planteamiento del Problema………………………..……………..…… 2 
Marco contextual….………..………………….……………….…………...... 2 
Antecedentes del problema………………...………………………………… 4 
Antecedente institucional…………………………..………………… 4 
Antecedentes teóricos………………...………………………………  6 
Planteamiento del problema………….………………………………………. 7 
Objetivos de la investigación….…………………..……………….………… 8 
Justificación de la investigación………………………………………...…… 9 
Limitaciones……………...………………………..…………………………. 10 
Delimitaciones……………….………..…………..………………………..... 11 
Definición de términos……………………………………………………….. 12 
Conclusión capítulo 1……………………………………………..………….. 13 
 
Capítulo 2. Marco Teórico………...………………...……………………………... 
 
14 
La modelación matemática……..………………………………….…….…... 14 
La modelación matemática y el desarrollo de competencias matemáticas 14 
La necesidad de construir modelos matemáticos……………………… 18 
Fases del proceso cíclico de la modelación ………………………...…  19 
Modelación y tecnologías para la información y la comunicación.….... 25 
El proceso de modelación y su relación con las teorías del aprendizaje. 28 
El uso de la modelación para fines educativos.……………………….. 29 
La relación funcional como contenido matemático…..……………………… 31 
El conocimiento matemático……………..…………………………… 31 
El razonamiento proporcional……………………………………..…... 33 
La relación funcional…………………………….………………...…. 36 
La modelación matemática como estrategia de enseñanza para el desarrollo 
de competencias matemáticas de los contenidos curriculares……………….. 
 
39 
v 
 
Conclusión capítulo 2………………………………………………………… 44 
 
Capítulo 3. Metodología……………………...…………………………..………… 
 
46 
Método de investigación………………………………………...………….... 46 
Población y muestra……………...…………………………………….…….. 50 
Tema, categorías e indicadores de estudio…..………………………..……… 51 
Fuentes de información…………….……………………...………….……… 56 
Alumnos……………………………………………………………….. 56 
Profesor………………………………………………………………… 57 
Observador externo…………………………………………………… 57 
Técnicas de recolección de datos…..……………...…...…………………….. 57 
Aplicación de instrumentos…….……………………………………..……… 59 
Prueba piloto……………...…………….………………...…………... 59 
Secuencia de aplicación de instrumentos……………………………... 60 
Captura y análisis de datos…………………………………………………… 66 
Conclusión del capítulo 3…………………………………………………….. 68 
 
Capítulo 4. Análisis de Resultados……………….……….…………………...…... 
 
70 
Presentación y Análisis de Resultados………….………………………….... 70 
Resultados sobre la categoría del desarrollo de competencias a través de la 
modelación matemática como estrategia de enseñanza…...……………….. 
 
72 
Interacción con el asunto ………….…….....…………….……............. 72 
Construcción matemática…………….…….……….………..……….. 75 
Modelo matemático……...…………..…….………………..………… 88 
Resultados sobre la categoría: Competencias matemáticas desarrolladas con 
el tema relación funcional…………………………………………………… 
 
92 
Aprendizaje del contenido matemático……….……………………….. 92 
Implicación de conocimientos matemáticos……...…………………..... 96 
Desarrollo de competencias matemáticas……...………………...…….. 102 
Conclusión del capítulo 4……………………………………..……………… 104 
 
vi 
 
Capítulo 5. Conclusiones.…………......…………………….………………..…….. 106 
Sobre las preguntas de investigación……………….…...………………….... 106 
Alcances e implicaciones del estudio……………..………………………..… 112 
Recomendaciones……………………………………..……………………… 112 
Referencias………………………….…………………………..………………….. 114 
Currículum vitae……………………………………………….…………….……... 120 
Apéndices……………………………………………………….………………….. 121 
Apéndice A. Formato de ejercicio de evaluación.………….………………... 122 
Apéndice B. Formato de diario de Campo………….……………………….. 125 
Apéndice C. Formato de guión de observación………….…………………... 126 
Apéndice D. Formato de rúbrica para evaluar competencias de modelación 
matemática y competencias matemáticas………….………………………… 
 
128 
Apéndice E. Formato de entrevistas………….……………………………… 132 
Apéndice F. Plan de clase del profesor 134 
Apéndice G. Cuadro de triple entrada para la triangulación de datos 136 
 
 
vii 
 
Índice de figuras 
Figura 1. Ejercicio 53 de la prueba de ENLACE 2009……………………............ 5 
Figura 2. Proceso de modelación matemática en el aula según Biembengut y Hein 
(1997)…………………………………………………………………………. 22 
Figura 3. La vinculación de los ejes, manejo de la información y pensamiento 
algebraico, para la enseñanza de la relación funcional……………………………... 37 
Figura 4. Fases de la ingeniería didáctica (Artigue, 1995)………………………... 48 
Figura 5. Proceso metodológico: fases y sub-fases de la investigación basada en la 
ingeniería didáctica de Artigue……..…………………………………………… 49 
Figura 6. Diseño del proceso de modelación matemática en el aula……………... 61 
Figura 7. Proceso de modelación que debe seguir los alumnos………………….. 61 
Figura 8. Proceso de modelación para la enseñanza de “la relación funcional”… 66 
Figura 9. Ejemplo de formato para la triangulación de datos…………………….. 68 
Figura 10. Conceptos del alumno E6K escritos en su reporte…………………….. 79 
Figura 11. Construcción de la fórmula del equipo E5……………………………... 83 
Figura 12. Intento del equipo E7 por encontrar la fórmula en Excel……………… 83 
Figura 13. Trabajo terminado en la Hoja de cálculo Equipo E5………………….. 85 
Figura 14. Trabajo terminado en la Hoja de cálculo Equipo E4…………………... 86 
Figura15. Problema del equipo…………………………………………………… 90 
Figura16. Problema planteado por el E1 ..………………………………………… 90 
Figura 17. Gráfica poligonal lineal…….…………………………………………… 95 
Figura 18. Respuestas de los alumnos sobre el C.A – P5…………………………... 97 
Figura 19. Gráfico de barras de tres tipos………………………………………… 99 
Figura 20. Demostración de los modelos construidos por los alumnos…………... 101 
Figura 21. Tipos de modelos matemáticos………………………………………... 103 
 
 
viii 
 
Índice de Tablas 
Tabla 1. Categoría 1 “El desarrollo de competencias a través de la modelación 
matemática como estrategia de enseñanza”………………………………………… 53 
Tabla 2. Categoría 2. “Competencias matemáticas desarrolladas durante la 
enseñanza de la relación funcional”………………………………………………... 55 
Tabla 3. Cronograma sobre la aplicación de los instrumentos……………………... 61 
Tabla 4. Comprensión del problema (Entrevista, pregunta 2)…………………….. 73 
Tabla 5. Descripción de la situación matemática………………………………….. 73 
Tabla 6. Descripción sobre proceso de búsqueda de información…………………. 76 
Tabla 7. Manejo de los conceptos clave…………………………………………... 78 
Tabla 8. Comprensión de términos……………..………………………………… 81 
Tabla 9. Respuestas de los alumnos sobre la relación entre los datos del problema 
y los términos matemáticos que permitieron plantear lahipótesis………………… 82 
Tabla 10. Reportes de los alumnos, equipos E6, E5 y E4. ……………………..….. 87 
Tabla 11. Argumentación sobre las soluciones de la situación extra-matemática…. 89 
Tabla 12. Aplicación de la fórmula y= kx……………….………………................. 91 
Tabla 13. Aprendizaje adquirido por los alumnos…………………………………. 93 
Tabla 14. Respuesta a la pregunta 3 y pregunta 12 de la entrevista para los 
alumnos…………………………………………………………………………… 94 
Tabla 15. Tipo de relación funcional que establecen los alumnos con la situación 
planteada en el C.A…………………………………………………………………. 95 
Tabla 16. Competencias matemáticas identificadas en la enseñanza del tema 
relación funcional”…………………………………………………………………. 112 
 
 
1 
 
 
Resumen 
 
 
El objetivo de esta investigación fue identificar aquellas competencias matemáticas que 
los alumnos de primer grado de secundaria desarrollan durante el proceso de modelación 
matemática en la enseñanza del tema “relación funcional”. El estudio surge de la 
necesidad de desarrollar competencias matemáticas en alumnos de secundaria, para lo 
cual se estudia en el marco teórico emplear la modelación matemática como estrategia de 
enseñanza que permita cumplir con el objetivo arriba planteado. Por lo tanto, la pregunta 
de investigación fue la siguiente: ¿Qué competencias matemáticas desarrollaron los 
alumnos de primer grado de secundaria durante la enseñanza de la “relación funcional”, 
mediante el proceso de modelación matemática? La metodología de estudio utilizada fue 
la ingeniería didáctica pero desde un enfoque meramente cualitativo, para lo cual se usó 
el método de estudio de tipo exploratorio. 
 
Los resultados arrojados de la investigación permiten identificar competencias 
matemáticas como: el razonamiento y la interpretación, la representación, la 
comunicación, el uso del lenguaje simbólico, la construcción de modelos matemáticos, la 
colaboración y el aprendizaje permanente y el uso de herramientas y materiales de apoyo 
para el aprendizaje. Sobre ésta última, se reconoce la utilidad del uso de la hoja 
electrónica de cálculo para favorecer el desarrollo de las competencias arriba 
mencionadas, pero especialmente de la que tiene que ver con la construcción de modelos 
matemáticos. 
 
 
2 
 
Capítulo 1. Planteamiento del problema. 
 
El presente capítulo tiene la finalidad de describir los antecedentes que originaron 
la investigación acerca del uso de la modelación matemática como estrategia de 
enseñanza para aprender el tema de la relación funcional como contenido matemático y 
desarrollar las competencias matemáticas que requieren los alumnos de primer grado de 
secundaria. En este mismo apartado se describen los objetivos y la justificación del 
estudio realizado, así como las limitaciones y delimitaciones del mismo. Por último, se 
muestran las definiciones de los conceptos que se trabajaron durante este proyecto de 
investigación. 
 
1.1. Marco contextual 
 
Tras los avances y las grandes trasformaciones que han dejado a su paso la 
inclusión de la ciencia y la tecnología en el mundo actual, la necesidad de la escuela por 
satisfacer las exigencias de la sociedad se vuelve una prioridad para la misma. Sin 
embargo, en países en desarrollo como México, la tarea de estar al nivel competitivo de 
otras naciones no es una situación fácil de sobrellevar, mucho menos cuando el contexto 
sociocultural impide el avance educativo de las instituciones. 
 
Este es el caso de la escuela secundaria en donde se llevó a cabo esta 
investigación, la cual está ubicada en una de las colonias con un nivel socioeconómico 
bajo del municipio de Cuautitlán Izcalli, en el Estado de México. Esta institución es de 
carácter público, por lo que esta subsidiada por la Secretaria de Educación Pública (SEP) 
del Gobierno del Estado de México. 
 
Dentro del campo administrativo, cuenta con una organización completa -una 
directora, un subdirector, una secretaria escolar, seis orientadores y veinticinco profesores 
horas clase-, y una matrícula de 350 alumnos inscritos (ciento treinta en primero, ciento 
quince en segundo y ciento cinco en tercero), con un promedio de 30 a 35 alumnos por 
grupo. 
3 
 
Académicamente, la escuela y por consiguiente los docentes, han tenido que 
esforzarse no sólo por mejorar el bajo nivel educativo de los alumnos, sino también por 
evitar que los problemas socioculturales como la pobreza -en la mayoría de casos-, el 
pandillerismo, el abandono, la desintegración familiar, los abusos sexuales, el 
alcoholismo y la drogadicción, sigan afectando el desempeño de los estudiantes y la 
dinámica de la escuela. Por lo que a pesar de la escasez de recursos económicos, las 
autoridades buscan estrategias para la recaudación de fondos económicos que permitan ir 
mejorando la infraestructura de la escuela con recursos educativos tecnológicos. Es así 
como en el ciclo escolar 2009-2010 se implementó, en los dos talleres educativos, la 
modalidad de “educación tecnológica” como un camino para que el alumno aprenda los 
conocimientos básicos de los sistemas computacionales. 
 
Actualmente, cada taller cuenta con nueve computadoras -dieciocho en toda la 
escuela- para trabajar con los alumnos; sin embargo, no se les ha dado el uso adecuado 
debido a que, de los cuatro docentes que imparten el taller, solamente dos cuentan con los 
conocimientos básicos sobre la programación de los ordenadores. Además es de 
considerar que el uso de estas computadoras es exclusivo de las clases de estas materias, 
por lo que los únicos recursos tecnológicos que existen, y que los docentes pueden 
utilizar en la escuela, son un proyector y una computadora portátil, que son usados para 
ver películas en materias como biología, educación estatal, química e inglés. Aunque ese 
uso únicamente es para la trasmisión de videos, sin considerarse que el uso de la 
tecnología es un medio que favorece el aprendizaje en los alumnos si se usa de manera 
adecuada (McFarlane, 2003). 
 
En el campo del estudio de las matemáticas, se ha de mencionar que los maestros 
encargados de impartir la asignatura, nunca han usado la tecnología para tales fines, e 
incluso las formas de enseñanza se siguen caracterizando por ser meramente conductistas. 
Y aunque a raíz de las nuevas reformas educativas implementadas desde el 2006 se 
pretendió modificar los métodos de enseñanza de esta área, aun no se logra cubrir las 
necesidades educativas de la institución. 
 
4 
 
1.2. Antecedentes del problema. 
 
1.2.1 Antecedente institucional 
 
Como se había mencionado en el apartado anterior, la secundaria electa para este 
estudio, se ha caracterizado por el bajo nivel académico que tienen los alumnos, el cual se 
ve reflejado en los resultados de las pruebas nacionales e internacionales como la 
Evaluación Nacional del Logro Académico de los Centros Escolares (ENLACE) y el 
Proyecto Internacional para la Producción de Indicadores de Rendimiento de los 
Alumnos (PISA). 
 
Ambas pruebas tiene un objetivo en común: medir, de manera objetiva y 
estandarizada, los conocimientos y habilidades adquiridas en el nivel básico 
(Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos, OCDE, 2006; SEP, 
2009). Por una parte, ENLACE permite identificar las fortalezas y debilidades de las 
áreas básicas de la educación, como español y matemáticas, con la finalidad de mejorar y 
buscar áreas de oportunidades de mejora en la calidad educativa de nuestro país. Mientras 
que la prueba PISA, sirve como una herramienta para que los gobiernos fortalezcan sus 
sistemas educativos, ya que su sistema de evaluación está enfocado a valorar el desarrollo 
de competencias –principalmente la lectora y la matemática- (OCDE, 2006). De esta 
manera, ambas pruebas se han convertido en el medidor de los avances educativos de las 
instituciones de niveles básicos como primaria y secundaria de nuestro país, lo que a su 
vez hapermitido que la comunidad educativa de cada plantel pueda construir proyectos 
educativos para la mejora académica institucional. 
 
En los últimos cinco años, esta secundaria llegó a ocupar los últimos lugares a 
nivel estado en las pruebas de ENLACE, obteniendo un desempeño de “insuficiente”, 
sobre todo en el área de matemáticas. Los resultados obtenidos de las pruebas en el 2009, 
primer año en el que la prueba se aplica a los tres grados, muestran que uno de los 
contenidos que los alumnos menos dominan tiene que ver con los temas de “manejo de la 
información” y “significado y uso de las literales”. 
5 
 
El ejercicio que se muestra en la figura 1, es un ejemplo de cómo los alumnos 
presentan dificultades para resolver problemas de cálculos proporcionales directos, 
especialmente para establecer la relación funcional que se da entre los datos. Este 
ejercicio fue propuesto en la evaluación de ENLACE 2009, la idea era que el alumno 
pudiera relacionar ambas variables para obtener de manera proporcional el dato faltante -
los kilos de azúcar-. 
 
53. Para preparar una clase de chocolate hay que 
comprar 3 kg de azúcar por cada 8 kg de cacao. 
¿Cuánta azúcar hay que comprar para 6, 15 y 
27 kg de cacao respectivamente? 
 
A) 1.33 kg, 1.875 kg y 3.375 kg 
B) 2.5 kg, 4.0 kg y 7.2 kg 
C) 2.25 kg, 5.625 kg y 10.125 kg 
D) 4.0 kg, 1.6 kg y 0.888 kg 
Figura 1. Ejercicio 53 de la prueba de ENLACE 2009. 
 
Según el análisis de los datos que arrojó la prueba, más del 70% de los alumnos 
no pudieron resolver este tipo de problemas relacionados a la proporcionalidad directa 
(SEP, 2009). En el reciente ciclo escolar (2009 – 2010), la titular encargada de la 
asignatura de matemáticas en primer grado, realizó un examen bimestral donde retomó el 
mismo ejercicio de ENLACE para valorar los conocimientos adquiriros en este período, 
resulta que éste problema no fue resuelto de forma adecuada por la mayoría de los 
alumnos, ya que más del 60% de estos ni siquiera pudieron establecer la relación 
funcional entre los kilos de azúcar y los kilos de cacao. 
 
López (2007), en su investigación sobre la diferencia entre ecuaciones y 
funciones, afirma que uno de los mayores conflictos que tiene el alumno para la 
comprensión de la proporcionalidad se debe a que éstos no logran identificar y relacionar 
las variables que se presentan en alguna situación. Asimismo el autor señala que uno de 
los temas que más trabajo les cuesta comprender a los estudiantes -incluso en el nivel 
superior- es el de funciones, un tema que en educación secundaria se encuentra inmerso 
6 
 
en el eje temático de “manejo de información” y que en el currículo de primer grado, se 
vincula con el subtema relación funcional, en donde uno de los objetivos principales es: 
 
Analizar en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas, y 
representar esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica. En 
particular la expresión de la relación de proporcionalidad y=kx, asociando los 
significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación. 
(SEP, 2006, p. 52). 
 
De acuerdo con Bagni (2004) la relación funcional es el antecedente de la 
función, donde el sujeto debe relacionar las variables dependientes e independientes de 
manera unívoca. Es así como se visualiza la necesidad de emplear estrategias que 
permitan al alumno empezar a comprender el tema de función partiendo de la relación 
funcional, específicamente en la relación proporcional. 
 
1.2.2 Antecedentes teóricos 
 
Bruner (2005) considera que las personas reflexivas siempre han estado 
preocupadas por el enigma de cómo aplicar el conocimiento teórico a los problemas 
prácticos. Esto muestra una relación importante con las investigaciones que presentan 
Niss y Blum (2007b) quienes enfatizan la necesidad de aplicar las matemáticas en la 
realidad, una realidad llamada extra-matemática. Su análisis parte de la idea de hacer ver 
la aplicación de los modelos matemáticos en la vida real. Es así como se plantea una 
nueva forma de adquirir y desarrollar el conocimiento matemático: a través de la 
construcción de modelos que permitan representar diversas situaciones reales. 
 
A partir de estas afirmaciones, se han propuesto diversas investigaciones en donde 
se pueda aplicar la modelación matemática en el salón de clases (Biembengut y Hein, 
1997, Biembengut y Hein, 2004; Niss y Blum, 2007a; Blomhoj, 2004; Cordero, 2009; 
Henning H. y Keune M, 2009), ya que la consideran como un medio que puede permitir a 
los alumnos no sólo comprender los contenidos de la asignatura, sino construir nuevos 
aprendizajes y desarrollar competencias matemáticas. 
7 
 
Por lo anterior, en este trabajo se plantea la necesidad de definir una competencia 
matemática e identificar aquellas que son importantes que el alumno desarrolle para 
poder satisfacer sus necesidades dentro de su mundo (PISA; 2006). Así, mientras que en 
los planes y programas de estudio que promueve el Sistema Educativo Mexicano (SEM) 
se identifican cuatro competencias básicas; por su parte PISA promueve y evalúa el 
desarrollo de ocho sub-competencias indispensables para que el alumno pueda ser un 
individuo competente en su medio. Por lo que éstas últimas fueron retomadas para la 
realización de este trabajo de investigación. 
 
 
1.3. Planteamiento del problema. 
 
Aunque dentro del campo pedagógico existen diversas metodologías que orientan 
la práctica del docente, es difícil encontrar estrategias que permitan al profesor cumplir 
con los fines educativos que la sociedad actual demanda, que es el desarrollo de 
competencias. En la escuela secundaria en donde se realizó el estudio, esta situación se 
torna más difícil, específicamente en la enseñanza de las matemáticas, pues a pesar de las 
nuevas reformas y orientaciones didácticas que se promueven en los programas de 
estudio en educación matemática (SEP, 2006a), los docentes aún no logran desarrollar las 
competencias matemáticas básicas en los alumnos, lo cual, se ve reflejado en 
evaluaciones nacionales e internacionales. 
 
Según Méndez y Cordero (2009) una de las causas del bajo rendimiento es que 
sigue habiendo una gran separación entre la escuela y el entorno del individuo. Villa y 
Ruiz (2009) consideran que esta situación se da debido a que los docentes no aplican el 
enfoque resolutivo funcional de manera adecuada, dejando que los alumnos resuelvan 
problemas descontextualizados a su entorno. Por consiguiente se siguen llevando a cabo 
prácticas educativas que hacen que el estudiante aprenda los contendidos matemáticos de 
forma fragmentada y sin conexión. Lo que implica que conceptos como el de “función”, 
sean difíciles de aprender. 
 
8 
 
Bajo este análisis, Biembengut y Hein (1997) consideran que un medio para 
lograr de forma eficiente la enseñanza de las matemáticas, es llevar a cabo el proceso de 
modelación matemática como método de enseñanza en las escuelas formales. Sin 
embargo, aunque la modelación matemática es un tema de investigación que ha tenido 
relevancia desde décadas atrás, en México prácticamente es nulo su conocimiento en las 
escuelas secundarias. 
 
Así mismo, aunque internacionalmente existen investigaciones que hablan sobre 
el uso de la modelación matemática en el aula (Blomhoj, 2009; Niss y Blum, 2007; 
Biembengut y Hein, 2004; Villa, 2007, Villa y Ruiz, 2009), se desconoce alguna que 
permita orientar al docente de secundaria en la aplicación de este proceso como estrategia 
de enseñanza para lograr el aprendizaje del tema “Relación funcional”, así como las 
aportaciones de estudios que permitan identificar las competencias matemáticas que se 
desarrollan durante este proceso. 
 
Por esta razón el presente estudio intentó responder a la pregunta: ¿Cuáles fueron 
las competencias matemáticas que desarrollaron los alumnos de primer grado de 
secundariadurante la enseñanza de la “relación funcional”, mediante el proceso de 
modelación matemática? 
 
1.4. Objetivos de la investigación 
 
El objetivo de este estudio fue identificar las competencias matemáticas que los 
alumnos de primer grado de secundaria lograron desarrollar a través de la enseñanza del 
tema “relación funcional” mediante la modelación matemática como estrategia de 
enseñanza. 
 
Específicamente este proyecto de investigación pretendió: 
 
9 
 
a) Conocer las competencias matemáticas que los alumnos de primer grado de 
secundaria desarrollaron en cada paso de la modelación matemática como 
estrategia de enseñanza. 
 
b) Conocer las competencias matemáticas que los alumnos de primer grado de 
secundaria desarrollaron durante la enseñanza de la relación funcional 
 
 
1.5 Justificación de la investigación 
 
Esta investigación como ya se había mencionado pretendió conocer la influencia 
que tiene el desarrollo de la modelación matemática en las aulas como estrategia de 
enseñanza para adquirir aprendizajes de contenidos matemáticos y desarrollar 
competencias matemáticas durante el proceso. Por lo tanto estuvo basada en las 
investigaciones realizadas por Bambiengut y Hein (2004) sobre el proceso de modelación 
matemática como estrategia de enseñanza. Las competencias a observar fueron tomadas 
de aquellas que propone PISA (OCDE, 2006), debido a que son las que el Sistema 
Educativo Mexicano (SEM) promueve dentro de los planes de estudio de la educación 
básica. Se aclara que el interés surge debido a que el escenario para el desarrollo de dicha 
investigación fue una escuela secundaria. 
 
La investigación fue realizada en una escuela secundaria pública de México, en la 
que se observó la necesidad de mejorar la calidad educativa de la institución -
específicamente del área de matemáticas-, la cual es evaluada a través de pruebas 
estandarizadas a nivel nacional e internacional en las cuales se mide el desarrollo de 
competencias adquiridas por los alumnos en cada grado escolar. 
 
En la asignatura de Matemáticas, los últimos resultados arrojados de la prueba 
nacional ENLACE, confirmaron que los estudiantes de la escuela secundaria en donde se 
realizó el estudio, necesitan la adquisición de los contenidos básicos en los tres ejes que 
maneja el currículo de este nivel educativo: sentido numérico y pensamiento algebraico 
10 
 
(SN y PA); forma espacio y medida (FE y M); y, manejo de la información (MI). De 
éstos, se hizo énfasis en el análisis del tercer eje, manejo de información, debido a que a 
un porcentaje elevado de los alumnos de primero de secundaria se les dificulta resolver 
problemas de proporcionalidad directa. 
 
Esto generó una necesidad pedagógica de modificar las prácticas de enseñanza 
implementando estrategias que permitan alcanzar los objetivos educativos de la materia 
(matemáticas), los cuales están encaminados al desarrollo de competencias matemáticas. 
Por lo tanto, al investigar ¿cuáles fueron las competencias matemáticas que desarrollaron 
los alumnos de primer grado de secundaria durante la enseñanza de la “relación 
funcional”, mediante el proceso de modelación matemática?, se pretendió que la 
comunidad docente - principalmente- conociera una metodología innovadora y eficiente 
que le permitiera mejorar el desempeño académico de los alumnos, generando con ello no 
sólo el logro de aprendizajes significativos y el desarrollo de competencias – 
matemáticas-, sino también la mejora en la calidad educativa que ofrece la institución a 
la comunidad. 
 
El desarrollo de esta investigación también pretendió ampliar el conocimiento 
acerca de las competencias matemáticas que los alumnos pueden desarrollar a través del 
tratamiento del tema “relación funcional” mediante la modelación matemática como 
estrategia de enseñanza. Ya que, aunque se sabe que la modelación matemática permite el 
logro de competencias matemáticas, no se especifica cuáles de estas se pueden desarrollar 
a través de la enseñanza del tema de relación funcional. 
 
 
1.7 Limitaciones y delimitaciones 
 
1.7.1 Limitaciones 
 
Las limitaciones de este proyecto de investigación fueron dos. La primera fue el 
tiempo para llevar a cabo el trabajo en el campo, ya que el número de sesiones 
11 
 
disponibles para realizar el estudio fueron seis. La segunda limitación fue con respecto a 
la metodología, pues al ser una investigación de observación participativa, el tiempo 
necesario para el análisis tanto durante y después del proceso de enseñanza se realizó 
después de cada sesión. 
 
1.7.2 Delimitaciones 
 
Para lograr un estudio más sistematizado y delimitado, este trabajo se abordó en 
dos temáticas principales, por un lado la modelación matemática como estrategia de 
enseñanza para el desarrollo de competencias matemáticas; y por el otro, la relación 
funcional como contenido matemático a través del cual el alumno puede desarrollar 
competencias matemáticas. 
 
Por otra parte, como proyecto de investigación a realizar en el aula, se contempló 
que el tema abordado para el desarrollo del estudio -que es relación funcional-, de 
acuerdo con los planes y programas de estudio de la Secretaria de Educación Pública 
(SEP), requiere un determinado número de sesiones para su enseñanza por lo que la 
investigación en el campo de estudio se limitará a diez sesiones. Así mismo, se aclara que 
debido a que el contenido matemático a estudiar sólo se encuentra en el currículo 
matemático de primer grado de secundaria, la selección de la muestra de población se 
delimitó a alumnos de secundaria que estuvieran cursando este grado. 
 
Por último, se aclara que debido a que se pretendió que este estudio profundizará 
en la identificación de competencias matemáticas desarrolladas por los alumnos, la 
investigación se desarrolló a través de una metodología de enfoque cualitativo. Así, el 
estudio contempló la planeación docente a través del proceso de modelación matemática, 
el planteamiento de la situación problemática con la que el grupo trabajará para iniciar 
con el proceso de modelación matemática, la obtención de resultados, y la verificación de 
los aprendizajes adquiridos y de las competencias desarrolladas. 
 
 
12 
 
1.8 Definición de Términos 
Competencia matemática: capacidad de los alumnos para analizar, razonar y comunicarse 
eficazmente cuando plantean, formulan, resuelven e interpretan problemas matemáticos 
en diversas situaciones” (OCDE, 2006, p. 74). 
Competencia de modelación matemática: es el conjunto de capacidades, habilidades, 
actitudes que el individuo utiliza para realizar el proceso de modelado (Henning H. y 
Estrategia: operación particular, práctica o intelectual, de la actividad del profesor o de 
los alumnos, que complementa la forma de asimilación de los conocimientos que 
presupone determinado método (Pimienta, 2007, p. 24). 
Estrategia de enseñanza: son procedimientos o recursos utilizados por el agente de 
enseñanza para promover aprendizajes significativos. (Díaz, 1999, p.70) 
Expresiones matemáticas: producto de modelos que permiten al ser humano comprender 
y explicar el comportamiento de determinada situación (Biembengut y Hein, 2004). 
Keune M., 2009). Es la capacidad de realizar los procesos que intervienen en el 
interpretación y la investigación de modelos matemáticos (Niss y Blum, 2007). 
Modelo: conjunto de representaciones, símbolos y relaciones matemáticas que traducen, 
de alguna manera, un fenómeno en cuestión o un problema realista (Biembengut y Hein, 
2004; Trigueros, 2006). 
Modelación matemática: método de enseñanza. Proceso involucrado en la obtención de 
un modelo matemático (Biembengut y Hein, 2004, p. 106) 
Modelaje matemático: “el proceso involucrado en la obtención de un modelo…que 
permite conjugar las matemáticas con la realidad” (Biembengut y Hein, 1997, p. 2). Se 
distingue de modelación debido aque esta última es el método que utiliza la esencia del 
modelaje en cursos regulares, con programa, (Biembengut y Hein, 1997, p. 6). 
13 
 
Razonamiento proporcional: habilidad del pensamiento desarrollado en la etapa de las 
operaciones formales, según Piaget (Ormrod, 2005) y que contempla el conocimiento de 
las relaciones que se dan entre dos cantidades. 
 
 
1.9 Conclusión del capítulo 1 
 
Este capítulo abordó la necesidad de estudiar el desarrollo de competencias 
matemáticas a través de la modelación matemática como estrategia de enseñanza para la 
adquisición de contenidos matemáticos, especialmente de la “relación funcional” como 
subtema que antecede al concepto de “función”. En este apartado, se especificó que de 
acuerdo con el currículo educativo, el tema de “relación funcional” fue abordado a través 
de casos de proporcionalidad directa, por esta razón el planteamiento del problema surgió 
porque los alumnos presentaron dificultades en comprender la relación funcional que 
existen entre dos variables. 
 
La justificación de la realización de este estudio se dio porque los docentes en las 
escuelas secundarias desconocían la aplicación de la modelación matemática como un 
medio para favorecer aprendizajes de los contenidos matemáticos. Además, se consideró 
que el estudio podría lograr aportar al campo de investigación educativa una forma de 
saber cómo se desarrolla la modelación matemática para comprender la relación 
funcional matemática. Así mismo se dio a conocer cuáles fueron los alcances educativos 
esperados de esta aplicación identificando las competencias matemáticas que pueden 
desarrollarse a través de este proceso. El sustento teórico de dicha investigación se 
muestra en el siguiente capítulo. 
14 
 
Capítulo 2. Marco Teórico 
 
El presente capítulo tiene como objetivo analizar las diversas teorías inmersas en 
el campo de la educación y que se enfocaron al estudio del tema central de esta 
investigación que es: “La modelación matemática como estrategia de enseñanza para el 
desarrollo de competencias matemáticas en el tema relación funcional”. Para el desarrollo 
de este capítulo fue necesario abordar el tema en dos partes, la primera considerando la 
modelación matemática como una estrategia de enseñanza que permite desarrollar 
competencias matemáticas. Y la segunda, analizar la relación funcional como un 
contenido matemático que permite el desarrollo de competencias matemáticas. 
Así, en un primer momento, se describen aquellos estudios o investigaciones que 
permitieron realizar un análisis sistemático sobre las teorías y perspectivas más relevantes 
acerca de los dos constructos: a) la modelación matemática, y b) la relación funcional 
como contenido matemático. Por último, en un segundo momento se aborda en forma de 
ensayo la importancia de la modelación matemática como estrategia de enseñanza para 
desarrollar competencias matemáticas, especialmente las que tienen que ver con el tema 
relación funcional como contenido matemático. 
 
2.1. La modelación matemática 
2.1.1 la modelación matemática y el desarrollo de competencias matemáticas 
 
Una característica de las matemáticas es que son utilizadas en diversas áreas del 
quehacer humano. Por esta razón nos vemos en la necesidad de adquirir todos los 
conocimientos matemáticos necesarios que permitan desenvolvernos dentro de nuestro 
entorno. Al respecto, Niss y Blum (2007) mencionan que la principal razón por la que se 
enseñan matemáticas en los niveles básicos de educación, es porque los alumnos deben 
ser capaces de utilizarlas en diversos contextos y situaciones fuera del aula. 
Bajo esta perspectiva, en la escuela secundaria se pretende que el alumno adquiera 
los conocimientos, habilidades y actitudes necesarias que le permitan comprender su 
entorno y resolver problemas de la vida real (Secretaria de Educación Pública (SEP), 
15 
 
1999), ya que se parte de la idea de que el aprendizaje de los contenidos matemáticos se 
adquiere a través de un enfoque resolutivo – funcional, a través del cual el alumno utilice 
“reglas, algoritmos, fórmulas y definiciones para solucionar problemas” (SEP; 2006b, 
11). La finalidad es que los estudiantes se involucren con las matemáticas y puedan 
comprender la importancia que éstas tienen para la humanidad (SEP, 1999). 
 
En México, de acuerdo con la SEP (1999), que es la institución encargada del 
sistema educativo nacional, la conceptualización sobre la enseñanza de las matemáticas y 
la aplicación del enfoque se ha modificado para adaptarse a las nuevas exigencias de la 
sociedad. Así, a partir de las nuevas evaluaciones realizadas por PISA, el Sistema 
Educativo Mexicano (SEM) tuvo que renovar sus métodos de enseñanza, que hasta 
entonces -en la práctica- seguían siendo meramente conductistas. Es así como en el año 
2006 una nueva reforma educativa en la educación secundaria (RES) se puso en marcha, 
la cual, también contemplaba para la enseñanza de las matemáticas un enfoque resolutivo 
funcional, sólo que en esta ocasión se adhería otro aspecto a considerar: el desarrollo de 
competencias matemáticas. 
 
Según Frade (2008a) países miembros de la Organización de las Naciones Unidas 
para la Educación, la Ciencia y la Cultura (abreviado internacionalmente como 
UNESCO) analizaron y discutieron el tipo de educación que se recibía en las escuelas de 
nivel básico concluyendo que la educación debía ser más eficaz y eficiente; y que la 
educación debía estar orientada a aprender a aprender, lo cual sólo se puede lograr 
mediante el desarrollo de competencias (Delors, 1996). 
 
Por tal razón, en México, la RES 2006 contempla una educación basada en 
competencias para la vida, definidas como las “capacidades adaptativas, cognitivas y 
conductuales que permiten responder adecuadamente a las demandas que se presentan en 
el entorno” (Frade, 2008b; López y Zariñán, 2007; y Garragori, 2006). Así, el desarrollo 
de competencias en el aula implica que el alumno se vuelva el actor principal del proceso 
educativo, dejando a un lado su rol de receptor pasivo para participar activamente dentro 
16 
 
de su aprendizaje. Mientras que el papel del docente es orientar y enseñarles a los 
estudiantes a lograr “aprender a aprender” (Monereo, 1998; Delors, 1996). 
 
Bajo este análisis, una primera cuestión a analizar sería ¿Qué hay que enseñar? En 
el caso de las matemáticas, según PISA (OCDE, 2006; OCDE; 2000; SEP, 2006b), se 
pretende enseñar a desarrollar habilidades y actitudes matemáticas que junto con la 
adquisición de conocimientos le permitan a los sujetos enfrentar y responder a 
determinados problemas reales de la vida cotidiana (SEP, 2006b). Por tal razón la 
enseñanza matemática se centra en desarrollar competencias matemáticas. 
 
PISA define una competencia matemática como: 
 
La capacidad del individuo para identificar y entender la función que desempeñan 
las matemáticas en el mundo, emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse con 
las matemáticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de 
los individuos como ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos 
(OCDE, 2006, p. 74). 
 
Lo que significa que lo que se busca dentro de la educación es desarrollar 
habilidades de pensamiento con el fin de otorgarle un valor funcional al conocimiento 
matemático de tal forma que éste pueda ser aplicarlo en diferentes situaciones y 
contextos. Así, para poder desarrollar la competencia matemática, hay que desarrollar 
otras capacidades, las cuales PISA reconoce como sub-competencias, y que considera son 
fundamentales que el sujeto adquiera (OCDE, 2006). Estas son: 
 
− Pensamiento y razonamiento. Comprender y saber manejar el alcance y los límites 
de los conceptos matemáticos que hagan al caso. 
− Argumentación. Crear y expresar demostraciones matemáticas. 
− Comunicación. Expresar de diversas maneras el contenido matemático,así como 
comprender las afirmaciones orales o escritas expresadas por otras personas sobre 
esas mismas materias. 
17 
 
− Construcción de modelos. Trabajar con modelos matemáticos; validar un modelo; y 
supervisar y controlar el proceso de construcción de modelos matemáticos. 
− Planteamiento y solución de problemas. Consiste en plantear y formular problemas 
matemáticos, así como la capacidad de resolver diversos tipos de problemas 
matemáticos de distintas maneras. 
− Representación. Tener la capacidad de descodificar, codificar, traducir, interpretar y 
distinguir distintas formas de representación de objetos y situaciones matemáticos. 
− Utilización de operaciones y lenguaje técnico, formal y simbólico. Descodificar e 
interpretar el lenguaje formal y simbólico; hacer uso de expresiones y afirmaciones 
que contengan símbolos y fórmulas; emplear variables, resolver ecuaciones y 
realizar cálculos. 
− Empleo de material y herramientas de apoyo. Conocer y saber emplear toda una 
serie de materiales y herramientas de apoyo que pueden contribuir a la realización 
de la actividad matemática. (OCDE, 2006, p. 101-102). 
 
Según PISA (OCDE, 2006) el desarrollo de todas estas competencias permite a 
los alumnos tener el conocimiento matemático necesario, y utilizarlo para resolver 
problemas en diversos contextos sociales y científicos. Por tal razón, los planes y 
programas de estudio contemplan dentro de su currículo la enseñanza y aprendizaje de los 
términos, los hechos, signos, símbolos, procedimientos y habilidades matemáticas 
necesarias para este fin. En los planes y programas de estudio de la RES 2006 -en campo 
de la asignatura de matemáticas-, se retoma la necesidad de desarrollar principalmente 
cuatro de las ocho sub-competencias básicas que propone PISA en su informe para la 
OCDE (2006). Estas son: resolución de problemas, argumentación, manejo de técnicas y 
comunicación (SEP, 2006b). 
 
Sin embargo, lo que se busca es lograr el fin educativo de toda institución que es 
que el alumno se vuelva una persona competente ante las necesidades del mundo actual, 
por lo que la mejor manera de educarlo es contemplando el desarrollo de todas las 
18 
 
capacidades cognitivas que favorezca su desarrollo integral; de esta manera no sólo se 
busca el desarrollo de unas cuantas competencias, sino de todas las capacidades 
necesarias que le permitan estructurar y utilizar eficientemente sus aprendizajes 
adquiridos, tal y como lo promueve PISA en sus informes de evaluación (OCDE, 2006). 
 
De acuerdo con PISA la mejor forma de lograr que el alumno haga funcional sus 
aprendizajes matemáticos es a través de la aplicación de éstos en su vida diaria (OCDE, 
2006). Por esta razón uno de los objetivos de la enseñanza de las matemáticas es que los 
sujetos puedan expresar a través de fórmulas matemáticas situaciones reales que les 
permita comprender la naturaleza de esta ciencia (SEP, 1999), lo cual se puede dar a 
través de la construcción de modelos matemáticos. 
 
2.1.2. La necesidad de construir modelos matemáticos 
 
Para Biembengut y Hein (2004, p. 4): “la matemática, con su arquitectura, permite 
la elaboración de modelos matemáticos, lo que posibilita una mejor compresión, 
simulación y previsión del fenómeno estudiado”. De acuerdo con estos autores, los 
modelos matemáticos permiten al ser humano comprender y explicar el comportamiento 
de determinada situación. Para PISA construir modelos matemáticos es tener la capacidad 
y habilidad para reflexionar, analizar, estructurar, criticar y comunicar un modelo y sus 
resultados (OCDE, 2006). Por esta razón, algunos teóricos consideran que la construcción 
de modelos matemáticos son una competencia matemática que todo individuo debe 
adquirir (Cordero, 2009; Henning y Keune, 2009). 
 
Para definir mejor el concepto de modelo se hizo un análisis a las diversas 
acepciones que ésta palabra tiene. Por un lado, el término modelo dentro del lenguaje 
común, se refiere a las representaciones de objetos, conductas o esquemas que se pueden 
imitar (Real Academia Española, 2009). Sin embargo, dentro del campo matemático 
dicha conceptualización engloba más que la simple imitación de algo. Dentro de las 
definiciones más certeras del concepto de modelo es la que da Niss y Blum (2007) 
definiendo un modelo –matemático- como un proceso que parte de situaciones reales o 
19 
 
extra matemáticas para construir modelos matemáticos que permitan representar 
determinados contextos. 
 
De forma general podemos definir un modelo matemático como un “conjunto de 
representaciones, símbolos y relaciones matemáticas que traducen, de alguna manera, un 
fenómeno en cuestión o un problema realista” (Niss y Blum, 2007b; Blomhoj, 2009; 
Biembengut y Hein, 2004; Trigueros, 2006). Los modelos matemáticos pueden ser 
representados mediante expresiones numéricas o fórmulas, diagramas, gráficos o 
representaciones geométricas, ecuaciones algebraicas, tablas o programas 
computacionales; siempre y cuando lleve una secuencia de pasos que le permitan al 
individuo expresarlo de manera adecuada (Biembengut y Hein, 2004). Esto es lo que Niss 
y Blum (2007b) expresan de la siguiente forma: “realidad → matemáticas”. 
 
Bajo esta lógica no sólo se habla de la construcción de un modelo, sino de un 
método sistematizado que permite obtener un producto (un modelo). A este proceso se le 
conoce como modelación matemática la cual es concebida como un proceso cognoscitivo 
que tiene que ser realizado para construir un modelo matemático partiendo de un 
problema o situación del contexto (Biembengut y Hein, 2004a; Biembengut y Hein, 1997, 
Niss y Blum 2007a; Villa, 2007; Camarena, 2009). Dicho proceso se desarrolla a partir 
de una serie de sub-procesos, los cuales teóricamente varían dependiendo el fin de la 
modelación. En este sentido hablamos de un proceso que involucra una secuencia cíclica 
de pasos (Villa, 2007; Blomhoj, 2004), la cual explicaremos en el siguiente apartado. 
 
2.1.3 Fases del proceso cíclico de la modelación 
 
Actualmente existen diferencias teóricas sobre los pasos que se deben seguir para 
la construcción de un modelo matemático partiendo de una situación extra-matemática 
(Biembengut y Hein, 2004; Niss y Blum, 2007a; Camarena, 2009, Rodríguez G., 2007; 
Villa, 2009, Blomhoj, 2004). Sin embargo quienes hacen una distinción entre el proceso 
de modelaje matemático y modelación matemática, enfatizando esta última como un 
proceso que puede aplicarse en el aula, son Biembengut y Hein (1997). 
20 
 
Esta autora considera que el modelaje matemático es “el proceso involucrado en 
la obtención de un modelo,…que permite conjugar las matemáticas con la realidad” 
(Biembengut y Hein, 1997, p. 2). Dicho proceso se da en tres etapas, cada una con 
determinadas sub-etapas: 
 
1. Interacción con el asunto 
a) Reconocimiento de la situación problema 
b) Familiarización con el asunto que va a ser modelo-investigación. 
2. Construcción matemática 
a) Formulación del problema-hipótesis 
b) Resolución del problema en términos del modelo. 
3. Modelo matemático 
a) Interpretación de la solución-convalidación. 
 
Dentro de la primera etapa (interacción con el asunto), se debe plantear la 
situación a analizar y hacer una investigación sobre la misma. En la segunda etapa 
(construcción matemática) se plantea la situación desde un enfoque matemático, es la 
“traducción de la situación real a lo abstracto” (Biembengut y Hein, 1997, p. 3), es en 
este espacio donde se construye el modelo que servirá para representar la situación 
planteada, para lo cual es necesario que los sujetos realicen las siguientes acciones: 
 
− Clasificar las informaciones (relevantes y no relevantes) identificando los 
hechos involucrados. 
− Decidir cuáles son los factores a ser perseguidos, planteando la hipótesis. 
− Generalizar y seleccionar variables relevantes. 
− Seleccionarsímbolos apropiados para dichas variables. 
− Describir las relaciones que se establezcan, en términos matemáticos 
(Biembengut y Hein, 1997, p. 5). 
Una vez que ya se construyó el modelo matemático, en la tercera etapa (modelo 
matemático), los individuos van a comprobar y validar dicho modelo. Y posteriormente 
publicar sus resultados. 
21 
 
Ahora, para que el modelaje matemático tenga el éxito esperado, además de 
desarrollarse bajo estas tres etapas, se debe tomar en cuenta a la persona que realizará 
este proceso, llamado modelador. De acuerdo con Biembengut y Hein (1997), éste debe 
ser experto en la construcción de modelos, y por ende, su experiencia sobre ello debe ser 
basta. El debe estar consciente, entre otras cosas, sobre la elección del tema a tratar y la 
situación que se desea modelar, así mismo de los tiempos a ocupar para la realización del 
proceso. En la educación, la persona experta en la construcción de modelos es el docente. 
 
En el caso de las escuelas regulares, como la educación secundaria, la 
accesibilidad de tiempos y elección de temas no es algo tan fácil de realizar debido a que 
dentro de la educación básica se enseña con base en un currículo ya establecido, es así 
como Biembengut y Hein (1997) han propuesto algunas modificaciones al proceso de 
modelaje matemático con el fin de adaptarlo a la enseñanza en el aula. Así al método que 
utiliza la esencia del modelaje en cursos regulares, con programa, se denomina 
modelación matemática. En el cual, el docente, para llevarlo a cabo, debe considerar: 
 
…el grado de escolaridad de los alumnos; el tiempo disponible que tendrán para el 
trabajo extra-clase; el programa a cumplir; la situación en que el profesor se 
encuentra, tanto en relación al conocimiento del modelaje, como al apoyo por parte 
de la comunidad escolar para implantar cambios. (Biembengut y Hein, 2004, p. 6). 
 
Estas consideraciones coinciden con lo que Niss y Bum (2007) dicen sobre la 
tarea del modelador -que en este caso es el docente- en el proceso de modelación 
matemática. Según estos investigadores, el aplicar la modelación matemática para el 
aprendizaje en el aula, implica que los alumnos cumplan con sus deberes y el docente 
realiza una planificación adecuada de las actividades que se desarrollarán. 
 
Es importante aclarar que la modelación cumple con la misma finalidad del 
modelaje, su diferencia estriba en la forma en cómo se desarrolla el proceso, ya que de 
acuerdo con Villa (2007, p. 71-72): 
 
La modelación matemática, más que una herramienta para construir conceptos, se 
convierte en una estrategia que posibilita el entendimiento de un concepto 
matemático inmerso en un “micromundo” (contexto dotado de relaciones y 
22 
 
significados) que prepara al estudiante para ir desarrollando una actitud diferente de 
preguntarse y abordar los problemas de un contexto real. 
 
Biembengut y Hein (2004) consideran que para poder utilizar la modelación 
matemática como una estrategia de enseñanza, el docente debe realizar el proceso en dos 
partes. Primero abordando los contenidos matemáticos a partir de modelos matemáticos 
que son aplicados a las diversas áreas del conocimiento. Segundo, orientando a los 
alumnos para que realicen de manera autónoma su proceso de modelación, el cual consta 
de la siguiente secuencia de pasos: justificación de proceso, elección del tema, 
formulación del problema, desarrollo de contenido programático, ejemplos análogos - 
fijación de conceptos; formulación de un modelo matemático y evaluación y 
convalidación de los resultados (Biembengut y Hein, 2004, p. 7). Este proceso puede 
visualizarse en el esquema de la figura 2. 
 
 
Figura 2. Proceso de modelación matemática en el aula según Biembengut y Hein (1997) 
23 
 
A continuación se describe de manera breve lo que, de acuerdo con Biembengut y 
Hein (2004), el docente y los alumnos deben desarrollar en cada una de estas fases de la 
modelación matemática. 
 
1) Justificación de proceso: el docente explica a los alumnos los contenidos 
matemáticos necesarios para el análisis de la situación a resolver. 
 
2) Elección del tema: el docente junto con los estudiantes van a enlistar aquellos 
temas cotidianos que se relacionen a los contenidos a aprender. En esta fase, es 
importante considerar la función mediadora y guía del docente para que los 
alumnos puedan lograr el aprendizaje deseado. 
 
3) Formulación del problema: el docente plantea una situación en la que los alumnos 
requieran desarrollar el contenido matemático. 
 
4) Desarrollo de contenido programático: el docente a través de preguntas sobre el 
tema electo, es quien guía a los alumnos al estudio del contenido a aprender. Y si 
es posible inicia el proceso dejando que los alumnos investiguen sobre los 
contenidos a abordar sobre el tema. 
 
5) Ejemplos análogos - fijación de conceptos: el docente debe hacer ver a través de 
ejemplos análogos, que los contenidos a aprender no sólo se utilizan para un 
determinado caso, sino en diversas áreas del quehacer y humano. 
 
6) Formulación de un modelo matemático: haciendo del conocimiento de los 
alumnos la relevancia de los contenidos y conceptualizando éstos para su mejor 
comprensión, propone a los alumnos la construcción de un modelo matemático 
que permita resolver la problemática planteada. 
 
Cabe mencionar que en este apartado Biembengut, y Hein (2004) hace énfasis en 
el uso de la tecnología como recurso para la construcción del modelo. Este 
24 
 
análisis se hará en el apartado “modelación y tecnologías para la información y la 
comunicación”. 
 
7) Evaluación y convalidación de los resultados: construido el modelo, hacer ver la 
importancia de validar el modelo, evaluando el resultado y aplicándolo en otras 
situaciones parecidas a la situación resuelta (Biembengut, y Hein, 1997, p. 109). 
 
Sobre este proceso matemático, es importante considerar que aunque no se 
menciona explícitamente, la modelación matemática no es lineal, sino cíclica; es decir, 
que dentro del proceso de validación del modelo los sujetos al confrontar resultados y no 
ser los esperados, pueden volver a empezar el proceso de construcción del modelo 
(Rodríguez G., 2007; Blomhoj, 2009; Niss y Blum (2007a). 
 
Por otra parte, como se analizó anteriormente, el proceso de modelación permite 
el desarrollo de determinadas competencias matemáticas como las propuestas por PISA o 
la SEP, y también el desarrollo de competencias que le permitan al sujeto realizar de 
manera eficiente el proceso de modelación. Así que al conjunto de capacidades, 
habilidades, actitudes que el individuo utiliza para realizar el proceso de modelado se le 
denomina como “competencia de modelación” (Cordero, 2009; Henning y Keune M., 
2009; Niss y Blum 2007), que de acuerdo con Niss y Blum (2007b, p. 12), implica – 
entre otras cosas- que el sujeto pueda: 
 
…identificar las cuestiones pertinentes, las variables, las relaciones o supuestos en 
un dada la situación del mundo real, para concretarlas en la matemática y de 
interpretar y validar la solución del problema matemático que resulta en relación a 
la situación dada, así como la capacidad de analizar y comparar dado modelos de 
investigación de los supuestos realizados, control de las propiedades de y el alcance 
de un determinado modelo…. 
 
Aunque también es necesario desarrollar otro tipo de competencias que 
favorezcan el proceso de modelación, como: la de representar los objetos matemáticos 
involucrados en una manera adecuada, el argumentar y justificar lo que se hace en la 
aplicación de las matemáticas, la ejecución de algoritmos matemáticos y la realización 
adecuada de los procedimientos (Niss y Blum, 2007). 
25 
 
 
Para finalizar, es importante considerar que dentro del desarrollo de competencias 
matemáticas implicadas en el proceso de modelación, también se encuentra la capacidad 
de usar adecuadamente tecnologíaque permita realizar correctamente este proceso, lo 
cual se explica en el siguiente apartado. 
 
2.1.4. Modelación y tecnologías para la información y la comunicación. 
La necesidad de utilizar tecnología educativa para la enseñanza de las 
matemáticas estriba en el hecho de que éstas actualmente son parte de la dinámica de la 
sociedad del conocimiento (Tejeda, 2000; McFarlane, 2003). Su uso es universal y aplica 
a todas las ciencias de la humanidad. Por eso el discurso acerca del uso de las tecnologías 
educativas en el sistema educativo ha sido de gran relevancia desde las últimas décadas 
hasta la actualidad, aunque eso implique cuestionarse ¿qué es la tecnología educativa?, 
¿cuál es su relevancia en el aprendizaje de los alumnos?, y ¿cómo el docente puede 
apoyarse de las tecnología para fomentar el interés y desarrollar competencias en los 
estudiantes? 
 
Actualmente la tecnología educativa es definida como “la planeación sistemática 
en la que se diseña, desarrolla y evalúa el proceso de enseñanza-aprendizaje a través del 
uso adecuado de un conjunto de recursos humanos y tecnológicos que conduzcan a una 
educación más eficaz” (De la Puente, 2007, p. 113). Su utilidad varía según la tarea que 
se pretende realizar, ya que pueden ser usadas como instrumentos para adquirir el 
conocimiento, aunque también como herramientas para la búsqueda y selección de 
información, sistematización de la información encontrada, representaciones gráficas y 
textuales de la información obtenida y realización de tareas cada vez con mayor grado de 
complejidad (Coll, 2008). Por esta razón las tecnologías educativas son consideradas 
como parte de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación (TIC). 
 
Las TIC dentro del campo educativo pueden utilizarse como auxiliares para la 
tarea del profesor o del alumno, como instrumentos de seguimiento del trabajo de los 
alumnos; o como instrumentos que permitan crear contextos educativos, ya sea de manera 
26 
 
individual o colectiva. Así, la necesidad de implementar las tecnologías educativas en el 
salón de clases se ha hecho presente desde décadas atrás, esta necesidad se ve reflejada en 
la publicación de libros y páginas web con gran cantidad de actividades que integran el 
uso de las TIC en el aula (Ávila, 2001). Esto conlleva al docente a replantear su práctica 
educativa, utilizando las tecnologías educativas de acuerdo a lo que pretende enseñar. 
 
Por otra parte, la Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de 
Educación Superior (ANUIES, 2004) da cuatro razones principales por las que se exige 
la introducción de tecnologías en el campo educativo. La primera es que éstas permiten 
enriquecer los procesos de enseñanza-aprendizaje; en segunda instancia, las tecnologías 
de la información y la comunicación constituyen una gran fuente de información y 
facilitan el acercamiento de los alumnos con la realidad. La tercera razón tiene que ver 
con la tendencia actual, en donde la cultura juvenil tiene más acceso al uso de estos 
medios; y por último, tienen una gran influencia en la transformación de los individuos y 
la sociedad. 
 
Con respecto a la asignatura de matemáticas el uso de la tecnología ha permitido 
trabajar temas como la geometría, el álgebra, la aritmética, la probabilidad y la 
estadística. Las investigaciones en esta área demuestran que el trabajo con las TIC 
favorece la visualización, estática y dinámica, de objetos matemáticos y la realización de 
cálculos complejos o tediosos son algunas de las ventajas que ofrecen los programas 
informáticos para las clases de matemáticas (Rosadilla, 2007; Raviolo, 2002; De la 
Puente, 2007). 
 
No obstante hay que tomar en cuenta que el software, como cualquier otro 
recurso, por sí mismo no desarrolla la competencia matemática, sino es el docente el 
encargado de utilizar este recurso de manera efectiva en función de las actividades y 
objetivos propuestos en clase. Dentro de los recursos que han favorecido la enseñanza de 
contenisdo matemáticos se encuentra la hoja electrónica de cálculo. 
 
27 
 
La hoja de cálculo, es un software de aplicación de tareas potencializador para la 
enseñanza de las matemáticas (Gándara, 1999) porque permite que a través de la 
representación de problemas (proceso de modelación matemática), se emplee el uso de 
fórmulas en cálculos matemáticos y la solución de diversos problemas (Raviolo, 2002). 
Dichos problemas deben ser realistas o contextualizados al entorno en el que vive el 
sujeto (Niss y Blum, 2007a; Biembengut y Hein, 2004; Trigueros, 2006); es decir, que 
pueden provenir de campos como los negocios, la ciencia, las matemáticas, las ciencias 
sociales, la ingeniería, la arquitectura y de otras disciplinas académicas. 
 
Raviolo describe la hoja de cálculo como: 
 
… un programa que al abrirlo muestra un formato de tabla, una matriz de celdas 
identificadas por una letra para cada columna (vertical) y por un número para cada 
fila (horizontal). Las dimensiones de las celdas son variables y pueden contener: 
números, letras o almacenar fórmulas matemáticas y mostrar su resultado numérico. 
También permiten visualizar la información en forma gráfica. En ellas se realizan 
secuencias de operaciones donde los datos pueden ser cambiados o estar enlazados 
a otros. Actúan como verdaderos programas sin necesidad que el usuario domine un 
lenguaje de programación. (2002, p. 100). 
Aunque se ha hablado de que actualmente la incorporación colectiva de diversos 
medios tecnológicos tiene una mayor probabilidad de generar conocimientos en los 
alumnos (Gutiérrez, 2002), no se debe perder de vista que los recursos utilizándolos 
adecuadamente -bajo una planeación bien estructurada- permiten también el logro de tal 
objetivo educativo. En el caso del uso de la hoja electrónica de cálculo, su función 
principal es la de organizar información para la resolución de problemas reales. Además 
permite el desarrollo de competencias como: la organización de información, la 
representación gráfica de la información, el uso de gráficas para la resolución de 
problemas, la identificación e interpretación de un conjunto de datos y la construcción de 
modelos matemáticos para la resolución de problemas (Raviolo, 2002). 
 
Con respecto a su uso en el proceso de modelación, siendo una de sus funciones la 
organización de la información, la interpretación de datos y la construcción de modelos 
matemáticos, la hoja de cálculo sirve como apoyo en la realización de las primeras fases 
de dicho proceso como en la conceptualización de la situación problemática, en la 
28 
 
estructuración del problema, y en la construcción del modelo matemático (Niss y Blum, 
2007, Rodríguez G., 2007, Houston, 2007). Especialmente este último que es la fase más 
importante del proceso de modelación, pues es en donde se realiza la construcción del 
modelo matemático, el proceso más relevante del aprendizaje del alumno. Lo que 
pedagógicamente y psicológicamente significa que es la parte en donde el alumno 
construye su propio conocimiento. Este tema se aborda en el siguiente apartado. 
 
2.1.5. El proceso de modelación y su relación con las teorías del aprendizaje. 
 
Ormrod (2005) define el aprendizaje como el cambio de conducta o de 
asociaciones mentales relativamente permanente, resultado de la experiencia adquirida 
por la vivencia de acontecimientos en la vida del sujeto; por su parte, García (2000) hace 
un análisis sobre la teoría de Piaget quien, consideraba que la mente humana era un 
complejo cognoscitivo, que como organismo biológico, se desarrolla dentro de dominios 
físicos, químicos, biológicos, sociales y económicos. Así todo lo que el sujeto adquiere a 
través de la interacción con los objetos de estos dominios le permiten estructurar 
cualquier información dentro de sus sistemas y subsistemas, propiciando un desequilibrio 
mental que origina una reestructuraciónde los esquemas mentales del sujeto, adquiriendo 
con este proceso nuevos conocimientos. 
 
Dentro de la perspectiva cognitiva y educativa -de acuerdo a Blomhoj (2009)-, la 
modelación matemática conlleva a que el sujeto, transforme, organice y reorganice sus 
conocimientos previos para introducir nuevos elementos en sus esquemas mentales y 
construir nuevos saberes una vez que se validó el modelo. La realización de este proceso 
puede llevarse a cabo cognitivamente ya que, de acuerdo con Piaget (1965, citado por 
García, 2000), el conocimiento mantiene una estructura organizada y esquematizada 
mediante un proceso llamado equilibración, a través del cual se acomodan los nuevos 
elementos (saberes) cognitivos en la estructura ya creada (Ormrod, 2005). Sin embargo, 
para que exista un proceso de equilibración el sistema mental del sujeto debe sufrir una 
reorganización causada por desestabilizaciones en su estructura mental. Este proceso 
surge cuando el sujeto, al momento de interactuar con su entorno adquiere nuevos 
29 
 
elementos observables y producidos por la “acción del sujeto” (García, 2000; Ormrod, 
2005). 
 
Ahora, la modelación matemática al ser considerada un ejercicio intelectual, se 
relaciona con la teoría piagetiana de sistemas porque dicho proceso parte de la idea de 
que el sujeto ya tiene elementos cognitivos (conocimientos matemáticos) para analizar y 
tratar de construir su modelo (Biembengut y Hein 2004). Así, durante la modelación, el 
individuo tendrá que interactuar con su entorno (medio físico) para construir y validar su 
modelo matemático que le permita solucionar un problema real. Además, al ser un 
proceso cíclico, le brinda la oportunidad de ir estructurando sus esquemas mentales, 
propiciando un desarrollo cognoscitivo que culminará nuevamente en un proceso de 
equilibración, esto será, una vez que el modelo es validado y publicado. 
 
Es importante mencionar que el análisis cognitivo que se realiza dentro de este 
marco teórico, es con la intención de dirigir esta investigación hacia el uso de la 
modelación dentro del proceso de aprendizaje de las matemáticas, enfocado a una 
perspectiva educativa en la que la modelación se puede considerar un “medio para 
desafiar y desarrollar la comprensión matemática de los estudiantes y sobre todo sus 
creencias básicas de matemáticas” (Blomhoj, 2009, p. 4). Por esta razón en el siguiente 
apartado se resalta la relevancia de utilizar la modelación como un medio para que los 
alumnos adquieran y comprendan los contenidos matemáticos. 
 
2.1.6. El uso de la modelación para fines educativos. 
 
En los últimos años la difusión del uso de la modelación matemática en el campo 
educativo ha generado importantes investigaciones que conciben este proceso como una 
gran oportunidad para que los alumnos resuelvan problemas mediante la construcción de 
modelos matemáticos y logren con ello, desarrollar habilidades y actitudes, y a su vez, 
adquieran los conocimientos necesarios para poder ser competentes en su medio 
ambiente. Según Houston (2007) desde los años 80´s se enfatizó la preocupación de 
implementar la modelación como una forma de hacer que los alumnos puedan aplicar 
modelos matemáticos partiendo de situaciones reales. Esta necesidad se ha hecho 
30 
 
presente en todas partes del mundo, incluso en países latinoamericanos ya hay planes y 
programas de estudio que incluyen dentro de su currículo el aprendizaje de la modelación 
matemática (Villa y Ruiz, 2009). 
 
De la misma forma, organizaciones internacionales han enfatizado la relevancia 
de la modelación como proceso para desarrollar competencias matemáticas (OCDE, 
2000; OCDE, 2006). Así, a partir del año 2000 se creó la organización PISA, el cual se 
encarga de evaluar el rendimiento académico de estudiantes de 15 años de edad con 
respecto a 3 competencias claves: comprensión lectora, matemáticas y ciencias. Este 
proyecto considera relevante la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas porque estas 
permiten el desarrollo científico y tecnológico de un país. Por lo tanto, sus estudios se 
enfocan a saber qué tanto los alumnos aplican lo aprendido en contextos reales, para lo 
cual contempla que el alumno, dentro de sus aprendizajes, haya desarrollado la 
competencia de resolución de problemas y construcción de modelos (OCDE, 2000, 
OCDE, 2006). 
 
Como hemos visto la resolución de problemas reales a través de la construcción 
de modelos para el aprendizaje de las matemáticas, implica practicar la modelación en el 
aula. De esta manera, la modelación matemática es concebida como una estrategia de 
enseñanza de las matemáticas (Biembengut, 2004), la cual cumple con una doble función. 
Por un lado proporciona a los estudiantes una mejor comprensión de los conceptos 
matemáticos (Blomhoj, 2004), demostrando a los estudiantes la aplicación de las 
matemáticas fuera del salón de clases, enriqueciendo y reforzando el papel que juegan 
las matemáticas en nuestra vida; ayudando a darle significado a las actividades 
curriculares de la materia, y logrando que los alumnos desarrollen competencias para 
interpretar y resolver situaciones problemáticas usando contendidos matemáticos (Niss y 
Blum, 2007a). 
 
Por otro lado, la modelación matemática también influye en las actitudes y 
creencias de los estudiantes, motivándolos e interesándolos en el estudio de las 
matemáticas (Villa, 2007; Niss y Blum 2007a), y favoreciendo la construcción de un 
31 
 
ambiente donde los estudiantes puedan desarrollar competencias claves (Delors, 1996). 
Por lo tanto, la aplicación de la modelación como estrategia de enseñanza favorece de 
distintas formas el desarrollo adecuado del proceso de enseñanza-aprendizaje de las 
matemáticas, de las cuales, que no se han mencionado, destaca el desarrollo de la 
habilidad para el manejo de tecnología en la construcción de modelos matemáticos 
(Biembengut y Hein, 2004). 
 
Con base en lo anterior, Raviolo (2002) considera importante el uso de la hoja de 
cálculo como una herramienta tecnológica que permite realizar representaciones y 
comparaciones cuantitativas, es así como este software puede utilizarse para la enseñanza 
de contenidos relacionados al concepto de función, el cual se ha de recordar que dentro 
del currículo educativo de secundaria su base se halla en el tema “relación funcional”. 
Siendo este último el constructo a desarrollar en el siguiente apartado. 
 
 
 
2.2. La relación funcional como contenido matemático 
 
2.2.1. El conocimiento matemático. 
 
En la actualidad el tema sobre el conocimiento no sólo es motivo de estudio de la 
filosofía, sino también de las ciencias cognitivas. Epistemológicamente y con base en la 
Teoría de los sistemas complejos de Piaget (1965, citado por García, 2000), podríamos 
definir el conocimiento como un sistema complejo basado en el desarrollo de los 
procesos cognitivos como la equilibración, abstracción y generalización que permiten 
construir estructuras organizadas de los hechos observables como resultado de la 
interacción del sujeto con su medio (llamado por Piaget, material empírico). 
 
De acuerdo con esta teoría, el desarrollo del conocimiento implica un proceso 
cognitivo que parte de la interacción del sujeto hacia con su medio ambiente, en donde 
adquiere material empírico -hechos observables- el cual es acomodado dentro de las 
estructuras mentales del sistema cognitivo del sujeto mediante los procesos de 
equilibración y reestructuración (García, 2000). 
32 
 
Aplicado a la educación, el desarrollo del conocimiento surge cuando el alumno 
realiza diversas tareas que implican interactuar con determinados objetos (físicos o 
simbólicos) que le permitirán reestructurar sus conceptualizaciones que tenía sobre los 
mismos, construyendo nuevas teorías mentales (García, 2000; Meece, 2000). Este 
proceso se visualiza dentro del quehacer matemático cuando se invita alos estudiantes a 
construir sus propios saberes partiendo del análisis de una situación conflictiva que 
genere una inestabilidad en los esquemas mentales del sujeto, propiciando que éste 
busque los elementos necesarios para lograr realizar el proceso de equilibración y 
reestructuración de su sistema cognitivo. 
 
Lo anterior visualiza la relación epistemológica y cognitiva que se da durante el 
proceso de enseñanza y aprendizaje dentro del aula. Sin embargo, el mismo Piaget (1965, 
citado por García, 2000) menciona, que el desarrollo de los procesos cognitivos de 
nuestros sistemas surge de manera gradual conforme la interacción y el desarrollo del 
sistema biológico del sujeto así lo permita. Este proceso de interacción, genera 
modificaciones importantes en el sistema complejo del sujeto, propiciando que se 
distingan cuatro etapas de modificaciones estructurales en la mente del mismo (Meece, 
2000; García, 2000, Ormrod; 2005). Esta explicación fue desarrollada en la Teoría del 
desarrollo cognoscitivo de Piaget, en la que se expone la forma en la que se desarrolla el 
conocimiento en los niños a través de cuatro etapas: sensorio-motora, preoperacional, de 
operación concretas y la de las opresiones formales. 
 
Así, la construcción de conocimientos por parte del sujeto inicia desde que éste 
viene al mundo en la cual el individuo empieza a percibir los objetos que puede observar; 
a esta etapa se le conoce como sensorio-motora. Posteriormente sigue la etapa pre-
operacional, en la que el sujeto desarrolla las capacidades lingüísticas que permiten la 
reestructuración de sus esquemas mentales, sin embargo su pensamiento aun no está 
maduro, por el contrario, se caracteriza como ilógico. 
 
El desarrollo cognoscitivo en la etapa tres, que corresponde a las operaciones 
concretas, permite al sujeto ir formalizando sus procesos mentales, a través del 
33 
 
pensamiento lógico, aunque éste solo lo aplica en casos concretos y observables. Por 
último, la cuarta etapa que plantea Piaget, es la etapa de las operaciones formales, que se 
caracteriza por que a partir de los once años de edad, el individuo ya ha desarrollado su 
pensamiento formal, logrando un avance en su capacidad para razonar de manera 
abstracta, hacer inferencias de forma inductiva y deductiva, y desarrollar la habilidad para 
plantear y comprobar hipótesis, que lo conllevan a la elaboración de sus propias 
conclusiones (Ormrod, 2005, Meece, 2000). 
 
Es en esta etapa en donde se desarrollan diversas habilidades cognitivas como la 
abstracción, la deducción, la inducción, la resolución de problema, formulación de 
hipótesis, construcción de modelos matemáticos y el razonamiento proporcional. De 
todas estas, este trabajo hizo énfasis en las investigaciones realizadas acerca del 
razonamiento proporcional pues es la base para el aprendizaje de los temas relacionados 
al estudio de las relaciones funcionales. 
 
2.2.2. El razonamiento proporcional 
 
Anteriormente se había dicho que Piaget al formular su teoría sobre el desarrollo 
cognoscitivo del sujeto, dividió su estudio en cuatro etapas de desarrollo: la sensorio-
motriz, la preoperacional, la concreta y la de operaciones formales. De acuerdo con esta 
teoría, los estudiantes de secundaria se encuentran en la cuarta etapa, de la operaciones 
formales, en el cual se conjuga una serie de acontecimientos (biológicos, cognitivos y 
emocionales) que le permiten al sujeto reestructurar sus esquemas cognitivos y ampliarlos 
con base a la información obtenida del exterior (Puente, 2003). Es así como el niño 
comienza a desarrollar un “sistema coherente de lógica formal” (Meece, 2000, p. 115), el 
cual está caracterizado por cuatro tipos de pensamiento: la lógica proposicional, el 
razonamiento científico, el razonamiento combinatorio y el razonamiento sobre 
probabilidades y proporciones (Meece, 2000). Este último estrechamente relacionado a 
las matemáticas. 
 
Diez-Palomar (2007, p.156) define el razonamiento proporcional como “un 
procedimiento cognitivo que todas las personas utilizamos para comparar cosas a nuestro 
34 
 
alrededor “...es un proceso en el que intervienen diversos elementos como la creación de 
unidades nuevas, relación entre dos cantidades y la regla de tres”. El razonamiento 
proporcional es tan relevante dentro del desarrollo cognitivo del sujeto, que Piaget e 
Inhelder realizaron diversos estudios para explicar y analizar la forma en cómo se 
desarrolla el razonamiento proporcional en los sujetos (Ruiz y Lupiáñez, 2009; Ruiz y 
Valdemoros, 2006; Rodríguez y Pérez.; 2003). Con estos estudios, Piaget logró 
identificar dos tipos de pensamiento: el cuantitativo y el cualitativo (Meece, 2000), 
concluyendo que el sujeto desde temprana edad, adquiere la identidad cualitativa antes 
que la cuantitativa, debido a que “la noción de proporción empieza siempre de una forma 
cualitativa y lógica antes de estructurarse cuantitativamente” (Ruiz y Valdemoros, 2006, 
p. 3). 
 
Retomando los estudios hechos por Piaget e Inhelder, Ruiz y Valdemoros (2006) 
hacen una distinción entre el pensamiento proporcional cualitativo y cuantitativo de los 
sujetos. Considera que el desarrollo del razonamiento proporcional se da de manera 
gradual y de manera lógica, el cual inicia con el proceso cualitativo a través de dos 
categorías: comparaciones e intuiciones empíricas, que son expresadas de forma verbal. 
Después, expone que hay una etapa de transición entre el pensamiento cualitativo y 
cuantitativo, en el cual la acción del sujeto se enfoca al “orden” de forma comparativa, 
pero sin llegar a hacerlo en cantidad (de manera simbólica). Por último, cuando el sujeto 
comienza a hacer reflexiones y abstracciones al momento de comparar dos o más 
cantidades y es capaz de expresar esta relación entre cantidades, hablamos de que el 
sujeto empezó a desarrollar el razonamiento cuantitativo proporcional. Es por esta razón 
que Piaget e Inhelder consideran que el razonamiento proporcional se desarrolla en forma 
dentro de la etapa de las operaciones formales, logrando a través de éste la producción de 
hipótesis (Ruiz y Lupiáñez, 2009) y la expresión simbólica de la relación existente entre 
una comparación de cantidades inmersas en una determinada situación. Lo que 
actualmente se denomina razón matemática. 
 
Por su parte, Rodríguez y Pérez (2003), mencionan que el desarrollo del 
razonamiento proporcional (de lo cualitativo a lo cuantitativo) depende de la etapa en la 
que se encuentre el sujeto. Por lo que, en las etapas sensorio-motora y preoperacional, los 
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sujetos usan su razonamiento proporcional para hacer comparaciones generales como 
“mayor que” o “menor que”. En la etapa de operaciones concretas, el sujeto comienza a 
hacer comparaciones aditivas e inicia con el uso de la razón. Mientras que en la etapa de 
las operaciones formales el sujeto ya es capaz de establecer relaciones entre cantidades y 
expresarlas de forma abstracta. Sin embargo, la investigación (Ruiz y Valdemoros, 2009; 
Díaz De León, J.; Soto, M., Martínez A., 2007; García, 2007) ha mostrado que son pocos 
los alumnos que tienen la habilidad para usar el razonamiento proporcional de manera 
adecuada, tanto en situaciones cotidianas como en situaciones de aprendizaje escolar. 
 
En la enseñanza, el razonamiento proporcional es una habilidad cognitiva que se 
utiliza para la enseñanza-aprendizaje de contenidos vinculados con relaciones y 
comparaciones cuantitativas, tales como la razón, la proporción y la función. Según 
García M. (2007) y Díaz de León (2007) uno de los mayores problemas que presentan 
los alumnos al aprender y resolver problemas relacionados al razonamiento proporcional 
es el de comparar y relacionar dos cantidades estudiadas en una determinada situación, 
sobre todo cuando se pretende expresar la relación existente entre dos variables para 
analizar o predecir