Uso do software Derive no ensino de Cálculo Vetorial

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USO DEL SOFTWARE DERIVE COMO AUXILIAR DIDÁCTICO 
PARA LOS PROCESOS DE ENSEÑANZA Y DE APRENDIZAJE EN 
EL CALCULO VECTORIAL. 
Proyecto de Implantación 
Presentado por 
VICTOR HUGO ZALAPA MEDINA 
Ante la Universidad Virtual del 
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey 
como requisito para obtener el título de 
MAESTRO EN EDUCACIÓN CON 
ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICAS 
Mayo de 2002 
INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY . . 
CA:MPUSTOLUCA 
ACTA DE EXAMEN Y AUTORIZACIÓN DE LA EXPEDICIÓN 
DE GRADO ACADÉMICO 
085 
Los suscritos, miembros del jurado calificador del examen de grado sustentado hoy 
por Víctor Hugo Zalapa Medina 
en opción al grado académico de 
Maestro en Educación con especialidad en Matemáticas 
hacemos constar que el sustentante resultó APROBADO POR UNANIMIDAD. 
El jurado calificador estuvo integrado por: 
Mtra. Elizabeth Ann Wolzak Marcucci, Presidente: 
Mtro. Armando Lozano Rodríguez, Sinodal 1. 
Mtro. Marco Antonio Serrato García, Sinodal 2. 
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: ,, . . ._ _, .. .. 
Hago constar que el sustentante, de acuerdo con documentos contenidos en su 
expediente, ha cumplido con los requisitos de graduación, establecidos en el 
Reglamento Académico de los programas de graduados del Campus Toluca. 
Expídase el grado académico mencionado, con fecha 28 de mayo de 2002. 
_jJ. 1. :'ti,, 
Ing. Lilián Nazheli Escamilla Hinojosa 
Director de Servicios Escolares 
Toluca, Edo. de México, a 21 de mayo de 2002. 
DEDICATORIAS 
A mi esposa Carmelita. 
Por que con su paciencia y amor me ayudó de mil maneras a realizar este 
proyecto, pero principalmente por que en lo más complicado y confuso del 
proceso, me iluminó el camino con el nacimiento de nuestro primogénito: Daniel 
Emiliano, a quien también dedico el presente trabajo. A los dos los amo. 
A mis padres Gladys y Daniel, así también, a mi hermana Yunuen. 
Por su inmenso cariño y por transmitirme su anhelo continuo de superación 
profesional y de docencia, además, por inculcarme las bases de una gran familia. 
Con todo esto tan valioso he llegado hasta aquí, y como ellos, seguiré por más. 
A tres grandes Profesores, mi abuela Esperanza y mis abuelos 
Perfecto y Alberto. 
Que con su entrega y cariño a la docencia en una trayectoria de más de cincuenta 
años recorrida por cada uno de ellos, me he ganado el preciado ejemplo de sus 
actitudes, logros y experiencias para desempeñar con vehemencia mi práctica 
docente. 
A mis Maestros de la Universidad Virtual del ITESM. 
Quienes día con día marcaban la pauta con ideas, conocimientos, apoyos y 
consejos siempre significativos e insustituibles durante todo el proceso de la 
Maestría en Educación. Maestra Elizabeth Wolzak: Mil gracias, lo logramos. 
lll 
RESUMEN 
"USO DEL SOF1WARE DERIVE COMO AUXILIAR DIDÁCTICO EN LOS 
PRECESOS DE ENSEÑANZA Y DE APRENDIZAJE EN EL CALCULO 
VECTORIAL". 
MARZO DEL 2002 
VICTOR HUGO ZALAPA MEDINA 
INGENIERO EN ELECTRÓNICA 
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MORELIA 
DIRIGIDA POR: MTRA. ELIZABETH ANN WOLZAK MARCUCCI 
El presente trabajo se realizó ante el requerimiento de contar con un 
recurso que tenga como usuario final al docente y al alumno en la materia de 
Cálculo Vectorial, particularmente en la unidad 1 "Vectores y Superficies", como 
auxiliar para agilizar los cálculos en la solución y comprobación de resultados de 
los problemas y ejercicios contenidos en la citada unidad; obteniéndose el 
producto en un proyecto de implantación a través de un manual, para que junto 
con éste se haga uso del software de Matemáticas DERIVE; software que es de 
gran amigabilidad, además, una característica que lo distingue, es su fácil 
instalación y acceso al mismo. 
IV 
El desarrollo del manual, comprende tres fases: A) Análisis del 
Problema, B) Resolución del Problema e C) Reporte de Resultados. La 
metodología que se utilizó para el desarrollo del proyecto es la de POL (Proyect 
Oriented Learning); este tipo de metodología, sigue ciertos procedimientos para 
dar solución a problemas, permitiéndole al alumno aprender por medio de la 
práctica y la acción. Después de concluir las tres fases, se realizó la implantación 
del manual, y se evaluó para obtener los resultados con los que se concluye que 
sí es factible y posible realizar algunas mejoras al manual , plantear nuevas 
estrategias y acciones. Por ejemplo: solicitar a la dirección del plantel que se 
adquiera la versión más actual del software, para así, tener un manual de usuario 
completo, para todo el contenido del curso de Matemáticas 11; para aumentar 
principalmente el tipo de gráficas y de ejercicios resueltos y propuestos; para 
hacerlo más interactivo, por ejemplo en un CD, en donde además se contenga el 
software; y principalmente, para trabajar más horas con él. Otro aspecto 
importante a considerar, es que el uso del manual, junto con el software, sean 
parte del material didáctico y de la evaluación de la materia, teniendo mucho 
cuidado para llevar a cabo su implantación en grupo, ya que no es lo mismo 
trabajar con nueve alumnos, como se realizó esta implantación, que trabajar con 
un grupo de treinta o cuarenta alumnos. 
V 
INDICE DE CONTENIDO 
Página 
DEDICATORIAS ........................................................................................ lii 
RESUMEN ................................................................................................. lv 
INDICE ...................................................................................................... Vi 
GLOSARIO... ........................................................................... .................. viii 
INTRODUCCIÓN.................................................................... ................ ... X 
Capítulo 
1. INTRODUCCIÓN................................................................................... 1 
1.1 El tema del proyecto ............... .................................... .................... 1 
1.2 Definición del tema......................................................................... 1 
1.3 Análisis de problema...................................................................... 1 
1 .4 Planteamiento del problema........................................ ................... 6 
1.5 Objetivos ..................................................................... .................... 7 
2. MARCO TEORICO........ .. .. . ... .. ..... .... . .. . .. .. ... . . . ... . . . .. . . .. .. ..... . .... .. . . . . . . . . . . . . . 8 
2.1 Antecedentes y Mapa Conceptual del Marco Teórico ...... .............. 8 
2.1.1 Didáctica de las Matemáticas........................... ... .................. 12 
2.1.1.1 La didáctica de las Matemáticas............................... 12 
2.1.1.2 Concepción de los procesos de Enseñanza y de 
Aprendizaje de las Matemáticas................................ 13 
2.1.2 Ambiente de aprendizaje con tecnología.............................. 16 
2.1.2.1 Nuevas tecnologías y aprendizaje............................ 16 
2.1.2.2 Ambiente de aprendizaje Computarizado... ......... ... .. 19 
2.1.2.3 Necesidad de investigar ambiente de aprendizaje 
con medios........................................... ..... ................ 21 
2.1.3 La tecnología en la didáctica de las Matemáticas................. 23 
2.1.3.1 Los paquetes de software en Matemáticas ............... 24 
2.1.3.2 Ideas significativas en Matemáticas: Aspectos 
cognitivos y el papel de las nuevas tecnologías....... 27 
2.1.4 Cálculo Vectorial.................................................................... 30 
2.1.4.1 Introducción..... ... ................................ ... ................... 30 
2.1.4.2 Vectores y Superficies: Conceptos y definiciones .... 31 
3. PROPUESTA ................................................................... .. ................... 38 
3.1 Contenido del manual......................................................................38 
3.2 Justificación de las partes del manual. ............................................ 39 
3.3 Portada ............................................................................................ 41 
4. METODOLOGÍA................................................................. .................. 43 
4.1 Método de proyectos ....................................................................... 43 
4.2 Desarrollo del manual..................................................................... 48 
S. IMPLANTACIÓN Y EVALUACIÓN ... ... ... .. ................. ....... .................... 50 
5.1 Contexto de la implantación........................................ ... .... .... ...... ... 50 
5.1.1 Datos de identificación ....................................... .. .................. 51 
5.1.2 Características físicas............................................................ 51 
5.1.3 Visión, Misión y Valores del ITSU ..................... ... .................. 52 
5.2 Procedimiento de la implantación del manual................................. 53 
Vl 
5.3 Evaluación de la implantación y del manual.. ................................ 54 
6. CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS................................................... 63 
6.1 Conclusiones................................................................................... 63 
6.2 Sugerencias..................................................................................... 64 
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS......................................................... 66 
ANEXOS 
A. Organigrama del ITSU 
B. Guías de las entrevistas 
C. Entrevistas más significativas a los alumnos en la Fase 1 
D. Entrevistas más significativas a los docentes en la Fase 1 
E. Entrevistas más significativas de la evaluación de la implantación 
F. Cuestionario por categorías para la evaluación del manual 
G. Respuestas más significativas del cuestionario por categorías 
H. Manual. 
Vil 
GLOSARIO 
Alumno. Se entenderá por alumno como un sujeto psicológico y a la vez un sujeto 
social, pero esencialmente se le considerará como un sujeto "que conoce" en una 
determinada situación de enseñanza. 
DERIVE. Software en el que se podrán realizar cálculos numéricos y simbólicos 
así como la construcción de gráficos, permitiendo la resolución de numerosos 
ejercicios de cálculo diferencial e integral, álgebra lineal, cálculo vectorial, números 
complejos, ecuaciones diferenciales, álgebra, geometría analítica, trigonometría, 
probabilidad, estadística, matemáticas financieras, entre otros. (Zambrano, 2000)-
Didáctica de las Matemáticas. Es la ciencia que estudia los procesos de 
transmisión y adquisición de los diferentes contenidos matemáticos, 
particularmente en situación escolar; su objetivo es intervenir en el sistema 
educativo de manera benéfica, es decir, proponiendo condiciones para que el 
funcionamiento del sistema didáctico asegure (favorezca) en los alumnos una 
apropiación adecuada de los saberes matemáticos (Peltier, 1993). 
Escalar. Magnitud cuya determinación solo requiere el conocimiento de un 
número. 
Habilidades intelectuales. Se entenderá como habilidades intelectuales a las 
de razonar, resolver problemas, aprender a aprender y crear, en las que su 
desarrollo es estimulado por la incursión de las nuevas tecnologías en la didáctica 
de las matemáticas. 
Vlll 
Ingeniería didáctica. Tarea fundamental en la didáctica de las matemáticas, dicha 
tarea es la diseñar situaciones didácticas, es decir, establecer y controlar 
relaciones entre los componentes del sistema didáctico, a fin de asegurar la 
emergencia de conceptos matemáticos en el contexto escolar. (Alanís, 1999) 
Motivación del estudiante. Se refiere a motivación del estudiante al interés 
espontáneo mostrado en las actividades de aprendizaje que utilizan nuevas 
tecnologías en las aproximaciones tradicionales de las clases. 
Profesor: Se referirá al profesor como el que tiene una historia propia que se 
manifiesta a través de sus creencias respecto a la matemática, a la enseñanza, al -
aprendizaje y a su profesión. 
Software Matemático. Se entenderá como software matemático a los paquetes 
que pueden efectuar las operaciones analíticas que intervienen en la resolución 
de muchas ecuaciones matemáticas, a menudo en respuesta de una sola 
instrucción. Entre estos se encuentran Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, y 
MathScribe, cada uno de los cuales pueden utilizarse en varios tipos de 
computadoras personales o estaciones de trabajo. 
Tecnología. Se entenderá como tecnología a la incorporación en el aula de 
computadoras, calculadoras, software de matemáticas, graficadoras, etc. Y que 
añaden recursos amplios y variados para el aprendizaje. 
Vector: Segmento que tiene una magnitud, dirección y sentido. 
Visualizar: Término que describe la habilidad del sujeto para descubrir relaciones 
significativas (estructurales) a partir del dibujo de una figura geométrica. 
IX 
INTRODUCCIÓN 
El progreso de la tecnología es cada vez más ineludible tanto en ámbitos 
políticos, sociales, económicos y educativos, lo que implica una serie de 
modificaciones en las actividades de todo ser humano para su adecuado uso y 
aprovechamiento. En cuanto a lo educativo, la adopción de la tecnología 
informática por parte de los alumnos y de los docentes, está relacionada con 
diversos factores de carácter, principalmente, social y económico que se 
concretizan en el acceso a determinadas herramientas tecnológicas, las cuales 
perecen ir en aumento en nuestro país. El presente trabajo es referente a un . 
proyecto de implantación en el que al utilizar la metodología de POL, 
caracterizada por seguir ciertos procedimientos para dar solución a problemas, 
permitiéndole al alumno aprender por medio de la práctica y la acción; se 
presenta la elaboración, implementación y evaluación de un manual de usuario de 
DERIVE para que lo puedan utilizar tanto el docente y el alumno como auxiliar 
para agilizar la solución, comprobación y comparación de resultados de los 
problemas y ejercicios contenidos en la primera unidad "Vectores y Superficies" 
del curso Cálculo Vectorial en el programa de Ingeniería del Instituto Tecnológico 
superior de Uruapan (ITSU). 
Lo que marcó la pauta para la realización del manual, es que en Junio del 
2000, se impartió un curso en el ITSU titulado "Didáctica de las Matemáticas con 
DERIVE" dirigido al personal docente del área de Matemáticas, el cual tuvo como 
objetivo adentrarnos al uso del software para tratar de implementarlo con los 
alumnos en nuestra práctica docente. En el curso se trató un panorama en general 
X 
en donde se tomaron temas de cálculo integral, cálculo vectorial, cálculo 
diferencial, álgebra, matrices, determinantes, graficación, ecuaciones 
diferenciales, etc. A partir de descubrir la utilidad del DERIVE para la impartición 
de temas, principalmente de cálculo vectorial, se empezó a desarrollar la idea de 
elaborar un manual. Por otro lado, al cursar la materias de la especialidad de la 
maestría, el interés del autor se centra en que cada vez son más los profesores de 
ésta área que incorporan el uso de nuevas tecnologías como parte de su trabajo, 
aspecto que se fue enriqueciendo a través de las experiencias del intercambio de 
información, puntos de vista y comentarios tratados en los diferentes foros de 
discusión, tareas y ensayos presentados en estas materias, y también al utilizar el 
software MatLab en la materia de Álgebra Lineal y el Mathematica en la materia de 
Ecuaciones Diferenciales. Así también, la constante insistencia y sugerencia del 
uso de alguna herramienta tecnológica, principalmente de algún software de 
aplicación, para la solución de ejercicios y problemas que contienen los diferentes 
textos del área con los que cuenta en su biblioteca el ITSU. 
La realización del manual, implicó tratar varios aspectos, como el conocer 
detalladamente el contenido del curso,el número y tipos de ejercicios que podrían 
ir en el manual, las instrucciones y funciones declaradas en DERIVE que el 
manual iba a contener, la estructura del manual, reunir y consultar la bibliografía 
necesaria, elegir a los alumnos con los que se realizó la implantación, la forma de 
la implantación y obtener los resultados de la evaluación del manual. Todo lo 
anterior se realizó de acuerdo a las etapas que marca la metodología utilizada y, 
principalmente, de acuerdo al calendario que se diseño para seguir la elaboración 
del presente trabajo. 
XI 
El resultado más alentador que el autor obtuvo fue durante la implantación, 
ya que los nueve alumnos con los que se realizó estuvieron interesados en utilizar 
el manual y el software previas instrucciones que se les indicaron, fue así como se 
encontró que el uso de este tipo de herramientas tecnológicas también son 
aceptadas por los estudiantes y se interesan en conocer más acerca de sus 
contenidos, versiones y usos. 
Los detalles de lo escrito en los párrafos anteriores, se presentan en los 
seis capítulos que comprende el presente trabajo. 
Así, en el capítulo 1 se hace referencia al nombre y definición del tema del 
proyecto, se presenta el planteamiento del problema, previo análisis del mismo en 
donde se presenta un análisis de lo escrito hasta ahora sobre el tema. Se realizó 
un mini estudio exploratorio para la identificación del problema que se basó en el 
uso de entrevistas no estructuradas aplicadas a los participantes en este proceso, 
algunos comentarios de estas entrevistas realizadas a los alumnos y a los 
compañeros docentes para indagar en su opinión acerca de utilizar la tecnología 
en la clase da matemáticas, también se incluyen. 
En el capítulo 2 se presenta el marco teórico, primero se citan los 
antecedentes que se consideraron importantes para el desarrollo del prototipo; ya 
en el marco teórico se hace alusión a diferentes temas, como el de la didáctica de 
las matemáticas, la tecnología en la didáctica de las matemáticas y aspectos del 
cálculo vectorial. 
En el capítulo tercero, se presenta la propuesta del prototipo, se tiene la 
portada del manual, así como el contenido del mismo y la justificación de cada una 
de sus partes. 
XII 
En el capítulo 4 se mencionan las fases de un proyecto de implantación, 
también trata de la metodología a utilizar, la de POL (Proyect Oriented Learning), 
mencionando sus características y generalidades como los aprendizajes que se 
promueven al utilizarla, sus fases, sus objetivos entre otras. Se describen los 
pasos que se siguieron en cada una de las fases para el desarrollo del prototipo, 
así como los instrumentos utilizados. Al final de este cuarto capítulo se presenta el 
reporte del desarrollo de manual. 
El capítulo 5 trata de la implantación y la evaluación del manual. Para la 
implantación, primeramente se hace referencia al contexto en donde se realizó la 
implantación, se describe el procedimiento que se utilizó para llevarla a cabo, la 
fecha en que se implementó, así como las instrucciones que se dieron al usuario. 
Para la evaluación de la implantación se describe lo que ocurrió en este proceso. 
También en este apartado se aplicaron entrevistas no estructuradas para que el 
entrevistado expresará todo lo que pasó durante el proceso de implantación. Se 
les aplicó también un cuestionario por categorías en el que, principalmente, se 
trataron aspectos de evaluación del manual. 
En el capítulo 6, con base en los resultados obtenidos en el presente 
reporte se presentan las conclusiones y sugerencias al mismo. Finalmente se 
presenta la bibliografía consultada, además de un apartado de anexos en el que 
se incluyen el organigrama del ITSU, las guías de entrevistas, el cuestionario por 
categorías aplicado, las respuestas a las entrevistas y cuestionarios más 
significativos, así como una copia del manual desarrollado. 
Xlll 
CAPITULO 1 
INTRODUCCIÓN 
1.1 El tema del proyecto 
"Manual de usuario del software DERIVE como auxiliar didáctico para 
agilizar la solución y comprobación de resultados de los problemas contenidos en 
la unidad 1 "Vectores y Superficies" del curso Cálculo Vectorial". 
1.2 Definición del Tema 
Ante la necesidad de realizar un recurso que tenga como usuario final al 
docente y al alumno en la materia de Cálculo Vectorial, particularmente en la 
unidad 1 "Vectores y Superficies", como auxiliar para agilizar los cálculos en la 
solución y comprobación de resultados de los problemas y ejercicios contenidos 
en la citada unidad; obteniéndose el producto en un proyecto de implantación a 
través de un manual, para que junto con éste se haga uso del DERIVE for 
Windows versión 4; software que es de gran amigabilidad, además, una 
característica que lo distingue, es su fácil instalación y acceso al mismo. 
1.3 Análisis del Problema 
El avance de la tecnología en los diferentes ámbitos políticos, sociales, 
económicos y educativos es una realidad ineludible, implica una serie de 
modificaciones en las actividades de todo ser humano para su adecuado uso, así 
como el darse cuenta de los límites y alcances que se puede tener. 
1 
Desde luego que para llevar a cabo, a nivel del salón de clases, una 
enseñanza con tecnología (incorporación de computadoras, calculadoras 
graficadoras, software, etc.), existen muchas otras dificultades que se deben de 
afrontar, como cuestiones de equidad, financiamiento, sus efectos sobre los 
contenidos, el currículo y la pedagogía. Alanís (1999) encontró que una tarea 
fundamental en la didáctica de las matemáticas es la de diseñar situaciones 
didácticas, es decir, establecer y controlar relaciones entre los componentes del 
sistema didáctico, a fin de asegurar (favorecer) la emergencia de conceptos 
matemáticos en el contexto escolar. A tal tarea se le denomina ingeniería 
didáctica. Martínez y Murillo (1980) comentan que, de la concepción que el - -
profesor tenga de los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la matemática 
dependerá que propicie la participación de los alumnos en todo el proceso, de 
acuerdo con su nivel de madurez, experiencias, etc. 
La adopción de la tecnología informática por parte de los docentes, está 
relacionada con diversos factores de carácter social y económico que se 
concretizan en el acceso a esta tecnología, la cual perece ir en aumento en 
nuestro país. Algunos autores hablan de una "masa crítica" o número de 
individuos que es necesario que se involucren con una determinada tecnología 
para asegurar una adopción general de un grupo social determinado (Markus, 
1987). Si tal presunción es correcta, los programas de informática educativa no 
podrán impactar en los escenarios escolares mientras no se asegure la adhesión 
entusiasta de los docentes, convencidos de las ventajas que ofrece esta 
tecnología para los procesos enseñanza y del aprendizaje. En estos procesos, se 
2 
alude más a los procesos motivacionales internos que a incentivos externos para 
asegurar la adopción. 
Por otra parte, diversas experiencias y evaluaciones de impacto apuntan a 
la conclusión de que las nuevas tecnologías tienen resultados muy positivos para 
los alumnos como por ejemplo: a) incrementan su motivación y creatividad; b) 
fomentan el espíritu de indagación y una mentalidad orientada a la solución de 
problemas; c) facilitan una aproximación interdisciplinaria al conocimiento y 
generan así un aprendizaje más integrado y mejor asimilado; d) promueven la 
cooperación y el trabajo en grupo; e) propician que los alumnos se sientan 
capaces de generar conocimiento valioso, y puedan compartirlo mediante su 
publicación en Internet, f) permiten la adquisición de nuevas habilidades y 
lenguajes. Todo ello redunda en un fortalecimiento de la auto estima de los 
alumnos, particularmente en la de aquellos que pudieran tener un desempeño 
desfavorable para incorporarse al nivel del grupo. 
Lomeny Lovelock (1999) encontraron que el uso apropiado de la 
tecnología es vital como herramienta en las ecuaciones matemáticas. Con este 
tipo de herramientas, los estudiantes tendrán una participación activa en el 
proceso de aprendizaje y se animarán a pensar, experimentar y comprender. A 
través de los usos de. la computadora, podemos darnos una idea de la multitud de 
inquietudes y problemáticas a las que se destina esta herramienta, que finalmente 
inciden sobre el aprendizaje. 
Así mismo, las nuevas tecnologías añaden recursos amplios y variados 
para el aprendizaje. Queda claro en este punto que es imposible tratar de 
3 
equiparar el aprendizaje con el rendimiento escolar. En este sentido, habrá que 
buscar un sustento para los diversos aprendizajes que se producen mediante el 
uso de las nuevas tecnologías en las teorías constructivistas del aprendizaje, y en 
las teorías de los esquemas, en las cuales las estructuras mentales son 
susceptibles de transformación por las informaciones más recientes que entran en 
conflicto cognitivo con las estructuras previas, aunque, así mismo, las 
informaciones recientes pueden añadir elementos a las estructuras y esquemas 
previos, los cuales resultan enriquecidos por esa asimilación. Un aspecto que no 
puede quedar fuera de la discusión sobre el aprendizaje con nuevas tecnologías 
es que resulta erróneo considerar que el sólo uso de la computadora y las . 
tecnologías que se han construido a su alrededor es suficiente para marcar un 
cambio en el aprendizaje de contenidos, sin tomar en consideración los diferentes 
factores que inciden sobre el individuo en una situación educativa-escolar. 
Hacerlo así, sería limitar excesivamente los alcances e influencia de esta 
herramienta en la escuela. Por lo que sabemos ahora, pareciera que con la 
computadora los alumnos exhiben un avance diferenciado en el aprendizaje de los 
contenidos escolares, pero difícilmente se observan resultados espectaculares. 
Por otro lado, después de realizar entrevistas no estructuradas con un 
grupo de alumnos inscritos en la materia de Matemáticas I de Ingeniería y a los 
compañeros docentes que imparten estas materias, en donde la idea principal era 
su opinión acerca del uso de algún recurso tecnológico, principalmente un 
software, con el cual se ayudara a la solución de ciertos problemas y ejercicios 
matemáticos, su obtención gráfica, la comprobación de los resultados obtenidos 
utilizando el recurso y los obtenidos en forma tradicional; en general los alumnos 
4 
coincidieron en que si les gustaría contar con algún tipo de software, de este 
último, muy pocos conocían alguno, y entre los que mencionaron esta el MatLab, 
DERIVE, Maple y Mathematica. Una de las respuestas, en general, que el autor 
consideró importantes son las que hicieron dos alumnos, Selene y Sergio, 
quienes comentaron lo siguiente: 
" ... la verdad es que si me gustaría saber utilizar y conocer un paquete de 
matemáticas que me ayude con la solución de los problemas", " ... ya que la 
mayoría de las veces lo termino, pero no estoy segura de si esta bien, aun 
comparando el resultado con otros compañeros; en cambio con el software lo 
puedes solucionar más rápido y ya teniendo la respuesta, lo resuelves en la libreta 
y si a la primera no diste con la solución, lo sigues intentando, hasta que la 
encuentras, puedes seguir varios caminos de solución hasta encontrarla" (ACAL 1 ), 
" ... le daría solución a los problemas de la clase o de los de tarea, pero primero · 
hay que enseñarse a utilizarlo, si no vamos a tardar más en resolver el problema 
con la computadora que en la libreta", " ..... así si, teniendo un manual de usuario se 
facilitaría más el trabajo para resolver cualquier problema con el paquete 
computacional de "mate", no me haría tantas "bolas" ... " (ACAL2). 
A todo esto, se concluyó que la mejor opción era un software de matemáticas, 
ya que la calculadora parta tales fines a veces esta limitada, es costosa y no todos 
tienen la posibilidad de adquirirla; en cambio con el DERIVE hay menos limitantes 
en cuanto a su uso y se conseguiría por parte del centro de cómputo del Instituto. 
Respecto con los docentes, quienes en forma general coincidieron con la 
utilidad de algún software como el DERIVE, por ejemplo, el Ingeniero José 
comento que: 
" ... Sí más con el DERIVE, yo lo utilizo para resolver los ejemplos que dejo de tarea 
y los de los exámenes, comparar los resultados, resolver el examen, se me facilita 
más el trabajo en este sentido", " .... les pediría a los alumnos que ciertos 
problemas los resolvieran por medio del software, claro previa solución en su 
cuaderno. Por ejemplo en matemáticas 11, la graficación de las funciones con el 
software sería importante", " ... pienso que el alumno con el uso del software y con 
un manual bien estructurado se motivaría más en la clase. El DERIVE estaría 
5 
bien, no es tan complicado y además aquí esta instalado en las máquinas del 
centro de cómputo ... " (ADD1 ). 
Por su parte el Ingeniero Antonio comento que: 
" ... como ya le digo he tenido más contacto con el DERIVE, lo he utilizado para la 
solución y comprobación de resultados en problemas que pongo en los exámenes 
parciales", ... " lo seguiría utilizando para lo que le explique en la pregunta anterior. 
Y para que los alumnos resuelvan problemas más complicados, para que sigan 
planteando sus propios problemas y los resuelvan con el software. Ya 
empezándolo a utilizar, las aplicaciones y formas de uso serían muy variadas. 
Ahora, por supuesto que seguiría utilizando el método tradicional, nunca lo 
desplazaría. El software sólo lo utilizaría como una herramienta auxiliar para 
resolver de una manera más rápida los problemas, o también, como lo he venido 
realizando para comprobar los resultados de los problemas .. "(ADD2). 
Finalmente se coincidió, con los alumnos y los compañeros docentes en 
que el recurso sería algún software, entre los que estaban por definirse, si será el 
MatLab o el DERIVE. Esto sumado a las constantes propuestas que se hacen en 
los textos tanto a docentes y a alumnos, para que utilicemos algún software de 
matemáticas o la calculadora de manera opcional; en forma particular, el software 
se utilizará para los fines antes descritos en la materia de Cálculo Vectorial en la 
primera unidad. 
1.4 Planteamiento del Problema 
Analizando lo comentado en el apartado anterior, el autor planteó la 
siguiente problemática: 
6 
¿Qué apoyo pueden utilizar el docente y el alumno como auxiliar para 
agilizar la solución, comprobación y comparación de resultados de los problemas y 
ejercicios contenidos en la primera unidad "Vectores y Superficies" del curso 
Cálculo Vectorial? 
1.5 Objetivos 
Los objetivos de este proyecto son los siguientes: 
Proporcionar un recurso auxiliar a los docentes y a los alumnos, que por 
medio de un manual de usuario del software de matemáticas DERIVE for Windows 
versión 4, permita agilizar los cálculos en la solución y comprobación de 
resultados de los diferentes problemas y ejercicios que se planteen en la primera 
unidad del curso Cálculo Vectorial, y que a su vez, con este producto se tenga la 
pauta para mejorarlo aumentando e incluyendo las demás unidades de la materia. 
7 
CAPITULO 2 
MARCO TEORICO 
2.1 Antecedentes y Mapa conceptual del Marco teórico 
En Junio del año 2000, se impartió en el Tecnológico un curso titulado 
"Didáctica de las Matemáticas con DERIVE" dirigido al personal docente que 
imparte Matemáticas, el cual tuvo como objetivo adentrarnos al uso del software 
para tratar de implementarlo con los alumnos en nuestra práctica docente. 
En el curso, se abarcó un panorama en general en donde se tomaron temas 
de cálculo integral, vectorial y diferencial; álgebra, matrices, determinantes, 
graficación, ecuaciones diferenciales, etc. El curso fue impartido por el Lic. Jesús 
Zambrano, profesor de Matemáticas del InstitutoTecnológico de La Piedad 
Michoacán, quien a su vez es autor de un texto llamado "Aplicaciones de 
DERIVE". 
Zambrano (1999) en su texto comenta que " La incursión de la computadora 
en la enseñanza de las Matemáticas no deja de ser un punto de discusión, sin 
embargo, cada vez son más los profesores que de ésta área de la ciencia que 
permiten la incorporación del uso de nuevas tecnologías como parte de su 
trabajo. La intención del presente texto, es incorporarse a todos aquellos que de 
alguna manera han fortalecido la enseñanza de la Matemática utilizado algún 
software, en particular, los que usan DERIVE". 
8 
Por otro lado, están los paquetes de software de matemáticas que el autor 
conoció y utilizó en algunas materias del programa de maestría como el MatLab 
en Álgebra Lineal y Mathematica en Ecuaciones Diferenciales. Así también, la 
constante insistencia y sugerencia del uso de alguna herramienta 
tecnológica, principalmente de algún software de aplicación para la solución de 
los ejercicios y problemas que en ellos se contienen, que se nos hace en los 
diferentes textos utilizados como bibliografía. 
A continuación, se presenta un mapa conceptual el cual presenta los 
aspectos básicos que el autor encontró para estructurar el marco teórico del 
presente trabajo. 
En el primer tema, se presenta a la didáctica de las matemáticas como una 
ciencia cuyo objetivo es intervenir en el sistema educativo de manera benéfica, y 
en donde su tarea fundamental es la de diseñar situaciones didácticas que tengan 
como fin favorecer la emergencia de conceptos matemáticos en el contexto 
escolar. En este mismo tema, dentro del apartado de concepción de los procesos 
de enseñanza y de aprendizaje de la matemática, se comparan dos situaciones 
didácticas en las que, tanto el docente como los alumnos, tienen diferentes roles 
en donde los resultados de aprendizaje de los estudiantes tienen influencia en el 
tipo de enseñanza que el profesor implementa en el salón de clases. 
En el segundo tema, ambientes de aprendizaje con tecnología, se 
describen los usos principales de las nuevas tecnologías en proyectos educativos 
analizados en América Latina. Se tratan también, los ambientes de aprendizaje 
computarizado que contemplan no solamente los espacios físicos y los medios, 
sino también los elementos básicos del diseño instruccional. Finalmente, se 
9 
presentan los medios para investigar los ambientes de aprendizaje ya 
analizados, así como las opciones que en nuestro país se tienen para incorporar 
estos medios en los procesos educativos. 
El tercer tema contiene aspectos de la tecnología en la didáctica de las 
matemáticas, principalmente se analiza la herramienta tecnológica del software, 
herramienta de gran utilidad para que los usuarios se liguen en procesos de 
búsqueda y formulación de relaciones, argumentos y justificaciones matemáticas; 
se exponen también las ventajas que presenta el uso de algún software como 
auxiliar didáctico en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las 
matemáticas. En este tercer tema también se enfatizan los asuntos relacionados 
con los procesos cognitivos y con el acceso de las nuevas tecnologías en el 
aprendizaje de las matemáticas; se presenta el papel que juega la incorporación 
de las nuevas tecnologías en los cursos de matemáticas. 
Para finalizar, en el cuarto tema se tratan aspectos del cálculo vectorial con 
una introducción, conceptos y definiciones para el estudio de los vectores y 
superficies, tema principal para el que se desarrolló el presente proyecto, haciendo 
uso de una herramienta tecnológica, el software, como auxiliar didáctico. 
El mapa conceptual del marco teórico se presenta en la siguiente página. 
10 
Mapa Conceptual. 
Conceptos y 
definiciones 
Introducción 
significativas 
Aspectos 
cognitivos y las 
nuevas 
tecnoloaías 
Investigar 
ambientes de 
aprendizaje con 
medios 
11 
medios 
ciencia 
didácticas 
Procesos de 
enseñanza y 
aprendizaje 
de aprendizaje 
2.1.1 Didáctica de las Matemáticas 
2.1.1.1 La didáctica de las Matemáticas 
Sobre la didáctica de las matemáticas, Alanís (1996) comenta que, "La 
didáctica de las matemáticas es la ciencia que estudia los procesos de transmisión 
y adquisición de los diferentes contenidos matemáticos, particularmente en 
situación escolar; su objetivo es intervenir en el sistema educativo de manera 
benéfica"; lo que quiere decir que se propondrán condiciones para que el 
funcionamiento del sistema didáctico asegure y favorezca en los alumnos una 
apropiación adecuada de los saberes matemáticos. 
Para conducir su estudio, Alanís (1996) apunta que la didáctica de las 
matemáticas se centra en tres componentes fundamentales: el saber, los alumnos 
y el docente; además de las relaciones que se generan entre ellos: El alumno, es 
un sujeto psicológico y a la vez un sujeto social, pero especialmente un sujeto que 
conoce en una situación de enseñanza; el docente, el cual tiene una historia 
propia que se manifiesta a través de sus creencias respecto a la matemática, a la 
enseñanza, al aprendizaje y a su profesión; el saber, que constituye el objetivo 
principal de la enseñanza y que tiene también una historia, mantiene relaciones 
culturales y sociales con el exterior de la clase, las cuáles determinan el contenido 
a enseñar y el tipo de presentación. 
"Una tarea fundamental en la didáctica de las matemáticas es la de diseñar 
situaciones didácticas, es decir, establecer y controlar relaciones entre los 
12 
componentes del sistema didáctico, a fin de favorecer la emergencia de conceptos 
matemáticos en el contexto escolar. A tal tarea se le denomina ingeniería 
didáctica" (Alanís, 1996). 
Gascón (1998), menciona que "la expresión didáctica de las matemáticas, 
designa a la vez una ciencia o disciplina y, en el lenguaje habitual, la enseñanza 
de las matemáticas, es decir, una parte del objeto de estudio de dicha ciencia". 
2.1.1.2 Concepción de los procesos de Enseñanza y de Aprendizaje de la 
Matemática 
Martínez y Murillo (1980), comparan dos situaciones didácticas, 
simplificadas en orden a la claridad: Situación A, el profesor da definiciones y 
principios, escribe fórmulas, las deduce, explica la forma de manejarlas, resuelve 
ejercicios como ejemplos, deja otros ejercicios para ser resueltos por los alumnos, 
menciona algunas aplicaciones, entre otras cosas; mientras que los alumnos 
copian en sus cuadernos, hacen preguntas como ¿cuando es el examen parcial?. 
Situación B, El profesor y los alumnos inician una reflexión sobre un fenómeno o 
situación propuestos, utilizan algunos símbolos que les permiten formar un 
modelo matemático de este fenómeno, dentro del modelo obtienen resultados y, 
retornan al fenómeno ya mejor comprendido; y mencionan que "la diferencia en las 
diversas situaciones didácticas estriba en la forma como cada profesor concibe los 
procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas" (pág. 16). En al 
situación A, el profesor concibe los procesos de enseñanza y de aprendizaje de 
13 
las matemáticas como una simple transmisión de: definiciones de principios 
teóricos, procedimientos de mecanización de tales principios y definiciones, de 
aplicaciones y de métodos de aplicación; el alumno, es un órgano receptor que 
repite y aprende los procedimientos seculares matemáticos, su actividad ésta 
limitada a captar lo que los grandes matemáticos han descubierto y llegar a poder 
utilizarlo. En la situación B, el profesor concibe los procesos de enseñanza y de 
aprendizaje de la matemática como el logro paulatino de la comprensión, 
valoración y asimilación interna por parte de los alumnos de un método de: 
interpretación humana de la naturaleza, creatividad humano - teórica, 
transformación indirecta de la naturaleza; el alumno, se encamina a un auténtico 
aprendizaje, ya que participa en el planteamiento de posibles soluciones,partiendo de una solución concreta, encuentra mayor significado en lo que realiza, 
se ajusta más a la manera de proceder del pensamiento, así, el alumno depende 
concientemente de su actividad propia, llega a concebir a la matemática como 
algo vivo y humano, se apropia más profundamente de los principios y el espíritu 
matemáticos, llega a poder aplicar con más precisión y riqueza las teorías 
matemáticas. 
Muchos profesores buscamos mejorar la clase, cómo transmitir mejor los 
conocimientos de Matemáticas. Sin embargo en la mayoría de los casos no 
encontramos como hacerlo. Es imprescindible llegar hasta un análisis de nuestra 
misma concepción de los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la 
matemática. Martínez y Murillo (1980), comentan que "una concepción dinámica 
de dichos procesos nos permitirá experimentar un flujo de nuevas ideas, de 
modificaciones y mejoras constantes, puesto que de la concepción que el 
14 
profesor tenga de los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las 
matemáticas dependerá que propicie la participación de los alumnos en todo el 
proceso, de acuerdo con su nivel de madurez y experiencias" (pág. 20). Además, 
de ello también dependerá la manera de precisar los objetivos que se proponen 
alcanzar, la organización que le de al curso con la planeación; los métodos y 
procedimientos, técnicas de dinámica de grupo y recursos didácticos para la forma 
en que va a realizar lo propuesto; las formas de apreciar los logros alcanzados con 
la evaluación. 
Uno de los factores que más influencia tiene en los resultados de 
aprendizaje en los estudiantes es el tipo de enseñanza que el profesor 
implementa en el salón de clases. Por ello, ¿Cómo diseñar una instrucción que 
promueva el aprendizaje de las matemáticas? Y en particular ¿Qué tipo de tareas 
matemáticas favorecen en los estudiantes rasgos de pensamiento que son 
compatibles con la práctica de la matemática? Por ejemplo, una de estas 
actividades es la formulación de o reformulación de problemas; sin embargo a los 
estudiantes no se les da la oportunidad de desarrollar este tipo de procesos. En el 
mejor de los casos los estudiantes son expuestos a problemas, pero éstos son 
"dados". La discusión con los estudiantes de como se generan los problemas es 
una cuestión que se deja en este tipo de enseñanza. Por ejemplo, las habilidades 
que los estudiantes necesitan cuando se enfrentan a situaciones o a una 
información y se les pide hacer un análisis, formular problemas y darles 
seguimiento, son aspectos a los que se debe prestar atención. Martínez y Murillo 
(1980) comentan que del método que el profesor utilice dependerá el grado de 
15 
participación que los alumnos tengan en clase, así como el logro de un auténtico 
aprendizaje por parte de éstos. 
2.1.2 Ambiente de aprendizaje con tecnología 
2.1.2.1 Nuevas Tecnologías y Aprendizaje 
Lo cierto es que nuestros países latinoamericanos tienen todavía mucho 
camino por recorrer en cuanto a infraestructura y acceso a las nuevas tecnologías, 
antes de iniciar un verdadero debate acerca de su utilidad en las aulas. 
En las pasadas dos décadas se pensaba que la computadora había llegado 
a la educación para revolucionar la forma en que enseñamos y aprendemos. De 
alguna manera, todos nos impresionamos ante la alegoría del inicio de una nueva 
era en la historia de la educación a partir de la introducción de la computadora. La 
esperanza estaba, -y sigue estando- entre otras particularidades, en la 
interactividad que propician estos medios, la gran cantidad de información que 
soportan y la convergencia de lenguajes. La justificación general del optimismo 
inicial era que si el estudiante y el profesor conocían suficientemente a la 
computadora, desde su historia, la lógica de su construcción, los lenguajes para 
programarla y sus aplicaciones, los beneficios de su uso serían aún mayores. 
En los años ochentas -al menos en México- empiezan a confluir dos 
modelos de uso que coexistirán hasta nuestros días en el sistema educativo: el 
laboratorio de cómputo y la computadora como herramienta de apoyo curricular. 
Esta coexistencia persiste en una especie de simbiosis en los mismos espacios 
16 
educativos, aunque con efectos diferenciales en los procesos de enseñanza y de 
aprendizaje. 
En un reciente estudio del Banco Mundial (Potashnik y Adkins, 1996) se 
describe los usos de la computadora en proyectos educativos analizados de cinco 
países americanos de diverso avance tecnológico: Belice, Costa Rica, Jamaica, 
México y Chile. Los usos principales que encontraron fueron: 
1. Alfabetización en lectoescritura y matemáticas. A través de diversos 
programas computacionales desarrollados a partir de la década de los ochentas, 
se introdujo la Instrucción Asistida por Computadora (IAC) y los Sistemas de 
Aprendizaje Integrado (SAi). Los programas IAC se caracterizan principalmente · 
porque contienen textos y ejercicios de resolución lineal y respuesta unívoca, 
mientras que los SAi presentan lecciones o unidades de contenido, con una 
secuencia de aprendizaje. 
2. Herramientas para la productividad. Esta es una aplicación común en 
Latinoamérica, sobre todo para estudiantes de los últimos grados del nivel básico 
y la educación preparatoria. Consiste en los talleres de cómputo en los que se 
enseña a usar la computadora y la paquetería más común para los negocios y las 
empresas productivas: procesadores de palabras, hojas de cálculo, bases de 
datos, Internet y correo electrónico. La idea pedagógica que subyace en estos 
talleres es preparar a los estudiantes en el uso de estas herramientas para 
ingresar al mercado de trabajo. 
3. Programación en LOGO. Esta aplicación de la computadora ha sido 
popular en Latinoamérica desde los años ochentas, gracias a la gran promoción e 
17 
influencia de su creador, Seymour Papert, en los escenarios educativos. La idea 
revolucionaria de LOGO es que los niños pueden aprender a programar y dominar 
a la computadora, de tal manera que su uso propicie un cambio en su forma de . 
aprender. El entorno de LOGO, que pasa al niño el control de sus aprendizajes, 
contrasta de una manera evidente con los IAC o SAi. 
4. Pedagogía constructivista. Recientemente se ha producido un cambio en 
la visión de la computadora como una herramienta para conducir procesos de 
enseñanza constructivista. Con la computadora se busca crear ambientes de 
aprendizaje significativos para los alumnos, en los que éstos buscan activamente 
el conocimiento, en lugar de esperar que los profesores lo proporcionen. Las 
habilidades que se busca desarrollar en los estudiantes tienen que ver con la 
comprensión de la lectura, la composición escrita, la resolución de problemas, el 
razonamiento y la experimentación. 
5. Redes comunicacionales. Cuando el recurso de la computadora se 
complementa con las telecomunicaciones para orientarse hacia el establecimiento 
de vínculos e intercambios entre los actores del proceso educativo, y asegurar el 
acceso a la información por parte de usuarios en diferentes latitudes y espacios 
educativos, se establecen redes informáticas de comunicación educativa. El 
acceso a la Internet o el correo electrónico son los más comunes, aunque también 
existen redes institucionales internas (intranets). La red Enlaces de Chile y la Red 
Escolar de México son quizás las más importantes de la región. 
6. Conocimiento. Un uso de la computadora que cada día se extiende más es 
el referido a los bancos de información locales y centros de consulta de materiales 
educativos. Los materiales educativos de referencia como las enciclopedias y 
18 
aquellos catalogados como instruccionales, sobre todo en matemáticas, ciencias 
naturales y lenguaje, se encuentran disponibles en estos centros en discos 
flexibles y CD-ROM multimedia. Los centros de conocimiento operan como las 
bibliotecas o centros de documentación que regularmente existenen las escuelas 
e instituciones de apoyo a la educación, y a menudo conviven en el mismo centro 
los materiales impresos con los informáticos. 
Morales (1999), menciona que el uso de las nuevas tecnologías promueve 
la cooperación entre estudiantes del mismo grupo y entre estudiantes o grupos de 
diferentes escuelas, cercanas o lejanas, teniendo acceso a conocimiento relevante 
no definido estrictamente de antemano, y ejecutando proyectos de relevancia · 
genuina para los propios estudiantes, y posiblemente para otras personas; el 
potencial de simulación, manipulación virtual, rápido surgimiento de una amplia 
variedad de datos, representación gráfica y otras funciones que proveen las 
nuevas tecnologías, contribuye a relacionar el conocimiento con diversos aspectos 
de la persona, asegurando así una asimilación más completa de lo aprendido. 
2.1.2.2 Ambientes de aprendizaje Computarizado 
El creciente uso de los medios electrónicos en la educación, 
particularmente las tecnologías derivadas de la Informática, han propiciado el 
desarrollo de una nueva visión acerca de los procesos de enseñanza y de 
aprendizaje que a su vez concuerda con el creciente interés de pedagogos y 
psicólogos por ubicar al estudiante como el centro justificatorio de las propuestas 
pedagógicas, cambiando el rol tradicional del maestro por el de mediador o 
19 
facilitador de los aprendizajes. Por otro lado, actualmente se tiene una idea más 
holística acerca de la intervención educativa, al otorgarse una gran relevancia a 
los aspectos de contexto, tiempo y espacio, sobre todo cuando se planifican 
los sistemas a distancia. Se habla ahora de los ambientes de aprendizaje, 
diseñados para crear condiciones pedagógicas y contextuales favorables al 
aprendizaje, donde el conocimiento y sus relaciones con los individuos son el 
factor principal para formar una "sociedad del conocimiento". 
En la actualidad hay diversas maneras de concebir a un ambiente de 
aprendizaje en la educación formal, que contemplan no solamente los espacios 
físicos y los medios, sino también los elementos básicos del diseño instruccional. 
Al parecer, existen al menos cinco componentes principales que lo conforman: el 
espacio, el estudiante, el asesor, los contenidos educativos y los medios. Por 
supuesto que no son exclusivos de los ambientes de aprendizaje, cualquier 
propuesta pedagógica tiene como base estos elementos. La estrategia didáctica 
es la que permite una determinada dinámica de relación entre los componentes 
educativos. En las sociedades del conocimiento, los individuos se adentran en un 
mundo nuevo y de gran trascendencia para sus vidas, en el que la gestión, 
adquisición, transformación, diseminación y aplicación de los conocimientos se 
presenta en un mismo espacio, que puede ser físico o virtual. Las relaciones entre 
los individuos participantes pierden necesariamente la rigidez de las relaciones 
entre docente y alumnos, y los medios y la tecnología están presentes, pero pasan 
al plano de las herramientas de uso cotidiano y extensivo de las capacidades 
humanas, de tal manera que resulta invisible su ubicación en el espacio. 
20 
Los ambientes de aprendizaje son planeados para responder a diversas 
necesidades: el individuo que aprende en su propio espacio, el grupo que 
aprovecha las herramientas tecnológicas y los conocimientos en la dinámica de 
una interrelación directa entre sus integrantes, el grupo que se relaciona en un 
espacio virtual, etcétera. Aparte del mundo de relaciones, los ambientes de 
aprendizaje pueden enfatizar o privilegiar uno o varios de sus componentes: los 
asesores, tutores o monitores, los estudiantes, los medios tecnológicos. Para ser 
más precisos, estos ambientes dependen en gran medida de los medios para la 
estructuración de la propuesta pedagógica y toca a los docentes y estudiantes su 
consolidación y aplicación. Por lo anteriormente expuesto, los ambientes de 
aprendizaje pueden ser desarrollados en formas muy diversas: de ambientes 
totalmente reales, en salones de clase, hasta los ambientes totalmente virtuales; 
ambientes que pueden prescindir total o parcialmente de la intervención de un 
profesor o tutor; ambientes abiertos o cerrados, dependiendo del software y las 
redes que se conectan a él; ambientes unimediales o multimediales, dependiendo 
de los tantos medios que participan; ambientes con propósitos curriculares 
específicos, como el tratamiento de un solo tema, hasta los ambientes de 
propósito amplio, dentro de los cuales puede estar un currículo de carrera. 
2.1.2.3 Necesidad de investigar ambientes de aprendizaje con medios 
Los medios siempre han estado presentes en los procesos de 
enseñanza y de aprendizaje, sin embargo, en la actualidad la diversificación y 
sobre todo la influencia de los medios audiovisuales e informáticos en el contexto 
social, conlleva una visión cualitativamente diferente del rol que juegan en el 
21 000~61 
proceso educativo. Una de las clasificaciones más útiles que han surgido para 
poder estudiar a los medios se refiere a las posibilidades de interacción o "réplica" 
que presentan. Por otro lado, la rápida convergencia de los medios está . 
rompiendo este esquema clasificatorio, lo que hace que en el futuro 
todo sistema comunicacional pueda ser interactivo. Esto no solamente rompe 
con la visión que tradicionalmente se tiene acerca de la comunicación de masas, 
en cuanto al acceso a grandes grupos poblacionales, sino que además posibilita 
la incorporación de múltiples puntos de vista, y quienes son informados se 
convierten a su vez en informadores. 
En nuestro país se ha optado por avanzar en la incorporación de los medios 
en los procesos educativos, por lo que actualmente se cuenta con dos programas 
de carácter nacional, el sistema televisivo Edusat y la Red Escolar, que cumplen 
esta labor. Edusat es un sistema de televisión educativa vía satélite, con diversos 
canales y contenidos educativos para diferentes niveles de la educación formal, y 
también para la educación semiformal e informal. La Red Escolar es una 
propuesta educativa dirigida a la educación básica, que se basa en la generación 
y operación de espacios educativos virtuales, a través de una red telemática que 
promueve la enseñanza y el aprendizaje cooperativos, por lo que tanto alumnos 
como profesores y padres de familia se comunican y afianzan sus logros 
educativos de una manera colectiva. Estos dos programas de la Secretaría de 
Educación Pública son responsabilidad del ILCE, en su mayor parte, por lo que 
sus contenidos y sistema de operación constituyen una tarea cotidiana para la 
institución. El ILCE, además, mantiene una tradición de más de 40 años en la 
producción de medios para la educación -filminas, diapositivas, videos, programas 
22 
televisivos, software educativo, entre otros- por lo que no es posible soslayar los 
avances que ha logrado y la penetración que ha tenido en el sistema educativo. 
Teniendo en cuenta que en el ILCE ponemos un gran énfasis en el uso de 
los medios, nos toca investigar cuál es el ambiente de aprendizaje con medios de 
comunicación e información que resulta idóneo para la educación básica de 
nuestro país y de Latinoamérica. 
2.1.3 La tecnología en la didáctica de las Matemáticas 
Sobre las implicaciones didácticas del uso de la tecnología en la enseñanza 
de las matemáticas, diversos autores (cfr., Baldaras, 1992, 1993; Wenzelburger,· 
1993; entre otros) han sugerido o mostrado, que existe una correlación entre el 
aprendizaje de los alumnos y los materiales didácticos para el estudiante, que se 
apoyan en la tecnología tal como calculadoras gráficas, computadoras, software, 
etc. Esto se podría explicar con base en la idea de que apoyan las 
representaciones visuales, procesos al que se recurre frecuentemente en la 
enseñanza de conceptos matemáticos (Chávez, 1997). No obstante se ha 
planteado que existenventajas y desventajas (Eisenberg y Dreyfus, 1989) en el 
uso de las representaciones visuales, sin embargo, al parecer, tienen mayor 
presencia dentro del medio escolar ya que con el uso de la tecnología se facilita la 
realización de las representaciones gráficas. En este sentido, Mases (1982) ha 
considerado que mediante la visualización es posible aumentar la habilidad 
perceptual del estudiante. 
23 
2.1.3.1 Los paquetes de software en Matemáticas 
Un aspecto notable en el uso de la tecnología es que permite establecer 
representaciones exactas de configuraciones geométricas que pueden ayudar a 
los estudiantes en la visualización de relaciones matemáticas (Santos, 2000). 
Aquí los estudiantes tienen la oportunidad de mover partes de estas 
configuraciones y observar cambios o invariantes. La observación de invariantes 
en una representación resulta fundamental en el desarrollo de conjeturas y en el 
proceso de argumentación y comunicación de esas conjeturas por parte del 
estudiante. "El uso de algún software dinámico como el Cabri Geometry, el 
DERIVE, el Mathematica, MatLab, entre otros ofrecen una herramienta poderosa 
para examinar relaciones geométricas desde diversos ángulos " (Goldenberg & 
Couco, 1998). El uso de este tipo de software permite fácilmente trazar el camino 
que deja parte de la configuración (punto, segmento, ángulo, etc.), además los 
estudiantes pueden realizar variaciones precisas e instantáneas de sus propias 
representaciones visuales que se producen bajo este tipo de software. Esto les 
permite realizar constantes exploraciones y probar sus ideas matemáticas y 
conjeturas en una forma visual, eficiente y dinámica. Arcavi y Hadas (2000) 
afirman que: "los ambientes dinámicos no solo permiten a los estudiantes 
construir figuras con ciertas propiedades y visualizarlas, sino que también les 
permite transformar esas construcciones en tiempo real. Este dinamismo puede 
contribuir en la formación de hábitos para transformar (mentalmente o por medio 
de una herramienta) una instancia particular, para estudiar variaciones invariantes, 
visuales y posiblemente proveer bases intuitivas para justificaciones formales de 
conjeturas y proposiciones" (pág. 26). 
24 
Es decir, el uso de este tipo de software puede funcionar como una 
herramienta de gran utilidad para que los estudiantes se enganchen en procesos 
de búsqueda y formulación de relaciones, argumentos o justificaciones 
matemáticas. ¿Qué características poseen las actividades de aprendizaje donde 
el uso de la tecnología propicie en los estudiantes el desarrollo de procesos 
inherentes del quehacer de las matemáticas?, ¿ Qué tipo de preguntas atienden o 
formulan los estudiantes como resultado de utilizar la tecnología en el tratamiento 
de problemas o situaciones matemáticas?. Específicamente ¿Cuánto y de que 
manera el software apoya didácticamente al docente y al alumno de matemáticas 
para agilizar los cálculos de los problemas que se plantean y proponen?, ¿A qué · 
nivel el uso del software ofrece o funciona como una herramienta útil para que los 
estudiantes visualicen, exploren y construyan relaciones matemáticas?. Estas son 
algunas preguntas que sirven de referencia para presentar y discutir actividades 
que ilustran el potencial de este tipo de software en el tratamiento de situaciones 
matemáticas, principalmente para destacar la importancia de la tecnología en los 
procesos que enfrentan los estudiantes al momento de visualizar, conjeturar, 
formular y utilizar argumentos matemáticos. "Es probable que los estudiantes 
dirijan su experimentación de manera fructífera desde el inicio. Las actividades 
curriculares, como las situaciones problemas, deben diseñarse de tal manera que 
las clases de preguntas que se les planteen a los estudiantes puedan desempeñar 
un papel importante en la profundidad e intensidad de las experiencias de 
aprendizaje. Los estudiantes necesitan explicitar sus predicciones acerca del 
resultado de un cierto fenómeno o acción." (Arcavi y Hadas, 2000, pág. 26). 
25 
El uso del software ofrece claras ventajas a los estudiantes para identificar y 
explorar diversas relaciones matemáticas. Una meta importante, es que los 
estudiantes eventualmente identifiquen el uso del software y de la computadora 
como herramientas que les permitan ampliar sus capacidades cognitivas. 
En este sentido, la tecnología funciona como una lente que le permite al 
estudiante observar y explorar situaciones desde diversos ángulos. Aquí el 
profesor resulta fundamental para dirigir la atención de los estudiantes hacia 
comportamientos particulares de la configuración, ecuación o ejercicio que se esta 
desarrollando. De manera general el software funciona como una herramienta útil 
para realizar el ciclo de visualizar, reconocer y argumentar, procesos -
fundamentales de la disciplina que los estudiantes pueden practicar 
sistemáticamente con la ayuda de este tipo de software. 
Como lo señala Hitt (1994) "el software, además de proveer la 
visualización, proporciona otra de importancia mayúscula que es la 
autoevaluación". De lo anterior, se puede afirmar que los alumnos incrementan la 
exploración y la emisión de posibles resultados, toman un papel más activo e 
independiente en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las 
matemáticas. Cuando se programan y realizan las actividades didácticas 
adecuadas, para que los alumnos utilicen el software y la computadora como 
apoyo didáctico en el aprendizaje de las matemáticas, y puedan conectar las 
diferentes representaciones que se les presentan a partir de la resolución de un 
problema, concluyendo que los alumnos evolucionan en la construcción de 
conceptos matemáticos, por ejemplo, utilizan con mayor frecuencia el método 
gráfico. 
26 
Algún software como el Cabri y el Sketchpad permiten hacer construcciones 
y aplicaciones que se pueden pasar por las pantallas de computadoras y 
calculadoras. Este efecto de "arrastre" (Hóltz, 1996) es utilizado para visualizar 
invariantes y propiedades estructurales, principalmente, 
geométricas. 
de las figuras 
2.1.3.2 Ideas significativas en Matemáticas: Aspectos cognitivos y el papel 
de las nuevas tecnologías 
Es importante abordar el tema del acceso de los alumnos a ideas 
significativas en matemáticas, desde las perspectivas de los procesos cognitivos 
que tienen lugar en las conceptualizaciones matemáticas en los estudiantes y del 
papel que juega la incorporación de las nuevas tecnologías a los cursos de 
matemáticas. Se enfatizan los asuntos relacionados con los procesos cognitivos y 
con el acceso de las nuevas tecnologías en el aprendizaje de las matemáticas que 
pueden considerarse críticos para ampliar nuestro conocimiento sobre aquellos 
factores que pueden favorecer u obstruir el acceso de los estudiantes a ideas 
matemáticas poderosas. 
Cuando uno se refiere al acceso de los alumnos a las ideas significativas en 
matemáticas, la palabra "significativas" se puede interpretar de múltiples maneras. 
Por ejemplo en términos de los procesos de transición que los estudiantes 
experimentan al iniciarse en el álgebra o en la geometría, la forma de conciencia 
del poder de la generalización , de trabajar con lo desconocido y de verificar sus 
conjeturas, son consideradas ideas significativas, puesto que favorecen dicha 
transición y permiten a los estudiantes a acceder a niveles de pensamiento que 
27 
sobrepasan el pensamiento con lo específico, lo numérico y lo perceptual. En este 
sentido, Rojano (2001) comenta que "las ideas significativas en matemáticas no 
son necesariamente las nociones de la matemática avanzada, sino las nociones 
clave que proporcionan un acceso real a estas últimas. De este modo, al menos 
en el contexto de los procesos de transición, una idea matemáticamente 
significativa, adquiere un carácter relativo, ya que depende su poder de favorecer 
la evolución del pensamientomatemático de los estudiantes hacia niveles más 
abstractos, formales y complejos" . 
Algo que ha sido criticado por muchos autores (Lee, 1996) es el 
apresuramiento a la simbolización, cuando se usa un circuito de este estilo en 
tareas de generalización en el aula. Parece que, desde la enseñanza, hay una 
tendencia a abreviar las dos primeras etapas y esto, en ocasiones, inhibe la 
posibilidad de que los alumnos puedan producir una fórmula algebraicamente 
adecuada al problema planteado. Al respecto Lee (1996) discute un ejemplo de la 
actividad utilizada en un estudio experimental con adultos, el cual, debido a 
problemas de percepción de un patrón, no fue posible la producción de una 
fórmula algebraica que condujera a los sujetos a una resolución exitosa de la 
tarea. 
Por otro lado, la presencia de tendencias cognitivas, como la de 
preferencias por un determinado modo de representación, no debilita el argumento 
teórico de que la representación algebraica posibilita la realización de cálculos 
sobre la generalidad, a un punto que es factible resolver una gama amplia de 
problemas relativos a la situación de generalización planteada. Así por ejemplo, 
en una secuencia de figuras o de números, gobernada por un patrón general, la 
28 
expresión algebraica del elemento n-ésimo puede conducir a la determinación del 
lugar en la secuencia de un elemento cuyo valor numérico esta dado; o puede 
calcular el valor específico del elemento para un lugar determinado (posibilidad de 
predicción); o pueden analizarse tendencias de la secuencia, hacia delante y 
hacia atrás (posibilidad de apreciación global). 
Por otra parte, el uso de alguna herramienta tecnológica, muestra en los 
estudiantes una tendencia a utilizar los lenguajes numérico y algebraico para 
expresar el patrón identificado, en sustitución del lenguaje natural. Lo anterior 
implica que un uso adecuado de los medios computacionales puede ayudar a 
crear micro mundos, en los cuales los estudiantes transiten de un modo de 
pensar con lo específico a un modo de pensar con lo general. En relación a cómo 
considerar los métodos propios de los estudiantes, se puede decir que el acceso a 
otro tipo de métodos para resolver problemas de enunciado usando ambientes 
computacionales como el de la Hoja Electrónica de Cálculo, permite adoptar una 
posición intermedia entre la negación de los métodos de los alumnos y su 
incorporación como el "método oficial"; por lo tanto una Hoja electrónica ayuda a 
los estudiantes a representar y poner a prueba relaciones matemáticas sin tener 
que lidiar con un lenguaje simbólico de entrada. Sin embargo, los estudiantes si 
pueden observar dichas relaciones representadas simbólicamente mediante las 
fórmulas de la Hoja Electrónica. En este ambiente las relaciones algebraicas son 
muy cercanas al dominio numérico y en este sentido, este entorno computacional 
constituye un contexto para que los procesos de generalización desde la 
aritmética y la sistematización de los métodos y estrategias propios de los 
alumnos tengan lugar. 
29 
A su vez, Freudenthal (1981 ), expone entre sus trece problemas abiertos a 
la comunidad científica, el número diez que enuncia "1 O. Cómo se pueden usar 
calculadoras y computadoras como herramientas para despertar el entendimiento 
matemático. El avance tecnológico se ha involucrado significativamente en los 
procesos educativos. De modo particular a través del uso de la calculadora y la 
computadora". 
2.1.4 Cálculo Vectorial 
2.1.4.1 Introducción 
El cálculo vectorial, que se inició a mediados del siglo XIX, constituye hoy 
en día una parte esencial de las matemáticas necesaria para matemáticos, físicos, 
ingenieros y demás científicos y técnicos. Spiegel (1988) menciona que "el cálculo 
vectorial no solo constituye una notación concisa y clara para presentar las 
ecuaciones del modelo matemático de las situaciones físicas y problemas 
geométricos, sino que, además, proporciona una ayuda inestimable en la 
formación de las imágenes mentales de los conceptos físicos y geométricos. En 
resumen, el cálculo vectorial puede considerarse, sin lugar a dudas, como el más 
rico lenguaje y forma del pensamiento de las ciencias físicas". 
Uno de los principales temas tratados es el de la unidad "Vectores y 
Superficies", dentro de la cual se destacan algunos conceptos y definiciones 
importantes que más adelante se discutirán. La descripción, significado y análisis 
de funciones en el espacio, puede presentarse como una extensión del concepto 
30 
de función visto en el plano. Sin embargo como menciona Zambrano (1999), "el 
uso de vectores nos permite, además de realizar este salto del cálculo de dos 
dimensiones al cálculo de tres dimensiones, introducir y relacionar nuevos 
conceptos para analizar el cálculo desde una perspectiva geométrica y analítica 
más intuitiva". 
La citada unidad, se inicia mostrando aspectos generales del sistema de 
coordenadas rectangulares en el espacio como, localización de puntos, longitud 
de segmentos y caracterización de vectores; siguiendo con algunas propiedades 
relacionadas con los vectores como, su magnitud, sus ángulos y cósenos 
directores, para con esto realizar operaciones básicas con vectores, como suma, 
resta y producto de un escalar por un vector. Más adelante se realizan ya, 
operaciones de producto escalar y producto vectorial y combinaciones de éstas; 
finalmente se incursiona en la aplicación de las técnicas vectoriales para la 
definición y análisis de gráficas de rectas y planos en el espacio, de cilindros y 
superficies cuadráticas; con esto último se analizan diferentes tipos de sistemas 
para representar puntos y superficies en el espacio. 
2.1.4.2 Vectores y Superficies: Conceptos y definiciones 
A continuación se presentaran algunos conceptos necesarios e importantes 
que comúnmente se utilizan para el estudio de los vectores. 
Vector. Es una magnitud cuya determinación exige el conocimiento de una 
magnitud, una dirección y un sentido. Ejemplos de magnitudes vectoriales son el 
desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc. 
31 
Gráficamente, un vector se representa por un segmento orientado OP 
(Fig.1 ); la longitud del segmento es la magnitud del vector, la dirección del 
segmento es la correspondiente del vector y la flecha indica el sentido del vector. 
El punto O se llama origen o punto de aplicación y P el extremo del vector. La 
recta en que se apoya el segmento se llama directriz del vector. 
o p 
Fig.1 
Analíticamente, un vector se representa por una letra con una flecha _. 
encima; el vector OP también se puede escribir OP u OP (Fig.1 ). 
Escalar. Es una magnitud cuya determinación solamente requiere el 
conocimiento de un número, su cantidad respecto de cierta unidad de medida de 
su misma especie. Ejemplos típicos de escalares son la longitud, la masa, el 
tiempo, la temperatura, etc., y cualquier número real. Los escalares se indican por 
una letra de tipo ordinario. Las operaciones con escalares obedecen a las mismas 
reglas de álgebra elemental. 
Álgebra Vectorial. Las operaciones de suma, resta o multiplicación del 
álgebra elemental entre números reales o escalares, se pueden generalizar, 
introduciendo determinadas definiciones, al álgebra entre vectores, por ejemplo, 
mencionaremos las siguientes: 
32 
Dos vectores A y B son equipolentes si tienen la misma magnitud, la misma 
dirección y el mismo sentido. Si además tiene el mismo origen, se dice que son 
iguales. 
Tanto la equipolencia como la igualdad entre vectores, se representa por: 
A= B (Fig.2). Geométricamente se reconoce que dos vectores son equipolentes 
si el polígono que resulta al unir sus orígenes por una parte, y sus extremos por la 
otra es un paralelogramo. 
A 
B 
Fig. 2 
Dado un vector A, El vector opuesto -A, es el que tiene la misma magnitud 
y dirección, pero sentido contrario (Fig. 3). 
A 
-A 
Fig.3 
La suma o resultante de dos vectores A y B es otro vector C, obtenido de 
trasladar el origen de B al extremo de A y uniendo el origen de A con el extremo 
de B, analíticamente se expresa: A+ B = C. (Fig.4). Obsérvese que trasladando 
los dos vectores a un origen común, el vector suma corresponde a la diagonal del 
paralelogramo con el origen en el origen común. Por ello se dice que la suma de 
vectores obedece a la Ley del paralelogramo . 
33 
~B 
e 
Fig.4 
La diferencia de los vectores A y B, que se representa analíticamente por 
A-8, es otro vector C, tal que sumado a B produce el vector A. En el caso de que 
A = B, el vector A - B se llama vector nulo o cero, y se representa por O. 
El producto de un escalar m por un vector A es otro vector, mA, de la 
misma dirección que A, pero con una magnitud m veces el de A y un sentido igual 
u opuesto al de a, según que el escalar m sea positivo o negativo. Si m = O, mA 
es el vector nulo. 
Leyes del Álgebra Vectorial. Sean A, B y C tres vectores y m y n dos 
escalares. En estas condiciones se verifica lo contenido en la siguiente tabla: 
A+B =B+A Propiedad conmutativa de la suma. 
A+(B+C)=(A+B)+C Propiedad asociativa de la suma. 
mA=Am Propiedad conmutativa del producto por un escalar. 
m(nA)=(mn)A Propiedad asociativa del producto por un escalar. 
(m+n)A=mA+nA Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto de la 
suma de escalares. 
m(A+B)=mA+mB Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto de la 
suma de vectores. 
34 
Estas leyes permiten considerar y tratar las ecuaciones vectoriales de la 
misma forma que si fuera escalares (ecuaciones algebraicas). Por ejemplo, si 
A+B=C, transponiendo términos, A=C-8. 
Vector unitario. Es todo vector con magnitud igual a la unidad. Se 
representa por una letra minúscula, por ejemplo la a. 
Vectores Trirrectángulares i, j, k. Un sistema muy importante de vectores 
unitarios son los que tienen por direcciones las correspondientes a los ejes de un 
sistema de coordenadas cartesianas en el espacio x,y,z, con sentidos los 
positivos de estos ejes y les llamamos vectores unitarios i, j, k. (Fig. 5). 
z 
k 
y 
X 
Fig. 5 
35 
Radio vector. Es un vector r cuyo origen es el punto O y su extremo es el 
punto (x,y,z) y se escribe de la forma: 
r= xi+ yj +zk 
El Plano. El plano es de las figuras geométricas más simples en tres 
dimensiones y la ecuación que lo caracteriza tiene una forma lineal con tres 
variables: 
ax + by + cz + d = O 
En esta ecuación suponemos que a, b, e y d son constantes reales y x, y, y 
z son las variables de la ecuación. 
Cilindro Circular. El conjunto de puntos (x,y,z) que satisfacen la ecuación: 
recibe el nombre de cilindro circular. (Fig.6) 
36 
y 
x2+y2=1 
X 
Fig. 6 
Esfera. De las ecuaciones con tres variables, la de la esfera es una de las 
más simples de recordar, por su gran similitud a la del circulo en el plano, una 
esfera, es el conjunto de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto 
llamado centro. Si denotamos a r al radio de la esfera, y si el centro es el punto 
P1(a,b,c), entonces el punto P(x,y,z) se encuentra en la superficie de la esfera, si y 
solo si, la distancia de P1 a Pes igual ar, esto es: 
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r 
Superficies cuadráticas. La ecuación de la esfera es un caso particular de 
las ecuaciones de segundo grado: 
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + lz + J = O 
En donde A=B=C. Cuando A, B y C no son todos nulos, la gráfica de esta 
ecuación es una superficie cuadrática. 
37 
CAPITULO 3 
PROPUESTA 
3.1 Contenido del manual 
El contenido del manual es el siguiente: 
INTRODUCCIÓN. 
OBJETIVOS. 
1. Cómo trabajar con los aspectos generales en DERIVE. 
2. Cómo seleccionar los comandos en DERIVE y cuál es su significado. 
3. Para realizar las primeras operaciones en DERIVE. 
4. Cómo trabajar con expresiones en DERIVE. 
5. Para declarar funciones predeterminadas en DERVIVE. 
6. Cómo tratar los números complejos en DERIVE. 
7. Para la representación gráfica de curvas y superficies. 
8. Para el cálculo vectorial y matricial con DERIVE. 
9. Como imprimir en DERIVE. 
1 O. Declaración de las funciones en DERIVE de los vectores y superficies. 
11 . Problemas propuestos. 
12. Descripción de la Unidad 1 "Vectores y Superficies" . 
13. Conclusión Final. 
38 
BIBLIOGRAFÍA. 
NOTAS. 
3.2 Justificación de las partes del manual 
Un manual es un documento que nos permite conocer las operaciones que 
se van realizando paso a paso, así como los lineamientos y funciones a seguir 
para desempeñar ciertas actividades. 
El manual pretende, principalmente, auxiliar a los docentes y alumnos, para 
que con las funciones e instrucciones que lo contienen agilicen el cálculo y la 
comprobación de resultados de los ejercicios propuestos para esta unidad; se 
familiaricen con el uso del software DERIVE; así también, para que con los 
ejemplos de las diferentes funciones y fórmulas que se enlistan, todas declaradas 
en DERIVE, las utilicen en la solución de los problemas que se proponen en el 
presente manual, practicando las funciones en modo ALGEBRA y en modo 
GRAFICO (20-plot y 30-p/ot). Conforme se avanza con el uso del manual, 
veremos que para los problemas planteados, se pide al usuario que se resuelvan 
en forma tradicional (lápiz y papel) y utilizando el software, para que él mismo 
compare la agilización en obtención y comprobación de los resultados, más aún 
en forma gráfica, dando la oportunidad de que en el mismo manual se apunten sus 
observaciones al momento de implementarlo. 
La implantación se hará con nueve alumnos inscritos en el curso señalado. 
Con esto al final se tendrán dos evaluaciones del uso del manual, una entrevista 
no estructurada y un cuestionario por categorías, para evaluar cuanto y como 
ayudó el manual al usuario para agilizar la resolución de los problemas 
39 
propuestos, y para evaluar el contenido del manual ya que se pretende también, 
que este manual sea la pauta para que en un futuro se incluyan las demás 
unidades del curso de Matemáticas II y el producto de alguna manera forme parte 
de los criterios de evaluación de la materia. 
Los conocimientos previos que deben de tener los alumnos que lo utilicen 
son los que se marcan para cursar la materia de matemáticas 11, y que 
principalmente es el haber acreditado la materia de matemáticas 1, al respecto se 
comenta en el punto No. 12 del contenido del manual. Además, se puede 
considerar también, que el alumno tenga conocimientos básicos de Windows, 
tema que abarca el contenido de la materia de computación, también cursada en 
el primer semestre de ingeniería. Para este segundo punto, se tiene la experiencia 
de que el alumno llega a estos niveles con conocimientos básicos de 
computación, lo único que le retraza de otros compañeros es la práctica, aspecto 
que se enfatiza durante el uso del manual y del software. 
Respecto a las partes del manual se justifica lo siguiente: 
Portada. Dará una visión de lo que trata el manual, se incluirá en título, y 
dos gráficas realizadas con el mismo software. 
Introducción. Se tendrá una introducción acerca del contenido del manual. 
Es importante que el usuario conozca su contenido en forma general y tenga una 
idea clara sobre como se conforma y como es su estructura. 
Objetivos. Enunciarán los fines que se pretenden con el manual, tanto para 
docentes como para alumnos, al implementar el producto. 
40 
Contenido. Este apartado contendrá la parte medular del trabajo. Como se 
observa en la lista del punto anterior, se abordarán diferentes aspectos que serán 
de utilidad al usuario al momento de implementarlo. 
Bibliografía. Se incluyen referencias bibliográficas para el uso del manual, 
tanto de textos como de páginas web. 
Notas. Este es un espacio con hojas en cuadrícula para que el usuario 
haga las notas y los apuntes que considere necesarios. 
3.3 Portada