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Educação em Ecuções Diferenciais
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INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE
MONTERREY
CAMPUS EUGENIO GARZA SADA
LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EN EL CONTEXTO DE
SUS APLICACIONES: SECUENCIAS DIDÁCTICAS
PARA SU ENSEÑANZA EN EL SISTEMA ITESM
Tesis presentada como requisito parcial para optar
al título de Maestro en Educación con
especialidad en Matemáticas
Autor: lng. Carlos Alejandro Sánchez Pineda
Asesor: Dr. Jorge Homero Siern Cavazos
Monterrey, N. L a 2 de diciembre de 1994,
DEDICATORIAS
A Lilia, porque con su paciencia y amor vivió de cerca este
proyecto y siempre me impulsó a culminarlo. Porque le
ha dado sentido y espíritu al proyecto de vida que juntos
estamos construyendo.
A Alex, por ser una bella promesa que Dios y Lilia me han
regalado.
A mis padres, por los valores que me transmitieron que son la base de
mis logros actuales, por su gran amor y apoyo
incondicional y por la vida que Dios a través de ellos me
dio.
A mis hermanos, por la familia unida que hemos formado.
Al ITESM, por la formación que me ha dado y sobre todo por la
filosofla de superación continua que ahora norma mi
vida
ü
RECONOCIMIENTOS
Agradezco al Dr. Jorge Homero Sierra Cavazos sus orientaciones y
sugerencias en la elaboración de este trabajo, así como la confianza que
depositó en mi persona
Agradezco al ITESM-Campus Chiapas por el apoyo y los recursos
computacionales que puso a mi disposición para llevar a buen término este
proyecto.
iü
RESUMEN
"LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EN EL CONTEXTO DE
SUS APLICACIONES: SECUENCIAS DIDÁCTICAS PARA SU ENSEÑANZA EN
EL SISTEMA ITESM"
Autor: lng. Carlos Alejandro Sánchez Pineda
Asesor: Dr. Jorge Homero Sierra Cavazos
Este trabajo es una propuesta de disefto de secuencias didácticas para la enseftanu
de la materia "Ecuaciones diferenciales", con clave MA-90-033, que se imparte en el
Sistema ITESM. El marco teórico en el que está fundamentado es una didáctica de
enfoque constructivista orientada a la resolución de problemas de aplicación de las
ecuaciones diferenciales ordinarias y su objetivo general es hacer motivante, significativa
y útil la materia a los estudiantes.
Las secuencias didácticas que propone el autor se basan en el diseilo de problemas-
proyecto como medio para motivar la participación de los estudiantes. El problema es el
medio y el móvil del aprendizaje y el profesor orienta y conduce al alumno para que éste
construya su propio conocimiento. La metodología se explica sólo en el tratamiento del
Tema 1 del curso descrito; sin embargo, es el modelo para la exposición de todo el
contenido de la materia.
Los objetivos planteados por el trabajo son de largo alcance e implican cambiar la
didáctica tradicional, que se centra en algoritmos de solución analftica de las ecuaciones
diferenciales, hacia una didáctica centrada en el alumno y en la resolución de problemas.
Este trabajo propone, entre otras cosas, que el profesor se convierta en un profesional y
en un investigador de su labor docente, que se documente y actualice en didáctica de las
matemáticas, que se convierta de expositor en facilitador del aprendizaje de sus alumnos,
que integre aspectos históricos a sus exposiciones, que haga uso de la tecnología
computacional para enfatizar la visualización de los conceptos y que exponga los
conceptos en los contextos aritmético, algebraico y gráfico.
El trabajo también sugiere una nueva secuencia en el tratamiento de los
contenidos del Tema 1, hace más explícitos los objetivos específicos del mismo y
propone cubrir tal tema en 14 horas ( diez sesiones de una hora de clase y cuatro horas de
laboratorio).
iv
ÍNDICE GENERAL
PRESENTACIÓN....................................................................... t
DEDICATORIA.S ••••••••••••••••••••• " ••••••••••••••••• "............................. 11
RECONOCIMIENTOS ............................................................. 111
RESlJMEN ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• IV
iNI>ICE GENERA.L ................................................................... V
iNI>ICE DE TABLAS................................................................ vt1
iNI>ICE DE FIGlJRAS •••••••••••.•••••••••••••••.•••.•••••••••••••.•.•••••..••••••• vit
.INTRODUCCIÓN ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 1
l. PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA................................ 2
1.1 ANTECEDENTES .......................................................... 2
1.2 IDENTD1CACIÓN DE LA NECESIDAD...................... 3
1.3 PROBLEMA .................................................................. 5
1.3.1 Enunciado............................................................... 5
1. 3. 2 Delimitación ........................................................... 5
1.3.3 Justificación y marco teórico............................... 7
1.40BJ'ETWOS ................................................................... 19
1. 5 LIMITACIONES •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 20
2. CONSIDERACIONES TEÓRICAS .................................... 21
2.1 MODELACIÓN MATEMÁTICA .................................. 21
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES ................................ 23
2.3 RELACIÓN DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES CON OTRAS DISCIPLINAS
MATEMÁTICAS ••••••••••••••••••••••..•.••.••••.••.••••••••••.••••••••••.••••• 26
2.4 DESARROLLO HISTÓRICO DE LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES .................................... 27
3. ANÁLISIS DE ALGUNAS APLICACIONES DE LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS........... 33
3.1 MODEW MALTHUSIANO DE CRECIMIENTO
POBLACIONAL ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 33
3.1.1 Problema ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 33
3 .1. 2 Moclelo m.atem.étieo ................................................ 3 3
3.1.3 Solución del moclelo ............................................... 35
3 .1. 4 Sugerencias didácticas I ........................................ 3 7
3 .1. 5 Ejercicios I ··················································-········· 40
V
3.2 MODELO LOGÍSTICO DE CRECIMIENTO
POBLACIONAL ...•.•.......•.•....•...•.••.•.•......•.•.•..•.....•........ 46
3.2.1 Problema ................................................................ 46
3.2.2 Moclelo matemético ............................................... 46
3.2.3 Solución del moclelo .............................................. 47
3.2.4 Sugerencias did6eticas D..................................... 49
3.2.5 Ejercicios U........................................................... 52
3.3 DECAIMIENTO RA.DIA.CTIVO ................................... 55
3.3.1 Problema ................................................................ 55
3.3.2 Moclelo matemético ............................................... 55
3.3.3 Solución del moclelo .............................................. 57
3.3.4 Sugerencias didéeticas m .................................... 59
3.3.5 Ejercicios m ......................................................... 60
3.4 CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTO DE
CUERPOS -················-··············••••••••••••••••••••••··················· 63
3.4.1 Problema................................................................ 63
3.4.2 Moclelo matemétieo ............................................... 63
3.4.3 Soluei6n del moclelo .............................................. 64
3.4.4 Sugerencias didéeticas IV.................................... 65
3.4.5 Ejercicios IV.......................................................... 68
4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.................. 71
S. APÉNDICES .......................................................................... 76
5.1 APÉNDICE A (Matemáticos relevantes) ..................... 76
5.2 APÉNDICE B (Vitae).................................................... 90
6. BIBLIOORA.FÍA •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••91
vi
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1: Isótopos radiactivos y sus tiempos de semivida ......... S6
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1: Modelo de resolución de problemas de Gick ........... 8
Figura 2: Proceso de modelaci6n matemática .......................... 22
Figura 3: Las ecuaciones diferenciales en el contexto
del conocimiento matemático ..................................... 26
vil
INTRODUCCIÓN
Es bien sabido que el fenómeno de la enseftanz.a es muy complejo, y que, por lo
mismo, no tiene una solución única. A lo largo del tiempo se han realizado diversos
trabajos todos ellos orientados hacia objetivos más o menos homogéneos: que el
aprendizaje resulte más efectivo en los alumnos, que los contenidos sean relevantes y de
utilidad para la formación deseada en los estudiantes, que mejore el desempeflo
académico observado en los educandos, etc. Tales estudios normalmente constituyen
propuestas de diversa índole que una vez probadas en el aula, se registran
estadísticamente y los resultados positivos que se hayan obtenido se recuperan para
incorporarse al extenso bagaje de las secuencias didácticas disponibles para el profesor.
El presente trabajo es una reflexión del autor acerca de la enseftanz.a de las
ecuaciones diferenciales ordinarias en el sistema ITESM, apoyada en un marco teórico de
enfoque constructivista y orientada a la obtención de un aprendizaje significativo y útil
para los futuros profesionistas. Esta reflexión propone un cambio en la filosofla
tradicional de la enseftanz.a de las matemáticas, cuya orientación ha sido principalmente
algorltimica; este trabajo busca centrar las actividades de aprendizaje en las acciones que
los estudiantes realicen sobre los objetos matemáticos para de esta forma asimilarlos.
El autor propone diseftar secuencias didácticas basadas en el proceso de
resolución de problemas, incorporando en el tratamiento de los temas aspectos históricos
del desarrollo de las ecuaciones diferenciales. Los ejercicios son vistos como problemas-
proyecto para que los alumnos, en equipos de trabajo, discutan, resuelvan y obtengan así
conclusiones del trabajo realizado en el aula o fuera de ella. El profesor se convierte así
en el conductor de las actividades de aprendizaje y en el moderador de las conclusiones a
las que lleguen sus estudiantes. El trabajo también propone incorporar la tecnología
computacional hoy en dfa disponible para dar tiempo al análisis, visualización de los
resultados y facilitar así el tratamiento de los contenidos con argumentos visuales,
numéricos y algebraicos . Como se ha mencionado, el enfoque es constructivista y acorde
con la actual tendencia en la didáctica de las matemáticas: presentar el contenido
matemático no como un conocimiento acabado, definido y estático, sino buscar
secuencias didácticas flexibles que lleven a los estudiantes a construir su propio
conocimiento.
l. PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA
1.1 ANTECEDENTES
El Sistema Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM),
ofrece en la materia "Ecuaciones Diferenciales" los contenidos que se refieren a las
ecuaciones diferenciales ordinarias. La clave administrativa actual de esta materia es
"MA-9fM}33", donde las siglas "90" indican que pertenece a los planes de estudio de las
carreras profesionales autorizados desde 1990 y hasta agosto de 1995. Este curso se
ofrece en periodos escolari7.ados de un total de 48 horas (3 horas por semana durante 16
semanas, o 2 horas diarias durante aproximadamente 5 semanas)
El programa analítico del curso MA-90-033 abarca los siguientes temas generales
indicando el tiempo estimado en su tratamiento.
Tema Tiempo estimado
en horas
1. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. 1 O
2. Ecuaciones diferenciales lineales de orden
mayor o igual a dos. 13
3. Resolución de ecuaciones diferenciales
mediante series de potencias. 6
4. Transformada de Laplace. 13
5. Series de Fourier 4
Total de horas de exposición = 46
Como se ha mencionado, el curso comprende 48 horas de trabajo, por lo que el
profesor dispondrá de dos horas adicionales para resolver dudas de sus alumnos y reforzar
temas relativos a los exámenes parciales.
2
1.2 IDENTIFICACIÓN DE LA NECESIDAD
La situación actual que se observa con respecto al curso de ecuaciones di-
ferenciales (MA-90-033) es la siguiente:
a) En el programa analítico de la materia sólo 4 de sus 57 objetivos
específicos de aprendi7.aje (OEA's) están dedicados a aplicaciones
prácticas de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Tales objetivos se
describen enseguida.
OEA 1.11
OEA 1.15
OEA 2.12
OEA 4.6
" Construir y resolver las ecuaciones de algunos
problemas geométricos y flsicos".
" Obtener las trayectorias ortogonales de una
familia de curvas dadas".
" Modelar algunos problemas flsicos tales como
circuitos eléctricos, vibraciones mecánicas, etc. y
resolver las ecuaciones diferenciales
correspondientes".
" Aplicar el método de la transfonnada de Laplace
para resolver ecuaciones diferenciales, usando las
propiedades del OEA 4.4 e incluyendo algunos
casos de problemas fisicos donde se ilustre la
convemenc1a de emplear la transformada de
Laplace".
b) Los otros 53 OEA's del programa tratan de métodos analíticos de
solución, de fundamentos teóricos y de ejercicios donde el alumno
debe practicar la teoría aprendida y resolver ecuaciones
diferenciales por diversos métodos analíticos.
c) La mayoría de los ejercicios tratados en el curso son de práctica
mecánica en la solución de ecuaciones diferenciales. El maestro
explica la teoría acerca de un tipo de ecuación diferencial,
resuelve algunas ecuaciones a manera de ilustración del método y
encarga de tarea entre 5 y 15 ecuaciones para que las resuelvan los
alumnos.
3
d) El tiempo de exposición que estipula el programa para tratar los
cuatro OEA's referentes a aplicaciones prácticas es aproximada-
mente de cuatro horas (una hora por cada objetivo), mismo que
resulta insuficiente.
e) No se le ofrece al alumno la oportunidad de relacionar la teoría
aprendida con aplicaciones prácticas. La materia se le presenta
como un conjunto de métodos que sirven para resolver diversas
ecuaciones, las cuales el estudiante no encuentra relacionadas con
situaciones concretas. Surge frecuentemente la pregunta "¿ ... y eso
para qué me va a servir ? ".
La situación deseable puede resumirse como sigue:
a) El programa analítico contiene, en su mayor parte, OEA's relativos
al análisis de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.
b) Los ejercicios tratados en clase y en tareas siguen la siguiente
secuencia: análisis de un problema de aplicación, modelación
matemática del problema mediante una ecuación diferencial,
identificación del tipo y características de la ecuación diferencial
encontrada, explicación de diferentes alternativas de solución y
análisis de la solución encontrada.
c) Se hace uso constante de herramientas computacionales
( calculadoras de bolsillo, programas de cómputo "caseros" y/o
paquetes computacionales comerciales), principalmente como
ayuda gráfica en la fase de análisis de las soluciones encontradas
y para agilizar cálculos manuales tediosos.
d) El profesor disefta secuencias didácticas orientadas al trabajo de
los estudiantes en subgrupos de discusión, con el objeto de
ayudarlos a comprender con curiosidad y entusiasmo los
conceptos del curso. El maestro guia las actividades hacia la
construcción del saber por los propios alumnos y crea un ambiente
donde la resolución de un problema es el móvil y al mismo tiempo
el medio del aprendi7.aje.
4
1.3 PROBLEMA
De lo anterior, se observa una discrepancia notoria entre las situaciones actual y
deseable. Esta discrepancia justifica, a juicio del autor, el estudio de una reforma en el
curso de ecuaciones diferenciales (MA-90-033) que ofrece el ITESM.
1.3.1 Enunciado
El problema observado se puede caracterizar al dar respuesta a las siguientes
preguntas:a) ¿ Cómo lograr que el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales sea
más motivante y significativo para el alumno ?
b) ¿Cómo lograr que el alumno aprenda a resolver problemas de apli-
cación?
1.3.2 Delimitación
La propuesta del presente trabajo es un intento de responder a las cuestiones arriba
planteadas. El autor no intenta poner en tela de juicio los contenidos tradicionales de la
materia MA-90-033, sino explorar una nueva metodología para que el aprendizaje de las
ecuaciones diferenciales ordinarias sea significativo, motivante y de mayor utilidad para
los estudiantes.
La metodología de enseftanza basada en el análisis de problemas de aplicación,
requerirá modificar el orden tradicional con que se tratan los temas del curso.
El presente trabajo abarcará sólo los contenidos del primer tema del curso
"Ecuaciones diferenciales" (MA-90-033) que se ofrece en el Sistema ITESM, e intenta
ser un modelo para el tratamiento didáctico de todo el curso. El tema mencionado lleva
por titulo "Ecuaciones diferenciales de primer orden", y a continuación se muestran los
OEA's que comprende:
TEMA 1 Ecuaciones dlferenclales de primer orden.
OEA 1.1 Definir ecuación diferencial ( ordinaria y parcial).
OEA 1.2 Definir orden y grado de una ecuación diferencial ordinaria.
OEA 1.3 Definir solución de una ecuación diferencial ordinaria.
OEA 1.4 Definir solución general y solución particular de una ecuación dife-
rencial ordinaria.
5
OEA 1.5 Definir problemas con valor inicial para ecuaciones diferenciales de
primer orden.
OEA 1.6 Identificar y aplicar los conceptos anteriores.
OEA 1. 7 Definir e ilustrar el concepto de solución singular.
OEA 1.8 Definir y construir las isoclinas y el campo direccional de una
ecuación diferencial de primer orden.
OEA 1. 9 Mediante campos direccionales, obtener soluciones gráficas apro-
ximadas de ecuaciones diferenciales de primer orden.
OEA 1.1 O Reconocer y resolver ecuaciones diferenciales de variables separables
y reducibles a la forma separable.
OEA 1.11 Construir y resolver las ecuaciones diferenciales de algunos problemas
geométricos y fisicos.
OEA 1.12 Reconocer y resolver ecuaciones diferenciales exactas y aquéllas que
requieren de factores integrantes, en particular el caso en que el factor
integrante es función de una sola variable.
OEA 1.13 Reconocer una ecuación diferencial lineal de primer orden y estudiar
sus propiedades de linealidad.
OEA 1.14 Obtener y aplicar la fórmula para la solución general de una ecuación
diferencial lineal de primer orden, utili7.ando el método del factor
integrante y el de variación de parámetros.
OEA 1.15 Obtener las trayectorias ortogonales de una familia de curvas dada.
Al final del presente trabajo se propondrá un nuevo orden en el tratamiento de los
contenidos arriba expuestos, reformulando los OEA's pero sin que éstos pierdan su
esencia inicial.
Un gran obstáculo a vencer será la mala disposición del alumno al aprendiz.aje de
los llamados "problemas de planteo" o "problemas platicados". He aquí el gran reto.
6
1.3.3 Justificación y marco teórico
La resolución de problemas matemáticos es prácticamente un sinónimo de "estudiar
matemáticas": todos los maestros emplean gran parte de su tiempo de clase en la
resolución de problemas sobre diversos temas; la mayoría de los textos incluyen extensas
listas de problemas resueltos y propuestos; la mayor parte de las tareas consisten en
resolver gran cantidad de problemas; y el sistema de evaluación se basa en pedir que el
alumno resuelva cierto número de problemas en determinado tiempo. Como
consecuencia de tal situación, el estudiar cómo las personas resuelven problemas es sin
lugar a dudas de enorme importancia para optimizar el proceso de enseftanza de las
matemáticas.
El reconocimiento dado a la actividad de resolver problemas en el desarrollo de las
matemáticas ha originado diversas propuestas para su enseftanza. Santos (1992)
menciona que uno de los primeros estudios se remonta al siglo XVII con René Descartes,
quien en su libro "Rules for the direction of mind" realizó conjeturas acerca de la
existencia de reglas básicas para resolver cualquier tipo de problema. También el gran
matemático David Hilbert (1862-1943) realizó una importante contribución al presentar
ante la comunidad matemática, en 1900, 23 problemas que han sido fuente de inspiración
para el desarrollo del conocimiento matemático.
Con respecto al presente siglo es a partir de la década de los 40's cuando empiezan
a surgir una gran variedad de estudios en las áreas de psicología educativa y de educación
matemática, que han generado diversos principios relacionados con la resolución de
problemas matemáticos. No se puede dejar de mencionar el trabajo del célebre George
Pólya, quien en el periodo de 1944 a 1965 produjo lo que muchos estudiosos consideran
los mejores libros que se han escrito acerca de la resolución de problemas. Pólya describe
cuatro fases para resolver problemas:
1. Comprensión del problema. Para entender el problema se sugiere
contestar preguntas como ¿cuál es la incógnita?, ¿cuáles son los datos?,
¿cuál es la condición?, ¿es posible satisfacer la condición?, ¿es
suficiente la condición para determinar la incógnita?, ¿ es insuficiente,
redundante o contradictoria? , etc. Aquí Pólya recomienda dibujar una
figura e introducir una notación apropiada.
2. Diseft.o de un plan. En esta etapa las preguntas clave son: ¿conoce un
problema relacionado?, ¿conoce un teorema que pueda resolverlo?,
¿recuerda un problema que tenga la misma incógnita?, ¿ha usado todos
los datos?, ¿ha considerado todas las condiciones del problema?, etc.
3. Eiecución del plan . Al ir desarrollando la solución, Pólya sugiere
probar que cada paso de la misma es correcto.
7
4. Visión retrospectiva del proceso de solución. Las preguntas a contestar
en esta fase pueden ser: ¿ha comprobado el resultado?, ¿puede
encontrar el resultado de forma diferente?, ¿puede usar el resultado o el
método para resolver otro problema?, etc.
Para cada fase sugiere una serie de preguntas que el estudiante se puede hacer, o de
aspectos que debe considerar para ir progresando en la solución del problema. Pólya hace
hincapié en el desarrollo del pensamiento heurístico, que consiste en estrategias y
técnicas para avam:ar en la solución de problemas nuevos o desconocidos. Con ejemplos
ilustra el uso de diversos métodos heurísticos, como son: dibujar figuras o gráficas,
introducir una notación adecuada, aprovechar problemas relacionados, establecer
analogías, reformular el problema y trabajarlo en sentido inverso.
Valenzuela (1992) resalta que las personas normalmente poseen dos tipos de
conocimientos para resolver un problema:
1. Un conocimiento específico de una materia determinada, el cual
proporciona esquemas organizados de conceptos, principios y fórmulas
relacionados a la materia.
2. Un conocimiento de estrategias generales aplicables a casi cualquier
problema, como pueden ser el descomponer el problema en pequeftos
problemas más sencillos y el uso de métodos heurísticos.
También seftala que el "aprendiz.aje de estrategias, independiente de la adquisición
de esquemas, puede ser nocivo para el estudiante". Proporciona además el modelo
propuesto por Gick (1986) que ilustra la forma en que estos dos tipos de conocimientos
se usan para resolver problemas. Tal modelo se muestra a continuación.
,
' Fra caso
' Representación , del problema
Los esquemas no
'
~ son activados
Búsqueda de algún
Los es
' método especifico , son ac de solución
' ~
Aplicación del método
,,
especifico de solución '
bito
' '~
Fin
quemas
tivados
Fipn 1: Modelo de raoluci6n de problemas de Gick.
8
Santos (1992) aoaliu el trabajo de Alan Schoenfeld, matemático puro de profesión,
quien ha dedicado tiempo al estudio de cómo actúa la gente cuando resuelve problemas
matemáticos. Aunque Schoenfeld reconoce el potencialde las estrategias planteadas por
Pólya, se dio cuenta que los estudiantes que reciben entrenamiento para las competencias
de matemáticas en los Estados Unidos no usan las ideas de Pólya y trabajan bajo el
principio de que "uno aprende a resolver problemas exitosamente en la medida que
resuelve un gran número de problemas". La tarea de Schoenfeld fue investigar por qué las
ideas de Pólya no eran consideradas como guia en el entrenamiento de los estudiantes que
participan en competencias matemáticas.
Después de una revisión de estudios realiz.ados en ciencias cognoscitivas y en
inteligencia artificial, Schoenfeld estableció que las categorías de Pólya de pensamiento
heurístico resultan demasiado abstractas para el principiante, y que para entender el
proceso que usan los resolvedores de problemas y proponer direcciones para la
instrucción matemática, es necesario tomar en cuenta la disciplina, la dinámica del salón
de clases y el aprendizaje aunado al proceso de pensamiento. Sugirió discutir problemas
en diferentes contextos y encontró que existen cuatro dimensiones que influyen en el
proceso de resolver problemas:
1. Dominio del conocimiento. Este aspecto incluye definiciones, hechos y
procedimientos usados en el dominio matemático.
2. Estrategias cognoscitivas. Esta dimensión se refiere al uso de métodos
heurísticos tales como descomponer el problema en simples casos,
establecer metas relacionadas, invertir el problema y dibujar diagramas.
3. Estrategias metacognoscitivas. En esta dimensión se considera la se-
lección de estrategias y la necesidad de cambiar de dirección "sobre la
marcha" como resultado de un monitoreo constante del desarrollo de la
solución.
4. Sistemas de creencias. Esta dimensión se compone de la visión que
tenga el individuo acerca de las matemáticas y de si mismo. Estas
creencias determinan la conducta de un estudiante: cómo se aproxima a
un problema, cuáles técnicas usa o evita, etc. y establecen el marco
dentro del cual se utilizan los recursos, el pensamiento heurístico y el
control.
Una característica muy importante en los alumnos, relacionada con su sistema de
creencias, es su autoestima respecto a las matemáticas, la cual se incrementa cuando
realizan con éxito el ejercicio que se planteó en clase o que ellos mismos se propusieron.
9
La seguridad y autoconfiama necesarias en los alumnos es un factor que no debe
soslayarse por el maestro, quien debe ayudar a incrementar la seguridad de sus alumnos
diseftando situaciones en las cuales puedan llegar al éxito después de orientarlos en los
fracasos obtenidos. El profesor debe partir de la premisa que sus estudiantes son personas
inteligentes y no proporcionar rápidamente la respuesta correcta sino tener paciencia y
orientar a los alumnos para que sean ellos quienes lleguen a la meta.
Puede decirse que el modelo propuesto por Schoenfeld es una depuración de las
cuatro etapas de Pólya. Es importante resaltar que Schoenfeld toma en cuenta lo que
denomina "microcosmo matemático" en el salón de clase. Esta caracteristica convierte a
su propuesta en un avance respecto a la de Pólya, porque centra su modelo en propiciar
condiciones pertinentes en el aula para que los estudiantes aprendan a resolver problemas
con efectividad. Algunas de las actividades de aprencliuje utiliz.adas por Schoenfeld son:
a) Resolver problemas en diferentes contextos con la finalidad de mostrar
a los estudiantes las diversas decisiones tomadas durante el proceso de
solución, y proporcionarles así mayores recursos para resolver los
ejercicios. Con respecto a este punto, Valenzuela (1992) hace mención
del trabajo de Sweller cuyas investigaciones muestran que la
adquisición de esquemas se puede favorecer a través del uso de
problemas con soluciones múltiples, de problemas que se analicen
desde diversas perspectivas (por ejemplo, problemas que puedan ser
resueltos analítica y gráficamente), o de problemas que requieran
buscar relaciones con conocimientos previamente aprendidos.
b) Actuar como moderador mientras los estudiantes discuten problemas en
la clase. Formar grupos de trabajo, propiciar la reflexión acerca de la
labor realizada y cuestionar a los alumnos sobre las estrategias que
seleccionaron para resolver los ejercicios.
Un factor esencial para que la resolución de problemas se convierta en una ac-
tividad interesante y productiva para los alumnos es, sin duda, el maestro. Sus acciones y
el ambiente que logre crear dentro de su clase darán significado a la práctica de los
ejercicios. Peltier (1993) establece tres modelos que pueden explicar las diversas estra-
tegias que emplean los maestros en una clase:
a) El modelo llamado "normativo", centrado sobre el contenido; en él se
trata de dar, de comunicar un saber a los alumnos: el maestro muestra
las nociones, las introduce, proporciona los ejemplos; el alumno
escucha, aprende, imita, se entrena, aplica; el saber es dado de manera
acabada, ya construido; los problemas son presentados al final del
recorrido, con fines de evaluación. Son los métodos llamados
dogmáticos o magisteriales.
10
b) El modelo llamado "incitativo", centrado en el alumno; lo primero que
el maestro necesita es conocer los intereses de los estudiantes, sus
necesidades, su entorno: el maestro escucha al alumno, suscita su
curiosidad, le ayuda a usar fuentes de información, responde a sus
preguntas; el alumno busca, organiza, estudia trabajando de manera
autónoma en un fichero; el saber está ligado a las necesidades de la
vida, del entorno. El problema es un móvil del aprendiz.aje, es concreto,
ocasional.
e) El modelo llamado "aproximativo", centrado en la construcción del
saber por el alumno; se propone partir de concepciones existentes en el
estudiante y ponerlas a prueba: el maestro propone y organi7.a una serie
de situaciones jugando con diversas restricciones (variables didácticas),
organi7.a las diferentes fases (investigación, formulación, validación,
institucionalización); maneja la comunicación en la clase; da, llegado el
momento, elementos convencionales del saber; el alumno intenta,
busca, hace hipótesis, propone soluciones, las confronta con sus
compafteros, las defiende; el saber es considerado con su propia lógica;
el problema es medio del aprendiz.aie.
Puede decirse que ningún profesor utiliza exclusivamente un modelo, pero el
estudio de las prácticas existentes muestra que cada uno escoge, más o menos con-
cientemente, alguno de ellos o una combinación de los mismos. El autor considera que
una combinación de los modelos "incitativo" y "aproximativo" seria un medio ideal para
desarrollar la enseftan7.a de las matemáticas centrada en la solución de problemas. Es
evidente que para hacerlo factible, el maestro debe concientizarse del arduo trabajo que
implicará desarrollar problemas que permitan a cada alumno construir su saber en
interacción con los otros compafteros. Al respecto, Parra (1990) proporciona algunos
comportamientos deseables en el profesor:
a) Animar a los estudiantes a explorar cualquier idea o estrategia que
pueda ayudarlos a entender y/o resolver un problema, sin censurar las
ideas generadas.
b) El error que el alumno comete al resolver un problema o llevar a cabo
un algoritmo merece ser considerado como fuente de conocimiento. Se
debe permitir al alumno que explique sus concepciones, sus estrategias,
que busque la manera de validar su resultado y aprenda del error
cometido.
c) Reconocer y refoaar las habilidades de los estudiantes.
d) Fomentar en los alumnos la perseverancia al intentar resolver los
problemas.
11
Stenhouse (1987) va más allá y postula que ningún aula debe convertirse en una
isla, que el profesor debe informar de su trabajo en el salón de clase, establecer
comunicación cercana con sus colegas y convertirse en investigador y crítico de su propia
acción. También define al profesional amplio como modelo en el cual debe clasificarse a
los verdaderos profesores;el profesional amplio, según Stenhouse, debe poseer las
siguientes cualidades:
a) Considerar su labor dentro del contexto más amplio de la escuela, la
comunidad y la sociedad.
b) Participar en una serie amplia de actividades profesionales como pue-
den ser páneles sobre temas, seminarios, conferencias, centros aca-
démicos, etc.
c) Preocuparse por unir la teoría con la práctica.
d) Establecer un compromiso con alguna forma de teoría acerca del
currículum y algún modo de evaluación.
e) Poseer la capacidad para un autodesarrollo profesional autónomo me-
diante un sistemático autoanálisis, el estudio de la labor de otros
profesores y la comprobación de ideas mediante procedimientos de
investigación en el aula.
Stenhouse también seftala que un profesor que desee apostar por investigar y
· desarrollar su propio modo de enseftanz.a, puede hacer uso, en determinados momentos de
su investigación, de la presencia de un observador en el aula. Se ha visto que la
investigación realizada en las aulas está mejorando la experiencia que se obtiene en clase
y está eliminando la principal barrera para la comprensión de los alumnos, que es la
creencia de que el profesor siempre tiene la razón. Es importante que los alumnos vean a
su profesor como la persona humana que es, susceptible de equivocarse pero con la
conciencia de corregir sus propios errores, y sobre todo de aprender de ellos.
Desde el punto de vista psicológico, no exite una teoría única que fundamente la
enseftanz.a de las matemáticas a partir de la mejora del proceso de resolución de
problemas. Sin embargo, las ideas de Jean Piaget (1896-1980) pueden servir de base para
la metodología que propone el presente trabajo.
La concepción de Piaget acerca del desarrollo intelectual refleja su interés en la
biología y el conocimiento. Él postuló que los seres humanos heredan dos tendencias
básicas: organización (tendencia a sistematizar y combinar procesos en sistemas
generales coherentes) y adaptación ( tendencia a ajustarse al medio ambiente).
12
Para Piaget. la organiz.ación y adaptación gobiernan el funcionamiento mental y
fisiológico. Justo como el proceso biológico digestivo transfonna la comida en una forma
aprovechable para el cuerpo, así los procesos intelectuales transforman experiencias en
formas que el sujeto puede usar cuando trate con nuevas situaciones. De igual forma
como los procesos biológicos se mantienen en un estado de balance ( a través de la
homeostasis ), los procesos del intelecto buscan un balance a través del proceso de
equilibración (una forma de autoregulación que todos los individuos usan para darle
coherencia y estabilidad a su concepción del mundo).
Desafortunado es el hecho de que algunos padres y maestros crean que los alumnos
son una especie de contenedores pasivos que esperan ser llenados con conocimiento. El
punto de vista de Piaget es completamente distinto. Él enfatizó su creencia en que los
individuos siempre están pensando y aprendiendo, y que el objetivo de esta actividad
mental es reconciliar los nuevos conocimientos y experiencias con los esquemas
existentes, lo cual se logra mediante la equilibración que da como resultado el desarrollo
hacia mejores formas de conocimiento.
Piaget propone también que la acción que los jóvenes puedan efectuar sobre los
objetos resulta totalmente indispensable para la comprensión de relaciones geométricas,
aritméticas y espaciales. Distingue dos formas diferentes de experiencias ligadas a las
acciones materiales de los alumnos: en primer lugar, las e:i:periencias físicas consistentes
en actuar sobre los objetos a fin de descubrir propiedades que éstos ya poseían antes de
ser manipulados por el sujeto; y las e:i:periencias lógico-matemáticas, donde la
información no se obtiene a partir de los objetos particulares sino a partir de las propias
acciones. Para explicar las experiencias lógico-matemáticas, Piaget proporciona el
ejemplo de un nifto de 5 affos que se diviertfa en poner piedras en fila y contarlas, por
ejemplo, de 1 a 10, de izquierda a derecha; después las contó de derecha a izquierda
obteniendo, con gran sorpresa, el mismo número 1 O; las puso entonces en círculo y
obtuvo, entusiasmado, otra vez 1 O, tanto girando en un sentido como en el otro; aún
insistió con otras figuras distintas, y acabó por convencerse de que el resultado 1 O era
independiente del orden.
La acción, es para Piaget el principal factor en el proceso de conocimiento. El
lenguaje fue visto por él tanto como una consecuencia y factor del pensamiento; sin
embargo el énfasis fue puesto más en las acciones que en el lenguaje. Precisamente aquí
se encuentra un problema actual de la enseftanza tradicional de las matemáticas, la cual
se ha limitado al plano del lenguaje y ha dejado de lado el papel de las acciones. Piaget
postuló que cuando el individuo actúa con objetos, desarrolla diferentes clases de
conocimiento dependiendo del tipo de abstracción que realice: la abstracción empfrica
al aislar las propiedades y relaciones de objetos externos, y la abstracción refle:i:iva
cuando se aislan las propiedades y relaciones a partir de las propias operaciones. El
conocimiento lógico-matemático se deriva de la abstracción reflexiva, mientras que el
conocimiento flsico o biológico proviene de una abstracción empírica.
13
La visión "constructivista" de Piaget acerca de las concepciones y habilidades
matemáticas es probablemente la más ampliamente aceptada hoy día por los
investigadores en la psicología de la educación matemática. Sin embargo, es conveniente
anotar que Piaget no puso suficiente atención a los aspectos sociales del proceso de
enseftama-aprendimje, y de hecho nunca estudió tal proceso en el aula de clases o en el
hogar. Al respecto, Vergnaud (1990) establece que la educación matemática debe verse
como un proceso social que tiene lugar en diversas culturas y sociedades, con distintas
organiz.aciones escolares, diferentes objetivos y distintos antecedentes filosóficos. La
enseftall7.a de la matemática será diferente para una sociedad altamente tecnificada que
para una sociedad rural tradicional; y también será distinta para los diversos grupos de la
misma sociedad.
V ergnaud establece la necesidad de conocer las cuestiones epistemológicas que
conciernen a la matemática: ¿Con qué clase de objetos trata?, ¿cuál es su relación con
otras ciencias y otros campos de la experiencia humana?, ¿en qué sentido es al mismo
tiempo un conjunto de herramientas y de objetos?, en suma, ¿cuáles son sus contenidos,
métodos y significados? Para ello, menciona tres niveles de cuestionamiento: la
epistemología de la matemática, la epistemología de la psicología y la epistemología de
la educación matemática.
Dentro de la epistemología de la matemática surge primero una reflexión
espontánea de los propios matemáticos sobre la naturaleza de su conocimiento y la
naturalem de los procesos de invención y descubrimiento. También debe mencionarse un
enfoque histórico, cuyo objetivo es entender el medio ambiente social y científico en el
cual han surgido y se han desarrollado los conceptos y técnicas de la matemática. Tal
visión histórica reviste gran importancia para la didáctica, debido a que el análisis de los
obstáculos encontrados por los matemáticos en el pasado puede ayudar a interpretar los
errores que hoy cometen los estudiantes; y, a su vez, el estudio de los errores de los
estudiantes arroja luz acerca del entendimiento de la historia de la matemática, aun
cuando el conjunto de problemas que abordan estudiantes y matemáticos sean diferentes
(de acuerdo con Arsac y Sierpinslca; citados por Vergnaud).
La epistemología de la psicología tiene diferentes orígenes. Se nutre del debate
acerca de la naturaleza de los objetos con que trata la psicología como ciencia: la
conducta, la conciencia, la percepción, la memoria, etc. Otros cuestionamientos se
refieren a la clase de modelos que pueden usarse para estudiar losdiversos fenómenos
psicológicos.
Por su parte, la epistemología de la educación matemática se refiere a cuestiones
tanto de la psicología como de la matemática, aunadas a las que surgen debidas a las
restricciones sociales de la educación matemática. Tales restricciones, aunque no
modifican la naturaleza del conocimiento matemático, si tienen fuertes implicaciones en
la forma como los maestros ven su enseftanz.a y en su visión de la matemática misma. El
problema que surge es una incompatibilidad entre la forma de presentar el conocimiento
matemático en la enseftama tradicional y la forma de pensar la matemática.
14
Puede decirse que para que la didáctica de la matemática tenga resultados positivos,
las reflexiones en el ámbito de la psicología del proceso de enseftanz.a-aprendizaje deben
estar en estrecho contacto con las reflexiones referentes a los contenidos matemáticos que
se intenten enseftar.
Vergnaud propone una revisión de la filosofia total de la educación matemática,
especialmente en los niveles de primaria y secundaria. Esta propuesta está orientada a un
cambio estructural de la enseftanza de la matemática a todos los niveles. Este autor
sugiere cuestionar la currlcula, los libros de texto, los materiales de software, los hábitos,
y las concepciones y decisiones de los maestros desde el punto de vista no sólo de su
adecuación sociológica y psicológica, sino también epistemológica.
Actualmente existen muchos investigadores en educación matemática con un
enfoque constructivista, y sus teorías se fortalecen por consideraciones epistemológicas
sobre la naturaleza de los conceptos matemáticos. Dreyfus (1990) y Vergnaud comparten
la teoría del campo conceptual, que establece que la complejidad del conocimiento
matemático se debe a que involucra diversos conceptos interrelacionados y de diversa
jerarquía, generando así un "mapa conceptual" que el profesor debe conocer para hacer
que el estudiante lo reproduzca. Otro aspecto complejo, y que tiene relevancia para la
didáctica de la matemática, es el desarrollo a largo plazo que tienen los conceptos y
procedimientos matemáticos en los estudiantes. Deben entonces adecuarse los contenidos
y su didáctica al desarrollo biológico de los individuos.
Con respecto a la interrelación que guardan los conceptos, como lo establece la
mencionada teoría del campo conceptual, si se deseara enseftar el concepto de la
derivada, el alumno deberá aprender primero el concepto de función; y para ello deberá
saber de antemano el concepto de variable, mismo que presupone el conocimiento del
concepto de número. Conviene anotar que en los campos conceptuales que intervienen en
la didáctica, algunos conceptos presentan la dualidad proce~bjeto (Dreyfus ). Así, la
derivada es un proceso que actúa sobre el objeto función, y la función es a su vez un
proceso que afecta a una o más variables.
Por otro lado, las investigaciones acerca de la comprensión del estudiante ante los
conceptos matemáticos, reportan una tendencia a reducir la matemática a una colección
de algoritmos algebraicos evitando representaciones gráficas y geométricas, ocasionando
así una construcción incompleta del mapa conceptual planeado. Es importante buscar la
visualización de los conceptos en el estudiante, y reconocer que tal proceso va más allá
de representaciones gráficas y geométricas. La visualización incluye también el
reconocimiento de patrones de comportamiento tendencial de las funciones e imágenes
mentales que el estudiante usa al construir su conocimiento. Vergnaud habla de
"conceptos y teoremas en acción" cuando se refiere a que el estudiante puede llegar a
respuestas correctas, pero no saber cómo explicar la fonna en que llegó a ellas.
15
La visualización, o más precisamente, la conección entre las representaciones
visuales y analiticas de un concepto matemático, puede constituir un poderoso agente
didáctico de la forma de abstracción de tal concepto. Se han realizado diversos estudios
sobre esta linea, de los cuales conviene resaltar el trabajo de Artigue ( 1991) quien orienta
su currículum al uso de software apropiado en los modos gráfico y numérico, aplicando la
computadora como una herramienta para que el estudiante desarrolle un enfoque
cualitativo de las ecuaciones diferenciales, y procese la información tanto visual como
simbólicamente.
Otro autor que se orienta hacia la visuali:zación es Schwarz (1989; citado por
Dreyfus ), quien desarrolla un currículum basado en un ambiente computacional y en la
resolución de problemas, denominado Modelo de Representación Triple (MR.T). El
objetivo de tal modelo es que el estudiante aprenda los conceptos al operarlos en
representaciones algebraicas, gráficas y tabulares; y que observe y compare el desarrollo
de una misma operación en las tres representaciones. El texto "Calculus" (Hughes-Hallet,
Gleason, et al.; John Wiley & Sons,1994) está basado en el MRT y en dos principios
básicos que los autores definen como sigue: "La regla de tres", que consiste en presentar
todo tópico en forma geométrica, numérica y algebraica; y "El camino de Arquímedes",
que establece que las definiciones y procedimientos formales deben surgir de la
investigación de problemas prácticos.
Otro ejemplo relevante respecto al uso de computadoras en la enseftanz.a. de las
matemáticas lo constituye el "Proyecto Cálculo en Contexto", que involucra a cinco
escuelas estadounidenses, cuyos objetivos se pueden resumir como sigue:
a) Reestructurar la enseftanz.a. del cálculo desarrollando los conceptos
matemáticos a partir de problemas sustanciales de la ciencia. Los
conceptos básicos se analiz.an numéricamente antes de ser presentados
en su forma analítica tradicional.
b) Cambiar la visión tradicional del alumno acerca de las matemáticas y
hacer que piense en ellas como una forma de resolver problemas y
explorar posibilidades; y no como un conjunto de reglas, teoremas y
técnicas que debe memorizar.
c) Hacer que los alumnos piensen constructivamente acerca de problemas
del mundo real que son típicamente desordenados y para los cuales no
se dispone de una técnica obvia de solución.
d) Usar las herramientas computacionales para ayudar a los alumnos a
visuali7.ar conceptos, hacer accesibles problemas importantes que
tradicionalmente se consideran diflciles y para favorecer el entendi-
miento de algoritmos.
16
En la línea de investigación sobre didáctica de las matemáticas que ya se ha
descrito, no pueden dejarse de mencionar algunos trabajos de investigación del Centro de
Investigación y de Estudios Avamados (CINVESTA V) del Instituto Politécnico Nacional
(IPN) de México. Cordero ( 1993a, 1993b) ofrece una visión global de la enseñanz.a del
cálculo orientada a tres grupos de ideas: las acciones (proceso-objeto), las
representaciones (su flexibilidad) y los planos de argumentación matemática. Este autor
sugiere dirigir las situaciones de enseftanza y resolución de problemas hacia tales grupos
de ideas. Uno de sus planos de argumentación matemática ( el comportamiento
tendencia!) se fundamenta en la relación de las gráficas y funciones, y su estudio se
facilita al emplear la computadora en los procedimientos de control y simulación cuando
se toman como objetos los coeficientes de la expresión de función. La propuesta de
Cordero se nutre, entre otras, de las ideas ya descritas de Artigue, Vergnaud y Dreyfus.
Conviene ahora tratar el aspecto de la motivación que debe lograrse en los
estudiantes hacia un currículum basado en la resolución de problemas. En este sentido,
Cordero y Reséndiz (1993) proponen una herramienta didáctica denominada Problema-
Proyecto (P-P) donde los problemas matemáticos son trabajados en el aula como
proyectos a corto plazo. Los P-P son problemas diseflados por el profesor y encargados a
los estudiantes para que los resuelvan en subgrupos acordes con la población del aula. El
profesor orienta las estrategias de solución que vayan explorandolos estudiantes, con el
objetivo de llevarlos a la construcción de su propio conocimiento. De esta forma, la
aplicación de los P-P favorece el aprendizaje por descubrimiento en el estudiante y
propicia la libertad para que exponga y defienda sus argumentos. Esta actividad de
aprendizaje cumple con los siguientes aspectos: desarrolla el pensamiento analítico
mediante la combinación de intuición, generalización y argumentación lógica; favorece la
identificación de patrones o construcción de modelos; propicia una actividad y actitud
matemática; y es un medio poderoso de motivación para los estudiantes.
McLachlan y Ryan (1994) proponen una actividad de aprendizaje con cierta
similitud con los P-P. Reportan un estudio realiz.ado en un colegio preparatoriano de
Sudáfrica, cuyo objetivo es hacer que las actividades del salón de clases estimulen la
creatividad, hagan énfasis en un aprendizaje real y desarrollen habilidades significativas
en los estudiantes. Esta propuesta está basada en tareas de investigación que el profesor
asigna a subgrupos ( de hasta cuatro estudiantes), siendo él un moderador del progreso de
sus alumnos. Los problemas a investigar son diversas situaciones matemáticas de reto
cuya solución es única, variada o puede no existir. Este modelo es denominado curso
EIHM (Evaluación, Investigación y Habilidades Matemáticas) y en él es fundamental el
rol del profesor como motivador, promotor y facilitador para conducir al éxito la
investigación de sus alumnos. Al igual que en los P-P se busca favorecer el aprendizaje
por descubrimiento y la construcción del propio saber por los estudiantes.
17
Otro aspecto de importancia que puede ayudar a motivar al alumno acerca del
aprendizaje de resolución de problemas lo constituye la visión histórica del desarrollo
matemático. Si el objetivo buscado es que el alumno aprenda matemáticas, será intere-
sante introducirlo a pasajes destacados de la historia de la formación de los conceptos
matemáticos. El profesor no debe perder la oportunidad de relacionar los ejercicios de
aplicación con aspectos históricos que influyeron en su generación. Al respecto, Hersh
(1990) destaca la necesidad de la enseftanza de un curso de "Filosofla de las matemáti-
cas", con el fin de concientiz.ar a los estudiantes que las matemáticas no son un cono-
cimiento aislado de otras áreas de la ciencia y desconectado de la realidad; por lo con-
trario, el estudiante debe aprender que las matemáticas están presentes en la música, las
artes, las ciencias sociales, las ciencias de la vida y en cualquier rama de la cultura
humana.
Para finalizar, se debe mencionar que han pasado más de cuarenta aft.os de la
aparición del primer libro de Pólya ("How to solve it") acerca de estrategias de resolución
de problemas, y más de una década desde que se propuso en Estados Unidos que la
solución de problemas fuera el foco de la enseftanza de las matemáticas. Sin embargo, la
gran inercia de los modelos dogmáticos de enseftanza y la burocracia de los sistemas
educativos han impedido que la metodología de resolver problemas gane más adeptos y
se adopte en la mayoría de los centros de enseftanza. El reto permanece y la metodología
descrita se perfila, no como una panacea, sino como un poderoso argumento para la
enseftanz.a de las matemáticas en el siglo XXI.
18
1.4 OBJETIVOS
Objetivo general
Rediseftar el curso de "Ecuaciones Diferenciales" (MA-~33) que ofrece el
Sistema ITESM, con el fin de hacer más motivante, significativo y eficaz el aprendiz.aje
de la materia en los alumnos.
específicos:
Para cumplir con este objetivo general se proponen los siguientes objetivos
1. Centrar la enseftan.za de la materia en el análisis y resolución de
problemas de aplicación de las ecuaciones diferenciales.
2. Diseftar problemas de aplicación de las ecuaciones diferenciales en
diversas áreas del conocimiento y adecuarlos a los contenidos del
programa analítico del curso.
3. Diseftar problemas-proyecto acerca de la materia, para motivar el
aprendiz.aje por descubrimiento con un enfoque constructivista.
4. Diseftar el orden cronológico apropiado en el desarrollo de los con-
tenidos del programa.
5. Integrar pasajes históricos a la exposición de los temas y motivar al
alumno a investigar el desarrollo histórico de los conceptos que se
manejen en el curso.
6. Integrar la tecnología computacional al desarrollo de las actividades de
aprendiz.aje como una herramienta para facilitar el análisis de los
problemas y agili7.ar la solución de los mismos.
7. Fomentar en el alumno la disposición hacia la investigación relacionada
con conceptos útiles en la resolución de problemas de la clase.
19
1.S LIMITACIONES
La limitación más importante para hacer realidad el objetivo general del presente
trabajo la constituye el tiempo para preparación del material de enseñanza. Una vez
terminada esta fase, la propuesta metodológica deberá probarse a lo largo de diferentes
períodos semestrales y habrá que hacer ajustes si el período escolar es intensivo (junio a
julio). La limitante que encuentra el autor es la necesidad de disponer de varios grupos de
la materia, para de esta forma probar la metodología y tener puntos de comparación.
La fase de planeación incluye la concientización de los profesores acerca de los
beneficios posibles de la enseftanza de las matemáticas en base a problemas y la
formación de equipos de trabajo conducidos a la elaboración de material didáctico del
curso (manual del profesor, lista de tareas y actividades para los alumnos, programas de
cómputo, modelos flsicos para explicar conceptos, etc.).
Otra limitante al proyecto la constituye la disponibilidad que tenga el centro
educativo de equipo computacional que se considera necesario en la fase de análisis y
solución de los problemas de aplicación. El autor propone usar m.icrocomputadoras
personales de las llamadas compatibles, en un número que permita que dos o tres
alumnos trabajen en una máquina a la vez. Se requerirá además, de un proyector de
imágenes a una pantalla grande ( retroproyector de acetatos, proyector de imágenes de
computadora, etc.). El proceso de entrenamiento en el uso de las computadoras y de los
programas realizados así como de los paquetes de cómputo comerciales, puede
convertirse también en un factor que retrase la implantación de la metodología.
Como se expuso en la justificación de este trabajo, una variable que influye de
manera determinante en el proceso es el "ambiente del aula". Este ambiente es res-
ponsabilidad del profesor, quien tiene que diseftar cuidadosamente las estrategias para
conducir con éxito el desarrollo del curso. Si el profesor no está convencido de la me-
todología, él mismo será la principal limitante del proyecto.
Tal como han sido planteados los objetivos del trabajo, sus alcances son a largo
plazo. Sin embargo, al corto plazo, la presente propuesta intenta ser un modelo inicial
para la puesta en práctica de la metodología descrita.
20
2. CONSIDERACIONES TEÓRICAS
2.1 MODELACIÓN MATEMÁTICA
La formulación de problemas en términos matemáticos recibe el nombre de mo-
delación matemática y su finalidad principal es facilitar la comprensión y la solución de
problemas planteados a partir del análisis de fenómenos fisicos. Un modelo matemático
es una representación analítica de un proceso fisico, mas no es una copia fiel de la
realidad. Los ''buenos" modelos serán aquéllos de estructura sencilla y cuya repre-
sentación del proceso se acerque más a la realidad que se observa de los fenómenos bajo
estudio.
Los problemas del mundo real suelen ser complejos y con frecuencia, al ser mode-
lados matemáticamente, conducen a ecuaciones diferenciales, las cuales constituyen el
lenguaje natural de los procesos de cambio. Una ecuación diferencial es una igualdad que
contiene una función desconocida, de una o más variables independientes, relacionada
con sus derivadas correspondientes.
Para iniciarel proceso de modelación matemática de un problema deberán
identificarse, en primer lugar, todas las variables intervinientes. Este paso es de gran
importancia porque de no considerar todas las variables del problema, el modelo ma-
temático resultante será muy simple y fácil de resolver pero no será representativo del
fenómeno estudiado; por otro lado, si se intenta incluir a todas las variables del proceso el
modelo que se obtenga quizá sea demasiado complejo y muy dificil de resolver. Se debe
buscar, entonces, un balance entre la complejidad de un modelo matemático, su
representatividad del problema que se analiza y su facilidad de comprensión y solución.
Una vez identificadas las variables relevantes del problema, deberá buscarse una
ecuación matemática que las relacione. Como los fenómenos a estudiar involucrarán
procesos de cambio, la ecuación resultante será una ecuación diferencial. Este segundo
paso es quiú el más importante en la elaboración del modelo porque es aquí donde se
incluirán o despreciarán variables que intervienen en el problema analizado; es decir, se
refinará el modelo. Esto requiere un conocimiento profundo del problema y de sus
fundamentos teóricos.
El tercer paso en la elaboración del modelo lo constituye la solución de la ecuación
diferencial que lo representa. Es deseable explorar diversas alternativas para resolver la
ecuación diferencial encontrada; por ejemplo, resolverla en forma analítica, en forma
gráfica, por series de potencias, por algún método numérico, etc.
001041
21
Finalmente se procederá a la comprobación de los resultados del modelo mate-
mático y a su comparación con datos experimentales para su validación. Los medios
computacionales existentes actualmente proporcionan una herramienta muy útil en el
proceso de comprobación de resultados, y en el análisis de la respuesta que tiene la
solución actual del modelo ante cambios en las variables involucradas en el mismo. Este
análisis proporcionará el dominio de validez de la solución analítica al problema real
estudiado, así como su confiabilidad al comparar sus márgenes de error con los datos
observados.
El proceso de modelación matemática es fundamental en la resolución de pro-
blemas prácticos porque es el medio en el cual se manifiesta la aplicación de procesos
matemáticos a la solución de problemas del mundo real. De esta forma se establece una
relación entre personas que desean resolver un problema real y los especialistas
matemáticos. Tal relación puede observarse en la siguiente figura, donde se resume el
proceso de modelación matemática ya descrito.
~dentificación
...----4'de variables
1 ¡intervinientes -
'
Problema
; del mundo real
Formulación i----
matemática
Médicos,Biólogos,
Economistas, etc.
'I'
,...__----1 Solución del
/ ' mundo real
,
'
Solución
matemática
T Validación .,
--- de la .. ,---
solución
Figura 2: Proceso de modelación matemática
Matemáticos
Abstracciones
Matemáticas
En la figura anterior, el autor incluye la línea punteada para indicar la conección
entre las abstracciones propias de la llamada matemática pura con las personas cuyo
interés principal es usar el conocimiento matemático en la resolución de problemas en
diversas áreas de aplicación. Muchas ocasiones esta conección no se observa claramente,
y la historia narra cómo conceptos teóricos que en siglos pasados fueron considerados sin
aplicación alguna, han resultado fundamentales para el gran desarrollo tecnológico del
presente siglo.
22
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES
En muchas aplicaciones de las matemáticas la solución de un problema consiste en
encontrar valores numéricos concretos, y como ejemplos se pueden mencionar el proceso
de encontrar las raíces de un polinomio o la determinación de los valores máximos y
mínimos de una función. Sin embargo también en una gran variedad de aplicaciones
surgen a menudo problemas en los que la incógnita no es un número concreto sino una
función de una o más variables independientes. La clase más importante de ecuaciones
que sirve para determinar la función incógnita en este último tipo de problemas recibe el
nombre de ecuaciones diferenciales.
Como ejemplos se muestran las siguientes ecuaciones:
dy + p(t) y= q(t);
dt
ou ifu
a,= ox2 ,'
d2x
-
2
+m2x= Asenwt
dt
Como se podrá observar, las dos primeras ecuaciones involucran derivadas ordi-
narias, lo que significa que la función incógnita es de una sola variable independiente; en
el segundo par de ecuaciones, la función incógnita u depende de dos variables y por tal
razón las derivadas son parciales. Esta distinción representa una primera clasificación de
las ecuaciones diferenciales en ordinarias y parciales. Si la función desconocida depende
de una sola variable independiente, la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial
ordinaria; si la función desconocida depende de varias variables independientes y la
ecuación contiene derivadas respecto a alguna o a más de tales variables, la ecuación
diferencial se llama ecuación diferencial parcial. El orden y el grado de una ecuación
diferencial, se refieren, respectivamente, al orden de la derivada más alta que aparece en
la ecuación y a la potencia de dicha derivada. Así, por ejemplo, sólo la primera ecuación
arriba indicada es de primer orden y las demás de segundo orden; y todas son de primer
grado.
Las ecuaciones en derivadas parciales no son tema de estudio del presente trabajo,
sin embargo es importante resaltar, cuando menos en su expresión matemática, su
diferencia de las ecuaciones en derivadas ordinarias. Además, la teoría de las ecuaciones
en derivadas parciales tiene muchos rasgos característicos que la hacen esencialmente
diferente de las ecuaciones diferen«iales ordinarias.
23
Conviene hacer una observación respecto al nombre "ecuación diferencial". Como
ya se ha mencionado, una ecuación calificada como "diferencial" es una igualdad que
involucra una función incógnita de una o más variables independientes y sus derivadas
respectivas. Si se analiza tal definición, lo que es interesante observar es que una
"ecuación diferencial" no contiene diferenciales, sino derivadas de una función; por tal
razón, lo correcto sería nombrar a tales ecuaciones como "ecuaciones en derivadas". El
hecho de que prevalezca el nombre "ecuación diferencial" hasta nuestros días (y no se
haya corregido por el de "ecuación en derivadas'1 puede deberse a que, en los orígenes
del cálculo diferencial e integral, el objeto principal de estudio era el diferencial y no la
derivada.
La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales se debe principalmente a
que la investigación de muchos problemas de flsica e ingeniería puede reducirse a la
solución de tales ecuaciones. Sucede con frecuencia que las leyes flsicas que gobiernan
un fenómeno se escriben en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí,
constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes. Por citar algunos ejemplos his-
tóricos, conviene anotar que del estudio de las ecuaciones diferenciales del movimiento
de los cuerpos celestes, Newton pudo deducir las leyes del movimiento planetario que
habían sido descubiertas empíricamente por Kepler; y que en 1846 Leverrier predijo la
existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el cielo basándose en el
análisis numérico de esas mismas ecuaciones.
Es importante observar que las ecuaciones diferenciales no sólo surgen de pro-
blemas de la flsica o mecánica, sino también aparecen en estudios biológicos de cre-
cimiento poblacional de organismos, de propagación de epidemias, absorción de drogas
en órganos o células; y dentro de la economía se pueden mencionar el principio de la
oferta y la demanda, la función de utilidad en la producción de algún bien y la teoría de
los inventarios, entre otras aplicaciones.
Para describir en términos generales los problemas de la teoría de las ecuaciones
diferenciales, debe observarseprimero que toda ecuación diferencial, salvo algunas que
no ofrecen ningún interés práctico ni teórico, tiene no una, sino un número infinito de
soluciones; esto es, existe un conjunto infinito de funciones que la satisfacen. Una
fórmula que incluya todas las soluciones de una ecuación diferencial de orden n, deberá
contener n constantes independientes (también llamadas parámetros), lo que permitirá
imponer n condiciones a la ecuación. Dicha fórmula que contiene n constantes arbitrarias
independientes recibe el nombre de solución general de la ecuación, y si se deseara
escoger una entre todas las soluciones, deberán especificarse las n condiciones ya
mencionadas para obtener una solución denominada solución particular. Las condiciones
que se impongan a una ecuación diferencial se denominan condiciones iniciales cuando
se refieren a un solo valor especifico de la variable independiente, y se llaman
condiciones de frontera cuando se refieren a distintos valores de la variable
independiente.
24
El problema básico de la teoría consiste en estudiar las soluciones de una ecuación
diferencial. Supóngase que las condiciones de una ecuación ya están dadas y se pide
encontrar una solución de la misma. Lo primero a considerar es la existencia de tal
solución y además si ésta es única para las condiciones dadas. Para ello, existen diversos
métodos para investigar la existencia y unicidad de la solución de una ecuación
diferencial sujeta a ciertas condiciones, basados en la construcción de soluciones
aproximadas y en una posterior demostración de su convergencia a la solución exacta del
problema.
Otro hecho importante de observar es que las ecuaciones diferenciales resolubles
mediante funciones elementales no son muy numerosas, y por ello ocurre frecuentemente
que el estudio de las ecuaciones diferenciales que aparecen en la fisica lleva a introducir
nuevas clases de funciones que pueden emplearse en la resolución de problemas
prácticos. Surge, entonces, el problema de investigar las propiedades de las soluciones a
partir de la ecuación misma: si son monótonas u oscilatorias, si tienen un
comportamiento tendencial, si son periódicas, etc. Estas investigaciones pertenecen al
campo de la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales, cuyos fundadores fueron
Poincaré y Lyapunov.
El reconocer que la solución de una ecuación diferencial no siempre se podrá
expresar en ténninos de funciones típicas, obliga a que la enseftall7.a de tal conocimiento
incluya no sólo los métodos analíticos de solución que se conocen hoy día, sino además
aquéllos que den por resultado soluciones aproximadas a la realidad observada, como
pueden ser los métodos numéricos auxiliados por la computadora. Otro aspecto
importante para la enseftanu es el estudio de las propiedades de la solución de una
ecuación diferencial a partir de su expresión matemática. Este estudio es una actividad
que puede enriquecer y dar mayor significado a las secuencias didácticas que se diseften
para el aprendimje de tan importante materia. Por ejemplo, para ciertas ecuaciones,
puede conducirse al alumno a pensar primero en los aspectos cualitativos y en el dominio
de la posible solución, para que la encuentre sin necesidad de resolver algorítmicamente
la ecuación dada.
No debe olvidarse que la ecuación diferencial es un modelo matemático de una
realidad, la cual es muy dificil de representar fielmente; por tal motivo, deberá con-
cientimrse al estudiante de que todas las soluciones que encuentre no serán "exactas" sino
sólo aproximaciones a la realidad del fenómeno observado. Entonces, lo importante será
explorar diversos métodos para que los estudiantes identifiquen la "mejor" solución.
25
2.3 RELACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CON OTRAS
DISCIPLINAS MATEMÁTICAS
Como primer paso en la comprensión de las ecuaciones diferenciales y de su
enonne importancia, es conveniente ubicarlas en el contexto de otras disciplinas mate-
máticas, tener una visión del desarrollo histórico que han tenido, conocer las diferentes
tendencias en su investigación e identificar a los principales matemáticos que contribu-
yeron en la formación de tal disciplina.
En la siguiente figura se muestra un diagrama de bloques que ubica a las ecua-
ciones diferenciales relacionadas con otras ramas de las matemáticas.
Cálculo Integral
~
'-l., ,J., .... ¡.,
Ecuaciones Ecuaciones Problemas
Diferenciales Diferenciales
Ordinarias Parciales Variacionales
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Problemas Ec. con dos Teoria
de existencia Teoria variables de general de orden dos o
de soluciones Cualitativa mayor las funcionales
Figura 3: Las ecuaciones diferenciales en el contexto del conocimiento matemático
A continuación se dará un panorama histórico del surgimiento y desarrollo de las
ecuaciones diferenciales, donde podrán identificarse a los matemáticos más relevantes en
este contexto. El autor considera importante conocer acerca de la vida de tales
matemáticos, por lo que, a manera de apéndice del presente trabajo, se muestran al final
las biograflas de los mismos.
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2.4 DESARROLLO HISTÓRICO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
El estudio de las ecuaciones diferenciales se originó en los inicios del cálculo in-
finitesimal con Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) en el
siglo XVII. Los matemáticos trataron de aplicar el cálculo infinitesimal en la solución de
un número creciente de problemas flsicos y pronto se vieron obligados a atacar una nueva
clase de problemas. Los problemas más simples conducían a integrales que podían
resolverse en términos de las funciones elementales y los más complicados conducían a
integrales que no podían expresarse de ese modo, como es el caso de las integrales
elípticas, pero ambos tipos de problemas caían dentro de los limites del cálculo
infinitesimal. Sin embargo, la solución de problemas todavía más complicados requirió
técnicas más especializadas que motivaron el surgimiento de las ecuaciones diferenciales.
Varios problemas flsicos originaron la investigación en ecuaciones diferenciales.
Uno de ellos es la teoría de elasticidad de los cuerpos iniciando con el perfil que adopta
un cable inelástico pero flexible suspendido entre dos puntos, el perfil de una cuerda o
cadena inelástica pero flexible suspendida de un punto fijo y que vibra, el perfil que
adopta una cuerda que vibra fijada en sus extremos, el perfil de una barra con sus
extremos fijos que se somete a una carga y el perfil de una barra cuando se pone a oscilar.
Este tipo de problemas fue abordado empíricamente por los constructores de las grandes
catedrales medievales, y estudiado matemáticamente por Galileo (1564-1642), Edmond
Mariotte (¿16207-1684), Robert Hooke (1635-1703) y por el matemático y arquitecto
inglés Wren (1632-1723).
Otro es el péndulo que continuó interesando a los matemáticos a pesar de que la
ecuación diferencial para el péndulo circular, d20 ldt2 + mg sen 0 = O, se resistía a ser
tratada. Geométricamente, Huygens ( 1629-1695) resolvió con la cicloide el problema de
hacer que el periodo del péndulo fuese independiente de su amplitud, pero quedaba por
realizar la solución analítica. La importancia del péndulo estribó en su relación con dos
investigaciones fundamentales del siglo XVIII, la forma de la Tierra y la verificación de
la ley del cuadrado de los inversos de la atracción gravitatoria. Con respecto a la forma de
la Tierra, Newton dedujo correctamente que nuestro planeta se abomba en el ecuador
usando las variaciones del período pendular en diferentes lugares de la superficie
terrestre.
Fue la astronomía el campo del conocimiento cuyo interés dominó el siglo XVIII.
El estudio del movimiento de un planeta bajo la atraccióngravitatoria del Sol,
idealizando los cuerpos como masas puntuales; el problema de los tres cuerpos ( el
comportamiento de la Luna bajo la atracción de la Tierra y el Sol) y la teoría del mo-
vimiento de la Luna para la navegación marítima, fueron investigaciones relevantes de la
época.
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Los primeros trabajos en ecuaciones diferenciales de los cuales se tiene registro,
se encuentran en cartas de un matemático a otro. El anuncio de un resultado por uno de
ellos provocaba la afinnación de otro de haber obtenido el mismo resultado con
anterioridad. Por tal razón a veces es confuso atribuir los resultados obtenidos a la
persona correcta.
Jacques Bemoulli I (1645-1705) fue de los primeros en utilizar el cálculo infini-
tesimal para resolver problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias; en mayo de 1690
publicó su solución al problema de la isocrona, si bien Leibniz ya había dado una
solución analítica; este problema consiste en encontrar una curva a lo largo de la cual un
péndulo tarde el mismo tiempo en efectuar una oscilación completa, sea grande o
pequefto el arco que recorra; la ecuación, en los símbolos de Ja. Bemoulli I, era
cuya solución es la curva cicloide.
En el mismo articulo de 1690, Ja. Bemoulli planteó el problema de encontrar la
curva que adopta una cuerda flexible e inextensible colgada libremente de dos puntos
fijos, la curva que Leibniz denominó catenaria. Este problema ya había sido considerado
en el siglo XV por Leonardo da Vinci (1452-1519) y por Galileo que la confundió con
una parábola. En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bemoulli I (1667-1748) publicaron
soluciones independientes. Este último se sintió muy orgulloso de haber sido capaz de
resolver el problema de la catenaria y que su hermano Jacques, que lo había propuesto,
no lo hubiera conseguido. Entre 1691 y 1692 los hermanos Bemoulli resolvieron diversos
problemas relativos a perfiles de cuerdas colgantes, entre los que se puede mencionar la
curva denominada tractriz, la cual al girar en tomo al eje y forma una superficie que es
un modelo para la versión de N. l. Lobachevsky (1793-1856) de la geometría no
euclideana ..
La técnica de separación de variables y la solución de una ecuación diferencial
homogénea fueron descubiertas por Leibniz en 1691, aunque expuestas más exhausti-
vamente por Jean Bemoulli I en 1694. Al atlo siguiente, Jacques Bemoulli I propuso el
problema de resolver la ecuación hoy conocida como ecuación de Bernoulli :
dy = p(x) y + q(x) yn
dx
En 1696 Leibniz demostró que tal ecuación se podía reducir a una lineal mediante
el cambio de variable z = y1 • n . Jean Bemoulli I dio otro método y su hennano Jacques
la resolvió básicamente por separación de variables.
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En 1694, Leibniz y Jean Bemoulli I habían introducido el estudio de las trayec-
torias ortogonales de una familia de curvas dada, y fue hasta 1715 cuando Newton
resolvió el problema en forma general usando ecuaciones de segundo orden. También
trabajaron en este tema Nicolás Bemoulli m (1695-1726) y un discípulo de su tío Jacques
B., llamado Jacob Hermann (1678-1733).
Jean Bemoulli I resolvió después el problema de determinar el movimiento de un
proyectil en un medio cuya resistencia es proporcional a una potencia de la velocidad; la
ecuación diferencial en este caso es
dv n
m - - kv = mg
dt
Alexis Claude Clairaut (1713-1765) y Leonhard Euler (1707-1783) identificaron en
forma independiente las ecuaciones exactas de primer orden , es decir, de la fonna
M(x,y) dx + N(x,y) dy = O, donde el primer miembro es la diferencial exacta de una cierta
función z = f(x,y). También encontraron la condición oM / oy = oN / ox para que la
ecuación fuese exacta y pudiera así integrarse. Euler publicó estos resultados en 1734-35
y Clairaut en 1739-40. En el mismo artículo de 1734-35 Euler también trabajó factores
integrantes en problemas especiales, y se dio cuenta de que tal concepto proporcionaba
un método de integración; estableció clases de funciones para las que existen factores
integrantes y demostró que el cociente de dos factores integrantes de una ecuación
diferencial de primer orden es una solución de la misma. Fueron también Euler y Clairaut
quienes estudiaron ampliamente las soluciones singulares . El trabajo de Clairaut, al
respecto, data de 1734 y trata de la ecuación que ahora lleva su nombre,
y= xy' + f (y')
Otros matemáticos relevantes también aportaron luz a la teoría de las soluciones
singulares. Leibniz, en 1694, ya babia seíialado que una envolvente de una familia de
soluciones es también solución de una ecuación diferencial. Jean Le Rond d'Alembert
(1717-1783) dio un criterio para distinguir la solución singular de una solución particular.
Pierre Simón Marqués de Laplace ( 1749-1827) extendió el concepto de las soluciones
singulares a ecuaciones de orden superior y a ecuaciones diferenciales en tres variables.
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) llevó a cabo un estudio sistemático de las soluciones
singulares y su relación con la solución general, dando el método general para obtener la
solución singular a partir de la general por eliminación de la constante de una manera
clara y elegante que superó la contribución de Laplace. Fueron Arthur Cayley ( 1821-
1895) y G. Darboux (1842-1917) quienes en 1872 expusieron la teoría de las soluciones
singulares en su forma actual.
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Las ecuaciones diferenciales de segundo orden aparecieron en 1691 cuando Jacques
Bemoulli I se planteó el problema de la forma de una vela bajo la presión del viento y
demostró que es matemáticamente el mismo problema que el de la catenaria. Por su
parte, Jean Bemoulli I y su hijo Daniel Bemoulli I (1700-1782) estudiaron la vibración de
una cuerda elástica sin peso cargada con n masas iguales e igualmente espaciadas y su
estudio los condujo a ecuaciones de segundo orden; Daniel B. antes de dejar San
Petersburgo en 1733 terminó el artículo "Teoremas sobre oscilaciones de cuerpos
conectados por un hilo flexible y de una cadena verticalmente suspendida", estudio en el
cual obtiene una solución en series que en notación moderna corresponde a las funciones
de Bessel de primera especie de indice uno.
También aparecieron ecuaciones de segundo orden al atacar el problema de la
vibración de una cuerda de violín, en el estudio del movimiento del péndulo en medios
con rozamiento, en el estudio del oscilador armónico y en el estudio del efecto de la
resistencia del aire sobre los proyectiles (problemas que estudió Euler entre 1728 y 1745).
Euler también fue pionero en el método de reducción de orden aplicable a ciertas
ecuaciones diferenciales de segundo orden mediante un cambio de variables.
Una ecuación que recibió gran atención fue la ecuación no lineal
d'Alembert fue el primero en considerar esta ecuación y la bautizó Ecuación de
Riccati porque Jacopo Francesco, conde de Riccati de Venecia (1676-1754), quien
trabajó en acústica, la introdujo para facilitar la resolución de ecuaciones diferenciales de
segundo orden reduciéndolas a ecuaciones de primer orden. En 1760, Euler estudió la
ecuación de Riccati
y demostró que si se conoce una solución particular v, entonces la transformación
1
z=v+-
u
convierte a aquella en una ecuación lineal.
Con respecto a ecuaciones diferenciales de orden superior, Daniel Bemoulli I en
1734 obtuvo la ecuación
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al analizar el problema del desplaz.amiento vertical de una barra elástica fijada a una
pared en uno de sus extremos y libre en el otro. Euler afirmó antes de junio de 1735
haberla hallado y resuelto por series de potencias.
Las soluciones en series se habían empel.ado a usar ampliamente desde 1700, y se
sabe que Newton las usó para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden bá-
sicamente por el método de coeficientes indeterminados, mismo que también fue em-
pleado por Leibniz. Por su parte Euler puso en primer plano el método de integración por
series desde aproximadamente 1750 y lo usó para resolver
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