Proposta Didática de Geometria Fractal

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INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS 
SUPERIORES DE MONTERREY 
UNIVERSIDAD VIRTUAL 
UNA PROPUESTA DIDÁCTICA PARA INTRODUCIR LOS 
CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA FRACTAL EN NIVELES 
DE PREPARATORIA 
TESIS PRESENTADA 
COMO REQUISISTO PARA OBTENER EL TÍTULO 
DE MAESTRO EN EDUCACIÓN CON 
ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICAS 
AUTOR: LIC. MAT. WILLIAM ESTRADA GARCÍA 
ASESOR: DR. JAVIER PULIDO CEJUDO 
MÉXICO D. F. MAYO DE 1999 
INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY 
UNIVERSIDAD VIRTUAL 
CAMPUS CIUDAD DE MEXICO 
ACTA DE EXAMEN Y AUTORIZACION DE LA EXPEDICION 
DE GRADO ACADEMICO 
020 
Los suscritos, miembros del jurado calificador del examen de grado sustentado hoy 
por WILLIAM FERNANDO ESTRADA GARCÍA 
en opción al grado académico de 
MAESTRO EN EDUCACIÓN, ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICAS 
hacemos constar que el sustentante resultó apro do con Menci6n Honorifica 
,,f P/7.0e,APO f"g_ vµ4µ ¡- ~ i°OJ,.!). 
Hago constar que el sustentante, de acuerdo con documentos c ntenidos en su 
expediente, ha cumplido con los requisitos de graduación, establecidos en el 
Reglamento Académico. de los programas de graduados de la Universidad Virtual. 
Expídase el grado académico mencionado, con fecha septiembre 24 de 1999 · 
~ 
Ing. Carlos E~ue Cruz Limón 
Rector de la Universidad Virtual 
México, D. F., a 8 de junio de 1999. 
UNA PROPUESTA PARA INTRODUCIR LOS CONCEPTOS 
BÁSICOS DE GEOMETRÍA FRACTAL EN NIVELES DE 
PREPARATORIA 
WILLIAM FERNANDO ESTRADA GARCÍA 
INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS 
SUPERIORES DE MONTERREY 
CAMPUS CIUDAD DE MÉXICO 
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN CON 
ESPECIALIDAD MATEMÁTICAS 
Abril de 1999 
UNA PROPUESTA PARA INTRODUCIR LOS CONCEPTOS 
BÁSICOS DE GEOMETRÍA FRACTAL EN NIVELES DE 
PREPARATORIA 
WILLIAM FERNANDO ESTRADA GARCÍA 
Trabajo presentado como requisito parcial para 
optar por el título de Maestro en Educación 
con Especialidad en Matemáticas 
Director: JAVIER PULIDO CEJUDO 
INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS 
SUPERIORES DE MOTERREY 
CAMPUS CIUDAD DE MÉXICO 
MAESTRíA EN EDUCACIÓN CON 
ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICAS 
Abril de 1999 
DEDICATORIA 
A los que creen en un mundo mejor 
y se esfuerzan por hacerlo realidad. 
Especialmente quiero dedicar este trabajo a mis padres, porque el 
esfuerzo de toda su vida ha sido la manifestación más grande del amor 
hacia sus hijos. 
A Nidia López, porque a pesar de la distancia, mi corazón ha sentido la 
presencia cautivante de su amor. 
A Carolina Estrada, porque la ternura y alegría de su carácter es la 
imagen bella de su espíritu soñador y fuerte. 
También dedico este trabajo a quienes creen que a través de la amistad 
nos hacemos mejores seres humanos. 
Entre ellos: 
Angeles Main, Graciela Alatorre, Elsa Cecilia Ramírez, Elizabeth González, 
Javier Pulido, Juan Carlos Olmedo, Fernando Valle, Guillermo Vilchis, 
Armando Osorio, Galo Moneada, Osear Jimenez, Patricia Duque y 
la familia Mogollán Mendoza. 
Con ellos he compartido mis momentos difíciles y mis momentos de 
alegría; en su compañía he encontrado una fortaleza espiritual inmensa. 
Ellos hacen que el verdadero sentido de la amistad sea una realidad. 
AGRADECIMIENTOS 
Quiero agradecer al Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores Monterrey, 
campus Ciudad de México, la beca a través de la cual pude cursar mis estudios 
de maestría en esta institución. 
Así mismo, quiero manifestar mi agradecimiento al Gimnasio Moderno (Santa fé 
de Bogotá Colombia), institución a la que actualmente pertenezco, por haberme 
apoyado economicamente para financiar mi estadía en México. 
También extiendo mi sentimiento de gratitud al Cologio Madrid (en la Ciudad de 
México), por haberme dado la oportunidad de llevar a cabo la parte experimental 
de este proyecto en sus instalaciones y con la participación de dos de sus grupos 
de estudiantes. 
Finalmente, agradezco al Dr. Javier Pulido su ayuda y valiosas sugerencias. Con 
su asesoría este trabajo adquirió una dimensión más amplia. 
RESUMEN ANALÍTICO 
Título. Una propuesta didáctica para introducir los conceptos básicos de la Geometría Fractal 
en niveles de preparatoria 
Autor. ESTRADA GARCIA, William Fernando 
Publicación. México DF, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de 
Monterrey .1999 
Unidad Patrocinante. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de 
Monterrey. MEE, Dirección de Maestrías en Educación con Especialidad 
Palabras Claves. estrategias y actividades, transposición didáctica,desintetización didáctica, 
contrato didáctico, constructivismo, asimilación y acomodación, equilibrio y desequilibrio, 
zona de desarrollo proximal, andamiaje, aprendizaje asistido, autosimilaridad, teorema de 
Barnsley, teorema del Collage, dimensión fractal, fractales clásicos, movimientos en el 
plano, transformación de similitud, diseño experimental pretest-postest con grupo de 
control, refuerzo conceptos, identificación de patrones y comprensión y utilización de 
conceptos nuevos. 
Fuentes. la elaboración de este trabajo se ha basado en las referencias bibliográfica que 
aparecen al final de la presente investigación. 
Contenido. se diseña un conjunto de estrategias y actividades para introducir los conceptos 
fundamentales de geometría fractal en niveles de preparatoria. Al mismo tiempo se lleva a cabo un 
experimento de tipo pretest-postest con grupo de control a fin de poner a prueba una parte del 
material diseñado, y así determinar si favorece o no el refuerzo de conceptos previos en 
matemáticas, la identificación de patrones y la comprensión y utilización de nuevos conceptos. 
Descripción. el conjunto de estrategias y actividades está constituido por un material escrito 
compuesto por seis capítulos. En el primer capítulo se hace una construción de los fractales 
clásicos: el conjunto de Cantor, el triángulo de Sierpinski, curva de Koch y la caja fractal; lo cual 
permite introducir el concepto de autosimilaridad. En el segundo capítulo, se aborda el concepto 
de dimensión fractal; en este capítulo se construye el concepto de dimensión de homotecia a 
partir del concepto de autosimilaridad , y posteriormente, se estudian dos métodos generales para 
calcular la dimensión fractal de figuras irregulares: el método del compás y el método de 
recubrimiento. En el tercer capítulo se estudia de manera individual, los movimientos básicos del 
plano y su representación matricial; estos movimientos son: rotación, homotecia, reflexión y 
traslación. En el cuarto capítulo se estudia la combinación de los movimientos anteriores y su 
representación como un producto matricial. En el quinto capitulo se aborda el teorema 
fundamental de Barnsley subdividiendo su estudio en tres etapas: sistema iterado de funciones, 
transformación fundamental de Barnsley y finalmente la iteración de dicha transformación. En el 
capítulo sexto se estudia algunas aplicaciones en las áreas de biología, economía e ingeniería. 
Es importante mencionar que las estrategias y actividades fueron diseñadas con la intención de 
promover una participación activa del estudiante en su proceso de aprendizaje y así lograr un 
aprendizaje significativo en un ambiente colaborativo. 
Por otra parte, el diseño experimental se llevó a cabo en el colegio Madrid de la ciudad de México 
con estudiantes de tercer nivel de preparatoria. Se hizo una crónica de las sesiones realizadas; 
así como un análisis del proceso experimental llevado a cabo. 
De la crónica realizada se puede ver que los temas planteados despertaron el interés de los 
estudiantes debido a su naturaleza paradójica, novedosa, interesante y útil. También se encontró 
que las estrategias y actividades constituye una propuesta flexible que sólo podrá ser mejorada a 
través de su puesta en práctica; así mismo se requiere que el maestro tenga conocimiento del 
tema para que pueda orientar mejor el trabajo de los estudiantes y ayudarlos a lograr su 
aprendizaje. 
El análisis del procesoexperimental se hizo en varias etapas. Primero se describieron los grupos, 
luego se categorizaron las preguntas y establecieron los criterios de validez de las respuestas. 
Después se realizó una descripción de las respuestas dadas por cada grupo, para cada una de 
las preguntas establecidas. Posteriormente, se hizo un análisis comparativo de los resultados 
obtenidos por los dos grupos en ambos cuestionarios: primero comparando el desempeño 
individual de cada grupo de un cuestionario al otro y luego, comparando el desempeño de ambos 
grupos en un mismo cuestionario. Finalmente, se llevó a cabo un análisis para determinar el 
desempeño por rendimiento académico en el grupo experimental. 
Conclusiones. Los resultados principales de este proyecto son 
1. Se establece una posible forma de introducir los conceptos y procedimientos fundamentales 
de la geometría fractal en niveles de preparatoria, a través del diseño de un conjunto de 
estrategias y actividades basadas en un enfoque constructivista. Este diseño constituye una 
propuesta flexible y por lo tanto susceptible de ser mejorada. El grado de beneficio que 
pueda tener este material depende también de la manera como el profesor administre la clase 
y el material, así como de la preparación que tenga sobre el tema. Es importante que el 
alumno no sólo interactúe con el material, sino con el maestro y con sus propios compañeros. 
2. Como consecuencia de este diseño experimental se llega a las siguientes conclusiones: 
i)EI desarrollo de las estrategias y actividades llevadas a cabo por los alumnos no tiene una 
incidencia notable en el refuerzo de conceptos. Los alumnos pueden reforzar los 
conceptos, particularmente de área y perímetro, en el transcurso de sus cursos normales de 
matemáticas y como consecuencia de su proceso normal de aprendizaje. 
ii) El desarrollo de las estrategias y actividades para la enseñanza de la Geometría Fractal, 
permite que los alumnos mejoren su capacidad para identificar un patrón aritmético y 
algebraico a partir de una secuencia geométrica. 
iii) El desarrollo de las estrategias y actividades es altamente efectivo para la comprensión de 
nuevos conceptos tales como autosimilaridad y dimensión fractal. 
iv) La aplicación del material diseñado en grupos de rendimiento alto, medio y bajo, en 
cuanto a las categorías establecidas de refuerzo de conceptos, identificación de patrones y 
comprensión y utilización de nuevos conceptos, favorece más a los estudiantes de 
rendimiento bajo y medio que a los estudiantes de alto rendimiento. 
INDICE 
PARTEI 
INTRODUCCIÓN 1 
Sección 
ACLARACIÓN.ANTECEDENTES Y JUSTIFICACIÓN 5 
ACLARACIÓN DEL PROBLEMA 5 
ANTECEDENTES 7 
JUSTIFICACIÓN 9 
11 PROBLEMA, OBJETIVOS E HIPÓTESIS 11 
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 11 
OBJETIVOS 16 
HIPÓTESIS 18 
111 MARCO TEÓRICO 23 
PANORAMA GENERAL 23 
MARCO CONCEPTUAL 25 
Constructivismo 25 
Transposición Didáctica 28 
Conceptos matemáticos 33 
IV METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN 38 
CLASIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN 38 
FASES DE LA INVESTIGACIÓN 39 
V INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS 42 
INSTRUMENTOS 42 
TIPO DE OBSERVACIÓN 44 
VI INSTRUMENTOS DE ANÁLISIS DE RESULTADOS 45 
PARTE 11 
Sección 
FRACTALES CLÁSICOS Y AUTOSIMILARIDAD 50 
CONJUNTO DE CANTOR 51 
TRIANGULO DE SIERPINSKI 57 
CURVA DE KOCH 64 
CAJA FRACTAL 72 
AUTOSIMILARIDAD 78 
11 DIMENSIÓN FRACTAL 82 
DIMENSIÓN DE HOMOTECIA 83 
DIMENSIÓN POR COMPÁS 87 
DIMENSIÓN POR RECUBRIMIENTO 94 
111 MOVIMIENTOS Y MATRICES 103 
ROTACIÓN 104 
DILATACIONES Y CONTRACCIONES 110 
REFLEXIÓN 114 
TRASLACIÓN 125 
IV COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS 134 
ROTACIÓN Y HOMOTECIA 135 
ROTACIÓN Y REFLEXIÓN 141 
HOMOTECIA Y REFLEXIÓN 148 
COMPOSICIÓN CON OTROS MOVIMIENTOS 154 
TRANSFORMACIÓN DE SIMILITUD 157 
V UN MÉTODO DE CONSTRUCIÓN DE FRACTALES 165 
SISTEMA DE TRANSFORMACIONES DE SIMILITUD 166 
TRANSFORNACIÓN FUNDAMENTAL DE BARNSLEY 169 
PROCESO DE CONSTRUCCIÓN DE BARNSLEY 172 
VI APLICACIONES 178 
PARTE 111 
Sección 
CRÓNICA DEL PROCESO 183 
UNA PROPUESTA AL COLEGIO MADRID 183 
SESIONES 184 
COMENTARIOS GENERALES 204 
11 ANÁLISIS DEL PROCESO EXPERIMENTAL 207 
DESCRIPCIÓN DE LOS GRUPOS 207 
CATEGORIZACIÓN DE LAS PREGUNTAS 210 
CRITERIOS DE VALIDEZ DE LAS RESPUESTAS 215 
DESCRIPCIÓN DE RESPUESTAS 218 
ANÁLISIS COMPARATIVO 236 
ANÁLISIS POR RENDIMIENTO ACADÉMICO 246 
111 INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS 255 
LAS ESTRATEGIAS Y ACTIVIDADES 255 
EL PROCESO EXPERIMENTAL 256 
ANÁLISIS DE LAS ESTRATEGIAS Y ACTIVIDADES 257 
ANÁLISIS DEL PROCESO EXPERIMENTAL 259 
IV CONCLUSIONES 262 
V BIBLIOGRAFÍA 265 
PARTE 1 
1 INTRODUCCIÓN 
Este trabajo tiene un doble propósito: por un lado elaborar una propuesta para 
introducir los conceptos y procedimientos básicos de la Geometría Fractal, 
preferiblemente en los niveles de preparatoria. Por otra, hacer una prueba 
experimental con una parte del material elaborado. 
La propuesta será dada a conocer en forma de texto en el que se presenta una 
secuencia de estrategias para la enseñanza de los conceptos y procedimientos 
más relevantes de la Geometría Fractal. Hay que señalar que esta disciplina 
constituye una muy reciente rama de la matemática cuyo desarrollo se ha visto 
acelerado gracias a sus inmensas aplicaciones en diferentes campos de la 
ciencia y la tecnología y al desarrollo de los computadores. 
La prueba experimental estará basada en un modelo pretest- postest con grupo 
de control. Los cuestionarios que se aplicarán incluyen preguntas de distintos 
estilos: tipo test, completación y abiertas. Un grupo será expuesto a una parte de 
las estrategias y actividades propuestas, mientras el de control no. A ambos se 
les aplicará los mismos cuestionarios. 
Este experimento estará destinado a vislumbrar si el desarrollo de esta propuesta 
contribuye a reforzar conceptos y procedimientos matemáticos anteriormente 
vistos por los estudiantes; así como también a comprender y utilizar nuevos 
conceptos y a desarrollar su capacidad para descubrir patrones numéricos y/o 
geométricos. 
Este trabajo ha sido motivado por el interés que despierta el estudio de éstas 
dos ramas de la matemática. Fue precedido por un estudio puramente teórico 
enmarcado en el ámbito de la matemática 1; y luego por una experiencia con 
estudiantes de secundaria con quienes tuve la oportunidad de compartir algunos 
conocimientos muy elementales referentes a geometría fractal2. Ahora encuentro, 
al hacer la tesis de Maestría, una oportunidad para desarrollar amplia y 
profundamente algunas ideas adquiridas durante este trayecto. 
La elaboración del material didáctico así como la realización del experimento 
son muy importantes por las razones que a continuación se expresan: 
En primer lugar, la propuesta didáctica enriquece los cursos normales de 
matemáticas aportando nuevos contextos. En éstos, los estudiantes tienen la 
oportunidad de reforzar sus conocimientos en el área; lo cual favorece un 
1 La investigación teorica a la que se hace referencia, consistió en hacer un análisis topológico del espacio en 
cual habitan los fractales y realizar un estudio de la evolución conceptual de la dimensión fractal. Para 
profundizar más en este trabajo buscar en la bibliografía de la presente tesis, la referencia bibliográfica 
correspondiente a Estrada, W.F ( 1995). 
2Esta es una experiencia de carácter pragmático que se realizó en el colegio Gimnasio Moderno en Santafé 
de Bogotá Colombia, con estudiantes de segundo de secundaria y primer nivel de preparatoria. De este 
trabajo solo quedó un material diseiiado, pero no se hizo una descripción formal del proceso. 
2 
mejoramiento de su rendimiento. Espero así reducir la dificultad que una buena 
parte de los estudiantes tiene con el aprendizaje de las matemáticas. 
Al mismo tiempo esta propuesta le brinda a los estudiantes la oportunidad de 
familiarizarse, desde muy temprana edad, con temas científicos muy recientes 
que amplían la probabilidad de hacer avanzar la ciencia y la tecnología. A la vez, 
le daal maestro la posibilidad para que, poniéndose al tanto de los avances de su 
propia disciplina, pueda encontrar más elementos para enriquecer su actividad. 
Es importante decir que el proceso experimental a desarrollar constituye no 
sólo un medio para poner en claro la bondad de este material sino que a la vez 
es un modelo de investigación en educación que podría ser adoptado por 
cualquier docente. 
Como consecuencia de este proyecto se espera tener una propuesta para la 
enseñanza de la Geometría Fractal que sea susceptible de ser ampliada, 
mejorada y ajustada a las condiciones particulares del contexto de enseñanza en 
el que se quiera emplear. 
Se espera que los resultados del experimento reafirmen la hipótesis planteada 
[ pag. 18 ] mediante el análisis estadístico correspondiente. Los alumnos se 
beneficiarán al encontrar una oportunidad para mejorar su nivel matemático; los 
profesores, en cuanto que encuentran un modelo para hacer investigación 
educativa. Sin embargo, el impacto mayor será sobre los estudiantes de 
preparatoria a quienes finalmente va dirigido este proyecto. 
Por otra parte este trabajo se encuentra dividido en tres partes: 
La primera parte se divide en seis secciones. En la sección I se aclara el tema, 
se describen los antecedentes y se hace una justificación del tema. En la sección 
11 se plantea el problema, los objetivos y la hipótesis. En la sección 111 se expone 
el marco teórico el cual está fundamentado sobre tres teorías básicas: el 
constructivismo, transposición didáctica y los conceptos matemáticos de 
Geométría Fractal. En la sección IV se describe la metodología de la 
investigación, explicándose su clasificación y fases. En la sección V se describe 
los instrumentos de recolección de datos y se clasifica el tipo de observación. En 
la sección VI se describen los instrumentos para el análisis de datos. 
La segunda parte se divide en 6 capítulos. 
En el capítulo I se aborda las construcciones de los fractales y el de 
autosimilaridad. Los fractales clásicos que construyen son: Conjunto de Cantor, 
Triángulo de Sierpinski; Curva de Koch y Caja Fractal. La construcción de estos 
fractales se hace por medio de un método estático y otro dinámico. El primero no 
usa movimientos en el plano mientras que el segundo sí. Sin embargo ambos se 
fundamentan en un proceso recursivo. 
3 
En el capítulo 11 se aborda el tema de dimensión fractal y se describen y 
desarrollan los tres métodos para calcular: la dimensión por homotecia, el método 
del compás y el método de recubrimiento. La primera sirve para calcular la 
dimensión de figuras estrictamente autosimilares; las dos últimas permiten 
calcular la dimensión de curvas y superficies irregulares respectivamente. 
En los capítulos 111 y IV se diseñaron con el fin de que el alumno construya el 
concepto de transformación afín, sobre el cual descansa, en la práctica la 
construcción de fractales. 
En el primero de estos dos capítulos se aborda, de modo individual, los 
movimientos de rotación, dilataciones y contracciones, reflexión y traslación. Se 
trata de que el alumno establezca una relación indisoluble entre movimientos en 
el plano y matrices. La idea es que el alumno constate a través de diversas 
actividades y ejercicios, que a cada movimiento se le puede asociar una matriz y 
que el efecto que produce el movimiento sobre un punto de una figura plana es 
el mismo que el resultado de multiplicar dicho punto por la matriz correspondiente. 
En el segundo de estos capítulos se estudia la combinación o composición de 
movimientos en el plano. La idea es que el alumno, a través de una realización 
de actividades y ejercicios, se de cuenta que la composición de movimientos es 
equivalente a la multiplicación de las matrices correspondientes. Sobre esta base 
se construye el concepto de autosimilitud o transformación afín. 
En el capítulo V se explica el proceso de Barnsley para la construcción de 
Fractales. Con este propósito los conceptos de sistemas de transformaciones 
de similitud, transformación fundamental de Barnsley y el proceso de 
construcción de Barnsley. 
En el capítulo VI se describe brevemente algunas de las aplicaciones de la 
teoría Fractal. Estas son: estructuras biológicas, economía (bolsa de valores), 
estructuras en ingeniería y compresión de imágenes. Este capítulo es más de 
carácter informativo para el alumno que de carácter activo. Es decir, pretende 
que el alumno se informe acerca de algunas aplicaciones de los fractales y no 
que realice, - como en los anteriores capítulos -, actividades con algún propósito. 
La tercera parte del trabajo se compone de cuatro capítulos. El primero de estos 
capítulos tiene por objeto que el lector tenga una idea más o menos amplia de 
las condiciones generales en las cuales se desarrolló el proceso experimental, 
para que así pueda evaluar con un criterio más amplio los resultados en el 
análisis cuantitativo. En consecuencia, se describe la forma como el proyecto 
ingresa al Colegio Madrid; se elabora la crónica del proceso y se hace, 
finalmente, unos comentarios generales sobre dicho proceso. 
En el segundo capítulo, se hace un análisis de los datos obtenidos en la 
aplicación de los dos cuestionarios. En este análisis se describen los grupos, se 
establecen las categorías y criterios de validez de las preguntas y respuestas; se 
4 
describen las respuestas dadas por cada grupo en cada uno de los cuestionarios 
y finalmente, se hace un análisis comparativo de los resultados. Este análisis de 
resultados consiste en lo siguiente: en primer lugar, se fija el primer cuestionario y 
se compara el desempeño de los dos grupos en éste. Luego se fija el segundo 
cuestionario y se compara el desempeño de ambos grupos en éste. En segundo 
lugar, se fija el grupo experimental y se compara su desempeño en ambos 
cuestionarios. Luego se fija el grupo de control y se compara su desempeño en 
ambos cuestionarios. Posteriormente, se considera el grupo experimental y se 
particiona en grupos de rendimiento alto, medio y bajo. Esto permite analizar el 
desempeño del grupo experimental por grupos de rendimiento. 
En el tercer capítulo se hace un análisis interpretativo de los principales resultados 
de este trabajo. Este análisis consiste en describir los resultados importantes y 
luego anlizarlos a la luz de los conceptos del marco teórico. 
En el cuarto capítulo se establecen las conclusiones. En estas se describen los 
resultados obtenidos y las posibles líneas de investigación que surgen como 
consecuencia de la realización de éste trabajo. 
ACLARACIÓN, ANTECEDENTES Y JUSTIFICACIÓN 
ACLARACIÓN DEL PROBLEMA 
5 
La pregunta que se ha planteado como apertura a la investigación es ¿Qué 
estrategias diseñar para enseñar los conceptos básicos de Geometría Fractal en 
los dos últimos niveles de preparatoria?. Para entender mejor el problema que 
sugiere esta pregunta, se precisará cada uno de los términos que la componen. 
Por estrategias se entenderá un conjunto de actividades cada una de las cuales 
tiene una finalidad, necesita de unos recursos para llevarse a cabo, y explicita una 
manera de usar estos recursos. Al elaborar estas actividades se tendrá en cuenta 
que exista una secuencia lógica de una actividad a otra; que cada actividad tenga 
una organización interna y dé un tratamiento adecuado al contenido específico del 
cual versa. 
Además, puesto que la elaboración de estrategias depende del contexto de 
enseñanza, es necesario aclarar que las actividades serán aplicadas a 
estudiantes de los dos últimos niveles de preparatoria que no necesariamente 
tengan un alto rendimiento en matemáticas pero que si estén interesados en 
aprender un nuevo tema matemático sobre la base de conocimientos básicos que 
ya poseen y otros nuevos que estén dispuestos a aprender. No se pretende que 
las actividades aquí planteadas sean aplicadas estrictamente a cualquier contexto, 
sino que estas sean ajustadas o sirvan de sugerencias para diseñar otrasnuevas 
que correspondan a determinadas circunstancias escolares. 
Por otra parte, se entenderá el diseño tal como lo entiende Stenhouse: como un 
proceso dinámico por el cual se experimentan ciertas hipótesis en la práctica con 
el fin de obtener información que permita reformularlas para orientar de manera 
conveniente la acción educativa. 
En este sentido las estrategias se entenderán como hipótesis, pues serían 
actividades que no están planteadas definitivamente, sino que deben ser 
modificadas de acuerdo a los resultados observados como consecuencia de su 
aplicación. Es decir, las estrategias constituirían un material escrito tentativo que 
podría ser adaptado y mejorado de acuerdo a las características, necesidades de 
los grupos y a las condiciones escolares en las cuales se desenvuelve la acción 
educativa. 
El material diseñado para la enseñanza de las nociones fundamentales de 
Geometría Fractal responde a una cierta concepción de enseñanza. Existen 
varias alternativas de concebir la enseñanza; pero las que se han elegido en este 
caso para orientar la elaboración e implementación de éste trabajo son las 
siguientes: la enseñanza como transmisión cultural, la enseñanza como 
entrenamiento de habilidades y finalmente la enseñanza como productora de 
cambios conceptuales. 
6 
Si " enseñar es la práctica por medio de la cual se transmite a las nuevas 
generaciones los cuerpos de conocimientos disciplinar que constituyen nuestra 
cultura"(Gimeno, 1996); y la labor docente es enseñar, entonces es nuestro deber 
participar responsablemente en la selección de éstos contenidos culturales que 
promueven el desarrollo del alumno/na dotándolo de esquemas conceptuales 
útiles para comprender el mundo y afrontar los problemas que se le presentan. La 
enseñanza de la Geometría Fractal en preparatoria constituye un intento de 
responder a esta perspectiva. 
Por otro lado, si la enseñanza es la práctica por la cual se desarrollan y entrenan 
las habilidades y capacidades formales de los estudiantes desde las más simples 
hasta las más complejas, entonces creemos que la Geometría Fractal favorece 
este principio ya que sus contenidos constituyen un buen contexto para el 
desarrollo y fortalecimiento de habilidades tales como: lectura, escritura, cálculo, 
solución de problemas, planificación, etc. 
De otro lado puesto que los estudiantes deben hacer uso en nuevos contextos de 
conocimientos adquiridos en los cursos tradicionales de matemáticas, entonces se 
fomenta el aprendizaje significativo, el cual promueve la transformación del 
pensamiento y las creencias del estudiante. Por esta razón, la enseñanza de la 
Geometría Fractal también responde al enfoque de enseñanza como producción 
de cambios conceptuales. 
No obstante, debido a que la movilización de esquemas de pensamiento en el 
estudiante está muy ligado a sus preocupaciones, intereses y posibilidades, es 
importante aclarar que la enseñanza de estos dos temas será más efectiva si se 
aplica a estudiantes que desean participar voluntariamente en un curso de éste 
tipo. 
En lo que refiere a conceptos básicos, se puede decir que, (según Maria luisa 
martín), los conceptos son relaciones significativas entre hechos y datos que nos 
permiten comprender la realidad. Entre más entretejida esté la red conceptual de 
una persona, mejor es su comprensión del mundo. Por ésta razón, más que 
hechos y datos aislados se pretende que el alumno/na adquiera los conceptos 
más generales que subyacen en la organización conceptual de la Geometría 
Fractal. Sin embargo, no todos los conceptos importantes que hacen parte de 
estas dos ramas son susceptibles de ser enseñados en preparatoria, dado que el 
alto nivel de abstracción que poseen supera el nivel conceptual que tienen los 
estudiantes. Entre los conceptos básicos que pueden ser tratados en preparatoria 
están: autosimilaridad, Dimensión fractal y el proceso de Barnsley para construir 
fractales. 
Para que el material de aprendizaje fomente la incorporación estructurada de 
conceptos es importante que contemplen los siguientes aspectos: 
• Organización interna y conexión lógica entre todas las actividades. 
7 
• Estimule el uso de las estructuras de conocimiento que posee el alumno. 
• La presentación de los contenidos esté basada en situaciones y contextos 
próximos a la vida de los estudiantes con el fin de que el conocimiento 
científico no sólo sea verdadero sino también útil. 
De otro lado conviene dar aquí alguna justificación sobre la elección de los dos 
últimos niveles de preparatoria para enseñar Geometría Fractal. La razón es 
porque los estudiantes de éste nivel cuentan con un bagaje matemático que les 
permite encarar con cierta formalidad los tópicos que se abordan. Por ejemplo, los 
estudiantes disponen de conocimientos de matrices, de la noción de semejanza; 
han estudiado funciones lineales, logarítmica y exponenciales, cuentan con una 
teoría básica de complejos y poseen cierta facilidad para encontrar patrones 
geométricos y numéricos, entre otros temas importantes para abordar el estudio 
de los Sistemas Dinámicos y la Geometría Fractal. 
¿Qué estudia la Geometría Fractal y los Sistemas Dinámicos ? 
La Geometría Fractal estudia figuras altamente irregulares, las cuales se 
generan a través de procesos sencillos de construcción y poseen dos 
características básicas: autosimilaridad y dimensión no entera. Lo primero 
significa poseen alguna propiedad invariante bajo el cambio de escala. Por 
ejemplo, a veces la rama de un árbol está compuesta por pequeñas ramas que 
tienen una forma muy parecida a la totalidad de la rama. Lo segundo significa 
que no posee las dimensiones usuales: uno, la de la línea; dos la del plano y tres 
la del espacio. Es decir son figuras que pueden habitar en espacios intermedios. 
Por ejemplo, encontrarse entre el plano y el espacio. Por este motivo dos temas 
básicos serían: autosimilaridad y dimensión fractal. 
Los Sistemas Dinámicos estudian, en forma cualitativa, procesos que evolucionan 
temporalmente. Es importante afirmar que los fractales se pueden generar a 
través de procesos dinámicos y en consecuencia existe una relación muy 
estrecha entre Sistemas Dinámicos y Geometría Fractal. 
Finalmente, debido a la importancia práctica de la geometría Fractal y los 
Sistemas Dinámicos, es importante incluir algunas de su aplicaciones en 
diferentes áreas como biología, economía e ingeniería 
ANTECEDENTES 
Historia de la Geometría Fractal. 
La Geometría Fractal e una rama muy reciente de la matemática. Se inicia a partir 
de 1970 con el trabajo de divulgación realizado por Benoit Mandelbrot quien 
mostró desde una perspectiva intuicionista la aplicación inmensa que podrían 
tener las estructuras fractales. No obstante, a comienzos de siglo, Hausdorff y 
Besicovich habían estudiado las propiedades geométricas, aritméticas y analíticas 
de conjuntos muy raros, que más tarde resultaron ser muy interesantes por su 
8 
belleza interna, diversidad y analogía con ciertos procesos de la naturaleza. Hoy 
en día su trabajo ha dado origen a la teoría geométrica de la dimensión, la cual ha 
sido base para el estudio actual de los conjuntos fractales. 
En la década de los 80, Huchitson y Barnsley lograron demostrar la íntima 
relación entre fractales y los Sistemas Dinámicos, al mostrar que los fractales se 
podían obtener por medio de procesos dinámicos. 
De ésta breve descripción histórica, puede deducirse que el trabajo de 
investigación teórica en esta área se ha hecho más nivel internacional que 
nacional. 
Antecedentes Históricos sobre Propuestas de Enseñanza de Sistemas 
Dinámicos y Geometría Fractal 
A nivel internacional existen varios trabajos destinados a la enseñanza de la 
Geometría Fractal en el nivel superior. Entre estos se encuentran: Fractals Every 
where (Michael Barnsley) ; The Geomety of Fractals Sets (Falconer, J.) y Chaos, 
Fractals and Dynamics (Robert Devaney). 
A nivel de bachillerato existen muy pocos trabajosenfocados hacia la enseñanza 
de estos temas. Sólo un trabajo realizado por un grupo de investigadores 
alemanes es relativamente conocido. Se titula: Fractals for de Class Room. Este 
trabajo contempla tres tópicos centrales: la autosimilaridad relacionada con los 
patrones numéricos y geométricos; algunos procesos aleatorios y su importancia 
en la generación de estructuras fractales. Finalmente hace un tratamiento de la 
dimensión fractal en cuanto a los métodos para calcularla y su relación con la 
complejidad de las figuras a las que se asocia. En este trabajo también se hace 
una propuesta didáctica para la enseñanza de los conceptos y tópicos más 
importantes de los sistemas Dinámicos. 
A nivel nacional conozco dos propuestas3. La primera es una propuesta didáctica 
para los grados 1 O y 11 de educación media. En este trabajo se construyen 
matrices de orden 2x2 asociadas a los movimientos de rotación, reflexión y 
traslación aplicados en el plano. Luego, haciendo uso de lo visto, se introduce el 
concepto de similitud y autosimilitud. Posteriormente se elaboran las nociones de 
semilla y producción, las cuales permiten construir fractales clásicos. El método 
utilizado para el desarrollo de los talleres es inductivo y constructivista, ya que a 
partir de un conjunto de instrucciones precisas y coherentemente organizadas 
sobre diversos casos, se busca que el estudiante llegue a unas conclusiones 
deseadas. La segunda, aborda también el concepto similitud y autosimilitud pero 
desde una perspectiva deductiva, diferenciando las similitudes de la recta de las 
3 Las dos propuestas mencionadas antes se encuentran en Colombia, por lo que fue imposible localizar sus 
referencias bibliográficas.Estas dos propuestas corresponden a dos trabajos de tesis a los cuales tuve la 
oportunidad de acceder cuando realizaba las primeras experiencias relacionadas con la enseñanza de algunos 
conceptos de Geometría Fractal, en el primer nivel de preparatoria y en el segundo nivel de secundaria. 
9 
del plano. Es decir, se da la definición y se propone una serie rica de ejemplos y 
ejercicios en los que el estudiante puede visualizar la fortaleza de los conceptos. 
Aborda la construcción de fractales clásicos de un modo más formal, pero aun así 
accesible al nivel de los estudiantes. Hace un tratamiento muy breve del concepto 
de dimensión fractal y además utiliza el lenguaje Lago para construir estructuras 
fractales con la ayuda del computador. 
A nivel del Colegio Madrid Asociación Civil no se ha realizado ningún trabajo de 
este tipo. 
JUSTIFICACIÓN 
El tema de investigación que he planteado, resulta ser de alguna manera una 
parte complementaria del trabajo final de grado que realicé en mi licenciatura. 
Mientras ese trabajo se enfocó hacia cuestiones puramente matemáticas, este 
trabajo que se propone realizar, tiene una aplicación didáctica. Además de esto, 
en los dos últimos años he realizado algunas experiencias tentativas referidas a la 
enseñanza de estos dos temas en los niveles de 7° y 9º grado, cuyos resultados 
he tenido la oportunidad de compartir con otros colegas. La geometría fractal y los 
Sistemas Dinámicos son temas que me entusiasman y en los cuales quiero 
continuar profundizando, tanto desde la perspectiva de la enseñanza como 
desde el punto de vista puramente matemático. 
De otra parte es un tema que resulta ser muy importante por las siguientes 
razones: favorece un aprendizaje significativo, ya que los estudiantes tienen que 
utilizar los conocimientos previos de matemáticas en nuevos contextos. Promueve 
el cambio de pensamiento que tienen los estudiantes en torno a la matemática, 
la cual conciben como un cuerpo estático de conocimientos y no como una 
ciencia en permanente evolución. Además contribuye al avance de la ciencia por 
medio de la divulgación de trabajos científicos relevantes entre los jóvenes, entre 
quienes pueden existir talentos que se interesen seriamente por estos tópicos. 
También constituye un factor importante para mejorar el rendimiento en 
matemáticas de los estudiantes a través del fortalecimiento de conceptos. Por 
otra parte, la realización de este trabajo también ofrece una oportunidad para 
probar la utilidad de instrumentos de recolección de datos destinados a proveer 
información sobre la calidad del material elaborado. 
Este trabajo impactaría directamente a estudiantes de los últimos niveles de 
preparatoria a quienes va dirigido el proyecto. Específicamente a estudiantes de 
tercer semestre de preparatoria del Colegio Madrid. 
Es un trabajo útil en varios sentidos: en primer lugar, el material escrito que se 
elabore podrá ser utilizado por cualquier maestro que desee conocer los 
aspectos esenciales de la Geometría Fractal desde una perspectiva intuitiva. Lo 
cual le ayuda a ponerse al tanto de los avances de su disciplina. En segundo 
lugar, es un material que enriquece la temática de los cursos normales de 
matemáticas y que posibilita el refuerzo de ciertos conceptos matemáticos. En 
10 
tercer lugar, la metodología de investigación, - basada fundamentalmente en una 
proceso diseño y experimentación -, constituye un modelo de investigación para 
cualquier maestro que quiera poner en marcha alguna idea didáctica. 
Este trabajo es novedoso desde que pretende ahondar en una muy reciente 
rama de la matemática: la Geometría Fractal. Además porque se propone integrar 
lo mejor de las propuestas de enseñanza conocidas al respecto. A diferencia de 
los trabajos anteriores, este trabajo realizará un análisis sobre datos obtenidos de 
la aplicación de una parte del material a un grupo de estudiantes. Además 
pretende incluir nuevos tópicos, no tratados en los trabajos anteriores. En realidad, 
este es un trabajo que, aunque se basa en ideas de trabajos precedentes, aspira 
ser una propuesta distinta tanto en la organización de las actividades, como en el 
diseño de las mismas. 
La originalidad de este trabajo no consiste en la selección de un tema que se 
le ha escapado a los investigadores, sino en remitirse a fuentes primarias. Este 
trabajo no se limita a la consulta y estudio de las tres propuestas conocidas sino 
que va a los textos que abordan en forma pura los contenidos teóricos existentes 
sobre Geometría Fractal. 
Finalmente, considero que después de discutir el problema de investigación; 
presentar los antecedentes de la investigación y precisar los factores que lo 
justifican, el tema ha quedado claramente expuesto. 
11 PROBLEMA, OBJETIVOS E HIPOTESIS 
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 
11 
El problema que llama mi atención y sobre el cual deseo trabajar es en su mayor 
parte de carácter procedimental y en menor grado experimental . 
Es de procedimiento porque se trata de conseguir información sobre un tema 
general con el fin de entender los problemas esenciales que aborda y poder 
reorganizarlos de modo que sea posible presentarlos a estudiantes de 
preparatoria a través de un conjunto de estrategias lógicamente organizadas y 
con coherencia interna. 
Es experimental porque una parte del material será aplicado sobre una muestra 
de estudiantes en el nivel de preparatoria y con la ayuda de un grupo de control. 
El problema que se pretende resolver es el siguiente: ¿Qué estrategias diseñar 
para introducir la enseñanza de la Geometría Fractal en estudiantes del colegio 
Madrid de tercer semestre de preparatoria? 
En esta pregunta se identifican dos variables: una independiente y otra 
dependiente, relacionadas entre si. Recordemos que una variable es un tipo de 
concepto que cambia al ser aplicado a diferentes sujetos o situaciones. Una 
variable independiente no depende de otra variable; mientras que una variable 
dependiente depende de otra según cierta relación establecida. 
Para el caso en consideración, la variable independiente es: diseño de estrategias, 
y la variable dependiente es : enseñanza de la Geometría Fractal con estudiantes 
del nivel de preparatoria .Dichas variables están relacionadas por un vínculode 
"introducción ". La efectividad de la enseñanza de estos temas; es decir , de la 
enseñanza de la Geometría Fractal, depende de la calidad con la que se ha 
diseñado las estrategias y actividades. 
Para entender mejor cada una de las variables es necesario ahondar en los 
conceptos que las constituyen; pero estos términos ya han sido tratados con sus 
debida profundidad en el planteamiento del tema. Así que por ahora me referiré, 
en forma detallada a describir el contexto en el que se aplicará las estrategias y 
actividades diseñadas, ya que su diseño será influenciado por la institución 
y el nivel en el que se encuentren los estudiantes, en este caso en preparatoria. 
Institución: Colegio Madrid 
A continuación se describirá lo que es el Colegio Madrid; su estructura 
organizacional y su misión. 
12 
¿Qué es? 
" El colegio Madrid A. C. es una asoc1ac1on civil que tiene a cargo un conjunto 
escolar formado por cuatro escuelas: jardín de niños; primaria, secundaria y 
preparatoria." Las tres primeras están incorporadas a la Secretaría de Educación 
Pública (SEP); mientras que la última está adscrita a los programas de la 
Universidad Autónoma de México (UNAM). 
El colegio Madrid brinda a sus alumnos un ambiente de respeto y apoyo para su 
desarrollo integral, enfatizando en su formación intelectual y académica. Para 
esto cuenta con programas ajustados a las características y necesidades de los 
estudiantes en cada uno de los ciclos escolares. Es una institución que reconoce 
la importancia del profesorado en el proceso educativo, por lo que cuenta con un 
programa de desarrollo académico. 
En su parte administrativa cuenta con tres organismos básicos: Junta de 
gobierno, dirección general y secretaría administrativa. 
Junta de gobierno: Toma las decisiones trascendentales de la institución 
Dirección general : Tiene bajo su orientación a las direcciones de las cuatro 
escuelas (preescolar, primaria, secundaria y preparatoria); supervisa a la 
secretaría administrativa y está al tanto de las coordinaciones correspondientes 
a: actualización docente, actividades académicas, y proyectos especiales. 
Secretaría administrativa: su propósito es " darle absoluta confiabilidad a los datos 
e informes estadísticos y financieros; tener al día la información contable; mejorar 
las relaciones laborales y el equipo para modernizar los servicios 
administrativos. 
En cuanto a sus instalaciones están diseñadas de tal manera que ofrezcan 
espacios cómodos y funcionales que faciliten las actividades de los alumnos. 
Entre éstas están: 
Unidad cultural "Lázaro Cárdenas" : formada por un auditorio y sala de 
exposiciones. 
La Biblioteca General : facilita a los alumnos el estudio y la investigación con los 
servicios de consulta interna y préstamo a domicilio. Posee 18000 títulos 
clasificados. Tiene convenios de préstamo interbibliotecario con reconocidas 
instituciones tales como el Colegio de México, UNAM y el Archivo general de la 
Nación, entre otras. Además, tiene suscripciones con revistas nacionales e 
internacionales. 
Gimnasio: Posee una concha reglamentaria, un foro y salones de danza y 
expresión corporal. 
13 
La casita: "Es un salón especial de juegos proyectivos que permiten al niño de 
preescolar interactuar sobre el mundo que le rodea expresando sus deseos." 
La casa del árbol: es una construcción que simula la copa de un árbol donde los 
niños de primaria pueden disfrutar de la sensación de trepar y aislarse durante 
el desarrollo del taller de integración. 
Huerto e invernadero: es un lugar donde el nmo siembra, cuida y cosecha 
hortalizas donde puede ver el desarrollo de las plantas. 
¿Qué programas ofrece? 
Los programas ofrecidos por el Colegio Madrid son los correspondientes a los 
ciclos de preescolar, primaria, secundaria y preparatoria. Los conceptos que 
orientan cada ciclo son los mismos. Estos ciclos deben articularse armónicamente 
con el fin de hacer reales los propósitos institucionales. A continuación se 
escriben brevemente estos conceptos: 
• Desarrollar el pensamiento crítico; evitar el predominio del memorismo y 
fomentar la participación del estudiante en el proceso de enseñanza 
aprendizaje. 
• Relacionar diversas áreas de conocimiento entre sí con su vida cotidiana. 
• Desarrollar una actitud crítica fundada en la investigación científica. 
• Desarrollar la capacidad física de los estudiantes y fomentar hábitos 
esenciales para mantener la salud física y mental. 
¿Cómo se financia? 
La institución se inició en 1941 con los fondos de apoyo a la inmigración 
española a México. Desde su fundación hasta 1946 el Colegio Madrid se financió 
de este modo y mantuvo un carácter educativo y social, otorgando a sus 
colegiales todo en forma gratuita. Esto se debió a que los alumnos provenían de 
familias exiliadas recién llegadas a México que no contaban en su comienzo con 
ninguna estabilidad económica y social. En 1949, el gobierno republicano español 
constituyó un fideicomiso de los bienes de la institución; mismo que cedió a título 
gratuito a la asociación civil en 1974. No obstante, desde 1946 hasta el 
momento, se financia con base en las colegiaturas. El 75 por ciento de este 
ingreso se distribuye entre los sueldos de los trabajadores y el resto se destina 
al mantenimiento de las instalaciones y a la compra de material escolar. 
¿Cuál es su origen? 
El colegio Madrid fue fundado el 21 de junio de 1941. Constituye una de las 
varias instituciones educativas que creó la comunidad española que inmigró a 
México, como consecuencia de la guerra civil desatada en su país. 
14 
Quienes llegaron a México eran españoles con convicciones republicanas que se 
oponían al régimen fascista que quiso establecer el general Franco en España. 
Por lo tanto sus ideas pedagógicas se orientan hacia una educación laica, liberal 
y mixta, imprescindible para formar un espíritu crítico y una marcada conciencia 
de los problemas sociales. 
La institución comenzó a funcionar con el jardín de niños y primaria , teniendo un 
carácter mixto. En 1950 se inició la secundaria y hasta 1953 se crea la 
preparatoria. Sus instalaciones estuvieron originalmente es Mixcoac (México D.F), 
en la Delegación Benito Juarez; posteriormente se trasladaron a la delegación 
Tlalpan en la colonia Ejidos de Huipulco (México D.F) donde actualmente se 
ubica. 
¿Cuál es su misión? 
El colegio Madrid " tiene como propósito fundamental la reverencia al mno; 
pretende despertar el interés de sus alumnos hacia una cultura general con la 
asimilación de los conocimientos que exige cada época, pero su meta es formar 
hombres y mujeres capaces de concebir un ideal y de gobernar sus vidas 
mediante el desarrollo de todas sus facultades." (Colegio Madrid A.C., 1991) 
Pero también busca la realización de unos objetivos específicos considerados de 
vital importancia para los alumnos; los cuales están implícitos en las actividades 
que se llevan a cabo. Estos objetivos, son básicamente desarrollar en los 
alumnos 
• La capacidad de cooperación, disciplina y tolerancia ante diferentes puntos 
de vista que los prepare para el ejercicio de una vida democrática. 
• El sentido de compromiso y responsabilidad. 
• El sentido de solidaridad para contribuir al bienestar social de las 
comunidades. 
• El gusto por la lectura y el arte de escribir. 
• La sensibilidad artística. 
• El sentido de independencia y autonomía. 
Al mismo tiempo se busca 
• Fomentar las bases para una genuina comprensión del entorno artístico. 
• Introducir a los alumnos en el vasto mundo de la computación y la informática. 
• Preparar a los estudiantes en el buen manejo del idioma inglés. 
• Fomentar el desarrollo sicomotriz del niño y su capacidad para establecer 
relaciones sociales. 
Estos propósitos se logran a través de las siguientes actividades: asambleas de 
grupos estudiantiles; programas de alfabetización; trabajo social; prácticas de 
campo, visitas y excursiones; campamentos, taller de lectura y redacción; teatro,danza y expresión corporal; talleres de música; computación e inglés; selección y 
escuelita de futbol. 
15 
Preparatoria 
En realidad, es imposible hablar de unos lineamientos de la sección 
preparatoria que difiera de los otros ciclos escolares (preescolar, primaria y 
secundaria); pues el Colegio Madrid aunque esté formado por cuatro escuelas, 
es una sola institución y por lo tanto, los propósitos cobran la misma vigencia en 
cada ciclo escolar. 
En este sentido se puede decir que los principios directrices de la preparatoria 
son los mismos que se escribieron en el apartado correspondiente a los 
programas ofrecidos por el Colegio Madrid. 
No obstante, es importante mencionar que desde el año pasado (1997), se 
empezó a proyectar unos cambios en la sección de preparatoria con el fin de 
ajustar el proceso de enseñanza aprendizaje a las nuevas exigencias sociales, 
sin renunciar a los principios de la institución. Estos cambios están organizados 
en un proyecto denominado CCH del Colegio Madrid, el cual comenzará a 
funcionar en los dos primeros semestres de preparatoria y avanzará 
progresivamente en los dos siguientes niveles cada año. 
No profundizaré en la descripción de dicho proyecto, ya que no tocará al curso 
con el cual se va a trabajar en la experimentación de una parte del material 
diseñado. Sin embargo, mencionaré su aspecto esencial. 
El CCH (Colegios de Ciencias y humanidades) es un proyecto educativo nacional 
que surgió en 1971 y que el colegio incorporó ese mismo año. Sus principios 
básicos son: 
• Realización de un bachillerato estilo universitario que no exija opciones 
vocacionales prematuras e irreversibles. 
• La opción por un bachillerato de cultura básica. 
• Que el alumno se reconozca a sí mismo como sujeto de la cultura y de su 
propia educación. 
• La orientación de un plan de estudios y de las actividades mismas, que le 
faciliten al estudiante aprender como se aprende 
El Colegio Madrid es consciente de que hoy en día el mundo cambia rápidamente 
y los conocimientos aprendidos se vuelven cada vez más obsoletos; la 
información sobrepasa la capacidad de asimilación; la competencia laboral y 
académica es más fuerte y los principios éticos no son tan claros. Por esto 
encuentra en el CCH el punto de partida para su proyecto en preparatoria. El 
objetivo fundamental será orientar el proceso educativo hacia la formación de 
alumnos capaces de aprender a aprender. 
Para esto se requerirá que el proceso de enseñanza aprendizaje propenda por 
el desarrollo de habilidades, destrezas, saberes, pensamiento crítico, disciplina de 
16 
trabajo y organización en las ideas. Esto implicará cambios en cuanto a 
metodología, tiempos de estudio y programas. 
Por otra parte, el periodo sobre el cual se va a aplicar el material seleccionado 
será en primer semestre de 1999, específicamente en los meses de enero y 
febrero. 
OBJETIVOS 
Objetivo General 
El objetivo del trabajo consiste en elaborar un conjunto organizado lógicamente 
de actividades destinadas a la enseñanza de los conceptos y procedimientos 
fundamentales de Geometría Fractal. A la vez que pretende diseñar y llevar a 
cabo un proceso experimental con una parte de las actividades diseñadas, en un 
curso de tercer semestre de preparatoria del Colegio Madrid, para validar o 
invalidar cierta hipótesis planteada entorno a la puesta en práctica de este 
material. 
Las actividades o estrategias son básicamente un material escrito en el cual 
aparece una gama de tareas que el estudiante debe realizar para reconocer y 
comprender los conceptos, procedimientos y aplicaciones de la Geometría 
Fractal. 
La idea con la que se diseñará este material es la de servir como base para 
promover el aprendizaje autónomo de los estudiantes. En este sentido se 
pretende que el material posea la doble característica de ser claro y motivador. 
En cuanto a lo primero se desea que las actividades estén suficientemente 
especificadas y las instrucciones sean lo más precisas posibles como para que el 
estudiante pueda prescindir de la ayuda del profesor. En cuanto a lo segundo, se 
aspira hacer una presentación de los temas y un diseño de las actividades 
mismas que no sólo despierten el interés de los alumnos sino que pueda 
cautivarlos. 
Hay que recordar que el material no pretende ser una estructura temática 
destinada a ser aplicada, - tal como ha sido constituida -, en los dos últimos 
niveles de preparatoria. Por el contrario, constituye una propuesta tentativa 
susceptible de ser ampliada, profundizada y mejorada y por lo tanto también 
modificada para ajustarla a las características de un curso. 
Por otra parte, para entender la razón por la cual ciertos temas de la Geometría 
Fractal se consideran básicos y fundamentales es necesario entender cual es su 
objeto de estudio y mencionar los temas considerados importantes. Pero esto 
ya fue tratado en lo que refiere a la aclaración del tema. 
17 
En lo referente a la elección de los niveles de preparatoria a los cuales va 
destinado el material elaborado se puede decir que tal decisión obedece al 
hecho de que los estudiantes cuentan con un bagaje matemático que los 
capacita para ver ciertos temas de Geometría fractal que en niveles inferiores 
sería prácticamente imposible. No obstante, la parte del material que someterá a 
experimentación puede ser aplicada a estudiantes de secundaria de séptimo 
grado en adelante, siempre y cuando hayan visto movimientos en el plano. 
Objetivos Específicos 
Los objetivos específicos que se plantean son los siguientes: 
a) Elaborar una propuesta para introducir los conceptos y procedimientos básicos 
de la Geometría Fractal en niveles de preparatoria. 
• Construcción de fractales clásicos: primero sin aludir a movimientos en el 
plano; luego acudiendo a movimientos en el plano; después hacer una 
formalización del proceso a través de la asociación de movimientos con 
matrices. 
• Autosimilaridad: los fractales construidos anteriormente servirán como base 
para introducir este concepto. 
• Dimensión Fractal: se abordará desde tres enfoques: por homotecia, por 
compás y por caja. 
El cumplimiento de este objetivo beneficiará al profesor y a los estudiantes. Al 
primero, puesto que tendrá la oportunidad de familiarizarse con temas de gran 
actualidad que hacen parte de su propia disciplina. A los segundos, puesto que 
tendrán la posibilidad de mejorar su nivel matemático a la luz de nuevos 
contextos. 
La propuesta finalizará con la descripción de algunas aplicaciones de estos dos 
grandes temas. 
b) Hacer una prueba experimental de una parle del material elaborado sobre 
una muestra de estudiantes de preparatoria. Los temas que serán objetos de 
la experimentación son: 
i)Construcción de los fractales clásicos: Conjunto de Cantor, Caja Fractal y 
Triángulo de Sierpinski. La manera de abordar su construcción será a través 
de la realización de una secuencia de instrucciones escritas y no se pretende, 
por cuestión de tiempo hacer una formalización matricial de dicho proceso. 
ii)Autosimilaridad y Dimensión Fractal en su versión de dimensión de 
homotecia. 
18 
El logro de éste objetivo permitirá conocer en alguna medida, si el uso de este 
material conlleva a los beneficios descritos en la hipótesis planteada. Al mismo 
tiempo, constituye un modelo de investigación que le puede servir de ejemplo al 
maestro para hacer de su labor un proceso de investigación. 
De este modo, y para terminar, es conveniente reiterar que ha sido descrito el 
objetivo general y detallado los objetivos específicos. Aspectos muy importantes 
para clarificar lo que pretende este proyecto. 
HIPÓTESIS 
Considero que el desarrollo de este conjunto de estrategias y actividades por 
parte de los estudiantes del Colegio Madrid contribuye a que estos refuercen 
ciertos conceptos y procedimientos ya vistos en sus cursos tradicionales de 
matemáticas; además creo que posibilita que los estudiantes comprendan y 
apliquen nuevos conceptos yprocedimientos en matemáticas; así como también 
les ayuda a desarrollar su capacidad de identificar patrones aritméticos y 
algebraicos a partir de una secuencia geométrica. 
La dificultad para comprobar esta hipótesis radica en no contar con el tiempo 
suficiente para experimentar todo el material diseñado con estudiantes del nivel 
de preparatoria. El material se puede crear en el lapso de un semestre pero su 
aplicación llevaría como mínimo un año. 
Es por esta razón, que se ha optado por un trabajo en su mayor parte de tipo 
procedimental. La experimentación se llevará a cabo tan sólo con una parte del 
material diseñado sobre el cual se validará o invalidará la hipótesis planteada al 
principio. Considero que el proceso de experimentación de todo el material daría 
pie a otro trabajo de tesis. 
De todas maneras es muy interesante saber qué ocurre con la parte del 
material que se someterá a experimentación y a partir de allí poder intuir qué 
podría pasar con el resto. 
Además el proceso experimental ilustraría una posible forma de trabajar la 
verificación de la hipótesis por medio de la puesta en práctica de todo el 
material didáctico. 
Precisión y Justificación de la hipótesis 
A continuación me remitiré a los siguientes aspectos: precisión y justificación de la 
hipótesis. 
Variables 
19 
Para precisar la hipótesis es indispensable identificar las variables independientes 
y dependientes y definirlas de modo que no sean susceptibles de interpretación 
ambigua. Al respecto se han identificado dos tipos de variables: independiente y 
dependiente. 
La variable independiente en la hipótesis que se ha formulado es :desarrollo del 
conjunto de estrategias y actividades. Por esta variable se entenderá la lectura, 
realización de ejercicios y cumplimiento de las tareas estipuladas en el material 
escrito que se ha diseñado. 
Las variables dependientes que se ha reconocido son: 
a)Reforzar ciertos conceptos y procedimientos vistos en los cursos anteriores de 
matemáticas. 
b)Comprender y utilizar nuevos conceptos de matemáticas. 
c)ldentificar un patrón aritmético y/o algebraico a partir de una secuencia 
geométrica 
Por la primera variable entenderemos que los estudiantes que habían olvidado 
un concepto o procedimiento, o que tenían dudas al respecto tendrán la 
oportunidad de recordarlo, manejarlo y aplicarlo. Pero ¿a qué conceptos y 
procedimientos me estoy refiriendo? 
Teniendo en cuenta la parte del material que va a ser sometido a 
experimentación, los conceptos y procedimientos a los que estoy aludiendo son 
los siguientes: perímetro, área, movimientos rígidos en el plano, matrices, 
números racionales y propiedades de los logaritmos. 
En cuanto a la segunda variable entenderemos por comprensión la capacidad del 
estudiante de explicar correctamente en sus propias palabras un concepto o 
procedimiento. Por utilización entenderemos la capacidad del estudiante de 
hacer uso de los nuevos conceptos y procedimientos aprendidos. Estos nuevos 
conceptos y/o procedimientos son: autosimilaridad geométrica y Dimensión 
Fractal. 
Referente a la tercera variable podemos entenderla como la capacidad de 
descubrir una regla de formación en una secuencia de números o de figuras 
geométricas y con base en esta regla hacer predicciones de tipo aritmético y 
algebraico. 
Justificación de la hipótesis 
20 
El enfoque con el cual se pretende elaborar y aplicar el material escrito es de 
estilo constructivista. Recordemos que el constructivismo es un modelo de 
enseñanza aprendizaje centrado en el alumno. Esto significa que es a través de la 
participación activa del alumno en el proceso de enseñanza como se logra que el 
estudiante adquiera un auténtico aprendizaje. Además es un enfoque basado en 
una corriente subjetivista del conocimiento, la cual propone que el conocimiento 
surge como resultado de un consenso social entre las diferentes perspectivas 
que se desarrollan entorno a un mismo objeto de estudio. Es decir, plantea que el 
conocimiento es socialmente construido. De este modo es importante aclarar que 
el diseño del material así como su implementación están orientados por un 
enfoque constructivista. Es decir, en términos concretos, fomenta el trabajo 
individual autónomo de alumno como base de su propio aprendizaje y motor del 
trabajo colaborativo. Diremos de manera más precisa, que el diseño favorece el 
proceso de auto aprendizaje y el trabajo en equipo. 
A la luz de estas ideas se expondrán unas breves y concisas razones que me 
han inducido a plantear la hipótesis expuesta al principio. 
En primer lugar, el material que se ha elaborado utiliza contenidos que el alumno 
ha visto en cursos anteriores y los expone en un contexto diferente. Esto, por 
supuesto promueve el aprendizaje y por lo tanto refuerza los conceptos y 
procedimientos que el alumno ya ha abordado. 
Por otra parte el material escrito está conformado por una secuencia de 
actividades lógicamente conectadas, cada una de las cuales se basa en la 
descripción de instrucciones que el alumno debe realizar con el fin de asimilar, 
- mediante un proceso inductivo -, ciertos conceptos y procedimientos. Esto 
evidentemente contribuye al desarrollo de la capacidad inductiva del alumno. Lo 
cual significa que el estudiante mejorará su destreza para descubrir reglas y 
poder hacer predicciones con base en estas. 
De otro lado, el trabajo que se piensa llevar a cabo constituye un aporte a la 
transposición didáctica del tema de Geometría Fractal. Recordemos que la 
transposición didáctica es el proceso por el cual los temas que hacen parte de 
una disciplina científica se convierten en temas que pueden ser tratados en el 
nivel escolar. En este sentido, el material creado contempla temas muy recientes 
pero ajustados al nivel escolar de estudiantes del nivel de preparatoria. Por este 
motivo se puede suponer que las actividades y estrategias vincularán al alumno 
con nuevos temas. 
Relaciones entre las variables 
A continuación se establecen las relaciones entre las variables. 
1 )La comprensión y utilización de nuevos conceptos depende del conocimiento 
de conceptos y procedimientos vistos con anterioridad. Por ejemplo, sólo es 
posible comprender el proceso de formación de una figura autosimilar por 
aplicación de movimientos en la medida que se tenga claro cuáles son los 
21 
movimientos fundamentales y en qué consiste cada uno. Pero la comprensión y 
aplicación de nuevos conceptos no inciden en el refuerzo de conceptos y 
procedimientos previos. Es decir, no se puede dar el hecho de que un estudiante 
que no tiene claro los movimientos en el plano, comprenda la formación de una 
figura por traslación y homotecia y que como consecuencia de esto adquiera 
claridad sobre tales movimientos. 
2)La utilización de un nuevo concepto depende de la identificación de patrones 
numéricos y geométricos. Por ejemplo, el cálculo de la Dimensión Fractal en su 
versión homotética, está basado en el hecho de que se pueda reconocer la 
relación invariante entre el número de partes que integran una figura autosimilar 
y la escala a la que se encuentran respecto a ésta. Lo contrario no se da; pues el 
estudiante no puede calcular la dimensión de homotecia de una figura y luego, 
reconocer que la figura es autosimilar. 
3)La compresión es independiente de la identificación de patrones numéricos y 
geométricos ya que el estudiante puede ser capaz de describir en sus propias 
palabras el proceso de evolución de un fractal y aun así ser incapaz de reconocer 
un patrón numérico o geométrico en ese proceso de evolución. Sin embargo, la 
identificación de patrones numéricos y geométricos sí depende de que el 
estudiante comprenda el proceso de formación de un fractal. Si el estudiante es 
capaz de explicar en sus propias palabras el proceso de formación de un fractal 
es muy factible que pueda reconocer el patrón numérico subyacente en el 
proceso. 
4)Finalmente, el alumno debe reforzar conceptos y procedimientos previospara 
identificar un patrón numérico o geométrico. Por ejemplo, si el estudiante tiene 
problemas con el cálculo de áreas entonces cometerá errores al hallar el área de 
un fractal en cada una de sus etapas de construcción, por lo que encontrará 
valores numéricos equivocados que le impedirán identificar el patrón numérico 
buscado. Por lo tanto, la identificación de patrones numéricos y geométricos 
depende del refuerzo en los conceptos y procedimientos que previamente debe 
conocer el estudiante. La relación recíproca no se tiene, puesto que la capacidad 
de identificar patrones numéricos y geométricos no implica que el estudiante 
refuerce ciertos conceptos. 
5) Respecto a la comprensión y utilización de un nuevo concepto existe cierta 
independencia mutua ya que el hecho de que un estudiante pueda expresar un 
concepto en sus propias palabras, no significa que lo pueda aplicar. Por ejemplo, 
el alumno puede explicar el significado de dimensión fractal, pero no ser capaz 
de calcular la dimensión de un fractal. Recíprocamente, un estudiante puede ser 
muy hábil en el manejo de la fórmula de la dimensión fractal, pero no entender el 
significado del valor que obtiene. 
A continuación se muestran gráficamente las relaciones anteriormente 
mencionadas. 
00115,~ 
RELACION ENTRE LAS VARIABLES 
4 
IDENTIFICACION DE PATRONES 
ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS 
REFUERZO DE CONCEPTO 
PREVIOS 
COMPRENSIÓN 
2 
UTILIZACIÓN 
22 
El análisis de las relaciones anteriores, establecidas entre las variables, no será 
realizado debido a dos razones: en primer lugar no constituye una meta 
primordial de nuestro trabajo; en segundo lugar, aunque resulta interesante hacer 
un proceso de tipo experimental para determinar el tipo de relaciones 
establecidas, no se cuenta con el tiempo suficiente para hacer un estudio de tal 
magnitud, pues para hacerlo se requeriría hacer un análisis factorial muy 
complejo que implicaría hacer un estudio previo de dicha teoría antes de poder 
aplicarla. Es decir, esa es una labor que desborda los límite de este trabajo, por lo 
cual sería conveniente dejarlo como base para un trabajo de tesis posterior. 
111 MARCO TEORICO 
PANORAMA GENERAL 
23 
La pregunta de la cual parte el trabajo de investigación que se quiere llevar a 
cabo es: ¿Qué estrategias diseñar para enseñar los conceptos básicos de 
Geometría Fractal a estudiantes de preparatoria? 
Esta pregunta conduce inevitablemente a buscar bibliografía que esté 
relacionada con la enseñanza de la Geometría Fractal. Haciendo la búsqueda de 
temas relacionados con propuestas didácticas para la enseñanza de estos temas 
en el nivel de preparatoria, se encuentra uno con que casi toda la información se 
localiza en el ámbito puramente científico y tecnológico. Existen propuestas de 
enseñanza, pero se encuentran en un nivel avanzado y se centran 
fundamentalmente en los niveles superiores de licenciatura. 
Hay algunos trabajos acerca de la enseñanza de la Geometría Fractal en el 
nivel de preparatoria, pero su proporción es mínima en comparación con toda la 
información que existe en el ámbito científico y de aplicaciones. 
Ambito científico 
En cuanto al ámbito puramente científico debemos distinguir el trabajo teórico 
realizado a nivel puramente matemático, de la labor desarrollada en torno a las 
aplicaciones en diferentes disciplinas científicas tales como biología, física, 
química, economía y astronomía entre otras disciplinas. 
Respecto al trabajo en matemática se debe mencionar los siguientes textos 
como los más sobresalientes: 
Fractals everywhere: hace un estudio muy formal, pero comprensible de los 
temas centrales de Geometría Fractal y Sistemas Dinámicos. Es el primer libro 
que presenta de manera sistemática y condensada las ideas que respaldan la 
Geometría Fractal y los Sistemas Dinámicos. Fue escrito por Michael 
Barnsley.(1993). 
Fractals , Random and Point Fields (METHODS OF GEOMETR/CAL 
STATISTICS) : en este libro se utilizan métodos de análisis estadístico para el 
estudio de fractales y figuras formadas aleatoriamente entre otros tópicos. este 
libro fue escrito por H. Stoyan y D. Stoyan.(1995) 
A First Course y Chaotic Diynamica/ Systems: este es el primer texto en 
introducir los tópicos modernos en sistemas dinámicos en el nivel de profesional. 
Está diseñado para presentar de manera gradual ideas matemáticas tales como 
caos, fractales, método de Newton, dinámica simbólica, conjuntos de Julia y el 
conjunto de Mandelbrot. Fue escrito por Robert Devaney (1992). 
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Existen otros textos que abordan el tema de fractales en un nivel teórico, 
pero no superan a estos en profundidad y generalidad. Los textos mencionados 
antes, sobre todo los dos primeros, son considerados clásicos y de lectura 
obligatoria para todo aquel que quiera conocer los fundamentos matemáticos de 
la Geometría Fractal . 
Ambito de las aplicaciones 
En cuanto a las aplicaciones, mencionaré sólo algunos de los textos que se 
refieren precisamente a las aplicaciones de los fractales. No describiré de 
manera individual cada texto ya que mi interés se orienta hacia la enseñanza de 
la Geometría Fractal y no hacia el estudio de su aplicaciones. Estos libros ilustran 
objetos y fenómenos en la naturaleza que pueden ser modelados por la 
Geometría Fractal, correspondientes a disciplinas como geología, física , química, 
biología , etc. Estos son: 
a) Fractals in the phisical, sciences de Hideki Takayasu(1992) 
b) Estructuras Fractales. Miguel de Guzmán y otros (1993) 
c) Caos fractales y cosas raras. Eliezer Braun(1996) 
Ambito de la enseñanza 
En lo que tiene que ver con la enseñanza de la Geometría Fractal, la mayor 
parte de los libros se enfocan hacia la enseñanza en el nivel de licenciatura. 
Existen algunos textos; por ejemplo, los libros de Barnsley y Robert Devaney 
mencionados antes, que están diseñados para un nivel de licenciatura. Estos son 
libros que explican los contenidos básicos y proponen simultáneamente una 
diversidad de ejercicios para desarrollar. 
Un poco fuera de ésta tendencia se encuentra el libro Fractal for the classroom: 
introduction to fractales and Caos (1992), escrito por Heintz Otto Pegent, Harmut 
Jürgens y Dietmar Saupe(1992). En este libro, se introducen las ideas y temas 
esenciales de los Fractales y Sistema Dinámicos, a partir de los cuales se pueden 
plantear propuestas didácticas. Estos mismos autores escribieron dos textos: uno 
para la enseñanza de la los fractales y otro, para la enseñanza de los Sistemas 
Dinámicos. Los dos textos forman parte de una obra titulada Fractals for the class 
room: estrategic activities Vol. I (1991) y 11 (1992). Este trabajo es casi el único 
existente en lo que refiere a propuestas didácticas para la enseñanza de la 
Geometría Fractal en preparatoria; en estos dos últimos se abordan temas tales 
como autosimilaridad , juego del caos, dimensión fractal, iteración, caos y el 
conjunto de Mandelbrot. 
Aunque todas las propuestas de enseñanza han sido elaboradas en E.E.U.U. , 
existen dos propuestas hechas en Colombia. En este momento no tengo el título 
preciso de dichos trabajos y sus autores, pero he tenido la oportunidad de 
acceder directamente a estos. Son dos trabajos de grado a nivel de Licenciatura 
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realizados respectivamente en la Universidad Pedagógica Nacional en Bogotá y 
en la Universidad Industrial de Santander en Bucaramanga. 
MARCO CONCEPTUAL 
A pesar de que el material existente sobre la enseñanza de la Geometría Fractal 
en el nivel de preparatoria es muy escaso, se debe pensar en hacer una 
propuesta diferente que por lo menos enriquezca las que ya existen. Para 
cumplir éste propósito se establece explícitamente un marco conceptual que 
difiere del marco explícito o implícito del cual constan las otras propuestas. 
La naturaleza del trabajo a realizar contempla tres características: por una parte 
hay que entender las ideas esenciales que constituyen el corazón mismo de una 
disciplina científica; porotra, hay que seleccionar entre estos conceptos, aquellos 
que sean susceptibles de llevarse del ámbito científico al ámbito escolar , 
sustentando de algún modo este proceso de transposición. Finalmente, es 
necesario fijarse en las características que debe tener el material a diseñar a fin 
de que sea concordante con procesos de enseñanza aprendizaje centrados en el 
estudiante. 
En virtud de lo anterior se ha podido encontrar tres fuentes de las cuales se 
puede derivar el respaldo teórico requerido por el trabajo que se pretende llevar 
a cabo. La primera fuente es la referida a la propia disciplina Geometría Fractal; 
la segunda fuente, es la referida a la transposición didáctica y la tercera a la 
teoría constructivista. 
Se empezará describendo la teoría constructivista, luego se tomará en cuenta 
la teoría de la transposición didáctica y finalmente se expondrán los conceptos 
matemáticos referentes a la Geometría Fractal. 
Constructivismo 
Hablar de constructivismo requiere hablar de la teoría cognitiva de Piaget y de 
Vigotski. 
Retomando las ideas de Woolfolk (1996) entorno a los planteamientos de Piaget 
, es posible hacer una descripción concisa acerca de la teoría cognitiva 
Piagetiana, por lo menos de aquellos aspectos que nos interesan. 
Ideas de Piaget 
Según Piaget los cambios en el pensamiento de una persona ocurren como 
consecuencia de una permanente lucha por dar sentido a su mundo. En este 
proceso organiza sus ideas y acciones en estructuras que le permiten 
comprender e interactuar en el mundo. Estas estructuras reciben el nombre de 
esquemas. Los esquemas se van organizando en estructuras más complejas que 
hacen a la persona más competente. 
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Tan importante como el proceso de organización es el proceso de adaptación. la 
adaptación es el conjunto de intercambios entre el sujeto y el entorno. A través 
de éste proceso la persona busca estar satisfactoriamente en su entorno. En 
este proceso participan dos elementos: la asimilación y acomodación. La primera 
ocurre cuando la persona emplea sus esquemas existentes para comprender 
y/o interactuar con algo. La segunda tiene lugar cuando la persona se ve forzada 
a cambiar sus esquemas o a crear otros nuevos para entender una situación 
nueva. 
Lo anterior permite afirmar que, para dar significado a su mundo, la persona 
debe pasar por procesos de equilibrio y desequilibrio. El equilibrio se da cuando 
la persona es capaz de interpretar y entender su mundo con base en los 
esquemas que posee. Pero cuando sus esquemas no le son suficientes para 
explicar o manejar una nueva situación, debe modificarlos o construir otros. Es 
en éste último caso cuando se abre la posibilidad de adquirir nuevos 
aprendizajes. 
Una consecuencia didáctica del planteamiento de Piaget, es que los individuos 
crean su propio conocimiento pues tienen que asimilar y acomodar la nueva 
información a sus propios esquemas. Para lograr esto, los estudiantes deben 
participar en forma activa en el proceso de aprendizaje; ellos deben actuar de 
algún modo sobre la información que se les presenta. En este sentido, vale la 
pena decir que la escuela debe dar la oportunidad a los alumnos de 
experimentar el mundo. Esta experimentación activa no debe ser sólo física sino 
también mental. 
Constantemente se debe brindar la oportunidad a los estudiantes de aplicar los 
propios aprendizajes en situaciones distintas en las que originalmente fueron 
aprendidas. Si aplican un principio en una situación, y funciona se volverán más 
prácticos; sino funciona habrá desequilibrio y se abrirán nuevas oportunidades 
para desarrollar nuevas aptitudes del pensamiento. 
Por otra parte es muy importante tener presente que la teoría de Piaget 4pasa por 
alto los importantes efectos del grupo cultural y social del niño. En este aspecto 
el planteamiento cognitivo de Vigotski se presenta vigorosamente 
complementario. Seguiremos a Woolfolk para sintetizar el planteamineto de 
Vigotski. 
4 Piaget propone cuatro etapas del desarrollo cognitivo.Estas son: sensoriomotriz, preoperacional, operacional 
concreta y operaciones fonnales. De estas etapas la que nos interesa es la última, debido a que los estudiantes 
con los cuales se va a llevar cabo la experiencia se encuentran en esa etapa. En ésta, los estudiantes han 
desarrollado su capacidad de razonar hipotéticamente; es decir, han desarrollado un pensamiento abstracto. 
Igualmente, aunque admiten que los demás pueden pensar diferente, creen que los demás observan sus 
acciones. Una descripción más profunda de las etapas mencionadas anterionnente, se en Woolfolk ( 1996, p. 
33-43). 
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Ideas de Vigotski 
Vigotski sugirió que el desarrollo cognoscitivo está muy influenciado por las 
personas en el mundo del niño. El contexto cultural determina en gran medida lo 
que el niño va a aprender acerca del mundo. Pero unido a la cultura, se halla el 
lenguaje , que juega un papel importante en el desarrollo cognitivo. 
La familia, los profesores y los compañeros del niño, lo escuchan con atención y 
le brindan la información y la ayuda para que pueda crecer intelectualmente y su 
comprensión acerca del mundo avance; esto, por supuesto, está mediado por el 
lenguaje. 
Esta idea conlleva los conceptos de zona de desarrollo proximal y de andamiaje. 
El primer concepto se refiere al área en la cual el niño no puede resolver un 
problema por si mismo; pero puede lograr la solución cuando cuenta con la ayuda 
suficiente. El segundo concepto, se refiere a la manera como el niño hace uso 
de la ayuda mientras internaliza los aspectos importantes que le permitirá 
resolver problemas similares por sí mismo. 
Vigotski plantea que el discurso privado, es decir, el diálogo interno con uno 
mismo , cumple una función de guía de sí mismo en situaciones en la que se 
necesita más esfuerzo para resolver un problema. El desarrollo del discurso 
privado sólo es posible a través de las interacciones sociales. 
El planteamiento de Vigotski trae consigo aportes muy importantes en el ámbito 
educativo. 
El primer aporte tiene que ver con el aprendizaje asistido. Este "consiste en dar 
ayuda estratégica en los pasos iniciales del aprendizaje, disminuyéndolo en 
forma gradual conforme los estudiantes adquieren idependencia" (pag 49).Este 
aprendizaje asistido resulta exitoso si se ha tenido el cuidado de llevar al 
estudiante a su zona de desarrollo proximal; es decir, al momento en el que 
justamente requiere de ayuda para concretar su aprendizaje. 
En consecuencia ," Todos los estudiantes necesitan interactuar con los profesores 
y compañeros para probar su pensamiento, ser desafiados, recibir 
retroalimentación y observar la manera en que otros solucionan los problemas" 
(pag.44).(la palabra resaltada es mía) 
La comunicación con otras personas (profesores y compañeros) hace que los 
estudiantes puedan encontrar la ayuda que necesitan para hallar la solución al 
problema que se proponen resolver. Por lo tanto, el trabajo colaborativo es un 
potente recurso en los procesos de enseñanza aprendizaje. 
Las anteriores consecuencias didácticas derivadas de la teoría de Piaget y de 
Vigotski establecen un compromiso enorme en lo que tiene que ver con el diseño 
de estrategias y actividades didácticas así como en la puesta en práctica de una 
parte del material diseñado. 
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En este sentido se ha pensado que las estrategias y actividades deben ser 
diseñadas de tal manera que permitan al estudiante hacer experimentos 
mentales y participar de forma activa sobre la información; misma que por ser 
nueva para los alumnos les exige la realización de procesos de asimilación y 
acomodación; al mismo tiempo que genera procesos de desequilibrio sobre 
todo en temas tan importantes como el tema de dimensión fractal, el cual por si 
mismo cuestiona la intuición de los alumnos acerca de la dimensión espacial. En 
consecuencia , es importante que las actividades presenten una diversidad de 
contextos para que los alumnos apliquen principios de una