Tema 06 - Numeracion

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15SAN MARCOS ARITMÉTICA TEMA 6
ARITMÉTICA
TEMA 6
NUMERACIÓN
DESARROLLO DEL TEMA
I. NUMERACIÓN
 Es la parte de la aritmética que estudia el número en su 
formación, representación, propiedades y aplicaciones 
que con ellas se puede efectuar.
II. NÚMERO
	 Es	un	ente	abstracto,	carente	de	definición,	sin	embargo	
nos da la idea de cantidad.
III. NUMERAL
	 Es	la	representación	gráfica	de	los	números
IV. REPRESENTACIÓN LITERAL
 Es la que se utiliza cuando se desconoce los numerales 
y para que la representación sea correcta se coloca una 
barra	a	lo	largo	de	todo	el	numeral.
V. SISTEMA DE NUMERACIÓN
	 Es	 el	 conjunto	 de	 reglas	 y	 principios	 que	 rigen	 la	
formación, escritura y lectura de los números mediante 
la	 adecuada	 combinación	 de	 un	 grupo	 de	 símbolos	 y	
palabras.
VI. SISTEMA DECIMAL DE NUMERACIÓN
 Es empleado actualmente, este sistema fue inventado 
por los hindúes y difundido después por los árabes, razón 
por la cual se llama sistema indo-arábico. Se utiliza los 
dígitos:
0,	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9
 La mayor diferencia entre nuestro sistema y el de los 
romanos radica en que estos no incluían al cero como 
dígito,	lo	cual	les	obligaba	a	tener	un	símbolo	diferente	
para	cada	número	que	quisieran	expresar	(por	ejemplo	
de	existir	el	cero,	10	podría	expresarse	como	10	en	lugar	
de	x).
VII. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN
 Es aquel número que nos indica la cantidad de unidades 
de un orden cualquiera para formar una unidad de orden 
superior.
VIII. CARACTERÍSTICAS DE UN SISTEMA 
DE NUMERACIÓN
•	 En	cualquier	sistema	de	numeración	existen	tantas	
cifras como el valor de la base y con las combinaciones 
de ellas se pueden formar todos los números posibles 
de dicho sistema.
•	 El	 mínimo	 valor	 que	 puede	 tomar	 una	 cifra	 en	
cualquier sistema de numeración es el cero (0) y el 
máximo	valor	es	la	unidad	menos	que	el	valor	de	la	
base.
•	 La	base	de	un	sistema	de	numeración	siempre	es	un	
entero positivo mayor que 1.
•	 Si	 la	 primera	 cifra	 de	 un	 numeral	 es	 una	 letra,	
necesariamente esta debe ser ≠ de 0.
•	 Todo	lo	que	se	encuentra	en	paréntesis	en	un	numeral	
representa una sola cifra.
 Sea: a(5a)b (b + 4)(c – 3) 
 a ≠ 0, el número tiene 5 cifras.
•	 Se	denomina	numerales	capicúas	a	aquellos	que	leídos	
de izquierda a derecha o de derecha a izquierda se 
leen	iguales.
	 		 	 	 88;	959;	5335,	aba, cbbc 
•	 Toda	 cifra	 en	 el	 numeral	 tiene	 un	 orden	 por	
convención, se enumera de derecha a izquierda.
•	 Valor	relativo	de	una	cifra	es	aquel	que	representa	la	
cifra por la posición que ocupa dentro del número.
•	 Valor	absoluto	es	lo	que	representa	por	la	forma	que	
tiene.
NUMERACIÓN
1616 SAN MARCOSARITMÉTICATEMA 6
Tener en cuenta
 Base Nombre del sistema Cifras utilizadas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
.
.
.
n
Binario
Terciario
Cuaternario
Quinario
Senario 
Heptario
Octavario
Nonal
Decimal
Undecimal
Duodecimal
.
.
.
enesimal
0, 1
0, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4, 5
0,	1,	2,	3,	4,	5,	6
0,	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7
0,	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8
0,	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9
0,	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	
9,	10
................................
......
.
.
.
.
0, 1, 2, ................ , (n–1)
IX. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
	 Consiste	en	expresar	al	numeral	como	la	adición		de	los	
números que resultan a multiplicar cada una de las cifras 
por la base elevada a la cantidad de cifras que tiene a la 
derecha la cifra en estudio.
 *	 4295		=	4	×	103	+	9	×	102	+	2	x	101 + 5
 * 2357 = 2 × 7
2 + 3 × 71 + 5
 * abcden= a . n
4 + b . n3 + c . n2 + d . n + e
•	 Descomposición	en	bloque
Es un caso particular de la descomposición polinómica 
en	que	se	toman	grupos	de	cifras	(bloques	como	si	
fueran una sola cifra).
•		 4242	 	 =	42	×	102 + 42
•		 35357			 =	357 × 7
2 + 357
•		 6016018			=	6018 × 8
3	+	6018
•		 abababn = abn . n
4 + abn . n
2 + abn
X. TRANSFORMACIÓN DE SISTEMAS DE 
NUMERACIÓN
 Consiste en transformar un número de cierta forma en 
un sistema a otro sistema. 
	 Existen	tres	casos:
A. De Base m a base 10
Se utiliza el procedimiento de descomposición 
polinómica, efectuando las operaciones indicadas.
Ejemplo:
abcn = a . n
2 + b . n + c
4567 = 4 × 7
2	+	5	×	7	+	6
B. De base 10 a base m
Se utiliza el método de divisiones sucesivas, que 
consiste en dividir el número dado entre la base “m” a 
la cual se desea convertir, si el cociente es mayor que 
“m” se dividirá nuevamente y así en forma sucesiva 
hasta	que	se	llegue	a	una	división	donde	el	cociente	
sea menor que ‘m’
Luego,	se	toma	el	último	cociente	y	los	residuos	de	
todas las divisiones, desde el último residuo hacia 
el primero y ese será el número escrito en base “n”.
C. De base m a base n
Se utilizan en este caso, los dos métodos vistos 
anteriormente, es decir:
1.° Llevamos el número del sistema diferente de 10 
a base 10 por descomposición polinómica.
2.°	Luego	llevamos	el	número	hallado	en	el	sistema	
decimal a la base que nos piden por divisiones 
sucesivas.
D. Propiedad
Si el numeral que representa la misma cantidad de 
unidades simples en dos sistemas de numeración 
diferentes,	deberá	cumplirse	que	donde	tenga	mayor	
representación aparente le corresponde una menor 
base y viceversa.
 n m
–
abcd xyzw
+
=
Entonces n > m
•	 Numeral	de	máximas	cifras
 
k
(n)
k cifras
(n )(n )....(n ) n 11 1 1

– – – = –
•	
k–1 k
(n)
k cifras
n abc ... x n≤ <

Ejemplo:
 
4–1 4
7
5–1 5
4
7 abcd 7
4 a0b0c 4
≤ <
≤ <
NUMERACIÓN
1717SAN MARCOS ARITMÉTICA TEMA 6
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
Si	a	y	b	son	dígitos	tales	que:	
(a + b)2 = 144 
Hallar ab + ba 
 NIVEL FÁCIL 
UNMSM 2000
A) 100 
B) 101 
C) 132
D) 72 
E)	76
Resolución:
De: (a + b)2 = 144 ⇒ a + b = 12
Donde:
ab ba 10a b 10b a
11(a b)
11(12) 132
+ = + + +
+
=
 
Respuesta: 132
Problema 2
Si	 a	 un	 número	 de	 tres	 dígitos	 que	
empieza	en	7	se	le	suprime	este	dígito,	
el	número	resultante	es	1/26	del	número	
original.	 ¿Cuál	 es	 la	 suma	 de	 los	 tres	
dígitos	de	dicho	número?
NIVEL FÁCIL 
UNMSM 2000
A) 14 B) 15 C) 22
D) 17 E) 11
Resolución:
17ab ab (7ab)
26
1 (700 ab)
26
26(ab) 700 ab
25(ab) 700
ab 28
7 a b 17
⇒
∴
=
= +
= +
=
=
+ + =
 
Respuesta: 17
Problema 3
Cierto número de dos cifras es n veces 
la suma de sus cifras; pero al invertir el 
orden de sus cifras, el nuevo número es k 
veces la suma de sus cifras. Halla (n+k)
NIVEL INTERMEDIO 
UNMSM 2007 - I
A) 14 B) 15 C) 22
D) 17 E) 11
Resolución:
ab n(a b)
ba k(b a)
= +
= +
11(a + b) = (n + k)(a + b)
 ∴ n + k = 11
Respuesta: 11