FIS120_A2012_S02_Control3_PAUTA

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PAUTA CONTROL N
o
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FÍSICA GENERAL II
SEGUNDO SEMESTRE 2012
Coordinador: David Zambrano Mora∗
Departamento de F́ısica
Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Campus San Joaqúın
1. Una part́ıcula de masa m = 200 gramos y carga q = 2 coulomb se mueve con velocidad constante ~v por el
espacio, si para t = 0 pasa por el punto ~r = (0, 2, 0) (en metros) con velocidad ~v = 2k̂ [m/s] y para t = 0 además
se establece un campo magnético ~B = −0.1î [T ], entonces
a) (10 pts) Calcule las coordenadas ~r de la part́ıcula para t = π segundos y (5 pts) Calcule la fuerza magnética
para t = π segundos.
b) (15 pts) Si la velocidad inicial de la part́ıcula se cambia por ~v = 2(̂i+ ĵ) [m/s], calcule las coordenadas ~r de
la part́ıcula para t = 3π segundos.
SOLUCIÓN:
a) Como ~v × ~B apunta en la dirección −ĵ y ~v solo tiene componente perpendicular a ~B obtenemos que la
part́ıcula realiza una trayectoria circular uniforme en el plano Y Z con una frecuencia
ω =
qB
m
= 1
rad
s
, (2.5 puntos) (1)
y radio
R =
mv⊥
qb
= 2 m. (2.5 puntos) (2)
Como la posición inicial es justamente en y = 2 m se obtiene que el centro de la trayectoria circular esta en
el origen del sistema de referencia. Para un movimiento circular uniforme sabemos que el radio es constante
y la posición queda en función del angulo, para este caso obtenemos que θ = ωt, reemplazando el tiempo
tenemos θ = π lo cual corresponde a media circunferencia, es decir que la part́ıcula se encuentra en y = −2
m, luego las coordenadas de la part́ıcula son ~r(t = π) = (0,−2, 0) metros. (5 puntos)
Por otro lado, la velocidad para t = π es ~v = −2k̂ [m/s], por lo tanto, la fuerza magnética es
~F (t = π) = q~v × ~B = qvb ĵ = 0.4ĵ N. (5 puntos) (3)
b) Ahora si inicialmente la velocidad hubiera sido ~v = 2(̂i + ĵ) [m/s], tenemos una componente perpendicular
al campo magnético (2ĵ) tenemos una componente anti-paralela (2î), por lo tanto, la part́ıcula no solo va a
describir un movimiento circular uniforme, si no que ademas mantendrá su velocidad constante (inercia) en
la dirección paralela al campo, luego ω y R son los mismos de la parte a), sin embargo, el nuevo centro de
giro en el plano Y Z es (y = 2, z = 2).
Para la parte de mov. circular se mantiene que θ = ωt, si para t = π la part́ıcula realizo media vuelta es de
esperar que para t = 3π realice una vuelta y media y por lo tanto se encuentra en el punto de coordenadas
(y = 2, z = 4) en plano Y Z. Sin embargo como ademas existe una componente paralela y no existe ninguna
fuerza en esa dirección la part́ıcula se moverá con velocidad constante en x, luego, velocidad constante implica
x(t) = v‖t y por lo tanto x(t = 3π) = 6π) m. Finalmente ~r(t = 3π) = (6π, 2, 4) metros. (15 puntos)
∗david.zambrano@usm.cl
Departamento de F́ısica, USM FIS120: F́ısica General II
2. (30 pts) Calcule la magnitud del campo magnético en el punto P de la FIG. 1 en términos de R, I1 e I2. ¿Qué
resultado da su expresión cuando I1 = I2?
FIG. 1. Dos cables con corriente.
SOLUCIÓN: Sea un sistema de referencia en el punto P con x hacia la derecha, x hacia arriba y z saliendo
de la hoja, luego los campos debidos a cada alambre en el punto P son
d ~B1 =
µ0I1
4π
d~l1 × r̂
~r2
=
µ0I1
4π
dl1
R2
(−k̂) (4)
d ~B2 =
µ0I2
4π
d~l2 × r̂
~r2
=
µ0I2
4π
dl2
R2
(k̂). (5)
Como en coordenadas polares el diferencial de linea es dl = rdθ = Rdθ obtenemos
d ~B1 =
µ0I1dθ1
4πR
(−k̂) (5 puntos) (6)
d ~B2 =
µ0I2dθ2
4πR
(k̂), (5 puntos) (7)
con 0 ≤ θ1 ≤ π y π ≤ θ2 ≤ 2π, luego al integrar ambas ecuaciones y sumarlas para obtener el campo total en el
punto P obtenemos
~B(~P ) = ~B1(~P ) + ~B2(~P ) =
µ0(I2 − I1)
4R
k̂. (15 puntos) (8)
Si I1 = I2 tenemos ~B(~P ) = 0. (5 puntos)
3. (40 pts) Un disco delgado de material dieléctrico con radio a tiene una carga total +Q distribuida de manera
uniforme sobre su superficie. El disco gira n veces por segundo sobre un eje perpendicular a la superficie del disco
y que pasa por su centro. Determine el campo magnético en el centro del disco. (Sugerencia: Divida el disco
en anillos concéntricos de anchura infinitesimal.) [LOS PUNTOS OBTENIDOS EN ESTE EJERCICIO
CORRESPONDEN PROPORCIONALMENTE A 10 PUNTOS PARA EL CONTROL 2.]
SOLUCIÓN: Primero calculemos el campo magnético en el centro de un anillo por el cual circula una corriente
I, luego
d ~B =
µ0
4π
Id~l × r̂
~r2
, (9)
pero r = R y d~l × r̂ = dl = Rdθ con 0 ≤ θ ≤ 2π luego la magnitud del campo es
dB =
µ0I
4π
dθ
R
(10)
B =
µ0I
2R
. (10 puntos) (11)
Ahora, para un disco cargado tenemos que dq = σdA donde σ es la densidad de carga superficial del disco y
dA = rdrdθ es el diferencial de área en coordenadas polares.
dq = σdA = σrdrdθ = σ2πrdr, (12)
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si multiplicamos y dividimos por el área del disco πR2 obtenemos
dq =
2Qrdr
R2
. (10 puntos) (13)
Ahora, al considerar la rotación del disco tenemos que
dI = ndq =
2Qnrdr
R2
. (5 puntos) (14)
Finalmente usamos el resultado para un anillo pero considerando el radio R como un radio variable r el cual
sera integrado entre 0 y R, luego
dB =
µ0
2r
dI =
µ0
2r
2Qnrdr
R2
=
µ0Qndr
R2
(15)
B =
µ0Qn
R2
∫
R
0
dr =
µ0Qn
R
. (15 puntos) (16)
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