4 Ajuste de Datos

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BALANCES DE MATERIA 
ILQ105 
AJUSTE DE DATOS CP/DN 
AL TERMINO DE LA UNIDAD EL ESTUDIANTE 
SERÁ CAPAZ DE 
- Identificar datos físicos de tablas 
- Interpolar y extrapolar desde datos tabulados 
- Ajustar modelos de regresión utilizando 
herramientas informáticas sencillas 
OBJETIVO 
INTERPOLACIÓN LINEAL DE DOS PUNTOS 
(principios elementales), 
 Los datos físicos disponibles, generalmente se encuentran 
tabulados luego de campañas de experimentos. 
 En general podemos identificar variables independientes 
(x), de aquellas dependientes (y) 
INTERPOLACIÓN LINEAL DE DOS PUNTOS 
(principios elementales), 
 Los datos físicos disponibles, generalmente se encuentran 
tabulados luego de campañas de experimentos. 
 En general podemos identificar variables independientes 
(x), de aquellas dependientes (y) T °C Pv (torr) 
20 17.5 
21 18.7 
22 19.8 
23 21.1 
24 22.4 
25 23.8 
26 25.2 
27 26.7 
28 28.4 
29 30.0 
30 31.8 
¿Cuál es la variable dependiente y 
Cuál es la independiente? 
INTERPOLACIÓN LINEAL DE DOS PUNTOS 
(principios elementales), 
 En general, la naturaleza tiene formas (tendencias) que 
dan cuenta de fenómenos físicos. Estos pueden ser 
modelados usando ecuaciones para obtener valores 
intermedios 
𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝜷) 
Sin embargo, no 
siempre se conoce 
la forma de 
𝒇(𝒙, 𝜷) 
INTERPOLACIÓN LINEAL DE DOS PUNTOS 
(principios elementales), 
 Podemos usar una aproximación útil basada en Taylor. 
𝒚 = 𝒇 𝒙, 𝜷
≈ 𝒓 𝒙, 𝒂, 𝒃
= 𝒂 + 𝒃𝒙 
Entre dos puntos 
cercanos, se 
puede asumir una 
recta 
𝒚𝟏 ≈ 𝒂 + 𝒃𝒙𝟏 
𝒚𝟐 ≈ 𝒂 + 𝒃𝒙𝟐 
INTERPOLACIÓN LINEAL DE DOS PUNTOS 
(principios elementales), 
 Podemos usar una aproximación útil basada en Taylor. 
𝒚 = 𝒇 𝒙,∙
≈ 𝒂 + 𝒓𝒙 
Entre dos puntos 
cercanos, se 
puede asumir una 
recta 
𝒓 = 𝒚𝟐𝒙𝟏 
𝒚𝟐 ≈ 𝒂 + 𝒓𝒙𝟐 
INTERPOLACIÓN LINEAL DE DOS PUNTOS 
(principios elementales), 
 La interpolación lineal consiste en trazar una recta entre 
dos puntos conocidos (A y E) de una función f(x), para 
hallar un punto intermedio (D) mediante la ecuación de la 
recta, r(x). 
𝑦 ≈ 𝑟 𝑥 =
𝑥 − 𝑥1
𝑥2− 𝑥1
∙ 𝑦2 − 𝑦1 + 𝑦1 
EXTRAPOLACIÓN LINEAL 
 La extrapolación consiste en crear una linea tangente al 
final de datos conocidos y extendiendola más allá. 
Suponiendo un valor x* y dos puntos (xk-1,yk-1) y (xk,yk). 
Ejemplo: para estimar el valor de 
x=7 perteneciente al cuadrado 
azul, se deben proyectar los 
puntos rojos mediante una 
extrapolación. 
𝑓 𝑥∗ =
𝑥∗ − 𝑥𝑘−1
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 
∙ 𝑦𝑘 − 𝑦𝑘−1 + 𝑦𝑘−1 
EN RESUMEN 
  Variable indepediente es aquella propiedad que supone 
ser la causa de un fenómeno estudiado. 
 Variable dependiente presenta cambios como 
consecuencia de la variable independiente. 
 De no contarse con una expresión análitica para una 
variable dependiente “ 𝑓(𝑥, 𝛽) ” en función de una 
dependiente “x”, se puede estimar el valor de “y(x)” entre 
dos puntos de “x” 
 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏; 𝑎 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
; 𝑏 = 𝑦1 − 𝑎𝑥1 ó 𝑏 = 𝑦2 − 𝑎𝑥2 
 
REGRESIÓN LINEAL 
  Cuando se conoce (o sospecha) del modelo 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝛽), 
es posible utilizar una herramienta estadística que permite 
conocer el modelo 
 Lo anterior es equivalente a estimar los parámetros del 
modelo 
 Mediante este procedimiento, se puede estimar el valor de 
“𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝛽)” para cualquier valor de “x” dentro de un 
rango de trabajo 
 Se requieren al menos el mismo número de puntos que de 
parámetros 
REGRESIÓN LINEAL 
  Concepto de ruido: 
 Las magnitudes físicas que se miden son traducciones del 
resultado de un proceso de medición. 
 Por ejemplo: 
¿Se mide directamente la 
temperatura ambiental con 
un termómetro? 
REGRESIÓN LINEAL 
  Idea: 
 Las medidas experimentales son el resultado de dos 
contribuciones 
 Magnitud real 
 Ruido de medición 
𝐹 
𝑇 
𝑇𝑀 °𝐶 
𝐹 
𝑘𝑔
𝑠
 
¿Por qué a veces 
aumenta y otras 
disminuye? 
REGRESIÓN LINEAL 
  Idea: 
 Las medidas experimentales son el resultado de dos 
contribuciones 
 Magnitud real 
 Ruido de medición 
𝐹 
𝑇 
𝑇𝑀 °𝐶 
𝐹 
𝑘𝑔
𝑠
 
𝑦 𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑥 
 
 
 
𝑇 𝐹 = 𝑎 + 𝑏𝐹 
REGRESIÓN LINEAL 
  Idea: 
 Las medidas experimentales son el resultado de dos 
contribuciones 
 Magnitud real 
 Ruido de medición 
𝐹 
𝑇 
𝑇𝑀 °𝐶 
𝐹 
𝑘𝑔
𝑠
 
𝑇𝑀 = 𝑇 + 𝒆 
Error de medición 
REGRESIÓN LINEAL 
  Idea: 
 Las medidas experimentales son el resultado de dos 
contribuciones 
 Magnitud real 
 Ruido de medición 
𝑇𝑀 °𝐶 
𝐹 
𝑘𝑔
𝑠
 
𝑇𝑀 = 𝑇 + 𝒆 
Error de medición 
𝑇𝑀 = 𝑇 + 𝒆 
¿Cuál es el 
ajuste 
correcto? 
𝑇 = 𝑎 + 𝑏𝐹 𝑇 = 𝑎 + 𝑏𝐹 
REGRESIÓN LINEAL 
  Idea: 
 Las medidas experimentales son el resultado de dos 
contribuciones 
 Magnitud real 
 Ruido de medición 
𝑇𝑀 °𝐶 
𝐹 
𝑘𝑔
𝑠
 
𝑇𝑀 = 𝑇 + 𝒆 
Error de medición 
𝑇𝑀 = 𝑇 + 𝒆 
Aquel que 
hace que los 
errores sean 
mínimos 𝑇 = 𝑎 + 𝑏𝐹 𝑇 = 𝑎 + 𝑏𝐹 
¿Cuál es el 
ajuste 
correcto? 
REGRESIÓN LINEAL 
  Idea: 
 Las medidas experimentales son el resultado de dos 
contribuciones 
 Magnitud real 
 Ruido de medición 
𝑇𝑀 °𝐶 
𝐹 
𝑘𝑔
𝑠
 
𝑇𝑀 = 𝑇 + 𝒆 
Error de medición 
𝑇𝑀 = 𝑇 + 𝒆 
𝑇 = 𝑎 + 𝑏𝐹 𝑇 = 𝑎 + 𝑏𝐹 
Idea: Escoger 
aquellos 
parámetros que 
hacen que las 
líneas sean lo 
más pequeñas 
posibles 
REGRESIÓN LINEAL 
  Idea: 
 Las medidas experimentales son el resultado de dos 
contribuciones 
 Magnitud real 
 Ruido de medición 
𝑇𝑀 °𝐶 
𝐹 
𝑘𝑔
𝑠
 
𝑇 = 𝑎 + 𝑏𝐹 𝑇 = 𝑎 + 𝑏𝐹 
Matemáticamente: 
𝒎𝒊𝒏𝜷∑𝑹𝒂𝒚𝒂𝒔
𝟐 
 
𝒎𝒊𝒏𝜷∑ 𝒚𝑴𝒊 − 𝒇 𝒙𝒊, 𝜷
𝟐
 
 
REGRESIÓN LINEAL 
  Ejemplo: 
 Consideremos que se está analizando el funcionamiento de cierto reactor químico, 
sabiendo que es una reacción de primer orden se desea saber la relación entre la 
velocidad inicial de reacción y la concentración del reactante principal: 
Se postula el modelo: 
𝑦𝑃 = 𝛽𝑥 
X YM 
1 8 
2 30 
3 33 
4 42 
5 59 
6 60 
7 61 
SSR 
0
10
20
30
40
50
60
70
0 2 4 6 8
V
e
lo
ci
d
a
d
 i
n
ic
ia
l 
Conc 
Velocidad inicial vs Concentración 
Y_m0
REGRESIÓN LINEAL 
  Ejemplo: 
 Consideremos que se está analizando el funcionamiento de cierto reactor químico, 
sabiendo que es una reacción de primer orden se desea saber la relación entre la 
velocidad inicial de reacción y la concentración del reactante principal: 
Se postula el modelo: 
𝑦𝑃 = 𝛽𝑥 
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
5 7 9 11 13 15
S
S
R
 
Beta 
Suma de Residuos cuadrados 
Valor de 𝛽 que minimiza la función SSR 
REGRESIÓN LINEAL 
  Solución 
 Mediante el software Excel, se puede graficar y aplicar una 
línea de tendencia si los datos son más de dos. La 
herramienta entregará una expresión con mejor ajuste. 
 También se puede usar la herramienta Solver para obtener 
este ajuste 
REGRESIÓN LINEAL 
  Ejemplo: 
 Consideremos que se está analizando el funcionamiento de cierto reactor químico, 
sabiendo que es una reacción de primer orden se desea saber la relación entre la 
velocidad inicial de reacción y la concentración del reactante principal: 
Se postula el modelo: 𝑦𝑃 = 𝛽𝑥 
REGRESIÓN LINEAL 
  Ejemplo: 
 Consideremos que se está analizando el funcionamiento de cierto reactor químico, 
sabiendo que es una reacción de primer orden se desea saber la relación entre la 
velocidad inicial de reacción y la concentración del reactante principal: 
Se postula el modelo: 𝑦𝑃 = 𝛽𝑥 
REGRESIÓN LINEAL 
  ¿Qué es el 𝑟
2? 
 Corresponde a un indicador de qué tan bueno es el ajuste 
 Tiene relación con el porcentaje de “energía” de los datos, 
que puede ser explicado por el modelo 
 Su ecuación es: 
𝑟2 = 1 −
𝑠𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟
2
𝑠𝑦𝑚
2 
 
Varianza! 
𝑠𝑊
2 =
1
𝑛 − 1
 𝑤𝑖 − 𝑤 
𝑛
𝑖=1
, 𝑤 =
1
𝑛
 𝑤𝑖
𝑛
𝑖=1
 
REGRESIÓN NO-LINEAL 
 Se puede ajustar a datos no lineales usando solver 
 
También se pueden estimar los parámetros usando 
la técnica de la linealización y luego graficar en 
Excel 
 
 Linealización  Llevar el modelo a algo que pueda 
ser graficado por excel 
LINEALIZACIÓN 
 Cuando se tiene una expresión no lineal se puede ordenar 
de manera tal de tener una expresión similar a: 
𝑦 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏; 
Donde “𝑎” es la pendiente y “𝑏” el coeficiente de posición. 
 Para solucionarlo, 𝑥’ = 𝑥𝑛 y se aplica gráfica 𝑦 vs 𝑥’ 
 
 Se puede aplicar para expresiones con logaritmos y 
exponenciales. 
 
LINEALIZACIÓN 
 Cuando se tiene una expresión no lineal se puede ordenar 
de manera tal de tener una expresión similar a: 
𝑦 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏; 
Donde “𝑎” es la pendiente y “𝑏” el coeficiente de posición. 
 Para solucionarlo, 𝑥’ = 𝑥𝑛 y se aplica gráfica 𝑦 vs 𝑥’ 
 
 Se puede aplicar para expresiones con logaritmos y 
exponenciales. 
 
LINEALIZACIÓN 
 Cuando se tiene una expresión no lineal se puede ordenar 
de manera tal de tener una expresión similar a: 
𝑦 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏; 
Donde “𝑎” es la pendiente y “𝑏” el coeficiente de posición. 
 Para solucionarlo, 𝑥’ = 𝑥𝑛 y se aplica gráfica 𝑦 vs 𝑥’ 
 
 Se puede aplicar para expresiones con logaritmos y 
exponenciales. 
 
LINEALIZACIÓN 
 Se sabe que 
𝐿𝑛 𝑃𝑉 = 𝐴 +
𝐵
𝐶 + 𝑇
 
Obtener los parámetros A, B y C usando 
1) Solver directamente 
2) Linealizar 
T °C Pv (torr) 
20 17.5 
21 18.7 
22 19.8 
23 21.1 
24 22.4 
25 23.8 
26 25.2 
27 26.7 
28 28.4 
29 30.0 
30 31.8