Metodos Numericos para Ingenieros - Steven C Chapra, Raymond P Canale - 6ta Edicion

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Métodos numéricos 
para ingenieros
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Métodos numéricos 
para ingenieros
Sexta edición
 Steven C. Chapra Raymond P. Canale 
 Tufts University University of Michigan
 
Revisión técnica
José Job Flores Godoy
Universidad Iberoamericana, Ciudad de México
Enrique Muñoz Díaz
Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey, 
Campus Ciudad de México
MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID 
NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTIAGO • SÃO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN 
MONTREAL • NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO 
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Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos 
Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez
Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martínez
Editora de desarrollo: Ana L. Delgado Rodríguez
Supervisor de producción: Zeferino García García
Traducción: Sergio M. Sarmiento Ortega
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS 
Sexta edición
 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, 
 por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 2011 respecto a la sexta edición en español por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.
A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.
Edificio Punta Santa Fe
Prolongación Paseo de la Reforma 1015 Torre A
Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, 
Delegación Álvaro Obregón
C.P. 01376, México, D. F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736
ISBN 978-607-15-0499-9
Diseño de portada: Studio Montage, St. Louis Missouri
MATLAb™ es una marca registrada de The Math Works, Inc.
Traducido de la sexta edición de Numerical Methods for Engineers by Steven C. Chapra and Raymond P. Canale
Copyright ©2010 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ISbN: 978-0-07-340106-5
Impreso en México Printed in Mexico
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A
Margaret y Gabriel Chapra
Helen y Chester Canale
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ContEniDo
PREFaCio xvii
viSita GuiaDa xx
aCERCa DE loS autoRES xxiii
PaRtE uno MoDEloS, CoMPutaDoRaS y análiSiS DEl ERRoR 2
PT1.1 Motivación 3
PT1.2 Antecedentes matemáticos 5
PT1.3 Orientación 7
CaPÍtulo 1
Modelos matemáticos y solución de problemas en ingeniería 10
1.1 Un modelo matemático simple 10
1.2 Leyes de conservación e ingeniería 15
Problemas 18
CaPÍtulo 2
Programación y software 22
2.1 Paquetes y programación 22
2.2 Programación estructurada 23
2.3 Programación modular 31
2.4 Excel 32
2.5 MATLAB 36
2.6 Mathcad 41
2.7 Otros lenguajes y bibliotecas 41
Problemas 42
CaPÍtulo 3
aproximaciones y errores de redondeo 48
3.1 Cifras significativas 49
3.2 Exactitud y precisión 50
3.3 Definiciones de error 51
3.4 Errores de redondeo 56
Problemas 70
CaPÍtulo 4
Errores de truncamiento y la serie de taylor 71
4.1 La serie de Taylor 71
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viii contenido
4.2 Propagación del error 85
4.3 Error numérico total 89
4.4 Equivocaciones, errores de formulación e incertidumbre en los datos 93
Problemas 95
EPÍloGo: PaRtE uno 97
PT1.4 Alternativas 97
PT1.5 Relaciones y fórmulas importantes 100
PT1.6 Métodos avanzados y referencias adicionales 100
PaRtE DoS RaÍCES DE ECuaCionES 102
PT2.1 Motivación 103
PT2.2 Antecedentes matemáticos 105
PT2.3 Orientación 106
CaPÍtulo 5 
Métodos cerrados 110
5.1 Métodos gráficos 110
5.2 El método de bisección 114
5.3 Método de la falsa posición 120
5.4 Búsquedas por incrementos y determinación de valores iniciales 124
Problemas 126
CaPÍtulo 6 
Métodos abiertos 130
6.1 Iteración simple de punto fijo 130
6.2 Método de Newton-Raphson 135
6.3 El método de la secante 140
6.4 Método de Brent 144
6.5 Raíces múltiples 148
6.6 Sistemas de ecuaciones no lineales 151
Problemas 156
CaPÍtulo 7 
Raíces de polinomios 159
7.1 Polinomios en la ciencia y en la ingeniería 159
7.2 Cálculos con polinomios 161
7.3 Métodos convencionales 164
7.4 Método de Müller 165
7.5 Método de Bairstow 169
7.6 Otros métodos 174
7.7 Localización de raíces con paquetes de software 174
Problemas 183
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 contenido ix
CaPÍtulo 8
Estudio de casos: raíces de ecuaciones 185
8.1 Leyes de los gases ideales y no ideales (ingeniería química y bioquímica) 185
8.2 Los gases de invernadero y la lluvia (ingeniería civil y ambiental) 188
8.3 Diseño de un circuito eléctrico (ingeniería eléctrica) 190
8.4 Fricción en tubos (ingeniería mecánica y aeroespacial) 192
Problemas 195
EPÍloGo: PaRtE DoS 205
PT2.4 Alternativas 205
PT2.5 Relaciones y fórmulas importantes 206
PT2.6 Métodos avanzados y referencias adicionales 206
PaRtE tRES ECuaCionES alGEbRaiCaS linEalES 208
PT3.1 Motivación 209
PT3.2 Antecedentes matemáticos 211
PT3.3 Orientación 218
CaPÍtulo 9
Eliminación de Gauss 221
9.1 Solución de sistemas pequeños de ecuaciones 221
9.2 Eliminación de Gauss simple 227
9.3 Dificultades en los métodos de eliminación 234
9.4 Técnicas para mejorar las soluciones 239
9.5 Sistemas complejos 246
9.6 Sistemas de ecuaciones no lineales 247
9.7 Gauss-Jordan 248
9.8 Resumen 250
Problemas 251
CaPÍtulo 10
Descomposición LU e inversión de matrices 253
10.1 Descomposición LU 253
10.2 La matriz inversa 262
10.3 Análisis del error y condición del sistema 266
Problemas 271
CaPÍtulo 11
Matrices especiales y el método de Gauss-Seidel 274
11.1 Matrices especiales 274
11.2 Gauss-Seidel 278
11.3 Ecuaciones algebraicas lineales con paquetes de software 284
Problemas 289
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x contenido
CaPÍtulo 12
Estudio de casos: ecuaciones algebraicas lineales 292
12.1 Análisis en estado estacionario de un sistema de reactores 
(ingeniería química/bioingeniería) 292
12.2 Análisis de una armadura estáticamente determinada (ingeniería civil/ambiental) 295
12.3 Corrientes y voltajes en circuitos con resistores (ingeniería eléctrica) 298
12.4 Sistemas masa-resorte (ingeniería mecánica/aeronáutica) 299
Problemas 302
EPÍloGo: PaRtE tRES 311
PT3.4 Alternativas 311
PT3.5 Relaciones y fórmulas importantes 312
PT3.6 Métodos avanzados y referencias adicionales 312
PaRtE CuatRo oPtiMiZaCiÓn 314
PT4.1 Motivación 315
PT4.2 Antecedentes matemáticos 319
PT4.3 Orientación 320
CaPÍtulo 13 
optimización unidimensional sin restricciones 324
13.1 Búsqueda de la sección dorada 325
13.2 Interpolación parabólica 331
13.3 Método de Newton 332
13.4 Método de Brent 335
Problemas 335
CaPÍtulo 14 
optimización multidimensional sin restricciones 338
14.1 Métodos directos 338
14.2 Métodos con gradiente 342
Problemas 354
CaPÍtulo 15 
optimización con restricciones 355
15.1 Programación lineal 355
15.2 Optimización con restricciones no lineal 366
15.3 Optimización con paquetes de software 366
Problemas 376
CaPÍtulo 16 
Estudio de casos: optimización 379
16.1 Diseño de un tanque con el menor costo (ingeniería química/bioingeniería) 379
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 contenido xi
16.2 Mínimo costo para el tratamiento de aguas residuales (ingeniería civil/ambiental) 383
16.3 Máxima transferencia de potencia en un circuito (ingeniería eléctrica) 387
16.4 Equilibrio y energía potencial mínima (ingeniería mecánica/aeroespacial) 388
Problemas 391
EPÍloGo: PaRtE CuatRo 399
PT4.4 Alternativas 399
PT4.5 Referencias adicionales 400
PaRtE CinCo aJuStE DE CuRvaS 402
PT5.1 Motivación 403
PT5.2 Antecedentes matemáticos 404
PT5.3 Orientación 413
CaPÍtulo 17 
Regresión por mínimos cuadrados 416
17.1 Regresión lineal 416
17.2 Regresión polinomial 429
17.3 Regresión lineal múltiple 433
17.4 Mínimos cuadrados lineales en general 435
17.5 Regresión no lineal 439
Problemas 443
CaPÍtulo 18
interpolación 447
18.1 Interpolación polinomial de Newton en diferencias divididas 447
18.2 Polinomios de interpolación de Lagrange 457
18.3 Coeficientesde un polinomio de interpolación 461
18.4 Interpolación inversa 462
18.5 Comentarios adicionales 463
18.6 Interpolación mediante trazadores (splines) 463
18.7 Interpolación multidimensional 475
Problemas 476
CaPÍtulo 19
aproximación de Fourier 479
19.1 Ajuste de curvas con funciones sinusoidales 480
19.2 Serie de Fourier continua 485
19.3 Dominios de la frecuencia y del tiempo 488
19.4 Integral y transformada de Fourier 492
19.5 Transformada discreta de Fourier (TDF) 493
19.6 Transformada rápida de Fourier 495
19.7 El espectro de potencia 500
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xii contenido
19.8 Ajuste de curvas con paquetes de software 501
Problemas 509
CaPÍtulo 20
Estudio de casos: ajuste de curvas 512
20.1 Regresión lineal y modelos de población (ingeniería química/bioingeniería) 512
20.2 Uso de trazadores para estimar la transferencia de calor (ingeniería civil/ambiental) 515
20.3 Análisis de Fourier (ingeniería eléctrica) 517
20.4 Análisis de datos experimentales (ingeniería mecánica/aeronáutica) 518
Problemas 519
EPÍloGo: PaRtE CinCo
PT5.4 Alternativas 530
PT5.5 Relaciones y fórmulas importantes 531
PT5.6 Métodos avanzados y referencias adicionales 531
PaRtE SEiS DiFEREnCiaCiÓn E intEGRaCiÓn nuMÉRiCaS 534
PT6.1 Motivación 535
PT6.2 Antecedentes matemáticos 543
PT6.3 Orientación 545
CaPÍtulo 21
Fórmulas de integración de newton-Cotes 549
21.1 La regla del trapecio 550
21.2 Reglas de Simpson 558
21.3 Integración con segmentos desiguales 566
21.4 Fórmulas de integración abierta 568
21.5 Integrales múltiples 570
Problemas 572
CaPÍtulo 22
integración de ecuaciones 575
22.1 Algoritmos de Newton-Cotes para ecuaciones 575
22.2 Integración de Romberg 576
22.3 Cuadratura adaptiva 581
22.4 Cuadratura de Gauss 584
22.5 Integrales impropias 590
Problemas 593
CaPÍtulo 23
Diferenciación numérica 595
23.1 Fórmulas de diferenciación con alta exactitud 595
23.2 Extrapolación de Richardson 598
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 contenido xiii
23.3 Derivadas de datos irregularmente espaciados 599
23.4 Derivadas e integrales para datos con errores 601
23.5 Derivadas parciales 602
23.6 Integración/diferenciación numéricas con paquetes de software 603
Problemas 610
CaPÍtulo 24
Estudio de casos: integración y diferenciación numéricas 613
24.1 Integración para determinar la cantidad total de calor (ingeniería química/
bioingeniería) 613
24.2 Fuerza efectiva sobre el mástil de un bote de vela de carreras (ingeniería civil/
ambiental) 615
24.3 Raíz media cuadrática de la corriente mediante integración numérica 
(ingeniería eléctrica) 617
24.4 Integración numérica para calcular el trabajo (ingeniería mecánica/aeronáutica) 619
Problemas 621
EPÍloGo: PaRtE SEiS 631
PT6.4 Alternativas 631
PT6.5 Relaciones y fórmulas importantes 632
PT6.6 Métodos avanzados y referencias adicionales 632
PaRtE SiEtE ECuaCionES DiFEREnCialES oRDinaRiaS 634
PT7.1 Motivación 635
PT7.2 Antecedentes matemáticos 638
PT7.3 Orientación 640
CaPÍtulo 25
Métodos de Runge-Kutta 644
25.1 Método de Euler 644
25.2 Mejoras del método de Euler 654
25.3 Métodos de Runge-Kutta 661
25.4 Sistemas de ecuaciones 670
25.5 Métodos adaptativos de Runge-Kutta 675
Problemas 682
CaPÍtulo 26
Métodos rígidos y de pasos múltiples 685
26.1 Rigidez 685
26.2 Métodos de pasos múltiples 688
Problemas 706
CaPÍtulo 27
Problemas de valores en la frontera y de valores propios 708
27.1 Métodos generales para problemas de valores en la frontera 709
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xiv contenido
27.2 Problemas de valores propios 714
27.3 EDO y valores propios con paquetes de software 726
Problemas 732
CaPÍtulo 28
Estudio de casos: ecuaciones diferenciales ordinarias 735
28.1 Uso de las EDO para analizar la respuesta transitoria de un reactor 
(ingeniería química/bioingeniería) 735
28.2 Modelos depredador-presa y caos (ingeniería civil/ambiental) 741
28.3 Simulación de la corriente transitoria en un circuito eléctrico 
(ingeniería eléctrica) 744
28.4 El péndulo oscilante (ingeniería mecánica/aeronáutica) 748
Problemas 751
EPÍloGo: PaRtE SiEtE 762
PT7.4 Alternativas 762
PT7.5 Relaciones y fórmulas importantes 763
PT7.6 Métodos avanzados y referencias adicionales 763
PaRtE oCHo ECuaCionES DiFEREnCialES PaRCialES 766
PT8.1 Motivación 767
PT8.2 Orientación 770
CaPÍtulo 29
Diferencias finitas: ecuaciones elípticas 773
29.1 La ecuación de Laplace 773
29.2 Técnica de solución 774
29.3 Condiciones en la frontera 780
29.4 El método del volumen de control 785
29.5 Software para resolver ecuaciones elípticas 788
Problemas 789
CaPÍtulo 30
Diferencias finitas: ecuaciones parabólicas 791
30.1 La ecuación de conducción de calor 791
30.2 Métodos explícitos 792
30.3 Un método implícito simple 795
30.4 El método de Crank-Nicolson 798
30.5 Ecuaciones parabólicas en dos dimensiones espaciales 801
Problemas 804
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 contenido xv
CaPÍtulo 31
Método del elemento finito 806
31.1 El enfoque general 807
31.2 Aplicación del elemento finito en una dimensión 810
31.3 Problemas bidimensionales 818
31.4 Resolución de EDP con paquetes de software 820
Problemas 825
CaPÍtulo 32
Estudio de casos: ecuaciones diferenciales parciales 827
32.1 Balance de masa unidimensional de un reactor (ingeniería química/bioingeniería) 827
32.2 Deflexiones de una placa (ingeniería civil/ambiental) 831
32.3 Problemas de campo electrostático bidimensional (ingeniería eléctrica) 833
32.4 Solución por elemento finito de una serie de resortes (ingeniería mecánica/aeronáutica) 835
Problemas 838
EPÍloGo: PaRtE oCHo 841
PT8.3 Alternativas 841
PT8.4 Relaciones y fórmulas importantes 841
PT8.5 Métodos avanzados y referencias adicionales 842
aPÉnDiCE a: la SERiE DE FouRiER 843
aPÉnDiCE b: EMPECEMoS Con Matlab 845
aPÉnDiCE C: iniCiaCiÓn a MatHCaD 852
Fundamentos de Mathcad 852
Introducción de texto y operaciones matemáticas 853
Funciones y variables matemáticas 854
Función de métodos numéricos 857
Procedimientos y subprogramas de líneas múltiples 858
Creación de gráficas 858
Matemáticas simbólicas 860
Para aprender más acerca de Mathcad 862
biblioGRaFÍa 863
ÍnDiCE analÍtiCo 867
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PREFaCio
Han pasado veinte años desde que se publicó la primera edición de este libro. Durante 
ese periodo, nuestro escepticismo acerca de que los métodos numéricos y las compu tadoras 
tendrían un papel prominente en el currículo de la ingeniería —particularmente en sus 
etapas tempranas— ha sido rebasado por mucho. Hoy día, muchas universidades ofre-
cen cursos para estudiantes de nuevo ingreso, de segundo año e intermedios, tanto de 
introducción a la computación como de métodos numéricos. Además, muchos de nues-
tros colegas integran problemas orientados a la computación con otros cursos en todos 
los niveles del currículo. Así, esta nueva edición aún se basa en la premisa fundamental 
de que debe darse a los estudiantes de ingeniería una introducción profunda y temprana 
a los métodos numéricos. En consecuencia, aunque la nueva edición expande sus alcan-
ces, tratamos de mantener muchas de las características que hicieron accesible la prime-
ra edición tanto para estudiantes principiantes como avanzados. Éstas incluyen las 
siguientes:
•	 Orientado a problemas. Los estudiantes de ingeniería aprenden mejor cuando 
están motivados por la solución de problemas, lo cual es especialmente cierto en el 
caso de las matemáticas y de la computación. Por tal razón, presentamos los méto-
dos numéricos desde la perspectiva de la solución de problemas.
•	 Pedagogía orientada al estudiante. Hemos presentado varios detalles para lograr 
que el libro sea tan accesible para el estudiante como sea posible. Éstos comprenden 
la organización general, el uso de introducciones y epílogos para consolidar los 
temas principales, así como un amplio uso de ejemplos desarrollados y estudios de 
casos de las áreas principalesde la ingeniería. Hemos puesto especial cuidado en 
que nuestras explicaciones sean claras y en que tengan una orientación práctica.
•	 Herramientas	de	computación. Capacitamos a nuestros estudiantes ayudándoles 
a utilizar las herramientas numéricas tipo “apunte y dispare” para resolución de 
problemas que están incluidas en programas como Excel, MATLAb y Mathcad. Sin 
embargo, también se muestra a los estudiantes cómo desarrollar programas sencillos 
y bien estructurados para extender las capacidades básicas de dichos entornos. Este 
conocimiento incluye lenguajes de programación estándar tales como Visual basic, 
Fortran 90 y C/C++. Creemos que el abandono actual de la programación de compu-
tadora representa algo así como una “salida fácil” en los planes de estudios de in-
geniería. A fin de cuentas, en la medida que los ingenieros no se conformen con 
herramientas limitadas, tendrán que escribir sus códigos. Sólo entonces se podrán 
llamar “macros” o “archivos M”. Este libro está diseñado para darles el poder de 
hacer eso.
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xviii PReFAcio
Más allá de estos principios originales, la sexta edición tiene varias innovaciones:
•	 Conjuntos	de	problemas	nuevos	y	ampliados. La mayoría de los problemas se 
han modificado de manera que den soluciones numéricas diferentes de las de edi-
ciones anteriores. Además, se ha incluido una variedad de problemas nuevos.
•	 Nuevo	material. Se han agregado secciones nuevas. Éstas incluyen el método 
de brent para ubicación de raíces y para optimización, además de la cuadratura 
adaptiva.
•	 Nuevos estudios de casos. Se han desarrollado nuevos estudios de casos,
•	 Mathcad.	 Además de Excel y MATLAb, hemos agregado material sobre el popu-
lar paquete de software Mathcad.
Como siempre, nuestra intención principal al escribir este libro es dar a los estu-
diantes una introducción a los métodos numéricos. Creemos que los estudiantes motiva-
dos que disfrutan de los métodos numéricos, las computadoras y las matemáticas serán, 
a final de cuentas, mejores ingenieros. Si nuestro libro fomenta el entusiasmo por estos 
temas, consideraremos que nuestros esfuerzos han tenido buen éxito, 
Agradecimientos. Nos gustaría agradecer a nuestros amigos de McGraw-Hill. En 
particular, Lorraine buczek, Debra Hash, bill Stenquist, Joyce Watters y Lynn Lustberg, 
que nos brindaron una atmósfera positiva de apoyo para crear esta edición. Como de 
costumbre, beatrice Sussman hizo un trabajo magistral en la revisión del manuscrito. 
Como en pasadas ediciones, David Clough (Universidad de Colorado), Mike Gustafson 
(Duke) y Jerry Stedinger (Universidad de Cornell) compartieron generosamente sus ideas 
y sugerencias. bill Philpot (Cornell), Jim Guilkey (Universidad de Utah), Dong-Il Seo 
(Universidad Nacional Chungman de Corea) y Raymundo Cordero y Karim Muci 
(ITESM, México) hicieron útiles sugerencias. La presente edición también se ha bene-
ficiado por las revisiones y sugerencias de los siguientes colegas:
betty barr, University of Houston
Jordan berg, Texas Tech University
Estelle M. Eke, California State University, Sacramento
Yogesh Jaluria, Rutgers University
S. Graham Kelly, The University of Akron
Subha Kumpaty, Milwaukee School of Engineering
Eckart Meiburg, University of California-Santa barbara
Prashant Mhaskar, McMaster University
Luke Olson, University of Illinois at Urbana-Champaign
Joseph H. Pierluissi, University of Texas at El Paso
Juan Perán, Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED)
Scott A. Socolofsky, Texas A&M University
Se debe subrayar que, aunque recibimos consejos útiles de las personas arriba men-
cionadas, somos responsables de cualquier inexactitud o error que usted pudiera detectar 
en esta edición, Por favor póngase en contacto con el editor por correo electrónico si 
detectara cualquier error en esta edición: pablo_roig@mcgraw-hill.com
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 PReFAcio xix
Finalmente, nos gustaría dar las gracias a nuestras familias, a nuestros amigos y a 
nuestros estudiantes por su constante paciencia y apoyo. En especial a Cynthia Chapra, 
Danielle Husley y Claire Canale, quienes están siempre presentes para brindar entendi-
miento, perspectiva y amor.
Steven C. Chapra 
Medford, Massachusetts 
Raymond P. Canale
Lake Leelanau, Michigan
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xx contenido
viSita GuiaDa
Para ofrecer un panorama de los métodos numéricos, 
hemos organizado el texto en partes y presentamos 
información unificadora a través de elementos de 
Motivación, Antecedentes matemáticos, Orienta-
ción	y	Epílogo.
Cada capítulo contiene problemas de tarea 
nuevos y revisados. Alrededor de 80% de los 
problemas son nuevos o se han modificado. 
El texto incluye problemas de desafío de 
todas las disciplinas de la ingeniería.
Hay secciones del texto, así como problemas de 
tarea, dedicadas a implantar métodos numéricos 
con el software de Microsoft Excel y con el de The 
MathWorks, Inc. MATLAB.
xx
El inicio del capítulo 11 se concentra en los tipos especiales de sistemas de ecuaciones que 
tienen una gran aplicación en ingeniería. En particular, se presentan técnicas eficientes para resolver 
sistemas tridiagonales. Después, en el resto del capítulo se centra la atención en una alternativa a 
los métodos de eliminación llamada el método de Gauss-Seidel. Esta técnica es similar en esencia 
a los métodos aproximados para raíces de ecuaciones que se analizaron en el capítulo 6. Es decir, la 
técnica consiste en suponer una solución y después iterar para obtener una aproximación mejorada. 
 PT3.3 oRiEnTAciÓn 219
PT3.1
Motivación 
PT3.2
Antecedentes
matemáticos PT3.3
Orientación
9.1
Sistemas
pequeños
9.2
Eliminación de
Gauss simplePARTE 3
Ecuaciones 
algebraicas 
lineales
PT3.6
Métodos
avanzados
EPÍLOGO
CAPÍTULO 9
Eliminación
de Gauss
PT3.5
Fórmulas
importantes
PT3.4
Alternativas
12.4
Ingeniería
mecánica
12.3
Ingeniería
eléctrica
12.2
Ingeniería
civil 12.1
Ingeniería
química 11.3
Software
11.2
Gauss-Seidel
11.1
Matrices
especiales
CAPÍTULO 10
Descomposición
LU e inversión
de matrices
CAPÍTULO 11
Matrices
especiales
y el método de
Gauss-Seidel
CAPÍTULO 12
Estudio
de casos de
ingeniería
10.3
Condición
del sistema
10.2
La matriz
inversa
10.1
Descomposición
LU
9.7
Gauss-Jordan
9.6
Sistemas
no lineales
9.5
Sistemas
complejos
9.4
Soluciones
9.3
Dificultades
Figura Pt3.5 
Diagrama esquemático de la organización del material en la parte tres: Ecuaciones algebraicas lineales.
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302 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
Ingeniería química/Bioingeniería
12.1 Lleve a cabo el mismo cálculo que en la sección 12.1, pero 
cambie c01 a 20 y c03 a 6. También cambie los flujos siguientes: 
Q01 = 6, Q12 = 4, Q24 = 2 y Q44 = 12.
12.2 Si la entrada al reactor 3 de la sección 12.1 disminuye 25%, 
utilice la matriz inversa para calcular el cambio porcentual en la 
concentración de los reactores 2 y 4.
12.3 Debido a que el sistema que se muestra en la figura 12.3 
está en estado estacionario (estable), ¿qué se puede afirmar 
respecto de los cuatro flujos: Q01, Q03, Q44 y Q55?
12.4 Vuelva a calcular las concentraciones para los cinco reac-
tores que se muestran en la figura 12.3, si los flujos cambian 
como sigue:
Q01 = 5 Q31 = 3 Q25 = 2 Q23 = 2
Q15 = 4 Q55 = 3 Q54 = 3 Q34 = 7
Q12 = 4 Q03 = 8 Q24 = 0 Q44 = 10
12.5 Resuelva el mismo sistema que se especifica en el proble-
ma 12.4, pero haga Q12 = Q54 = 0 y Q15 = Q34 = 3. Suponga que 
las entradas (Q01, Q03) y las salidas (Q44, Q55) son las mismas. 
Use la conservación del flujo para volver a calcular los valores 
de los demás flujos.
12.6 En la figura P12.6 se muestran tres reactores conectados 
por tubos. Como se indica, la tasa de transferencia de produc-
tos químicos a través de cada tubo es igual a la tasa de flujo (Q, 
en unidades de metros cúbicos por segundo) multiplicada por la 
concentración del reactordesde el que se origina el flujo (c, en 
unidades de miligramos por metro cúbico). Si el sistema se 
encuentra en estado estacionario (estable), la transferencia 
de entra da a cada reactor balanceará la de salida. Desarrolle las 
ecuaciones del balance de masa para los reactores y resuelva 
las tres ecuaciones algebraicas lineales simultáneas para sus 
concentraciones.
12.7 Con el empleo del mismo enfoque que en la sección 12.1, 
determine la concentración de cloruro en cada uno de los Gran-
Figura P12.6 
Tres reactores unidos por tubos. 
La tasa de transferencia de 
masa a través de cada tubo es 
igual al producto de flujo Q y la 
concentración c del reactor desde 
el que se origina el flujo.
2
3
Q33 = 120
Q13 = 40
 Q12 = 90
Q23 = 60
Q21 = 30
Q12c1Q21c2
Q23c2
Q33c3Q13c1
200 mg/s
500 mg/s
1
QSH = 67
QMH = 36
QHE = 161
QEO = 182
QOO = 212
QSHcS
QMHcM
QHEcH
QEOcE
QOOcO
3850
4720
740
180
710
Superior
Michigan
Hurón
SuperiorErie
Ontario
Figura P12.7
Balance del cloro en los Grandes 
Lagos. Las flechas numeradas 
denotan entradas directas.
PROBLEMAS
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 7.7 LOCALizACión de rAÍCes COn PAqUeTes de sOfTwAre 177
Se debe observar que Solver puede fallar. Su éxito depende de 1) la condición del sistema de 
ecuaciones y/o 2) la calidad de los valores iniciales. El resultado satisfactorio del ejemplo anterior 
no está garantizado. A pesar de esto, se puede encontrar a Solver bastante útil para hacer de él una 
buena opción en la obtención rápida de raíces para un amplio rango de aplicaciones a la ingeniería.
7.7.2 MATLAB
MATLAB es capaz de localizar raíces en ecuaciones algebraicas y trascendentes, como se muestra 
en la tabla 7.1, excelente para la manipulación y localización de raíces en los polinomios.
La función fzero está diseñada para localizar la raíz de una función. Una representación sim-
plificada de su sintaxis es
fzero (f, x0, opciones)
donde f es la función que se va a analizar, x0 es el valor inicial y opciones son los parámetros de 
optimización (éstos pueden cambiarse al usar la función optimset). Si no se anotan las opciones 
se emplean los valores por omisión. observe que se pueden emplear uno o dos valores iniciales, 
asumiendo que la raíz está dentro del intervalo. El siguiente ejemplo ilustra cómo se usa la función 
fzero.
EJEMPLO 7.6 Uso de MATLAB para localizar raíces
Planteamiento del problema. Utilice la función fzero de MATLAB para encontrar las raíces de
f (x) = x10 – 1
dentro del intervalo xl = 0 y xu = 4, obviamente se tiene dos raíces –1 y 1. Recuerde que para determinar 
la raíz positiva en el ejemplo 5.6 se usó el método de la falsa posición con valores iniciales 0 y 1.3.
Solución. Bajo las mismas condiciones iniciales del ejemplo 5.6, se usa MATLAB para determi-
nar la raíz positiva
>> x0=[0 1.3];
>> x=fzero(@(x) x^10–1,x0)
x =
 1
TABLA 7.1 Funciones comunes de MATLAB relacionadas con la manipulación 
de polinomios y la localización de raíces.
Función Descripción
fzero Raíz de una sola función
roots encuentra raíces de polinomios
poly Construye polinomios con raíces específicas
polival evalúa un polinomio
polivalm evalúa un polinomio con argumento matricial
residue expansión de la fracción-parcial (residuos)
polyder diferenciación polinomial
conv Multiplicación de polinomios
deconv división de polinomios
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xxi
El texto presenta numerosos ejemplos	resueltos 
que dan a los estudiantes ilustraciones paso a paso 
acerca de cómo implantar los métodos numéricos.
Existen 28 estudios de caso de la ingeniería 
para ayudar a los estudiantes a relacionar los 
métodos numéricos con los campos principa-
les de la ingeniería.
MATERIALES DE APOYO
Esta obra cuenta con interesantes complementos que 
 fortalecen los procesos de enseñanza-aprendizaje, así 
como la evaluación de los mismos, los cuales se otor-
gan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. 
Para obtener más información y conocer la política de 
entrega de estos materiales, contacte a su representante 
de McGraw-Hill.
434 capÍtuLO 17 reGresIÓN pOr MÍNIMOs cuadradOs
EJEMPLO 17.6 Regresión lineal múltiple
Planteamiento del problema. Los siguientes datos se calcularon con la ecuación y = 5 + 4x1 – 3x2:
x1 x2 y
0 0 5
2 1 10
2.5 2 9
1 3 0
4 6 3
7 2 27
Utilice la regresión lineal múltiple para ajustar estos datos.
Solución. Las sumatorias requeridas para la ecuación (17.22) se calculan en la tabla 17.5. El resul-
tado es
6 16 5 14
16 5 76 25 48
14 48 54
54
243 5
100
0
1
2
.
. . .


















=








a
a
a
que se resuelve mediante un método como el de eliminación de Gauss, obteniéndose
a0 = 5 a1 = 4 a2 = –3
que es consistente con la ecuación original, de la cual se obtienen los datos.
tabla 17.5 Cálculos requeridos para desarrollar las ecuaciones normales 
para el ejemplo 17.6.
5 0 0 0 0 0 0 0
10 2 1 4 1 2 20 10
9 2.5 2 6.25 4 5 22.5 18
0 1 3 1 9 3 0 0
3 4 6 16 36 24 12 18
27 7 2 49 4 14 189 54
∑ 54 16.5 14 76.25 54 48 243.5 100
El caso bidimensional anterior fácilmente se extiende a m dimensiones así
y = a0 + a1x1 + a2x2 + · · · + amxm + e
donde el error estándar se formula como
s
S
n my x
r
/ ( )
=
− +1
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CAPÍTULO 32
Estudio de casos: ecuaciones 
diferenciales parciales
El propósito de este capítulo es aplicar los métodos de la parte ocho a problemas prácticos de inge-
niería. En la sección 32.1 se utiliza una EDP parabólica para calcular la distribución de una sustancia 
química, dependiente del tiempo a lo largo del eje longitudinal de un reactor rectangular. Este ejem-
plo ilustra cómo la inestabilidad de una solución puede deberse a la naturaleza de la EDP, más que a 
las propiedades del método numérico.
Las secciones 32.2 y 32.3 presentan aplicaciones de las ecuaciones de Poisson y Laplace a pro-
blemas de ingeniería civil y eléctrica. Entre otras cuestiones, esto le permitirá distinguir tanto las 
similitudes como las diferencias entre los problemas en esas áreas de la ingeniería. Además, se 
pueden comparar con el problema de la placa caliente que ha servido como sistema prototipo en esta 
parte del libro. La sección 32.2 trata de la deflexión de una placa cuadrada; mientras que la sección 
32.3 se dedica al cálculo de la distribución del voltaje y el flujo de carga en una superficie bidimen-
sional con un extremo curvado.
La sección 32.4 presenta un análisis del elemento finito aplicado a una serie de resortes. Este 
problema de mecánica y estructuras ilustra mejor las aplicaciones del elemento finito, que al problema 
de temperatura usado para analizar el método en el capítulo 31.
 32.1 BALANCE DE MASA UNIDIMENSIONAL DE UN REACTOR 
 (INGENIERÍA QUÍMICA/BIOINGENIERÍA)
Antecedentes. Los ingenieros químicos utilizan mucho los reactores idealizados en su trabajo de 
diseño. En las secciones 12.1 y 28.1 nos concentramos en reactores simples o acoplados bien mez-
clados, los cuales constituyen ejemplos de sistemas de parámetros localizados (recuerde la sección 
PT3.1.2).
La figura 32.1 muestra un reactor alargado con una sola entrada y una salida. Este reactor pue-
de caracterizarse como un sistema de parámetros distribuidos. Si se supone que la sustancia quími-
x
x = 0 x = L
FIGURA 32.1
Reactor alargado con un 
solo punto de entrada 
y salida. Un balance 
de masa se desarrolla 
alrededor de un segmento 
finito a lo largo del eje 
longitudinal del tanque con 
el objetivo de deducir una 
ecuación diferencial para la 
concentración.
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aCERCa DE loS autoRES
Steven Chapra es profesor en el Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental de la 
Universidad de Tufts. Entre sus obras publicadas se encuentran Surface Water-Quality 
Modeling e Introduction to Computing forEngineers.
El Dr. Chapra obtuvo el grado de ingeniero por las universidades de Manhattan y 
de Michigan. Antes de incorporarse a la facultad de Tufts trabajó para la Agencia de 
Protección Ambiental y la Administración Nacional del Océano y la Atmósfera, fue 
profesor asociado en las universidades de Texas A&M y de Colorado. En general, sus 
investigaciones están relacionadas con la modelación de la calidad del agua superficial 
y la aplicación de computación avanzada en la ingeniería ambiental.
También ha recibido gran cantidad de reconocimientos por sus destacadas contri-
buciones académicas, incluyendo la medalla Rudolph Hering (ASCE en 1993) y el 
premio al autor distinguido Meriam-Wiley (1987), por parte de la Sociedad Americana 
para la Educación en Ingeniería. Se ha reconocido como profesor emérito en las facul-
tades de ingeniería de las universidades de Texas A&M (premio Tenneco, 1986) y de 
Colorado (premio Hitchinson, 1992).
Raymond	P.	Canale es profesor emérito de la Universidad de Michigan. En sus más 
de 20 años de carrera en la universidad ha impartido numerosos cursos en la áreas de 
computación, métodos numéricos e ingeniería ambiental. También ha dirigido extensos 
programas de investigación en el área de modelación matemática y por computadora de 
ecosistemas acuáticos. Es autor y coautor de varios libros, ha publicado más de 100 
artículos e informes científicos. También ha diseñado y desarrollado software para 
computadoras personales, con la finalidad de facilitar la educación en ingeniería y la 
solución de problemas en ingeniería. Ha recibido el premio al autor distinguido Meriam-
Wiley de la Sociedad Americana para la Educación en Ingeniería por sus libros y el 
software desarrollado, así como otros reconocimientos por sus publicaciones técnicas.
Actualmente, el profesor Canale se dedica a resolver problemas de aplicación, tra-
bajando como consultor y perito en empresas de ingeniería, en la industria e institucio-
nes gubernamentales.
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Métodos numéricos 
para ingenieros
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Parte uno
 
Parte uno
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Modelos, coMPutadoras 
y análisis del error
 Pt1.1 Motivación
Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular problemas 
matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas. Aunque existen 
muchos tipos de métodos numéricos, éstos comparten una característica común: invariablemente 
requieren de un buen número de tediosos cálculos aritméticos. No es raro que con el desarrollo de 
computadoras digitales eficientes y rápi das, el papel de los métodos numéricos en la solución de 
problemas en ingeniería haya aumentado de forma considerable en los últimos años.
Pt1.1.1 Métodos sin computadora
Además de proporcionar un aumento en la potencia de cálculo, la disponibilidad creciente de las 
computadoras (en especial de las personales) y su asociación con los métodos numéricos han influi­
do de manera muy significativa en el proceso de la solución actual de los problemas en ingeniería. 
Antes de la era de la computadora los ingenieros sólo contaban con tres métodos para la solución de 
problemas:
1. Se encontraban las soluciones de algunos problemas usando métodos exactos o analíticos. Dichas 
soluciones resultaban útiles y proporcionaban una comprensión excelente del comportamiento 
de algunos sistemas. No obstante, las soluciones analíticas sólo pueden encontrarse para una 
clase limitada de problemas. Éstos incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante mode­
los lineales y también aquellos que tienen una geometría simple y de baja dimensión. En con­
secuencia, las soluciones analíticas tienen un valor práctico limitado porque la mayoría de los 
problemas reales son no lineales, e implican formas y procesos complejos.
2. Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban soluciones gráficas, las cuales toma­
ban la forma de gráficas o nomogramas; aunque las técnicas gráficas se utilizan a menudo para 
resolver problemas complejos, los resultados no son muy precisos. Además, las soluciones 
gráficas (sin la ayuda de una computadora) son en extremo tediosas y difíciles de implementar. 
Finalmente, las técnicas gráficas están limitadas a los problemas que puedan describirse usando 
tres dimensiones o menos.
3. Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculadoras y reglas de cálcu lo. Aunque 
en teoría dichas aproximaciones deberían ser perfectamente adecuadas para resolver problemas 
complicados, en la práctica se presentan varias dificultades debido a que los cálculos manuales 
son lentos y tediosos. Además, los resultados no son consistentes, ya que surgen equivocaciones 
cuando se efectúan los numerosos cálculos de esta manera.
Antes del uso de la computadora se gastaba bastante energía en la técnica misma de solución, 
en lugar de usarla en la definición del problema y su interpretación (figura PT1.1a). Esta situación 
desafortunada se debía al tiempo y trabajo monótono que se requería para obtener resultados 
numéricos con técnicas que no utilizaban la compu tadora.
En la actualidad, las computadoras y los métodos numéricos ofrecen una alternativa para los 
cálculos complicados. Al usar la potencia de la computadora se obtienen soluciones directamente, 
de esta manera se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a consideraciones de simpli­
ficación o a técnicas muy lentas. Aunque las soluciones analíticas aún son muy valiosas, tanto para 
resolver problemas como para brindar una mayor comprensión, los métodos numéricos representan 
opciones que aumentan, en forma considerable, la capacidad para enfrentar y resolver los problemas; 
PBChapra-01.indd 3 3/11/10 13:26:58
como resultado, se dispone de más tiempo para aprovechar las habilidades creativas personales. En 
consecuencia, es posible dar más importancia a la formulación de un problema y a la interpretación 
de la solución, así como a su incorporación al sistema total, o conciencia “holística” (figura 
PT1.1b).
Pt1.1.2 los métodos numéricos y la práctica en ingeniería 
Desde finales de la década de los cuarenta, la amplia disponibilidad de las computadoras digitales 
han llevado a una verdadera explosión en el uso y desarrollo de los métodos numéricos. Al prin­
cipio, este crecimiento estaba limitado por el costo de procesamiento de las grandes computado-
ras (mainframes), por lo que muchos ingenieros seguían usando simples procedimientos analíticos 
en una buena parte de su trabajo. Vale la pena mencionar que la reciente evolución de computa­
doras personales de bajo costo ha permitido el acceso, de mucha gente, a las poderosas capacida­
des de cómputo. Además, existen diversas razones por las cuales se deben estudiar los métodos 
numéricos:
1. Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. Son 
capaces de manipular sistemas de ecuaciones grandes, manejar no linealidades y resolver geo­
metrías complicadas, comunes en la práctica de la ingeniería y, a menudo, imposibles de resol­
ver en forma analítica. Por lo tanto, aumentan la habilidad de quien los estudia para resolver 
problemas.
INTERPRETACIÓN
La facilidad de calcular
permite pensar holísticamente y
desarrollar la intuición; es factible
estudiar la sensibilidad y el
comportamiento del sistema
FORMULACIÓN
Exposición profunda
de la relación del
problema con las leyes
fundamentales
SOLUCIÓN
Método de la
computadora fácil
de usar
b)
INTERPRETACIÓN
Análisis profundo 
limitado por una 
solución que 
consume tiempo
FORMULACIÓN
Leyes fundamentales 
explicadas 
brevemente 
SOLUCIÓN
Métodos muy elaborados 
y con frecuencia complicados 
para hacer manejable 
el problema
a)
FiGura Pt1.1
Las tres fases en la solución de problemas 
en ingeniería en a) la era anterior a 
las computadoras y b) la era de las 
computadoras.Los tamaños de los 
recuadros indican el nivel de importancia 
que se presenta en cada fase. Las 
computadoras facilitan la implementación 
de técnicas de solución y, así, permiten un 
mayor interés sobre los aspectos creativos 
en la formulación de problemas y la 
interpretación de los resultados.
4 PARTE 1 ModElos, coMPuTAdoRAs y Análisis dEl ERRoR
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2. En el transcurso de su carrera, es posible que el lector tenga la oportunidad de utilizar paquetes 
disponibles comercialmente, o programas “enlatados” que contengan métodos numéricos. El 
uso eficiente de estos programas depende del buen entendimiento de la teoría básica en que se 
basan tales métodos.
3. Hay muchos problemas que no pueden resolverse con programas “enlatados”. Si usted es cono­
cedor de los métodos numéricos y es hábil en la programación de computadoras, entonces tiene 
la capacidad de diseñar sus propios programas para resolver los problemas, sin tener que comprar 
un software costoso.
4. Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a servirse de las computadoras. 
Es bien sabido que una forma efectiva de aprender programación consiste en escribir programas 
de computadora. Debido a que la mayoría de los métodos numéricos están diseñados para usar­
los en las computadoras, son ideales para tal propósito. Además, son especialmente adecuados 
para ilustrar el poder y las limitaciones de las computadoras. Cuando usted desarrolle en forma 
satisfactoria los métodos numéricos en computadora y los aplique para resolver los problemas 
que de otra forma resultarían inaccesibles, usted dispondrá de una excelente demostración de 
cómo las computadoras sirven para su desarrollo profesional. Al mismo tiempo, aprenderá a 
reconocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéri­
cos a gran escala.
5. Los métodos numéricos son un medio para reforzar su comprensión de las matemáticas, ya que 
una de sus funciones es convertir las matemáticas superiores en operaciones aritméticas básicas, 
de esta forma se puede profundizar en los temas que de otro modo resultarían oscuros. Esta 
perspectiva dará como resultado un aumento de su capacidad de comprensión y entendimiento 
en la materia.
 Pt1.2 antecedentes MateMáticos 
Cada parte de este libro requiere de algunos conocimientos matemáticos, por lo que el material in­
troductorio de cada parte comprende una sección que incluye los fundamentos matemáticos. Como 
la parte uno, que está dedicada a aspectos básicos sobre las matemáticas y la computación, en esta 
sección no se revisará ningún tema matemático específico. En vez de ello se presentan los temas del 
contenido matemático que se cubren en este libro. Éstos se resumen en la figura PT1.2 y son:
1. Raíces de ecuaciones (figura PT1.2a). Estos problemas se relacionan con el valor de una varia­
ble o de un parámetro que satisface una ecuación no lineal. Son especialmente valiosos en 
proyectos de ingeniería, donde con frecuencia resulta imposible despejar de manera analítica los 
parámetros de las ecuaciones de diseño.
2. Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (figura PT1.2b). En esencia, se trata de problemas 
similares a los de raíces de ecuaciones, en el sentido de que están relacionados con valores que 
satisfacen ecuaciones. Sin embargo, en lugar de satisfacer una sola ecuación, se busca un con­
junto de valores que satisfaga simultáneamente un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales, 
las cuales surgen en el contexto de una gran variedad de problemas y en todas las disciplinas de 
la ingeniería. En particular, se originan a partir de modelos matemáticos de grandes sistemas de 
elementos interrelacionados, tal como estructuras, circuitos eléctricos y redes de flujo; aunque 
también se llegan a encontrar en otras áreas de los métodos numéricos como el ajuste de curvas 
y las ecuaciones diferenciales.
3. Optimización (figura PT1.2c). En estos problemas se trata de determinar el valor o los valores 
de una variable independiente que corresponden al “mejor” o al valor óptimo de una función. 
 PT1.2 AnTEcEdEnTEs MATEMáTicos 5
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FiGura Pt1.2 
Resumen de los métodos numéricos que se 
consideran en este libro.
6 PARTE 1 ModElos, coMPuTAdoRAs y Análisis dEl ERRoR
f(x)
x
Raíz
x2
x1
Solución
Mínimo
f(x)
x
Interpolación
f(x)
x
f(x)
x
Regresión
f(x)
I
a) Parte 2: Raíces de ecuaciones
Resuelva f(x) = 0 para x.
c) Parte 4: Optimización
b) Parte 3: Sistema de ecuaciones
 algebraicas lineales 
Dadas las a y las c, resolver
a11x1 + a12x2 = c1
a21x1 + a22x2 = c2
para las x.
Determine la x que da el óptimo de f(x).
e) Parte 6: Integración
I = ab f (x) dx
Encuentre el área bajo la curva.
d) Parte 5: Ajuste de curvas
x
y
x
g) Parte 8: Ecuaciones diferenciales
parciales. Dada
determine u como función de
x y y
= f (x, y)
2u
x2
2u
y2
+
t
Pendiente =
f(ti, yi)
y
t
ti ti + 1
f ) Parte 7: Ecuaciones diferenciales
ordinarias. Dada
resolver para y como función de t.
yi + 1 = yi + f (ti, yi) t
 = f (t, y)
dy
dt
y
t
y
x
g) Parte 8: Ecuaciones diferenciales
parciales. Dada
determine u como función de
x y y
= f (x, y)
2u
x2
2u
y2
+
t
Pendiente =
f(ti, yi)
y
t
ti ti + 1
f ) Parte 7: Ecuaciones diferenciales
ordinarias. Dada
resolver para y como función de t.
yi + 1 = yi + f (ti, yi) t
 = f (t, y)
dy
dt
y
t
f(x)
x
Raíz
x2
x1
Solución
Mínimo
f(x)
x
Interpolación
f(x)
x
f(x)
x
Regresión
f(x)
I
a) Parte 2: Raíces de ecuaciones
Resuelva f(x) = 0 para x.
c) Parte 4: Optimización
b) Parte 3: Sistema de ecuaciones
 algebraicas lineales 
Dadas las a y las c, resolver
a11x1 + a12x2 = c1
a21x1 + a22x2 = c2
para las x.
Determine la x que da el óptimo de f(x).
e) Parte 6: Integración
I = ab f (x) dx
Encuentre el área bajo la curva.
d) Parte 5: Ajuste de curvas
x
f(x)
x
Raíz
x2
x1
Solución
Mínimo
f(x)
x
Interpolación
f(x)
x
f(x)
x
Regresión
f(x)
I
a) Parte 2: Raíces de ecuaciones
Resuelva f(x) = 0 para x.
c) Parte 4: Optimización
b) Parte 3: Sistema de ecuaciones
 algebraicas lineales 
Dadas las a y las c, resolver
a11x1 + a12x2 = c1
a21x1 + a22x2 = c2
para las x.
Determine la x que da el óptimo de f(x).
e) Parte 6: Integración
I = ab f (x) dx
Encuentre el área bajo la curva.
d) Parte 5: Ajuste de curvas
x
f(x)
x
Raíz
x2
x1
Solución
Mínimo
f(x)
x
Interpolación
f(x)
x
f(x)
x
Regresión
f(x)
I
a) Parte 2: Raíces de ecuaciones
Resuelva f(x) = 0 para x.
c) Parte 4: Optimización
b) Parte 3: Sistema de ecuaciones
 algebraicas lineales 
Dadas las a y las c, resolver
a11x1 + a12x2 = c1
a21x1 + a22x2 = c2
para las x.
Determine la x que da el óptimo de f(x).
e) Parte 6: Integración
I = ab f (x) dx
Encuentre el área bajo la curva.
d) Parte 5: Ajuste de curvas
x
f(x)
x
Raíz
x2
x1
Solución
Mínimo
f(x)
x
Interpolación
f(x)
x
f(x)
x
Regresión
f(x)
I
a) Parte 2: Raíces de ecuaciones
Resuelva f(x) = 0 para x.
c) Parte 4: Optimización
b) Parte 3: Sistema de ecuaciones
 algebraicas lineales 
Dadas las a y las c, resolver
a11x1 + a12x2 = c1
a21x1 + a22x2 = c2
para las x.
Determine la x que da el óptimo de f(x).
e) Parte 6: Integración
I = ab f (x) dx
Encuentre el área bajo la curva.
d) Parte 5: Ajuste de curvas
x
f(x)
x
Raíz
x2
x1
Solución
Mínimo
f(x)
x
Interpolación
f(x)
x
f(x)
x
Regresión
f(x)
I
a) Parte 2: Raíces de ecuaciones
Resuelva f(x) = 0 para x.
c) Parte 4: Optimización
b) Parte 3: Sistema de ecuaciones
 algebraicas lineales 
Dadas las a y las c, resolver
a11x1 + a12x2 = c1
a21x1 + a22x2 = c2
para las x.
Determine la x que da el óptimo de f(x).
e) Parte 6: Integración
I = ab f (x) dx
Encuentre el área bajo la curva.
d) Parte 5: Ajuste de curvas
x
f(x)
x
Raíz
x2
x1
Solución
Mínimo
f(x)
x
Interpolación
f(x)
x
f(x)
x
Regresión
f(x)
I
a) Parte 2: Raíces de ecuaciones
Resuelva f(x) = 0 para x.
c) Parte 4: Optimizaciónb) Parte 3: Sistema de ecuaciones
 algebraicas lineales 
Dadas las a y las c, resolver
a11x1 + a12x2 = c1
a21x1 + a22x2 = c2
para las x.
Determine la x que da el óptimo de f(x).
e) Parte 6: Integración
I = ab f (x) dx
Encuentre el área bajo la curva.
d) Parte 5: Ajuste de curvas
x
f(x)
x
Raíz
x2
x1
Solución
Mínimo
f(x)
x
Interpolación
f(x)
x
f(x)
x
Regresión
f(x)
I
a) Parte 2: Raíces de ecuaciones
Resuelva f(x) = 0 para x.
c) Parte 4: Optimización
b) Parte 3: Sistema de ecuaciones
 algebraicas lineales 
Dadas las a y las c, resolver
a11x1 + a12x2 = c1
a21x1 + a22x2 = c2
para las x.
Determine la x que da el óptimo de f(x).
e) Parte 6: Integración
I = ab f (x) dx
Encuentre el área bajo la curva.
d) Parte 5: Ajuste de curvas
x
y
x
g) Parte 8: Ecuaciones diferenciales
parciales. Dada
determine u como función de
x y y
= f (x, y)
2u
x2
2u
y2
+
t
Pendiente =
f(ti, yi)
y
t
ti ti + 1
f ) Parte 7: Ecuaciones diferenciales
ordinarias. Dada
resolver para y como función de t.
yi + 1 = yi + f (ti, yi) t
 = f (t, y)
dy
dt
y
t
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De manera que, como se observa en la figura PT1.2c, la optimización considera la identificación 
de máximos y mínimos. Tales problemas se presentan comúnmente en el contexto del diseño en 
ingeniería. También surgen en otros métodos numéricos. Nosotros nos ocuparemos de la opti­
mización tanto para una sola variable sin restricciones como para varias variables sin restriccio­
nes. También describiremos la optimización restringida dando especial énfasis a la programación 
lineal.
4. Ajuste de curvas (figura PT1.2d). A menudo se tendrá que ajustar curvas a un conjunto de datos 
representados por puntos. Las técnicas desarrolladas para tal propósito se dividen en dos cate­
gorías generales: regresión e interpolación. La primera se emplea cuando hay un significativo 
grado de error asociado con los datos; con frecuencia los datos experimentales son de este tipo. 
Para estas situaciones, la estrategia es encontrar una curva que represente la tendencia general 
de los datos, sin necesidad de tocar los puntos individuales. En contraste, la interpolación se 
utiliza cuando el objetivo es determinar valores intermedios entre datos que estén, relativamen­
te, libres de error. Tal es el caso de la información tabulada. En dichas situaciones, la estrategia 
consiste en ajustar una curva directamente mediante los puntos obtenidos como datos y usar la 
curva para predecir valores intermedios.
5. Integración (figura PT1.2e). Como hemos representado gráficamente, la interpretación de la 
integración numérica es la determinación del área bajo la curva. La integración tiene diversas 
aplicaciones en la práctica de la ingeniería, que van desde la determinación de los centroides de 
objetos con formas extrañas, hasta el cálculo de cantidades totales basadas en conjuntos de 
medidas discretas. Además, las fórmulas de integración numérica desempeñan un papel impor­
tante en la solución de ecuaciones diferenciales.
6. Ecuaciones diferenciales ordinarias (figura PT1.2f). Éstas tienen una enorme importancia en 
la práctica de la ingeniería, lo cual se debe a que muchas leyes físicas están expresadas en 
términos de la razón de cambio de una cantidad, más que en términos de la cantidad misma. 
Entre los ejemplos tenemos desde los modelos de predicción demográfica (razón de cambio de 
la población), hasta la aceleración de un cuerpo que cae (razón de cambio de la velocidad). Se 
tratan dos tipos de problemas: problemas con valor inicial y problemas con valores en la fron­
tera. Además veremos el cálculo de valores propios.
7. Ecuaciones diferenciales parciales (figura PT1.2g). Las ecuaciones diferenciales parciales sirven 
para caracterizar sistemas de ingeniería, en los que el comportamiento de una cantidad física se 
expresa en términos de su razón de cambio con respecto a dos o más variables independientes. 
Entre los ejemplos tenemos la distribución de temperatura en estado estacionario sobre una 
placa caliente (espacio bidimensional) o la temperatura variable con el tiempo de una barra 
caliente (tiempo y una dimensión espacial). Para resolver numéricamente las ecuaciones dife­
renciales parciales se emplean dos métodos bastante diferentes. En el presente texto haremos 
énfasis en los métodos de las diferencias finitas que aproximan la solución usando puntos dis­
cretos (figura PT1.2g). No obstante, también presentaremos una introducción a los métodos de 
elementos finitos, los cuales usan una aproximación con piezas discretas.
 Pt1.3 orientación 
Resulta útil esta orientación antes de proceder a la introducción de los métodos numéricos. Lo que 
sigue está pensado como una vista general del material contenido en la parte uno. Se incluyen, 
además, algunos objetivos como ayuda para concentrar el esfuerzo del lector en el estudio de los 
temas.
 PT1.3 oRiEnTAciÓn 7
Chapra-01.indd 7 3/11/10 13:27:00
Pt1.3.1 alcance y presentación preliminar
La figura PT1.3 es una representación esquemática del material contenido en la parte uno. Este 
diagrama se elaboró para ofrecer un panorama global de esta parte del libro. Se considera que un 
sentido de “imagen global” resulta importante para desarrollar una verdadera comprensión de los 
métodos numéricos. Al leer un texto es posible que se pierda uno en los detalles técnicos. Siempre 
que el lector perciba que está perdiendo la “imagen global” vuelva a la figura PT1.3 para orientarse 
nuevamente. Cada parte de este libro contiene una figura similar.
La figura PT1.3 también sirve como una breve revisión inicial del material que se cubre en la 
parte uno. El capítulo 1 está diseñado para orientarle en los métodos numéricos y para motivarlo 
mostrándole cómo se utilizan dichas técnicas, en el proceso de elaborar modelos matemáticos apli­
cados a la ingeniería. El capítulo 2 es una introducción y un repaso de los aspectos de computación 
que están relacionados con los métodos numéricos y presenta las habilidades de programación que 
se deben adquirir para explotar de manera eficiente la siguiente información. Los capítulos 3 y 4 se 
ocupan del importante tema del análisis del error, que debe entenderse bien para el uso efectivo de los 
métodos numéricos. Además, se incluye un epílogo que presenta los elementos de juicio que tienen 
una gran importancia para el uso efectivo de los métodos numéricos.
Pt1.3.2 Metas y objetivos 
Objetivos de estudio. Al terminar la parte uno el lector deberá estar preparado para aventurarse 
en los métodos numéricos. En general, habrá adquirido una comprensión fundamental de la impor­
tancia de las computadoras y del papel que desempeñan las aproximaciones y los errores en el uso 
y desarrollo de los métodos numéricos. Además de estas metas generales, deberá dominar cada uno 
de los objetivos de estudio específicos que se muestran en la tabla PT1.1.
8 PARTE 1 ModElos, coMPuTAdoRAs y Análisis dEl ERRoR
taBla Pt1.1 Objetivos específicos de estudio de la parte uno.
 1. Reconocer la diferencia entre soluciones analíticas y numéricas.
 2. Entender cómo las leyes de conservación se emplean para desarrollar modelos matemáticos de sistemas físicos.
 3. Definir diseño modular y top-down.
 4. Definir las reglas para la programación estructurada.
 5. Ser capaz de elaborar programas estructurados y modulares en un lenguaje de alto nivel.
 6. Saber cómo se traducen los diagramas de flujo estructurado y el pseudocódigo al código de un lenguaje de alto 
nivel.
 7. Empezar a familiarizarse con cualquier software que usará junto con este texto.
 8. Reconocer la diferencia entre error de truncamiento y error de redondeo.
 9. Comprender los conceptos de cifras significativas, exactitud y precisión.
 10. Conocer la diferencia entre error relativo verdadero ev, error relativo aproximado ea y error aceptable es y 
entender cómo ea y es sirven para terminar un proceso iterativo.
 11. Entender cómo se representan los números en las computadorasy cómo tal representación induce errores de 
redondeo. En particular, conocer la diferencia entre precisión simple y extendida.
 12. Reconocer cómo la aritmética de la computadora llega a presentar y amplificar el error de redondeo en los 
cálculos. En particular, apreciar el problema de la cancelación por sustracción.
 13. Saber cómo la serie de Taylor y su residuo se emplean para representar funciones continuas.
 14. Conocer la relación entre diferencias finitas divididas y derivadas.
 15. Ser capaz de analizar cómo los errores se propagan a través de las relaciones funcionales.
 16. Estar familiarizado con los conceptos de estabilidad y condición.
 17. Familiarizarse con las consideraciones que se describen en el epílogo de la parte uno.
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Objetivos de cómputo. Al terminar de estudiar la parte uno, usted deberá tener suficientes habi­
lidades en computación para desarrollar su propio software para los métodos numéricos de este 
texto. También será capaz de desarrollar programas de computadora bien estructurados y confiables 
basándose en pseudocódigos, diagramas de flujo u otras formas de algoritmo. Usted deberá desa­
rrollar la capacidad de documentar sus programas de manera que sean utilizados en forma eficiente 
por otros usuarios. Por último, además de sus propios programas, usted deberá usar paquetes de 
software junto con este libro. Programas como Excel, Mathcad o MATLAB®, de The Math Works, 
Inc., son ejemplos de dicho software. Usted deberá estar familiarizado con ellos, ya que será más 
cómodo utilizarlos para resolver después los problemas numéricos de este texto.
CAPÍTULO 1
Modelos
matemáticos 
y solución de
problemas en
ingeniería
PARTE 1
Modelos, 
computadoras 
y análisis 
del error
CAPÍTULO 2
Programación
y software
CAPÍTULO 3
Aproximaciones
y errores
de redondeo
CAPÍTULO 4
Errores de
truncamiento
y la serie de Taylor
EPÍLOGO
2.7
Otros lenguajes
y bibliotecas
2.5
MATLAB
2.4
Excel
2.3
Programación
modular
2.2
Programación
estructurada
2.1
Paquetes y
programación
PT1.2
Antecedentes
matemáticos
PT1.6
Métodos
avanzados
PT1.5
Fórmulas
importantes
4.4
Varios tipos
de error
4.3
Error numérico
total
4.2
Propagación
del error
4.1
La serie
de Taylor
3.4
Errores de
redondeo
3.1
Cifras
significativas
3.3
Definiciones
de error
3.2
Exactitud
y precisión
PT1.4
Alternativas
PT1.3
Orientación
PT1.1
Motivación
1.2
Leyes de
conservación
1.1
Un modelo
simple
2.6
Mathcad
FiGura Pt1.3
Esquema de la organización del material en la parte uno: Modelos, computadoras y análisis del error.
 PT1.3 oRiEnTAciÓn 9
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CAPÍTULO 1
Modelos matemáticos y solución 
de problemas en ingeniería 
El conocimiento y la comprensión son prerrequisitos para la aplicación eficaz de cualquier herra­
mienta. Si no sabemos cómo funcionan las herramientas, por ejemplo, tendremos serios problemas 
para reparar un automóvil, aunque la caja de herramientas sea de lo más completa. 
Ésta es una realidad, particularmente cuando se utilizan computadoras para resolver problemas 
de ingeniería. Aunque las computadoras tienen una gran utilidad, son prácticamente inútiles si no 
se comprende el funcionamiento de los sistemas de ingeniería. 
Esta comprensión inicialmente es empírica —es decir, se adquiere por observación y experi­
mentación—. Sin embargo, aunque esta información obtenida de manera empírica resulta esencial, 
sólo estamos a la mitad del camino. Durante muchos años de observación y experimentación, los 
ingenieros y los científicos han advertido que ciertos aspectos de sus estudios empíricos ocurren una 
y otra vez. Este comportamiento general puede expresarse como las leyes fundamentales que en­
globa, en esencia, el conocimiento acumulado de la experiencia pasada. Así, muchos problemas de 
ingeniería se resuelven con el empleo de un doble enfoque: el empirismo y el análisis teórico (figu­
ra 1.1). 
Debe destacarse que ambos están estrechamente relacionados. Conforme se obtienen nuevas 
mediciones, las generalizaciones llegan a modificarse o aun a descubrirse otras nuevas. De igual 
manera, las generalizaciones tienen una gran influencia en la experimentación y en las observacio­
nes. En lo particular, las generalizaciones sirven para organizar principios que se utilizan para sin­
tetizar los resultados de observaciones y experimentos en un sistema coherente y comprensible, del 
que se pueden obtener conclusiones. Desde la perspectiva de la solución de un problema de ingenie­
ría, el sistema es aún más útil cuando el problema se expresa por medio de un modelo matemático. 
El primer objetivo de este capítulo consiste en introducir al lector a la modelación matemática 
y su papel en la solución de problemas en ingeniería. Se mostrará también la forma en que los mé­
todos numéricos figuran en el proceso. 
 1.1 UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE
Un modelo matemático se define, de manera general, como una formulación o una ecuación que 
expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos. 
En general, el modelo se representa mediante una relación funcional de la forma: 
 Variable variables funciones 
dependiente 
= f independientes, parámetros, de fuerza (1.1)
donde la variable dependiente es una característica que generalmente refleja el comportamiento o 
estado de un sistema; las variables independientes son, por lo común, dimensiones tales como tiem­
po y espacio, a través de las cuales se determina el comportamiento del sistema; los parámetros son 
CAPÍTULO 1
Chapra-01.indd 10 24/11/10 11:31:47
el reflejo de las propiedades o la composición del sistema, y las 
funciones de fuerza son influencias externas que actúan sobre el 
sistema. 
La expresión matemática de la ecuación (1.1) va desde una 
simple relación algebraica hasta un enorme y complicado grupo 
de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, a través de sus obser­
vaciones, Newton formuló su segunda ley del movimiento, la cual 
establece que la razón de cambio del momentum con respecto al 
tiempo de un cuerpo, es igual a la fuerza resultante que actúa 
sobre él. La expresión matemática, o el modelo, de la segunda 
ley es la ya conocida ecuación 
 F = ma (1.2)
donde F es la fuerza neta que actúa sobre el objeto (N o kg m/s2), 
m es la masa del objeto (kg) y a es su aceleración (m/s2). 
La segunda ley puede escribirse en el formato de la ecuación 
(1.1), dividiendo, simplemente, ambos lados entre m para obtener 
 a
F
m
= (1.3)
donde a es la variable dependiente que refleja el comportamien­
to del sistema, F es la función de fuerza y m es un parámetro que 
representa una propiedad del sistema. Observe que en este caso 
específico no existe variable independiente porque aún no se predice cómo varía la aceleración con 
respecto al tiempo o al espacio. 
La ecuación (1.3) posee varias de las características típicas de los modelos matemáticos del 
mundo físico: 
1. Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos. 
2. Representa una idealización y una simplificación de la realidad. Es decir, ignora los detalles 
insignificantes del proceso natural y se concentra en sus manifestaciones esenciales. Por ende, 
la segunda ley de Newton no incluye los efectos de la relatividad, que tienen una importancia 
mínima cuando se aplican a objetos y fuerzas que interactúan sobre o alrededor de la superficie 
de la Tierra, a velocidades y en escalas visibles a los seres humanos.
3. Finalmente, conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia, llega a emplearse con la 
finalidad de predecir. Por ejemplo, dada la fuerza aplicada sobre un objeto de masa conocida, la 
ecuación (1.3) se emplea para calcular la aceleración. 
Debido a su forma algebraica sencilla, la solución de la ecuación (1.2) se obtiene con facilidad. 
Sin embargo, es posible que otros modelos matemáticos de fenómenos físicos sean mucho más 
complejos y no se resuelvan con exactitud, o que requieranpara su solución de técnicas matemáticas 
más sofisticadas que la simple álgebra. Para ilustrar un modelo más complicado de este tipo, se 
Instauración
Resultados
numéricos
o gráficos
Modelo
matemático
Definición
del problema
TEORÍA DATOS
Herramientas para resolver 
problemas: computadoras, 
estadística, métodos numéricos,
gráficas, etcétera.
Relaciones grupales: 
programación, optimización, 
comunicación, interacción 
pública, etcétera.
FiGura 1.1
Proceso de solución de problemas en ingeniería. 
 1.1 un ModElo MATEMáTico siMPlE 11
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12 cAPíTulo 1 ModElos MATEMáTicos y soluciÓn dE PRoblEMAs En ingEniERíA 
utiliza la segunda ley de Newton para determinar la velocidad final de la caída libre de 
un cuerpo que se encuentra cerca de la superficie de la Tierra. Nuestro cuerpo en caída 
libre será el de un paracaidista (figura 1.2). Un modelo para este caso se obtiene expre­
sando la aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo 
(dv/dt), y sustituyendo en la ecuación (1.3). Se tiene 
 d
dt
F
m
v = (1.4)
donde v es la velocidad (m/s) y t es el tiempo (s). Así, la masa multiplicada por la razón 
de cambio de la velocidad es igual a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo. Si la fuer­
za neta es positiva, el cuerpo se acelerará. Si es negativa, el cuerpo se desacelerará. Si la 
fuerza neta es igual a cero, la velocidad del cuerpo permanecerá constante. 
Ahora expresemos la fuerza neta en términos de variables y parámetros mensurables. 
Para un cuerpo que cae a distancias cercanas a la Tierra (figura 1.2), la fuerza total está 
compuesta por dos fuerzas contrarias: la atracción hacia abajo debida a la gravedad FD 
y la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire FU:
 F = FD + FU (1.5)
Si a la fuerza hacia abajo se le asigna un signo positivo, se usa la segunda ley de 
Newton para expresar la fuerza debida a la gravedad como 
 FD = mg (1.6) 
donde g es la constante gravitacional, o la aceleración debida a la gravedad, que es 
aproximadamente igual a 9.8 m/s2. 
La resistencia del aire puede expresarse de varias maneras. Una forma sencilla 
consiste en suponer que es linealmente proporcional a la velocidad,1 y que actúa en dirección hacia 
arriba tal como
FU = –cv (1.7)
donde c es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de arrastre (o resistencia) (kg/s). 
Así, cuanto mayor sea la velocidad de caída, mayor será la fuerza hacia arriba debida a la resistencia 
del aire. El parámetro c toma en cuenta las propiedades del objeto que cae, tales como su forma o la 
aspereza de su superficie, que afectan la resistencia del aire. En este caso, c podría ser función del 
tipo de traje o de la orientación usada por el paracaidista durante la caída libre. 
La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba. Por lo 
tanto, combinando las ecuaciones (1.4) a (1.7), se obtiene
d
dt
mg c
m
v v= – (1.8)
o simplificando el lado derecho de la igualdad,
d
dt
g
c
m
v
v= – (1.9)
FiGura 1.2
Representación esquemática 
de las fuerzas que actúan 
sobre un paracaidista en 
descenso. FD es la fuerza 
hacia abajo debida a la 
atracción de la gravedad. 
FU es la fuerza hacia arriba 
debida a la resistencia del 
aire. 
FU
FD
1 De hecho, la relación es realmente no lineal y podría ser representada mejor por una relación con potencias como FU = –cv 2. 
Al final de este capítulo investigaremos, en un ejercicio, de qué manera influyen estas no linealidades en el modelo. 
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 1.1 un ModElo MATEMáTico siMPlE 13
La ecuación (1.9) es un modelo que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae con las fuerzas 
que actúan sobre él. Se trata de una ecuación diferencial porque está escrita en términos de la razón 
de cambio diferencial (dv/dt) de la variable que nos interesa predecir. Sin embargo, en contraste con 
la solución de la segunda ley de Newton en la ecuación (1.3), la solución exacta de la ecuación (1.9) 
para la velocidad del paracaidista que cae no puede obtenerse mediante simples manipulaciones 
algebraicas. Siendo necesario emplear técnicas más avanzadas, del cálculo, para obtener una solución 
exacta o analítica. Por ejemplo, si inicialmente el paracaidista está en reposo (v = 0 en t = 0), se 
utiliza el cálculo integral para resolver la ecuación (1.9), así
v( ) ( – )–( / )t
gm
c
e c m t= 1 (1.10)
Note que la ecuación (1.10) es un ejemplo de la forma general de la ecuación (1.1), donde v(t) es la va­
riable dependiente, t es la variable independiente, c y m son parámetros, y g es la función de fuerza. 
EJEMPLO 1.1 Solución analítica del problema del paracaidista que cae
Planteamiento del problema. Un paracaidista con una masa de 68.1 kg salta de un globo aeros­
tático fijo. Aplique la ecuación (1.10) para calcular la velocidad antes de que se abra el paracaídas. 
Considere que el coeficiente de arrastre es igual a 12.5 kg/s. 
Solución. Al sustituir los valores de los parámetros en la ecuación (1.10) se obtiene 
v( )
. ( . )
.
( – ) . ( – )–( . / . ) – .t e et t= =9 8 68 1
12 5
1 53 39 112 5 68 1 0 18355
que sirve para calcular la velocidad del paracaidista a diferentes tiem­
pos, tabulando se tiene el cuadro de la derecha.
 De acuerdo con el modelo, el paracaidista acelera rápidamente (fi­
gura 1.3). Se alcanza una velocidad de 44.87 m/s (100.4 mi/h) después 
de 10 s. Observe también que, después de un tiempo suficientemente 
grande, alcanza una velocidad constante llamada velocidad terminal 
o velocidad límite de 53.39 m/s (119.4 mi/h). Esta velocidad es cons­
tante porque después de un tiempo la fuerza de gravedad estará en 
equilibrio con la resistencia del aire. Entonces, la fuerza total es cero 
y cesa la aceleración. 
A la ecuación (1.10) se le llama solución analítica o exacta ya que satisface con exactitud la 
ecuación diferencial original. Por desgracia, hay muchos modelos matemáticos que no pueden re­
solverse con exactitud. En muchos de estos casos, la única alternativa consiste en desarrollar una 
solución numérica que se aproxime a la solución exacta. 
Como ya se mencionó, los métodos numéricos son aquellos en los que se reformula el problema 
matemático para lograr resolverlo mediante operaciones aritméticas. Esto puede ilustrarse para el 
caso de la segunda ley de Newton, observando que a la razón de cambio de la velocidad con respec­
to al tiempo se puede aproximar mediante (figura 1.4): 
d
dt t
t t
t t
i i
i i
v v v v≅ = +
+
∆
∆
( ) – ( )
–
1
1
 (1.11)
t, s v, m/s 
 0 0.00
 2 16.40
 4 27.77
 6 35.64
 8 41.10
 10 44.87
 12 47.49 
 • 53.39 
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14 cAPíTulo 1 ModElos MATEMáTicos y soluciÓn dE PRoblEMAs En ingEniERíA 
0
0
20
40
4 8 12
t, s
u,
 m
/s
Velocidad terminal
FiGura 1.4
Uso de una diferencia finita para aproximar la primera derivada 
de v con respecto a t. 
u(ti +1)
u(ti )
u
Pendiente
verdadera
du/dt
Pendiente
aproximada
u
t
u(ti +1) – u(ti )
ti +1 – ti 
=
ti +1ti t
t
FiGura 1.3
Solución analítica al problema del paracaidista que cae según se 
calcula en el ejemplo 1.1. La velocidad aumenta con el tiempo y 
tiende asintóticamente a una velocidad terminal. 
donde Δv y Δt son diferencias en la velocidad y en 
el tiempo, respectivamente, calculadas sobre inter­
valos finitos, v(ti) es la velocidad en el tiempo inicial 
ti, y v(ti+1) es la velocidad algún tiempo más tarde 
ti + l. Observe que dv/dt ≅ Δv/Δt es aproximado por­
que Δt es finito. Recordando los cursos de cálculo 
tenemos que 
 
d
dt tt
v v=
→
lím
∆
∆
∆0
La ecuación (1.11) representa el proceso inverso. 
A la ecuación (1.11) se le denomina una aproxi­
mación en diferencia finita dividida de la derivada 
en el tiempo ti. Sustituyendo en la ecuación (1.9), 
tenemos
 
v v
v
( ) – ( )
–
– ( )
t t
t t
g
c
m
ti i
i i
i
+
+
=1
1
Esta ecuación se reordena para obtener
 v v v( ) ( ) – ( ) ( – )t t g
c
m
t t ti ii i i+ += +



1 1
 (1.12)
Note que el término entre corchetes es el lado 
derecho de la propia ecuación diferen cial [ecuación 
(1.9)]. Es decir, este término nos da un medio para 
calcular la razón de cambio o la pendiente de v. Así, 
la ecuación diferencial se ha transformado en una 
ecuación que puede utilizarse para determinar alge­
braicamente la velocidad en ti+1, usando la pendien­
te y los valores anteriores de v y t. Si se da un valor 
inicial para la velocidad en algún tiempo ti, es posi­
ble calcular con facilidad la velocidad en un tiempo 
posterior ti+1. Este nuevo valor de la velocidad en ti+1 
sirve para calcular la velocidad en ti+2 y así sucesi­
vamente. Es decir, a cualquier tiempo, 
 valor 
=
 
valor anterior + pendiente × 
tamaño 
 nuevo del paso 
Observe que esta aproximación formalmente se co­
noce como método de Euler.
Chapra-01.indd 14 3/11/10 13:27:04
 1.2 lEyEs dE consERVAciÓn E ingEniERíA 15
EJEMPLO 1.2 Solución numérica al problema de la caída de un paracaidista 
Planteamiento del problema. Realice el mismo cálculo que en el ejemplo 1.1, pero usando la 
ecuación (1.12) para obtener la velocidad. Emplee un tamaño de paso de 2 s para el cálculo. 
Solución. Al empezar con los cálculos (ti = 0), la velocidad del paracaidista es igual a cero. Con 
esta información y los valores de los parámetros del ejemplo 1.1, se utiliza la ecuación (1.12) para 
calcular la velocidad en ti+l = 2 s: 
v = + 



=0 9 8 12 5
68 1
0 2 19 60. –
.
.
( ) . m/s
 
Para el siguiente intervalo (de t = 2 a 4 s) se repite el cálculo y se obtiene
v = + 



=19 60 9 8 12 5
68 1
19 60 2 32 00. . –
.
.
( . ) . m/s
Se continúa con los cálculos de manera similar para obtener los valores de 
la tabla de la derecha.
Los resultados se muestran gráficamente en la figura 1.5, junto con la 
solución exacta. Como se puede ver, el método numérico se aproxima bas­
tante a la solución exacta. Sin embargo, debido a que se emplean segmentos 
de rectas para aproximar una función que es una curva continua, hay algu­
nas diferencias entre los dos resultados. Una forma de reducir estas dife­
rencias consiste en usar un tamaño de paso menor. Por ejemplo, si se aplica 
la ecuación (1.12) con intervalos de 1 s, se obtendría un error menor, ya que 
los segmentos de recta estarían un poco más cerca de la verdadera solución. 
Con los cálculos manuales, el esfuerzo asociado al usar incrementos cada vez más pequeños haría 
poco prácticas tales soluciones numéricas. No obstante, con la ayuda de una compu tadora personal 
es posible efectuar fácilmente un gran número de cálculos; por lo tanto, se puede modelar con más 
exactitud la velocidad del paracaidista que cae, sin tener que resolver la ecuación diferencial en 
forma analítica. 
Como se vio en el ejemplo anterior, obtener un resultado numérico más preciso tiene un costo 
en términos del número de cálculos. Cada división a la mitad del tamaño de paso para lograr mayor 
precisión nos lleva a duplicar el número de cálculos. Como vemos, existe un costo inevitable entre 
la exactitud y la cantidad de operaciones. Esta relación es de gran importancia en los métodos nu­
méricos y constituyen un tema relevante de este libro. En consecuencia, hemos dedicado el epílogo 
de la parte uno para ofrecer una introducción a dicho tipo de relaciones. 
 1.2 leyes de conservación e inGenierÍa 
Aparte de la segunda ley de Newton, existen otros principios importantes en ingeniería. Entre los 
más importantes están las leyes de conservación. Éstas son fundamentales en una gran variedad de 
complicados y poderosos modelos matemáticos, las leyes de conservación en la ciencia y en la in­
geniería conceptualmente son fáciles de entender. Puesto que se pueden reducir a 
Cambio = incremento – decremento (1.13)
t, s v, m/s
 0 0.00
 2 19.60
 4 32.00
 6 39.85
 8 44.82
 10 47.97
 12 49.96
 • 53.39
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16 cAPíTulo 1 ModElos MATEMáTicos y soluciÓn dE PRoblEMAs En ingEniERíA 
Éste es precisamente el formato que empleamos al 
usar la segunda ley de Newton para desarrollar un 
equilibrio de fuerzas en la caída del paracaidista 
[ecuación (1.8)]. 
Pese a su sencillez, la ecuación (1.13) represen­
ta una de las maneras fundamentales en que las leyes 
de conservación se emplean en ingeniería —esto es, 
predecir cambios con respecto al tiempo—. Nosotros 
le daremos a la ecuación (1.13) el nombre especial 
de cálculo de variable-tiempo (o transitorio). 
Además de la predicción de cambios, las leyes 
de conservación se aplican también en casos en los 
que no existe cambio. Si el cambio es cero, la ecua­
ción (1.3) será 
Cambio = 0 = incremento – decremento
o bien, 
 Incremento = decremento (1.14)
Así, si no ocurre cambio alguno, el incremento y el 
decremento deberán estar en equilibrio. Este caso, 
al que también se le da una denominación especial 
—cálculo en estado estacionario—, tiene diversas 
aplicaciones en ingeniería. Por ejemplo, para el 
flujo de un fluido incompresible en estado estacionario a través de tuberías, el flujo de entrada debe 
estar en equilibrio con el flujo de salida, esto es 
Flujo de entrada = flujo de salida
Para la unión de tuberías de la figura 1.6, esta ecuación de equilibrio se utiliza para calcular el flujo 
de salida de la cuarta tubería, que debe ser de 60. 
Para la caída del paracaidista, las condiciones 
del estado estacionario deberían corresponder al 
caso en que la fuerza total fuera igual a cero o 
[ecuación (1.8) con dv/dt = 0] 
 mg = cv (1.15)
Así, en el estado estacionario, las fuerzas hacia 
abajo y hacia arriba están equilibradas, y en la 
ecuación (1.15) puede encontrarse la velocidad 
terminal
v = mg
c
Aunque las ecuaciones (1.13) y (1.14) pueden 
parecer triviales, éstas determinan las dos maneras 
fundamentales en que las leyes de la conservación 
se emplean en ingeniería. Como tales, en los capí­
0
0
20
40
4 8 12
t, s
u,
 m
/s
Velocidad terminal
o límite
Solución analítica, exacta
Solución numérica aproximada
FiGura 1.5
Comparación de las soluciones numéricas y analíticas para el 
problema del paracaidista que cae.
Tubería 2
Flujo de entrada = 80
Tubería 3
Flujo de salida = 120
Tubería 4
Flujo de salida = ?
Tubería 1
Flujo de entrada = 100
FiGura 1.6
Equilibrio del flujo de un fluido incompresible en estado estacionario 
a través de tuberías.
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 1.2 lEyEs dE consERVAciÓn E ingEniERíA 17
tulos siguientes serán parte importante de nuestros esfuerzos por mostrar la relación entre los méto­
dos numéricos y la ingeniería. Nuestro primer medio para establecer tal relación son las aplicaciones 
a la ingeniería que aparecen al final de cada parte del libro. 
En la tabla 1.1 se resumen algunos de los modelos sencillos de ingeniería y las leyes de conser­
vación correspondientes, que constituirán la base de muchas de las aplicaciones a la ingeniería. La 
mayoría de aplicaciones de ingeniería química harán énfasis en el balance de masa para el estudio 
Estructura
Ingeniería civil Conservación del
momentum
Ingeniería
química
Campo Dispositivo Principio aplicado Expresión matemática
Conservación
de la masa
Equilibrio de fuerzas:
Ingeniería
mecánica
Conservación del
momentum
Máquina Equilibrio de fuerzas:
Ingeniería
eléctrica
Conservación
de la carga
Balance de corriente:
Conservación
de la energía
Balance de voltaje:
 Balance de masa:
Reactores Entrada Salida
En un periodo
 masa = entradas – salidas
En cada nodo
  fuerzas horizontales (FH) = 0
  fuerzas verticales (FV) = 0
En cada nodo
  corriente (i ) = 0
Alrededor de cada malla
  fems –  caída de potencial en los resistores = 0
  x –  iR = 0
– FV
+ FV
+ FH– FH
+ i2
– i3+ i1+
–
Circuito
i1R1
i3R3
i2R2 x
Fuerza hacia arriba
Fuerza hacia abajo
x = 0
m = Fuerza hacia abajo – fuerza hacia arribad
2x
dt2
taBla 1.1 Dispositivos y tipos de balances que se usan comúnmente en las cuatro grandes áreas de la ingeniería.