TED19 - T2CL1 Algebra binaria - Rebeca Jimenez Fernandez

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Contenido
UNIDAD 2 – ÁLGEBRA BINARIA
Bibliografía
Martínez S. “Principios Digitales y Circuitos Lógicos”. Capítulo 7. 
Editorial UNJu – 2º ed. Argentina. 2010.
Wakerly J.F. “DISEÑO DIGITAL. PRINCIPIOS Y PRÁCTICAS”. 
Editorial Prentice Hall. Méjico. © 2001.
Tokheim R. L. “Principios Digitales”. Editorial Mc Graw Hill. 
España. © 1990.
Técnicas y Estructuras Digitales - 2019
Profesores: Ing. Sergio L. Martínez - Ing. Víctor Sánchez R.
• Álgebra binaria.
• Elementos del álgebra binaria.
• Analogía eléctrica.
• Propiedades → Axiomas.
 Teoremas.
• Funciones lógicas.
• Tablas de verdad.
• Funciones de una variable.
• Funciones de dos variables.
• Grupos lógicos completos.
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ÁLGEBRA BINARIA
Concepto
• La denominación de álgebra binaria se debe a que 
toda su estructura se basa en un sistema de 
numeración particular como es el sistema binario, 
similarmente como ocurre con el álgebra decimal 
respecto del sistema de numeración decimal. 
• También se la conoce como álgebra de Boole o 
álgebra booleana por estar fundamentada en los 
estudios del matemático inglés George Boole.
• Otra denominación muy apropiada es la de álgebra 
de conmutación, pues proporciona las bases 
formales para el estudio y diseño de los circuitos 
lógicos, los cuales operan estrictamente en la 
conmutación de dos estados eléctricos.
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ÁLGEBRA BINARIA
Definición
 Si un conjunto b donde se han definido las 
operaciones binarias + y *, una operación ––, y dos 
elementos diferente de b identificados como 0 y 1; 
entonces la séxtupla
{b , + , * , –– , 0 , 1}
se puede denominar álgebra de Boole o álgebra bina-
ria si se cumplen los siguientes axiomas para tres 
elementos A, B y C cualesquiera, pertenecientes a b :
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ELEMENTOS DEL ÁLGEBRA BINARIA
Variables lógicas
Una variable lógica representará uno de los dos 
estados posibles y eventualmente no definidos, de la 
proposición que simbolice (verdadero o falso), de un 
determinado dispositivo (prendido o apagado) o en 
general de cualquier situación biestable (si - no).
Las variables algebraicas representan números.
Las var iab les lóg icas cont ienen un só lo b i t 
(1=verdadero, 0=falso) y representan estados de una 
proposición. Por esta razón, estos valores, dentro de 
las variables lógicas, no tienen sentido de cantidades, 
es decir, no pueden ser restados o multiplicados 
como los números en general.
Se simbolizan con cualquier carácter
A, B, C, x1, var, logic3, π, φ, …
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ELEMENTOS DEL ÁLGEBRA BINARIA
Operadores lógicos
También llamados conectivos lógicos, son los elementos que 
determinan el tipo de relación que se establecerá entre las 
variables y/o constantes que concatenen. Para el álgebra binaria 
se definen básicamente tres:
NEGACIÓN (NOT, NO o complemento): Devuelve el valor comple-
mentario de la constante, variable, variables o función lógica que 
involucre. Se representa con un suprarayado. Por ejemplo:
 Si X = 0  = 1
PRODUCTO LÓGICO (AND, Y o disyunción): Aplicado a dos o más 
variables, produce un resultado 0 (falso), cuando al menos una de 
las variables que involucre sea 0 (falso). Se representa con un 
punto, asterisco o yuxtaposición. Por ejemplo: 
 Si C = 0  A . B . C = 0
SUMA LÓGICA (OR, O ó conjunción): Aplicado a dos o más 
variables, produce un resultado 1 (verdadero), cuando al menos
una de las variables que involucre sea 1 (verdadera). Se 
representa con un [+]. Por ejemplo: 
 Si C = 1  A + B + C = 1
X
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ELEMENTOS DEL ÁLGEBRA BINARIA
Operadores lógicos combinados
Hay ciertas combinaciones entre los operadores 
primarios o simples, de uso tan frecuente, que ha 
dado lugar a la definición de otros operadores 
que se denominan secundarios, combinados o 
dobles y son:
NAND o NO-Y: Es la negación del producto lógico.
NOR o NO-O: Es la negación de la suma lógica.
XOR: También denominado O-exclusiva, se representa 
con el símbolo [].
XNOR: También conocido como coincidencia, 
comparación o equivalencia, se representa con 
el símbolo [] o [].
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ELEMENTOS DEL ÁLGEBRA BINARIA
Compuertas lógicas
• El fundamento de la teoría lógica se basa en la 
necesidad de estudiar y resolver las situaciones 
que se plantean en forma simbólica o gráfica.
• Cada uno de los operadores tiene una representa-
ción gráfica llamadas compuertas lógicas.
• Permiten representar a las variables y los 
operadores lógicos que las relacionan en forma 
gráfica o circuital. Estas son
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ANALOGÍA ELÉCTRICA
Un 0 se representa con un contacto o interruptor abierto. 
Un 1 se representa con un contacto o interruptor 
cerrado.
La suma lógica se representa con contactos en paralelo y 
el producto lógico se representa con contactos en serie.
La negación puede representarse como dos contactos 
para cada variable, mecánicamente ligados, donde uno 
está abierto y el otro cerrado.
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PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA BINARIA
Axiomas
LEYES CONMUTATIVAS: El orden en que sean operadas las 
variables no altera el resultado.
LEYES DISTRIBUTIVAS: La propiedad distributiva es válida 
tanto del producto respecto de la suma, como de la 
suma respecto del producto. Nótese que la segunda de 
estas propiedades no es válida en el álgebra decimal. 
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Axiomas
LEYES ASOCIATIVAS
LEYES DE TAUTOLOGÍA: Toda variable o función lógica 
operada mediante la suma o producto lógico con su ele-
mento neutro, produce la misma variable o función 
lógica. Para la suma lógica el elemento neutro es cero. 
Para el producto lógico el elemento neutro es uno.
PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA BINARIA
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Axiomas
LEYES DEL COMPLEMENTO: Toda variable o función operada, 
a través de la suma o producto lógico, con la negación de sí 
misma, produce el complemento de su elemento neutro 
LEYES DE IDEMPOTENCIA: Toda variable o función operada 
por si misma, a través de la suma o producto lógico, da 
como resultado la misma variable o función. 
PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA BINARIA
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Axiomas
LEYES DE INVARIANZA: Toda variable o función operada con 
su elemento neutro complementado produce ese mismo 
elemento. 
LEY DE INVOLUCIÓN: Toda variable o función lógica negada 
dos veces da como resultado la misma variable o función.
Primer 
corolario
Segundo 
corolario
PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA BINARIA
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Teoremas
LEY DE DUALIDAD: Todas las identidades que se establecen 
para el álgebra binaria permanecen como tales si se 
reemplazan ceros por unos y viceversa y suma por producto 
lógico y viceversa (Como demostración de esta ley se 
observan todas las leyes duales mostradas).
LEYES DE ABSORCIÓN
PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA BINARIA
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Teoremas – Leyes de De Morgan
PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA BINARIA
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Teoremas – Leyes de De Morgan
PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA BINARIA
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Teoremas – Leyes de De Morgan
PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA BINARIA
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FUNCIONES LÓGICAS
Definición
Es la relación que se establece entre una o más variables 
lógicas (identificadas como independientes o de entrada), 
mediante los operadores lógicos, cuyo resultado se 
asigna a una nueva variable lógica (identificada como 
dependiente o de salida). 
F(A,B,C)=(A +B.C).C
Variable dependiente
Argumento
Variables independientes
Operadores
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Tabla de verdad
Es una organización tabular que contiene todas las posibles 
combinaciones de valoresque pueden establecerse entre 
las variables de entrada y los correspondientes valores que 
asume la o las variables de salida.
FUNCIONES LÓGICAS
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Tabla de verdad – Otros formatos
T.V. extendida: Contiene los resultados parciales de la función 
para facilitar el cálculo.
T.V. horizontal: Ocupa menos espacio.
T.V. no gráfica: Se representa en forma numérica sin una 
estructura gráfica. Útil en programación.
(XYZ,F) = (000,1) (001,1) (010,0) (011,0) (100,0) (101,0)
 (110,1) (111,1) 
FUNCIONES LÓGICAS
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Funciones básicas de una variable
F = f(A)
FUNCIONES LÓGICAS
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Fu
nc
io
ne
s 
bá
si
ca
s
de
 d
os
 v
ar
ia
bl
es
F = f(A,B)
FUNCIONES LÓGICAS
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Ejemplo de función básica
Función O-Exclusiva
• También llamada XOR, se define para dos variables 
como la función que asume una condición verdadera (1) 
cuando las variables presentan distintos estados. 
• Definida para más de dos variables es la función que 
asume una condición verdadera (1) cuando hay un 
número impar de variables en estado (1).
FUNCIONES LÓGICAS
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Ejemplo de función básica
Función NOR-Exclusiva 
• Conocida también como coincidencia, equivalencia o 
XNOR, resulta de la negación de la función XOR. 
• Se define para dos variables como la función que asume 
un estado verdadero (1) cuando las variables presentan 
los mismos estados. 
• Para más de dos variables, es la función que asume un 
estado verdadero (1) cuando hay un número par de 
variables que se encuentren en este estado.
FUNCIONES LÓGICAS
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GRUPOS LÓGICOS COMPLETOS
Definición y concepto
Un grupo lógico completo es el operador o conjunto de 
operadores lógicos con los que se puede representar 
cualquier función lógica.
• Básicamente se definen tres grupos lógicos completos
1. NOT – OR – AND (operadores primarios)
2. NOR (operador secundario)
3. NAND (operador secundario)
• Cualquier función lógica tienen formas equivalentes 
utilizando los grupos 2 y 3 exclusivamente.
• Las compuertas basadas en los operadores NOR y NAND 
también se las denominan compuertas universales.
• La utilidad principal es la construcción de circuitos 
lógicos que emplean un mismo tipo de compuerta.
• Las funciones y circuitos que utilizan los grupos 2 y 3 son 
más homogéneas pero suelen ser más extensas.
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Compuertas típicas (pinout)
séxtuple inversor cuádruple 2-input OR triple 3-input AND
cuádruple 
2-input NOR
triple 
3-input NOR
cuádruple 2-input NAND triple 3-input NAND doble 4-input NAND
GRUPOS LÓGICOS COMPLETOS
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Criterios de representación NOR / NAND
• Siempre que sea posible se debe trabajar con la función 
minimizada.
• Desarrollar los operadores combinados (XOR / XNOR) a 
sus representaciones NOT / OR / AND.
• La utilidad principal es la construcción de circuitos 
lógicos que emplean un mismo tipo de compuerta.
• Aplicar las propiedades en forma conveniente (a toda o 
parte de la función) para eliminar los operadores no 
deseados.
• Para formatos con NOR debe buscarse la eliminación de 
operadores AND y NAND.
• Para formatos con NAND debe buscarse la eliminación de 
operadores OR y NOR.
GRUPOS LÓGICOS COMPLETOS
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Ejemplo de conversión NOR / NAND
Con NOR
• DeMorgan
• Involución
• De Morgan al producto lógico
Con NAND
• Involución al paréntesis
• De Morgan al paréntesis
• Involución inversa
• Involución a toda la función
F(A,B,C)=(A +B.C) . C
F(A,B,C)=(A +B+C) . C
F(A,B,C)=(A +B+C) . C
F(A,B,C)= A +B+C+C
A
B
C
F
F(A,B,C)=(A +B.C) . C
 F(A,B,C)= A . B . C . C
F(A,B,C)= A . B . C . C
F(A,B,C)= A . B . C . C
A
B
C
F
GRUPOS LÓGICOS COMPLETOS
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GRUPOS LÓGICOS COMPLETOS
Ejemplo de conversión NOR / NAND
Con NOR Con NANDF(A,B,C)=(A +B.C) . C
F(A,B,C)= A +B+C+C
A
B
C
F
F(A,B,C)= A . B . C . C
A
B
C
F
B C
A
F
B C
C
A+B+C
A+B+C + C
B
C
A
F
A
A.B.C
A.B.C . C
A.B.C . C
C