1_Introduccion IO_15032021

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Investigación
Operativa
Introducción
Profesor: Ing. Carlos A. Martin
E-mail: ing_carlos_martin@hotmail.com
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Unidad I: Introducción a la Investigación Operativa
¿Qué es la IO? Historia de la IO. Metodología de la IO. La I. O. y la Ingeniería
de Sistemas. El Concepto de sistema: Caracterización. Terminología y
definición de términos: Variable de decisión, Política, Política factible,
Espacio de política factible: Conjunto Convexo, Variables de Estado,
Parámetros. Objetivo. Función Objetivo. Problema General de Optimización.
Modelos Icónicos, Analógicos y Simbólicos. Procesos de Modelización.
Modelos Matemáticos: Definición, clasificación y elementos principales.
Pasos generales y técnicas en la construcción de modelos matemáticos.
Usos y ventajas de los modelos de investigación de operaciones.
Aplicaciones típicas de la investigación de operaciones. Métodos
cuantitativos que serán tratados. Ejemplos Práctica.
Ing. Carlos Martin
PRESENTACIÓN
Se establece el proceso lógico que se debe llevar para el correcto planteamiento del modelo matemático de 
problemas de PL y reglas de equivalencia de la función objetivo y las restricciones de un modelo PL; además de las 
formas generales del modelo de PL y sus suposiciones.
OBJETIVO GENERAL
Al finalizar el estudiante debe estar en capacidad de identificar un problema de PL..
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
•Conocer las diferentes formas generales del modelo de PL
•Identificar variables
•Aplicar las reglas de equivalencia.
•Identificar parámetros.
COMPETENCIAS
El estudiante aprenderá a identificar las diferentes formas de modelo de PL, los proceso en los cuales pueda aplicar
la PL y seguir el procedimiento de obtención del modelo matemático de PL.
INDICADORES DE LOGRO
El estudiante deberá manejar los conceptos de planteamiento e identificación de variables, identificación de 
parámetros y aplicaciones de la programación lineal; así como el manejo de las reglas de equivalencia.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
•Manejo de ecuaciones lineales simultáneas.
•Conocimiento de propiedades de las desigualdades.
•Concepto de máximos y mínimos.
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Que es la Investigación Operativa (I.O.)? 
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
El Problema
Cada vez es más difícil asignar los 
recursos o actividades de la forma más eficaz
Los recursos 
son escasos
Los sistemas son cada
vez más complejos
Ing. Carlos Martin
¿ Cómo Toman las Decisiones los Gerentes?
EL ROL DE LOS METODOS CUANTITATIVOS/NUMERICOS
 GUIAR LA TOMA DE DECISIONES
 AYUDAR A LA TOMA DE DECISIONES
 AUTOMATIZAR LA TOMA DE DECISIONES
 JUSTIFICAR LAS DECISIONES
 SACAR CONCLUSIONES
 FORMULAR POLITICAS Y ESTRATEGIAS
Ing. Carlos Martin
La I. O. es una rama de las matemáticas consistente en el uso de 
modelos matemáticos, estadística y algoritmos con el objeto de realizar 
un proceso de toma de decisiones.
Trata del estudio de complejos sistemas reales con la finalidad de 
optimizar su funcionamiento.
Permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la 
escasez de recursos para determinar cómo se puede optimizar un 
objetivo definido: Max. beneficios o Min. costos
¿Qué es la investigación operativa?
Ing. Carlos Martin
• En matemáticas, ciencias de la computación y disciplinas 
relacionadas, 
un algoritmo es un conjunto pre-escrito de instrucciones o reglas 
bien definidas, ordenadas y finitas que permiten realizar una 
actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a 
quien deba realizar dicha actividad.
Dados un estado inicial y una entrada, 
siguiendo los pasos sucesivos, 
se llega a un estado final 
y se obtiene una solución.
¿Qué es un Algoritmo?
Ing. Carlos Martin
Definición (Lawrence y Pasternak, 1998)
Un enfoque científico para la toma de decisiones gerenciales,
que consiste en:
• El arte de modelar situaciones complejas,
• La ciencia de desarrollar técnicas de solución para resolver dichos
modelos y
• La capacidad de comunicar efectivamente los resultados.
Objetivo de la Investigación operativa:
 Estudiar la asignación óptima de recursos escasos a determinada
actividad.
 Evaluar el rendimiento de un sistema con objeto de mejorarlo.
Que es la Investigación Operativa (I.O.)?
Ing. Carlos Martin
Investigación Operativa (I.O.)
• Es la aplicación del método científico para asignar los
recursos o actividades de forma eficaz, en la gestión y
organización de sistemas complejos.
• Su objetivo es ayudar a la toma de decisiones
• Requiere un enfoque interdisciplinario
Ing. Carlos Martin
Que es la Investigación Operativa (I.O.)
La Sociedad de Investigación Operativa de Gran Bretaña la define 
de la siguiente manera:
• La investigación operativa es el ataque de la ciencia moderna 
sobre problemas complejos que surgen en la dirección y 
gestión de grandes sistemas de hombres, máquinas, materiales 
y dinero en la industria, negocios, gobierno y defensa.
• Su enfoque distintivo es desarrollar un modelo científico del 
sistema, que incorpore medidas de factores como el cambio y 
el riesgo, con el que predecir y comparar los resultados de 
decisiones, estrategias o controles alternativos. 
• El objetivo es ayudar a la administración a determinar su 
política y acciones científicamente.
Ing. Carlos Martin
Que es la Investigación Operativa ?
Ing. Carlos Martin
Que problemas resuelve la I. O.?
La crisis de COVID-19 puede estar desarrollándose en una 
escala sin precedentes, pero la red de interrogantes logísticos 
parece inquietantemente familiar a la I. O.
Dónde colocar centros de prueba
Qué instalaciones públicas cerrar
Cómo asignar camas de UTI
Como diseñar procesos de clasificación médica
• Son los tipos de problemas que los investigadores de 
operaciones han estado resolviendo durante décadas. 
• Los modelos que ahorran dinero a las empresas hoy podrían 
usarse para salvar vidas mañana.
Ing. Carlos Martin
Que problemas resuelve la I. O.?
La I. O: posee una gran cantidad de herramientas que 
tradicionalmente se han utilizado para:
Ubicar tiendas minoristas, 
Optimizar el inventario y la producción, 
Administrar los niveles de existencias ya que la demanda de 
productos varía según la temporada"
• “Desde una perspectiva matemática, la pandemia de COVID-19 
presenta un conjunto de desafíos muy similar pero a una escala 
mucho mayor.
• Los mismos modelos de gestión de la cadena de suministro 
podrían utilizarse para resolver los problemas asociados con él”
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Historia de la Investigación Operativa 
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Historia de la I.O.
• Se aplica por primera vez en 1780
• Antecedentes:
• Matemáticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX)
• Estadística: fenómenos de espera (Erlang, Markov) (años 20)
• Economía: Quesnay (x.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann
(años 20)
• El origen de la I.O. moderna se sitúa en la 2ª Guerra Mundial
para resolver problemas de organización militar:
- Despliegue de radares, manejo de operaciones de
bombardeo, colocación de minas,…
Ing. Carlos Martin
Historia de la I.O.
• Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la industria,
debido a:
• competitividad industrial
• progreso teórico
• RAND (Dantzig)
• Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker)
• Carnegie Institute of Technology (Charnes, Cooper)
• gran desarrollo de los ordenadores:
* aumento de la capacidad de almacenamiento de datos
* Incremento de la velocidad de resolución de los
problemas.
Ing. Carlos Martin
Algunas fechas, nombres y temas
• 1759 Quesnay (ecónomo) - Programación Matemática
• 1874 Walras
• 1873 Jordan - Precursor de modelos lineales
• 1896 Minkowsky - Precursor de modelos lineales
• 1903 Farkas - Precursor de modelos lineales
• 189~ Markov - Precursor modelos dinámicos probabilísticos
• 192~ - Primer desarrollo de modelos de inventarios• 191~ Erlang - Primeros estudios de líneas de espera
• 1920-30 Koning y Egervary - Métodos de asignación (analíticos)
• 1937 von Neuman - Teoría de juegos y de preferencias
• 1939 Kantorovich - Problemas de distribución
• 1945 
• 2da guerra - Logística estratégica para vencer al enemigo
• Finales 2da guerra - Logística de distribución de recursos de los aliados 
(Rand Corporation- Fuerza aérea norteamericana).
Ing. Carlos Martin
Algunas Fechas, Nombres y Temas
• 1947 - Dantzig, George - Método simplex en base al trabajo de precursores, inicio a la 
Programación Lineal.
• 1950-60
- Bellman - Programación dinámica.
- Kuhn y Tucker - Programación No Lineal.
- Gomory - Programación Entera.
- Ford y Fulkerson - Redes de optimización.
- Markowitz - Simulación.
- Arrow, Karloin, Scarf, Whitin - Inventarios.
- Rafia - Análisis de Decisiones.
- Howard - Procesos Markovianos de Decisión.
- Churchman, Ackoff, Arnoff - Orientación a sistemas, generalización de la I O.
• 1970 y parte década 80 - Receso en el uso de la IO
• 1985 en delante Reflorecimiento de la disciplina con el devenir del control automático
industrial, las microcomputadoras y las nuevas interfaces gráficas que impulsan el
desarrollo de los Sistemas Automatizados de Apoyo a la Toma de Decisiones, donde la
Investigación Operativa juega un papel preponderante.
Ing. Carlos Martin
Actualidad de la I.O.
• Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos sectores, con
grandes avances sobre todo en el campo de la Inteligencia
Artificial
• Más información:
• International Federation of O.R. Societies (IFORS)
• www.ifors.org
• Institute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS)
• www.informs.org
Ing. Carlos Martin
Actualidad de la I.O.
• Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos sectores, con
grandes avances sobre todo en el campo de la Inteligencia
Artificial
• Más información:
• Sociedad Española de Estadística e Inv. Op. (SEIO)
• www.cica.es/aliens/seio
• Association of European O.R. Societies (EURO)
• www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.html
• Institute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS)
• www.informs.org
• International Federation of O.R. Societies (IFORS)
• www.ifors.org
Ing. Carlos Martin
¿Qué es la Investigación de Operaciones?
https://www.youtube.com/watch?v=HrnvnykBLQU (Duración 2:37) 
https://www.youtube.com/watch?v=pMjOy9catNI (Duración 12:00) 
https://www.youtube.com/watch?v=eB_NCdHkCRs (Duración 7:58) 
https://www.youtube.com/watch?v=DQu_eEI2LKc (Duración 7:18) 
Ing. Carlos Martin
https://www.youtube.com/watch?v=HrnvnykBLQU
https://www.youtube.com/watch?v=pMjOy9catNI
https://www.youtube.com/watch?v=eB_NCdHkCRs
https://www.youtube.com/watch?v=DQu_eEI2LKc
Investigación
Operativa
El Concepto de Sistema 
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Sistema: Terminología Básica
 Un sistema es una colección de entidades que actúan e 
interactúan hacia la realización de algún fin lógico.
 El estado de un sistema es el conjunto de variables necesarias para 
describir la situación del sistema en un momento determinado.
 Un sistema discreto es aquel en el que las V. E. cambian solo en 
puntos discretos o contables en el tiempo.
 Un sistema continuo es aquel en el que las V. E. cambian 
continuamente con el tiempo.
 Un modelo de simulación estática es una representación de un 
sistema en un punto particular en el tiempo.
 Un modelo de simulación dinámica es una representación de un 
sistema a medida que evoluciona con el tiempo.
Ing. Carlos Martin
El Concepto de Sistema
 El concepto se utiliza tanto para definir a un conjunto de ideas u 
objetos reales dotados de organización.
Ing. Carlos Martin
Variables de estado
Ing. Carlos Martin
El Concepto d Sistema
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Que es un Modelo?
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Un Modelo es una representación de un sistema de la vida real.
Clasificación de los Modelos
Que es un Modelo?
Ing. Carlos Martin
Clasificación de los Modelos según el Tipo
Modelos Icónicos (Modelos a Escala):
Semejanza Geométrica: Lp/Lm = EL
Cinemática: Vp/Vm = EV
Dinámica: Ep/Em = EF
Ing. Carlos Martin
Clasificación de los Modelos según el Tipo
Modelos Analógicos:
Fenómenos Físicos de distinta naturaleza con 
ecuaciones de estructuras matemáticas 
IDENTICAS
Caudal en un flujo en medio poroso Intensidad de corriente eléctrica
Q: Caudal 
K: Coeficiente de permeabilidad
h: Carga Hidráulica
A: Área Intersección Transversal
l: Longitud
i: Intensidad de corriente 
r: Conductividad eléctrica
: Potencial Eléctrico
A: Área del conductor eléctrico
l: Longitud
Ing. Carlos Martin
Clasificación de los Modelos según el Tipo
Modelos Matemáticos o Simbólicos
 Utilizan letras, números y relaciones matemáticas para 
representar las propiedades de un sistema de la vida real.
 Por lo general, un modelo consta de una o más ecuaciones. 
 Las cantidades que aparecen en las ecuaciones las clasificamos 
en variables y parámetros. 
 Un modelo está diseñado para explicar las relaciones que existen 
entre cantidades que pueden medirse independientemente en 
un experimento (las variables del modelo). 
 Sin embargo, para formular estas relaciones, con frecuencia se 
introducen "constantes" que representan las propiedades 
inherentes a la naturaleza, materiales y equipos utilizados en un 
experimento dado, estos son los parámetros.
Ing. Carlos Martin
Clasificación de los Modelos según el Tipo
Modelos Matemáticos o Simbólicos
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Que es la Simulación?
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Que Es La Simulación?
Técnica que imita el funcionamiento de un sistema del mundo 
real cuando evoluciona en el tiempo.
Experimento de muestreo acerca del sistema real cuyos 
resultados son puntos de muestra.
La idea básica de la simulación es la construcción de un 
dispositivo experimental (simulador), que actuara como (simulara) 
el sistema de interés de una manera rápida y redituable.
La simulación no genera soluciones óptimas para los problemas 
como lo hacen otras técnicas de análisis cuantitativo
Es un enfoque de ensayo y error que puede generar diferentes 
soluciones de una corrida a otra. 
Ing. Carlos Martin
La simulación es una herramienta de amplia 
aceptación por parte de los gerentes por varias 
razones:
 Es relativamente directa y flexible, y se puede utilizar para 
comparar muchos escenarios diferentes. 
 Los avances recientes en software hacen que sea muy 
sencillo desarrollar algunos modelos de simulación. 
 Sirve para analizar situaciones reales grandes y complejas, 
que los modelos convencionales de análisis cuantitativo no 
pueden resolver.
 La simulación permite preguntas del tipo ¿qué sucedería 
si? 
A los gerentes les gustaría saber de antemano qué 
opciones son atractivas. Con una computadora, el gerente 
puede intentar varias decisiones políticas en unos cuantos 
minutos.
Ing. Carlos Martin
SIMULACION OPTIMIZACION
 En un modelo de simulación, los valores de las V. de D. son 
entradas.
 En un modelo de optimización, las V. de D. son salidas 
(resultados).
 La simulación no es una técnica de optimización.
Ing. Carlos Martin
LA SIMULACIÓN
• LA RAMA EXPERIMENTAL DE LA I.O.
METODO NUMERICO DE RESOLUCION DE MODELOS LOGICO-
MATEMATICOS
• ENSAYA EN REPETIDAS OPORTUNIDADES EL SISTEMA O 
PROCESO A TRAVES DEL MODELO QUE LO DESCRIBE
• SIMPLE
• FLEXIBLE
• UTIL PARA RESOLVER PROBLEMAS MUY COMPLEJOS O MUY 
IMPREDECIBLES.
Ing. Carlos Martin
PORQUE RECURRIMOS A LA SIMULACION ? 
 Dificultad para obtener modelos analíticos 
dependiendo de factores de complicación (V. A. no 
exponenciales).
 Modelos analíticos que no predicen un estado 
estable.
 Disponibilidad de amplia variedad de programas, 
desde hoja de calculo, lenguajes generales de 
programación hasta lenguajes especialmente 
diseñados.Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Metodología Científica de la 
Investigación Operativa 
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
El proceso de administración
El proceso de administración de los recursos escasos de un
sistema se suele dividir en seis fases:
1. análisis matemático del sistema
2. construcción de un M. M. que refleja los aspectos
importantes del sistema
3. validación del modelo
4. manipulación del modelo a fin de obtener una solución
satisfactoria, si no óptima
5. implementación de la solución seleccionada
6. control del desempeño del sistema después de la
implementación efectuada.
Ing. Carlos Martin
El método de la I.O.
• Definición del problema
• Formulación del problema y construcción del modelo
• Resolución
• Verificación, validación, refinamiento
• Interpretación y análisis de resultados
• Implantación y uso extensivo
A lo largo de todo el proceso debe haber una interacción
constante entre el analista y el cliente
Ing. Carlos Martin
METODOLOGIA CIENTIFICA DE LA IO
Ing. Carlos Martin
METODOLOGIA CIENTIFICA DE LA IO
Ing. Carlos Martin
Modelo y Enfoque de la IO
Ing. Carlos Martin
VISIÓN ESQUEMÁTICA EN EL PROCESO ASOCIADO A LA 
CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO DE OPTIMIZACIÓN
Ing. Carlos Martin
VISIÓN ESQUEMÁTICA EN EL PROCESO ASOCIADO A LA 
CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO DE OPTIMIZACIÓN
Ing. Carlos Martin
VISIÓN ESQUEMÁTICA EN EL PROCESO ASOCIADO A LA 
CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO DE OPTIMIZACIÓN
Ing. Carlos Martin
VISIÓN ESQUEMÁTICA EN EL PROCESO ASOCIADO A LA 
CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO DE OPTIMIZACIÓN
Ing. Carlos Martin
VISIÓN ESQUEMÁTICA EN EL PROCESO ASOCIADO A LA 
CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO DE OPTIMIZACIÓN
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
El Modelado 
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
El Modelado
• Es una ciencia
• análisis de relaciones
• aplicación de algoritmos de solución
• Y a la vez un arte
• visión de la realidad
• estilo, elegancia, simplicidad
• uso creativo de las herramientas
• experiencia
Ing. Carlos Martin
Definición del Problema
• Consiste en identificar los elementos de decisión
• objetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer)
• alternativas
• limitaciones del sistema
• Hay que recoger información relevante (los datos pueden ser
un grave problema)
• Es la etapa fundamental para que las decisiones sean útiles
Ing. Carlos Martin
Factores Problemáticos
• Datos incompletos, conflictivos, difusos
• Diferencias de opinión
• Presupuestos o tiempos limitados
• Cuestiones políticas
• El decisor no tiene una idea firme de lo que quiere realmente.
Ing. Carlos Martin
Plan de Trabajo
 Observar
 Ser consciente de las realidades políticas
 Decidir qué se quiere realmente
 Identificar las restricciones
 Búsqueda de información continua.
Ing. Carlos Martin
EJEMPLO: Modelo de un problema agrícola. 
Supongamos que una empresa citrícola y el Estado pretenden 
hacer inversiones cuantiosas en el cultivo de naranja, limón , 
pomelo y mandarinas, con un doble objetivo:
a) reducir el desempleo rural y 
b) aumentar las exportaciones para equilibrar la balanza de 
pagos. 
Ing. Carlos Martin
1. Existe una extensión propicia para este tipo de cultivo de 250.000 m2.
2. Se asegura el suministro de agua, aproximadamente por 20 años (existencia de 
aguadas en la zona).
3. La financiera pretende hacer una inversión de 20 millones, pensando exportar 
toda su producción a partir del 3er año, que es cuando los árboles comienzan a ser 
productivos.
4. El gobierno ha determinado que éste proyecto emplee al menos 200 personas
ininterrumpidamente.
Decisión a tomar: ¿Cuántos árboles de naranja, limón, pomelo y mandarina, 
deberán sembrarse con el objetivo de maximizar el valor de la futura exportación 
anual?
Según estudios realizados, se maneja la siguiente información (datos inventados):
Ing. Carlos Martin
Formulación del problema
• Modelo: representación simplificada de la realidad,
que facilita su comprensión y el estudio de su
comportamiento
• Debe mantener un equilibrio entre sencillez y
capacidad de representación
• Modelo matemático: modelo expresado en
términos matemáticos
• hace más claras la estructura y relaciones
• facilita el uso de técnicas matemáticas y
ordenadores
• a veces no es aplicable
Ing. Carlos Martin
Guía general para la formulación de modelos
Identificación de los elementos básicos
Expresar en palabras:
• Datos del problema
• Factores que no son susceptibles de cambio
• Variables de decisión
• Variables sobre las que se tiene control
• Restricciones
• Causas por las que la decisión está limitada
• Función objetivo
• Medida del rendimiento que se quiere optimizar
Traducción de los elementos básicos a expresiones 
matemáticas
Ing. Carlos Martin
Construcción del modelo
• Traducción del problema a términos matemáticos
• objetivos: función objetivo
• alternativas: variables de decisión
• limitaciones del sistema: restricciones
• Pero a veces las relaciones matemáticas son demasiado
complejas
• Heurísticos (medios, estrategias y principios para alcanzar
la solución más eficaz y eficiente al problema que
estudia).
• Simulación
Ing. Carlos Martin
Modelado Matemático
• Paso 1.- Identificar las variables de decisión
¿Sobre qué tengo control?
¿Qué es lo que hay que decidir?
¿Cuál sería una respuesta válida en este caso?
• Paso 2.- Identificar la función objetivo
¿Qué pretendemos conseguir?
Si yo fuese el jefe de la empresa, ¿qué me interesaría más?
• Paso 3.-Identificar las restricciones (factores) que limitan la decisión
Recursos disponibles (trabajadores, máquinas, material) Fechas
límite
Restricciones por la naturaleza de las variables (no negatividad,
enteras, binarias)
Restricciones por la naturaleza del problema
• Paso 4.- Traducción de los elementos básicos a un M. M.
Ing. Carlos Martin
Resolución del Modelo
• Paso 1.- Elegir la técnica de resolución adecuada
• Técnicas existentes, modificación, creación o heurísticos.
• Paso 2.- Generar las soluciones del modelo
• Programas de ordenador, hojas de cálculo.
• Paso 3.- Comprobar/validar los resultados
• Probar la solución en el entorno real
• Paso 4.- Si los resultados son inaceptables, revisar el modelo
matemático
• Estudiar hipótesis, comprobar exactitud de datos, relajar o
endurecer aproximaciones, revisar restricciones
• Paso 5.- Realizar análisis de sensibilidad
• Analizar adaptaciones en la solución propuesta frente a
posibles cambios
Ing. Carlos Martin
Paso 1: Tipos de modelos
Ing. Carlos Martin
Paso 2: Generar las soluciones del modelo
• Determinar los valores de las variables de decisión
de modo que la solución sea óptima (o satisfactoria)
sujeta a las restricciones.
• Puede haber distintos algoritmos y formas de
aplicarlos
Ing. Carlos Martin
Paso 3: Verificación y validación
• Eliminación de errores
• Comprobación de que el modelo se adapta a la realidad
Ing. Carlos Martin
Paso 4: Interpretación y análisis
• Robustez de la solución óptima obtenida: Análisis de
sensibilidad
• Detección de soluciones cuasi-óptimas atractivas
Ing. Carlos Martin
Paso 5: Implantación de resultados
• Sistema de ayuda y mantenimiento
• Documentación
• Formación de usuarios
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Aplicaciones de la 
Investigación Operativa 
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
APLICACIONES DE LA IO
Ing. Carlos Martin
APLICACIONES DE LA IO
Ing. Carlos Martin
TRANSPORTE DE BIENES Y SERVICIOS
Ing. Carlos Martin
ASIGNACION DE TAREAS
Ing. Carlos Martin
CADENAS DE DISTRIBUCION CON TRANSBORDO
Ing. Carlos Martin
RUTAS MAS CORTAS
Ing. Carlos Martin
FLUJO MAXIMO
Ing. Carlos Martin
EXPANSION DE ARBOLES CON MINIMAS DISTANCIAS
Ing. Carlos Martin
PLANIFICACION DE PROYECTOS PERT / CPM
Ing. Carlos Martin
ANALISIS DE INVENTARIOS
Ing. Carlos Martin
MODELOS DE COLAS O INVENTARIOS
Ing. Carlos Martin
SIMULACIONDE EMPRESAS DE PRODUCCION Y SERVICIOS
Ing. Carlos Martin
SIMULACION DE EMPRESAS DE PRODUCCION Y SERVICIOS
Ing. Carlos Martin
SIMULACION DE EMPRESAS DE PRODUCCION Y SERVICIOS
Ing. Carlos Martin
La Sociedad de Investigación Operativa de Gran Bretaña la 
define de la siguiente manera (INVESTIGACIÓN OPERACIONAL 
TRIMESTRAL, 13 (3): 282, 1962)
La investigación operativa es el ataque de la ciencia moderna sobre
problemas complejos que surgen en la dirección y gestión de
grandes sistemas de hombres, máquinas, materiales y dinero en la
industria, negocios, gobierno y defensa.
Su enfoque distintivo es desarrollar un modelo científico del
sistema, que incorpore medidas de factores como el cambio y el
riesgo, con el que predecir y comparar los resultados de decisiones,
estrategias o controles alternativos. El objetivo es ayudar a la
administración a determinar su política y acciones científicamente.
(IIASA: Instituto Internacional de Análisis de Sistemas Aplicados )
Ing. Carlos Martin
La aplicación de la Investigación Operativa
Problemas tipo son:
• Asignación de recursos escasos,
• Ordenamiento, secuenciación y coordinación de tareas,
• Líneas de espera,
• Mantenimiento y reemplazo de equipos,
• Inventarios,
• Costos y tiempos,
• Gestión de proyectos.
Ing. Carlos Martin
Programación Lineal
Modelos de Redes: Camino Crítico
Ing. Carlos Martin
ASIGNACIÓN DE RECURSOS, ORDENAMIENTO 
Los primeros desarrollos de la Investigación Operativa se refirieron a problemas
de asignación de recursos, ordenamientos de tareas, reparto de cargas de trabajo,
planificación, todos con un objetivo preciso de optimización de la función
económica Z en un mundo determinista.
Entre las técnicas de optimización citamos:
la Programación Lineal, No lineal, Los métodos de ordenamiento, Programación
Dinámica, Combinatoria, algoritmos de teoría de Grafos, etc.
Un ejemplo clásico: determinar el número de piezas, de cada tipo, que debe
producir un determinado taller, a fin de obtener el máximo beneficio. Existen
varias máquinas, cada una de las cuales tiene determinadas propiedades y
características, según las categorías o partes de piezas a producir por cada una de
ellas; por lo general se conoce la capacidad máxima del taller y el beneficio que se
obtendrá con cada categoría de pieza producida
Ing. Carlos Martin
Líneas de espera, Reemplazo de equipos
Estos temas se desarrollan en mundo aleatorio por lo general.
Se estudian las esperas y retrasos ocurridos en el sistema, o las
fallas en las instalaciones, su reparación y posibles políticas de
mantenimiento y/o reemplazo.
Ing. Carlos Martin
Inventario, Costos y tiempos 
Se trata de la operación mas simple, la de almacenar y/o
mantener recursos; se estudia cuánto y cuándo adquirir.
Muchos casos se resuelven modelándolos como líneas de
espera.
Ing. Carlos Martin
Gestión de proyectos 
El conjunto de tareas de un proyecto se modelan mediante un
grafo, sobre el que se determinan cuáles son los tiempos y las
tareas críticas ("cuellos de botellas") del proyecto.
Técnicas usadas: CPM-PERT, método del Camino Crítico.
Ing. Carlos Martin
El Alcance de la Optimización 
Una de las herramientas más importantes de la 
optimización es la PROGRAMACIÓN LINEAL (PL). 
Un problema de P. L. está dado por una función lineal de 
varias variables que debe ser optimizada (max. o min.) 
cumpliendo con restricciones lineales. 
El matemático G.B. Dantzig desarrolló un algoritmo llamado 
el Método Simplex para resolver problemas de este tipo. 
El método simplex original ha sido modificado a fin de 
obtener un algoritmo eficiente para resolver grandes 
problemas de programación lineal por computadora.
Ing. Carlos Martin
Por medio de la PL se pueden formular y 
resolver problemas de:
• asignación de recursos en la planificación de gobierno, 
• análisis de redes para planificación urbana y regional, 
• planificación de la producción en la industria, y la 
administración de sistemas de transporte y distribución. 
Por esto la PL es uno de los éxitos de la moderna teoría de la 
optimización.
Ing. Carlos Martin
La Programación Entera 
• Está relacionada con la resolución de problemas de optimización 
en los cuales al menos algunas de las variables deben tomar sólo 
valores enteros. 
• Cuando todos los términos son lineales se habla de programación 
lineal entera. 
• Entre los ejemplos prácticos se puede citar:
• ubicación de insumos, 
• secuenciamiento de trabajos en líneas de producción,
• balance de líneas de montaje, 
• problemas de asignación biunívoca, 
• control de inventarios, y 
• reemplazo de máquinas.
Ing. Carlos Martin
Métodos importantes para resolver PPE
Uno de los métodos, debido a R.E. Gomory, se basa en parte, 
en el método simplex antes mencionado. 
Otro método es el de ramificación y acotación, de naturaleza 
combinatoria y consiste en reducir el problema original a 
otros más pequeños, y tal vez más fáciles, y partir el conjunto 
de soluciones posibles en subconjuntos más pequeños que 
pueden ser analizados más fácilmente. 
Dos de las contribuciones importantes a éste método las han 
hecho Balas y Dakin. Pese a las mejoras realizadas no existe aún 
un método unificado que sea eficaz para resolver problemas de 
programación entera de tamaño realista
Ing. Carlos Martin
I.O. como apoyo a la toma de decisiones 
Los procesos de decisión pueden desarrollarse bajo situaciones deterministas,
aleatorias, de incertidumbre, o de competencia (adversas).
Estas situaciones se modelan a través de sistemas que también serán de tipo
deterministas, aleatorios, inciertos o basados en situaciones de competencia
(adversas).
Los sistemas determinísticos interpretan la realidad bajo el principio de que
todo es conocido con certeza.
Los sistemas basados en situaciones aleatorias, de incertidumbre o de
competencia, asocian la incertidumbre a los fenómenos a analizar,
incertidumbre que puede resultar de la variación propia de los fenómenos
(variaciones que eluden a nuestro control, pero que tienen un patrón específico)
o incertidumbre resultante de la propia inconsistencia de esos fenómenos.
Ing. Carlos Martin
Aplicando el método científico, el Investigador de Operaciones construirá 
uno o mas modelos (representaciones) del sistema, con sus operaciones 
correspondientes y sobre él realizará su investigación. 
Los modelos de IO se pueden representar con ecuaciones las que, aunque 
puedan resultar complejas, tienen una estructura muy sencilla: 
U = f (xi , yj ) sujeta a restricciones 
U es la utilidad o valor de ejecución del sistema, 
xi son las variables no controlables, o dependientes, cuyos valores 
dependerán de las interrelaciones y valores de las variables 
independientes. 
yj son las variables controlables, o independientes, con valores dados. 
f es una función en xi e yj . 
Ing. Carlos Martin
Frecuentemente se requieren una o más ecuaciones o 
inecuaciones de las llamadas restricciones, para expresar el 
hecho de que algunas de las variables no controlables (o todas), 
pueden manejarse dentro de ciertos límites. 
Por ejemplo, 
• el tiempo de máquina asignado a la producción de un 
producto siempre tendrá valor positivo, y no será mayor 
que el tiempo total disponible o asignado para tal fin; 
• la suma del dinero presupuestado para cada departamento 
en un organización o industria no puede exceder la suma 
de dinero disponible, etc. 
Una vez obtenido el modelo, éste puede usarse para
encontrar exacta o aproximadamente los valores óptimos de
las variables no controlables, aquellas que producen la mejor
ejecución del sistema, es decir, la solución al problema
Ing. Carlos Martin
Continuemos con nuestro ejemplo: Modelo de un 
problema agrícola. 
Recordemos que una empresa citrícola y el Estado pretenden 
hacer inversiones cuantiosas en el cultivo de naranja, limón , 
pomelo y mandarinas, con un doble objetivo:
a) reducir el desempleo rural y 
b) aumentar las exportaciones para equilibrar la balanzade 
pagos. 
Según estudios realizados, se maneja la siguiente información 
(datos inventados)
Ing. Carlos Martin
1. Existe una extensión propicia para este tipo de cultivo de 250.000 
m2
2. Se asegura el suministro de agua, aproximadamente por 20 años.
3. La financiera pretende hacer una inversión de 20 millones, 
pensando exportar toda su producción a partir del 3er año, que es 
cuando los árboles comienzan a ser productivos.
4. El gobierno ha determinado que éste proyecto emplee al menos 
200 personas ininterrumpidamente.
Decisión a tomar: 
¿Cuántos árboles de naranja, limón, pomelo y 
mandarina, deberán
sembrarse con el objetivo de maximizar el valor de la 
futura exportación anual?
Ing. Carlos Martin
Formulación del problema
Sean:
X1: número de árboles de naranja a ser sembrados. 
X2: número de árboles de limón a ser sembrados. 
X3: número de árboles de pomelo a ser sembrados. 
X4: número de árboles de mandarinas a ser sembrados. 
El Valor medio de la exportación anual: 
U = 10·150X1 + 4·200X2 + 15·50X3 + 7·150X4 
Según las siguientes restricciones: 
Extensión de tierra: 4X1 + 5X2 + 3X3 + 6X4 ≤ 250 000 m2 
Inversión inicial: 2X1 + 0.5X2 + 1X3 + 1.50X4 ≤ $20 000 000
Desempleo mínimo: 36X1 + 72X2 + 50X3 + 10X4 ≥ 200·8·360 (hh/d/a) 
N° de árboles a sembrar: X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, X3 ≥ 0, X4 ≥ 0
Obtuvimos un modelo del problema de tipo: 
Maximizar U = f ( ) 
Sujeto a: Restricciones
Ing. Carlos Martin
CONCEPTOS BÁSICOS DE OPTIMIZACIÓN
Este es un problema típico en la teoría de optimización: la maximización (o
minimización) de una función real de variables reales (a veces una sola
variable) sujeta a un número de restricciones (a veces este número es cero).
La función f se llama función objetivo,
x1 y x2 se llaman variables independientes o variables decisionales.
El problema es encontrar valores reales para x1 y x2, que satisfagan las
restricciones (1.2), (1.3) y (1.4), los cuales introducidos en (1.1) hagan que f
(x1,x2) tome un valor no menor que para cualquier otro par x1,x2.
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
CONCEPTOS BÁSICOS DE OPTIMIZACIÓN
La función objetivo tiene el mismo 
valor en todos los puntos de cada 
línea, de modo que los contornos 
pueden asimilarse a las isobaras 
(o isotermas) de un mapa 
climático. 
No es difícil ver que la solución 
del problema es:
Ing. Carlos Martin
Conceptos Básicos de Optimización
Ing. Carlos Martin
Es decir que S es un conjunto convexo si contiene a todos los segmentos de recta 
que se pueden formar con los puntos que le pertenecen.
Composición de conjuntos y funciones convexas 
La importancia de las funciones y conjuntos convexos radica en que las
condiciones necesarias para que una solución sea un óptimo local se convierten
en condiciones suficientes para que sea óptimo global, cuando las funciones y
conjuntos en cuestión son convexos.
Ing. Carlos Martin
TERMINOLOGIA
• Una solución factible al problema de programación lineal, es un vector X = x1, 
x2,...,xn. el cual satisface las restricciones.
• La región factible para un PL es el conjunto de todos los puntos que 
satisfacen las restricciones estructurales y las restricciones de signo del PL.
• Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir 
de la solución del modelo y representan los elementos del sistema a modelar 
que son controlables por el decisor. 
• Las variables de estado de un sistema dinámico son las que conforman el 
conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema 
dinámico.
• Los parámetros representan los valores conocidos del sistema o que se 
pueden controlar.
• La función objetivo mide la calidad de la solución y que hay que optimizar 
(maximizar un beneficio o minimizar un coste).
Ing. Carlos Martin
BIBLIOGRAFIA
Ing. Carlos Martin
 Prawda Witenberg J. “Métodos y Modelos de Investigación 
de Operaciones – Vol. 1 Modelos Determinísticos”. 
Editorial Limusa. ©1999
 Taha Hamdy A. “Investigación de Operaciones”. Editorial 
Alfa Omega. ©1998
 Winston Wayne L.. “Investigación de Operaciones. 
Editorial. Grupo Editorial Iberoamericana. ©2005
 Hillier Frederick S. “Introducción a la Investigación de 
Operaciones. Editorial. Mc Graw Hill. ©2001
 Eppen G.D. “Investigacion de Operaciones En la Ciencia 
Administrativa. Editorial Prentice. ©2000
 Mathur-Solow – Investigación de Operaciones – Ed. 
Prentice Hall 1996.
 MARIN, Isidoro. “Investigación Operativa”. UBA. Centro de 
Estudiantes Universidad Nacional de Buenos Aires. © 1970
Investigación
Operativa
Muchas Gracias
Profesor: Ing. Carlos A. Martin
E-mail: ing_carlos_martin@hotmail.com
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR