Administracion de Inventarios

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Investigación
Operativa
Administración de Inventarios
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Profesor: Ing. Carlos A. Martin
E-mail: ing_carlos_martin@hotmail.com
Unidad XII: Administración de Inventarios 
Introducción. Modalidades. Principales variables y parámetros.
Modelos Deterministas de Inventario y Cantidad Económica de
Pedido: Primer Caso-Modelo básico de cantidad de económica de
pedido. Segundo Caso Modelo de cantidad económica de pedido con
demandas que se pueden volver a pedir. Tercer Caso-Modelo de
cantidad económica de pedido con tasa constante. Incorporación de
factores reales. Demora en la entrega de los pedidos. El costo de
Ruptura y el volumen de pedido. Determinación del Stock de
protección o de seguridad. Sensibilidad. Cuarto Caso-Cálculo de la
cantidad óptima de pedido cuando se permiten descuentos por
volumen. Modelo de múltiples artículos con limitaciones en el
almacén. Cuándo aplicar los modelos de cantidad económica de
pedido. Modelos Probabilistas de Inventario: Administración de
Inventarios cuando el tiempo de reaprovisionamiento es aleatorio
(nivel de reorden e inventario de seguridad).
Ing. Carlos Martin
Unidad XII: Administración de Inventarios 
Administración de Inventarios cuando la demanda es aleatoria:
Primer caso-stock inicial mayor a la demanda: La demanda es una
variable aleatoria discreta. La demanda es una variable aleatoria
continua.
Segundo caso-demanda mayor que el stock inicial: La demanda es
una variable aleatoria discreta. La demanda es una variable
aleatoria continua.
Técnicas inherentes a la administración de inventarios: Sistema de
clasificación ABC de inventario.
Planificación de la necesidad de materiales (MRP).
El método JIT (justo a tiempo) para la producción.
Modelos estocásticos: Modelos de revisión continua. Modelo del
vendedor de periódicos. Ejemplos. Práctica.
Ing. Carlos Martin
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Operativa
Modelos Deterministas de Inventario
Cantidad Económica de Pedido 
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Comenzamos por analizar algunos conceptos importantes que se usan 
para representar modelos de inventario y, a continuación, elaboramos 
versiones del famoso modelo de cantidad económica de pedido que se 
puede utilizar para tomar decisiones óptimas respecto a existencias, 
cuando la demanda es determinista (o sea, que se puede predecir).
Ing. Carlos Martin
Introducción a los modelos básicos de 
inventarios
Para cumplir a tiempo con la demanda, las empresas mantienen 
con frecuencia existencias a la espera de su venta. 
El objeto de la teoría de inventarios es determinar reglas que pueda 
aplicar la gerencia para reducir al mínimo los costos relacionados 
con el mantenimiento de existencias y cumplir con la demanda del 
consumidor. 
Los modelos de inventario responden las siguientes preguntas: 
(1) Cuándo se debe pedir un producto? 
(2) Cuánto se debe pedir del producto?
Ing. Carlos Martin
Costos de los modelos de inventarios
En los modelos de inventarios que se examinaran se consideran algunos
o todos los costos que se mencionan a continuación:
Costo de orden y preparación 
Muchos costos relacionados con la colocación de un pedido o la 
producción interna de un bien no dependen del tamaño del pedido o del 
volumen de la corrida de producción. 
A los costos de este tipo se les llama costos de orden y preparación. 
Por ejemplo, el costo de orden comprendería el costo de la papelería y la 
facturación relacionados con ese pedido. 
Si el producto se fabrica internamente y no es necesario pedirlo a una 
fuente externa, estarían incluidos en ese costo el de la mano de obra y 
tiempo muerto necesarios para poner a trabajar y parar una máquina para 
tener una corrida de producción.
Ing. Carlos Martin
Costo unitario de compra
Es sencillamente el costo variable relacionado con la compra de una 
unidad. 
Por lo común, el costo unitario de compra comprende:
• el costo variable de mano de obra, 
• costo variable indirecto y 
• costo de materia prima relacionado con la compra o producción 
de una unidad.
• costo de embarque (si los artículos se piden a una fuente externa)
Ing. Carlos Martin
Costo de almacenamiento
Es el costo de tener una unidad de inventario durante un lapso 
unitario. 
Si el lapso es un año, el costo de almacenamiento estará expresado 
en unidades monetarias por unidad por año. 
Este costo comprende, en general, 
• el costo del almacenamiento mismo, 
• el de seguro, 
• impuestos sobre existencias y 
• un costo debido a la posibilidad de degradación, robo u 
obsolescencia.
• costo de oportunidad (es el componente más importante del 
costo de almacenamiento incurrido por sujetar el capital al 
inventario).
Ing. Carlos Martin
Costo de almacenamiento
Por ejemplo, supongamos que una unidad de producto cuesta 100 
dólares y que la empresa puede ganar 15% anual en sus 
inversiones. 
Entonces, si se mantiene una unidad en inventario durante un año 
el costo para la empresa será:
0,15 x (100 dólares) = 15 dólares. 
Cuando las tasas de interés son altas, la mayor parte de las 
empresas suponen que su costo anual de almacenamiento es de 20 
a 40% del costo unitario de compra. 
Ing. Carlos Martin
Costo de agotamiento o escasez 
Cuando un cliente pide un producto y su demanda no se cumple a 
tiempo, se dice que hay escasez, agotamiento o falta . 
Si los clientes aceptan entrega a fecha posterior, sin importar lo 
retrasado de la fecha, decimos que las demandas pueden volver a 
pedirse o que es un pedido atrasado.
• El caso en el que se permiten pedidos atrasados se llama con 
frecuencia caso de demanda acumulada . 
• Si los clientes no aceptan entregas atrasadas, se tiene el caso de 
pérdida de ventas. 
• El caso real queda entre estos dos extremos, pero si se 
determinan las políticas óptimas de inventarios para los casos de 
demanda acumulada como de ventas perdidas, podemos tener un 
cálculo aproximado cuál debe ser la política óptima de inventarios.
Ing. Carlos Martin
Costo de agotamiento o escasez 
Muchos costos están relacionados con la escasez. 
Si se permite volver a hacer un pedido, éste representa, en general, 
un costo adicional. 
La escasez provoca con frecuencia que los clientes acudan a 
cualquier otro lugar para satisfacer sus demandas actual y futura, lo 
que origina pérdida de ventas y pérdida de buena voluntad.
La escasez puede hacer, también, que una empresa se retrase en 
otros aspectos de su esfera y puede hacer que una fábrica incurra 
en producción en tiempo extra. 
En general, es difícil de medir el costo de agotamiento, en 
comparación con los costos de orden, compra o almacenamiento. 
Ing. Carlos Martin
Hipótesis para los modelos de cantidad 
económica de pedido repetitivo
La decisión de pedir es repetitiva en el sentido que se repite en 
forma regular. 
Por ejemplo, una empresa que pide conjuntos de chumaceras 
colocara un pedido, vera que se consuma su inventario colocará 
entonces otro pedido y así sucesivamente. 
Esto se diferencia de los pedidos que se hacen solo una vez, o 
esporádicos. 
Por ejemplo, cuando un vendedor de periódicos decide cuantos 
diarios dominicales pedir, sólo se colocará un pedido (por domingo). 
Los problemas en los que se coloca un pedido sólo por una vez se 
llaman problemas de inventario de periodo único.
Ing. Carlos Martin
Demanda constante. 
Se supone que la demanda sucede a una rapidez constante y 
conocida. 
Esto quiere decir, por ejemplo, que si se presenta la demanda a una 
rapidez de 1.000 unidades por año, la demanda durante cualquier 
periodo de t meses será:
1.000 𝑡
12
Tiempo constante de entrega. 
El tiempo de entrega para cada pedido es una constante L 
conocida. 
Por tiempo de entrega queremos decir el tiempo que transcurre 
entre el instante en que se hace un pedido y el tiempo en que 
llega el pedido. 
Por ejemplo, si L = 3 meses, entonces cada pedido llegará 
exactamente 3 meses después de haberlo pedido.Ing. Carlos Martin
Pedido continuo
Un pedido se puede hacer en cualquier ocasión. 
Los modelos de inventario que permiten esto se llaman modelos de 
revisión continua. 
Si la cantidad de inventario disponible se revisa en forma periódica 
y sólo se tienen pedidos en forma periódica, tenemos el caso de un 
modelo de revisión periódica.
Por ejemplo, si una empresa revisa su inventario disponible tan sólo 
al final de cada mes y decide en esa ocasión si hacer o no un 
pedido, se tiene el caso del modelo de revisión periódica.
Aunque las hipótesis de Demanda constante y Tiempo de 
entrega constante pueden parecer sólo restrictivas y no 
reales, hay muchos casos en que los modelos dan buenas 
aproximaciones a lo que sucede en la realidad
Ing. Carlos Martin
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Modelo Básico de
Cantidad Económica de Pedido (EOQ) 
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Hipótesis del modelo básico de cantidad 
económica de pedido
Para que esté vigente el modelo básico de cantidad económica de 
pedido (EOQ, de Economic Order Quantity) se necesitan ciertas 
hipótesis y, para simplificar, suponga que la unidad de tiempo es un 
año:
1. La demanda es determinista y se presenta a frecuencia 
(velocidad) constante.
2. Si se hace un pedido de cualquier tamaño (por ejemplo q 
unidades), se incurre en un costo de pedido y organización K.
3. El tiempo de entrega para cada pedido es cero.
4. No se permite la escasez.
5. El costo unitario por año de mantener una existencia es h. 
Ing. Carlos Martin
Definimos a D como el número de unidades pedidas por año.
Entonces, la hipótesis 1 quiere decir que durante cualquier 
intervalo de tiempo de t años. Se pide una cantidad = D t
El costo K de pedido de la hipótesis es adicional al costo p . q de 
compra o producción de las q unidades pedidas. 
Observe que estamos suponiendo que el costo unitario de compra 
p no depende del tamaño del pedido. 
Con ello excluyen muchos casos interesantes como, por ejemplo, 
los descuentos para pedidos grandes.
Ing. Carlos Martin
• La hipótesis 3 significa que cada pedido llega tan pronto se pide. 
• De la hipótesis 4 se deduce que todas las demandas se deben 
satisfacer a tiempo; no se permiten existencias negativas. 
• De la hipótesis 5 se infiere que se incurriría en un costo de 
almacenamiento de h dólares si una unidad se conservara durante 1 
año, o si 2 unidades se almacenan durante medio año, o si 1/4 de 
unidad se almacena durante 4 años. 
• En resumen, si se almacenan I unidades durante T años, se incurre en 
un costo igual a:
I T h
Dadas estas cinco hipótesis, el modelo de cantidad económica de 
pedido determina una política de pedidos que reduce al mínimo:
la suma anual del costo de pedidos, costo de compras y costo de 
almacenamiento.
Ing. Carlos Martin
Deducción del modelo básico de cantidad 
económica de pedido
• Comenzamos la deducción de la política óptima de pedidos haciendo 
algunas observaciones sencillas. 
• Como los pedidos llegan en forma instantánea, nunca deberíamos hacer un 
pedido cuando I, el nivel de inventario o existencias, es  0. 
• Si hacemos un pedido cuando I > 0, estamos generando un costo 
innecesario de almacenamiento. 
• Por otro lado, si I = 0, debemos hacer un pedido para evitar que se presente 
agotamiento o escasez. 
• En conjunto, estas observaciones demuestran que la política que reduce al 
mínimo los costos anuales es la de hacer un pedido siempre que I = 0. 
• Siempre que se hace un pedido, encaramos la misma situación, que es l = 0. 
• Esto significa que siempre que hagamos un pedido, debemos pedir la 
misma cantidad. 
Ing. Carlos Martin
• Sea q la cantidad que se pide cada vez que I = 0.
• A continuación calculamos el valor de q que minimiza el costo anual. 
Este valor será q*. 
• Sea TC(q) el costo anual total incurrido cuando se piden q unidades 
cada vez que I = 0. 
• Observe que:
TC(q) = costo anual de colocar pedidos + costo anual de compra + 
costo anual de almacenamiento
• Como cada pedido es por q unidades, se deben hacer 
𝑫
𝒒
pedidos por 
año para que se satisfaga la demanda anual de D unidades. 
• Por lo tanto,
Ing. Carlos Martin
Para todos los valores de q, el costo unitario de compra es p. 
Como siempre compramos D unidades al año, 
Para calcular el costo anual de almacenamiento, observe que si 
guardamos I unidades durante un año, generamos un costo de 
almacenamiento de:
I ( unidades) (1 año) (h dólares/unidad/año) = h I dólares 
Ing. Carlos Martin
Suponga que el nivel de existencias no es constante y que varía con el 
tiempo.
Si el nivel promedio de existencias durante un periodo T es ത𝑰, el costo 
de almacenamiento para ese periodo será:
h T ഥ𝑰
Esta idea se muestra en la Fig. 1. 
Si definimos I(t) como el nivel de inventario en el tiempo t, entonces 
durante el intervalo [0, T] el costo total de almacenamiento es:
h (área desde cero a T bajo la curva I(t)) = h T ഥ𝑰.
Se puede comprobar que este resultado es vigente en los dos casos 
que se muestran en la Fig. 1. 
De modo más formal, ഥ𝐈 (T) es el nivel promedio de existencias desde el 
tiempo 0 al tiempo T, y está dado por:
y el costo total de almacenamiento incurrido entre el tiempo 0 y el 
tiempo T es: 
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Para calcular el costo anual de almacenamiento necesitamos 
examinar el comportamiento de I en el transcurso del tiempo. 
Suponga que cuando el tiempo es 0 acaba de llegar un pedido de 
tamaño q. 
Como la demanda se presenta a una frecuencia de D por año, 
tomará q/D años para que la existencia se reduzca a 0 de nuevo. 
Como la demanda durante cualquier periodo t es D . t, el nivel de 
existencias a lo largo de cualquier intervalo de tiempo disminuirá en 
línea recta con pendiente - D. 
Cuando la existencia llega a cero, se hace un pedido de tamaño q, el 
cual llega en forma instantánea elevando el nivel de inventario a q
de nuevo. 
Según estas observaciones, en la Fig. 2 se representa el 
comportamiento de I a través del tiempo. 
Ing. Carlos Martin
Figura 2 Comportamiento de l(t) en el modelo básico de cantidad eco 
nómica de pedido
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Un concepto clave en el estudio de la cantidad económica de 
pedido es la idea de un ciclo.
Definición:
Cualquier intervalo de tiempo que comienza con la llegada de 
un pedido y que termina en el instante inmediato anterior de 
hacer el siguiente pedido se llama ciclo.
Observe que la Fig. 2 consiste simplemente en ciclos repetidos 
de longitud q/D. Por lo tanto, en cada año caben:
𝟏
𝒒
𝑫
= 
𝑫
𝒒
ciclos
Las existencias promedio durante cualquier ciclo son simplemente 
la mitad del nivel máximo de inventario alcanzado durante el ciclo. 
Este resultado será válido en cualquier modelo para el que la 
demanda se presente a rapidez o frecuencia constante y que no se 
permita agotamientos. 
Así, para el modelo, el nivel promedio de existencias durante un 
ciclo será de:
𝒒
𝟐
unidades.
Ing. Carlos Martin
Para calcular el costo anual de almacenamiento. Planteamos que: 
Como el nivel promedio de existencias durante cada ciclo es 
𝒒
𝟐
y cada 
ciclo tiene una longitud 
𝒒
𝑫
Entonces:
Ing. Carlos Martin
Al combinar el costo de pedido, de compra y de almacenamiento, 
obtenemos:
Para calcular el valor de q que hace mínimo TC(q), hacemos que TC´(q) 
sea igual a cero. Con ello obtenemos:
Esta ecuación se satisface si:
q = ± (2KD/h)1/2
Como q = - {2KD/h)1/2 no tiene sentido, esperamos que la cantidad 
económica de pedido
reduzca a TC(q) al mínimo. 
Ing. Carlos Martin
Como
TC´´(q) = 2KD/q3 > 0 para toda q, sabemos que TC(q) es función 
convexa. 
Entonces, se deduce que cualquier punto donde TC´(q) = 0 reducirá 
al mínimo a TC(q). 
Por lo tanto, 
minimiza el costo total anual. 
Ing. Carlos Martin
Observaciones
1. La cantidad económica de pedido no depende del precio unitario 
de compra p, porque el tamaño de cada pedido no hace variar al 
costo unitariode compra. Por lo tanto, el costo total anual de compra 
es independiente de q. 
2. Como cada pedido es de q* unidades, se debe hacer un total de 
𝑫
𝒒∗
pedidos durante cada año. 
3. Para ver si es razonable esta fórmula de cantidad económica de 
pedido, examinemos cómo cambia q* al variar ciertos parámetros. 
Por ejemplo, a medida que aumenta K, podríamos esperar que 
disminuyera el número 
𝑫
𝒒∗
de pedidos hechos en un año. 
En forma equivalente, cabría esperar que un aumento de K provocara 
un aumento de q*. 
Una mirada a la ecuación (2) muestra que en efecto, éste es el caso. 
Ing. Carlos Martin
Observaciones
En forma análoga, un aumento de h hace que sea más costoso 
mantener el inventario y, por lo tanto, es de esperarse que un 
aumento de h reduzca el nivel promedio de existencias 
𝒒∗
𝟐
La ecuación (2) muestra que un aumento de h sí reduce a q*; 
también muestra que la relación entre el costo de pedido y el costo 
de almacenamiento es el factor crítico que determina a q*. 
Por ejemplo, si tanto K como h se multiplican por 2, q* no cambia. 
Observe también que q* es proporcional a D1/2. 
Por lo tanto, si se cuadruplica la demanda sólo se duplicará q*. 
Ing. Carlos Martin
Observaciones
Ing. Carlos Martin
4. No es difícil demostrar que si se pide la cantidad económica de 
pedido, entonces: 
Para demostrarlo, observe que: 
Observaciones
Ing. Carlos Martin
En In Fig. se ilustra el equilibrio entre el costo de pedido y el costo de 
almacenamiento. 
La figura confirma el hecho de que para q*, son iguales los costos 
anuales de pedido y el anual de almacenamiento. 
Ejemplo
Brancast Airlines utiliza 500 focos al año. 
Cada vez que se hace un pedido de esos focos, se incurre en un 
costo de 5 dólares. 
Cada foco cuesta 0,40 u$s y el costo de almacenamiento es 0,08 
(u$s/foco/año). 
Suponga que la demanda se tiene a rapidez constante y que no se 
permiten agotamientos. Se quiere saber:
¿Cuál es la cantidad económica de pedido?
¿ Cuántos pedidos se hacen por año?
¿ Cuanto tiempo pasa entre los pedidos?
Ing. Carlos Martin
Se nos dice que K = 5 dólares, h = 0.08 dólares/foco/año, y que D = 
500 focos/año. La cantidad económica de pedido es:
Por consiguiente, la aerolínea debe hacer un pedido de 250 focos cada 
vez que su existencia sea cero. 
El intervalo entre el momento en que se hace el pedido (o la llegada) 
es simplemente la longitud de un ciclo. Como Ia longitud de cada ciclo 
es q*/D el tiempo entre pedidos será 
Ing. Carlos Martin
Sensibilidad del costo total a variaciones 
pequeñas en la cantidad pedida 
En la mayor parte de los casos una pequeña desviación respecto a la 
cantidad económica de pedido sólo ocasionará un pequeño 
incremento de los costos.
Veamos para el Ejemplo, cómo modifican las diferencias con la 
cantidad económica de pedido, el costo anual total. 
Como la cantidad pedida no influye en el costo de anual compra, 
enfocamos hacia cómo se afectan los costos anuales de 
almacenamiento y de pedido con los cambios en la cantidad pedida q. 
Sean: 
HC(q) = costo anual de almacenamiento si la cantidad pedida es q
OC(q) = costo anual de orden si la cantidad pedida es q
Vemos que: HC(q) = ½ (0,08 q) = 0,04 q 
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Con la información de la Tabla, obtenemos el esquema de 
HC(q) + OC(q) que aparece en la Fig. 
En esta figura se muestra que HC(q) + OC(q) es muy plana cerca de q*. 
Por ejemplo, si se pide un 20% más que la cantidad económica de 
pedido (es decir, si q = 300) HC(q) + OC(q) se eleva de 20 a 20,33, 
crecimiento que es menor que 2%.. Es decir es poco sensible. 
Ing. Carlos Martin
Es importante lo aplanado de la curva de HC(q) + OC(q), porque con 
mucha frecuencia es difícil calcular h y K. 
Un cálculo impreciso de h y K producirá un valor de q que difiere un 
poco de la cantidad económica de pedido real. 
La atenuación de la curva HC(q) + OC(q) indica que si existe un 
error moderado en la determinación de la cantidad económica de 
pedido, el costo sólo subirá una pequeña cantidad. 
Ing. Carlos Martin
Determinación de la cantidad económica de 
pedido cuando el costo de almacenamiento se 
expresa en términos del valor del inventario 
Con frecuencia, el costo anual de almacenamiento se expresa en 
términos del costo de almacenar inventario por valor de un dólar 
durante un año. 
Suponga que:
hd = costo de almacenar un dólar de inventario durante un año. 
Entonces, el costo de almacenar una unidad de existencias durante un 
año será p hd y la ecuación de q* se puede escribir como sigue: 
Ing. Carlos Martin
Una tienda de departamentos vende 10.000 cámaras al año. 
Esta tienda pide las cámaras a una bodega regional. 
Cada vez que hace un pedido incurre en un costo de 5 dólares. 
La tienda paga por cada cámara 100 dólares, y el costo total de almacenar 
un dólar de inventario durante un año, se calcula que es el costo anual de 
oportunidad de 0,20 dólares.
Los datos son K = 5 dólares, D = 10.000 cámaras anuales, 
hd = 0,20/dólar/año y p = 100 dólares por cámara
Entonces: 
Por lo tanto, la cantidad económica de pedido recomienda que se pidan 
70,7 cámaras cada vez que el nivel de inventario llega a cero. 
Naturalmente el numero de cámaras que se piden debe ser entero. 
Como TC(q) es función convexa cada q, de q = 70 o q = 71 deben reducir al 
mínimo a TC(q). 
Debido a la atenuación de la curva HC(q) + OC(q) no importa en realidad si 
la tienda elige pedir 70 o 71 cámaras, es poco sensible. 
Ing. Carlos Martin
Efecto del tiempo de entrega distinto de cero
• Ahora dejemos que el tiempo de entrega L sea mayor que cero. 
• La inclusión de un tiempo de entrega distinto de cero no cambia 
los costos anuales de almacenamiento y de orden. 
• Por lo tanto, la cantidad económica de pedido sigue reduciendo al 
minino los costos totales. 
• Para evitar que se presente escasez y para minimizar el costo de 
almacenamiento, cada pedido se debe hacer cuando el nivel de 
existencias sea tal que haya la certeza de que cuando llegue cada 
pedido, el nivel de existencias sea cero. 
El nivel de inventario al que se hace un pedido se llama punto de 
reorden.
Ing. Carlos Martin
Calculo del punto de reorden para el modelo 
básico de cantidad económica de pedido
Para calcular cl punto de reorden para el modelo básico de cantidad 
económica de pedido, se deben tener en cuenta dos casos: 
Caso 1
La demanda durante el tiempo de entrega no es mayor que la cantidad 
económica de pedido, EOQ. Esto significa que L D  EOQ. 
El punto de reorden se tiene cuando el nivel de inventario es igual a L D. 
Entonces el pedido llegará L unidades de tiempo después, y al llegar ese 
pedido, el nivel de existencias será L D – L D = 0. 
En el Ejemplo, suponga que un embarque de focos tarda un mes en 
llegar. 
Entonces L = 1/12 años, y el punto de reorden será:
(1/12)(500) = 41,67 focos
Así, siempre que se tengan 41,67 focos, debe hacer un pedido de focos. 
Ing. Carlos Martin
Caso 2 
La demanda durante el tiempo de entrega es mayor que la cantidad 
económica de pedido. Esto significa que LD > EOQ. 
En este caso, el punto de reorden no es igual a LD. 
Suponga que en el Ejemplo, L = 9 meses. 
Entonces LD = (9/12) (500) = 375 focos. 
Por qué no podemos hacer un pedido cada vez que el nivel de 
existencias alcance 375 focos? 
Como la cantidad económica de pedido = 250 focos, nuestro nivel 
de inventario nunca llegará a 375 focos. 
Para calcular el punto correcto de reorden, observe que los 
pedidos se hacen cada seis meses. 
Recuerde que la aerolínea utiliza 500 focos al año. 
Ing. Carlos Martin
Caso 2 (continuación)
Suponga que acaba de legar un pedido en el tiempo 0. 
Entonces, se debe haber colocado un pedido L = hace nueve meses 
(cuando T = - 9 meses). 
Como los pedidos llegan cada seis meses, se deben hacer cuando 
T = -3 meses, T = 3 meses, y así sucesivamente. 
En cada uno de esos puntos, el nivel de inventario debe ser igual 
al punto de reorden. 
Como en T =0 ha llegado un pedido de 250 focos, cuando T = 3 
meses el nivel de existencias será igual a: 250 - (3/12) (500) = 125 
focos. 
Por lo tanto, el punto de reorden es 125 focos.
Ing. Carlos Martin
Ejemplo
Ejemplo de un problema que no es de inventarios, pero que se 
puede resolver mediante los razonamientos que utilizamos para 
deducir la cantidad económica de pedido.
Cada hora hay D estudiantes que desean tomar un autobús que los 
lleve de su federación hasta su fraternidad. 
La administración evalúa en h dólares cada hora que debe esperar 
un estudiante al autobús. 
Le cuesta K dólares a la universidad mandar un autobús de la 
federación a la fraternidad. 
Si se supone que la demanda se presenta con rapidez constante, 
¿cuántos autobuses deben mandarse cada hora para hacer ese 
viaje?
Ing. Carlos Martin
Observe que:
Como la demanda se presenta a intensidad constante, los autobuses 
deben salir a intervalos regulares de tiempo. 
Esto significa que cada autobús que llegue a la federación encontrara 
el mismo número de estudiantes esperándolo. 
Sea q = número de estudiantes que hay a la llegada de cada autobús. 
Suponiendo que éste acaba de llegar cuando el tiempo es 0, "número 
de estudiantes esperando" se comporta como se muestra en la Fig. 
Ing. Carlos Martin
Según la Fig. , el número promedio de estudiantes que esperan es 
q/2, entonces:
Estos cálculos indican que:
Ing. Carlos Martin
Lo cual es idéntico a HC(q) + OC(q) para el modelo básico de cantidad 
económica de pedido. 
Por lo tanto, el valor óptimo de q para el problema del transporte es 
simplemente la cantidad económica de pedido. 
Esto quiere decir que el valor optimo de q es q*=
𝟐 𝑲 𝑫
𝒉
1/2
Como cada autobús recoge q* estudiantes, c / hora deben mandarse 
𝑫
𝒒∗
autobuses. 
Vemos en la Fig. que el tiempo entre las llegadas será 
𝒒∗
𝑫
∗ horas. 
Por ejemplo, si h = 5 dólares/estudiante/hora, K = 10 dólares/autobús y D = 100 
estudiantes/hora, encontramos que:
q*=
𝟐 𝟏𝟎 (𝟏𝟎𝟎)
𝟓
1/2
= 20
Entonces saldrán 
𝟏𝟎𝟎
𝟐𝟎
= 5 autobuses/hora de la federación, y 
un autobús saldrá cada 
𝟏
𝟓
hora = 12 minutos
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Modelos de cantidad óptima de 
pedido cuando se permiten 
descuentos por volumen 
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Hasta aquí hemos supuesto que el costo anual de compra no depende 
del tamaño del pedido. 
Esta hipótesis nos permitió no tomar en cuenta el costo anual de 
compra cuando calculamos la cantidad del pedido que minimiza el 
costo total anual. 
En la vida real, sin embargo, los proveedores reducen con frecuencia 
el precio unitario de compra cuando los pedidos son grandes. 
A estas reducciones de precio se les llama con frecuencia descuentos 
por volumen. 
Si un proveedor ofrece descuentos por volumen, el costo anual de 
compras dependerá también del tamaño de los pedidos. 
Si el costo de almacenamiento se expresa como porcentaje del costo 
de compra de un artículo, el costo anual de almacenamiento también 
dependerá del tamaño del pedido. 
Ya que el costo de compra depende ahora también del tamaño del 
pedido, no podemos seguir sin tomar en cuenta el costo de compra al 
balancear el costo de almacenamiento y el costo de pedido. 
Ing. Carlos Martin
Así, el método que se usó para calcular la cantidad óptima de 
pedido ya no es valido y se necesita un nuevo procedimiento. 
Si hacemos que q sea la cantidad pedida cada vez, el modelo 
general de descuentos por volumen se puede describir como sigue: 
Si q < b1, cada artículo cuesta p1 dólares. 
Si b1  q < b2, cada artículo cuesta p2 dólares. 
Si bk - 2  q < bk - 1, cada artículo cuesta pk – 1 dólares. 
Si bk - 1  q < bk = , cada artículo cuesta pk dólares. 
Como b1, b2, . . . , bk - 1 son puntos donde se tiene un cambio de 
precio (quiebre) llamaremos a b1, b2, . . . , bk - 1 puntos de quiebre 
de precios. Ya que las cantidades mayores de pedido se deben 
relacionar con precios menores, tenemos que: 
pk < pk – 1 < . . . < p2 < p1
Ing. Carlos Martin
Ejemplo de Compra de disquetes 
Una empresa local pide cajas de 10 disquetes a un almacén. 
El precio por caja que cobra el almacén depende del número de cajas 
que se le compren (ver Tabla). 
La empresa de contadores utiliza 10.000 disquetes por año. 
El costo de hacer un pedido es 100 dólares. 
EI único costo de almacenamiento es el costo de oportunidad del 
capital, que se supone 20% por año. 
Para este ejemplo, b1 = 100, b2 = 300, p1 = 50 dólares, p2= 49 dólares 
y p3 = 48,50 dólares.
Ing. Carlos Martin
Antes de explicar cómo se calcula la cantidad pedida que reduce al 
mínimo los costos anuales totales, necesitamos las siguientes 
definiciones: 
1. TCi (q) = costo total anual (incluyendo los costos de 
almacenamiento, compras y pedidos) si cada pedido es por q
unidades a un precio pi .
2. EOQi = cantidad que reduce al mínimo el costo anual total si para 
cualquier cantidad que se pida el costo de compra del artículo es pi
3. EOQi es admisible si bi - 1  EOQi < bi
4. TC(q) = costo real anual si se piden q artículos en cada pedido. 
(Calcularemos TC(q) mediante el precio pi si Si bi - 1  q < bi )
Ing. Carlos Martin
Nuestra meta es calcular el valor de q que minimice a TC(q). 
En las Figs. 6a y 6b se ilustran estas definiciones. 
Observe que en la Fig. 6a, EOQ2 es admisible porque 
b1 < EOQ < b2, 
pero EOQ1 y EOQ3 no son admisibles. 
En cada figura, TC(q) es la parte llena de la curva. 
La parte discontinua representa costos inalcanzables. 
Por ejemplo, en la Fig. 6b, TC2(q) es punteada para q < b1 porque el 
precio no es p2 para q < b1. 
En la Fig. 6b, para q < b1, el costo total anual está expresado por la parte 
llena de TC1(q) porque para q < b1, el precio es p1, y para 
q  b1, el costo total anual está representado por la parte llena de TC2(q).
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
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En general, el valor de q que minimiza a TC(q) puede ser un punto 
de quiebre (véase Fig. 6b) o algún EOQ¡ (véase Fig. 6a). 
Las siguientes observaciones ayudan a determinar el punto (punto 
de quiebre o EOQi) que minimiza a TC(q): 
1. Para todo valor de q, 
TCk(q) < TCk - 1(q) < · · · < TC2(q) < TC1(q) 
Esta observación es valida porque para cualquier cantidad q de 
pedido TCK(q) tendrá los costos mínimos de almacenamiento y 
compra, ya que Pk es el precio mínimo asequible; TC1 (q) tendrá los 
costos máximos de almacenamiento y compra, porque p1 es el 
precio máximo asequible. 
Así, en la Fig. 6a vemos que TC3(q) < TC2(q) < TC1(q)
Ing. Carlos Martin
2. Si es admisible EOQi, entonces el costo mínimo para bi-1  q < bi se 
da en q = EOQi (véase Fig. 7a)
Si EOQi < bi-1, el costo mínimo para bi-1  q < bi de tiene en q = bi
(véase fig 7b).
Esta observación es consecuencia del hecho de que TCi(q) disminuye 
para q < EOQi y aumenta para q > EOQi
3. Si es admisible EOQ, entonces TC(q) no se puede minimizar a una 
cantidad pedida para la que el precio de compra por artículo sea 
mayor que pi. 
Así, si EOQi es admisible, la cantidad óptima de pedido debe darse 
para alguno de los precios pi, pi+1, . . ., o pk
Para ver por qué es válida la observación 3, suponga que es admisible 
EOQi. 
¿Por qué una cantidad pedida relacionada con un precio pj > pi no 
puede tener un costo menor que EOQi?
Observe que EOQi reduce al mínimo el costo total anual si el precio 
es pi; EOQi; no reduce al mínimo el costo total anual si el precio es pi. 
Ing. Carlos Martin
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y si se pide EOQi al precio pi es mejor que pedir cualquier cantidad a 
un precio pi mayor 
Así:
Estas observaciones nos permiten aplicar el siguiente método para 
determinar la cantidad óptima de pedido cuando se permiten 
descuentos por volumen. 
Iniciando con el precio mínimo, se determina para cada precio el 
volumen de pedido que minimiza los costos anuales totales para 
bi-1  q < bi (llamaremos qi* a este volumen de pedido). 
Se continúa calculandoqk*, qk-1*, . . . hasta que una de las q* sea 
admisible (la llamaremos qi*); según la observación 2 , esto 
significará que qi* = EOQi. 
La cantidad óptima de pedido será el miembro de 
{qk*, qk-1*, . . . , qi* } con el valor mínimo de TC(q).
Ing. Carlos Martin
Compra de disquetes (continuación) 
Cada vez que se hace un pedido de disquetes, ¿cuántas cajas se deben 
pedir? ¿Cuántos pedidos se hacen al año? ¿Cuál es el costo anual total 
para cumplir con la demanda de disquetes por parte de la empresa de 
contadores?
Nótese que K = 100 dólares y D = 1.000 cajas por año. 
Primero calculamos la cantidad óptima de pedido para p3 = 48,50 
dólares y 300  q. Así 
Ing. Carlos Martin
Así, para q3*,
Para q2* = 142,86, el costo anual de almacenamiento por artículo por 
año es: 0,20 ( 49) = 9,80 dólares. Así, para q2*, 
Es así que q3 = 300 reducirá TC(q) al mínimo. 
El análisis demuestra que cada vez que se hace un pedido, se deben 
pedir 300 cajas de disquetes. 
Entonces se deben colocar 1.000/300 = 3,33 pedidos cada año. 
Como hemos visto ya, el costo anual total mínimo es 50.288,33 dólares
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Modelo de cantidad económica de 
pedido con tasa constante
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
Ing. Carlos Martin
Muchos artículos se producen internamente, y no se compran a un 
proveedor externo. 
En este caso, la hipótesis de la cantidad económica de pedido de que 
cada pedido llega al mismo instante, nos parece que no es real. 
No es posible producir por ejemplo, 10 000 vehículos a un chasquido 
de dedos. 
Si una empresa cumple con la demanda fabricando sus propios 
artículos de consumo, el modelo de cantidad económica con tasa 
constante será más real que el tradicional de cantidad económica de 
pedido. 
Además, suponemos que la demanda es determinista y que se da a 
una tasa constante; también suponemos que no se permite la escasez.
En el modelo de cantidad económica con tasa constante se supone que 
una empresa puede producir un artículo a una tasa de r unidades por 
tiempo unitario, que de nuevo supondremos que es un año. 
Esto significa que durante cualquier período de tiempo t, la empresa 
puede producir r t unidades. 
• Definimos lo siguiente: 
• q = número de unidades producidas durante cada corrida de 
producción. 
• K = costo de organizar o preparar una corrida de producción (con 
frecuencia se debe al tiempo muerto del principio o al final de la 
corrida de producción). 
• h = costo de almacenamiento de una unidad en inventario durante 
un año. 
• D = demanda anual del producto. 
Ing. Carlos Martin
• Si se supone que una corrida de fabricación comienza en el tiempo 0, 
la variación del inventario a través del tiempo es como la que se 
muestra en la Fig. 
• Al principio de una corrida, se produce a una tasa de r unidades al 
año, y la demanda se presenta a una tasa de D unidades por año.
• Así, hasta que se produzcan q unidades, la existencia aumenta a una 
tasa de r - D unidades por año. 
• Es natural que suceda que r  D, porque de otro modo no se podría 
satisfacer la demanda.
Ing. Carlos Martin
• En el tiempo q/r, se habrán producido q unidades. 
• En ese momento se completa la corrida de producción y la existencia 
empieza a decrecer a una velocidad de D unidades al año hasta que 
se alcanza al punto de inventario cero. 
• Ese punto de inventario 0 se presentará en el tiempo q/D. 
• En ese momento comienza otra corrida de fabricación. 
Ing. Carlos Martin
Si Suponemos que los costos de producción por unidad son 
independientes del tamaño de la corrida, debemos calcular el valor de 
q que minimiza a:
Como la demanda se presenta a una tasa constante, sabemos que 
(nivel promedio de inventario) = ½ (nivel máximo de inventario). 
En la Fig. vemos que el nivel máximo de inventario se presenta en el 
tiempo q/r
Como entre cero y q/r aumenta el nivel de inventario a una razón r - D 
unidades por año, el nivel de inventario en el tiempo ;será
(q/r) (r – D) 
Entonces (nivel promedio de inventario) = ½ (q/r) (r – D) y
Ing. Carlos Martin
Observe que el costo anual de almacenamiento para el modeló de 
cantidad económica de pedido con tasa continua es el mismo que el de 
almacenamiento anual para un modelo común de cantidad económica 
de pedido en el que el costo unitario de almacenamiento es: 
𝒉 (𝒓 −𝑫)
𝒓
Como de costumbre, 
Así se demuestra que 
Ing. Carlos Martin
• Con la última ecuación se demuestra que el problema de reducir al 
mínimo la suma de los costos anuales de almacenamiento y orden 
para el modelo de lasa continua es equivalente a resolver un modelo 
de cantidad económica de pedido con costo de almacenamiento igual 
a 
𝒉 (𝒓 −𝑫)
𝒓
, costo de pedido K y demanda anual D. 
• Si se aplica esta observación y Ia fórmula de cantidad económica de 
pedido (o tamaño económico de lote), podemos deducir de 
inmediato que para el modelo de cantidad económica de pedido con 
tasa continua, 
Ing. Carlos Martin
Como de costumbre, se deben hacer corridas de fabricación cada año 
para Satisfacer la demanda anual de D unidades. 
Además como 
podemos reagrupar a la ecuación (5) para obtener 
Ing. Carlos Martin
Cuando aumenta r, se incrementa la producción. 
Por lo tanto, para r grande, el modelo de tasa debe acercarse al 
caso de la entrega instantánea del modelo de cantidad económica 
de pedido. 
Para ver que éste es el caso, observe que cuando r es grande, 
𝒓
𝒓 −𝑫
se acerca a 1: 
Entonces vemos que cuando r aumenta hacia el infinito, el tamaño 
óptimo de corrida para el modelo de tasa continua se acerca al del 
modelo de cantidad económica de pedido. 
Ing. Carlos Martin
Ejemplo
Ing. Carlos Martin
Una compañía automotriz debe producir 10 000 chasises de 
automóvil al año. 
Cada chasis tiene un valor de 2.000 dólares. 
La capacidad de producción de la planta es de 25.000 chasises por 
año.
Cuesta 200 dólares organizar una corrida de producción y el costo 
anual por mantener en el inventario es de 0,25 dólares. 
1. Calcule el tamaño óptimo de corrida de producción. 
2. ¿Cuántas corridas de producción se deben hacer cada año?
Los datos son:
r = 25 000 chasises por año 
D = 10 000 chasises por año 
h = 0.25 (2.000 dólares)/chasis/año = 500 dólares/chasis/año 
K = 200 dólares por corrida de producción 
Se organizarán, 
𝟏𝟎.𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟏𝟓,𝟒𝟕
= 86,60 corridas de producción al año.
Ing. Carlos Martin
Tamaño óptimo de corrida =
𝟐 𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟎.𝟎𝟎𝟎 (𝟐𝟓.𝟎𝟎𝟎)
𝟓𝟎𝟎 (𝟐𝟓.𝟎𝟎𝟎 −𝟏𝟎.𝟎𝟎𝟎)
1/2
= 115,47
Investigación
Operativa
Modelo de cantidad económica de 
pedido con demandas que se pueden 
volver a pedir 
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
En muchos casos de la vida real no se cumple la demanda a tiempo y se 
presentan escaseces. 
Cuando hay carestía se incurre en costos, debidos a pérdida de clientes, costo 
de hacer pedidos especiales, perdida de buena voluntad en el futuro, y cosas 
por el estilo. 
Ahora modificaremos el modelo de cantidad económica de pedido para 
permitir la posibilidad de agotamientos. 
Sea s el costo por la falta de una unidad durante un año. 
Las variables K, D y h tienen sus significados normales. 
En la mayor parte de los casos es muy difícil determinar s. 
Se supone que toda la demanda se acumula y que no se pierden ventas. 
Para determinar la política de pedidos que reduzca al mínimo los costos 
anuales, definiremos
q = cantidad pedida 
q-M = agotamiento máximo que se presenta con determinada política de 
pedidos 
Ing. Carlos Martin
De manera equivalente, suponiendo tiempo de entrega cero, a la 
empresa le faltarán q - M unidades cada vez que se haga un pedido. 
Suponemos que el tiempo de entrega para cada pedido es cero. 
Como se hace un pedido cada vez que a la empresa le faltan q-M 
unidades (o cuando el nivel de inventario de la empresa es M - q), el 
nivel máximo de inventario de esa empresa será:
M – q + q = M
Por ejemplo, siq= 500 y q - M=100, sabemos que se hará un pedido 
por 500 unidades siempre que a la empresa le falten 100 unidades.
Cada pedido de 500 unidades se usará para satisfacer la demanda 
acumulada de 100 unidades y ocasionará un nivel de inventario de 500 
- 100 = 400 unidades. 
Si se supone que se coloca un pedido cuando el tiempo es 0, la 
evolución del nivel de inventario a través del tiempo se representa en 
la Fig. 
Ing. Carlos Martin
Si se supone que se coloca un pedido cuando el tiempo es 0, la 
evolución del nivel de inventario a través del tiempo se representa en 
la Fig.
Como los costos de compra no dependen de q ni de M, podemos 
minimizar los costos anuales calculando los valores de q y M que 
reduce al mínimo:
Ing. Carlos Martin
Observe que lo que sucede entre el tiempo O ·y el tiempo B es 
idéntico a lo que sucede entre el tiempo B y el tiempo D. 
Por este motivo, llamaremos ciclos a los periodos OB y BD. 
También uno se puede imaginar un ciclo como el intervalo que 
transcurre entre la colocación de pedidos. 
Para determinar el costo anual de almacenamiento y el de escasez 
comenzaremos calculando el costo de almacenamiento por ciclo y 
el de escasez por ciclo. 
Esto requiere determinar la longitud de los segmentos de recta OA 
y AB en la Fig. 
Como se tiene un nivel de existencias cero después de que han sido 
pedidas M unidades, llegamos a la conclusión que 0A = M/D. 
Como un ciclo termina cuando han sido pedidas q unidades, 
llegamos a la conclusión que 0B = q/D. 
Ing. Carlos Martin
Entonces:
Longitud de AB = (longitud de OB) - (longitud de OA) = (q – M) / D
Observe también que como se han pedido q unidades durante cada 
ciclo, se deben hacer D/q pedidos ( que es también el número de 
ciclos) cada año. 
Podemos ahora expresar los costos en la ecuación (7). 
Recuerde que 
Ing. Carlos Martin
y 
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒂𝒍𝒎𝒂𝒄𝒆𝒏𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐
𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐
= costo de almacenamiento del tiempo O al A
Según la Fig., el nivel promedio de existencias entre el tiempo o y el 
tiempo A es simplemente M/2. 
Como OA tiene una longitud M/D
Como hay D/q ciclos por año 
Ing. Carlos Martin
De igual modo,
Asimismo, note que el costo de carencia por ciclo = costo por escasez 
contraídos durante el tiempo AB. 
Como la demanda se presenta a tasa constante, el nivel promedio de 
escasez durante el tiempo AB es simplemente la mitad de la escasez 
máxima. 
Así, el nivel promedio de escasez o agotamiento en el intervalo de 
tiempo AB es:
(q – M) / 2
Como AB es un intervalo de tiempo de longitud:
(q – M) / D
Ing. Carlos Martin
Como hay ciclos por año,
Como de costumbre, costo anual de orden = K D/q.
Sea TC(q,M) el costo total anual, excluyendo al costo de compra, si la 
política de pedidos utiliza parámetros q y M. 
De acuerdo con el análisis, debemos seleccionar q y M para minimizar 
Ing. Carlos Martin
Se puede demostrar que TC(q, M) es una función convexa de q y M.
El valor mínimo de TC(q,M) se tendrá en el punto en el que:
Después de algunas operaciones algebraicas tediosas se demuestra 
que TC(q,M) se reduce al mínimo en q* y M*: 
Carencia máxima = q* - M* 
Ing. Carlos Martin
Cuando s tiende a infinito, q* y M* tienden ambas a la cantidad 
económica de pedido, y el agotamiento o escasez máxima tiende a 
cero. 
Esto es razonable, ya que si s es grande, el costo por escasez es muy 
alto y esperaríamos que la política optima de pedidos incurriera en 
muy poca escasez.
Si no hay otro remedio, en otras palabras, si s es muy grande, nos 
encontramos, para todos los intentos y para lodos los fines, con el caso 
del agotamiento prohibido. 
Ing. Carlos Martin
Cada año, la Smalltown Optometry Clinic vende 10.000 armazones 
para lentes. 
La clínica pide los armazones a un abastecedor regional, que cobra 15 
dólares por armazón. 
Cada pedido incurre en un costo de 50 dólares. 
La óptica cree que la demanda de armazones puede acumularse y que 
el costo por carecer de un armazón durante un año es 15 dólares 
debido a la pérdida de negocios futuros. 
El costo anual por mantener en el inventario es de 0,30 dólares por 
dólar de valor del inventario. 
1. ¿ Cuál es la cantidad óptima de un pedido? 
2. ¿ Cuál es la escasez máxima que se presentará? 
3. ¿Cuáles el nivel máximo de inventario que se presentará? 
Ing. Carlos Martin
• Los datos son 
• K = 50 dólares 
• D = 10 000 armazones por año 
• h = 0,3 (15) = 4,50 dólares/armazones/año 
• s = 15 dólares/armazón/año 
Las fórmulas para q* y M* dan como resultado 
Entonces la carencia máxima que se presentará será q* - M* = 124,03 
armazones, y cada pedido debe ser de 537 o 538 armazones. 
Se tendrá un nivel máximo de existencias de M* = 413,45 armazones. 
Ing. Carlos Martin
Supongamos que la producción no es instantánea y que podemos 
producir a una tasa de r unidades por año. 
Si se permite escasez, se puede demostrar que
El agotamiento máximo que se presentará en este caso, al que 
llamaremos S* esta expresado por 
Ing. Carlos Martin
Bibliografía
Ing. Carlos Martin
 Prawda Witenberg J. “Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones 
– Vol. 1 Modelos Determinísticos”. Editorial Limusa. ©1999
 Taha Hamdy A. “Investigación de Operaciones”. Editorial Alfa Omega. ©1998
 Winston Wayne L.. “Investigación de Operaciones. Editorial. Grupo Editorial 
Iberoamericana. ©2005
 Hillier Frederick S. “Introducción a la Investigación de Operaciones. 
Editorial. Mc Graw Hill. ©2001
 Eppen G.D. “Investigacion de Operaciones En la Ciencia Administrativa. 
Editorial Prentice. ©2000
 Mathur-Solow – Investigación de Operaciones – Ed. Prentice Hall 1996.
 MARIN, Isidoro. “Investigación Operativa”. UBA. Centro de Estudiantes 
Universidad Nacional de Buenos Aires. © 1970
 LEVIN, Richard I.. “Enfoques Cuantitativos a la Administración”. CECSA
 Anderson, David R. “Métodos Cuantitativos para los Negocios”. 11a. ed. 
Cengage Learning
 Bronson, Richard. “Investigación de Operaciones”. Editorial Mc Graw Hill.
 MUNIER, Nolberto. “Manual de PERT – CPM”. Editorial ASTREA.
Preguntas
Ing. Carlos Martin
Investigación
Operativa
Muchas Gracias
Profesor: Ing. Carlos A. Martin
E-mail: ing_carlos_martin@hotmail.com
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR