Teoria Sensibilidad

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Investigación
Operativa
Análisis de Sensibilidad
Profesor: Ing. Carlos A. Martin
E-mail: ing_carlos_martin@hotmail.com
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy, Jujuy, AR
• Introducción gráfica al análisis de sensibilidad
• Análisis de sensibilidad de la solución óptima de un programa
lineal.
• Variaciones en la disponibilidad de recursos. Cambios en los
costos o precios unitarios.
• Cambios en los coeficientes tecnológicos. Cambios en el
número de actividades. Cambios en el número de
restricciones del sistema lineal a optimizarse.
• Conveniencia de incrementar o no algún tipo de recurso.
• Precios sombra. Costo de oportunidad.
• Ejemplos práctica.
Unidad IV: Análisis de Sensibilidad
Ing. Carlos Martin
PRESENTACIÓN
Se presenta el proceso de consecución de soluciones óptimas de un problemas de programación lineal a partir de una
solución óptima; cuando se realizan cambios en los parámetros iniciales del problema.
OBJETIVO GENERAL
Al finalizar el capítulo el estudiante debe estar en capacidad de obtener la solución óptima de un problema de
programación lineal haciendo uso del análisis de sensibilidad, cuando ya se tiene la solución óptima de un problema y
éste sufre cambios en los parámetros iniciales.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Obtener la solución óptima de un problema de P.L. cuando hay modificación en la disponibilidad de recursos; dado
que ya se tiene la solución óptima del problema inicial.
• Obtener la solución óptima de un problema de P.L. cuando hay modificación en los costos , precios o utilidades;
dado que ya se tiene la solución óptima del problema inicial.
• Obtener la solución óptima de un problema de P.L. cuando hay modificación en la asignación unitaria de recursos;
dado que ya se tiene la solución óptima del problema inicial.
• Obtener la solución óptima de un problema de P.L. cuando se adicionan nuevas restricciones al modelo; dado que
ya se tiene la solución óptima del problema inicial.
• Obtener la solución óptima de un problema de P.L. cuando hay la posibilidad de agregar nuevos productos o
actividades; dado que ya se tiene la solución óptima del problema inicial.
• Interpretar las nuevas soluciones obtenidas.
COMPETENCIAS
El estudiante tendrá la capacidad de obtener nuevas soluciones a problemas de programación lineal, cuando el
problema original tiene cambios en la información de sus parámetros.
INDICADORES DE LOGRO
El estudiante deberá demostrar el manejo e interpretación de las nuevas soluciones obtenidas a través del análisis de
sensibilidad cuando un problema original presenta cambios en sus parámetros.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
• Gauss Jordan.
• Vectores y matrices.
• Operaciones entre matrices.
Ing. Carlos Martin
No es suficiente, para el tomador de decisiones conocer solo el valor de la solución óptima, sino que
también es necesario saber en que grado es estable dicha solución respecto a posibles variaciones de
los coeficientes CJ y bi.
Todos los cambios se evalúan a partir de la solución óptima de la información inicial.
Esto se estudia mediante el análisis de sensibilidad. Estudiaremos:
a.- Cambios en el vector c: Análisis de Optimalidad.
Como varia la S.O. en función de la variación de los coeficientes de beneficio Cj.
Los Cj definen la pendiente del funcional m , por lo tanto, al cambiar ellos, cambia m. Calcularemos el
rango de variación de Cj dentro del cual la solución se mantiene.
b.- Cambios en el vector b: Análisis de Factibilidad.
Como varía la S.O. en función de la variación de las disponibilidades bi. Si se modifican los bi siempre
existe un cambio del convexo y a veces se modifica la solución.
c.- Cambios en la matriz A.
d.- Cambios en el vector X.
e.- Cambios en el número de restricciones del sistema lineal a optimizarse.
Análisis de Sensibilidad
Ing. Carlos Martin
Análisis de Sensibilidad: Método Grafico
Estudia la sensibilidad de la solución optima respecto a los 
cambios que se hagan en el modelo.
Ejemplo:
Ing. Carlos Martin
Análisis de Sensibilidad: Método Grafico
Ing. Carlos Martin
Análisis de Sensibilidad: Método Grafico
Ing. Carlos Martin
Análisis de Optimalidad:
Cambios en los Coeficientes Cj de la F. O. 
• Los Cambios en los coeficientes C1 y C2 harán cambiar la pendiente de Z.
• Sin embargo existe un intervalo de variación, tanto para C1 como para C2 
en el cual el óptimo permanece sin cambio.
Ing. Carlos Martin
Recordemos
Ing. Carlos Martin
Recordemos
Ing. Carlos Martin
Rango de Variación de C1 y C2
Ing. Carlos Martin
Análisis de Factibilidad: 
Cambios en los Coeficientes bi de las Restricciones 
Ing. Carlos Martin
Intervalo de Factibilidad para (1): 6 X1 + 4 X2 ≤ 24
Ing. Carlos Martin
• La cantidad de b1´ en I (2,2): = 6 (2) + 4 (2) = 20
• La cantidad de b1“ en G (6,0): = 6 (6) + 4 (0) = 36
• 20 ≤ b1 ≤ 36
En la Figura, la recta b1 corresponde a la restricción inicial 
siendo el vértice solución óptima el C. 
Un aumento en la disponibilidad desplazará paralelamente a sí 
misma a la recta ·b1. 
Esto trae como consecuencia un aumento del área del polígono 
de soluciones y un desplazamiento del vértice representativo de 
la solución óptima, lo que origina un aumento del funcional. 
La recta b”1 corresponde a una disponibilidad b1=36, la solución 
óptima se encuentra en G. 
Observamos que el desplazamiento del vértice desde C a G se 
hace permanentemente sobre la recta: 1 x1 + 2 x2 = 6
Estos aumentos en la b1 tienen sentido hasta un cierto límite G, 
a partir del cual la solución óptima deja el convexo
Una forma de encontrar ese límite sería hallar la ecuación de la 
recta que pasa por G (6,0) y tiene una pendiente m = –3/2:
Veremos qué ocurre si se varía la disponibilidad de un recurso saturado. Consideraremos un aumento de b1. 
X2 – 0 = - 3/2 (X1 – 6)
Intervalo de Factibilidad para (1): 6 X1 + 4 X2 ≤ 24
Ing. Carlos Martin
• La cantidad de b1´ en I (2,2): = 6 (2) + 4 (2) = 20
• La cantidad de b1“ en G (6,0): = 6 (6) + 4 (0) = 36
• 20 ≤ b1 ≤ 36
• En la Figura, la recta b1 corresponde a la restricción 
inicial siendo el vértice solución óptima el C. 
• Una disminución en la disponibilidad desplazará 
paralelamente a sí misma a la recta ·b1. 
• Esto trae como consecuencia una disminución del área 
del polígono de soluciones y un desplazamiento del 
vértice representativo de la solución óptima, lo que 
origina una disminución del funcional. 
• La recta b´1 corresponde a una disponibilidad b1=20, la 
solución óptima se encuentra en I (2,2). 
• Observamos que el desplazamiento del vértice desde 
C a I se hace permanentemente sobre la recta: 
1 x1 + 2 x2 = 6
• Estas disminuciones en la b1 tienen sentido hasta un 
cierto límite I, a partir del cual la solución óptima 
abandona la restricción 6 x1 + 4 x2 = 24
• Una forma de encontrar ese límite sería hallar la 
ecuación de la recta que pasa por I (2,2) y tiene una 
pendiente m = –3/2: X2 – 2 = - 3/2 (X1 – 2)
Veremos qué ocurre si se varía la disponibilidad de un recurso saturado. Consideraremos una disminución de b1
Intervalo de Factibilidad para (2): 1 X1 + 2 X2  6
Ing. Carlos Martin
• La cantidad de b2´ en B (4,0): = 1 (4) + 2 (0) = 4
• La cantidad de b2“ en E (8/3,2): = 1 (8/3) + 2 (2) = 20/3
• 4 ≤ b2 ≤ 20/3
Consideraremos un aumento en la disponibilidad 
correspondiente al recurso b2. 
En la Figura, la recta b2 corresponde a la 
restricción inicial siendo el vértice solución óptima 
el C. 
Un aumento en la disponibilidad desplazará 
paralelamente a sí misma a la recta ·b2. 
Esto trae como consecuencia un aumento del área 
del polígono de soluciones y un desplazamiento 
del vértice representativo de la solución óptima, 
lo que origina un aumento del funcional. 
La recta b”2 corresponde a una disponibilidad 
b2=20/3, la solución óptima se encuentra en E.
Observamos que el desplazamiento del vértice 
desde C a E se hace permanentemente sobre la 
recta: 6 x1 + 4 x2 = 24 
Intervalo de Factibilidad para (3): -1 X1 + 1 X2 ≤1
Ing. Carlos Martin
• La cantidad de b3´ en C (3 , 3/2): = -1 (3) + 1 (3/2) = - 3/2
• La cantidad de b3“: = 
• - 3/2 ≤ b3 ≤ 
• Un aumento en la disponibilidad de un 
recurso no saturado no produce 
variación en el valor del funcional ni en 
la estructura de la solución. 
• Únicamente aumenta la cantidad no 
aprovechada del recurso. 
• Una disminución en la disponibilidad de 
ese recurso no produce variaciones, 
siempre que esa disminución sea 
menor que el sobrante. 
• En el caso que estamos considerando, 
una disminución en la disponibilidad del 
recurso b3 en una cantidad igual al 
sobrante, origina que este recurso se 
convierta en recurso saturado, no 
modificándose la solución. 
• Gráficamente lo vemos en la Figura, la 
recta b3 correspondiente a la restricción 
original, se ha desplazado en forma 
paralela, hasta la posición b´3, sin que 
se haya desplazado el vértice C
solución.
Intervalo de Factibilidad para (4): 1 X2 ≤ 2
Ing. Carlos Martin
• La cantidad de b4´ en C (3 , 3/2): = + 1 (3/2) = 3/2
• La cantidad de b4“: = 
• 3/2 ≤ b4 ≤ 
• Un aumento en la disponibilidad 
de un recurso no saturado no 
produce variación en el valor del 
funcional ni en la estructura de la 
solución. 
• Únicamente aumenta la cantidad 
no aprovechada del recurso. 
• Una disminución en la 
disponibilidad de ese recurso no 
produce variaciones, siempre 
que esa disminución sea menor 
que el sobrante. 
• En el caso que estamos 
considerando, una disminución 
en la disponibilidad del recurso 
b4 en una cantidad igual al 
sobrante, origina que este 
recurso se convierta en recurso 
saturado, no modificándose la 
solución. 
• Gráficamente lo vemos en la 
Figura, la recta b4
correspondiente a la restricción 
original, se ha desplazado en 
forma paralela, hasta la posición 
b´4, sin que se haya desplazado el 
vértice C solución.
Valor por Unidad de Recursos
Ing. Carlos Martin
Valor por Unidad de Recursos
Ing. Carlos Martin
Análisis de Sensibilidad: Rangos de 
Variación de los Cj y de los bi
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Tipos de Restricciones
Ing. Carlos Martin
Hay 2:
•Restricción Activa:
Cuando el Recurso correspondiente a esa 
restricción está Agotado.
•Restricción Inactiva: Cuando el Recurso
correspondiente no está agotado, entonces 
hay un sobrante.
Restricción Activa
• Cuando el recurso correspondiente a esa restricción está agotado
tiene un Valor Marginal (VM) positivo (+). 
(Ej. El agua X3 y el capital X5). 
• Desde el punto de vista del Esquema Directo, es un Beneficio 
Marginal (BM) referido a la disponibilidad del recurso.
Si se incrementara la disponibilidad de este recurso en una unidad 
se tendrá un beneficio igual al VM
• Desde el punto de vista del Esquema Dual es un Costo Marginal 
(CM).
Si el Costo de Mercado (cm) es menor (<) que el CM conviene 
comprar el recurso (es oportuno), sino no.
Ing. Carlos Martin
Restricción Inactiva
• Cuando el recurso correspondiente no está agotado, 
entonces hay un sobrante, por lo tanto tiene un V.M. = 0 
el B.M = 0
• Si se incrementara la disponibilidad de este recurso en una 
(1) unidad se tendrá un beneficio = 0.
• Por otra parte C.M = 0. 
• Si c.m. < C.M.: es oportuno comprar
Ing. Carlos Martin
Cambios en el vector c: Análisis de Optimalidad
Consideremos una tabla genérica en la cual se ha arribado a la solución 
óptima para un PL de MAX
Ing. Carlos Martin
Análisis de los Cj de las Variables no Básicas 
C4 y C5:
• Para que la solución se mantenga inalterable, las variables que están fuera de la S.O. deben 
mantener esa condición
• Entonces, si se trata de maximizar Cj debe ser tal que Zj - Cj siga siendo ≥ 0 e inversamente si se 
trata de minimizar. De lo contrario la solución se alteraría.
• De la última tabla obtenemos los Zj - Cj de las variables que no están en la solución C4 y C5:
Ing. Carlos Martin
❖ Para 444,334,224,11444 ...: kcacacacCZC =−++=− 
 
Incremento C4 en C4 y planteo la condición que debe cumplirse para que no cambie la 
solución: 
 
( ) 00 444444 −−+− CCZCCZ 4444 kCZC =− 
 
❖ Para 55555 : kCZCC =− 
 
❖ En general 
imizaciónCZC
imizaciónCZC
jjj
jjj
min
max
−
−
 
 
Nota: Si los jC fueran (-) los jj CZ − continuarían siendo (+) por lo que la solución no 
se alteraría. 
Análisis de los Cj de las Variables Básicas 
• De la última tabla obtenemos los Zj - Cj de las variables que están en la solución C1 , C2 y C3 
• Para que la solución se mantenga inalterable, las variables que están en la S.O. deben 
mantener esa condición
• Entonces, si se trata de maximizar Cj debe ser tal que Zj - Cj siga siendo ≥ 0 e 
inversamente si se trata de minimizar. De lo contrario la solución se alteraría.
Ing. Carlos Martin
❖ Lo mismo se hace para C2 y C3
En Síntesis:
Ing. Carlos Martin
Ejemplo
• Un sistema de riego puede ser cultivado con dos tipos de cultivos. 
• La superficie disponible es de 60 hectáreas.
• El cultivo 1 requiere dos unidades de agua por unidad de superficie y 60 unidades de 
capital
• El cultivo 2 requiere una unidad de agua por unidad de superficie y 10 unidades de capital. 
• Maximizar el beneficio sabiendo que el cultivo 1 genera 30 unidades monetarias y el cultivo 
2 genera 10. 
• Se dispone de 80 unidades de agua y 2100 de capital. 
• Realizar: 
a) El tratamiento grafico de la sensibilidad de los coeficientes del funcional. 
b) El tratamiento analítico de la sensibilidad de los coeficientes del funcional: 
i. Análisis de los coeficientes de las variables que no están en la solución; 
ii. Análisis de los coeficientes de las variables que están en la solución. 
c) El tratamiento grafico de la sensibilidad de los recursos: i) Saturados; ii) No saturados.
d) El tratamiento analítico de la sensibilidad de las restricciones: 
i. Análisis de los recursos de las variables que no están en la solución del Dual; 
ii. Análisis de los recursos de las variables que no están en la solución del Dual. 
Ing. Carlos Martin
Resolución Grafica
Ing. Carlos Martin
Tratamiento Analítico de la Sensibilidad 
de los Cj que no están en la Base: C3 y C5
Análisis analítico de la sensibilidad de los jC : 
Las V. que no están en la S.O. son: X3 y X5 
Las V. que están en la S.O. son: X1, X2 y X4 
 
➢ Análisis de los coeficientes de las V. que no están en la S.O.: jjj CZC − 
• Para 3 3 3: 7.50 7.5C C C   −   
• Para 5 5 5
: 0.25 0.25C C C   −  
 
 
Ing. Carlos Martin
Tratamiento Analítico de la Sensibilidad de los Cj
que están en la Base: C1, C2 y C4
Ing. Carlos Martin
➢ Análisis de los coeficientes de las V. que están en la S.O.: 
jk
jj
k
a
CZ
c
,
−
= 
• Para 30)(30
25.0
5.7
: 1,11 =+−== CaCC j 
10)(10
025.0
25.0
11 =−+== CaC ij 
602030301030 11 +− CC 
 
• Para 5)(5
5.1
5.7
: 222 =−+== CaCC ij 
2 2
0.25
5 ( ) 5
0.05
ijC a C = = −  + =
 
155510510 22 +− CC 
 
• Para 4 4 4
7.5
: 6 ( ) 6
1.25
ijC C a C = = −  + = 
10)(10
025.0
25.0
44 =−+== CaC ij 
61060100 44 −+− CC 
Análisis de Sensibilidad: Rangos de 
Variación de los Cj y de los bi
• Valores de las variables genuinas del Directo y las variables Duales
• Costos reducidos
• Rangos de variación de las variables genuinas del Directo y las 
variables Duales
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Cambios en el vector b: Análisis de Factibilidad
Ing. Carlos Martin
 
• Resolvemos el Directo y de la tabla Optima pasamos a la tabla optima del Dual, o bien 
• Del esquema Directo pasamos al esquema Dual y resolvemos aplicando Simplex teniendo en 
cuenta que es un caso de minimización. 
Luego para el Análisis analítico de la sensibilidad de las disponibilidades bi usamos la regla vista 
para los Cj del Directo. 
: :j j j j j jDirecto C Z C Dual b Z b  −   − 
 
➢ a.- Análisis de los bj que no están en la solución: b2, b4 y b5: bj ≥ Zj - bj 
 
Para b2 = 60: 22422 5.47:;60):(5.12 bbcomotierraxyb =−Mientras la disponibilidad de tierra sea b2 0..5.47 = MBel 
 
 
 
Tienen una 
interpretación 
matemática 
−=−
+=−
55255
44144
15;0:)(0.15
5.32;0:)(5.32
bbcomoxyb
bbcomoxyb
Cambios en el vector b: Análisis de Factibilidad
Ing. Carlos Martin
➢ b.- Análisis de los bj que están en la S.O.: ij
jj
j
a
bZ
b
−
=
 
 
❖ Para 10)(10
25.1
5.12
80 12,1
2,1
22
11 +=+==
−
== ba
a
bZ
bb 
 130)(130
25.0
5.32
14,1
4,1
44
1 +=+==
−
= ba
a
bZ
b 
 10)(10
5.1
15
15,1
5,1
55
1 −=−==
−
= ba
a
bZ
b 
 
aguaXyb :10801080 311 +− 9070 1  b 
 
❖ Para 500)(;500
025.0
5.12
2100 32,2
2,2
22
33 −=−==
−
== ba
a
bZ
bb 
1300)(;1300
025.0
5.32
34,2
4,2
44
3 −=−==
−
= ba
a
bZ
b 
300)(;300
05.0
15
35,2
5,2
55
3 +=+==
−
= ba
a
bZ
b 
 
30021005002100 3 +− b 
capitalXyb :24001600 533  
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Un cambio en el vector de disponibilidad de recursos, indica que hay un nuevo
vector b (denotado como b*); también cambia XB (denotado como XB*).
Además, si cambia XB, genera un cambio en el valor de la función objetivo Z
(al nuevo llámelo Z*).
En conclusión el vector crítico a evaluar es XB*, el cual puede arrojar dos
posibles valores así:
• Si XB* = B-1 b* ≥ 0, indica que este nuevo vector es la solución óptima del
nuevo problema; y por lo tanto se debe calcular el nuevo valor de la función
objetivo Z*=CBXB*
• Si XB* = B-1 b*< 0, indica que hay mínimo una variable que está tomando
valor negativo (no cumple con las restricciones de no negatividad a que obliga
el algoritmo); por lo tanto la solución ha dejado de ser optima.
En este caso se toma el nuevo vector XB* y se reemplaza en el tablero óptimo
por el vector XB. De ahí en adelante se aplica el método dual simplex, hasta
obtener la nueva solución óptima.
Ing. Carlos Martin
1. Cambio en la Disponibilidad de Recursos (Vector b) 
Cambios simultáneos
Tenga en mente que la información del análisis de sensibilidad del lado
derecho se basa en el supuesto de que sólo un lado derecho cambia a la
vez.
Sin embargo, en algunos casos, nos puede llegar a interesar lo que ocurre
si dos o más lados derechos cambian de forma simultánea.
Es posible realizar un análisis de cambios simultáneos con la ayuda de la
regla del 100 por ciento
REGLA DEL 100 POR CIENTO PARA LOS LADOS DERECHOS 
Para todos los lados derechos que cambian, sume los porcentajes de los
aumentos y las disminuciones permisibles. Si la suma de los porcentajes es
menor o igual que 100%, los precios duales no cambian.
Disminución permisible = Valor actual - Límite inferior 
Aumento permisible = Límite superior - Valor actual 
Ing. Carlos Martin
Ahora suponga que la gerencia de RMC decide comprar 0.5 toneladas adicionales
de material 1 y 4.5 toneladas adicionales de material 3.
Como muestra la tabla 8.2, el material 1 tiene un aumento permisible de 1.5
toneladas; por consiguiente, el incremento del lado derecho de dicho material es
0.5 /1.5 = 0.333, o 33.3%, de su aumento permisible.
De manera similar, como el material 3 tiene un aumento permisible de 9
toneladas, el incremento del lado derecho de dicho material es 4.5 / 9 = 0.50, o
50%, de su aumento permisible.
La suma de los porcentajes para los dos lados derechos es 33.3% + 50% =
83.3%. Ing. Carlos Martin
Al aplicar la regla del 100 por ciento al problema de RMC, vemos que la suma de los
porcentajes de los aumentos y las disminuciones permisibles es 83.3%.
Por tanto, la regla del 100 por ciento indica que el precio dual para la restricción del material 1
aún es $33.33 por tonelada, y el precio dual para la restricción del material 3 sigue siendo
$44.44 por tonelada.
De ahí que las 0.5 toneladas adicionales de material 1 y las 4.5 toneladas adicionales de
material 3 mejoren el valor de la función objetivo 0.5(33.33) + 4.5(44.44) = $216.65.
Sin embargo, observe que el programa lineal modificado tendrá que resolverse para
determinar las cantidades de producción F y S que proporcionan la nueva solución óptima.
La regla del 100 por ciento no establece que los precios duales cambiarán si la suma de los
porcentajes de los aumentos y las disminuciones permisibles es mayor que 100%.
Todo lo que podemos decir es que si la suma de los porcentajes es mayor que 100%, pueden
existir precios duales diferentes.
Por tanto, siempre que la suma de los cambios porcentuales sea mayor que 100%, se debe
resolver un problema modificado con el propósito de determinar la nueva solución óptima y los
nuevos precios duales.
Ing. Carlos Martin
A modo de teoría, cuando se evalúa posibles cambios en precios, costos o
utilidades unitarias, en la estructura general del modelo se está cambiando
por lo menos un valor Cj .
Dentro de la estructura del tablero simplex, el Cj se utiliza para calcular todo
el renglón Zj - Cj , que es el renglón que permite determinar si la solución es
o no óptima.
Entonces, se pueden presentar los siguientes dos casos dependiendo del
valor que tomen los Zj - Cj :
• Si Zj - Cj ≥ 0, la solución del problema original sigue siendo la optima.
• Si Zj - Cj < 0, la solución ha dejado de ser óptima y se debe utilizar el
método simplex para llegar a la nueva solución óptima.
Ing. Carlos Martin
2. Cambio en los Precios o Costos Unitarios (Vector C)
Cambios simultáneos 
La información del análisis de sensibilidad proporcionada por los coeficientes
de la función objetivo se basa en el supuesto de que sólo cambia un
coeficiente de la función objetivo a la vez y que todos los demás aspectos del
problema original permanecen sin cambios.
De ahí que el rango del coeficiente objetivo sea aplicable a cambios en un
solo coeficiente objetivo. Sin embargo, en algunos casos nos podría interesar
lo que ocurre si dos o más coeficientes de la función objetivo cambian
simultáneamente. Como demostraremos, es posible hacer un análisis de los
cambios simultáneos con la ayuda de la regla del 100 por ciento,
REGLA DEL 100 POR CIENTO PARA LOS COEFICIENTES DE LA
FUNCIÓN OBJETIVO
Para todos los coeficientes de la función objetivo que cambian, sume los
porcentajes de los aumentos y las disminuciones permisibles; si la suma
es menor o igual que 100%, la solución óptima no cambiará.
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Ing. Carlos Martin
Por último, observe que la regla del 100 por ciento no afirma que la solución
óptima cambiará si la suma de los porcentajes de los aumentos y las
disminuciones permisibles es mayor que 100%.
Todo lo que podemos asegurar es que si la suma de los porcentajes es
mayor que 100%, puede existir una solución óptima diferente.
Por tanto, siempre que la suma de los cambios porcentuales sea mayor que
100%, el problema modificado debe resolverse para determinar la solución
óptima.
Ing. Carlos Martin
Cuando se presentan cambios en precios, costos o utilidades unitarias, se
recomienda seguir el siguiente procedimiento.
En el tablero óptimo del problema original, cambie los valores Cj que hayan
sido modificados.
• Si los valores modificados pertenecen a variables básicas, se debe
modificar el vector CB.
• Recalcule nuevamente todos los valores Zj - Cj.
• Si los valores calculados en el ítem anterior son mayores o iguales a
cero, se concluye que la solución del problema original sigue siendo la
óptima; de lo contrario se utiliza el método simplex para encontrar la nueva
solución optima.
Recomendación
Ing. Carlos Martin
Para realizar análisis de sensibilidad cuando se producen cambios en la asignación
unitaria de recursos (coeficientes tecnológicos) hay que aclarar que se puede
aplicar sólo a variables no básicas.
Pues, en el evento que estos cambios se surtan en variables básicas, el cambio
generado en toda la información es muy brusco; por lo tanto se recomienda resolver
el problema desde el principio.
Cuando se modifica un vector aj , dentro de la estructura del tablerosimplex, el aj se
utiliza para calcular cada uno de los valores Zj - Cj , que es el renglón que permite
determinar si la solución es o no óptima.
Entonces, se pueden presentar los siguientes dos casos dependiendo del valor que
tomen los Zj -Cj :
• Si Zj - Cj ≥ 0, la solución del problema original sigue siendo la óptima.
• Si Zj - Cj < 0, la solución ha dejado de ser óptima y se debe utilizar el método
simplex para llegar a la nueva solución optima; no sin antes actualizar el vector KB
de la variable a la cual se le está realizando el análisis de sensibilidad.
Todos los vectores KB se calculan mediante la fórmula B-1aj .
3. Cambio en la Asignación Unitaria de Recursos (Matriz A o vectores aj)
Ing. Carlos Martin
En el evento que se agreguen nuevas restricciones a un problema de
programación lineal se debe aplicar el siguiente procedimiento:
Verificar si la solución óptima del problema original, satisface todas las
nuevas restricciones.
• Si esto es cierto, la solución actual sigue siendo la óptima para el nuevo
problema.
• Cuando no se satisfacen las restricciones por la solución actual, se llevan
estas nuevas restricciones al tablero óptimo del problema original;
obviamente, agregándole las variables de holgura, exceso y artificiales
que sean necesarias. Restituir o recomponer todos los vectores unitarios
que se hayan dañado con la adición de las nuevas restricciones. Aplicar
el método simplex o método dual simplex, según sea el caso para obtener
la nueva solución óptima
4. Nuevas Restricciones
Ing. Carlos Martin
Cuando se evalúa la posibilidad de fabricar nuevos productos o actividades,
por obvias razones se generan nuevas variables; las que necesariamente
crearán nuevas columnas dentro del tablero simplex.
Por lo tanto surgen nuevos valores Zj - Cj , los cuales pueden tener uno de
los dos siguientes comportamientos:
• Zj - Cj = CBB-1aj - Cj ≥ 0. En este caso el nuevo producto no se debe
fabricar ya que no es rentable para la compañía; y la solución óptima del
problema original seguirá siendo la óptima.
• Zj - Cj = CBB-1aj - Cj < 0. En este caso las condiciones de optimalidad ya
no se cumplen y se deberá aplicar el algoritmo simplex hasta obtener la
nueva solución óptima.
5. Nuevos Productos o Actividades
Ing. Carlos Martin
El algoritmo simplex (primal) que se inicia siendo factible y continúa 
siéndolo hasta que se alcanza el óptimo. 
El algoritmo simplex dual que se inicia como no factible (pero mejor 
que óptimo) y así permanece hasta que se restaura la factibilidad, y 
El algoritmo simplex generalizado, que combina los métodos simplex 
primal y dual, los cuales se inician sin ser ni óptimos ni factibles
Algoritmos Simplex Adicionales
Ing. Carlos Martin
Anteriormente nos ocupamos de la sensibilidad de la solución óptima al
determinar los intervalos de los diferentes parámetros de PL que
mantendrían las variables básicas óptimas sin cambiar.
Ahora nos ocuparemos de los cambios de los parámetros del modelo y de
la determinación de la nueva solución óptima.
El análisis pos óptimo determina la nueva solución de una manera eficiente.
Los nuevos cálculos tienen su raíz en el uso de las relaciones duales y
primales-duales.
Análisis Pos Óptimo
Ing. Carlos Martin
La siguiente tabla lista esos casos que pueden surgir en el análisis
postóptimo y las acciones necesarias para obtener la nueva solución
(suponiendo que existe una):
Ing. Carlos Martin
Bibliografía
Ing. Carlos Martin
⚫ Prawda Witenberg J. “Métodos y Modelos de Investigación de 
Operaciones – Vol. 1 Modelos Determinísticos”. Editorial Limusa. 
©1999
⚫ Taha Hamdy A. “Investigación de Operaciones”. Editorial Alfa Omega. 
©1998
⚫ Winston Wayne L.. “Investigación de Operaciones. Editorial. Grupo 
Editorial Iberoamericana. ©2005
⚫ Hillier Frederick S. “Introducción a la Investigación de Operaciones. 
Editorial. Mc Graw Hill. ©2001
⚫ Eppen G.D. “Investigacion de Operaciones En la Ciencia Administrativa. 
Editorial Prentice. ©2000
⚫ Mathur-Solow – Investigación de Operaciones – Ed. Prentice Hall 
1996.
⚫ MARIN, Isidoro. “Investigación Operativa”. UBA. Centro de Estudiantes 
Universidad Nacional de Buenos Aires. © 1970
⚫ LEVIN, Richard I.. “Enfoques Cuantitativos a la Administración”. CECSA
Preguntas
Ing. Carlos Martin