Cap1 3 - Deformaciones

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Introducción Deformación Unitaria Análisis diferencial Ejercicios Ley de Hooke
Caṕıtulo 1: Deformaciones unitarias
Resistencia de Materiales 1
M.Sc.-Ing. Daniel Lavayen Farfán
Pontificia Universidad Católica del Perú
Departamento de Ingenieŕıa
Sección de Ingenieŕıa Mecánica
Área de Diseño
2018
PUCP - ING225 - Caṕıtulo 1: Deformaciones unitarias M.Sc.-Ing. Daniel Lavayen Farfán
Introducción Deformación Unitaria Análisis diferencial Ejercicios Ley de Hooke
Introducción
Estática
Fuerzas externas
Reacciones
Fuerzas internas
Resistencia de materiales
Esfuerzos
Deformaciones
Reacciones
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Importancia
¿Por qué nos interesa conocer las deformaciones?
¿Es importante conocerlas en el diseño mecánico?
¿Son importantes en la evaluación de elementos de máquinas y
estructuras?
¿Qué relación guardan con los esfuerzos?
¿Es lo mismo alargamiento, deformación y desplazamiento?
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Importancia
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Importancia
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Importancia
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Introducción
Hipótesis y suposiciones básicas
Continuidad: El material no posee discontinuidades como fisuras o
porosidades.
Isotroṕıa: El material posee las mismas propiedades en todas las
direcciones.
Homogeneidad: El material posee las mismas propiedades en todos
los puntos.
Elasticidad: Trabajaremos en el rango elástico o lineal de la curva
esfuerzo-deformación σ − ε, es decir, el cuerpo recuperará su forma
original cuando se dejen de aplicar las fuerzas. También existe
deformación plástica y se puede cuantificar, pero escapa al alcance de
este curso.
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Deformación unitaria
Cuando se somete un cuerpo a fuerzas, los puntos del cuerpo sufrirán
un desplazamiento y el cuerpo se deformará.
Las deformaciones pueden ser normales o angulares, dependiendo
del tipo de esfuerzo que actue sobre el punto de análisis.
Pueden existir deformaciones normales y angulares simultáneamente.
No se puede relacionar de manera directa la deformación con los esfuerzos,
se debe introducir un nuevo concepto.
Deformacion unitaria
La deformación unitaria es la deformación que sufre cada segmento lineal
que compone al cuerpo, con respecto a una dimensión de referencia.
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Deformación unitaria normal
Deformación unitaria normal
La deformación unitaria normal es la deformación o estiramiento que
sufre cada linea entre dos puntos del cuerpo sin la necesidad de especificar
su distancia original.
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Deformación unitaria normal
Se define la longitud de un segmento lineal no deformado AB como: ∆s
Al deformarse el cuerpo por acción de las fuerzas, la longitud de este
tramo será: ∆s ′
Deformación unitaria normal
Promedio:
εprom =
∆s ′ − ∆s
∆s
∆s ′ = (1 + ε)∆s
Para un elemento diferencial:
ε = lim
B→A
∆s ′ − ∆s
∆s
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Deformación unitaria angular
Definition
La deformación unitaria angular o cortante es el cambio angular (giro)
que se da entre dos segmentos de linea perpendiculares al interior del
cuerpo.
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Deformación unitaria angular
Deformación unitaria angular
γ =
π
2
− lim
B→A en n
C→A en t
θ′
Nótese que γ tendrá un valor muy pequeño y está definido en radianes.
Se considera una deformación unitaria angular negativa cuando el ángulo
de deformación es mayor a 90 grados.
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Estado de esfuerzos
Como vimos en el caso de esfuerzos, se analiza un cubo diferencial, donde
actuan los esfuerzos normales y cortantes.
Podemos analizar también como se deforma el cubo...
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Estado de deformaciones
El cubo normal y el cubo deformado se verán:
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Otro punto de vista...
Es útil ver a las deformaciones unitarias como un gradiente de los
desplazamientos u, v, w (en x, y, z respectivamente) que sufre cada punto
del cuerpo. Entonces se tiene:
εx =
∂u
∂x
, εy =
∂v
∂y
, εz =
∂w
∂z
γxy =
∂u
∂y
+
∂v
∂x
, γyz =
∂v
∂z
+
∂w
∂y
, γxz =
∂u
∂z
+
∂w
∂x
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Deformación unitaria
T́ıpicamente se cuantifica la deformación unitaria como un porcentaje.
Dado que trabajaremos en el rango lineal, veremos deformaciones
unitarias muy pequeñas.
Aśı como cada punto de un cuerpo está sometido a un esfuerzo, cada
punto también sufre una deformación unitaria asocidada!
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Importancia de la deformación unitaria
¿Por qué es importante este concepto de deformación unitaria?
La deformación unitaria no es lo mismo que desplazamiento!
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Ejercicio 1
La barra esbelta mostrada es sometida a un incremento de temperatura
que determina una deformación unitaria normal εz = 40(10
−3)z1/2, donde
z se expresa en metros. Determine el desplazamiento del punto B y la
deformación unitaria normal promedio.
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Ejercicio 2
La placa mostrada esta fija a tierra en el lado AB y guias horizontales en
la parte superior AD e inferior BC (permiten deslizamiento). Si el lado
derecho CD sufre un desplzamiento de 2 mm, determine la deformación
unitaria normal a lo largo de AC, y la deformación unitaria angular en E
relativa a los ejes x,y.
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Ejercicio 3
La barra rigida ABC está sometida a una fuerza P que causa que el
extremoC baje 10 mm hacia abajo. Determine la deformación normal
promedio en cada cable.
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Ejercicio 4
Laminas de nylon deformables están fusionadas con placas de vidrio
rigidas como se muestra. Determine la deformación angular promedio en
el nylon debido a la carga P
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Ejercicio 5
Determine el desplazamiento del punto D si se sabe que la deformación
normal en el cable AB es de 0.0035 mm/mm
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Ley de Hooke
Asumiremos linealidad por lo tanto trabajeremos en el rango
elástico-lineal del material. Satisfaciendose la ley de Hooke:
Ley de Hooke
σ = Eε
Para la prueba, considerar una barra a tracción
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Ley de Hooke
1 La definición de la deformación
unitaria
ε =
∆s ′ − ∆s
∆s
2 se puede reescribir como:
ε =
δ
L
3 spoiler alert! :
δ =
PL
EA
4 reordenando:
δ
L
=
1
E
P
A
5 de la definición de esfuerzos
σ =
P
A
6 se tiene:
ε =
σ
E
Ley de Hooke (1676)
σ = Eε
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