CONCEPTOS BASICOS - MIT - FISICA II

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2
CLASE 1
Electromagnetismo Clásico
Ley de Coulomb
3
Electrostática
4
Hacemos un poco de historia ……… 
La palabra “eléctrico” se deriva del vocablo 
griego elektron, que significa ámbar. 
Unos 600 A.C. los griegos observaron que al 
frotar ámbar contra lana, el ámbar atraía otros 
objetos, 
¿A que se debía este fenómeno? ¿Cómo lo 
podemos explicar? 
3
5
Carga Eléctrica
Cuando una barra de caucho se frota con piel, se remueven electrones de 
la piel y se depositan en la barra. 
Se dice que la barra se cargó negativamente debido a un exceso de
electrones. Se dice que la piel se cargó positivamente debido a una
deficiencia de electrones.
Piel
Caucho
positivo
negativo
+ + + +
-- --Los electronesse mueven de la
piel a la barra
de caucho.
6
Cuando una barra de vidrio se frota con seda, se remueven electrones 
del vidrio y se depositan en la seda. 
sed
a
vidrio positivo
negativo
- - - -
+ + + +
Los electrones 
de mueven del 
vidrio a la seda.
Se dice que el vidrio está cargado positivamente debido a una
deficiencia de electrones. Se dice que la seda está cargada
negativamente debido a un exceso de electrones.
4
Dos cargas negativas se repelen
1. Cargue la barra de caucho al frotarla con piel.
2. Transfiera electrones de la barra a cada esfera.
Dos cargas negativas se repelen mutuamente.
7
Dos cargas positivas se repelen
1. Cargue la barra de vidrio al frotarla con seda.
2. Toque las esferas con la barra. Los electrones libres en las 
esferas se mueven para llenar los vacíos en el vidrio, lo que 
deja a cada esfera con deficiencia de electrones. (Se cargan 
positivamente.)
Las dos cargas positivas se repelen mutuamente.
8
5
Primera observación de la electrostática
Cargas iguales se repelen;
Cargas opuestas se atraen.
NegNeg PosNeg
PosPos
9
Carga de esferas conductoras por 
inducción
-
- -
- -
Esferas no cargadas Separación de carga
-
- -
- -
Aislamiento de esferas Cargadas por inducción
-
-
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+ +
+
+ +
-
-
- -
Inducción
Electrones 
repelidos
10
6
Inducción para una sola esfera
-
- -
- -
Esfera no cargada Separación de carga
Los electrones se mueven a 
tierra
Cargada por inducción
+
+
+ +
Inducción
-
-
-
-
-- - - -
+
+
+
+
-
-
-
- - - - -
-
-
-
-
+
+
+
+
11
La cuantización de la carga
La cantidad de carga (q) se puede definir en términos del número
de electrones, pero el Coulomb (C) es una mejor unidad para
trabajo posterior. La siguiente puede ser una definición temporal:
Coulomb: 1 C = 6.25 x 1018 electrones
Esto significa que la carga en un solo electrón es:
1 electrón: e- = -1.6 x 10-19 C
El coulomb (que se selecciona para usar con corrientes eléctricas) en
realidad es una unidad muy grande para electricidad estática. Por ende,
con frecuencia es necesario usar submúltiplos.
1 mC = 1 x 10-6 C 1 nC = 1 x 10-9 C 1 pC = 1 x 10-12 C
12
7
Ley de Coulomb
La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas
puntuales es directamente proporcional al producto de
las dos cargas e inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia entre ellas.
F
r
FF
q
q q’
q’- +
- -
13
2
. ´q qF
r

Cálculo de fuerza eléctrica
La constante de proporcionalidad k para la ley de Coulomb depende de 
la elección de las unidades para carga y del medio. La llamaremos a 
partir de ahora constante de Coulomb
Cuando la carga q está en coulombs, la distancia r en metros y la 
fuerza F en newtons, se tiene (para el vacio):
 r̂.2r
qkqF



14
2
9
2
.9 10x N mk
C

8
Ejemplo 1: Una carga de –5 mC se coloca a 2 mm de distancia de una carga de
+3 mC. Encuentre la fuerza entre las dos cargas.
¿ Y si queremos expresar el vector?
15
- +
2 mm
+3 mC-5 mC
F = 3,38 x 104 N; atracción
Ejemplo 2: Tres cargas, q1 = +8 mC, q2 = +6 mC y q3 = -4 mC se disponen
como se muestra abajo. Encuentre la fuerza resultante sobre la carga de
–4 μC debida a las otras.
Ojo solo 
sacamos el 
modulo de 
la fuerza
Dibujo el diagrama de cuerpo libre 
para la carga en cuestión.
-
53o
-4 mC
q3
F13
F23
Notemos que las direcciones de las fuerzas F13 y F23 sobre q3 se basan
en atracción/repulsión de q1 y q2. A continuación buscamos los módulos
de las fuerzas F13 y F23 a partir de la ley de Coulomb.
+ -
4 cm
3 cm
5 cm
530
+6 mC
-4 mC
+8 mCq1
q2
q3
+
16
Por tanto, se necesita encontrar la resultante de dos fuerzas:
F1 = 115 N, 53º F2 = 240 N
9
Continuamos la resolución, ahora debemos encontrar los componentes
de las fuerzas F1 y F2 para poder expresar el vector en forma cartesiana y
así operar matemáticamente:
53o
-
-4 mCq3
F13= 115 N
F13y
F1xF1x = -(115 N) cos 53
o = - 69.2 N
F1y = -(115 N) sen 53o = - 92.1 N
Ahora observe la fuerza F2:
F2x = -240 N; F2y = 0
Rx = SFx ; Ry = SFy
Rx = – 69.2 N – 240 N = -309 N Ry = -92.1 N – 0 = -92.1 N 
F24 
17
La fuerza resultante la podemos expresar:
-
-4 mC
q3
Ry = -92.1 N
Rx = -309 N
f
R
Ahora encontramos el modulo y la dirección de la 
fuerza resultante sobre la carga (R, f ):
R = 322,4 N
Por tanto, la magnitud de la fuerza 
eléctrica es:
18
-
-309 N
f
R -92.1 N
El ángulo de referencia es: f = 16.60 
Pero los ángulos para la dirección se miden a 
partir del eje x positivo:
q = 1800 + 16.60 = 196.60
Fuerza resultante: R = 322.4 N, q = 196.60
y2 2
x
R
; tan =
Rx y
R R R f 
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1
Clase 2
Campo eléctrico
Distribuciones continuas 
de cargas
1
1. Consideremos el punto P a una distancia r de +Q.
2. En P existe un campo eléctrico E si sobre una carga de prueba +q actúa 
una fuerza F en dicho punto.
3. La dirección de E es igual que la dirección de la fuerza sobre la carga + +q 
(solo si la carga es positiva como en este caso) y la dirección de E es 
opuesta a la dirección de la fuerza si la carga es negativa.
El campo eléctrico ( )
2
Definimos el campo eléctrico como:
 
0
00 q
FLimE q


E
E
++
++ +
++
+Q
r
+q F
Donde q0 es la llamada carga de prueba.
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2
Sentido del Campo depende del signo de la carga de 
prueba
3
Note que el campo E en la vecindad de una carga negativa –Q es 
hacia la carga, la dirección en que se movería una carga de 
prueba +q.
E
Campo eléctrico
.
r
++q
F
--
-- -
--
--Q
E
Campo eléctrico
.
r
--q
F
--
-- -
--
--QLa fuerza sobre -q está en 
sentido contrario al 
campo.
La fuerza sobre +q está en 
el mismo sentido que el 
campo.
La magnitud del campo E
4
La magnitud de la intensidad del campo eléctrico en un punto 
del espacio se define como la fuerza por unidad de carga (N/C) 
que experimentaría cualquier carga de prueba que se coloque 
en dicho punto.
La dirección de E en un punto es la misma que la dirección en que se movería
una carga positiva SI se colocara en dicho punto.
Intensidad de 
campo eléctrico E C
N
q
FE unidades ;
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3
Ejemplo 1: Una carga q de prueba de +2 nC se
coloca a una distancia r de otra carga Q de –8
mC. Si la carga q experimenta una fuerza de
4000 N, ¿cuál es la intensidad del campo
eléctrico E creado por Q en dicho punto P?
5
Campo eléctrico
.
--
-- -
--
--Q
Primero, note que la dirección de E es hacia 
–Q (abajo).
–8 mC
+
+q
E
+2 nC
r
Nota: El campo E sería el mismo para cualquier carga de prueba 
que se coloque en el punto P. Es una propiedad de dicho espacio.
9
4000
2.10
F NE
q C
  122.10 /E N C   
Campo Eléctrico debido a una carga puntual
6
++
++ +
++
+Q
.
r P
Considere una carga de prueba +q 
colocada en P a una distancia r de Q. 
La fuerza hacia afuera sobre +q es:
Por tanto, el campo eléctrico E es:
2
ˆ.F kQq rE r
q q
 
++q
2 ˆ.
kQqF r
r

2 ˆ.
kQE r
r

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4
Ejemplo 2: ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico E en el punto
P, a una distancia de 3 m desde una carga Q negativa de –8 nC?
7
.
r P
-Q
3 m
-8 nC
E 
Primero, encuentre la magnitud:
2
2
9 -9Nm
C
2 2
(9 x 10 )(8 x 10 C)
(3 m)
kQE
r
 
E = 8 N/C
La dirección es la misma que la fuerza sobre una carga positiva si 
se colocase en el punto P:hacia –Q.
El campo eléctrico total: 
8
El campo resultante E en la vecindad de un número de cargas
puntuales es igual a la suma vectorial de los campos debidos a
cada carga tomada individualmente. Vale el principio de
superposición
Considere E para cada carga.
+
- q1
q2q3 -
A
E1
E3
E2
ER
Suma vectorial:
ER = E1 + E2 + E3
Las direcciones se basan en 
carga de prueba positiva.
Magnitudes a partir de:
2
kQE
r

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5
Ejemplo 3: Encuentre el campo resultante en el punto A debido a
las cargas q1=–3 nC y q2=+6 nC dispuestas como se muestra en la
figura.
9
+
-

q1
q24 cm
3 cm 5 cm
-3 nC
+6 nC
E para cada q se muestra con 
la dirección dada.
E2
E1
A
2
2
9 -9Nm
C
1 2
(9 x 10 )(3 x 10 C)
(0,03 m)
E 
2
2
9 -9Nm
C
2 2
(9 x 10 )(6 x 10 C)
(0,04 m)
E 
Los signos de las cargas sólo se usan para encontrar la dirección de E
1 2
1 22 2
1 2
; kq kqE E
r r
 
Finalmente para hallar el campo resultante en el punto A:
10
E1 = 30000 N/C
E2 = 33800 N/C
Encuentre el vector resultante ER 
E2
E1
ER
2 2(30000 N) (33800 N) 45155 N/CRE   
30000 N/Ctan
33800 N/C
   = 410
Campo resultante: 
ER = 45155 N/C θ=1390

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6
Campo eléctrico en distribuciones continuas de 
cargas: densidades de carga
11
Consideremos un disco de radio R sobre el cual se encuentra distribuida una
carga total Q de manera uniforme. Podemos definir la densidad de carga
superficial a partir de la siguiente expresión:



 2m
C
A
Q
Considere que desea calcular el campo eléctrico producido en las cercanías de
una distribución de cargas las cuales se encuentran tan cerca una de otras que
las podemos considerar un medio continuo.
2R
Q

 Si aplicamos esta expresión para un 
disco de radio R nos queda
De igual manera podemos definir la densidad lineal de carga (λ) y la densidad
volumétrica de carga (ρ).




m
C
L
Q 


 3m
C
V
Q
Ejemplo 4: Hallar la carga almacenada en una esfera de radio a cuya densidad
de carga volumétrica no es uniforme, esta dada por la expresión
12
34( ) .
3
V r r
Podemos analizar la densidad de carga como una propiedad de carácter local, sin 
importar si se trata de una distribución de carga uniforme o no. Supongamos el 
caso de una distribución de carga volumétrica, entonces lo podemos expresar en 
forma diferencial: dq
dV
 
Para la densidad superficial o lineal podemos escribir:
dq
dA
 dq
dx
 
dq
dV
  Como en una esfera 2( ) 4 .dV r r
dr

2
0. . .4 . .dq dV C r r dr  
0( ) .r C r 
Integrando sobre toda la esfera
4
0 .totalq C a
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7
Ejemplo 5: Un conductor en forma de anillo de radio a tiene una densidad lineal
de carga uniforme λ. Calcular el campo eléctrico en el punto P ubicado sobre su
eje de simetría
13
2
kdqdE r
r

Integramos:
¿Por qué calculamos el campo sobre un 
punto ubicado sobre su eje de simetría?
2 cosx
kdqdE
r

2 cosx
kdqdE
r
 
Reescribimos los términos de la integral en función de los
parámetros conocidos:
14
2 2 2 2 1/2.( ) ( )x
dq xE k
x a x a

 
2 2 3/2( )x
kxQE
x a


Integramos :
Como conocemos la densidad lineal y no la carga total podemos
escribir:
2 2 3/2
.( .2. . )
( )
kx aE i
x a
  
   
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1
Clase 3
Campo eléctrico
Ley de Gauss
1
Líneas de campo eléctrico
2
Las líneas de campo eléctrico son líneas imaginarias que se
dibujan de tal forma que su dirección en cualquier punto es
la misma que la dirección del campo en dicho punto.
++
++ +
++
+Q
--
-- -
--
--Q
Las líneas de campo se alejan de las cargas positivas y se acercan a las cargas 
negativas. ¿Cómo se alejan si tengo una carga puntual?
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2
1. La dirección de la línea de campo en cualquier 
punto es la misma que la del campo eléctrico en 
dicho punto.
2. El espaciamiento de las líneas debe ser tal que 
estén cercanas donde el campo sea mas intenso y 
separadas donde el campo sea débil.
+ -q1 q2
Reglas para dibujar líneas de campo
3
Ejemplos de líneas de campo E
4
Dos cargas iguales 
pero opuestas.
Dos cargas idénticas 
(ambas +).
Note que las líneas salen de las cargas + y entran a las cargas -.
Además, E es más intenso donde las líneas de campo son más densas.
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3
Definición de flujo de campo eléctrico
5
.E dA  
Flujo de E
El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es
proporcional a al numero de líneas de campo que atraviesan dicha
superficie.
Radio r
r
.E dA  
Ejemplo 1: Exprese el flujo eléctrico generado por una carga puntual
q a través de la superficie esférica cerrada ubicada a una distancia R
de la carga.
6
Dibuje la superficie esférica cerrada centrada en la carga, indicando los vectores
de campo y de área en un punto cualquiera de la superficie. Después de ello
calcule la intensidad del campo eléctrico en el punto.
Sustituya E y A en la definición de flujo::
El flujo depende de la carga q encerrada por la 
superficie.
2
0
2 2 2
4. cos 0kq kq kq RE dA dA dA
R R R

      
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4
Ley de Gauss
7
Ley de Gauss: El flujo neto de campo eléctrico a través
de una superficie cerrada depende de la carga total o neta
encerrada por la superficie.
Si la carga neta en el interior de la superficie es positiva el flujo es
positivo y por lo tanto las líneas de campo salientes, mientras que
si la carga encerrada es negativa el flujo es negativo y las líneas de
campo entrantes. La ley de Gauss tiene sentido cuando se trata de
problemas dotados de simetría !!!!!!!.
int
0
. qE dA

 0
1
4 k


Donde 
Cargas en superficies conductoras
8
Conductor con un exceso de 
carga Si un material conductor
posee un exceso de carga
estas se acomodan sobre la
superficie.
Como las cargas están en reposo en la superficie, el campo dentro
del conductor es nulo, E = 0.
Toda la carga está sobre la superficie; nada dentro del conductor
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5
Ejemplo 2: Una carga puntual de 8 mC se halla en el interior de un cascarón 
conductor hueco (R = 8 cm) el cual tiene un exceso de carga de –6 mC. ¿Cuál es 
la intensidad del campo eléctrico a una distancia de 12 cm desde el centro de la 
esfera sólida?
9
Elijo como mi superficie Gaussiana
a una esfera cuyo radio de 12 cm
para encontrar E.
-6 mC
+8 mC
-
---
-
-- -12 cm0
. netqE dA


2
2
-6
2 -12 2C
0 Nm
2 x 10 C
(4 ) (8.85 x 10 )(4 )(0.12 m)
qE
r  
 
 
Campo de una placa infinita
10
Supónganos una placa infinita cuya 
densidad de carga homogénea es 
conocida. Para poder aplicar la ley de 
Gauss debemos elegir con criterio la 
superficie gaussiana
0
. qE dA


0 02 2
qE
A

 
 
0
2. . qE A


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6
Campo Eléctrico de una línea de carga infinita
11
r
E
2r
L
q
L
 
A1
A
A2
0
q; =
2 L
qE
rL



02
E
r



Los flujos de campo a través de A1
y A2 son nulos por simetría.
0
; (2 )qEA A r L

 
0
. qE dA


Ejemplo 3: (tarea para pensar en el hogar e investigar!!!) Supongamos una
esfera aislante, cargada y de radio b cuya densidad de carga
volumétrica esta dada por la siguiente expresión:
Hallar el campo eléctrico en todo punto del espacio.
12
0( ) .r C r 
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1
CLASE 4
ENERGIA POTENCIAL 
ELECTRICA Y DIFERENCIA DE 
POTENCIAL ELECTRICO
1
Energía potencial eléctrica
2
Por simplicidad pensemos en el trabajo 
echo para mover una única carga q en 
presencia del campo generado por otra 
carga Q
En este caso la fuerza de origen eléctrico la realiza la carga Q 
sobre q
Pensemos en que tenemos una carga en presencia de una configuración de cargas 
puntuales (la cual esta claro que produce un campo eléctrico en todo punto de su 
entorno) y queremos moverla de un lugar a otro, ¿Cómo calculamos el trabajo 
realizado para realizar este movimiento?
.
f
i
r
r
W F dr 
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2
El signo menos se debe a que la fuerza gravitatoria es 
conservativa.
3
P=mg
Δr
peso potencialW E 
Si queremos hacer un ejercicio mental y pensar en términos parecidos alos
utilizados en Física I, pero en este caso para el trabajo eléctrico, primero
debemos pensar analizar si en este caso el trabajo realizado depende del camino
elegido. Si el trabajo dependiese del camino utilizado podríamos elegir un
camino para ir desde “A hasta B” por el cual gastásemos una determinada
energía y elegir otro camino para volver desde “B hasta A” por el cual la energía
puesta en juego sea mayor que en la primer etapa, logrando de esta manera un
ciclo en el cual obtendríamos una energía neta y esto parece estar en franca
contradicción con los principios fundamentales de la física.
Luego de nuestro ejercicio mental pensemos mas formalmente el problema, en
este caso evaluando el trabajo echo para mover una única carga q en presencia
de otra carga Q.
4
Si observásemos que para las distintas
trayectorias que elegimos para unir los
puntos A y B el trabajo echo para mover
esta carga es el mismo, el trabajo seria
independiente del camino utilizado,
mostrándonos que se trata de una fuerza
conservativa y por lo tanto de un campo
conservativo.
.
B
ab ab
A
U W F dr    
Utilizando la definición de campo eléctrico:
0
FE
q

0 .
B
ab b a
A
U U U q E dr     
Como estamos evaluando el trabajo para mover una 
carga (de prueba) en presencia de una carga Q 
podemos usar la expresión del campo eléctrico para 
una carga puntual
18/08/2016
3
5
Recordando las clases previas el campo generado por una carga puntual Q
2
kQE r
r

0 2 ( . )
b
b a
a
kQU U q r dr
r
   
1.dr
0 2
1b
b a
a
U U kq Q dr
r
    0 1
b
b a
a
U U kq Q
r
      
integramos
Finalmente podemos expresar la
variación de energía potencial eléctrica 0
1 1
b aU U kq Q a b
     
 
¿Qué pasa si movemos la carga desde el infinito (rA = )? 
Esta expresión nos muestra claramente que se trata de una fuerza conservativa
ya que el trabajo solo depende de la posición inicial y final !!!!!!!l
Por lo tanto la energía potencial en un punto (para 
una carga puntual)la podemos expresar como:
Ejemplo1: ¿Cuál es el cambio en la energía potencial si una carga +2 nC se mueve desde
el punto A hasta el punto B como se muestra en la figura siguiente?
6
0
1 1
b a
a b
U U kq Q
r r
 
    
 
Definimos 
arbitrariamente la 
energía potencial en el 
infinito como nula
0
1( )U r kq Q
r

0
1( )total i i
i
U U r kq Q
r
  Para un sistema de cargas puntuales la 
energía potencial total: 
+6 mC
+Q

A
8 cm
B
12 cm
Energía potencial en un punto:
( ) kQqU r
r

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4
2
2
9 -6 -9Nm
C
(9 x 10 )( 6 x 10 C)(+2 x 10 C)
0.9 mJ
(0.12 m)B
U

  U = -0.450 mJ
ΔU = UB – UA = 0.9 mJ
– 1.35 mJ
7
2
2
9 -6 -9Nm
C
(9 x 10 )( 6 x 10 C)(+2 x 10 C)
1.35 mJ
(0.08 m)A
U

 
Potencial eléctrico
Si medimos la energía por unidad de carga, podemos definir una nueva
magnitud física , el potencial eléctrico en un punto debido a una carga
puntual Q.
0
( ) ; U rV U qV
q
 Potencial 
eléctrico:
Las unidades son Joules por
coulomb (J/C) que llamaremos
volt.
Para el caso particular de una carga puntual podemos reescribir la expresión
anterior:
8
0 .
B
ab b a
A
U U U q E dr     
0 0 0
.
B
B A AB
AB
A
U U WV E dr
q q q
      
.
B
AB B A
A
V V V E dr    
De manera diferencial podemos expresar esta integral : E V 
Si pensamos esta misma expresión en coordenadas esféricas para el potencial 
eléctrico de una carga puntual :
1( )V r kQ
r

2
( ) 1dV r kQ
dr r
 
( )dV r r E
dr
 
0
( ) 1( ) U rV r kQ
q r
 
En realidad podemos formalizar la diferencia de potencial a partir de la definición de
la diferencia de potencial en términos del trabajo.
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5
Ejemplo 2: Encuentre el potencial a una distancia de 6 cm de una carga de –5 nC.
9
Q = -5 nC
--
-- -
--
-Q
.
r= 6 cm
q = –4 mC  2 29 -9Nm C9 x 10 ( 5 x 10 C)
(0.06 m)
kQV
r

  VP = -750 V
¿Cuál sería la E.P. de una carga de –4 mC colocada en este 
punto P?
U = qVp = (-4 x 10-6 mC)(-750 V)=3 mJ
Potencial para múltiples cargas
El potencial eléctrico V en la
vecindad de varias cargas es
igual a la suma algebraica de
los potenciales debidos a
cada carga. El potencial es
una magnitud + o – de
acuerdo al signo de las cargas
+
- Q1
Q2
Q3 -
Ar1
r3
r2 i
i
kQV
r

Ejemplo 3: Dos cargas Q1= +3 nC y Q2 = -5 nC están separadas 8 cm. Calcule el
potencial eléctrico en el punto A.
10
+

Q2 = -5 nC
-
Q1 +3 nC

6 cm
2 cm
2 cm
A
B 1 2
1 2
A
kQ kQV
r r
 
 2 29 -9Nm C1
1
1
9 x 10 ( 3 x 10 C)
450 V
(0.06 m)
kQV
r

   
 2 29 -9Nm C2
2
2
9 x 10 ( 5 x 10 C)
2250 V
(0.02 m)
kQV
r

   
VA = 450 V – 2250 V; VA = -1800 V
Calculemos ahora el potencial eléctrico en el punto B para la mismas distribución 
de cargas.
1 2
1 2
B
kQ kQV
r r
 
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6
11
 2 29 -9Nm C1
1
1
9 x 10 ( 3 x 10 C)
1350 V
(0.02 m)
kQV
r

   
 2 29 -9Nm C2
2
2
9 x 10 ( 5 x 10 C)
450 V
(0.10 m)
kQV
r

   
VB = 1350 V – 450 V VB = +900 V
+

Q2 = -5 nC
-
Q1 +3 nC

6 cm
2 cm
2 cm
A
B
¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos A y B? ¿Qué trabajo realiza el
campo E si una carga de +2 μC se mueve desde A hasta B?
VB = +900 V
VA = -1800 V
VAB= VB – VA = 900 V – (-1800 V)
VAB = 2700 V
Note que el punto B está a 
mayor potencial.
12
WAB = q(VB – VA) = (2 x 10-6 C )(2700 V) WAB = 5,40 mJ
¡Esta vez el trabajo se realiza POR el campo E!
El campo E realiza trabajo positivo.
Suponga ahora que la carga de +2 μC se mueve de regreso de B hasta A
VB = +900 V
VA = -1800 V
VBA= VA – VB = -1800 V – (900 V) VBA = -2700 V
Esta trayectoria es de potencial alto a bajo.
WBA = q(VA – VB) = (2 x 10-6 C )(-2700 V)
WBA= -5.40 mJ El campo E realiza trabajo negativo.
Por tanto, se requirió una fuerza externa para mover la carga.
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7
Superficies equipotenciales
13
Llamamos superficie equipotencial a la línea
que puedo trazar donde el potencial es
constante. Sobre las líneas equipotenciales el
campo eléctrico es nulo.
Recordemos que a partir de la ley de Gauss obtuvimos el campo eléctrico a una 
distancia r de la línea
0
( )
2
E r r
r



Ejemplo 4: Supongamos que volvemos a nuestro viejo conocido caso de la línea de 
carga infinita ¿Cuál es la diferencia de potencial puesta en juego para mover una 
carga desde un punto a hasta uno b como muestra la figura siguiente?
14
.
B
AB B A
A
V V V E dr    
0
. .
2
B B
AB
A A
V E dr r dr
r


     
0 0 0
1 ln( )
2 2 2
b b
AB
a a
bV dr dr
r r a
  
  
    
Supongamos que queremos llevar la carga desde a hasta el infinito y proponemos
definir como lo hemos hecho para cargas puntuales que sea nulo en el infinito.
Observemos la expresión anterior:
0
ln( )
2a b
V V
a



   
Problema!
Si defino el potencial en el infinito 
como nulo, se observa que en 
cualquier punto se hace infinito , el 
problema en realidad reside en que 
la línea es infinita !!!!!!!
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1
CLASE 5 
CAPACITORES y 
DIELECTRICOS
FISICA II - INSTITUTO DE 
INGENIERIA
1
Básicamente un CAPACITOR lo podemos definir como un
dispositivo que almacena energía a través de un campo
eléctrico. Un faradio (F) es la capacitancia C de un conductor
que retiene un coulomb de carga por cada volt de potencial.
 (C); (F)
 (V)
Q coulombC faradio
V volt
 
Ejemplo 1: Cuando 40 µC de carga se colocan en las placas conductoras de la figura,
el potencial es 8 V. ¿Cuál es la capacitancia?
40 C
8 V
QC
V

  C = 5 F
2
CAPACITOR
Capacitor de placas planas y paralelas
Para entender el funcionamiento de este dispositivo estudiaremos el caso mas
sencillo, que es lo que se conoce como un capacitor de placas planas y paralelas.
18/08/2016
2
3
Como condición le pedimos que las placas sean 
mucho mas largas y grandes que la distancia que 
las separa
La pregunta siguiente que deberíamos hacernos es sobre el
campo eléctrico entre placas. Ayudándonos con lo visto sobre
el campo generado por una placa infinitacomo aplicación de la
ley de Gauss:
int
0
. qE ds


02. .
qE
A

Si observamos el punto b vemos que ambas placas contribuyen con un campo
constante y que tiene la misma dirección y sentido. Por lo tanto la intensidad del
campo total en un punto del interior a ambas placas se puede expresar como:
0.
qE
A

Si deseo calcular la diferencia de potencial entre placas del capacitor en términos
del campo eléctrico generado (esta expresión es general, independientemente de
la geometría del capacitor):
4
( ) ( ) .final inicialv v E dl    .v v E dl Edl E dl         
v v Ed   
A veces se le asigna a la placa negativa un potencial nulo 0v 
v EdPor lo tanto la diferencia de potencial entre placas se puede expresar:
Si volvemos al caso del capacitor
de placas planas y paralelas:
0
0
AQ Q QC QdV Ed d
A


   
Ejemplo 2: Hallar la capacidad de un capacitor cilíndrico, cuyo cilindro interior
tiene un radio a y el casquete exterior, cuyo espesor es despreciable tiene un
radio b.
0
1( )
2. . .
qE r
L r 
 b r a 
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3
5
0 0 0
1 1. . ( )
2. . 2. . 2. .
b b b
a a a
q q q bv E dl r dr dr Ln aL r L r L     
     
02
( )
LQC bV Ln a

 
Materiales Dieléctricos
La mayoría de los capacitores tienen un material dieléctrico entre sus placas para
proporcionar mayor rigidez dieléctrica y menos probabilidad de descarga
eléctrica. Volvamos al caso mas sencillo para analizar, el capacitor de placas
paralelas y planas.
++++++
------
aire
Co
Eo
++++++
------
- +
- +
- +
C > Co
E < Eo
++++++
------
- + - +
- + - +
- + - +
dieléctrico
E reducido
Definimos la Constante dieléctrica K
6
La constante dieléctrica K para un dado material la definimos como la razón entre
la capacitancia C (del capacitor cuando el espacio entre placas se llena con este
material) y la capacitancia Co en el vacío.
Constante dieléctrica para el vacio o para el aire es K = 1 
0
CK
C

K también se puede dar en términos de la diferencia de potencial entre placas V,
intensidad de campo eléctrico E o permitividad e:
0 0
0
V EK
V E


  
La polarización del dieléctrico reduce el campo eléctrico E y así se reduce la
diferencia de potencial V para mantener la carga Q. De esta manera aumenta la
capacitancia C > Co .
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4
La capacitancia de un capacitor de placas paralelas con un dieléctrico se puede
encontrar de:
La constante es la permitividad 
del medio.
2
2
-12 C
0 0 Nm
; 8.85 x 10K   
Ejemplo 3: Encuentre la capacitancia C y la carga Q si el capacitor de la figura se
conecta a una batería de 200 V. Suponga que la constante dieléctrica es K=5.
7
0 0 o 
A AC KC C K C
d d
    
2 mm
A
0,5 m2
  K0 5(8,85 x 10-12C/Nm2)
  44,25 x 10-12 C/Nm2
2
2
-12 2C
Nm
(44,25 x 10 )(0,5 m )
11,1
0,002 m
AC nF
d
  
0
¿Cuál sería el campo E entre las placas si
Q = 2,22 C y V = 200 volt? A
QE


 Gauss deLey 
Energía de un capacitor cargado
8
La energía eléctrica U almacenada en un capacitor cargado es igual al trabajo (qV)
que se requiere para cargar el capacitor. La energía se almacena a través del
campo electrostático.
qdW Vdq dq
C
 
0 0
fw Q qW dW dq
C
  
Trabajo para 
agregar un 
elemento de carga
21
2
QW
C

21
2
QU
C

O podemos reescribir: 2
1
2
U CV 1
2
U QV
Si pensamos que Ui=0
o
E = 10000 N/C Dado que V = 200 V, el mismo resultado se encuentra si 
E = V/d se usa para encontrar el campo.
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5
Si queremos escribirlo en términos del campo eléctrico:
9
Para un capacitor con dieléctrico entre sus placas:
2 22 21 1 1( )
2 2 2
U CV C Ed Cd E  
Para un capacitor en vacio 2 2 20 0
1 1( ) ( )
2 2
AU d E E dA
d
  
2
0
1
2
u EPodemos expresar la densidad de energía
2 2 21 1( ) ( . )
2 2
AU d E E d A
d
   21
2
u E
Ejemplo 4: Calculemos la energía almacenada para el capacitor del Ej. 3
recordando que la capacitancia era 11,1 nF, el voltaje 200 V y la carga 2,22 mC.
21
2U CV U = 222 J Verifique su respuesta con las otras fórmulas para U !!!!
Capacitores en Serie y Paralelo
10
Los capacitores se construyen con determinados valores en su capacitancia,
siendo estos valores de tipo estandarizados. Si deseamos obtener valores de
capacitancia diferentes podemos lograrlos a través del modo en que armamos
una configuración de capacitores.
1
1
qC
V

Conexión en Serie
Como
2
2
qC
V

1 2
1 2 1 2
1 1q qV V V q
C C C C
 
      
 
1 2
1 1V
q C C
 
  
  1 2
1 1 1
eqC C C
 
  
 
1 1
eq iC C
 o
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6
11
1
1
qC
V

Conexión en Paralelo
Como se conserva la carga
2
2
qC
V

1 2q q q 
eq iC C o
1 2q C V C V  1 2
q C C
V
 
1 2eqC C C 
1
Clase 6 
Corriente y resistencia 
Ley de Ohm
Fuerza Electromotriz
Leyes de Kirchhoff 
Circuitos
1
CORRIENTE ELÉCTRICA
2
Conductor metálico aislado, donde los electrones libres se
mueven de manera aleatoria, por lo tanto si cortamos con
un plano imaginario al conductor no existe un flujo neto de
carga a través de el.
Si logramos aplicar y mantener sobre el conductor un
campo eléctrico constante podemos lograr (mediante esta
fuerza externa) un flujo neto de cargas.
¿Cómo un campo eléctrico dentro de 
un conductor? ¿ No debería ser nulo?
Anteriormente estábamos dentro del mundo de la electrostática (no hay
movimiento neto de las cargas) suponiendo que trabajábamos sobre un conductor
aislado en el cual no había una diferencia de potencial. En este nuevo modelo no
incluimos restricción sobre el movimiento de las cargas.
¿COMO LOGRO ESE CAMPO EXTERNO CONSTANTE? 
CONECTANDO UNA BATERÍA LA CUAL GENERA UNA DIFERENCIA DE POTENCIAL EN LOS 
EXTREMOS DEL CONDUCTOR.
2
DENSIDAD DE CORRIENTE
3
• Lo esquematizamos de la siguiente manera:
Definimos la corriente:
Esquema de una batería la 
cual genera una diferencia 
de potencial 
dqi
dt

  Ci Ampere
Seg
 
dq idt 
qi
t

Esta es una cantidad vectorial microscópica, definida punto a punto dentro del
conductor
.i J dS    2
AJ
m

Si i(t)=cte (que es la mayoría de los casos que 
vamos a considerar) podemos escribir
VELOCIDAD DE ARRASTRE
4
Si los electrones de conducción dentro del “conductor” reciben una fuerza “F”
debido al campo externo ¿Por qué no aumentan su velocidad indefinidamente?
¿Por qué no se observa una aceleración neta?
Definimos la densidad numérica de electrones de conducción
numero electronesn
volumen


Los electrones chocan con los átomos de la red,
transfiriendo parte de su energía cinética a la red
logrando que los electrones adquieran una velocidad
constante en promedio llamada “velocidad de arrastre”
(es comparable con un fluido viscoso)
¿Y como calculamos esta velocidad?
numero electrones n volumen 
Si la corriente es uniforme (de distribución uniforme) sobre toda
la superficie considerada puedo escribir:
iJ
A

. .numero electrones n AL 
3
5
O lo podemos relacionar con la densidad de corriente
. . .conductorq n A L e  

. . . . .conductorq n A L e Li n Ae
t t t

  
Corriente en el 
segmento 
. . di n A e v

. d
i n e v
A

. d
J v
n e

Problema 1: Un cable de cobre tiene un radio de 1,02 mm. Por este cable circula
una corriente constante de 1,67 A. Si la densidad de electrones libres es de
8,5x1028 electrones por metro cúbico. Encuentre la magnitud de : a) la densidad
de corriente. b) la velocidad de arrastre.
6
6
3 2 2 2
1,67 2,04.10
.(1,02.10 )
i A AJ
A m m 
  a)
b)
6
2
4
28 19
2,04.10
1,5.10
8,5.10 .1,6..10
A
J mmv
C segn e


  
RESISTENCIA
Aplicamos la misma diferencia de potencial a dos materiales distintos pero con la
misma geometría ¿circulara la misma corriente? NO
¿Y si usamos el mismo material pero con distinta geometría la corriente será la
misma ? NO
4
7
Podemos determinar la resistencia de un conductor midiendo V e i y ver como es
la relación entre ambos, es decir :
VR
i
   voltR amper  
Ley de Ohm: “Cualquierelemento para el
cual el cociente permanece constante (es
decir se verifica la relación lineal entre V e i)
se dice que cumple la ley de Ohm.
Representación 
grafica
• Podemos definir una nueva cantidad pensando en las características del material. 
DEFINIMOS LA RESISTIVIDAD de un material como E
J
 
8
E JEn su forma vectorial 
para materiales 
isotrópicos
 
2
2
/
/
N C Nm Nm m mV
A m AC C A A
      
 
Presentamos en la tabla
siguiente la resistividad de
algunos materiales
Nos podemos preguntar ¿Qué significa este valor?
Supongamos un conductor donde el campo sea constante y la densidad de 
corriente también. Como: 
E L V 
iJ
A

Reemplazando: V i
L A

V L
i A

LR
A

A partir de estas expresiones podemos definir
una nueva cantidad, la conductividad como:
1

   1
m




5
VARIACION DE LA RESISTIVIDAD CON LA 
TEMPERATURA
9
( )T 
0 0( )T T     
La resistividad de un conductor metálico casi siempre aumenta al aumentar la
temperatura (reduce la corriente de deriva por que los iones se agitan mas) por lo
que nos podemos preguntar ¿Cómo depende ρ con T? ¿Cuáles no disminuyen?
En general para un pequeño intervalo de
temperatura la resistividad de un metal se
puede representar como:
0 valor de referencia a 0°
 coeficiente de resistividad   0
1
C
 
10
ENERGIA EN CIRCUITOS ELECTRICOS 
(LEY DE JOULE)
Sin saber que tipo de elemento hay en la “caja negra”
con solo suponer que posee una parte resistiva podemos
evaluar el trabajo que debemos hacer para mover una
carga a través de esta “caja negra”.
cn cndW dU V dq V idt  
cn
dW V i
dt
 cnP V i   .
JouleP volt amper watts
seg
  
Si el elemento desconocido es
una resistencia, utilizando la ley
de ohm podemos reescribir la
expresión para la potencia:
2P i R
2VP
R

Ley de Joule energía 
disipada en forma de calor 
6
Fuerza Electromotriz (FEM) 
11
Una fuente de fuerza electromotriz (fem) es un dispositivo que
usa energía mecánica, química, luminosa, etc. para proporcionar
la diferencia de potencial necesaria para producir corriente
eléctrica.
La definición de FEM esta asociada a la necesidad de tener una fuente externa
para lograr que las cargas se muevan de manera ordenada y poder así generar
una corriente. Estas fuentes en general suelen tener una resistencia interna.
Estas fuentes son lo que se denomina habitualmente fuentes de corriente
continua (CC) ya que la dirección de la corriente no cambia con el tiempo.
Resistencias en Serie y Paralelo
RESISTENCIAS EN SERIE
12
1 2ab bc R R
V V V V V   
1 2 1 2( )V IR IR I R R   
1 2( )equivalente
VR R R
I
  
equivalente iR R
RESISTENCIAS EN PARALELO
1 2
ab ab
equivalente
V VV
R R R
 
7
13
abV V1 2
ab ab
equivalente
V VV
R R R
 
1 2equivalente
V V V
R R R
 
1 2
1 1 1
equivalenteR R R
  o en general
1 1
equivalente iR R

Leyes de Kirchhoff Las hemos 
desarrollado !!
Primera Ley de Kirchhoff (o de los nodos) 
“La suma de las corrientes que ingresan a un nodo es igual a las que salen
del mismo” (esta ley expresa la conservación de la carga)
ingresan salenI I 
14
Problema 1: Hallar para el circuito de la figura las corrientes que circulan por
cada rama y la diferencia de potencial entre los puntos A y B
Segunda Ley de Kirchhoff 
“La suma de las caídas de tensión en una malla cerrada es nula” (esta ley
expresa la conservación de la energía potencial)
0malla cerradaV  
Elegimos direcciones arbitrarias para la 
circulación de las corrientes !!!
1 2 3 (1)I I I  Para el nodo B
Para la malla I 1 22 1 0 (2)R RV V V V     
Para la malla II 3 22 0 (3)R RV V V    
8
15
Resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
1
3
11
I A  2
15
11
I A  3
12
11
I A 6
11AB
V volt
Reescribimos las ecuaciones (2) y (3) a partir de la ley de ohm
1 22 12 4 6 0 (2)I volt I volt     
3 26 12 4 0 (3)I volt I     
1
CLASE 7
Magnetostática
Magnetismo e imanes 
naturales.
Fuerza de un campo magnético 
sobre una carga puntual.
1
MAGNETOSTATICA
2
Para el fenómeno que conocemos hoy en día como magnetismo no se puede
definir con precisión cuando fue observado por primera vez, aunque los primeros
registros escritos se encuentran en las descripciones hechas por Tales de Mileto
(625-545 a.C) haciendo referencia a un material que se conocía con el nombre de
magnetita (se cree que el nombre proviene por la ciudad de Magnesia en Asia
menor) y que poseía la propiedad de atraer al hierro. También Sócrates hablaba de
este mineral de color negro, explicando ya entonces el fenómeno de inducción
magnética.
A la civilización china se le reconocen dos hechos relevantes para la humanidad
vinculados al magnetismo: el descubrimiento del campo magnético terrestre y la
invención de la brújula (Shen Kua 1031-1095). Los fenicios utilizaron largamente la
brújula en sus viajes comerciales marítimos.
Oersted (1777–1851) describió cómo el paso de la corriente eléctrica a través de
un cable conductor desviaba la aguja imantada de una brújula en dirección
perpendicular al cable conductor. Con esto logro mostrar la existencia de una
relación entre electricidad y magnetismo, punto histórico a partir del cual nace
una nueva disciplina: el electromagnetismo.
2
3
Ampere (1775-1836) explicó que dos corrientes eléctricas con la misma dirección y
en hilos paralelos se atraen, mientras que si son de direcciones opuestas se
repelen. Faraday (1791-1867) observó que siempre que un imán o una bobina
estén en movimiento producen una corriente eléctrica, fenómeno que
posteriormente llamaríamos corriente inducida; a la vez que vislumbró la
existencia de las líneas de fuerza magnética al esparcir limadura de hierro en un
papel colocado sobre un imán.
Imanes Naturales
Experimentalmente se observa que en los materiales que poseen esta propiedad
(llamados imanes, como el hierro, el cobalto o manganeso en su estado natural)
independientemente de su forma se pueden encontrar dos regiones bien
diferenciadas que llamamos polos magnéticos (polo sur y polo norte). En estas
regiones se observa que la intensidad de la fuerza ejercida por el imán es máxima.
Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una carga
4
¿Cuáles son las diferencias fundamentales entre el campo eléctrico y el 
magnético?
• Líneas de fuerza
• No existe unidad fundamental como es la carga, no está probada la existencia
del monopolo.
La existencia de un campo magnético externo en un punto del espacio
(constante – estacionario) puede probarse experimentalmente con una brújula.
También se puede probar que si introducimos una carga “q” en un campo
magnético estático y la carga experimenta una fuerza, esta es proporcional a:
B
3
5
F q B  
Es interesante ver que se introduce un nuevo concepto
(B) para explicar esta interacción. ¿Cuáles son las
unidades de B de acuerdo a la expresión anterior?
Pensar para la próxima clase: ¿Cuáles 2 vectores de esta 
expresión deben ser siempre perpendiculares entre si?
.
. . .
N seg N kgB Tesla
C m Am C seg
      
Problema 1: Determinar la fuerza que actúa sobre un protón que se mueve con
una velocidad en un campo magnético6 ˆ4.10
mv i
seg
 ˆ2B Tk
6 19 6 13
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ4.10 0 0 1,6.10 . 0. (4.10 .2 0) 0. 12,8.10 .
0 0 2
i j k
mmF e C i T j k N jseg seg
T
  
 
              
 
 
¿Qué pasa con la fuerza si en presencia del campo externo (B) hay un 
conductor?
6
Si pensamos en la fuerza que actúa sobre todas y cada una de las cargas 
.( )total dF q v B 
0.B B i
La fuerza total en términos del numero de cargas en el conductor (con ayuda
de lo visto en las clases previas)
. . . .( )dF n A L e v B
   donde n era la densidad volumétrica !!
repasando un poco de electrocinética:
. . . dI n A e v

reemplazo:
.( )F I L B  con .L L u 
Este vector tiene un modulo 
igual a L y es paralelo a 
y sentido opuesto por lo 
tanto el mismo que I
dv
.d dy v v u 
4
70,09L m i 
Si queremos evaluar la fuerza sobre un elemento de carga
Problema 2: Un alambre de 9 cm de longitud transporta una corriente eléctrica
cuya intensidad es de 1 A según la dirección del eje x. Si el conductor se
encuentra inmerso en presencia de un campo magnético de 0,02 T de
intensidad que se halla en el plano x-y y formando un ángulo de 300 con el eje x
¿Qué fuerza actúa sobre el cable?
.( )dF I dL B 
0 00,02 .cos30 0,02 . 30B T i T sen j   
.( )F I L B 
4
0 0
ˆˆ ˆ
1 0,09 0 0 9.10
cos30 30 0
i j k
F A m N k
B B sen

 
 
   
 
 
 
8
Si pensamos que pasa con la fuerza que actúa sobre una carga en presencia de
un campo eléctrico y uno magnético en forma simultanea (hablamos de la
fuerza total electromagnética en este caso y del campo electromagnético)
podemos escribir a esta fuerza como:
Fuerza de Lorentz
)lorentzF q B   
Nos muestra que la fuerza sobre una carga eléctrica no depende solamente de
la posición sino también de la velocidad con que se desplaza
Problema 3: Un electrón penetra con una velocidad en una región 
en la que coexisten un campo eléctrico y un campo 
magnético .Calcular la aceleración que experimenta el electrón 
cuando penetra en el campo electromagnético. 
20 mv i
seg
  
0,4B T k  
2 4V VE i jm m   
5
9
Por lo tanto la aceleración:
)lorentzF q B   
191,6.10 (2 4 ) 20 0,4 )lorentz
mV VF C i j i T km m seg
               
 
191,6.10 (2 4 )lorentzF i j N
     
19
11
31 2
1,6.10 (2 4 ) ( 3,5 7 ).10
9,1.
F i j N ma i j
m kg seg


    
      

10
Si observamos la expresión obtenida inicialmente para la acción de un campo
magnético externo sobre una partícula cargada
.( )F q B 
.F m a
MOVIMIENTO DE UNA CARGA PUNTUAL EN 
PRESENCIA DE UN CAMPO MAGNETICO
Es claro de la expresión que la fuerza magnética es siempre perpendicular a la
velocidad, por lo tanto esta fuerza no realiza trabajo y se conserva de esta manera
la energía cinética de la partícula cargada. Si analizamos el caso particular en que
la velocidad es perpendicular al campo magnético externo podemos deducir que la
partícula va a describir una orbita circular.
2vqvB m
r

2mv mvr
qvB qB
 
2 2 2r mv mT
v vqB qB
  
   1
2
qBf
T m
 
Periodo y
frecuencia
del ciclotrón
6
11
12
Un ejemplo sorprendente de las fuerzas que actúan sobre las cargas en
movimiento en un conductor en presencia de un campo magnético queda
claramente demostrada por el efecto Hall. Se trata de un efecto similar al que
observamos en la desviación transversal de un haz de electrones en presencia de
un campo magnético en el vacío. En el equilibrio podemos escribir:
( )q q B   
EFECTO HALL (1879)
B  
Recordemos de las clases anteriores que:
. . . dI n A e v
 . . dJ n e v
 . d
J v
n e

Combinando ambas ecuaciones:
.
x z
y
J E
Bn e
  .x y
z
J B
n e
E
 
Este principio es 
fundamental para entender 
el funcionamiento de los 
sensores de efecto Hall
7
13
Las fuerzas sobre los lados a son:
r F  
F IaB
Fuerza y par de torsión en una espira
de corriente
Son muchos los equipos que usan la fuerza o el par de
torsión magnético sobre una espira conductora (como
son los altavoces o galvanómetros). Eso hace que sea
importante la comprensión de este fenómeno.
Analicemos el caso de una espira rectangular de corriente
en presencia de un campo magnético externo uniforme.
La espira se puede representar como una serie de
segmentos rectilíneos como muestra la figura. Podemos
calcular la fuerza total sobre la espira, la cual es nula,
pero puede haber un par de torsión neto que actúe sobre
la espira.
Sobre el lado b las fuerzas no producen torque, por lo tanto podemos escribir para el
torque:
F IaB 
2. 2 2.
2total
br F r F sen IaBsen       
14
Al producto IA se le denomina momento dipolar magnético o momento magnético de
la espira, el cual denotamos con el símbolo µ
n
A
q
B
SN
F2
F1
Vector normal
Momento de 
torsión 
. . .total I ab B sen  total IABsen 
. .total B sen   o total B  
Energía potencial para un dipolo magnético 
Cuando una espira cambia su
orientación en presencia de un
campo magnético externo, éste
realiza trabajo sobre la espira. Si
suponemos un desplazamiento
angular infinitesimal el diferencial de
trabajo esta dado por:
U B  
8
15
De la expresión anterior se observa que la energía potencial es mínima cuando µ
y B son paralelos y es máxima si son antiparalelos.
Desarrollando:
cosU B  
Problema 4: Una espira de alambre de 20 cm de radio se halla orientada de
manera tal que la normal al área forma un ángulo de 300 con un campo B de 3 mT.
¿Cuál es el torque sobre la espira si la corriente es de 3 A?
2 sen (3 A)(0,003 T)(0,126 m ) sen 30IBA q  
τ =0,000565 N.m
1
CLASE 8
Magnetostática
Fuentes de campo magnético. 
Campo magnético debido a una carga 
puntual.
Ley de Biot y Savart
Campo de una bobina
Ley de Amper
1
2
• En las clases previas describimos el comportamiento de las cargas
eléctricas en presencia de un campo magnético estacionario, pero
nunca nos preguntamos sobre el origen de esos campos
magnéticos externos. Entonces nos debemos preguntar:
¿Cuáles son las fuentes de campo magnético?
Si recordamos los conceptos introducidos en la teoría que
describe al campo eléctrico, vimos que las fuentes de estos
campos eran las cargas eléctricas.
Para buscar cual es una de las posibles fuentes de los campos
magnéticos pensemos (y veamos) la siguiente experiencia
pensada por Oersted por primera vez.
2
Campo magnético debido a una carga
puntual en movimiento
3
¿Quién genera el campo magnético detectado por la brújula al 
deflectar su aguja? 
Esta claro que lo producen las cargas en movimiento en el conductor !!!!!
Dada esta observación de carácter experimental, debemos descubrir las leyes
que gobiernan o describen los campos magnéticos generados por el movimiento
de cargas eléctricas.
Pensemos en una carga puntual (fuente) en un punto
cualquiera del espacio (lo supondremos el origen de
un sistema arbitrario. Los experimentos (si es de
carácter empírico !!!!) muestran que el campo
magnético generado a una distancia por la carga q
cumple que:
r
4
0
2
ˆ
4
q rB
r
 

 
   7 70 .4 4Tesla m NA A  
      
Problema 1: Una carga puntual de 4,5 nC se mueve paralelamente al eje x a lo
largo de la recta y=3 con una velocidad . Determinar el campo
magnético producido en el origen cuando la carga se encuentra en x= -4.
3 ˆ3,6.10 mv i
seg

Donde es la llamada permeabilidad del vacio y es un vector unitario que
apunta desde la carga al punto donde queremos calcular el campo magnético.
•
• es perpendicular al plano que forman
• es proporcional a q y
2
1B r 
B v r  
vB
Juntando todo lo descripto previamente podemos encontrar una expresión para
el campo magnético generado por una carga puntual en movimiento.
0 r̂
3
5
Veamos como queda la representación de la situación descripta en un grafico en
dos dimensiones
4r m m j    
2 24 3 5r m  
4
5 5
r m m j    
Por lo tanto el versor unitario nos queda
0 0
2
ˆˆ ˆ
. 3 ˆˆ ˆ0 0 0. 0 .
4 25 4 25 5
34 05 5
x
x
i j k
qVqB V i j k
m
 
 
 
                 
 
10 ˆ3,24.10 .B T k 
6
Ahora nos podemos preguntar ¿una carga magnética en movimiento ejerce una
fuerza magnética sobre otra carga en movimiento?
12 2 2 1.( )F q v B 
Si planteamos la fuerza que ejerce la carga 2 sobre la 1:
Este resultado nos refleja una condición muy importante, y es que no se cumple la
tercer ley de Newton en general !!!!
0 1 1 1
12 2 2 2
1
ˆ
.( )
4
q rF q v
r
 

  
  
 
0 2 2 2
21 1 1 2
2
ˆ
.( )
4
q rF q v
r
 

  
  
 
12 21F F
4
7
Si pensamos en un conductor por donde circula una corriente, estas cargas enmovimiento generan un campo magnético. El campo producido por una
corriente en un conductor se puede obtener a partir de la expresión anterior
recordando que:
Ley de Biot y Savart
. .q v I dl
Reemplazando:
0
2
ˆ
4
I dl rdB
r


 

Esta expresión nos muestra el campo infinitesimal producido por un elemento
de corriente.
Problema 2: Calcular el campo magnético producido por una espira circular de
radio a por la cual circula una corriente I0 en un punto P cualquiera de su eje de
simetría.
8
dB es perpendicular al plano que forman Idl y r.
Se ve a partir de esto que solo “sobrevive” del
producto vectorial la componente en la dirección
del eje x.
0 0
2
ˆ
4
I dl rdB
r


 

0
0
0 2
ˆ 90
4
dl r sen
dB I
r



0
0 2 2 cos4 ( )x
dldB I
a x
 



0 0 0
0 0 02 2 2 2 2 2 3/2
.cos .
4 ( ) 4 ( ) 4 ( )x
dl dl a a dldB I I I
a x a x r a x
  
  
  
  
0 0
0 02 2 3/2 2 2 3/2
.
4 ( ) 4 ( )x
a dl aB I I dl
a x a x
 
 
 
  
5
9
2
0 0 0
0 2 2 3/2 2 2 3/2
.2. .
4 ( ) 2 ( )x
Ia a aB I
a x a x
 

 
 
Es interesante analizar el caso cuando x tiende a cero, es decir nos acercamos al 
centro de la espira. En esta condición el campo generado por la espira es : 
0 0
2x
IB
a


Este resultado nos va a resultar de sumo interés para nuestras clases futuras.
Problema 3: Consideremos un conductor
infinito el cual transporta una corriente I0 .
Calcular el campo magnético generado por la
corriente a una distancia x del conductor.
0 0
2
ˆ
4
I dl rdB
r


 

10
Si observamos la integral anterior y el grafico que
usamos de referencia, no parece claro cual es la
variable de integración. Vamos a reescribir la integral un
poco mejor. Como
0 0
2
ˆ
4
dl rIB
r


 
 
dl dy
0 0 0 0
2 2
ˆ ˆ
4 4
dy r dy r senI IB
r r
 
 
  
  
Además:
2 2
( ) xsen sen
x y
    

0 0
2 2 3/24 ( )
I x dyB
x y





0 0
2 2 3/24 ( )
a
a
I x dyB
x y

 



Tarea para el hogar !!! 
Encontrar la solución a la 
integral 
0 0
2 2
2
4
I aB
x x a




 
6
11
Consideremos lo que se llama una bobina de arrollamiento compacto.
Campo magnético sobre el eje de una bobina
Supongamos ahora que en vez de una sola espira circular
como hemos resuelto previamente tenemos lo que se
conoce como una bobina que consiste en N espiras, todas
con el mismo radio. Supongamos que la separación entre
las espiras es muy pequeña, pudiendo despreciar este
espaciamiento. Cada espira contribuye por igual al campo
total, de manera que vamos a observar que el campo
total es N veces el producido por una sola espira.
12
El campo magnético debido a una espira en un punto de su eje de simetría ya lo
habíamos calculado previamente. Su expresión era:
Si tomo dos elementos consecutivos para evaluar como es el comportamiento del campo, 
pensando que se trata de dos conductores infinitos vistos de frente
2
0 0
2 2 3/22 ( )x
I RB
R x



Ahora si pensamos que la bobina tiene un numero de vueltas por unidad de
longitud dado por: Nn
L

7
13
Entonces en un elemento dx existen un numero de vueltas dado por: n dx
y cada una de estas vueltas transporta una corriente I, por lo que la 
corriente total que transporta ese elemento es: dI n dx 
Por lo tanto el campo total en el origen debido al elemento de espira es:
2
0
2 2 3/22 ( )
RdB nIdx
R x



Si queremos el campo total en el origen debemos tomar todos los elementos, por lo tanto
debemos integrar: 2
0
2 2 3/22 ( )
b
a
nIR dxB
R x




Resolvemos la integral (tarea para el hogar !!!)
0
2 2 2 22
nI b aB
R b R a
  
  
  
Si analizamos el caso
particular de una bobina
muy larga
b R
a R
 
  0
B nI
14
Si graficamos como se comporta el campo magnético en el interior de una
bobina muy larga:
Ley de Amper
Las fuentes principales de los campos magnéticos son las corrientes (papel
similar al que juegan las cargas para los campos eléctricos). La ley de Amper nos
relaciona la componente tangencial del campo magnético a lo largo de una
curva cerrada, con una corriente I pasando por el interior de la curva. La
expresión matemática correspondiente es:
0.B dl I
Esta expresión es valida para para cualquier curva C, cerrada mientras que la
corriente sea continua.
8
15
¿Cuándo tiene sentido aplicar la Ley de Amper? En situaciones de gran simetría !!
Problema 4: Hallar el campo magnético generado por un conductor muy largo y
rectilíneo por el cual circula una corriente I.
0.B dl I
0
0cos0B dl I
0B dl I  0B r I  
0( ) IB r
r




16
Problema 5: Por un conductor cilíndrico de radio R circula una corriente I. La
corriente esta distribuida uniformemente sobre el área transversal del
conductor. Hallar el campo magnético en función de la distancia al centro del
conductor.
0 int. eriorB dl I
0
0 intcos0 eriorB dl I 0 2( )
IB r r
R




Si r R  
¿Cómo calculo la corriente interior al camino definido por el radio r?
A partir de la definición de densidad de corriente, ya que
la corriente esta distribuida uniformemente en toda la
sección transversal del alambre
2.
IJ cte
R
 
2
int 2 2. .erior
I I rI J dA J ndA JdA dA
R R

 
       
Reemplazamos:
9
17
0( ) IB r
r




Si r R   Ya conocemos la expresión para el campo magnético para esta región
ya que hemos hecho el calculo previamente
Si graficamos el modulo del campo magnético para toda región del espacio
18/08/2016
1
CLASE 9
Electromagnetismo
Inducción Magnética
Flujo Magnético 
Ley de Faraday
Ley de Lenz
1
2
¿Que es este concepto? ¿Por que es tan importante?
“Un campo magnético variable (o mejor dicho un flujo magnético) a través de 
un circuito induce una corriente en un conductor” 
En general se puede observar que todos o casi todos los aparatos eléctricos en el
hogar o industrias funcionan sin una batería, es decir que la fuente que produce
la fem es otra, es una “estación generadora” la cual convierte distintas formas de
energía en energía eléctrica (finalmente una FEM). Este fenómeno que permite
dichas transformaciones es lo que llamamos inducción magnética o
electromagnética.
Inducción Magnética
Flujo de Campo Magnético 
De manera similar a lo que hicimos para campo eléctrico podemos definir el flujo
de campo magnético como proporcional “al numero de líneas de campo
magnético que pasan a través de un área determinada (y orientada)”.
18/08/2016
2
3
Si desarrollamos el producto escalar dentro de la integral:
m B dA  
cosm B dA   
0cos0m B A B A  
Para el caso particular en el cual el campo magnético y el vector normal unitario
a la superficie son paralelos la expresión se reduce a:
  2m Tesla m  
Ley de Faraday
Podemos expresar: “Si el flujo magnético a través de un circuito varia (por
cualquier medio) se induce una FEM cuya magnitud es igual a la variación del flujo
en la unidad de tiempo”.
4
. m
c
dE dl
dt
   
Esta expresión nos obliga a preguntarnos ¿Hay
alguna diferencia fundamental en el campo
eléctrico generado de esta manera y del generado
a partir de una distribución de cargas en reposo?
SI LA HAY !!!!!!!!!!!
Los campos eléctricos obtenidos a partir de una distribución de cargas en reposo
son campos conservativos (la integral de línea a través de un camino cerrado seria
nula). En este caso, el campo eléctrico es obtenido a partir del flujo magnético
variable, siendo la integral de línea no nula.
.
c
E dl  
Esto nos muestra que hay una 
fuerza sobre las cargas obligándolas 
a moverse a través del circuito, por 
lo que debe haber una FEM 
responsable
18/08/2016
3
5
La situación inicial es:
Reescribo el producto escalar
Problema 1: Una bobina circular de alambre de 25 vueltas tiene un diámetro de
1 m. La bobina se coloca de manera que su área sea perpendicular al campo
magnético terrestre (50 μT) y luego de 0,2 seg se gira la bobina 1800 ¿Cuál es la
fem promedio generada por la bobina
La situación final es:
mdNdt
  
mdt N d    
0
´ f
i
t
mdt N d


     
25. f iseg        25. . .f iseg A B A B      
0 025. . cos180 . .cos0f iseg A B AB      
6
“La FEM y la corriente inducida poseen una dirección y sentido tal que tienden 
a oponerse a la variación de flujo que las produce”
Esta ley funciona como un principio general, a partir del cual puede
determinarse el sentido de una corriente inducida por un campo magnético
variable.
 25. .seg A B B     25. .2.seg A B 
2 650. .(0,5 ) .50.10 0,082m T mv
seg


 

Ley de Lenz
Nos podríamos preguntar a que principio físico obedece esta ley y no es ni mas
ni menos que la conservación de la energía.
18/08/2016
4
7
Si no fuese de esta
manera podríamos
extraer energía de
manera indefinida al
acercar el imán a la
espira !!!!!
8
Definamos el flujo a través de esta espira:
Problema 2: Consideremos una varilla conductora que se desplaza con una
rapidez constante V sobre dos rieles conductores, los cuales poseen una
resistencia R. Además la espira cuadrada es atravesada en forma perpendicular
por un campo magnético uniforme B0 tal como muestra la figura. Hallar la
diferencia de potencial que se genera en la espira
. .m B A B A   0. .m B L x 
0
ˆB B k
ˆ1.n k
0. .m
d dxB L
dt dt

 0. .B L v 
¿Cuál es el sentido de 
la corriente? Pensarlo 
en términos de la ley 
de Lenz
18/08/2016
5
9
. 0m B dA  
Ley de Gauss para el magnetismo
Como expresaría la ley de Gauss para un campo magnético: 
“El flujo magnético a través de
cualquier superficie cerrada es cero”
¿Qué implica esto? Que no hay fuentes de campo magnético como si lo había 
para los campos eléctricos.
Generadores y Motores
Pensemos en el principio básico de funcionamiento de un generador de
corriente alterna, en el cual tenemos una espira que rota en presencia de un
campo magnético uniforme
10
Problema 3: Una espira circular de 2 cm de radio se halla girando con una
velocidad angular de 5 rad/seg en el seno de un campo magnético uniforme de 0,8
T ¿Cuál es la fem máxima inducida?
Cómo la bobina gira mecánicamente el flujo cambia
al cambiar la posición de la espira:
Reemplazamos:
cosm N B dA   
0( ) .t t   
0cos( . )m N B A t   
0( ) . ( . )m
dt N B A sen t
dt
       max N B A 
Si los arrollamientos poseen una resistencia de acuerdo a 
la ley de Ohm tendremos una corriente alterna.
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6
11
“Un campo magnético que varié en el tiempo induce un campo eléctrico en un
conductor fijo y por lo tanto una FEM”
Recordamos que: max N B A 
Solo nos resta reemplazar:
Campos eléctricos no electrostáticos
2
max 0,8 (0,02 ) .5 0,005radT m voltseg        
Es importante en este punto comprender que los campos eléctricos generados
por estas variaciones en los campos magnéticos no son conservativos, es decir que
el “trabajo” que producen en una trayectoria cerrada es nulo.
. 0
c
E dl  
Corrientes de Foucault (1851)
Supongamos que un conductor atraviesa una región del espacio donde hay un
campo magnético variable. Este movimiento relativo causa una circulación de
electrones o una corriente inducida dentro del conductor, en el sentido tal que
generan un campo que se opone a la causa que lo genera (Lenz).
12
Supongamos que se trata de una lamina de cobre o aluminio que se esta
moviendo a través de una región donde hay un campo magnético variable.
Cuando tiro de la lamina hacia la derecha como muestra la figura el flujo a
través del circuito disminuye y se produce una corriente y una fuerza que se
opone al movimiento de la lamina. Las corrientes de Foucault son en general un
efecto no deseado ya que crean pérdidas de energía a través del efecto joule.
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7
18/08/2016
1
CLASE 10
Electromagnetismo
Inductancia o Autoinductancia
Inductancia Mutua 
Circuitos R-L y R-C de corriente 
continua
1
Hasta ahora los circuitos con los cuales hemos trabajado solo poseían elementos
resistivos ¿Qué pasa si agregamos un capacitor? ¿Los capacitores se cargan de manera
instantánea?
2
Circuitos R-C (Corriente Continua) 
Analicemos el proceso de carga del capacitor
suponiendo que a t=0 el capacitor se encuentra
completamente descargado. De acuerdo a la segunda
ley de Kirchhoff la suma de las caídas de tensión en una
malla cerrada debe ser nula.
0capacitorV iR V   0
qV iR
C
   0dq qV R
dt C
  
dq qV R
dt C
 
q dqV R
C dt
 
VC q dqR
C dt


dqVC q RC
dt
 
dqq VC RC
dt
  
dt dq
RC q VC
 

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2
Si como ya hemos mencionado la condición inicial es q(0)=0
3
dt dq
RC q VC
 
 
1 dqdt
RC q VC
 
 
Por 
sustitución 
u=q-VC
t
RC q VCe
cte
 

t
RCcte e q VC

   1( )
t
RCq t C e VC

  
0
10 RCC e VC

   1C VC  ( ) )
t
RCq t VC e

 
Si deseo observar como es el cambio de la corriente en el circuito a medida que se carga 
el capacitor solo debo derivar la expresión anterior:
1( ) )
t
RCdqi t VC e
dt RC
      
 
( ) )
t
RCVCi t e
RC

 
0( )
t
RCi t i e

 
0
t uLn
RC u
 
   
 
t q VCLn
RC cte
    
 
Si graficamos ambas expresiones:
4
Nos podríamos preguntar ¿que 
representa RC?
Reemplacemos t=RC
1( ) ) )
RC
RCq t RC VC e VC e
     
( ) )q t RC VC  
( ) 0,64q t RC VC   
Tiempo que tarda en 
cargar al 64 %
Reemplacemos t=RC en la expresión
para la corriente
1
0 0( )
RC
RCi t RC i e i e
     
0( ) 0,36i t RC i  
RC se denomina 
habitualmente 
constante de tiempo
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3
5
Analicemos ahora el proceso de descarga del capacitor suponiendo que a t=0 el capacitor
se encuentra completamente cargado. Acá nos podemos preguntar ¿circula corriente?
quien hace el papel de la fuente suministrando energía al sistema?
0qiR
C
  0dq qR
dt C
 
dq qR
dt C
 
dq dt
q RC
  Integrando de ambos lados
0
( )q tLn
q RC
 
0
t
RCq e
q


0( )
t
RCq t q e

 
0 0( )
RC
RCq t RC q e q e
     Si t=RC
0( ) 0,36q t RC q   
Si deseamos obtener una expresión para la corriente en el proceso de descarga solo debo
derivar la expresión para q(t)
6
¿Por qué el signo menos? ¿Qué significa?
Lo que nos esta mostrando es que la corriente
fluye en sentido contrario
0 0
0
1( ) .
t t t
RC RC RCq Vdqi t q e e e
dt RC RC R
              
  0
( )
t
RCi t i e

  
Problema 1: Encuentre la corriente que circula por la resistencia de la figura a los
10 seg. de cerrar el circuito.
0( )
t
RCi t i e

  6 6
10
1.10 .5.10
0( 10 )
seg
Fi t seg i e 

  
¿Cuánto vale i0?
5
0 6
30 3.10
1.10
V Vi A
R
  

6 6
10
5 61.10 .5.10( 10 ) 3.10 4,06.10 4,06
seg
Fi t seg e A A

      
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7
Inductancia o Autoinductancia
Es interesante notar que un cambio en la geometría de un alambre produce un
cambio notable en su comportamiento !!!!
Consideremos una espira (en ausencia de imanes permanentes) por la cual circula una
corriente I. esta corriente produce un campo en toda región del espacio próxima a la
espira. Como el campo es proporcional a la corriente podemos definir:
m LI 
donde L la llamamos constante de autoinducción de la espira y
depende de la forma de la misma. Las unidades son:
 
2
( ) W TmL H Henrios
A A
  Es muy difícil de 
calcular L
Supongamos que tenemos un circuito donde la corriente varia en el tiempo, por lo tanto el
flujo cambia y de acuerdo a la ley de Faraday se induce una fem.
( )md d LI dIL
dt dt dt

  m
d dIL
dt dt
    
Por Faraday
8
A pesar de que es muy difícil en la practica calcular L, existe un caso en el cual podemos
hallar una expresión y es para el solenoide. Recordemos la expresión de la intensidad del
campo magnético para un solenoide largo:
0B nI
Si el solenoide tiene un área transversal A, el flujo magnético se puede escribir:
2
0 0. . . . . ( . . . ).m NBA n L n I A L An I   
Por lo tanto para una espira podemos escribir: 2
0. . .L L An 
Acá se ve claramente la 
dependencia de L con la 
geometría
Inductancia Mutua
Ahora vamos a emprender el estudio de la interacción entre dos circuitos debido al flujo
magnético que los enlaza. Este flujo en común, combinado con la Ley de Faraday nos
muestra como los cambios en uno afectan al otro. Vamos a expresar la interacción en
términos de lo que llamaremos inductancia mutua entre los circuitos.
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9
En el punto P del segundo circuito observamos
que el campo total tiene una contribución debido
a I1 y una debido a I2 . Podemos escribir el flujo
que atraviesa el circuito 2 como:
2 2 2 12 1m L M I       12 ( )M H Henrios
Termino de
Autoinducción
Inductancia Mutua (depende
de la disposición geométrica
de los circuitos)
Problema 2: Supongamos dos solenoides de igual longitud, pero distinto radio y numero
de vueltas. El solenoide mas pequeño, de radio a tiene un devanado de N1 vueltas
mientras que el segundo solenoide, posee un radio b y N2 vueltas. Calcular cual es el flujo
a través del solenoide exterior si solo circula una corriente I1 sobre el devanado interior y
la inductancia mutua del sistema.
2
2 12 1 2 1 1(2) ( . )m L M I N B r        
Como: 1 0 1 1B n I
2 2
2 0 1 1 1 0 2 1 1 1(2) ( )( . ) ( . )m N n I r n n L r I     
Circuitos LR (Corriente continua)
¿Cuál es la problemática que nos encontramos en 
este circuito? 
En el instante inicial, cuando cierro la llave la
corriente es nula, no alcanza su valor máximo de
manera instantánea, sino que se incrementa a un
ritmo dado por : dI
dt
Nos podemos hacer entonces una nueva pregunta ¿ Que efecto genera la presencia de la
bobina sobre el ritmo de incremento de la corriente en el circuito?
Produce una fuerza contra electromotriz que se opone al aumento de la corriente en
el circuito, la cual la podemos analizar a partir de las leyes de Kirchhoff:
0 0
dIV IR L
dt
   Analicemos como es la evolución de la corriente, para ello debemos resolver esta ecuación diferencial.
10
2
12 0 2 1 1.M n n L r 
Si hacemos las cuentas para el 
solenoide exterior veríamos que:
2
12 21 0 2 1 1.M M n n L r  
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Conociendo como depende la corriente
con el tiempo, podemos reescribir la caída
de tensión en la bobina con solo derivar:
¿Cómo resolvemos esta ecuación diferencial? 
0 0
dIV IR L
dt
  
Graficamos ambas expresiones:
De igual manera que lo hicimos en los circuitos RC !!!!!!! Utilizando separación de variables 
obtenemos como solución de la ecuación: 
0( ) (1 )
Rt
LVI t e
R
 
11
0( ) )
Rt
LVdI t e
dt L

Por lo tanto la diferencia de potencial en la bobina la podemos escribir:
0( ) Rt LVdI t e
dt L

0( )
Rt
LV t V e 
¿ Que representa en este caso la constante de 
tiempo?
Veamos la forma de 
esta solución !!!
Ahora nuevamente nos podemos preguntar ¿ Que pasa si le sacamos la batería al circuito? ¿Cómo 
reescribimos la ecuación en términos de la Ley de Kirchhoff? 
Resolviendo esta ecuación nuevamente por separación de variables obtenemos una expresión para la
corriente !!!!!!!
/
0( )
Rt LI t I e
12
De igual manera que hicimos con los circuito RC en corriente continua, llamaremos a parte del 
exponentes como constante inductiva de tiempo. L
R
 
0dIIR L
dt
  
Problema 3: Un resistor de 6 Ω se conecta con un inductor de 30 mH en serie. Se coloca
además una fuente de voltaje directa de 12 V para formar un circuito RL. Determinar la
corriente como función del tiempo e indicar a que valor converge si el tiempo que
transcurre es muy largo.
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7
13
0( ) (1 )
Rt
LVI t e
R
 
200.6 .
0,0312( ) (1 ) 2 (1 )
6
tt
segHVI t e A e  
 
   

Energía Magnética
Para almacenar energía en un inductor, al igual que con los capacitores hay que realizar
un trabajo !!! Podemos expresar la energía por unidad de tiempo almacenada en el
inductor de la siguiente forma:
mdU dILI
dt dt

La energía total en el inductor la puedo obtener integrando:
2
0
1
2
fI
mU LIdI LI 
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1
1
CLASE 11
Circuitos de Corriente Alterna
Para comenzar el análisis del comportamiento de un circuito el cual es alimentado con un
generador de corriente alterna (CA) nos deberíamos preguntar sobre la validez de las
Leyes de Kirchhoff en esta condición. Siguen valiendo !!!!!!
2
Si la fem suministrada por el generador es de la forma:
Entonces de acuerdo a las leyes de Kirchhoff las caídas de tensión en la malla se
pueden expresar como:
Por lo tanto la corriente que circula por la resistencia esta dada por……….
Corriente Alterna en una Resistencia
  0 cos( )t t  
0 cos( ) 0t IR   
  0 cos( )I t t
R


De acá se puede observar que la corriente máxima esta dada por: 
0
maxI R


Reescribimos la ecuación: 
max( ) cos( )I t I t
Observando esta ultima expresión se
ve claramente que la corriente que
circula por la resistencia esta en fase
con la tensión aplicada a la resistencia.
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2
¿ Como seria la grafica de esta función? ¿Cuál seria su valor máximo? ¿Y el mínimo?
Si analizamos la potencia disipada en la resistencia cuando es alimentada por un generador
de CA vemos que esta varia con el tiempo.
La energía liberada por la resistencia en un periodo de tiempo se puede asociar con la
potencia media disipada por la resistencia.
2 2 2 2
max max( cos( )) cos ( )P I R I t R I t R   
3
2 2
max
0
cos ( )W Pdt I R t dt

  
Por lo tanto la potencia media liberada es: 2
max
1
2
WP I R

 
Instrumentos de Medición en Corriente Alterna
Los instrumentos de medición, como pueden ser un voltímetro o un amperímetro están
diseñados para medir valores eficaces o cuadráticos medios, no los valores máximos o
mínimos !!!!!!!
¿ Como se definen estos valores? ¿Que relación tienen estos valores con los máximos de 
los picos?
max
2ef
II  A partir de esta expresión podemos reescribir la variación sinusoidal tanto 
de la tensión como de la corriente en términos de los valores eficaces !!
4
Corriente Alterna en una bobina 
Si la corriente en la bobina esta cambiando continuamente, la
bobina produce una fuerza contra electromotriz que aumenta a
medida que aumenta la frecuencia del cambio. Nuevamente, si nos
valemos de las leyes de Kirchhoff podemos escribir:
max cos( ) 0
dIt L
dt
   
¿Cómo resolvemos esta ecuación? ¿Qué 
forma tiene la solución? 
max( ) ( )I t sen t
L




¿ Que unidades tiene el producto ωL?
¿Cuánto vale la corriente máxima?
Si observamos las expresiones para la diferencia de potencial en la
bobina (coincide con la del generador) con respecto a la corriente
se ve que la caída de tensión en la bobina adelanta a la corriente
en 900
Reactancia Inductiva XL=ωL 
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3
¿ Como podemos hallar una expresión para la corriente que circula por el circuito?
http://www.asifunciona.com/electrotecnia/af_capacitor/af_capacitor_5.htm
Corriente Alterna en un capacitor 
Cuando conectamos un capacitor a un circuito de corriente continua
la corriente se interrumpe cuando el condensador esta totalmente
cargado. Cuando utilizamos un generador de corriente alterna la
carga fluye entrando y saliendo del condensador !!!!!!!
¿Cómo es la potencia instantánea disipada por la reactancia? 
max max maxcos( ) cos( ) ( )P I t I I t sen t       
Se puede obtener la potencia media la cual es nula, por lo tanto la bobina no disipa 
energía (aproximación) !!!!!!
Si la frecuencia de la corriente alterna es alta el condensador casi no se opone a la
circulación de la corriente como veremos !!! Utilizando nuevamente las leyes de Kirchhoff
max cos( ) 0
Qt
C
   
5
Recordando la definición de corriente
dQI
dt

De acá podemos observar dos términos de vital importancia para la comprensión de los
circuitos de corriente alterna
max
max
( . cos( )) ( )d C tI C sen t
dt
      
max maxI C 
1
cX C

Si observamos las expresiones para la diferencia
de potencial en el condensadorcon respecto a
la corriente se ve que la caída de tensión en el
condensador esta retrasada en 900
Problema 1: En un circuito de corriente alterna (CA) puramente inductivo como el de la
figura la diferencia de potencial máxima es de 100 V. Si la corriente máxima es de 7,5 A a
una frecuencia de 50 Hz ¿Cuál es el valor de la inductancia L? ¿A qué frecuencia angular
la corriente máxima es de 2,5 A?
6
max( ) ( )I t sen t
L



 max maxmax ....2
I
L fL
 
 
  
http://www.asifunciona.com/electrotecnia/af_capacitor/af_capacitor_5.htm
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4
¿ Que forma tiene la solución de esta ecuación 
diferencial? 
Circuitos RLC 
Tarea para el hogar: para la próxima clase traer resuelta la ecuación diferencial expresada
anteriormente y mostrar que dicha solución coincide con la expresada en clase !!!!!!!!!!.
Este tipo de circuito reúne muchas de las características
presentes habitualmente en los circuitos de CA. Nuevamente
planteamos las leyes de Kirchhoff
Recordando la definición de corriente podemos reescribir la ecuación
quedándonos una expresión que ya hemos visto (uhm?)
dQI
dt

max cos( ) 0
dI Qt L IR
dt C
     
2
max 2cos( )
d Q dQ Qt L R
dt dt C
    
max( ) cos( )I t t
Z
   
7
Resonancia
Si analizamos la expresión de la corriente máxima, vemos que esta cambia con la
frecuencia, se puede ver que también cambia el ángulo de fase con la frecuencia!!! A la
frecuencia para la cual la reactancia capacitiva e inductiva son iguales se dice que el
sistema entra en resonancia y la corriente máxima aumenta.
En principio la solución de la ecuación diferencial expresada anteriormente esta
compuesta de una parte homogénea y lo que llamamos una solución particular. La
solución homogénea se asocia a la parte transitoria del sistema, razón por la extingue
rápidamente. La solución particular como ya vimos tiene forma sinusoidal.
De la expresión para la solución particular se puede
ver que la corriente máxima en el circuito es:
L CX Xtg
R
 
2 2( )L CZ R X X  
Analicemos los elementos presentes en la solución
max
max 2 2( )L C
I
R X X


 
8
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5
Como ya hemos mencionado en una primera aproximación los elementos puramente
capacitivos o inductivos no disipan energía, por lo tanto en un circuito de este tipo la
disipación de energía esta asociada únicamente al elemento resistivo.
En resonancia, la impedancia es mínima y la frecuencia de la fem es igual a la frecuencia
natural. A esta frecuencia la corriente esta en fase con la tensión del generador.
¿Qué pasa con la potencia en un circuito de este tipo?
0 
2Z R
En resonancia 
L CX X
1L
C



9
max max max
1 1 cos( ) cos( )
2 2R ef ef
P I V I I     
O podemos escribirla en términos de los valores eficaces como se muestra en la
expresión anterior
Al termino cos(ϕ) se lo llama factor de potencia, el cual en resonancia vale 1
correspondiendo a la situación de máxima potencia
10
Problema 2: En el circuito RLC de la figura la resistencia tiene un valor de 160 Ω, el
capacitor es de 15 μF y la inductancia es de 230 mH. Si la frecuencia es de 60 Hz y la
diferencia de potencial máxima es de 36 V hallar: (a) La reactancia inductiva. (b) La
reactancia capacitiva. (c) La impedancia del circuito. (d) La amplitud de la corriente. (e)
La constante de fase.
1 .........cX C
 .......LX L 
2 2( ) .......................L CZ R X X   
max
max 2 2
................
( )L C
I
R X X

 
 
..........L CX Xtg
R
  
(a) (b)
(c)
(d) (e)
Análisis Fasorial
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1
James Clerk Maxwell encuentra una forma matemática concisa de
expresar las leyes pilares de la teoría electromagnética clásica.
1
CLASE 12
Ecuaciones de Maxwell
Estas cuatro leyes contienen toda la información de lo que
conocemos como electromagnetismo clásico. Es decir que están
contenidas dentro de estas cuatro expresiones la Ley de
Coulomb, de Gauss, de Biot y Savart, de Ampere y de Faraday,
todas de carácter experimental. Estas leyes relacionan los
vectores de campo eléctrico E y campo magnético B con sus
fuentes: cargas eléctricas, corrientes y campos variables.
La combinación de estas ecuaciones da origen a una ecuación de onda, la que
satisfacen los campos eléctrico y magnético.
¿Cuál es el origen de esta onda?
Cargas eléctricas en movimiento!!!
Maxwell demostró que la velocidad de las ondas en el vacio esta dada por:
2
0 01/c  
concluyendo que la luz es una onda electromagnética
Corriente de Desplazamiento 
(generalización de la Ley de Ampere)
Recordemos la ley de Ampere: 0.B dl I
¿Cuál es el problema con esta ley? ¿Por qué decimos que no es general?
Para entenderlo miremos las graficas siguientes.
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2
¿Cual es la diferencia entre una situación y otra?
¿Cambia el flujo? 
¿Cambia la corriente?
3
No cambia el anillo ni el campo, por lo tanto el lado izquierdo de la ecuación no
cambio, por lo tanto tuvo que cambiar algo en el lado derecho. También vale la
pena notar que no es necesario que la superficie sobre la cual realizo mi camino
cerrado (circulación) tenga por que ser plana, de echo en la segunda figura no lo
es. Esta segunda figura nos muestra que debemos reescribir la ley de Ampere
para que describa correctamente esta ultima situación.
Para reescribir una nueva versión de la ley de Amper que describa correctamente
lo visto en la segunda figura debemos pensar de manera reciproca a lo que
hicimos con la ley de Faraday, “un campo eléctrico variable crea un campo
magnético”.
0.B dl I
Llamamos corriente de desplazamiento al termino:
4
El segundo termino del lado derecho nos esta diciendo que no solo tenemos
como fuentes de campos magnéticos a las corrientes sino al campo eléctrico, es
decir este último también pueden producir un rotacional de B, incluso en
ausencia de corrientes. Parte de este termino adicional tiene las dimensiones de
una corriente.
0
E
d
dI
dt

0 0 0. E
dB dl I
dt
   
0 0 0
EB J
t
     

Ejemplo 1: El voltaje aplicando entre las placas de un capacitor de 3 nF varía con
el tiempo según la expresión V(t)=6(1-e-t / 4) V, donde t esta dado en segundos.
Calcule: a) La corriente de desplazamiento como una función del tiempo. b) El
valor de la corriente en t=2seg.
Resolución: Usamos la definición de corriente de desplazamiento
0
E
d
dI
dt
 0
( . )
d
d E AI
dt
 0d
dEI A
dt

0
( )
d
Vd dI A
dt

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3
5
d
dVI C
dt

0d
A dVI
d dt

/4(1 )6
t
d
d eI C
dt


Resolvemos nuestro problema concretamente:
/43
2
t
dI Ce

Ecuaciones de Maxwell
James Clerk Maxwell encuentra una forma matemática concisa de expresar las
leyes pilares de la teoría electromagnética clásica.
Ecuación de una onda electromagnética
Recordemos la expresión matemática de lo que conocemos como ecuación de
ondas.
6
2 2
2 2 2
( , ) 1 ( , )y x t y x t
x v t
 

 
Las soluciones de esta ecuación eran funciones de onda armónicas cuya
expresión matemática era de la forma:
( , ) ( )y x t Asen kx wt 
Vamos a aceptar que a partir de las leyes de Maxwell se puede deducir una
expresión que corresponde a la ecuación de una onda electromagnética en este
caso, sin realizar la correspondiente deducción matemática (se puede revisar la
distinta bibliografía citada como referencia en caso de una mayor inquietud).
Solo haremos hincapié en los puntos notables obtenidos durante la deducción.
18/08/2016
4
• No se considera en principio en la deducción de esta ecuación que el
origen de estas ondas este asociado al movimiento de cargas.
• La existencia de la ecuación de onda implica la existencia de los campos E
y B, los cuales se propagan en el espacio libre con una velocidad definida
c, sin que existan en dicho espacio ni cargas ni corrientes.
• Supondremos que los campos E y B son funciones del tiempo y de una
sola coordenada espacial, que arbitrariamente elegiremos como x. Es lo
que se denomina una onda plana.
7
Puntos a tomar en cuenta:
A partir de estas consideraciones y de las leyes de Maxwell podemos