Electromagnetismo para Ingenieros - J Nunez

Vista previa del material en texto

Electromagnetismo
para
Ingenieros
Dr. Josué A. Núñez
Profesor Titular
Cátedra FÍSICA II
Facultad de Ingeniería
UNJu
2
Índice general
I Campos Estáticos y Campos dependientes del tiempo 7
1. Electrostática 15
1.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2. Generalización de la
Ley de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.0.1. Concepto de distribución de carga. . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.0.2. El campo eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.0.1. Aplicaciones de la Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4. Potencial Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5. Corriente eléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1. El modelo de Drude y Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6. Energía de Interacción y
Densidad de Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.1. Energía de interacción entre cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.2. Densidad de energía de Interacción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7. Desarrollo Multipolar del Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7.1. Análisis de los primeros términos
del desarrollo multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.2. Propiedades del desarrollo multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8. El campo eléctrico en
medios materiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.9. Energía almacenada por el
campo en un medio material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.10. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.11. Energía de un sistema
de conductores cargados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.11.1. Coe�cientes de potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.11.2. Coe�cientes de capacidad e inducción. . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.11.3. Condensadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.12. Ejercicios para resolver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2. Magnetostática 53
2.1. Fenómenos magnéticos
en régimen estacionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2. Ley de Biot y Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3
4 Índice general
2.3. Ecuaciones diferenciales
de la magnetostática
Ley de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.1. Cálculo de la ∇ ·B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.2. Cálculo del ∇×B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4. Potencial vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.1. Potencial vector e inducción magnética
de una espira circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5. Campo magnético de una distribución
localizada de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6. Fuerza y par sobre una distribución
localizada de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.6.1. Energía potencial de un momento magnético permanente
(o dipolo) en un campo magnético externo. . . . . . . . . . . . . . . 69
2.7. Magnetismos en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.8. Condiciones de contorno para B y H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.9. Ejercicios para resolver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3. Campos dependientes del tiempo 75
3.1. Comentarios iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2. Ley de inducción de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3. Energía de un campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.1. Auto-inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.2. Inductancia mutua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4.3. Fórmula de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.4. Transitorios en circuitos RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.6. Ley de conservación.
Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.7. Ejercicios para resolver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
II Algunas aplicaciones de la teoría electromagnética de cam-
pos 99
4. Ondas Planas 103
4.1. Propagación de Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.1.1. Propiedades de E y H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.1.1.1. Campo H: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.1.1.2. Campo E: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2. Solución de la ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3. Ondas planas armónicas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4. Efectos en la propagación
de la onda con la frecuencia ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.5. Relación entre |H| y |E| con la frecuencia ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.6. Ondas planas armónicas en el espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.7. Flujo de energía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Índice general 5
5. Polarización, Re�exión y Refracción
en super�cies planas 119
5.1. Estado de polarización de
una onda electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2. Re�exión y Refracción en super�cies planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2.1. Propiedades geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.2. Relación entre los campos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2.2.1. El campo E0 es normal al plano de incidencia. . . . . . . . 124
5.2.3. El campo E0 está en el plano de incidencia. . . . . . . . . . . . . . 126
5.3. Medios Dieléctricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6. Interferencia y Difracción 135
6.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2. Superposición de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.3. Interferencia producida por
dos fuentes idénticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.4. Interferencia producida por
N fuentes sincrónicas idénticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.5. Diagrama de Interferencia producido por
cuatro fuentes idénticas en un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.6. Diagrama de interferencia de
M grupos de N fuentes idénticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7. Difracción. 149
7.0.1. Principio de Huygens-Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.0.1.1. Principio de Huygens: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.0.1.2. Principio de Huygens-Fresnel: . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.0.1.3. Suma grá�ca de las amplitudes de las ondas secundarias . 151
7.1. Difracción de Fresnel y Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.1.1. Difracción de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.1.2. Difracción de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.1.2.1. Difracción mediante un ori�cio redondo de una pantalla
opaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.1.2.2. Difracción mediante una rendija rectangular. . . . . . . . . 156
6 Índice general
Parte I
Campos Estáticos y Campos
dependientes del tiempo
7
Introducción
Comentarios GeneralesEstimados estudiantes. Antes de comenzar el curso deseo compartir con ustedes el sen-
tido que tendrán los encuentros que nos reunirán de aquí en más. Es importante, al menos
para mí, que logremos aproximarnos al sentido de esta apasionante e intrigante disciplina
de la ciencia. Espero que podamos, utilizando como mediador al electromagnetismo, reali-
zar un análisis crítico no sólo de la ciencia sino también de la asignación de �verdad� que
se le con�ere.
He escrito esta introducción repetidas veces y todas ellas fueron descartadas.
Encontrar la manera adecuada para comunicar cuál es la pretensión del curso
no fue fácil hasta que un profesor de �losofía puso en mis manos el muy claro
libro La �losofía y el barro de la historia 1. Realmente les recomiendo
su lectura porque es un texto capaz de cambiar nuestro enfoque de cómo ver
y analizar las cosas y en particular reformular lo que creemos y aceptamos
como la realidad. No resultó extraño encontrar lo que quería decir en este
libro; ya que José Pablo Feinmann posee la envidiable habilidad de vincular
con un hilo sin nudos el pensamiento de los �lósofos a través del tiempo
contextualizado en el momento histórico correcto, pero también mirando
desde su propio tiempo histórico.
Es común encontrar en los textos de estudio de física la idea de que ésta explica fenómenos
que acontecen en la realidad física, dando por supuesto que entendemos y comprendemos
que sabemos de qué se está hablando. La cuestión es si el signi�cado cotidiano de los dos
conceptos anteriores resultan su�cientes para saber de qué se está hablando y aun más en
qué términos lo hace la física. Resulta entonces casi una obviedad que nos preguntemos
acerca de: ¿qué es eso de fenómeno? y ¿qué es eso de realidad física?.
Tanto la idea de fenómeno como de realidad están íntimamente relacionadas. De hecho,
la palabra fenómeno -del griego phainómenon derivado del verbo phaino2- denota lo que
aparece o lo aparente. Etimológicamente signi�ca tanto lo que aparece y se hace presente
a la percepción como lo que es mera apariencia. Es interesante notar que esto no signi�ca
necesariamente asignarle existencia como cosa en sí. Kant (siglo XVIII), utiliza para dife-
renciar el objeto tal como lo conocemos del noúmenon3, la cosa en sí misma y fue el �lósofo
1La �losofía y el barro de la historia. José Pablo Feinmann. Editorial Planeta.
2Estos comentarios pueden encontrarse en Diccionario de �losofía. Copyright © 1996. Empresa Editorial
Herder S.A., Barcelona. Todos los derechos reservados. ISBN 84-254-1991-3. Autores: Jordi Cortés Morató
y Antoni Martínez Riu.
3noúmenon: término procedente del griego "noumena", que signi�ca etimológicamente "lo pensado",
"lo inteligible".
9
10
Johann Heinrich Lambert, quien introduce el término fenomenología y a los fenómenos, co-
mo aspectos ilusorios de la experiencia humana. Para Kant, el fenómeno no es una ilusión
o un engaño de los sentidos, sino todo cuanto podemos conocer por la experiencia y, en
algún sentido, construcción (trascendental) del sujeto humano mediante las formas a priori
de la sensibilidad, y cuya comprensión logra la mente con determinados conceptos también
a priori, ejemplo podrían ser el de sustancia y el de causalidad. Posteriormente, fenómeno
pasó a signi�car, de un modo más general, cualquier hecho o suceso que pudiera conver-
tirse en objeto de una descripción cientí�ca. Así, en las ciencias empíricas, fenómeno es el
hecho que se toma como objeto de estudio; mientras que en la fenomenología de Husserl,
fenómeno es el dato de conciencia cuya esencia se describe.
La física se va desarrollando, como toda construcción humana, siguiendo los vaivenes
culturales de la humanidad y este hecho en sí es para nada impresionante, pues es parte del
juego evolutivo del homo sapiens como especie. De ahí, cuando al concepto de fenómeno
antes mencionado y con él, de todos los hechos o sucesos plausibles de ser descriptos por
la ciencia, sólo se considerará aquellos que se circunscriben al universo tangible (que se
puede tocar, oír o ver). La tangibilidad de algo dependerá de nuestra percepción ya que
nuestra realidad se construye, básicamente, a través de los sentidos. Los sentidos, a los
que hago referencia, son parte del bagaje instrumental biológico que nos dan información
del medio que nos circunda. Esta información como tal solamente se percibe y la idea de
percepción nos remite a un plano estrictamente psicológico. La palabra «percibir» viene del
latín perceptio, acción de recoger, conocimiento; de percipere apoderarse de algo, percibir;
la perceptio del latín es traducción del griego de katálepsis. Tener conciencia de una
sensación es un el proceso por el que el sujeto transforma las diversas impresiones sensoriales
en un objeto conocido. La percepción es fundamental para aprehender la realidad, pues la
realidad sólo se entiende como totalidad. Si se percibe una pintura no se desglosa en colores,
contrastes, etc. se percibe la totalidad en conjunto. Desglosar en partes es una acción a
posteriori. Sensación y percepción forman parte del proceso del conocimiento sensible y
ninguno es meramente activo o pasivo en este proceso, ambos son receptoras y efectoras.
Los factores que in�uyen en la percepción no son meramente las impresiones sensoriales,
sino que dependen de elementos que pertenecen sujeto consciente y de hecho hacen al
objeto. Recuerdos, experiencias y conceptos previos, modo de aprendizaje, etc., hacen al
reconocimiento del objeto. La perspectiva y expectativas del sujeto ante las cosas in�uyen
en la conformación del objeto.
El punto de arranque de la psicología moderna lo constituyen las investigaciones sobre
la percepción, llevadas a cabo sobre todo por los estudios de la psicología de la forma. Surge
como respuesta directa al asociacionismo, o el empirismo que se sostiene en la asociación
de ideas o de sensaciones4. Esta interpretación de la percepción como una asociación de
impresiones sensibles y de algún modo deterministas, se contrapone la psicología inspirada
en la �losofía trascendental de Kant, pues interpreta el conocimiento sensible como una
elaboración de la materia del conocimiento mediante formas sensibles a priori. Hoy po-
dríamos pensar psicologías surgidas directamente de la fenomenología de Husserl y en la
psicología de la comprensión de Dilthey. pues estos pensadores marcan la necesidad de la
Para Kant, el noúmeno es el objeto tal como es "en sí" mismo, independientemente de nuestro modo de
conocerlo, al que denomina "la cosa en sí". Kant lo opone al fenómeno, al objeto tal como es para nosotros;
es decir, tal como lo conocemos en función de las formas a priori de la sensibilidad y del entendimiento.
4Se sostiene por las ideas de los empiristas británicos, Hume y J. Stuart Mill, y difundida masivamente
en psicología por el conductismo
11
idea de totalidad y de sujeto activo para comprender los fenómenos mentales.
Tras ellas -abonado el terreno, además, por las sugerencias de Ernst Mach sobre la exis-
tencia de sensaciones espaciales y temporales, como �guras geométricas y melodías, por
ejemplo, independientes de los elementos que las componen-, la psicología de la Gestalt,
por obra de Wertheimer, Köhler y Ko�ka, principalmente, introduce el concepto de «orga-
nización», que media entre estímulo y respuesta, propia del conductismo. Inspirándose en
la fenomenología, los psicólogos de la Gestalt hablan de objetos de la experiencia y no de
estímulos independientes y sumados; la unidad de experiencia -de percepción- es un objeto,
no una impresión sensorial. La organización de la que hablan los psicólogos de la Gestalt se
re�ere a la forma o con�guración con que se perciben los estímulos sensoriales. Estas formas
y con�guraciones o están en la naturaleza o son a priori. La respuesta de estos psicólogos
fue que hay formas tanto en la naturaleza como en la mente humana. La indagación de
cuáles son estas formas ha contituido el programa de investigación empírica de la psicología
de la forma.
Tradicionalmente,el problema que la percepción plantea a la �losofía se re�ere a la
relación existente entre nuestras experiencias internas y el mundo exterior. A ello funda-
mentalmente responden tres teorías: realismo directo, realismo indirecto y fenomenismo (el
idealismo es un caso especial de este último). El realismo perceptivo sostiene que los objetos
percibidos poseen una existencia independiente de nuestra sensación y que conservan sus
propiedades aun cuando no sean percibidos y, a modo de ejemplo, es interesante la conocida
discusión entre Einstein y Tagore que a continuación se transcribe:
Diálogo entre Rabindranath Tagore y Albert Einstein, Calcuta, India. 1931
"Diálogo entre Rabindranath Tagore y el profesor Albert Einstein", en la tarde del 14 de julio de 1930, en
la residencia del profesor Einstein en Kaputh, Berlín.
Einstein: ¿Cree usted en lo divino aislado del mundo?
Tagore: Aislado no. La in�nita personalidad del Hombre incluye el Universo. No puede haber nada que
no sea clasi�cado por la personalidad humana, lo cual prueba que la verdad del Universo es una verdad
humana. He elegido un hecho cientí�co para explicarlo. La materia está compuesta de protones y electrones,
con espacios entre sí, pero la materia parece sólida sin los enlaces interespaciales que uni�can a los elec-
trones y protones individuales. De igual modo, la humanidad está compuesta de individuos conectados por
la relación humana, que con�ere su unidad al mundo del hombre. Todo el universo está unido a nosotros,
en tanto que individuos, de modo similar. Es un universo humano. He seguido la trayectoria de esta idea
en arte, en literatura y en la conciencia religiosa humana.
Einstein: Existen dos concepciones distintas sobre la naturaleza del Universo: El mundo como unidad de-
pendiente de la humanidad, y El mundo como realidad independiente del factor humano.
Tagore: Cuando nuestro universo está en armonía con el hombre eterno, lo conocemos como verdad, lo
aprehendemos como belleza.
Einstein: Esta es una concepción del universo puramente humana.
Tagore: No puede haber otra. Este mundo es un mundo humano, y la visión cientí�ca es también la del
hombre cientí�co. Por lo tanto, el mundo separado de nosotros no existe; es un mundo relativo que depende,
para su realidad, de nuestra conciencia. Hay cierta medida de razón y de gozo que le con�ere certidumbre,
la medida del Hombre Eterno cuyas experiencias están contenidas en nuestras experiencias.
Einstein: Esto es una concepción de entidad humana.
Tagore: Sí, una entidad eterna. Tenemos que aprehenderla a través de nuestras emociones y acciones.
Aprehendimos al Hombre Eterno que no tiene limitaciones individuales mediadas por nuestras limitacio-
nes. La ciencia se ocupa de lo que no está restringido al individuo; es el mundo humano impersonal de
verdades. La religión concibe esas verdades y las vincula a nuestras necesidades más íntimas, nuestra
12
conciencia individual de la verdad cobra signi�cación universal. La religión aplica valores a la verdad, y
sabemos, conocemos la bondad de la verdad merced a nuestra armonía con ella.
Einstein: Entonces, la Verdad, o la Belleza, ¿no son independientes del hombre?
Tagore: No.
Einstein: Si no existiera el hombre, el Apolo de Belvedere ya no sería bello.
Tagore: No.
Einstein: Estoy de acuerdo con esta concepción de la Belleza, pero no con la de la Verdad.
Tagore: ¿Por qué no? La verdad se concibe a través del hombre.
Einstein: No puedo demostrar que mi concepción es correcta, pero es mi religión.
Tagore: La belleza es el ideal de la perfecta armonía que existe en el Ser Universal; y la Verdad, la com-
prensión perfecta de la mente universal. Nosotros, en tanto que individuos, no accedemos a ella sino a
través de nuestros propios errores y desatinos, a través de nuestras experiencias acumuladas, a través de
nuestra conciencia iluminada; ¿cómo si no, conoceríamos la Verdad?
Einstein: No puedo de mostrar que la verdad cientí�ca deba concebirse como verdad válida independien-
temente de la humanidad, pero lo creo �rmemente. Creo, por ejemplo, que el teorema de Pitágoras en
geometría a�rma algo que es aproximadamente verdad, independientemente de la existencia del hombre.
De cualquier modo, si existe una realidad independiente del hombre, también hay una verdad relativa a esta
realidad; y, del mismo modo, la negación de aquella engendra la negación de la existencia de ésta.
Tagore: La verdad, que es una con el Ser Universal, debe ser esencialmente humana, si no aquello que los
individuos conciban como verdad no puede llamarse verdad, al menos en el caso de la verdad denominada
cientí�ca y a la que sólo puede accederse mediante un proceso de lógica, es decir, por medio de un órgano
re�exivo que es exclusivamente humano. Según la �losofía hindú, existe Brahma, la Verdad absoluta, que
no puede concebirse por la mente individual aislada, ni descrita en palabras, y sólo es concebible mediante
la absoluta integración del individuo en su in�nitud. Pero es una verdad que no puede asumir la ciencia. La
naturaleza de la verdad que estamos discutiendo es una apariencia - es decir, lo que aparece como Verdad
a la mente humana y que, por tanto, es humano, se llama maya o ilusión.
Einstein: Luego, según su concepción, que es la concepción hindú, no es la ilusión del individuo, sino de
toda la humanidad...
Tagore: En ciencia, aplicamos la disciplina para ir eliminando las limitaciones personales de nuestras
mentes individuales y, de este modo acceder a la comprensión de la Verdad que es la mente del Hombre
Universal.
Einstein: El problema se plantea en si la Verdad es independiente de nuestra conciencia.
Tagore: Lo que llamamos verdad radica en la armonía racional entre los aspectos subjetivos y objetivos de
la realidad, ambos pertenecientes al hombre supra-personal.
Einstein: Incluso en nuestra vida cotidiana, nos vemos impelidos a atribuir una realidad independiente del
hombre a los objetos que utilizamos. Lo hacemos para relacionar las experiencias de nuestros sentidos de
un modo razonable. Aunque, por ejemplo, no haya nadie en esta casa, la mesa sigue estando en su sitio.
Tagore: Sí, permanece fuera de la mente individual, pero no de la mente universal. La mesa que percibo es
perceptible por el mismo tipo de conciencia que poseo.
Einstein: Nuestro punto de vista natural respecto a la existencia de la verdad al margen del factor humano,
no puede explicarse ni demostrarse, pero es una creencia que todos tenemos, incluso los seres primitivos.
Atribuimos a la Verdad una objetividad sobrehumana, nos es indispensable esta realidad que es indepen-
diente de nuestra existencia, de nuestras experiencias y de nuestra mente, aunque no podamos decir qué
signi�ca.
Tagore: La ciencia ha demostrado que la mesa, en tanto que objeto sólido, es una apariencia y que, por
lo tanto, lo que la mente humana percibe en forma de mesa no existiría si no existiera esta mente. Al
mismo tiempo, hay que admitir que el hecho de que la realidad física última de la mesa no sea más que
13
una multitud de centros individuales de fuerza eléctricas en movimiento es potestad también de la mente
humana. En la aprehensión de la verdad existe un eterno con�icto entre la mente universal humana y la
misma mente circunscrita al individuo. El perpetuo proceso de reconciliación lo llevan a cabo la ciencia, la
�losofía y la ética. En cualquier caso, si hubiera alguna verdad totalmente desvinculada de la humanidad,
para nosotros sería totalmente inexistente. No es difícil imaginar una mente en la que la secuencia de las
cosas no sucede en el espacio, sino sólo en el tiempo, como la secuencia de las notas musicales. Para tal
mente la concepción de la realidad es semejante a la realidad musical en la que la geometría pitagórica
carece de sentido. Está la realidad del papel, in�nitamente distinta a la realidad de la literatura. Para el
tipo de mente identi�cada a la polilla, que devora este papel, la literatura no existepara nada; sin embargo,
para la mente humana, la literatura tiene mucho mayor valor que el papel en sí. De igual manera, si hubiera
alguna verdad sin relación sensorial o racional con la mente humana, seguiría siendo inexistente mientras
sigamos siendo seres humanos.
Einstein: ¡Entonces, yo soy más religioso que usted!
Tagore: Mi religión es la reconciliación del Hombre Supra-personal, el espíritu humano Universal y mi pro-
pio ser individual. Ha sido el tema de mis conferencias en Hibbert bajo el título de 'La religión del hombre'.
Publicado por primera vez en el diario "Modern Review" de Calcuta en 1931
Se llama directo a este realismo cuando entre el objeto percibido y el sujeto que percibe
no existe ningún intermediario, e indirecto si tal intermediario existe. El realismo indirecto
sostiene que, aunque los objetos percibidos existen realmente, no son percibidos directa-
mente, sino que son captados a través de un intermediario, que puede ser la idea, los sense
data, el percepto, etc.
El fenomeismo, o fenomenismo, que es una teoría perceptiva no realista, no admite
la existencia de un mundo físico real e independiente de la percepción; fuera de la propia
experiencia no existe nada más, y ésta es percibida directamente sin intervención de ningún
medio distinto. Para el idealismo los objetos físicos no son sino un conjunto de ideas; puede
negar simplemente la existencia de los objetos físicos o puede reducir los objetos físicos a
experiencia (Berkeley): en este caso, se confunde con el fenomenalismo.
Durante la primera mitad del siglo XX, las posturas de algunos �lósofos tendían a
defender el realismo indirecto; pero a partir de la segunda mitad, se tiende al realismo
directo.
Cualquier teoría de la percepción ha de relacionar ésta con el proceso general del cono-
cimiento de la realidad, entendiendo por tal la «reconstrucción (interna) adecuada y una
identi�cación de los objetos externos en el sujeto cognoscente». En este proceso, se pue-
den distinguir las etapas sucesivas de: sensación, percepción, experiencia o conocimiento
cotidiano precientí�co y conocimiento teórico, o ciencia.
El poder de la ciencia es inagotable, atractivo y con prensa. Ser cientí�co hoy es tener
autoridad validada, autoridad exagerada y de gran soberbia. Lo que la ciencia expresa es
verdad incuestionable fundada en la validez conferida al propio conocimiento cientí�co, en
tanto autoridad. Por lo que tal autoridad debiéramos tomarla con más precaución.
Llegamos hasta este momento gracias a todos aquellos que supieron respetar su propio
futuro y no sólo por la ciencia.
14
Capítulo 1
Electrostática
Vamos a tratar de dar algunas razones que expliquen fenómenos en los que intervienen
distribuciones de cargas que no dependen del tiempo.
La electrostática se ha desarrollado históricamente como una ciencia de fenómenos ma-
croscópicos. Idealizaciones, tales como cargas puntuales o campo eléctrico, deben entenderse
como abstracciones matemáticas que permiten la descripción de ciertos observables en la
naturaleza. Estos fenómenos están íntimamente relacionados con una propiedad fundamen-
tal de del universo llamada carga eléctrica.
Sólo se han determinados dos clases de cargas, una positiva y otra negativa. La carga
eléctrica como propiedad intrínseca de la materia es una constante y la menor carga negativa
observable es la asociada al electrón; en tanto que la menor carga positiva y de igual valor
absoluto que la negativa se asocia con el protón.
1.1. Ley de Coulomb
Toda la electrostática se construye a partir de un enunciado cualitativo y cuantitativo
conocido como Ley de Coulomb. Coulomb logra describir la fuerza de interacción entre
dos cuerpos cargados en reposo uno respecto del otro. Los cuerpos son en realidad cargas
puntuales y este hecho nos sitúa dentro de un universo que aún no tiene materia.
Sea F12 la fuerza que se ejerce sobre la carga puntual q1, situada en el punto x1 por la
presencia de otra carga q2 localizada en el punto x2 tal como muestra la �gura 1.1.1, luego
tal fuerza entre las cargas queda representada por
F12 = k q1 q2
x12
|x12|3
(1.1.1)
donde x12 = x1 − x2 y k una constante que depende del sistema de unidades.
Es interesante notar que la fuerza F12 dada en (1.1.1) tiene las características siguientes:
1. Es directamente proporcional al producto de las cargas.
2. Es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado que separa las cargas.
3. Su dirección es la dirección de la recta que une ambas cargas.
4. Es atractiva si las cargas tienen signos opuestos y repulsiva si los signos de las cargas
son iguales.
15
16 Capítulo 1. Electrostática
La experiencia muestra que la fuerza aplicada sobre una tercer carga se corresponde con
la suma vectorial de las fuerzas ejercida sobre ésta; debido a la carga 1 y a la carga 2
respectivamente, independientemente de cuál sea la fuerza eléctrica entre las cargas 1 y 2,
ver �gura 1.1.2, esto es la interacción se mani�esta como de dos cuerpos tal como describe
la Ley de Coulomb (1.1.1).
Figura 1.1.1: Dos cargas en interacción
Figura 1.1.2: Fuerza total.
El concepto de que la interacción eléctrica involucra sólo dos cuerpos se traduce en
el conocido principio de superposición; es decir, si tenemos N cargas {qi}i=1,··· ,N en las
posiciones {xi}i=1,··· ,N la fuerza F ejercida sobre una carga arbitraria q en la posición x
está determinada por
F(x) =
1
4π�0
N∑
i=1
q qi
|x− xi|3
(x− xi) . (1.1.2)
Reescribamos (1.1.2) como
F(x) =
q
4π�0
N∑
i=1
qi
|x− xi|3
(x− xi)
F(x) = qE(x) (1.1.3)
vemos que en este caso particular, podríamos decir que la fuerza aplicada sobre una carga
arbitraria q es proporcional a una magnitud vectorial E, como muestra la ecuación (1.1.3).
Si hacemos uso del hecho de que una fuerza aplicada sobre un cuerpo modi�ca su estado
dinámico, resulta que
1.2. Generalización de la
Ley de Coulomb.
17

m
d2x
dt2
=
q
4π�0
(
q1
|x− x1|3
(x− x1) + ....+
qN
|x− xN |3
(x− xN )
)
m1
d2x1
dt2
=
q1
4π�0
(
q
|x1 − x|3
(x1 − x) + ....+
qN
|x− xN |3
(x− xN )
)
......... ... ................................................................
mN
d2xN
dt2
=
qN
4π�0
(
q
|xN − x|3
(xN − x) + ....+
qN−1
|x− xN−1|3
(x− xN−1)
) (1.1.4)
¿Será posible asegurar en todos los casos lo anteriormente dicho?
1.2. Generalización de la
Ley de Coulomb.
1.2.0.1. Concepto de distribución de carga.
Si en las ecuaciones (1.1.2) o (1.1.3) en número de cargas puntuales es tan grande
como se quiera pero todas éstas con�nadas en una región �nita del espacio, es claro que
éstas siguen siendo válidas; sin embargo son poco prácticas, pues podemos a�rmar que en
cualquier caso realista N es del orden de 1023.
El mundo moderno nos provee de un sinfín de situaciones análogas. Común es a todos la
idea de densidad y ¿quién no lidió alguna vez con ese concepto?, pero ¿se entiende realmente
el concepto como tal? o simplemente deberíamos preguntarnos ¿cómo se distribuyen las
cosas en el espacio? o ¿deberíamos asumir sin cuestionar la idea cotidiana que el concepto
proporciona por su uso y costumbre?
Sea V un volumen �nito con una carga total distribuida Q. Si subdividimos V en N
volúmenes ∆Vi tal que cada uno de éstos tengan una carga ∆qi, podemos de�nir luego las
condiciones siguientes
N∑
i=1
∆Vi = V (1.2.1)
N∑
i=1
∆qi = Q (1.2.2)
Si de�nimos ρi =
∆qi
∆Vi
, luego resulta
Q =
N∑
i=1
ρi∆Vi
=
N∑
i=1
(
∆qi
∆Vi
)
∆Vi (1.2.3)
Ahora bien, si N →∞ entonces por las condiciones (1.2.1) y (1.2.2) resulta
ˆ
V
dV = V
ˆ
V
dq = Q
18 Capítulo 1. Electrostática
por lo que (1.2.3) se reescribe como
Q =
ˆ
V
dq
dV
dV =
ˆ
V
ρ dV (1.2.4)
donde ρ representa la densidad de carga distribuida por unidad de volumen, i.e.
ρ =
dq
dV
(1.2.5)
Retomemos la ecuación (1.1.2) pero admitiendo que
∑N
i=1 qi = Q está distribuida en un
volumen �nito V . Denotando como ∆qi a qi la reescribimos entonces como
F(x) =
q
4π�0
N∑
i=1
∆qi
|x− xi|3
(x− xi)
si N tiende a in�nito, por las consideraciones anteriormente expuestasse obtiene
F(x) =
q
4π�0
ˆ
v
dq(x′)
|x− x′|3
(x− x′)
que por (1.2.5) resulta
F(x) =
q
4π�0
ˆ
v
ρ(x′)
|x− x′|3
(x− x′) dx′3 (1.2.6)
donde denotamos por comodidad de visualización para la distinción de variables dV ≡ dx′3.
1.2.0.2. El campo eléctrico.
La idea de campo eléctrico es algo que está muy arraigado en la vida cotidiana, pero
lo que tal vez lo que no esté tanto es la real sutileza que el mismo concepto posee. La
incorporación del concepto campo al lenguaje cotidiano sitúa al campo en el mismo plano
de realidad que a la fuerza. No debemos olvidar que cuando se realiza un experimento físico,
lo único que somos capaces de medir son interacciones traducidas en términos de fuerza.
Por ejemplo: saber cuánto pesa algo implica utilizar un dinamómetro, y lo que medimos es
la fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre el objeto; pero de ninguna manera podemos
medir en forma directa el campo gravitatorio.
Conceptualmente el campo se introduce como medio para poder independizarse, bási-
camente, de la fuente que es la responsable de la interacción. Esto es, como concepto posee
una sutileza muy grande y es necesario dar una de�nición razonable al mismo. Un campo
no es más que una abstracción vinculada con alguna magnitud que asigna a todo punto del
espacio una propiedad física especí�ca que luego se traduce en términos de una interacción
medible. Ahora bien, si F es la fuerza eléctrica observada sobre una carga q en la posición
x podríamos pensar que existe un E tal que
F = qE
E es un campo vectorial que tiene asociado la propiedad de la interacción eléctrica.
De�nición. Llamaremos campo eléctrico E creado por una carga arbitraria Q a
1.2. Generalización de la
Ley de Coulomb.
19
E = ĺım
q→0
F
q
. (1.2.7)
De la ecuación (1.1.1) podemos encontrar trivialmente cuál es el campo eléctrico debido
a una carga qi en la posición xi. Aplicando la de�nición anterior resulta
Ei(x) = ĺım
q→0
Fi
q
= k qi
(x− xi)
|x− xi|3
(1.2.8)
La evidencia experimental respecto de la validez del principio de superposición lineal
para las fuerzas se traduce en el caso del campo eléctrico en un punto x creado por un
conjunto de cargas {qi}i=1,··· ,n situadas en los puntos {xi}i=1,··· ,n, como
E(x) = k
n∑
i=1
qi
(x− xi)
|x− xi|3
=
n∑
i=1
Ei(x) . (1.2.9)
De aquí en más, utilizaremos el sistema MKSA para elegir el valor de la constante de
manera que k =
1
4π�0
.
Supongamos ahora que en vez de un conjunto de cargas puntuales lo que se dispone
es de una distribución de cargas ρ(x), donde ρ(x) = ĺım
∆V→0
∆q
∆V
, entonces el campo debe
construirse como
E(x) =
1
4π�0
ˆ
V ′
ρ(x′)
(x− x′)
|x− x′|3
d3x′. (1.2.10)
donde d3x′ = dx′dy′dz′.
Ejemplo. Supongamos que Φ(x) =
1
4π�0
q
|x− x′|
y que disponemos de un conjunto de
cargas {qi}i=1,··· ,n localizadas en los puntos {xi}i=1,··· ,n. Para representar la distribución ρ(x)
de carga haremos uso de la distribución δ(x), conocida como delta de Dirac 1. Entonces, la
1En una dimensión la distribución delta se expresa como δ(x−a). Esta distribución posee las propiedades
siguientes:
δ(x− a) = 0 para x 6= a, y
ˆ
δ(x− a) dx = 1
si el recinto de integración incluye al punto a, y cero en caso contrario.
La distribución delta puede considerarse como un caso límite de:
δ(x) = ĺım
σ→o
e−
x2
2σ2
√
2πσ
.
La teoría de distribuciones debida a L. Schwartz es una introducción rigurosa a las distribuciones y su
aplicación
De las de�niciones dadas se tiene que si f(x) es una función arbitraria,
ˆ
f(x) δ(x− a) dx = f(a) y
20 Capítulo 1. Electrostática
distribución de carga se expresa en términos de la distribución δ como
ρ(x) =
n∑
i=1
qi δ(x− xi) (1.2.11)
Reemplazando (1.2.11) en (1.2.10) e integrando obtenemos
E(x) =
1
4π�0
n∑
i=1
qi
(x− xi)
|x− xi|3
, (1.2.12)
resultado idéntico al obtenido en (1.2.9).
1.3. Ley de Gauss
Si observamos la ecuación (1.2.10), es fácil inferir que tal vez no sea una forma adecuada
para calcular un campo eléctrico. Es posible transformar tal ecuación a otra forma integral
que eventualmente es más amigable, y que de hecho permite expresar el campo como una
ecuación diferencial, esta representación es conocida como Ley de Gauss.
Consideremos una carga puntual Q y una super�cie cerrada S, ver �gura 1.3.1. Sea r
la distancia de la carga a un punto de la super�cie, n un vector unitario exterior a S y da
un elemento de área. Si el campo eléctrico E creado por la carga Q forma un ángulo θ con
la normal, entonces tenemos que
dS = n da
E =
1
4π�0
Q
r
r3
ˆ
f(x) δ′(x− a) dx = −f ′(a),
donde el símbolo �prima� implica derivar respecto del argumento.
Si la distribución δ tiene como argumento a una función f(x), la δ se puede escribir como
δ(f(x)) =
1∣∣∣ dfdx ∣∣∣δ(x− x0)
donde x0 satisface f(x0) = 0.
Para casos de más de una dimensión la distribución se construye como el producto de las deltas para
cada grado de libertad, esto es:
δ(x−X) = δ(x1 −X1)δ(x2 −X2)δ(x3 −X3)
en este caso resulta que
ˆ
∆V
δ(x−X) d3x =
{
1 si ∆V contiene a x = X
0 si ∆V no contiene a x =X
.
Un conjunto discreto de cargas puede ser representado como
ρ(x) =
n∑
i=1
qi δ(x− xi).
1.3. Ley de Gauss 21
Figura 1.3.1: Ley de Gauss
luego resulta
E·dS = E · n da = 1
4π�0
Q
r cos θ
r3
da =
1
4π�0
Q
cos θ
r2
da (1.3.1)
ahora bien, la cantidad
dΩ =
cos θ
r2
da
es el ángulo sólido, de manera que 1.3.1 se reescribe como
E · n da = 1
4π�0
QdΩ, (1.3.2)
integrando por sobre toda la super�cie tenemosˆ
S
E · n da = 1
4π�0
Q
ˆ
Ω
dΩ
resultando luego ˆ
S
E · n da = Q
�0
(1.3.3)
Si la carga Q es interior a la super�cie cerrada S. En caso de que ésta sea exterior a S
tenemos ˆ
S
E · n da = 0, (1.3.4)
tal como muestra la �gura 1.3.2.
Figura 1.3.2: Con�guraciones posible
Las ecuaciones (1.3.3) y (1.3.4) son conocidas como Ley de Gauss para cargas puntuales.
Si poseemos una distribución de cargas ρ(x), la generalización de la ecuación (2.2.8) se
escribe como ˆ
S
E · n da = 1
�0
ˆ
V
ρ(x) d3x (1.3.5)
22 Capítulo 1. Electrostática
donde V es el volumen encerrado por la super�cie S.
Supongamos que ρ(x) viene expresada por la ecuación (1.2.11), luego de (1.3.5) resulta
ˆ
S
E · n da = 1
�0
n∑
i=1
qi (1.3.6)
que no es más que la Ley de Gauss para un conjunto discreto de cargas.
La ecuación (1.3.5) es una de las ecuaciones fundamentales de la electrostática y es
interesante ver que:
depende del inverso del cuadrado de la distancia entre las cargas,
depende de la naturaleza central de las fuerzas y
depende de la superposición lineal de las fuerzas debida a cada carga.
La descripción realizada en los párrafos anteriores no son más que una formulación integral
de una de las leyes de la electrostática. Buscaremos ahora una forma diferencial de la misma
y que tendrá exclusivamente un carácter local.
Teorema. (Teorema de la Divergencia) Dado un campo vectorial A(x) ∈ R3, un volumen
V limitado por la super�cie S, se cumple
˛
S
A · n da =
ˆ
V
∇ ·A d3x (1.3.7)
donde n es un vector unitario dirigido hacia afuera de S.
Si aplicamos el teorema anterior a la ecuación (1.3.5) vemos que
˛
S
E · n da =
ˆ
V
∇ · E d3x = 1
�0
ˆ
V
ρ(x) d3x
o reordenando adecuadamente podemos escribir
ˆ
V
(
∇ · E− ρ
�0
)
d3x = 0 (1.3.8)
donde V es el volumen contenido por S. Para que la integral dada por (1.3.8) sea nula para
todo V , se debe cumplir que
∇ · E = ρ
�0
. (1.3.9)
La ecuación diferencial anterior puede utilizarse para resolver problemas en electrostá-
tica, pero debemos aclarar que no es la manera más adecuada de hacerlo. Siempre es más
sencillo utilizar funciones escalares que vectoriales.
1.4. Potencial Escalar 23
1.3.0.1. Aplicaciones de la Ley de Gauss
Vimos anteriormente que la Ley de Gauss permite conocer la cantidad de carga neta
dentro de una super�cie cerrada S suponiendo conocido el campo eléctrico. Veremos ahora
que es posible resolver el problema inverso en algunos casos particulares; es decir, calcular
el campo eléctrico conociendo la densidad de carga ρ haciendo uso de (1.3.5).
La super�cie cerradaS es en principio arbitraria, si expresamos con Σ a la super�cie en
donde el campo eléctrico es el mismo en cualquier punto de ésta, luego de (1.3.5) obtenemos
|E|
ˆ
Σ
(u · n) ds = 1
�0
ˆ
v
ρ d3x (1.3.10)
La ecuación anterior la reescribiremos de�niendo con
A (Σ) =
ˆ
Σ
(u · n) ds (1.3.11)
por lo que (1.3.10) el campo eléctrico es
|E| = 1
�0
´
v
ρ d3x
A (Σ)
(1.3.12)
donde con A (Σ) representamos al área se Σ.
Supongamos una carga puntual Q ubicada en el origen del sistema de referencia. El
campo E sabemos que es radial; es decir, el problema posee simetría esférica. Si elegimos
como super�cie Σ a la super�cie de una esfera de radio R luego
A (Σ) = 4π R2
por lo que (1.3.12) se obtiene
|E| = Q
4π�0R2
que corresponde al campo generado por una carga puntual.
Podemos observar que el teorema de Gauss permite inferir el campo si se conoce la
densidad de carga, pero en situaciones de simetría muy especial; estas simetrías se las
conoce como simetría fuerte.
1.4. Potencial Escalar
Las propiedades de un campo vectorial quedan bien de�nidas si conocemos su divergen-
cia y su rotor en todo el espacio. En el caso del campo eléctrico conocemos su divergencia,
ecuación (1.3.9). Busquemos ahora su rotor y para ello tomemos la ecuación (1.3.5) dada
por
E(x) =
1
4π�0
ˆ
V ′
ρ(x′)
(x− x′)
|x− x′|3
d3x′
y escribamos a
x− x′
|x− x′|3
= −∇
(
1
|x− x′|
)
,
24 Capítulo 1. Electrostática
como el operador ∇ actúa sobre la variable x solamente resulta
E(x) = −∇
[
1
4π�0
ˆ
V ′
ρ(x′)
|x− x′|
d3x′
]
. (1.4.1)
La expresión entre corchetes en la ecuación anterior es una función escalar que llama-
remos Φ(x), entonces
Φ(x) =
1
4π�0
ˆ
V ′
ρ(x′)
|x− x′|
d3x′ (1.4.2)
Reemplazando (1.4.2) en (1.4.1) resulta que el campo eléctrico puede expresarse como
E(x) = −∇Φ(x). (1.4.3)
Del cálculo vectorial puede demostrase que el rotor de un campo, que es derivado como
el gradiente de un campo escalar, es nulo; esto es
∇× E = −∇× (∇Φ) = 0 (1.4.4)
por lo que resulta que el campo eléctrico es de tipo irrotacional. Este hecho surge porque la
fuerza ejercida entre cargas es de naturaleza central, es decir depende exclusivamente de la
distancia entre ellas pero no del hecho que sea inversamente proporcional con el cuadrado
de ésta.
La ecuación (1.4.3) de�ne el campo eléctrico a partir de una función escalar. Esta función
es la que toma el nombre de potencial escalar y está de�nido por la ecuación (1.4.2). El
potencial escalar admite una interpretación física clara y es completamente equivalente al
caso gravitatorio. Consideremos el trabajo efectuado sobre una carga q al moverla de un
punto A a otro B dentro de un campo eléctrico arbitrario E. Por de�nición, la fuerza que
el campo induce sobre la carga es
F = qE
Debemos mover la carga q a velocidad v constante con la condición de que v � c, es decir
que la trasladaremos sin cambios en la energía cinética de la carga y casi-estáticamente. Si
Fq es la fuerza ejercida sobre esta carga se cumple que
Fq + F = 0
de donde resulta
Fq = −F = −qE
y el trabajo realizado para moverla de A a B siguiendo un camino arbitrario Γ es
W =
ˆ
Γ
Fq · dl = −q
ˆ
Γ
E · dl, (1.4.5)
Reemplazando (1.4.3) en (1.4.5) obtenemos
W = q
ˆ
Γ
∇Φ · dl = q
ˆ B
A
dΦ = q [ΦB − ΦA] (1.4.6)
Ecuación que nos permite interpretar a la función escalar Φ(x) como la función potencial
eléctrico. Ahora bien, de las ecuaciones (1.4.5) y (1.4.6) obtenemos
ˆ B
A
E · dl = [ΦB − ΦA] (1.4.7)
1.4. Potencial Escalar 25
que nos dice que la integral de línea del campo eléctrico entre dos punto arbitrarios es
independiente del camino, y como consecuencia de esta propiedad encontramos que si el
camino de integración es cerrado es:
˛
C
E · dl = 0. (1.4.8)
Si recurrimos al Teorema de Stoke que asegura
Teorema. Sea A(x) un campo vectorial, S una super�cie abierta orientable y C la curva
cerrada que limita a S, ˛
C
A · dl =
ˆ
S
(∇×A) · n da (1.4.9)
donde dl es el elemento de longitud de C, n la normal a S y el camino de integración se
realiza en sentido antihorario. Ver �gura 1.4.1
Figura 1.4.1:
la ecuación (1.4.8) puede escribirse como
˛
C
E · dl =
ˆ
S
(∇× E) · n da = 0
de donde se obtiene nuevamente la propiedad dada por (1.4.4).
Podemos obtener otra ecuación para el potencial calculando la divergencia a la expresión
del campo eléctrico dada por (1.4.3), esto es
∇ · E =−∇ · (∇Φ)
y usando la ecuación (1.3.9) resulta la conocida Ecuación de Poisson
∇2Φ = − ρ
�0
, (1.4.10)
que en regiones del espacio donde la densidad de carga es nula la ecuación (1.4.10) se reduce
a
∇2Φ = 0 (1.4.11)
conocida como Ecuación de Laplace.
26 Capítulo 1. Electrostática
1.5. Corriente eléctrica.
Sabemos que en un campo eléctrico, actuando en una región donde hay cargas eléctricas
libres, las cargas se moverán hacia regiones donde el potencial disminuya. Supongamos que
en la posición del punto P observamos las cargas que pasan por el punto; no importa si lo
hacen vía un conductor o éstas con�guran un haz de partículas cargadas moviéndose en el
espacio. El observador detecta que una carga 4q pasa por P en el tiempo 4t. de manera
que es posible de�nir entonces la corriente promedio 〈I〉 como
〈I〉 = ∆q
∆t
Si la corriente es debida al movimiento de protones2, solamente contando cuántos pasan
por P, podríamos medir la corriente promedio. Es decir, si N es el número de protones
que pasaron en el intervalo ∆t, entonces 4q = Ne y la corriente promedio 〈I〉 = N e/∆t.
La dirección de la corriente se asume como la del �ujo de las cargas positivas. Si las
cargas en movimiento fueran electrones3, la dirección 〈I〉 sería opuesta a la dirección de
su movimiento. ¿Cómo se entiende esto?, supongamos que la región alrededor del punto
P fuera originalmente neutra; es decir, la carga neta es nula entonces, si cierto número
de cargas negativas estuvieran saliendo de la región, ésta adquiriría un exceso de cargas
positivas, lo que es enteramente equivalente al ingreso de cargas positivas en la región.
Una corriente eléctrica no es mas que cargas eléctricas en movimiento que se describe
con el vector densidad de corriente J, su dirección y sentido es el del movimiento de las
cargas positivas, y su módulo viene dado por la cantidad de carga que atraviesa por unidad
de área y unidad de tiempo.
Supongamos entonces que tenemos un cierto volumen V , limitado por una super�cie S,
en el que sale una cierta cantidad de carga, descripta por J (ver �gura 1.5.1).
Figura 1.5.1:
La cantidad de carga que emerge de V en la unidad de tiempo es:
F =
ˆ
S
J(x) · n ds
esta cantidad debe ser igual a la disminución de carga en el volumen V por unidad de
tiempo, esto es
F = −dq
dt
2El protón es una partícula constituyente del nucleo atómico con carga positiva e.
3El electrón es parte elemental en la constitución del átomo y posee carga −e.
1.5. Corriente eléctrica. 27
luego, igualando ambas expresiones se tieneˆ
S
J(x) · n ds = −dq
dt
(1.5.1)
Si q =
ˆ
V
ρ(r, t) d3x, podemos escribir entonces
dq
dt
=
ˆ
V
∂ρ
∂t
d3x de donde resulta que la
ecuación (1.5.1) queda ˆ
S
J(x) · n ds = −
ˆ
V
∂ρ
∂t
d3x
y teniendo en cuenta el Teorema de la Divergenciaˆ
V
∇ · J(x) d3x = −
ˆ
V
∂ρ
∂t
d3x
se obtiene el conocido Teorema de Conservación de la Carga
∇ · J + ∂ρ
∂t
= 0 (1.5.2)
Si la densidad de carga ρ es constante, resulta entonces
∇ · J = 0 (1.5.3)
y esta condición es que la determina el comportamiento estático de los campos.
1.5.1. El modelo de Drude y Ley de Ohm
El modelo de Drude o de Lorentz-Drude para conducción eléctrica fue desarrollado
hacia el 1900 por Paul Drude para explicar las propiedades de transporte de electrones en
materiales. Este modelo, estrictamente clásico, explica la conductividad de los materiales
basándose en la aplicación de la teoría cinética a los electrones en un sólido y proporciona
un resultado razonable, aún cuando estos (modelo y resultado), han sido ampliamente
superados por el modelo cuántico fundado en la teoría de bandas de conducción.
Un conductor, desde una visión microscópica,puede entenderse como una red cristalina
en la que existen tanto electrones ligados como electrones libres. Se supone que el material
contiene iones positivos inmóviles y un "gas de electrones" clásicos, que no interactúan entre
sí, de densidad n, donde el movimiento de cada uno se encuentra amortiguado por una fuerza
de fricción producto de las colisiones de los electrones con los iones, caracterizada por un
tiempo de relajamiento τ . Los electrones ligados están sometidos a una fuerza elástica que
los hace oscilar alrededor de los iones de carga positiva, mientras que los electrones libres
son los responsables de la conductividad.
El modelo de Drude supone que un portador promedio de carga eléctrica está sujeto a
la acción de una "fuerza de resistencia" γ. En presencia de un campo eléctrico externo E
se satisface la siguiente ecuación diferencial
m
d
dt
〈v〉 = qE− γ〈v〉 (1.5.4)
donde 〈v〉 es la velocidad promedio, m es la masa efectiva y q la carga eléctrica del portador
de carga. La solución de la ecuación diferencial (1.5.4) es
〈v〉 = 〈v0〉 e−
γ
m
t +
q
γ
E (1.5.5)
28 Capítulo 1. Electrostática
De�niendo el tiempo libre medio entre choques de los electrones con los iones positivos �jos
como τ =
m
γ
y a µ =
q
γ
como la movilidad eléctrica, reescribimos la (1.5.5) como
〈v〉 = 〈v0〉 e−
t
τ + µE (1.5.6)
Para tiempos su�cientemente grandes, es decir cuando
t
τ
� 1, la velocidad media es
〈v〉 = µE (1.5.7)
Si tenemos en cuenta la densidad de portadores por unidad de volumen n, la densidad de
corriente eléctrica J es entonces
J = nq 〈v〉 = nτq
2
m
E (1.5.8)
La relación dada por la ecuación anterior permite, al menos desde el modelo propuesto,
asegurar que
J = σE (1.5.9)
Ahora bien, es claro que si en una región del espacio hay una corriente; ésta necesariamente
ocurre por la existencia de un campo eléctrico o por la existencia de una diferencia de
potencial dada por
ˆ b
a
E · dl = φb − φa
Reemplazando el campo por su relación con la densidad de corriente encontramos que
φb − φa =
ˆ b
a
J
σ
· dl
=
ˆ b
a
J · n
σ
dl
reacomodando la expresión anterior como
φb − φa =
ˆ
J
Aσ
· ds dl
Si de�nimos como V = φb − φa y con R a
R =
ˆ
dl
Aσ
=
l
Aσ
como la resistencia del material al paso de la corriente, obtenemos que la diferencia de
potencial y la corriente se vinculan con
V = I R (1.5.10)
Esta relación, conocida como la Ley de Ohm, fue obtenida experimentalmente por el físico
alemán Georg Simon Ohm. La unidad de medida es el Ohm en su honor y se designa con
la letra Ω y 1Ω =
1V
1A
.
1.6. Energía de Interacción y
Densidad de Energía
29
Ejercicio. Calcular la resistencia equivalente de los arreglos a) y b) mostrados en la �gura
(1.5.2).
Figura 1.5.2:
1.6. Energía de Interacción y
Densidad de Energía
1.6.1. Energía de interacción entre cargas
Supongamos que disponemos de un conjunto de n cargas {qi}i=1··· ,n in�nitamente ale-
jadas entre sí. Nuestro problema radica en evaluar cuánta energía se necesita para cambiar
ese estado a otro caracterizado por las posiciones {xi}i=1,··· ,n. Moveremos las cargas una a
una hasta la posición correspondiente cuasiestáticamente; es decir, el tiempo transcurrido
para ubicar cada carga desde su posición inicial hasta la posición �nal es in�nito. La primer
carga se mueve en presencia de un campo eléctrico nulo hasta la posición x1; la segunda
la movemos hasta la posición x2 pero ésta lo hace en presencia del campo producido por
la primer carga; la tercer carga se nueve a la posición x3 en el campo producido por las
dos anteriores, etc. Repetimos el proceso anterior hasta llegar a la n-esima carga que ubi-
caremos en la posición xn. La carga n-esima se mueve entonces en presencia del campo
producido por las n-1 restantes. Construyamos ahora el esquema descripto.
Supongamos que es qi la carga puntual que se trae desde el in�nito al punto xi. Esta
carga se trae a una región del espacio donde existe un campo eléctrico localizado producido
por las i−1 cargas ya existentes. Este campo, que supondremos descripto por un potencial
escalar Φ(x), posee la propiedad
ĺım
x→∞
Φ(x) = 0.
El trabajo que se realiza sobre la carga viene dado por la ecuación (1.4.6), es decir
Wi = qiΦ(xi). (1.6.1)
Si consideramos que el potencial Φ es el producido por (i−1) cargas {qj}j=1,··· ,i−1 localizadas
en los puntos {xj}j=1,··· ,i−1, es decir
Φ(xi) =
1
4π�0
i−1∑
j=1
qj
|xi − xj|
, (1.6.2)
resulta, de acuerdo con la ecuación (1.6.1) la energía potencial de la carga qi es
Wi =
qi
4π�0
i−1∑
j=1
qj
|xi − xj|
. (1.6.3)
30 Capítulo 1. Electrostática
Ahora bien, como la energía potencial es un escalar, la energía potencial debido al trabajo
realizado por las fuerzas involucradas en el proceso es W =
∑
iWi, de donde resulta
W =
1
4π�0
n∑
i=1
∑
j<i
qiqj
|xi − xj|
, (1.6.4)
donde por razones de simetría la suma en j se extiende hasta valores menores que i,
expresión que puede reescribirse como
W =
1
4π�0
1
2
n∑
i=1
∑
i 6=j
qiqj
|xi − xj|
. (1.6.5)
Si en vez de cargas puntuales, disponemos de distribuciones de carga, la ecuación anterior
se escribe como
W =
1
4π�0
1
2
ˆ ˆ
ρ(x) ρ(x′)
|x− x′|
d3x d3x′, (1.6.6)
pero si tenemos en cuenta (1.4.2) resulta
W =
1
2
ˆ
ρ(x) Φ(x) d3x. (1.6.7)
La ecuación de Poisson nos permite representar la densidad de carga como
ρ(x) = −�0∇2Φ(x),
luego reemplazándola en (1.6.7) encontramos
W = −�0
2
ˆ
∇2Φ(x) Φ(x) d3x. (1.6.8)
Del cálculo vectorial tenemos que
∇ · (A∇A) = |∇A|2 + A∇2A . (1.6.9)
Usando (1.6.9) en 1.6.8 resulta
W = −�0
2
ˆ
Φ(x)∇Φ(x) d3x+ �0
2
ˆ
|∇Φ(x)|2 d3x (1.6.10)
y usando el teorema de la divergencia obtenemos
W = −�0
2
ˆ
Φ(x)∇Φ(x) · n ds+ �0
2
ˆ
|∇Φ(x)|2 d3x
Analicemos el comportamiento del término que contiene la integral de super�cie. Sabemos
que Φ ∝ 1/r y que ∇Φ ∝ 1/r2 luego Φ∇Φ ∝ 1/r3, por otro lado ds ∝ r2 entonces la
integral de super�cie tiende a 0 cuando S →∞. Como consecuencia de esta propiedad, la
energía potencial resulta
W =
�0
2
ˆ
|∇Φ(x)|2 d3x
que por (1.4.3) podemos escribir como
W =
�0
2
ˆ
|E(x)|2 d3x, (1.6.11)
con la integración realizándose a todo el espacio.
1.6. Energía de Interacción y
Densidad de Energía
31
1.6.2. Densidad de energía de Interacción.
De�niremos la Densidad de Energía por unidad de volumen w como
w =
dW
d3x
=
�0
2
|E(x)|2 . (1.6.12)
Si observamos la ecuación (1.6.12) y su integral de volumen (1.6.11) vemos que éstas
no pueden ser nunca negativas; pero si tenemos en cuenta la ecuación (1.6.5), la energía
potencial puede ser negativa dependiendo sin son cargas de signos opuestos o no. Pareciera
existir una contradicción en lo expuesto hasta el momento; la razón radica en el hecho de
que tanto (1.6.11) como (1.6.12) contienen términos de energía propia que contribuyen a la
densidad de energía, mientras que tales términos no aparecen en la suma doble de (1.6.5).
Resolvamos la siguiente situación. Sea el sistema de cargas de la �gura 1.6.1.
q
q
x
x
x
O
1
2
2
1
P
Figura 1.6.1:
El campo en el punto P esta dado por
E(x) =
1
4π�0
(
q1
x− x1
|x− x1|3
+ q2
x− x2
|x− x2|3
)
y la densidad de energía w por
w =
1
4π�0
(
q21
8π |x− x1|4
+
q22
8π |x− x2|4
+
q1q2(x− x1)(x− x2)
4π |x− x1|3 |x− x2|3
)
(1.6.13)
Claramente se observa en la ecuación (1.6.13) que los dos primeros términos del segundo
miembro son contribuciones auto-energéticas a la densidad.
Debemos probar ahora que el tercer término es el que provee la energía potencial de
interacción. Para ello integraremos sobre todo el espacio
Wint =
q1q2
16π2�0
ˆ
(x− x1)(x− x2)
|x− x1|3 |x− x2|3
d3x. (1.6.14)
De�niendo
ρ =
x− x1
|x1 − x2|
d3ρ =
d3x
|x1 − x2|3
32 Capítulo 1. Electrostática
y haciendo
x− x2 = (x− x1) + (x1 − x2) = ρ |x1 − x2|+ (x1 − x2)
y tomando n =
x1 − x2
|x1 − x2|
, resulta
(x− x1)(x− x2)
|x− x1|3 |x− x2|3
d3x =
ρ · (ρ+ n)
|ρ|3 |x1 − x2| |ρ+ n|3
d3ρ
que reemplazada en la ecuación (1.6.14) encontramos
Wint =
q1q2
4π�0 |x1 − x2|
1
4π
ˆ
ρ · (ρ+ n)
|ρ|3 |ρ+ n|3
d3ρ. (1.6.15)
Como
ρ · (ρ+ n)
|ρ+ n|3
= −∇
(
1
|ρ+n|
)
y
ρ
|ρ|3
= −∇
(
1
|ρ|
)
, podemos escribir la ecuación an-
terior como
Wint =
q1q2
4π�0 |x1 − x2|
1
4π
ˆ
∇
(
1
|ρ+ n|
)
· ∇
(
1
|ρ|
)
d3ρ,
que integrándola nos da el resultado
Wint =
1
4π�0
q1q2
|x1 − x2|
que corresponde con el valor que esperábamos.
1.7. Desarrollo Multipolar del Potencial
En la sección presente daremos una descripción del potencial eléctrico tratando de
poner de mani�esto qué tipo de contribución esta presente en el punto de observación. Una
imagen análoga a lo que deseamos desarrollar es la imagen en la pantalla de un televisor.
A la distancia de observación normal tenemos la visión completa de la misma, es decir
una representación en una gama de colores dada. Si la distancia es ahora más pequeña,
observaremos solamente algún color de la gama presente; pero, si es aún menor la distancia,
veremos tres puntos (azul, rojo y verde) con intensidades tales que la composición de los
mismo conforman el color observado.
El potencial eléctrico, debido a una distribución arbitraria de cargas, posee esta carac-
terística; ya que las contribuciones presentes en el punto de observación dependen de la
distancia. El potencial debido a una distribución de cargas ρ(x) que ocupa el volumen V
es
Φ(x) =
1
4π�0
ˆ
V ′
ρ(x′)
|x− x′|
d3x´ (1.7.1)
En el integrando de la expresión anterior tenemos el factor
1
|x− x′|
que reescribiremos
como
1
|x− x′|
=
1
|x|
1√
1 +
|x′|2 − 2x · x′
|x|2
(1.7.2)
1.7. Desarrollo Multipolar del Potencial 33
Ahora bien, si la distancia al punto de observación x es mucho mayor que el tamaño medio
de la distribución de carga, es decir que se veri�ca la condición
|x′|
|x|
� 1 la ecuación (1.7.2)
representada como una serie4, tendrá como términos representativos a
1
|x− x′|
=
1
|x|
+
x · x′
|x|3
+
3(x · x′)2 − |x′|2|x|2
2 |x|5
+
1
|x|
O
(
|x′|3
|x|3
)
(1.7.3)
Insertando (1.7.3) en (1.7.1) resulta
Φ(x) =
1
4π�0|x|
ˆ
V
ρ(x) d3x´ +
x
4π�0|x|3
·
ˆ
V
ρ(x)x´d3x´ +
1
8π�0|x|5
ˆ
v
ρ(x) (3(x · x′)2 − |x′|2|x|2) d3x´ + · · ·
= Φ1(x) + Φ2(x) + Φ3(x) + · · · (1.7.4)
1.7.1. Análisis de los primeros términos
del desarrollo multipolar
El primer término de (1.7.4)
Φ1(x) =
1
4π�0|x|
ˆ
V
ρ(x′) d3x´ =
1
4π�0
Q
|x|
(1.7.5)
representa el potencial creado por una carga puntual y es el término dominante del potencial
siempre que Q 6= 0 y consecuentemente el campo eléctrico resulta
E1(x) =
Q
4π�0
x
|x|³
(1.7.6)
El segundo término es
Φ2(x) =
x
4π�0|x|3
·
ˆ
V
ρ(x′)x´d3x´ (1.7.7)
donde la integral p =
´
V
ρ(x)x´d3x´ es conocida como vector momento dipolar de la
distribución de carga ρ(x). Corresponde a la contribución dipolar el potencial
Φ2(x) =
1
4π�0
p · x
|x|3
(1.7.8)
y la contribución correspondiente al campo eléctrico es
E2(x) = −∇Φ2 = −
1
4π�0
∇
(
p · x
|x|3
)
(1.7.9)
Como
∇
(
p · x
|x|3
)
=
|x|3∇ (p · x)− 3 (p · x) |x|x
|x|3
=
p− 3 (p · n)n
|x|3
4Si x < 1 =⇒ (1 + x)α = 1 + αx+ α(α−1)2 x
2 + · · · = Σ∞n=0
(
α
n
)
xn
34 Capítulo 1. Electrostática
donde n =
x
|x|
, encontramos que reemplazando lo anterior en (1.7.9), el campo eléctrico
creado por un dipolo está dado por, ver Figura (1.7.1)
Figura 1.7.1: Grá�co de las super�cies equipotenciales y campo eléctrico creado por un
dipolo.
E2(x) =
1
4π�0
3 (p · n)n− p
|x|3
. (1.7.10)
El tercer término de (1.7.4), llamado contribución cuadrupolar al potencial, es
Φ3(x) =
1
8π�0|x|5
ˆ
v
ρ(x′) (3(x · x′)2 − |x′|2|x|2) d3x´ (1.7.11)
Para escribir el término cuadrupolar de una forma más compacta, reescribiremos el
factor (3(x·x′)2−|x′|2|x|2) de una manera más cómoda. Para esto, cambiaremos la notación
identi�cando
x → x1
y → x2
z → x3
realizando un poco de álgebra vemos que
3(x · x′)2 − |x′|2|x|2 = 3
(
3∑
i=1
xix
′
i
)2
−
3∑
i=1
x2i |x′|2
= 3
3∑
i=1
3∑
j=1
xix
′
ixjx
′
j −
3∑
i=1
3∑
j=1
xixjδij|x′|2
=
3∑
i=1
3∑
j=1
xi
(
3x′ix
′
j − δij|x′|2
)
xj (1.7.12)
Insertando (1.7.12) en (1.7.11) podemos escribir el tercer término del potencial como
Φ3(x) =
1
8π�0|x|5
3∑
i=1
3∑
j=1
xiQij xj (1.7.13)
1.7. Desarrollo Multipolar del Potencial 35
donde los coe�cientes
Qij =
ˆ
v
ρ(x′)
(
3x′ix
′
j − δij|x′|2
)
d3x´ con i, j = 1, 2, 3 (1.7.14)
son componentes de un tensor de segundo orden5, llamado tensor momento cuadrupolar
de la distribución de carga ρ(x). Este tensor de segundo orden tiene 9 componentes, es
simétrico, y con la propiedad de tener traza nula, es decir:
TrazaQ =
3∑
i=1
Qi,i = 0 (1.7.15)
vemos entonces que de las 9 componentes de (1.7.14) solamente importan 5. Las compo-
nentes que importan son:
Q11 =
´
v
ρ(x′) (2x′2 − y′2 − z′2) d3x´
Q22 =
´
v
ρ(x′) (2 y′2 − x′2 − z′2) d3x´
Q12 = 3
´
v
ρ(x′) x′ y′ d3x´
Q13 = 3
´
v
ρ(x′) x′ z′ d3x´
Q23 = 3
´
v
ρ(x′) y′ z′ d3x´
(1.7.16)
Ejemplo. Sea la distribución de cargas puntuales de la Figura (1.7.2), las cargas exteriores
son negativas con valor −Q cada una, en tanto que la localizada en el origen posee el valor
+2Q.
1. Escribir la distribución que representa la con�guración de cargas de la �gura.
2. Calcular las tres primeras componentes del desarrollo multipolar del potencial eléctri-
co.
Figura 1.7.2:
Solución:
5Decimos que Q es un tensor de rango k si sus componente se transforman como ......
36 Capítulo 1. Electrostática
1. Según la �gura dos cargas negativas de igual valor se ubican sobre el eje x en las
posiciones (±a, 0, 0) y una tercera de valor igual a las suma de las anteriores con signo
opuesto, luego la densidad
ρ(x) = Q (2δ(x)− δ(x− a)− δ(x+ a))δ(y)δ(z)
2. Debemos calcular las componentes Φ1, Φ2 y Φ3 del desarrollo del potencial, es decir
evaluar las contribuciones mono-polar, dipolar y cuadrupolar de la distribución de carga
ρ(x), es decir evaluar las cantidades
QTotal =
ˆ
V
ρ(x) d³x
p =
ˆ
V
ρ(x)x d³x
Qij =
ˆ
v
ρ(x)
(
3xixj − δij|x|2
)
d3x con i, j = 1, 2, 3
las dos primeras son nulas en tanto que la tercera, de la nueve componentes, sólo tres son
distintas de cero
Q11 = −4Qa²
Q22 = 2Qa²
Q33 = −Q11 −Q22 = 2Qa²
luego resulta que las contribuciones al desarrollo multipolar son
Φ1(x) = 0
Φ2(x) = 0
Φ3(x) =
2Qa²(y² + z²− 2x²)
8π�0|x|5
Calcular, a modo de ejercicio, el campo eléctrico asociado a Φ3(x). La Figura (1.7.3) muestra
esquemáticamente super�cies equipotenciales y líneas de campo del cuadrupolo lineal.
Figura 1.7.3: Potencial y campo de un cuadrupolo lineal
1.8. El campo eléctrico en
medios materiales.
37
1.7.2. Propiedades del desarrollo multipolar
La carga total del cuerpo se calcula usando Q =
´
v
ρ(x)d3x y es simple ver que no
depende del origen del sistema de coordenadas, pero no ocurre lo mismo con el momento
dipolar.
Sabemos por (1.7.7) que el momento dipolar está dado por el vector
p =
ˆ
V
ρ(x)x d3x (1.7.17)
y este vector está referido a un sistema de coordenadas que designaremos con O. Si referimos
p a otro sistema de coordenadas Ol, es decir cambiamos x según xl = x − l, la ecuación
(1.7.17) resulta
p =
ˆ
V
ρ(xl) (xl + l) d
3xl = pl +Q l (1.7.18)
ecuación que muestra que el momento dipolar de la distribución de cargas no es invariante
frente a traslaciones espaciales a menos que Q = 0. Solamente cuando Q = 0 resulta p = pl
y se dice entonces que el momento dipolar con�gura un dipolo, esto es si
ρ(x) = −q δ(x) + q δ(x− l)
vemos que
p =
ˆ
V
ρ(x)x d3x = q l
De�nición. Decimos que la densidad de carga ρ con�gura un dipolo eléctrico siˆ
V
ρ(x)x dx3 = q l y
ˆ
V
ρ(x) d3x = 0
El concepto de dipolo es fundamental al momento de introducir un modelo de medio
material en la teoría. En la sección que sigue trataremos este problema.
1.8. El campo eléctrico en
medios materiales.
Es interesante preguntarse cómo se modi�caría la teoría anterior respecto de campo
eléctrico si la extendiéramos a un universo constituido de materia. Pretender un modelo
que abarque lo general está fuera del alcance del presente texto; pero, sí podríamos construir
una teoría que parta de suposiciones simples extraídas de otras área de la física y la química.
Para ello, debemos generar un modelo de materia ytomar en consideración lo siguiente:
La materia esta constituida por átomos.
Los átomos son eléctricamente neutros, es decir en ellos hay tantas cargas positivas
como negativas.
La materia posee estructura.
Las cargas pueden estar localizadas en la estructura pero también algunas poseen la
capacidad de movilizarse en ella. La cargas con capacidad de moverse las llamaremos
cargas libres.
38 Capítulo 1. Electrostática
Por razones de simplicidad, nuestro modelo será unidimensional, es decir un cierto número
átomos idénticos estarán ubicados sobre una línea recta y separados a distancia l cada uno
de ellos, ver �gura 1.8.1.
l
Figura 1.8.1:
Cuando aplicamos sobre esta línea de partículas un campo externo E las cargas en cada
partícula se separan de su posición de equilibrio, las negativas se dirigen hacia las fuentes
del campo y las positivas en sentido opuesto, como muestra la �gura 1.8.2.
+ −+ − + − + − + − + − + − + −
E
P
Figura 1.8.2:
En la representación de la �gura señalamos el campo externo E y otro campo que
suponemos generado por la presencia de dipolos eléctricos debido al campo externo. Estos
dipolos pueden asimilarse con una distribución de carga de origen dipolar que denotaremos
con ρp. En acuerdo con la Ley de Gauss, ecuación (1.3.9), escribimos
∇ · E = 1
�0
ρtotal (1.8.1)
pero teniendo en cuenta que ρtotal = ρlibres + ρp. El campo P siempre se opone al campo
eléctrico externo E; luego, si la fuente del campo de polarización es ρp resulta
∇ ·P = −ρp (1.8.2)
Reemplazando (1.8.2) en (1.8.1) y reordenando los términos involucrados se obtiene
∇ · (�0E + P) = ρlibres (1.8.3)
El campo P es, en principio, desconocido pues ρp es un dato al que no se puede acceder.
Cuando planteamos nuestro modelo de materia introdujimos la idea de que existen me-
canismos de polarización en el material y asumimos que la polarización del material debe
relacionarse con la existencia de un campo externo que induce la formación de dipolos,
o bien orienta a dipolos ya existentes en la dirección de este campo. La ecuación (1.8.4)
constituye una ley fenomenológica que propone una relación entre P y E que denominare-
mos relación constitutiva del material que expresaremos con P = P (E). Esta relación en
1.8. El campo eléctrico en
medios materiales.
39
algunos materiales puede ser muy complicada pero en muchos otros es simplemente una
relación de proporcionalidad, esto es
P = �0χeE (1.8.4)
Si el material es homogéneo, isótropo y lineal la relación (1.8.4) se ajusta razonablemente a
la observación experimental. Las tres consideraciones anteriores implican que el material:
Es homogéneo cuando la susceptibilidad no depende de la posición; es decir, que tanto
las propiedades microscópicas y termodinámicas (temperatura, composición, etc.) son
las mismas en cualquier punto del material. En de�nitiva, la homogeneidad en las
propiedades termodinámicas implican homogeneidad en las propiedades eléctricas.
Es isótropo cuando P y E son co-lineales. Un �uido normal se comporta de manera
isótropa pues sus moléculas tienen libertad para orientarse. En cambio en un sólido
es posible encontrar comportamientos anisótropos. En tales casos la susceptibilidad
tiene carácter tensorial, de manera que su aplicación al vector E genera un vector de
orientación diferente.
Es lineal cuando la susceptibilidad resulta independiente de la intensidad del campo
eléctrico. En general, la linealidad es válida para campos moderados. Sin embargo, hay
materiales que, incluso para campos pequeños, no admiten una relación lineal; tanto
es así que no es factible establecer una ley matemática para su comportamiento, pues
P en cada punto depende de la historia del material. Es decir, de los valores previos
del campo eléctrico en ese punto. Estos materiales se los conoce como ferroeléctricos.6
Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores y la relación fenomenológica (1.8.4) la
ecuación (1.8.3) se reescribe como
∇ ·D = ρlibres (1.8.5)
El nuevo campo introducido, conocido como campo de desplazamiento es
D = �0 (1 + χe)E
De�niendo la constante dieléctrica como
� = �0 (1 + χe) (1.8.6)
reescribimos al campo de desplazamiento �nalmente como
D = �E (1.8.7)
Si nos detenemos a pensar un poco en lo anterior, en realidad, no hemos avanzado mucho
en nuestro propósito; pues, la llamada constante dieléctrica � representaría nuestro desco-
nocimiento respecto del medio. Este desconocimiento se reconvierte en cuanto tal constante
6Para completar esta clasi�cación debemos mencionar los electretes que presentan una polarización
permanente en ausencia de un campo externo aplicado. Existen otros materiales con propiedades aún más
complejas, cuya polarización depende también del valor del campo magnético existente. Actualmente se
siguen descubriendo materiales con nuevas e interesantes propiedades desde el punto de vista electromag-
nético (materiales ópticamente activos, cristales nemáticos, etc.), lo cual hace que sea esta un área en
continuo desarrollo.
40 Capítulo 1. Electrostática
puede ser medida experimentalmente; es decir, se transforma en una constante física que
cuanti�ca la propiedad eléctrica del medio que introdujimos en la teoría. La constante � es
realmente constante dentro de un cierto rango de intensidad del campo eléctrico como se
mencionó anteriormente. En general, esto no ocurre y el campo de desplazamiento debiera
estar representado por
Di =
3∑
k=1
�ikEk con i = 1, 2, 3 (1.8.8)
en donde � es un tensor de segundo rango que muestra la no isotropía de un medio particular.
La relación �r = �/�0 llamada constante dieléctrica relativa, es determinada experimen-
talmente. A continuación se dan algunos valores para esta constante
Material �r
Aire 1.0
Vidrio 4-10
Cuarzo 4.3
Polietileno 2.3
Papel 2-4
Madera 2.5-8.0
Porcelana 5.7
Caucho 2.3-4.0
Alcohol etílico 28.4
Cloruro de Sodio 6.1
Agua destilada 80
Agua de mar 72
En un medio lineal con constante dieléctrica � conociendo solamente uno del los tres
campos E, D o P, los demás se calculan con relaciones simples, por ejemplo si es E el
campo conocido resulta P = (�− �0)E y D = �E.
1.9. Energía almacenada por el
campo en un medio material.
La ecuación (1.6.12) de la sección 1.6.2 asigna a w el carácter de densidad volumétrica
de energía eléctrica asociada con un sistema que es fuente de un campo E y la energía
total en el sistema está dada por (1.6.11); entonces, se puede interpretar como el trabajo
necesario para traer las cargas desde el in�nito, partiendo del reposo, hasta su posición
�nal. Esta energía es en principio totalmente recuperable (el sistema la puede ceder), si no
estamos en presencia de medios materiales.
En presencia de medios factibles de ser polarizables nos encontramos que el mecanismo
de carga del sistema, esto es trayendo carga desde el in�nito, aparecen interacciones de
origen y distintos tipos, pudiendo incluir la transformación de parte del trabajo realizado,
en el transporte de las cargas, en calor que se disipa al medio.
Para poder de�nir la energía electrostática en presencia de materia, calcularemos el tra-
bajo elemental δW que se debe realizar para modi�car la distribución de carga libre, ρlibres
del sistema. Notemos que sólo podemos modi�car las cargas libres y no las de polarización.
1.10. Condiciones de borde 41
Como mostramos en su momento, el potencial electrostático φ(r) es el trabajo necesario
para traer una carga desde el in�nito hasta la posición r , luego podemos escribir:
δW =
ˆ
δρlibres (r)φ (r) d
3x (1.9.1)
Usando la ley de Gauss (1.8.5), la variación de densidad de carga libre puede expresarse:
δρlibres = δ (∇ ·D) = ∇ · (δD) (1.9.2)
con lo que la variación del trabajo (1.9.1) resulta
δW =
ˆ
φ∇ · (δD) d3x
=
ˆ
∇ · (φ δD) d3x−
ˆ
∇φ · δD d3x (1.9.3)
donde hemos usado la propiedad ∇ · (fA) = f∇ ·A +∇f ·A.
El teorema de la divergencia nos permite asegurar que la integral
´
∇ · (φ δD) d3x =´
φδD · ds y como el volumen de integración es todo el espacio resulta que tiende a cero
cuando r tiende a in�nito;pues, el integrando se comporta como 1/r por lo que (1.9.3)
resulta
δW =
ˆ
E · δD d3x
Calculando el incremento total del trabajo como la suma de los trabajos elementales ante-
riores haciendo
W =
ˆ (ˆ
γ
E · δD
)
d3x (1.9.4)
donde con γ representamos los diferentes caminos realizados por las componentes del campo
D. Si el trabajo realizado es independiente del camino, depende sólo del estado inicial y el
estado �nal, por lo que podemos establecer que este trabajo puede considerarse almacenado
en el sistema en forma de energía.
Si el medio dieléctrico es lineal e isótropo tenemos
E · δD = 1
2
δ (E ·D)
por lo que, usando (1.9.4), podemos escribir
W =
1
2
ˆ
E ·D d3x (1.9.5)
Esta expresión sigue siendo válida aún en casos en donde el medio sea anisótropo pero
lineal.
1.10. Condiciones de borde
Supongamos dos medios dieléctricos con constantes �1 y �2. En el medio 1 hay un campo
que denotaremos con D1 en tanto que en medio 2 el campo sera D2 respectivamente como
muestra la �gura (1.10.1).En este sistema se veri�can las propiedades
∇ ·D = ρlibres
∇×D = 0
42 Capítulo 1. Electrostática
o expresadas en su forma integral
´
SD · ds = Qlibresu
CD · dl = 0
(1.10.1)
Figura 1.10.1:
Consideremos la primera de las ecuaciones de (1.10.1) y descompongamos la super�cie
S como la suma de S1 + Slateral + S2, donde con S1 y S2 = S1 denotamos a las tapas, con
Slateral a la pared del cilindro que tiene volumen V y que depende de la altura del mismo
∆h; podemos escribir
ˆ
S
D · ds =
ˆ
S1
D1 · n ds+
ˆ
Slateral
D · ds +
ˆ
S2
D2 · n ds =
ˆ
V
ρlibresd
3x
haciendo tender ∆h −→ 0 la integral sobre Slaterales nula obteniendoˆ
S1
D1 · n ds+
ˆ
S1
D2 · n ds =
ˆ
S1
σlibresds
que reescribiéndola adecuadamente resulta
(D2 −D1) ṅ = σlibres
o más sencillamente y acotando que σ es la densidad super�cial de cargas libres en la
interfaz de separación de los medios como
Dn 2 −Dn 1 = σ (1.10.2)
Operando análogamente con la segunda ecuación de (1.10.1) se encuentra que
(D1 −D2)× t = 0
o como
Dt 1 = Dt 2 (1.10.3)
Una consecuencia de las condiciones dadas por (1.10.2) y (1.10.3) es la desviación del
campo eléctrico. Consideremos el caso en donde σ = 0 en la super�cie de separación. De la
ecuación (1.10.2) resulta
�1E1 cos θ1 = �2E2 cos θ2
1.11. Energía de un sistema
de conductores cargados.
43
y de (1.10.3) tenemos
E1 sin θ1 = E2 sin θ2
de las que se obtiene la relación
tan θ1 =
�1
�2
tan θ2 (1.10.4)
Ejercicio. Calcular la densidad super�cial de carga de polarización total en la interfaz
anterior y analice el resultado.
1.11. Energía de un sistema
de conductores cargados.
1.11.1. Coe�cientes de potencial.
En un sistema de N conductores con cargas {Qi}i=1,··· ,N y potenciales {φi}i=1,··· ,N , se
relacionan las cargas con los potenciales de forma lineal, es decir
φi =
N∑
j=1
pijQj con i = 1, · · · , N (1.11.1)
Si bien esta ecuación se deriva para el vacío, es válida también en medios materiales si es
lineal y no hay acumulación de cargas externas. Los coe�cientes pij son conocidos como
coe�cientes de potencial.
Teniendo en cuenta la ecuación (1.6.1), la energía electrostática del sistema es
W =
1
2
N∑
i=1
N∑
j=1
pijQiQj (1.11.2)
y se pueden establecer tres enunciados generales con relación a los coe�cientes involucrados:
1. son simétricos; es decir, pij = pji,
2. son cantidades positivas y
3. pii = pij para todo valor de j.
Analicemos el ítem 1, la ecuación (1.11.2) muestra que W es una función W (Q1, ..., QN)
por lo tanto
dW =
(
∂W
∂Q1
)
dQ1 + · · ·+
(
∂W
∂QN
)
dQN
si variamos solamente Ql tendremos
dW =
(
∂W
∂Ql
)
dQl =
1
2
N∑
j=1
(plj + pjl)QjdQl (1.11.3)
Ahora bien, por (1.6.1) sabemos que
dW = φldQl
44 Capítulo 1. Electrostática
y que por (1.11.1) podemos reescribir
dW =
N∑
j=1
pijQjdQl (1.11.4)
La ecuación (1.11.3) debe ser igual a la (1.11.4) para todos los valores posibles de Qj, luego
podemos asegurar que
plj =
1
2
(plj + pjl)
o que
plj = pjl (1.11.5)
Para justi�car los dos ítems faltantes asumiremos que los potenciales se miden respecto
de una región donde éste sea cero. Supongamos que de los N conductores del sistema solo
el conductor i está cargado positivamente con carga Qi en tanto que el resto no lo está. El
del campo eléctrico tiene como fuente la carga sobre el conductor i-esimo, luego es posible
seguir el campo hasta la región de potencial cero aun cuando el campo utilice a los otros
conductores como medio, luego solamente esto es posible si φi > 0 y pij > 0. Análogamente,
a menos que el conductor j-esimo esté cubierto por alguno de los otros, las líneas de campo
que lleguen al conductor j pueden seguirse hasta el conductor i-esimo y seguirlas hasta la
región de potencial nulo. Por lo tanto podemos decir que
pii > pij > 0
Para concluir consideremos el caso en que uno de los conductores está completamente
cubierto por otro, sea este conductor el j-esimo el que está completamente cubierto dentro
del conductor i-esimo. El campo dentro del conductor i es nulo luego, los potenciales de
ambos conductores son iguales, entonces debe cumplirse que pij = pii. Del análisis realizado
no queda más que concluir que
pii = pij > 0 (1.11.6)
1.11.2. Coe�cientes de capacidad e inducción.
El sistema planteado por (1.11.1) puede invertirse, es decir vincular las cargas con los
potenciales de los conductores. A este sistema lo escribiremos como
Qi =
N∑
j=1
cijφj con i = 1, · · · , N (1.11.7)
las cantidades cii son llamadas coe�cientes de capacidad y cij (i 6= j) coe�cientes de induc-
ción. Las propiedades de los coe�cientes c se pueden deducir de las de p:
son simétricos, es decir cij = cji
los coe�cientes cii > 0
los coe�cientes de inducción satisfacen la condición cij 5 0 si i 6= j.
recurriendo a (1.11.7) la energía electrostática del sistema de conductores puede expresarse
como
W =
1
2
N∑
i=1
N∑
j=1
φicijφj (1.11.8)
1.11. Energía de un sistema
de conductores cargados.
45
1.11.3. Condensadores.
Dos conductores que puedan almacenar cargas iguales pero de distintos signos: ±Q,
independientemente de que el resto de los conductores del sistema puedan estarlo o no,
con�rman un dispositivo llamado capacitor, ver �gura 1.11.1.
Figura 1.11.1:
De la ecuación (1.11.1) podemos escribir{
φ1 = p11Q− p12Q+ φx
φ2 = p12Q− p22Q+ φx
(1.11.9)
en donde +Q y −Q representan las cargas sobre el conductor 1 y 2 respectivamente y φx
es el potencial común del resto de los conductores del sistema. Restando la dos ecuaciones
anteriores se obtiene
∆φ = φ1 − φ2 = (p11 + p22 − 2p12)Q (1.11.10)
vemos entonces que la diferencia de potencial entre los dos conductores es directamente
proporcional al valor de la cara Q.
La ecuación (1.11.10) la reescribiremos como
Q = C ∆φ (1.11.11)
donde la constante C se denomina capacidad del condensador y es dada por
C =
1
p11 + p22 − 2p12
La capacidad es entonces la densidad de carga almacenada por unidad de diferencia de
potencial y la unidad es el farads 1F =
C
V
.
Teniendo en cuenta la ecuación (1.6.7), podemos evaluar para un condensador si tenemos
en cuenta que ρ (x) = Q (δ(x− x1)− δ(x− x2)), para este sistema
W =
1
2
Q∆φ =
1
2
C (∆φ)2 =
1
2
Q2
C
(1.11.12)
Si los dos conductores con�guran geometrías sencillas, la capacidad del dispositivo pue-
de, en general, ser calculada.
Ejemplo. Condensador esférico
46 Capítulo 1. Electrostática
Un condensador esférico está formado por dos super�cies conductoras esféricas, concén-
tricas de radios R1 y R2, cargadas con cargas iguales y opuestas +Q y �Q, respectivamente.
Situamos una super�cie esférica concéntrica de radio r, para poder aplicar la ley de Gauss
y así calcular el campo eléctrico tal como muestra la �gura 1.11.2
Figura 1.11.2: Condensador esférico
Como el condensador posee simetría esférica, el campo eléctrico tiene dirección radial
y su módulo es constante en todos los puntos de una super�cie esférica S de radio r; por
lo tanto, el �ujo del campo eléctrico E, a través de dicha super�cie, está dado por
ˆ
S
E · ds = |E| 4πr2
Determinando la