1 EM1 Fzas en trasmisiones v 18-2 (1)

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ 
 
SECCIÓN INGENIERÍA MECÁNICA 
 
ÁREA DE DISEÑO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS 1 
 
 
 
 
1 
 
 
FUERZAS EN ELEMENTOS DE TRASMISIÓN DE POTENCIA 
 
 
 
 
 
 
 
KURT F. PAULSEN MOSCOSO 
 
 
 
 
 
 
(v. 18-2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
________________ 
USO INTERNO
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Elementos de Máquinas 1 – Cinética de elementos de trasmisión de potencia Cap. 1- Pág. 2 de 15 
Kurt F. Paulsen M. / 180823 
 
 
1.1.- ALCANCE 
En este capítulo se describen las fuerzas generadas en algunos de los elementos de 
trasmisión de potencia más utilizados: engranajes, fajas, cadenas de trasmisión y rueda 
con tornillo sin fin. Previamente se describirá su funcionamiento, geometría y parámetros 
básicos. 
En el caso de engranajes se tratan los cilíndricos de dientes rectos, los cilíndricos de 
dientes helicoidales y los cónicos de dientes rectos. En el caso de las fajas se estudian 
las fajas planas y las trapezoidales. En cuanto a las cadenas se tratan las cadenas de 
rodillos. Y finalmente se describe el sistema rueda y tornillo sin fin. 
 
 
1.2.- GENERALIDADES 
 
1.2.1.- Engranajes. 
Los engranajes son ruedas con dientes tallados sobre su superficie. El perfil de los 
dientes, más utilizado industrialmente, es el de evolvente. En la figura 1 se muestra la 
propiedad geométrica que define una curva de evolvente (AB’), donde OB es el radio de 
la circunferencia base. La longitud del arco AB es igual a la del segmento de recta BB’ 
tangente a la circunferencia base en el punto B. En la misma figura se observa que el 
perfil de los dientes corresponde a un tramo de la evolvente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 
 
Las ruedas pueden ser cilíndricas o cónicas. A su vez los dientes tallados en éstas 
pueden ser rectos o curvos. Los dientes rectos son paralelos a la generatriz de la rueda, 
mientras que los curvos describen curvas helicoidales, hipoidales u otras. El diente 
helicoidal describe una hélice sobre la superficie de un cilindro y el hipoidal describe la 
curva del mismo nombre sobre la superficie de un cono. En la figura 2, se muestran 
engranajes cilíndricos de dientes rectos, cilíndricos de dientes helicoidales, cónicos de 
dientes rectos y un par de cónicos hipoidales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Engranajes cilíndricos de Engranajes cilíndricos de 
 dientes rectos dientes helicoidales 
 
O A
B
B'
O A
Evolvente
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 Engranajes cónicos de dientes rectos Engranajes cónico de dientes hipoidales 
 
Figura 2 
 
 
Carácterísticas geométricas. 
Entre los parámetros o características principales de los engranajes están el número de 
dientes (Z), el módulo (m) en el sistema métrico y el paso diametral en el sistema inglés. 
En los cilíndricos de dientes helicoidales también se deben tener en cuenta el ángulo de 
hélice (β) y el sentido de la misma (derecha o izquierda). En los cónicos de dientes 
rectos además del módulo y del número de dientes, se tiene el semi-ángulo del cono 
primitivo (δ). 
En la figura 3 se muestran algunas de las dimensiones útiles de los engranajes. En los 
planos de fabricación se requiere información adicional. 
Figura 3 
 
 
Las expresiones matemáticas que relacionan los parámetros y dimensiones son las 
siguientes: 
d
dd
fa
d
dd
fa
Engranaje cilíndrico
de dientes rectos
Engranaje cilíndrico
de dientes helicoidales
d d
m e
Engranaje cónico
de dientes rectos
b/2
b/2
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Elementos de Máquinas 1 – Cinética de elementos de trasmisión de potencia Cap. 1- Pág. 4 de 15 
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a) Engranajes cilíndricos de dientes rectos 
 
𝑑 = 𝑚 ∙ 𝑧 𝑑 = 𝑚 ∙ (𝑍 + 2) 𝑑 = 𝑚 ∙ (𝑍 − 2,5) 
La relación de trasmisión es igual a 
1
2
2
1
z
z
n
n
u  (n1 y n2 en r.p.m.) 
z1 : número de dientes del engranaje motriz (usualmente el piñón) 
z2 : número de dientes del engranaje movido (usualmente la rueda) 
 
b) Engranajes cilíndricos de dientes helicoidales 
 
𝑑 = 𝑚 ∙
𝑍
𝑐𝑜𝑠𝛽
 𝑑 = 𝑚 ∙
𝑍
𝑐𝑜𝑠𝛽
+ 2 𝑑 = 𝑚 ∙
𝑍
𝑐𝑜𝑠𝛽
− 2,5 
1
2
2
1
z
z
n
n
u  (n1 y n2 en r.p.m.) 
c) Engranajes cónicos de dientes rectos 
𝑚 = 𝑚 𝑑 = 𝑚 ∙ 𝑍 𝑑 = 𝑚 ∙ 𝑍 𝑚 = 𝑚 −
𝑏
𝑧
∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛿 
 
me: módulo exterior o máximo mm: módulo medio 
 
Los ángulos 𝛿 y 𝛿 de los conos son importantes para la relación de trasmisión, la cual 
está dada por la siguiente expresión. 
 𝑢 = = = 
 
 
 
 
1.2.2.- Fajas de trasmisión 
Las fajas o correas son elementos que trasmiten el movimiento empleando la fuerza de 
fricción generada entre la faja y la polea. La faja sincrónica es la excepción, pues no 
trasmite por fricción sino por forma. 
Inicialmente la sección transversal de las fajas era rectangular, cuyo ancho era bastante 
mayor al espesor, razón por lo cual se denomina plana. La superficie de la polea es 
cilíndrica o ligeramente convexa (fig. 4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 
Para una fuerza normal FN entre la polea y la faja, la fuerza de fricción Ff está limitada 
por el coeficiente de fricción. Con el fin de conseguir una fuerza de fricción mayor, la 
Superficie plana Superficie convexa
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sección transversal de la faja se hizo trapezoidal. De esta manera se aprovecha el efecto 
“de cuña”, obteniéndose una fuerza normal FN’ en la superficie de contacto (figura 5), 
mayor a la que se presenta en la faja plana (FN). 
 
Figura 5 
 
En la figura 6 se muestran dos aplicaciones de faja trapezoidal o en V. Una con dos 
fajas, un eje motriz o conductor y dos ejes movidos o conducidos. Y la otra un taladro 
de banco, con una faja y dos conos de poleas con el fin de obtener distintas velocidades 
de giro en el husillo del taladro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 
 
Más detalles, características y potencia a trasmitir con fajas en V, se encuentran en la 
literatura de elementos de máquinas y especialmente en catálogos de fabricantes. 
 
1.2.3.- Cadenas de rodillos 
A diferencia de la faja plana y la faja en V, la cadena de rodillo trasmite el movimiento y 
potencia por “forma” y no por fricción. Las ruedas son dentadas y las cadenas tienen 
eslabones que encajan en los dientes. 
En la figura 7 se muestran una rueda dentada con un tramo de la cadena de rodillos. En 
la misma figura se muestra las distintas partes de uno de los eslabones. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 
 
En la bicicleta mostrada en la figura 8 está señalado el sistema de trasmisión, formado 
por una cadena de rodillos, ruedas dentadas y pedales. A la rueda motriz (con pedales) 
se le suele llamar “catalina” y a la rueda movida, “piñón”. 
FN
F'N
F'N
F'N
Faja plana Faja trapezoidal
F F
FF'N
F FN=
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Figura 8 
 
1.2.4.- Rueday tornillo sin fin 
Como su nombre lo indica, consta de una rueda o corona y un tornillo (figura 9). La rueda 
es similar a un engranaje cilíndrico de dientes helicoidales, con la diferencia que la 
generatriz exterior de la rueda no es recta sino cóncava, acorde a la forma cilíndrica del 
tornillo. El tornillo es cilíndrico con flancos de evolvente y puede tener una o más 
entradas o hélices. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 
 
La trasmisión es por forma; al girar el tornillo sus filetes empujan a los dientes de la 
rueda, haciendo que ésta gire. Entre los filetes del tornillo y los dientes de la rueda hay 
resbalamiento y por tanto aparecen fuerzas de fricción causantes de una eficiencia 
mecánica baja. 
 Los ejes de giro del tornillo y la corona, generalmente forman 90° y no se intersectan. 
 El ángulo de la helice (m) de ambos (tornillo y corona) son iguales. Así mismo las 
hélices de ambos tienen el mismo sentido (a la derecha o a la izquierda). 
 En el plano de simetría del tornillo perpendicular al eje de la rueda está el punto de 
contacto entre el tornillo y la corona. Está ubicado en la tangente común al cilindro 
primitivo del tornillo (d1 = dt en la figura 9)) y cilindro primitivo de la corona (d2 = dc). 
 El paso axial aparente (px) del tornillo es la distancia entre dos filetes contiguos sobre 
el cilindro primitivo y debe ser igual al paso circular de la corona medida en su 
circunferencia primitiva (figura 10). 
 La rueda tiene z2 dientes y el tornillo, z1 entradas o hélices. 
 El diámetro d2 de la circunferencia primitiva de la corona es igual a d2 = mt Z2, donde 
mt es el módulo circunferencial de la rueda mt = px/. 
 
 
 
d
d
t
c
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Figura 10 
 
Cinemática. 
 El sentido de rotación de la corona dependerá del sentido de rotación del tornillo y de 
la inclinación de la hélice del tornillo. 
 La relación de trasmisión o relación de velocidades es: 
u = 1/2 = n1/n2 = z2/z1 
 Relación entre las velocidades tangenciales del tornillo y de la corona en el punto de 
contacto c de los cilindros primitivos (figura 10): 
tg m = v2 / v1 = px Z1 /  dt 
 En la figura 10 se observa claramente que existe una velocidad relativa vR en 
dirección tangente a ambas hélices. Esto confirma que entre el filete del tornillo y los 
dientes de la corona hay resbalamiento. 
 
1.3.- FUERZAS EN LAS TRASMISIONES 
 
1.3.1.- FUERZAS EN ENGRANAJES 
La trasmisión entre engranajes es por forma; es decir los dientes del engranaje motriz, 
que están en contacto con los dientes de la rueda movida, empujan a estos últimos, 
haciendo que la rueda movida gire. 
En adelante se asume que están en contacto solo un diente de la rueda conductora con 
un diente de la rueda conducida. 
A la rueda motriz se le aplica un momento torsor, con el fin de vencer la resistencia al 
giro que pone la rueda movida debido a la carga propia de la máquina a mover. 
 
a) Fuerzas en engranajes cilíndricos de dientes rectos 
Un diente del engranaje motriz ejerce una fuerza F de empuje (figura 11.b) sobre un 
diente del engranaje movido. Esto implica que este último ejerce una reacción sobre el 
primero, de igual magnitud y dirección pero de sentido contrario (fig. 11.c). La dirección 
es normal a la superficie de los dientes en el punto de contacto y coincide con la línea 
de engrane. 
En la figura 11 el subíndice 1 se emplea para la rueda motriz (conductora) y el subíndice 
2 para la movida (conducida). 
Conocida la dirección de la normal, se puede calcular el valor de la fuerza F entre los 
dientes y sus componentes tangencial (Ft) y radial (Fr). Para ello se parte del diagrama 
n1
v
v
1
2
vR
n2
n2
m
c
c m
m
p x
d1
d 2
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de conjunto (figura 11.a) y del diagrama de cuerpo de libre de cada uno de los 
engranajes (figuras 11.b y 11.c). 
Además de la magnitud y dirección de las fuerzas, es necesario conocer el sentido; para 
esto es importante identificar claramente la rueda motriz y su sentido de giro. 
La fuerza Ft es tangencial a ambas circunferencias primitivas en el punto de contacto de 
éstas. 
 
 (a) (b) (c) 
Figura 11 
 
Observe que el sentido de giro de la rueda movida no coincide con el sentido del 
momento torsor. El momento torsor Mt2 del eje sobre la rueda, se equilibra con el 
momento torsor producido por la fuerza sobre el diente de la misma. 
Las expresiones para el cálculo de la magnitud de las fuerzas son: 
 
𝐹 = 
 
= 
 
 𝐹 = 𝐹 𝑡𝑔 𝛼 𝑑 = 𝑚 𝑧 
 
Donde: 
α : ángulo de presión o de engrane (generalmente 20°) 
z1 : número de dientes del piñón 
z2 : número de dientes de la rueda 
m : módulo de los dientes de ambas ruedas 
d : diámetro de la circunferencia primitiva 
 
b) Fuerzas en engranajes cilíndricos de dientes helicoidales 
En la figura 12, el piñón (1) es el engranaje motriz y la rueda (2) es el engranaje movido. 
La fuerza F entre los dientes en contacto se asume puntual y se descompone en tres: 
tangencial (Ft), radial (Fr) y axial (Fa). Cuyas magnitudes se calculan con las 
expresiones: 
𝑑 = 𝑍 𝐹 = 
 
 𝐹 = 𝐹 
 
 𝐹 = 𝐹 ∙ 𝑡𝑔𝛽 
 
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Como se muestra en la figura 12, estas “fuerzas” actúan en el punto de contacto de las 
dos circunferencias primitivas; en las direcciones tangencial, radial y paralela al eje del 
engranaje respectivo. 
Las direcciones tangencial y axial están en el plano tangente a las dos circunferencias 
primitivas en el punto de contacto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 12 
 
En esta figura se observa la trasmisión del conjunto y el dibujo del engranaje movido 
con la fuerza, sus componentes y el momento torsor sobre ella. No se ha dibujado el 
engranaje motriz. 
αt : ángulo de presión o de engrane tangencial o circunferencial 
α : ángulo de presión o de engrane es el denominado ángulo de engrane normal. 
m : módulo de los dientes de ambas ruedas (módulo normal) 
z1 : número de dientes del piñón 
z2 : número de dientes de la rueda 
β : ángulo de la hélice 
 
Importante: para determinar el sentido de cada una de las fuerzas componentes se debe 
recordar que el diente de la rueda motriz empuja al diente de la rueda movida. 
 
c) Fuerzas en engranajes cónicos de dientes rectos 
Un engranaje cónico de dientes rectos se caracteriza por el número de dientes (z), el 
semi-ángulo del cono primitivo (𝛿), el modulo exterior (me = m) o módulo mayor, la 
longitud del diente (b) o el ancho del engranaje (b cos𝛿). 
El ángulo Σ entre ejes es igual a la suma de los semi-ángulos de los dos conos primitivos 
𝛿 y 𝛿 . 
 
En la figura 13 se muestran dos engranajes cónicos cuyos ejes están a 90º entre sí. Se 
han dibujado únicamente los conos primitivos, como si fueran dos conos rodando sin 
deslizamiento. En la figura 13.a se observa que están en contacto a lo largo de una 
generatriz; es decirson tangentes entre sí. En la 13.b se ha dibujado el cono primitivo 
del engranaje conducido y una vista auxiliar en un plano perpendicular a la generatriz, 
en la cual se muestra la fuerza F que ejerce el diente del piñón sobre el diente de la 
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rueda. Ésta se descompone en tres fuerzas; la tangencial (Ft2), la radial (Fr2) y la axial 
(Fa2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 13 
 
 
 𝐹 = 
 
 𝐹 = 𝐹 𝑡𝑔 𝛼 cos 𝛿 𝐹 = 𝐹 𝑡𝑔𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛿 
𝑑 = 𝑚 ∙ 𝑍 𝑚 = 𝑚 −
𝑏
𝑧
∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛿 
me: módulo exterior o máximo mm: módulo medio 
b: longitud de la generatriz común (longitud del diente) 
 
En forma similar se puede proceder para obtener las fuerzas en el piñón. En el caso 
particular mostrado en la figura 13 de que el ángulo Σ entre ejes sea 90°; 
 
 𝐹 = 𝐹 𝐹 = 𝐹 𝐹 = 𝐹 
 
1.3.2.- FUERZAS EN FAJAS 
 
Las fajas trasmiten potencia de la polea motriz a la polea movida o conducida mediante 
fricción entre la polea y la faja, generada por la fuerza normal (radial) entre faja y polea. 
Para que ésta exista se requiere una tensión en la faja, denominada fuerza de 
pretensión FP En la figura 14 se muestra una trasmisión entre dos poleas. 
 
En esta figura 14 se observa que inicialmente las dos poleas se acercan una a la otra 
con el fin de colocar la faja, luego con ésta colocada se las aleja hasta generar la 
pretensión (Fp) en la faja. 
 
Luego del pretensado ya pueden trabajar trasmitiendo potencia de la rueda motriz (1) a 
la movida (2). Durante la trasmisión se genera una fuerza F1 en una tramo de la faja y 
F2 en el otro, tal que F1 es mayor que F2. 
 
 
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Figura 14 
 
Como consecuencia de las fuerzas de tracción (F1’, F2’ y Fp) y de la curvatura de las 
poleas, el esfuerzo varía a lo largo de la faja (figura 15). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15 
 
En la figura 16 se muestran los parámetros geométricos, los sentidos de giro las fuerzas 
de trabajo y los momentos torsores sobre las poleas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16 
 
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En el caso de fajas planas las circunferencias representan la superficie exterior de las 
poleas; mientras que en el caso de fajas trapezoidales, las circunferencias representan 
los cilindros primitivos (circunferencias imaginarias de un diámetro menor al exterior – 
ver figura 17). 
 
a) Fuerzas en fajas planas 
La tensión F1 origina un momento torsor en un sentido mientras que la tensión F2 origina 
otro en sentido contrario; por tanto el torque neto es la diferencia de ambos. Para la 
polea (1) se cumple: 
𝐹 = 𝐹 + 𝐹 
𝐹 = 𝐹 + 𝐹 
𝐹 − 𝐹 = 
 
 
 
Se puede deducir también que la relación entre dichas tensiones está dada por: 
 
𝐹
𝐹
= 𝑒 
 
Donde µ : coeficiente de fricción entre la faja y la polea 
φ : ángulo de contacto entre la faja y polea pequeña, el cual como se 
ve en la figura 16 se puede evaluar luego de calcular el ángulo 𝛾 
 
sin 𝛾 = 
 
 
 𝜑 = 180 − 2𝛾 
 
La relación de trasmisión es igual a: 
𝑢 = = 
 
b) Fuerzas en fajas trapezoidales 
En forma semejante al caso de fajas paralelas, se cumple: 
𝐹 = 𝐹 + 𝐹 𝐹 = 𝐹 + 𝐹 
 
𝐹 − 𝐹 = 
 
 
 
Y se puede deducir también que la relación entre dichas tensiones está dada por: 
𝐹
𝐹
= 𝑒 ´ 
 
Al exponente µ’ se le conoce como coeficiente de fricción efectivo, cuya magnitud es 
mayor al coeficiente de fricción µ entre faja y polea y se cuantifica con la expresión 
 
𝜇´ = 
𝜇
𝑠𝑒𝑛 (𝜃 2⁄ )
 
 
 
 
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Figura 17 
Siendo: 
 θ : ángulo del canal trapezoidal de la polea (ver figura 17). Es un número par 
 que depende del tipo de faja y del diámetro de la polea. 
θ = 34°… 42° 
 
La relación de trasmisión es igual a: 
𝑢 = = 
 
 
1.3.3.- FUERZAS EN CADENAS DE TRASMISIÓN 
 
La trasmisión es por forma y no requiere pretensión. A diferencia de las fajas solo uno 
de los dos tramos que no están en contacto con las ruedas está tenso, el otro está flojo. 
En la figura 18 se han dibujado las circunferencias primitivas y se muestra que en uno 
de los tramos la tensión es igual a F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18 
 
Se deduce que: 
𝐹 = 
2 𝑀
𝑑
= 
2 𝑀
𝑑
 
 
0
d
d
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La rueda (2) tiene Z2 dientes, mientras que la (1) tiene Z1 dientes. La relación de 
trasmisión es igual a: 
 
𝑢 = = = 
 
1.3.4.- FUERZAS EN TORNILLO SIN FIN 
En la figura 19 se muestra a la izquierda los cilindros primitivos del tornillo sin fin y la 
corona en contacto entre sí. A la derecha cada uno por separado con las fuerzas y 
momentos torsores. 
 
Figura 19 
 
Se deduce que las expresiones entre las fuerzas son: 
 
𝐹 = 𝐹 = 𝐹 cos cos  − μ 𝐹 𝑠𝑒𝑛  
𝐹 = 𝐹 = 𝐹 cos sen  + μ 𝐹 𝑐𝑜𝑠  
𝐹 = 𝐹 = 𝐹 sen 
𝐹 = 𝐹 = 𝐹 
sen
cos cos  − μ 𝑠𝑒𝑛 
= 𝐹
sen
cos sen  + μ 𝑐𝑜𝑠 
 
𝐹 =
2𝑀
𝑑
 𝐹 =
2𝑀
𝑑
 
Como se mencionó en 1.2.4 y se observó en la figura 10, en el punto de contacto entre 
el tornillo y la rueda hay resbalamiento. El cual implica pérdida de energía y por lo tanto 
una eficiencia mecánica relativamente baja comparada con los otros tipos de trasmisión. 
Es decir que la potencia motriz (tornillo) P1 es mayor a la potencia movida (rueda) P2. 
La eficiencia mecánica estará dada por 
 
 = = 
 
 ,  =
  
 
 
 
Mt2
Mt2
c
m
d1
d
2
n1
Mt1
n2
Mt1
Mt2
Mt2
F
F
F
F
F
F
r2
t2
a2
r1
t1
a1
Fr1 Fr2
Mt1
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1.4.- OBJETIVO DE CONOCER LAS FUERZAS DE TRASMISIÓN 
Los distintos tipos de ruedas descritos anteriormente se instalan sobre ejes o árboles. 
Éstos a su vez se apoyan y sujetan sobre cojinetes o rodamientos. Todo el conjunto va 
montado sobre un soporte (caja, bastidor o estructura). Los elementos componentes del 
soporte pueden estar soldados o entornillados entre sí. 
Con el fin de que el sistema trabaje en forma confiable se deben verificar las uniones 
soldadas, las uniones atornilladas, los ejes o árboles, los rodamientos y todos los 
componentes del sistema, tanto durante la operación comoen estado de reposo. 
Para poder realizar los cálculos necesarios, se requieren conocer las fuerzas sobre cada 
elemento involucrado, partiendo de las fuerzas en los elementos de trasmisión de 
potencia. 
Razón por la cual es importante conocer las fuerzas entre los elementos de trasmisión, 
tanto en magnitud como en dirección y sentido. 
 
En resumen, las fuerzas que se han mencionado anteriormente son: 
- Engranajes cilíndricos de dientes rectos : Ft y Fr 
- Engranajes cilíndricos de dientes helicoidales : Ft y Fr y Fa 
- Engranajes cónicos de dientes rectos : Ft y Fr y Fa 
- Fajas y poleas : F1 y F2 
- Cadenas de rodillos y ruedas dentadas : F 
 
 
 
Información de interés en internet. 
 
- Información sobre engranajes 
Curva evolvente en forma animada. 
https://www.youtube.com/watch?v=aLYfl-vfA1s 
Ejemplos de engranajes 
http://es.wikipedia.org/wiki/Engranaje y http://html.rincondelvago.com/mecanica_engranajes.html 
 
- Referencia de la figura 6 
http://es.wikipedia.org/wiki/Correa_de_transmisi%C3%B3n 
http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material107/operadores/ope_polea.htm