Integracion Numerica

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Integración Numérica
• Matemáticamente, la integración se representa por :
𝐼 = 
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
• que representa a la integral de la función f(x) con respecto a la
variable x, evaluada entre los límites x = a e y = b.
• El signicado de la ecuación es el valor total o sumatoria de f(x)dx
sobre el intervalo de x = a a x = b.
La figura representa que para las
funciones que se encuentran sobre el
eje x, la integral expresada por la
ecuación 𝐼 = 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
corresponde al área bajo la curva de f(x)
entre x = a y x = b.
• Cuando surge la necesidad de evaluar la integral definida de una
función que no tiene una primitiva explícita o cuya primitiva tiene
valores que no son fácilmente obtenibles, como pueden ser la función
de error, combinaciones algebraicas de funciones trascendentes y
logarítmicas o la función gamma de Euler, etc.
• Cuando únicamente conocemos el valor de la función en un conjunto
de puntos (xi; fi), como ocurre con los resultados de un experimento
o de simulaciones numéricas, sus integrales sólo se pueden obtener
numéricamente, lo cual motiva aún más la necesidad de poder
obtener derivadas e integrales a partir de conjuntos discretos de
datos.
• .
Cuando usar Integración Numérica?
• El método básico involucrado para aproximar 𝐼 = 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 se conoce como
cuadratura numérica y se a basan en la estrategia de reemplazar una función
complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que
sea más fácil de integrar, las funciones aproximadas son los polinomios de
interpolación.
• Las distintas fórmulas de interpolación darán por resultado distintos métodos de
integración numérica.
• Consideraremos las fórmulas que se obtienen usando polinomios de Lagrange de
primero y segundo grado con nodos uniformemente espaciados.
• Estas fórmulas son la regla del trapecio y la regla de Simpson, que son ejemplos
de un tipo de métodos conocidos como fórmulas de Newton-Cotes.
• Hay dos tipos de fórmulas de Newton Cotes:
- Las fórmulas abiertas y
- Las fórmulas cerradas.
• Las fórmulas cerradas son aquellas donde los puntos al principio y al
final de los límites de integración se conocen.
• Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más
allá del rango de los datos, en general, no se usan en la integración
definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de
ecuaciones diferenciales
Para derivar la regla del trapecio para aproximar 𝐼 = 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥, sean a 𝑥0 = 𝑎, 𝑥1 = 𝑏, ℎ =
𝑏 − 𝑎 ;
usando el polinomio de Lagrange de primer grado
𝑃1 𝑥 = 𝑓 𝑥0
𝑥−𝑥1
𝑥0−𝑥1
+ 𝑓(𝑥1)
𝑥−𝑥0
𝑥1−𝑥0
Por lo tanto I = 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥0
𝑥1[𝑓 𝑥0
𝑥−𝑥1
𝑥0−𝑥1
+ 𝑓(𝑥1)
𝑥−𝑥0
𝑥1−𝑥0
]𝑑𝑥 +
1
2
 𝑥0
𝑥1 𝑓′′(𝜉 𝑥 ) 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 𝑑𝑥
Recordemos el Teorema del valor medio ponderado para integrales, para obtener el término 
del error, Si f es continua en [a,b], entonces existe un número c, 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏, tal que ∶
𝐼 = 
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐) 
𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
La razón por la cual esta fórmula se llama la regla del trapecio es que, cuando f es una función con 
valores positivos 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 se puede aproximar calculando el área del trapecio mostrado en la siguiente 
figura:
Nótese que la regla del trapecio dará el resultado exacto cuando se aplique a cualquier 
función cuya segunda derivada sea idénticamente cero, o sea, cualquier polinomio de 
grado uno o menor
Regla del Trapecio usando segmentos 
múltiples. (Regla del Trapecio Extendido)
• Una manera de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal es la de
dividir el intervalo de integración en un conjunto de segmentos y
aplicar el método a cada uno de los segmentos, ver próxima figura.
• Se suman las áreas de los segmentos individuales y se obtiene la
integral sobre el intervalo completo.
• Dados n + 1 puntos base igualmente espaciados (x0; x1; x3; x4; ….; xn) .
Por consiguiente, hay n segmentos de igual longitud ℎ =
𝑏−𝑎
𝑛
.
Si a= x0, b= xn la integral Total se representa como:
• El error en la regla trapezoidal múltiple se obtiene sumando los errores 
individuales de cada uno de los segmentos, dando: 
• f’’(i), es evaluada en el punto i localizado dentro del segmento i. Este resultado se 
simplifica calculando: la media o el valor promedio de la derivada sobre el 
intervalo completo
• Reemplazando en la ecuación del error 
• De manera que, si el número de segmentos se duplica, el error de truncamiento 
disminuye a un cuarto de su valor. La última ecuación nos proporciona un error 
aproximado debido a la naturaleza aproximada de la ecuación.
REGLA DE SIMPSON
• Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más 
nos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una 
integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los 
puntos. 
• Por jemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces se 
pueden conectar los tres puntos con una parábola ver gura 28. 
• Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) y f(b), entonces
los cuatro puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer
orden ver gura 29. A los polinomios resultantes de calcular la integral
bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.
REGLA DE SIMPSON DE 1/3
La regla de Simpson de 1/3 resulta de integrar un polinomio de Lagrange de segundo orden sobre [a; b], con
nodos x0 = a; x1 = b y x2 = a + h; donde ℎ =
𝑏−𝑎
2
. 
Después de integrar y de reordenar términos, resulta la siguiente ecuación:
Ecuación que se conoce como Regla de 1/3 de Simpson. La etiqueta de 1/3 viene de que h se divide por 3
en la ecuación.
• Estimación del error de la Regla de Simpson
• Entonces
• La regla de Simpson es mucho más exacta que la regla trapezoidal, el 
error es proporcional a la cuarta derivada. Esto se debe a que, como 
se mostró en la integración, los coeficientes del término de tercer 
orden se anulan. En consecuencia, la regla de Simpson de 1/3 es 
exacta hasta tercer orden aunque esté basada únicamente en tres 
puntos.