algebraLineal - Braulio Luna Díaz

Vista previa del material en texto

Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 1 de 20 
 
 
ÁLGEBRA LINEAL NUMÉRICA
Matrices y Vectores 
Una matriz es un arreglo rectangular de números. Cuando el arreglo es cuadrado se llama 
matriz cuadrada. Las matrices se escriben en forma simbólica 
333233
232222
131211
aaa
aaa
aaa
=A 
333233
232222
131211
bbb
bbb
bbb
B = 
Abreviación de las matrices: [ ]ijaA = y [ ]ijbB = 
Si una matriz es rectangular con m renglones o filas y n columnas decimos que es una matriz 
de m x n. 
Las matrices tienen cuatro operaciones básicas análogas a las de los números: suma, resta, 
multiplicación y división. 
Dos matrices del mismo tamaño pueden sumarse o restarse. 
La suma de [ ] [ ]ijij ba == BA y es la matriz cuyos elementos son la suma de los elementos 
correspondientes de : BA y 
[ ] [ ]ijijij cba =+=+= BAC 
La diferencia de dos matrices del mismo tamaño se obtiene al restar elementos 
correspondientes 
[ ] [ ]ijijij cba =−=−= BAC 
La multiplicación de A*B = C 
Donde C = [cij] y kjkj
N
k
ij bac ⋅= ∑
=1
Como se puede ver fácilmente, en general el producto B.A no es igual a A.B, por lo tanto no es 
conmutativa. 
División: , es la inversa de B . La división es equivalente a CAB 1 =− 1B − BCA =
La división es más restrictiva que las demás operaciones puesto que B-1 solo puede existir si B 
es una matriz cuadrada. 
Un vector renglón es un arreglo de columna de números o variables 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
3
2
1
x
x
x
V
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 2 de 20 
Si un vector columna está formado por n números, se dice que el orden del vector es n. Un 
vector columna también se puede pensar como una matriz de . 1nx
Un vector renglón es un arreglo en renglón de números o variables. 
[ ]321 xxx=V 
Un vector renglón se considera como una matriz de xn1
Tipos especiales de matrices 
Matriz nula: Todos los elementos de la matriz nula son iguales a cero. 
Matriz diagonal: es una matriz cuadrada donde todos los elementos son iguales a cero 
excepto los elementos de la diagonal 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
33
22
11
00
00
00
a
a
a
A
 
 
 
Matriz identidad (I): es una matriz diagonal donde todos los elementos son iguales a cero 
excepto los elementos de la diagonal, que son iguales a uno. 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
100
010
001
A
 
 
Matriz simétrica: es una matriz cuadrada donde jiij aa = para toda i y para toda j. 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
872
731
215
A
 
 
Matriz triangular superior: matriz cuadrada donde todos los elementos bajo la diagonal 
principal son cero. 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
44
3433
242322
14131211
000
00
0
a
aa
aaa
aaaa
A
 
 
Matriz triangular inferior: todos los elementos arriba de la diagonal principal son cero. 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
44434241
333231
2221
11
0
00
000
aaaa
aaa
aa
a
A
 
 
 
Matriz transpuesta: Para una matriz definida por [ ]ijaA = su transpuesta se define como 
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 3 de 20 
[ ]jiaA = (se intercambia i y j). 
Matriz inversa. La inversa de una matriz cuadrada A se escribe como A-1 y satisface 
IAAAA 11 == −− . Siendo I la matriz identidad. 
Vector nulo: Todos sus elementos son iguales a cero. 
Vectores unitarios: Todos los elementos son iguales a cero excepto uno que vale 1 
Vector Transpuesto: Si un vector esta dado por 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
3
2
1
x
x
x
V
Entonces su transpuesto se escribe como vt y se define como 
[ ]321 xxxt =V 
El transpuesto un vector columna es un vector renglón. 
 
Representación en forma matricial de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales 
Las matrices proporcionan una notación concisa en la representación de ecuaciones de 
ecuaciones simultáneas lineales. 
El sistema lineal 
 
nnnnnn
nn
nn
cxaxaxa
cxaxaxa
cxaxaxa
=+++
=+++
=+++
L
M
L
L
2211
22222121
11212111
 
se puede expresar como , donde A es una matriz cuadrada de coeficientes, C es 
un vector renglón de constantes, y X un vector renglón de incógnitas. 
CAX = nxn
xn1 xn1
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
2
1
n
2
1
21
22221
11211
c
c
c
y 
MM
L
MMM
L
L
CxA
x
x
x
aaa
aaa
aaa
nnnn
n
n
Algunas veces es útil aumentar A con C, para obtener la matriz aumentada 
 [ ] ,
21
222221
111211
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
nnnnn
n
n
caaa
caaa
caaa
L
MMMM
L
L
CA 
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 4 de 20 
donde se usa la línea punteada para separar los coeficientes de las incógnitas de los valores 
del lado derecho de las ecuaciones. 
Expresar de esta manera la ecuación tiene utilidad, ya que varias de las técnicas en la solución 
de sistemas lineales hacen operaciones idénticas a una fila de coeficientes y a la constante 
correspondiente del lado derecho. 
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES: 
Los sistemas lineales de ecuaciones se presentan en muchos problemas de ingeniería y de 
ciencia, así como en las aplicaciones de las matemáticas a las ciencias sociales y al estudio 
cuantitativo de problemas de comercio y economía. 
Dentro de las técnicas para resolver sistemas lineales, se distinguen dos grandes familias de 
métodos: 
• Métodos directos: se obtiene la solución mediante un número finito de operaciones, 
sujeta solamente a errores de redondeo. 
• Métodos iterativos: se construye mediante una relación de recurrencia una sucesión 
infinita, que a partir de una estimación y bajo ciertas condiciones converge a la solución 
buscada. 
MÉTODOS DIRECTOS 
Eliminación de Gauss para problemas ideales sencillos 
La eliminación de Gauss es el método que se utiliza en forma más amplia para resolver un 
conjunto de ecuaciones lineales. 
Un conjunto de n ecuaciones con n incógnitas es de la forma: 
 
nnnnnn
nn
nn
cxaxaxa
cxaxaxa
cxaxaxa
=+++
=+++
=+++
L
M
L
L
2211
22222121
11212111
 
donde los son coeficientes, los son la incógnitas y los son los términos conocidos 
llamados libres o independientes. En este caso, el número de incógnitas es igual al número de 
ecuaciones, que es la forma más usual de un conjunto de ecuaciones lineales. 
ija ix ic
La eliminación de Gauss se aplica sólo al caso de los conjuntos no homogéneos de 
ecuaciones. 
Consideraremos un problema ideal en el que el conjunto de ecuaciones tiene una solución 
única y no aparece ninguna dificultad en el proceso de solución. La eliminación de Gauss 
consiste en: 
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 5 de 20 
a) la eliminación hacia adelante 
b) la sustitución hacia atrás. 
a) Eliminación hacia adelante 
La primera fase reduce el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior. El paso 
inicial consiste en dividir la primera ecuación porel coeficiente de la primera incógnita : 11a
 
11
1
11
1
2
11
12
1 a
cx
a
a
x
a
ax n
n =+++ L (Ecuación normalizada) 
En seguida se multiplica la ecuación normalizada por el primer coeficiente de la segunda 
ecuación, : 21a
 
11
1
21
11
1
212
11
12
21121 a
cax
a
a
ax
a
aaxa n
n =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ L 
y se le resta a la segunda ecuación para eliminar el primer término de la segunda; 
 
11
1
212
11
1
21222
11
12
2122 a
c
acx
a
a
aax
a
a
aa n
n −=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− L 
o, 22222 cxaxa nn ′=′++′ L
en donde el apóstrofe indica que los elementos han cambiado sus valores originales. 
El proceso se repite hasta que se elimina la primera incógnita de las ecuaciones restantes. Por 
ejemplo, la ecuación normalizada se multiplica por y el resultado se resta de la tercera 
ecuación para obtener 
31a
 33232 cxaxa nn ′=′++′ L 
Repitiendo el procedimiento para el resto de las ecuaciones da como resultado el siguiente 
sistema modificado: 
 
(4) 
(3) 
(2) 
(1) 
22
33232
22222
11212111
nnnnn
nn
nn
nn
cxaxa
cxaxa
cxaxa
cxaxaxa
′=′++′
′=′++′
′=′++′
=+++
L
M
L
L
L
 
A la ecuación (1) se le llama ecuación pivotal y a se le llama pivote. 11a
Se repite el proceso para eliminar la segunda incógnita de las ecuaciones (2) hasta la (4). Se 
usa como ecuación pivotal la (2) normalizándola y dividiéndola por el pivote . Multiplicando 22a′
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 6 de 20 
la ecuación normalizada por y restando el resultado a la ecuación (3) se elimina la segunda 
incógnita. Repitiendo el proceso con las ecuaciones restantes se obtiene: 
32a′
 
 
 
 
 
33
33333
22323222
11313212111
nnnnn
nn
nn
nn
cxaxa
cxaxa
cxaxaxa
cxaxaxaxa
′′=′′++′′
′′=′′++′′
′=′++′+′
=+++′+
L
M
L
L
L
 
en donde el apóstrofe doble indica que los coeficientes se han modificado dos veces. 
El procedimiento se puede continuar usando las ecuaciones restantes como pivotales. La 
operación final de esta secuencia es la de usar la ésiman −− )1( ecuación para eliminar el 
término de la n-ésima ecuación. 1−nx
En ese momento el sistema se transforma en un sistema triangular superior. 
 
 
 
 
 
 
)1()1(
33333
22323222
11313212111
−− =
=
′′=′′++′′
′=′++′+′
=+++′+
n
nn
n
nn
nn
nn
nn
cxa
cxaxa
cxaxaxa
cxaxaxaxa
MO
L
L
L
 
b) Sustitución hacia atrás 
El procedimiento de sustitución hacia atrás comienza con la última ecuación. 
Se obtiene la solución de x n en la última ecuación: 
1
1
−
−
= n
nn
n
n a
c
x
n
 
Este resultado se puede sustituir en la ésiman −− )1( ecuación y resolverse ésta para x n-1. El 
procedimiento se repite evaluando las restantes. Con esto se completa la eliminación de 
Gauss. 
x
A continuación daremos un pequeño ejemplo de cómo se resuelve un sistema de ecuaciones 
mediante el método de Gauss. 
Ejemplo 1: 
Resuelva las siguientes ecuaciones lineales en forma de arreglo: 
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 7 de 20 
033
1223
132
321
321
321
=−+
=++−
−=−+
xxx
xxx
xxx
 
Solución: La expresión en arreglo de las ecuaciones es: 
 
0313
12231
1312
−
−
−−
 
Para comenzar la eliminación hacia adelante, se divide por 2 la primera ecuación para 
normalizarla y la multiplicamos por -1,y restamos de la segunda. Luego eliminamos de la 
tercera ecuación. El arreglo queda como 
1x
 
2
3
2
3
2
1
2
23
2
1
2
7
0
0
1312
−
−−
 
Continuamos con la eliminación hacia adelante normalizamos el segundo renglón dividiendo 
por 27 y restamos el segundo renglón multiplicado por – 1/2 del tercer renglón: 
 
7
22
7
11
2
23
2
1
2
7
00
0
1312 −−
 
Esto concluye la eliminación hacia adelante. 
La sustitución hacia atrás comienza con el último renglón. Interpretamos el último renglón 
como: 
7
22
7
11
3 =x 23 =⇒ x
Análogamente 
 2
23
32
1
22
7 =+ xx 
 3
2
21
2
7
22 =⇒= xx 
y 132 321 −=−+ xxx 11 =⇒ x 
Eliminación de Gauss-Jordan 
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 8 de 20 
Es una variante de la eliminación de Gauss. La principal diferencia consiste en que el método 
de Gauss-Jordan cuando se elimina una incógnita no solo se elimina de las ecuaciones 
siguientes sino de todas las otras ecuaciones. De esta forma, el paso de eliminación genera 
una matriz identidad en vez de una matriz triangular. Por consiguiente, no es necesario 
emplear la sustitución hacia atrás para obtener la solución. Para preservar exactitud aritmética 
suele usarse el pivoteo. 
Ejemplo 2: 
Resolvemos ahora el mismo problema del ejemplo 1 mediante el método de Gauss-Jordan. 
 
033
1233
132
321
321
321
=−+
=++−
−=−+
xxx
xxx
xxx
 
Solución: 
Se expresan los coeficientes y el vector de términos independientes como una matriz 
aumentada 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
0313
12231
1312
 
Se normaliza el primer renglón dividiéndolo por el pivote 2 para obtener 
 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
0313
12231
1 212321
 
El término se puede eliminar del segundo renglón restando -1 veces el primero del segundo 
renglón. De manera similar, restando 3 veces el primero del tercer renglón se elimina el término 
con del tercer renglón. 
1x
1x
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
2
3
2
3
2
1
2
23
2
1
2
7
2
1
2
3
2
1
0
0
1
 
Se normaliza el segundo renglón dividiéndolo entre 7/2. Reduciendo los términos en del 
primer y tercer renglón 
2x
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 9 de 20 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −−
14
44
14
22
7
23
7
1
14
30
14
22
00
10
01
 
El tercer renglón se normaliza dividiéndolo entre 22/14 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −−
2100
10
01
7
23
7
1
14
30
14
22
 
Los términos con se pueden reducir de la primera y segunda ecuación para obtener: 3x
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2100
3010
1001
 
Estrategia de pivoteo 
La eliminación de Gauss se aplica a un problema ideal sencillo con coeficientes no nulos. Sin 
embargo, el método no funciona si el primer coeficiente del primer renglón es igual a cero o si 
un coeficiente de la diagonal se anula en el proceso de solución, ya que se usan como 
denominadores en la eliminación hacia adelante. El problema se presenta también cuando el 
coeficiente es muy cercano a cero, pues un elemento pivote que es pequeño comparado con 
los elementos de debajo de él en la misma columna puede llevar a un error de redondeo 
sustancial. Se ha desarrollado una estrategia del pivoteo para evitar parcialmenteeste 
problema. 
Existen diferentes estrategias para la elección del pivote, según que la reordenación afecte sólo 
a las filas (pivoteo parcial) o tanto a las filas como a las columnas (pivoteo total). 
Las ecuaciones no se afectan, matemáticamente por cambios en el orden secuencial, pero el 
cambio de orden hace posible el cálculo cuando el coeficiente de la diagonal sea nulo. Aún 
cuando todos los coeficientes de la diagonal fueran nulos, los cambios de orden aumentan la 
exactitud de los cálculos. 
Si a pesar del pivoteo, es inevitable un elemento nulo en la diagonal, esto indica que el 
problema es de los que no tienen solución única. Si así ocurre, detenemos el esfuerzo del 
cálculo. 
Ejemplo 3: Resolver 
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 10 de 20 
 
542
63
210
321
321
32
=++
=−+
=+
xxx
xxx
xx
 
Solución: La expresión en arreglo de las ecuaciones es: 
 
5142
6131
21100
− 
No se puede eliminar el primer número de los renglones segundo y tercero debido a que el 
primer número del primer renglón es igual a cero. En nuestro primer pivoteo, se intercambia el 
primer y el último renglón. Algunos podrían intercambiar el primer y segundo, en vez de esto, 
se lleva el tercer renglón a la parte de arriba debido a que el primer número del tercer renglón 
tiene el mayor módulo (valor absoluto) de la primera columna. El hecho de llevar el número 
más grande de la columna a la posición diagonal tiene la ventaja de reducir el error de 
redondeo. Después de este pivoteo, el arreglo queda como: 
 
21100
6131
5142
− 
A continuación, eliminamos el primer número del segundo renglón restando a este el primero 
multiplicado por 1/2 
 2 4 1 5 
 0 1 -3/2 7/2 
 0 10 1 2 
El primer número del tercer renglón ya es igual a cero, por lo que procedemos a eliminar el 
segundo número, 10, del tercer renglón. Sin embargo, este número es mayor que el segundo 
número del segundo renglón (coeficiente de la diagonal). En general, como ya se ha 
mencionado, no es recomendable eliminar el número mayor en magnitud que el término de la 
diagonal. Por lo tanto, intercambiamos el orden de los renglones 2° y 3°: 
 2 4 1 5 
 0 10 1 2 
 0 1 -3/2 7/2 
Después eliminamos el segundo número del tercer renglón, con lo que el arreglo anterior se 
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 11 de 20 
transforma en 
 2 4 1 5 
 0 10 1 2 
 0 0 -16/5 33/5 
Los datos 2, 10 y -16/5 se llaman coeficientes de la diagonal o pivotes. 
Las sustituciones hacia atrás dan como resultado 
 x 3 = -2.0625 
 x 2 = ( 2 – x 3 ) / 10 = 0.4062 
 x 1 = ( 5- 4 x 2 – x 3 ) = 2.7187 
Las eliminaciones de Gauss Jordan también producen 
 
0625.2100
4062.0010
71875.2001
−
 
 
Problemas Sin Solución Única 
No siempre es posible resolver un conjunto de ecuaciones lineales en forma numérica. 
Para ecuaciones simultáneas, cada ecuación representa un plano en el sistema de 
coordenadas tridimensional. El punto donde se intersecten los planos representa la solución. 
Más allá de tres ecuaciones los métodos gráficos no funcionan, pero resultan útiles para 
visualizar propiedades de la solución. 
Los siguientes conjuntos de ecuaciones lineales son tres ejemplos sencillos, pero 
importantes. 
a) - x + y =1 
- 2x + 2y =2 
 
 
 
La segunda ecuación es el doble de la primera, por lo que matemáticamente 
son idénticas. Cualquier punto (x,y) que satisfaga una de las ecuaciones, también 
es solución de la otra. Por lo tanto, el número de soluciones es infinito. En otras 
palabras no existe una solución única. Si una ecuación es múltiplo de otra, o se puede 
obtener sumando o restando otras ecuaciones, se dice que esa ecuación es linealmente 
dependiente de las otras. 
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 12 de 20 
b) - x + y = 1 
- x + y = 0 
 
 
 
 
las dos ecuaciones son rectas paralelas que no se intersecan por lo que no existe 
solución. (Sistema inconsistente). 
 
c) - x + y =1 
x + 2y = -2 
2x - y = 0 
 
Un caso como el de c) no puede ocurrir si el número de ecuaciones es igual al número de 
incógnitas. 
Las condiciones necesarias para la existencia de una solución única son las siguientes: 
• El número de ecuaciones debe ser igual al número de incógnitas. 
• Cada ecuación es linealmente independiente; o en forma equivalente, ninguna ecuación 
se puede eliminar sumando o restando otras ecuaciones. 
 
Inversión de una matriz 
Si una matriz es cuadrada, entonces existe otra matriz, llamada la matriz inversa de , 
para el cual 
1−A A
 IAAAA == −− 11 
La inversa se puede usar para resolver un conjunto de ecuaciones simultáneas, si se toma 
 CAX 1−=
Se puede calcular la inversa de una matriz aplicando la eliminación de Gauss- Jordan, 
la matriz de coeficientes se aumenta con una matriz identidad . 
 
100
010
001
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
Entonces seguimos la eliminación de Gauss-Jordan exactamente en la misma forma que al 
resolver un conjunto de ecuaciones lineales. Cuando la mitad izquierda de la matriz aumentada 
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 13 de 20 
se reduce a una matriz identidad, la mitad derecha se convierte en A-1. 
DESCOMPOSICIÓN LU 
El esquema de descomposición LU es una transformación de una matriz A como 
producto de dos matrices, 
 A = LU 
donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior. Cuando uno 
debe resolver varios conjuntos de ecuaciones lineales en los que todas las matrices de 
coeficientes son iguales pero los términos no homogéneos (lado derecho) son distintos, la 
solución de las ecuaciones utilizando la descomposición LU tiende a ser más eficiente que la 
eliminación de Gauss. 
La descomposición LU para una matriz de 3x3 se ilustra de la manera siguiente: 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
33
2322
131211
333231
2221
11
333231
232221
131211
00
00
00
u
uu
uuu
lll
ll
l
aaa
aaa
aaa
Los 9 elementos conocidos de A se pueden usar para determinar parcialmente 6 elementos 
desconocidos de L y el mismo número de los de U. Sin embargo, si el procedimiento nos debe 
llevar a una solución única, se necesitan 3 condiciones adicionales para los elementos de L y 
de U. El método a usar en este ejemplo consiste en requerir arbitrariamente que 
, éste se conoce como el método de Doolittle. 1332211 === lll
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
33
2322
131211
3231
21
333231
232221
131211
00
0
1
01
001
u
uu
uuu
ll
l
aaa
aaa
aaa
Para evaluar y en la ecuación sin pivoteo, primero multiplicamos el primer renglón de L 
por cada columna de U y comparamos el resultado con el primer renglón de A. Tenemos 
entonces que el primer renglón de U es idéntico al de A: 
iju ijl
 3 ,2 ,1 11 == jau jj 
Multiplicamos el segundo y tercer renglón de L por la primera columna de U 
 y lo comparamos con el lado izquierdo para obtener 
 
11
21
21112121 u
alula =⇒= 
 
11
31
31113131 u
alula =⇒= 
Multiplicamos el segundo renglón de L por la segunda y tercera columnas de U y las 
comparamos con el lado izquierdo para obtener 
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 14 de 20 
1221222222122122 ulauuula −=⇒+= 
1321232323132123 ulauuula −=⇒+= 
Multiplicamos el tercer renglón de L por la segunda columna de U y tenemos 
 ( )
22
123132
322232123132 u
ulalulula −=⇒+= 
Finalmente, se obtiene multiplicando el último renglón de L por la última columna de U y lo 
igualamos como sigue 
33u
33a
 233213313333332332133133 ululauuulula −−=⇒++= 
El esquema general de la descomposición LU para una matriz de orden N es el siguiente: 
El primer renglón de U, para j = 1 hasta N, se obtiene por medio de iju
u1,j = a1,j j = 1 hasta N 
La primera columna de L, para i = 2 hasta N, se obtiene por medio de 1jl
Niu
al ij hasta 2 
11
1
1 == 
El segundo renglón de U se obtiene como 
Njulau jjj hasta 2 12122 =−= 
La segunda columna de L se obtiene mediante 
( ) Niu
ulal iii hasta 3 
22
1212
2 =
−= 
El n-ésimo renglón de U se obtiene de 
 Nnjulau
n
k
kjnknjnj hasta 
1
1
=−= ∑
−
=
La n-ésima columna de L se obtiene de 
 Nniu
ula
l
nn
n
k
knikin
in hasta 1 
1
1 +=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
∑
−
= 
Una vez obtenida la descomposición se resuelve el sistema lineal 
 CUXLLU == )()( X 
resolviendo sucesivamente los dos sistemas lineales triangulares 
 
 YUX
CLY
=
=
 
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 15 de 20 
 
Ejemplo 4: resolver 
033
1223
132
321
321
321
=−+
=++−
−=−+
xxx
xxx
xxx
 
Solución: 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
33
2322
131211
3231
21
00
0
1
01
001
313
231
312
u
uu
uuu
ll
l
Procedemos 
 3 ,2 ,1 11 == jau jj 3 ,1 ,2 131211 −===⇒ uuu 
 2
1 1 211121 −=⇒=− lul 2/72/133 22221221 =+=⇒+= uuul 
 2
3 3 311131 =⇒= lul 2/12/322 23231321 =−=⇒+= uuul 
 ( ) 7/12/7
2/311 3222321231 −=
−=⇒+= lulul 
 7/1133 23321331333323321331 =−−−=⇒++=− ululuuulul 
Resolvemos LY=C 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
0
12
1
17/12/3
012/1
001
3
2
1
y
y
y
7/2207/12/3
2/23122/1
1
3321
221
1
=⇒=+−
=⇒=+−
−=
yyyy
yyy
y
 
Ahora resolvemos por sustitución hacia atrás, UX=Y 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
7/22
2/23
1
7/1100
2/12/70
312
3
2
1
x
x
x
 
1132
32/232/12/7
2
1321
232
3
=⇒−=−+
=⇒=+
=
xxxx
xxx
x
 
Determinantes 
El determinante es un número importante asociado con toda matriz cuadrada. De hecho, un 
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 16 de 20 
conjunto no homogéneo de ecuaciones lineales no tiene una solución única, a menos que el 
determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de cero. Por otro lado, un conjunto 
homogéneo de ecuaciones lineales tiene más de una solución cuando el determinante es igual 
a cero. Hay muchas ocasiones en las que es necesario evaluar el determinante de una matriz. 
El determinante de una matriz A se denota por el det (A) y se define como 
∑ ±= rNkji aaaa ,,)()det( 321 KA 
donde la suma se hace sobre todas las permutaciones de los primeros subíndices de a, y (�) 
toma el signo más si la permutación es par y menos si la permutación es impar. 
Para una matriz de 2x2, el determinante de A se calcula como 
 21122211
2221
1211det)det( aaaa
aa
aa
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=A
Para una matriz de 3x3, el determinante es 
132231331221233211132113312312332211
333231
232221
131211
det)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
−−−++=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=A 
La regla para calcular el determinante de una matriz de 3x3 se conoce como la regla del 
espagueti. Esta regla no se pude extender a una matriz de orden mayor o igual que 4x4. 
Una forma práctica de calcular el determinante es utilizar el proceso de eliminación 
hacia delante en la eliminación de Gauss o, en forma alternativa, la descomposición LU 
descripta anteriormente. Primero haremos notar dos importantes reglas de los 
determinantes: 
Regla 1: det (BC) = det (B) det (C) 
Lo que significa que el determinante de un producto de matrices es el producto de los 
determinantes de todas las matrices. 
Regla 2: det (M) = el producto de todos los elementos de la diagonal de M, si M es una matriz 
triangular superior o inferior. 
Si no se utiliza el pivoteo, el cálculo del determinante mediante la descomposición LU es 
directo. Según la regla 1, el determinante se puede escribir como 
det (A) = det( LU) = det (L) det(U) = det(U) 
donde det (L) = 1 porque L es una matriz triangular inferior y todos los elementos de la 
diagonal valen 1. El det (U) es el producto de todos los elementos de la diagonal de U, que es 
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 17 de 20 
igual a det (A). 
También se puede calcular el determinante de una matriz durante el proceso de 
eliminación de Gauss. Esto se debe a que cuando se termina la eliminación hacia 
adelante, la matriz original se ha transformado en la matriz U de la descomposición LU. 
Por lo tanto, el determinante se puede calcular tomando el producto de todos los 
términos de la diagonal y multiplicando después por 1 o -1, según sea par o impar el 
número de operaciones de pivoteo realizadas, respectivamente. 
 
Problemas mal Condicionados 
En sentido matemático, los sistemas bien condicionados son aquellos en los que un cambio en 
uno o más coeficientes provoca un cambio similar en la solución. Los sistemas mal 
condicionados son aquellos en donde cambios pequeños en los coeficientes provocan cambios 
significativos en la solución. Una interpretación diferente del mal condicionamiento es que un 
rango amplio de respuestas puede satisfacer aproximadamente al sistema. Ya que los errores 
de redondeo pueden inducir cambios pequeños en los coeficientes, estos cambios artificiales 
puedengenerar errores grandes en la solución de sistemas mal condicionados. 
La inversa también suministra una manera de discernir cuando los sistemas están mal 
condicionados. 
La matriz A de un problema mal condicionado tiene las siguientes características: 
• Un ligero cambio de coeficientes (o elementos de la matriz) provoca 
cambios significativos en la solución. 
• Los elementos de la diagonal de la matriz de coeficientes tienden a ser menores 
que los elementos que no pertenecen a la diagonal. 
• El det ( A) det(A-1) difiere en forma significativa de 1. 
• El resultado de (A-1)-1 es muy distinto de A. 
• AA-1 difiere en grado sumo de la matriz identidad. 
• A-1 (A-1)-1 difiere más de la matriz identidad que lo que difiere AA-1. 
 
MÉTODOS ITERATIVOS 
Los métodos de eliminación directa analizados se pueden usar para resolver aproximadamente 
de 25 a 50 ecuaciones lineales simultáneas. Esta cantidad a veces se puede aumentar si el 
sistema está bien condicionado, si se emplea la estrategia pivotal o si la matriz es dispersa. Sin 
embargo, debido a los errores de redondeo, los métodos de eliminación algunas veces son 
inadecuados para sistemas muy grandes. En este tipo de problemas se pueden usar los 
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 18 de 20 
métodos iterativos o de aproximación con alguna ventaja. 
La razón por la cual los métodos iterativos son útiles en la disminución de los errores de 
redondeo en sistemas, se debe a que un método de aproximación se puede continuar hasta 
que converja dentro de alguna tolerancia de error previamente especificada. De esta forma, el 
redondeo no es un problema, ya que se controla el nivel de error aceptable. 
 
Método de Gauss - Seidel 
Supóngase que se ha dado un conjunto de n ecuaciones: 
 CAX =
si los elementos de la diagonal son diferentes de cero, la primera ecuación se puede resolver 
para , la segunda para , etcétera, lo que lleva a: 1x 2x
(d) 
 
(c) 
(b) 
(a) 
11,2211
22
32321313
3
22
23231212
2
11
13132121
1
nn
nnnnnn
n
nn
nn
nn
a
xaxaxac
x
a
xaxaxac
x
a
xaxaxac
x
a
xaxaxac
x
−−−−−−=
=
−−−−
=
−−−−
=
−−−−
=
L
MM
L
L
L
 
Ahora, se puede empezar el proceso de solución usando un valor inicial para las x. La solución 
trivial puede servir de valor inicial, esto es, todas las x valen cero. Estos ceros sustituyen en la 
ecuación (a), que se usan para calcular un nuevo valor de 1111 acx = . Luego, se sustituye el 
nuevo valor de , con aun en cero, en la ecuación (b) con lo cual se calcula un nuevo 
valor de . Este proceso se repite en cada una de las ecuaciones hasta llegar a la ecuación 
(d) la cual calcula un nuevo valor de . En seguida se regresa a la primera ecuación y se 
repite todo el proceso hasta que la solución converja. La convergencia se puede verificar 
usando el criterio 
1x nxx ,,3 K
2x
nx
 %100
1
j
i
j
i
j
i
i x
xx −
=∈
−
 para toda i en donde j y j-1 denotan la iteración actual y la anterior. 
 
 
 
 
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 19 de 20 
Veamos un esquema gráfico de la diferencia entre el método de Gauss – Seidel y el de Jacobi, 
en la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas 
Primera iteración 
11
13132121
1 a
xaxaxac
x nn
−−−−
=
L
 
11
13132121
1 a
xaxaxac
x nn
−−−−
=
L
 
22
23231212
2 a
xaxaxac
x nn
−−−−
=
L
 
22
23231212
2 a
xaxaxac
x nn
−−−−
=
L
 
22
32321313
3 a
xaxaxac
x nn
−−−−
=
L
 
22
32321313
3 a
xaxaxac
x nn
−−−−
=
L
 
Segunda iteración 
11
13132121
1 a
xaxaxac
x nn
−−−−
=
L
 
11
13132121
1 a
xaxaxac
x nn
−−−−
=
L
 
22
23231212
2 a
xaxaxac
x nn
−−−−
=
L
 
22
23231212
2 a
xaxaxac
x nn
−−−−
=
L
 
22
32321313
3 a
xaxaxac
x nn
−−−−
=
L
 
22
32321313
3 a
xaxaxac
x nn
−−−−
=
L
 
 
Criterio de convergencia 
Jacobi y Gauss-Seidel son similares al método de iteración de punto fijo. Recuérdese que la 
iteración de punto fijo tiene dos problemas fundamentales: 
a) algunas veces no converge 
b) cuando lo hace, es a menudo, muy lento. 
Estos métodos también pueden tener estas fallas. 
Una condición de convergencia es que los coeficientes sobre la diagonal de cada una de las 
ecuaciones sean mayor que la suma de los otros coeficientes en la ecuación. Una expresión 
cuantitativa de este criterio es: 
 ∑> ijii aa , 
En donde la sumatoria varía desde 1=j hasta n, excluyendo ij = . Esta ecuación es un 
criterio de convergencia suficiente pero no necesario. A los sistemas donde se cumple la 
ecuación se les conoce como diagonalmente dominante. 
Hay algunos casos del sistema CAX = en que la matriz de coeficientes no tiene dominancia 
diagonal pero ambos métodos convergen. Puede demostrarse que, si la matriz de coeficientes, 
A, es simétrica y definida positiva, entonces el método de Gauss – Seidel converge desde 
cualquier vector inicial. Cuando ambos métodos convergen, el método de Gauss – Seidel 
 
Facultad de Ingeniería 
 
 UNJu APUNTES 
 Año 2008 CALCULO NUMERICO- PROGRAMACIÓN APLICADA 
 
 
Pág. 20 de 20 
converge más rápido. 
BIBLIOGRAFÍA 
• Chapra Steven C., Canale Raymond P.; MÉTODOS NUMÉRICOS PARA 
INGENIEROS. Con aplicaciones en computadoras personales, 1996, 
 McGraw – Hill/Interamericana de México. 
• Burden Richard L., Faires J.Douglas; ANÁLISIS NUMÉRICO, 1996, Grupo Editorial 
Iberoamérica. 
• Gerald – Wheatley; ANÁLISIS NUMÉRICO CON APLICACIONES, 2000. 
• Nakamura Shoichiro, MÉTODOS NUMÉRICOS CON SOFTWARE, 1992, Pearson 
Educación.