Probabilidad _ Estadistica - Con Notas

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Unidad I - Probabilidad. 
 
 Experimento: Proceso que genera un conjunto de datos. 
 
 Espacio muestral: Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento 
estadístico. Se representa con el símbolo S. 
 
 Suceso o evento: Sub conjunto del espacio muestral. 
- Evento imposible: ∅ 
- Evento cierto: S 
- Suceso binario: {o,1} (dos resultados posibles) 
 
 Operaciones entre eventos (sucesos) 
 
 Suceso unión: 
- Mutuamente excluyentes: 𝐴 ∩ 𝐵 = 0 
- No son mutuamente excluyentes: 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ 0 
 Suceso intersección: 
- Independientes. Ej: Un dado. 
- No independientes -> condicionados. Ej: Mazo de cartas. 
 
 Complemento: A -> A῾; Ac 
 
Propiedad: Au AC 
 
 P(a) + P(Ac) = 1 
 
 
 
 
 
 Leyes de De Morgam: 
 
o 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 
o 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵 
 
 Probabilidad: Se calcula a los eventos para medir su incertidumbre. 
 
𝑃 𝐴 = 𝐾, 𝐾𝜖𝑅/ 
 1 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1 
 2 𝑃 𝑠 = 1 
 3 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 𝑐𝑜𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 = 0 
Leo
Nota adhesiva
P(A) = |A| / |S|
|A| = cantidad de resultados contenidos en A.
|S| = cantidad de resultados totales.
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 4 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 𝑐𝑜𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ 0 
 5 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑐𝑜𝑛 𝐴 𝑦 𝐵 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 
 
 
 Probabilidad compuesta: 
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃(𝐵|𝐴) 
 
 
 Probabilidad condicional: 
𝑃 𝐵 𝐴 =
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 
𝑃(𝐴)
 
 
 
 Consecuencias de la definición axiomatica (Probabilidad) 
 
 1 𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃 𝐴 
 2 𝑃 ∅ = 0 
 3 𝐴∁𝐵 => 𝑃 𝐴 ≤ 𝑃 𝐵 
 4 𝑃 𝐴 − 𝐵 = 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 
 
 Cantidad de combinaciones posibles: 
 
 
𝑛
𝐾
 (𝑛∁𝑟) 
 
Donde: 
 N: cantidad de objetos 
 K: grupos de “x” cantidad. 
 
 Permutaciones posibles: 
 
𝑛
𝐾
 (𝑛𝑃𝑟) 
 
Donde: 
 N: cantidad de objetos 
 K: grupos tomados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Leo
Nota adhesiva
P(A^ B) = P(B^ A) = P(B) P(A|B)

P(A^B^C) = P(A) P(B/A) P(C/(A^B)) 
Leo
Nota adhesiva
(6) P(A^B) U P(A^(-B)) = A
Leo
Nota adhesiva
Independencia de Sucesos:
Dos sucesos son independientes si:
*P(A^B) = P(A) P(B)
Se cumple también:
P(A) = P(A|B)
P(B) = P(B|A)
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 Teorema de Bayes. 
Si los eventos: 𝐵1, 𝐵2,…… , 𝐵𝑘 constituyen una partición del espacio 
muestral S, donde 𝑃 𝐵𝑖 ≠ 0∀𝑖 / 1 ,2,3. . 𝑘 entonces para cualquier evento A en 
S tal que 𝑃(𝐴) ≠ 0 se cumple: 
 
𝑃 𝐵𝑟 𝐴 =
𝑃 𝐵𝑟 ∩ 𝐴 
 𝑃(𝐵𝑖 ∩ 𝐴)𝐾𝑖=1
=
𝑃 𝐵𝑟 𝑃 𝐴 𝐵𝑟 
 𝑃 𝐵𝑖 𝑃 𝐴 𝐵𝑖 𝐾𝑖=1
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 1,2, … , 𝑘 
 
 
Demostración: 
 Por la definición de probabilidad condicional. 
 
 
 
𝑃 𝐵𝑟 𝐴 =
𝑃 𝐵𝑟 ∩ 𝐴 
𝑃(𝐴)
 
 
 
 
Si los eventos 𝐵1,𝐵2,…… , 𝐵𝑘 constituye una partición del espacio muestral S tal que 
𝑃(𝐵𝑖) ≠ 0 para i=1,2,3,….,k entonces cualquier evento de A de S: 
 
𝑃 𝐴 = 𝑃(𝐵𝑖 ∩ 𝐴)
𝐾
𝑖=1
= 𝑃 𝐵𝑖 𝑃(𝐴|𝐵𝑖)
𝐾
𝑖=1
 
 
Y con el teorema en el denominador: 
 
 
𝑃 𝐵𝑟 𝐴 =
𝑃 𝐵𝑟 ∩ 𝐴 
 𝑃(𝐵𝑖 ∩ 𝐴)𝐾𝑖=1
=
𝑃 𝐵𝑟 𝑃 𝐴 𝐵𝑟 
 𝑃 𝐵𝑖 𝑃 𝐴 𝐵𝑖 𝐾𝑖=1
 
 
 
 Si A y B son dos sucesos independientes 𝐴 𝑦𝐵 
también lo son. 
 
 
 
 
 
 
Fin tema: Probabilidad. 
 
 
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Unidad II – Variables aleatorias. 
 
 Variable aleatoria: Función que asocia un numero real con cada elemento del espacio 
muestral. 
 
- Representación: 𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝑊 
- Recorrido: 𝑅𝑥 = {0,1,2,… } 
- 𝑋: 𝑆 → 𝑅 
 
 
 Tipos de variables: 
- Discretas: Una variable aleatoria se llama: Varaible aleatoria discreta 
(V.A.D) si se puede contar su conjunto de resultados posibles. 
- Continuas: Una variable aleatoria cuyo conjunto de valores posibles es un 
intervalo completo de números no es discreta. 
 
 Funciones: 
 
- Función de probabilidad variable discreta. 
- Función de densidad de probabilidad variable continua 
- Función de distribución o probabilidad acumulada (V.D) 
- Función de distribución o probabilidad acumulada ( V.C) 
 
 
 Función de probabilidad variable discreta 
 
 
𝑓 𝑥 = 𝑃(𝑋 = 𝑥) 
 
 
El conjunto de pares ordenados (𝑥, 𝑓 𝑥 ) se llama función de probabilidad de la 
variable aleatoria discreta X. 
 
 
 Definición: 
 
 
El conjunto de pares ordenados (𝑥, 𝑓 𝑥 ) es una función de probabilidades o 
distribución de probabilidad de la variable aleatoria X si para cada resultado 
posible de X: 
 
- 𝐹 𝑥 ≥ 0 
- 𝑓 𝑥 = 1 
- 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑓 𝑥 
 
Leo
Nota adhesiva
- Uniforme en [a,b]:
a) f(x) = k si a <= x <= b. 
b) f(x) = 0 para otro x.
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 Función de densidad de probabilidad Variable continua. 
Definición: 
 
La función f(x) es una función de densidad de probabilidad para la variable 
aleatoria continua X, definida en el conjunto de números reales R si: 
 
- 𝑓 𝑥 ≥ 0 
- ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1+∞−∞ 
- 𝑃 𝐴 < 𝑥 < 𝐵 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝐵𝐴 
 
Nota: La probabilidad puntual es cero (0) 
 
 Función de distribución o probabilidad acumulada (V.D) 
 
Definición: 
La función de la distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria discreta 
X con distribución de probabilidad f(x) es: 
 
 
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑓(𝑡)𝑡≤𝑥 para −∞ < 𝑥 < ∞ 
 
 
 Función de distribución o probabilidad acumulada (V.C) 
 
Definición: 
La función de distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria continua X 
con función de densidad f(x) es: 
 
 
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = ∫ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥−∞ para −∞ < 𝑥 < ∞ 
 
 
 Esperanza o valor esperado de una variable aleatoria. 
 
Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) la media o valor 
esperado de X es: 
 
 
 
 
 
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- Si X es discreta: 
𝜇 = 𝐸 𝑥 = 𝑥 . 𝑓(𝑥)
𝑥
 
 
- Si S es continua: 
 
𝜇 = 𝐸 𝑥 = 𝑥 . 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
−∞
 
 
 Teorema: 
Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x). El 
valor esperado de la variable aleatoria g(x) es: 
 
 
- Si X es discreta: 
 
𝜇𝑔(𝑥) = 𝐸 𝑔 𝑥 = 𝑔(𝑥) . 𝑓(𝑥)
𝑥
 
 
- Si X es continua: 
 
𝜇𝑔(𝑥) = 𝐸 𝑔 𝑥 = 𝑔(𝑥) . 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
−∞
 
 
 
 Propiedades de la esperanza. 
 1 𝐸 𝑘 = 𝐾 
 2 𝐸 𝐾𝑋 = 𝐾 . 𝐸 𝑋 
 3 𝐸 𝑋 ∓ 𝑌 = 𝐸 𝑋 ∓ 𝐸 𝑌 
 4 𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 = 𝑎 . 𝐸 𝑋 ∓ 𝑏 . 𝐸 𝑌 
 5 𝐸 𝑋 . 𝑌 = 𝐸 𝑋 . 𝐸(𝑌) 
 
 Función distribución “Características” 
 
- Es una función continua 
- Es creciente 
- lim𝑥→−∞ 𝐹 𝑥 = 0 
- lim𝑥→+∞ 𝐹 𝑥 = 1 
 
 
 
 
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 Varianza. 
Si X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) y media E(µ); la variaza 
de x es: 
 
𝑉 𝑥 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸2(𝑋) 
 
 
 
Demostración: 
𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋 2 
𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 2𝑋𝐸 𝑋 + 𝐸2 𝑋 
𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋2 + 𝐸 −2𝑋𝐸 𝑋 + 𝐸 𝐸2 𝑋 
𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 2 𝐸 𝑋 𝐸 𝑋 + 𝐸2 𝑋 
𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸2 𝑋 
 
 Calculo de E(X2) 
 
- Variable aleatoria discreta: 
 
𝐸 𝑋2 = 𝑥2 . 𝑓(𝑥)
𝑥 𝑒 𝑅𝑥
 
 
 
- Variable aleatoria continua: 
 
𝐸 𝑋2 = 𝑋2 . 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
−∞
 
 
 Propiedades de varianza. 
 
 1 𝑉 𝐾 = 0 
 2 𝑉 𝐾𝑋 = 𝐾2 ∗ 𝑉 𝑋 
 3 𝑉 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎2 ∗ 𝑉 𝑋 𝑐𝑜𝑛 𝑎 𝑦 𝑏 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠. 
 4 𝑉 𝑋 + 𝑌 = 𝑉 𝑋 + 𝑉 𝑌 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑋 𝑒 𝑌 𝑠𝑜𝑛 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 
 5 𝑉 𝑋 − 𝑌 = 𝑉 𝑋 + 𝑉(𝑌) 
 
 Teorema 
 
Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x). La varianza 
de la variable aleatoria g(x) es: 
 
 
 
 
Leo
Nota adhesiva
(4)(5) Si no son independientes:
V(X+-Y) = V(X) + V(Y) +- 2 Cov (X,Y)
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- Si es discreta: 
 
𝜎𝑔(𝑥)2 = 𝐸 𝐺 𝑥 − 𝜇𝐺 𝑋 2 = 𝐺 𝑥 − 𝜇𝐺 𝑋 2 . 𝑓 𝑥 
𝑥
 
 
- Si es continua: 
 
𝜎𝑔(𝑥)2 = 𝐸 𝐺 𝑥 − 𝜇𝐺 𝑋 2 = 𝐺 𝑥 − 𝜇𝐺 𝑋 2 . 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
−∞
 
 
 
 Desvió estándar (dispersión) 
 
𝜎 = 𝑉(𝑥) 𝑐𝑜𝑛 𝜎 ≥ 0 
 
 
 
 
Fin tema: Variables Aleatorias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Leo
Nota adhesiva
Mediana: valor de una variable aleatoria que divide en dos partes iguales a las observaciones.

Discretas: 
Cantidades impares es el del medio.
Cantidades pares es el promedio de los dos del medio.

Continuas:
F(X) = 0.5
P(X>x) = P(X<x) = 0.5
Leo
Nota adhesiva
Covarianza:
Co(x,y) = E (xy) - E(x).E(y).

Propiedades: a,b,c,d constantes.
1) Cov(x,y) = Cov(y,x)
2) Cov(x,x) = V(x)
3) Cov(x+a,y) = Cov(x,y)
4) Cov(x,y+b) = Cov(x,y)
5) Cov(ax,y) a Cov(x,y)
6) Cov(x,by) = b Cov(x,y)
7) Cov(ax,by) = ab Cov(x,y)
8) Cov(ax+b,cy+d) = ac Cov(x,y)
9) Cov(x+y,z) = Cov(x,z) + Cov(y,z)
10) [Cov(x,y)]^2 = V(x).V(y)
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Unidad III – Distribuciones especiales. 
 
Tipos de distribuciones: 
 
 Distribuciones discretas: 
- Binomial 
- Hipergeométrica 
- Geometrica 
- Poisson 
 
 Distribuciones continuas: 
- Exponencial 
- Uniforme 
- Normal 
- Gamma 
 
 Distribución Binomial (pág 144 – Walpole) 
Características: 
 
(1) Sucesos dicotómicos: 
- Éxito (P) 
- Fracaso (Q) (me interesa que salga lo que quiero si no, no me importa) 
- 𝑃 𝐸 = 𝑝 
- 𝑃 𝑞 = 𝑄 
- 𝑄 = 1 − 𝑃 ; 𝑃 + 𝑄 = 1 
 
(2) Ocurre en “n” pruebas o repeticiones independientes. 
(3) Se mantiene probabilidad constante de prueba en prueba. 
(4) Se denota como: 𝑋~B(n, p) 
 Donde: 
 N: Cantidad de ensayos; 
 P: Probabilidad de éxito en 1 ensayo. 
 X: Numero de éxito en n eventos. 
(5) 𝑋~B n, p = b x, n, p 
 
𝑃 𝑋 = 𝑘 = 
𝑛
𝑥
 . 𝑃𝑥 . 1 − 𝑃 𝑛−𝑥 
 
 Donde: 
 K: éxitos 
 X: numero de … que … 
 
 
 
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(6) Esperanza: 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝 
(7) Varianza: 𝑉 𝑋 = 𝑛𝑝 1 − 𝑝 
 
 
 Distribución hipergeométrica. 
 
La distribución hipergeométrica encuentra aplicaciones en el muestreo de aceptación, 
donde lotes de material o las partes se muestran con la finalidad de determinar si se 
acepta o no el lote completo. 
 
Ej: Mazo de 40 cartas -> extraigo 8 -> 3 de oro; 5 cualesquiera. 
 
𝑃 𝑋 = 3;𝑌 = 5 =
𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
=
 103 
30
5 
 408 
 
Características: 
 
 
(1) Esperanza: 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑘
𝑁
 
 Donde: 
 N: Lote. 
 N: Elementos que tomo al azar. 
 K: Número de éxitos. 
(2) Varianza: 𝑉 𝑋 = 𝑁−𝑛
𝑁−1
 
 
 
 Distribución de Poisson. 
Características: 
 
(1) Sucesos raros que suceden en un continuo. 
 
Continuo: 
- Temporal 
- Espacial: longitud, superficie, volumen. 
 
(2) La variable aleatoria X es el número de sucesos raros que ocurren en un continuo. 
(3) Recorrido: 𝑅𝑥 = 0,1,2,3,4,… . . , 𝑛… . . 
(4) Parámetro: λ (lambda) –> Valor esperado. 
(5) Se expresa como: 𝑋~Poi λ con λ > 0 
 
Leo
Nota adhesiva
X~Poi(λ.t) λ.t > 0 En la tabla buscar como λ.t
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𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝑒−λt
 λt k
𝐾!
 
 
 Donde: 
 K: Prob. Que llegue ese valor. 
 
 
(6) Esperanza: 𝐸 𝑋 = λ 
(7) Varianza: 𝑉 𝑋 = λ con λ > 0 
 
 Distribución uniforme. 
 
Características: 
 
(1) Se expresa como: 𝑋~Unif a, b 
(2) La función de densidad de la variable aleatoria uniforme continua X en el intervalo 
[a,b] es: 
 
 
𝑓 𝑥, 𝑎, 𝑏 = 
1
𝐵 − 𝐴
 𝑠𝑖 𝐴 ≤ 𝑋 ≤ 𝐵
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
 
 
 
Nota: La función de densidad forma un rectángulo con base B-A la altura: 𝟏
𝑩−𝑨
 
 
 
(3) Esperanza: 𝐸 𝑋 = 𝑎+𝑏
2
 
(4) Varianza: 𝑉 𝑋 = 𝑏−𝑎 
2
12
 
 
 
 
 Distribución exponencial. 
 
Aplicación: 
- Tiempo medio entre fallas. 
- Cantidad de continuo entre eventos de Poisson. 
 
 
 
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Características: 
 
(1) Se expresa como: 𝑋~exp⁡(α) 
(2) Función de distribución exponencial: 
 
 
𝑓 𝑥 = 𝛼𝑒
−𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 0
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
 (Función densidad) 
 
 
(3) Esperanza: 𝐸 𝑋 = 1
𝛼
 
(4) Varianza: 𝑉 𝑋 = 1
𝛼2
 
 
 
(5) Función de probabilidad acumulada o distribución. 
 
 
𝐹 𝑋 = 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜1 − 𝑒−𝛼𝑡 𝑠𝑖 𝑥 > 0
 
 
 
(6) Propiedad Pérdida de memoria. 
 
Sea: 𝑋~exp⁡(α) 
𝑓 𝑥 = 𝛼𝑒
−𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 0
0 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
 
Entonces: 
 
𝑃 𝑥 > 𝑎 + 𝑏 𝑥 > 𝑏 = 𝑒−𝛼𝑎 = 𝑃(𝑋 > 𝑎) 
 
 
 Relación Poisson con exponencial. 
 
Sea: 𝑋~Poi λ y 𝑇~ exp 𝛼 
 
Relación: λ = 𝛼 
 
 Covarianza: 
 
𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋)(𝑌 − 𝐸 𝑌] 
 
 
 
 
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 Distribución normal. 
 
Características: 
 
(1) Se expresa como: 𝑋~N⁡(μ,σ) 
(2) Características: 
 
- Grafica: Campana de Gauss 
- Área total bajo la curva = 1 
- Área a cada lado de 𝑋 = 𝜇 = 0,5 
- Curva simétrica respecto de 𝑋 = 𝜇 
- La curva es asintótica al eje X. 
- ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+∞−∞ = 1 
 
(3) Función que la describe: 
 
 
𝑓 𝑥 =
1
 2𝜋 . 𝜎
 𝑒−
1
2 
𝑥−𝜇
𝜎 
2
 𝑐𝑜𝑛 𝑥 𝜖𝑅 
 
 
 
 Distribución Normal estándar. 
 
(1) Se expresa como: 𝑍~⁡(0,1) 
(2) 𝜇 = 0 
(3) 𝜎 = 1 
(4) Función que describe: 
 
 
𝑓 𝑧 =
1
 2𝜋
𝑒−
1
2 𝑧
2
 𝑐𝑜𝑛 𝑧 ∈ 𝑅 
 
 
(5) Propiedad: Pasaje de normal a normal estándar. 
 
 
Si 𝑋 ~𝑁 𝜇, 𝜎 => 𝑍 = 𝑋−𝜇
𝜎
~𝑁 0,1 ∴ 𝑋 = 𝜎𝑍 + 𝜇 
 
 
 
 
 
Leo
Nota adhesiva
Media, Esperanza, Valor Esperando:μ = E(x)
Leo
Nota adhesiva
Para buscar en tabla:
z = ( x-u) / o

(Creo que al pasarlo a z se está estandarizando, tema que está explicado abajo, pero tengo mis dudas)
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 Distribución Gamma. 
 
Función que la describe: 
 
 
𝑓 𝑥 𝛼, 𝛽 = 
1
𝛽 𝜗 𝛼 
 
𝑥
𝛽
 
𝛼−1
𝑒−
𝑥
𝛽 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≥ 0
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
 
 
Características: 
 
(1) Se expresa como: 𝑋~𝜗⁡(𝛼, 𝛽) 
 
 Donde: 
 α: Parámetro de la forma. 
 Β: Parámetro de la escala. 
 
(2) Función gamma: 
 
𝜗 𝛼 = 𝑥𝛼−1
+∞
0
𝑒−𝑥𝑑𝑥 
 
 
(3) Esperanza: 𝐸 𝑋 = 𝛼𝛽 
(4) Varianza: 𝑉 𝑋 = 𝛼𝛽2 
 
 
Fin tema: Distribuciones Especiales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Leo
Nota adhesiva
Para valores Alfa perteneciente a los naturales:
Función Gama (α) = (α- 1)!
Leo
Nota adhesiva
Gamma a Poisson:
P(X <= x) = G (y = alfa ; alfa = x / beta) = 1 - F (alfa-1 ; x / beta)
 Po Po

Tener en cuenta al calcular Poisson que es discreta, (importa el igual)
P(Y >= y) = 1 - F(Y = y-1).
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Unidad IV – Estimación. 
 
 Estadística inferencial: 
- Estimadores puntuales. 
- Intervalos de confianza. 
- Test de hipótesis. (Unidad V) 
 
 Estadística descriptiva: 
- Media muestral. 
- Varianza muestral. 
- Desvió estándar. 
- Mediana 
- Moda o modo 
- Coeficiente de variabilidad. 
- 
Nota: La estadística descriptiva se ocupa del análisis de datos. Representación del 
resultado de un experimento. 
 
 
 Población: Totalidad de observaciones que nos interesan, de número finito o infinito. 
 
 Muestra: Sub-conjunto de la población. 
 
Nota: Si se eligen muestras seleccionando a los miembros más convenientes de la 
población puede producir una estimación errónea con respecto a la población. 
Cualquier procedimiento que sobreestime o subestime alguna característica de la 
población se dice que esta “SESGADO” para eliminar el sesgo se toman muestras de 
forma aleatoria. 
 
 Definición: 
Sean X1, X2, …, Xn variables aleatorias independientes, cada una con la 
misma distribución de probabilidad (I.I.D) f(x). Definimos X1, X2, …, Xn 
como una muestra aleatoria de tamaño n de la población f(x) y 
escribimos su distribución de probabilidad conjunta como: 
 
𝐹 𝑋1,𝑋2,… . 𝑋𝑛 = 𝑓 𝑋1 𝑓 𝑋2 … . . 𝑓 𝑋𝑛 
 
 
 
 
 
 
 
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 Media de la muestra: 
Si X1,X2,…,Xn representa una muestra aleatoria de tamaño n, entonces 
la media de la muestra se define mediante el estadístico: 
 
𝑋 =
 𝑋𝑖𝑛𝑖=1
𝑛
 
 
Donde: 𝑋 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎. 
 
 Definición: 
Cualquier función de las variables aleatorias X1, X2, …, Xn que forman 
una muestra aleatoria se llama ESTADISTICO. 
 
 Mediana de la muestra: 
 
El que está en el medio de la muestra. 
Se busca el valor: 𝑋 = 𝑛
2
 
 
 Moda o Modo: 
 
Valor de la serie de mayor frecuencia, nomenclatura: 𝑋 
 
 Varianza de la muestra: 
 
La variabilidad en la muestra es como se dispersan las observaciones a partir 
del promedio. 
 
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑘 ∗
1
𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎
 
 Definición: 
 
Si X1, X2, …, Xn representa una muestra aleatoria de tamaño n, entonces la 
varianza de la muestra se define con el estadístico: 
 
𝑆2 = 
 𝑋𝑖 − 𝑋 2
𝑛 − 1
𝑛
𝑖=1
 
 
 
 
 
 
 
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 Desviación estándar de la muestra: 
 
La desviación estándar de la muestra que se denota con S, es la raíz cuadrada 
positiva de la varianza de la muestra. 
 
𝑆 = 𝑆2 
 
 Coeficiente de variabilidad. 
 
𝐶. 𝑉 =
𝐷𝑒𝑠𝑣í𝑜
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎
=
𝑆
𝑋 
 
 
 Serie de frecuencia de datos: 
 
- Frecuencia absoluta: 𝑛𝑖 (del dato 𝑥𝑖) 
- Frecuencia relativa: 𝑛𝑖
𝑛
 donde n: total de datos. 
 
 Definición: 
Como un estadístico es una variable aleatoria que depende solo de la 
muestra observada, debe tener una distribución de probabilidad. La 
distribución de probabilidad de un estadístico se llama distribución 
muestral. La distribución de probabilidad de 𝑋 se llama distribución 
muestral de la media, está depende del tamaño de la población y del 
método de elección de datos. 
 
 Distribuciones muestrales: 
- Normal 
- Chi-Cuadrado 
- T-Student 
- F-Snedecor 
 
 Estimadores puntuales: 
 
Dado (X1, X2, …, Xn) llamamos estamiador 𝜃 a cualquier función de la muestra 
aleatoria. 
 
 
 
 
 
 
 
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Parámetro 
(Fijo y desconocido) 
Estimador 
(Variable aleatoria) 
µ 𝑋 
𝜎2 𝑆2 
λ 𝑋 
p 𝑝 
 
 
 Propiedad. 
 
{X1,X2,…,Xn} Muestra aleatoria de tamaño n (V.A.I.I.D) 
 
∀𝑖 : 𝐸 𝑋𝑖 = 𝜇 
 𝑉 𝑋𝑖 = 𝑆2 
 
𝑆𝑖 𝑋 =
 𝑋𝑖𝑛𝑖=1
𝑛
 
 
𝐸 𝑋 = 𝐸 𝑋 
 
 
 Propiedades (deseables) de Estimadores Puntuales: 
 
(1) Insesgamiento: 
 
𝑠𝑒𝑠𝑔𝑜 𝜃 = 𝐸 𝜃 − 𝜃 
 
 
𝜃 es insesgado si 𝑠𝑒𝑠𝑔𝑜 𝜃 = 0 
 
 
(2) Eficiencia relativa: 
 
Si 𝜃 1y 𝜃 2 son dos estimadores insesgados de 𝜃, decimos que 𝜃 1 es más 
eficiente que 𝜃 2 si 𝑉𝑎𝑟(𝜃 1) < 𝑉𝑎𝑟(𝜃 2) 
 
 
 
 
 
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 Propiedad: 
{X1,X2,…,Xn} V.A.I.I.D muestra aleatoria de tamaño “n” 
 
𝑉 𝑋 =
𝜎2
𝑛
 
 
 
 Desvió estándar: 
𝜎𝑋 =
𝜎
 𝑛
 
 
 
 Error cuadrático medio: 
 
𝐸. 𝐶. 𝑀 𝜃 = 𝐸 𝜃 − 𝜃 2 
 
 
 Distribución Media muestral (NORMAL) 
 
(1) Distribución exacta. 
 
-𝐸 𝑋 = 𝜇 
- 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎
2
𝑛
 
 
(X1,X2,…,Xn) 𝑋𝑖~𝑁 𝜇, 𝜎 
 
Si 𝑋𝑖~𝑁 𝜇, 𝜎 entonces la variable media muestral se distribuye en 
forma exactamente normal. 
 
𝑋 ~𝑁(𝜇,
𝜎
 𝑛
) 
 
(2) Distribucion asintótica. 
 
Teorema central del límite (VER HOJA DE FORMULAS) 
 
 Sean (X1,X2,…,Xn) una sucesión de variables aleatorias independientes 
e idénticamente distribuidas (I.I.E.D) tales que 𝐸 𝑋𝑖 = 𝜇 y 𝑉 𝑋𝑖 = 𝜎2 
 
𝑋 → 𝑁 𝜇,
𝜎
 𝑛
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 (𝑛 ≥ 30) 
 
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 Distribución Chi-Cuadrado. 
 
Si S2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n que se toma de una 
población normal que tiene la varianza 𝜎2, entonces el estadístico: 
 
≄ ~
 𝑛 − 1 𝑆2
𝜎2
 
 
𝐻 =
 𝑛 − 1 𝑆2
𝜎2
~ ≄𝑛−12 
 
 Distribución T-Student. 
 
Aplicación: Se utiliza para inferencia sobre la media poblacional cuando 𝜎2 es 
desconocido. 
Si 𝑛 → +∞ 𝑛 ≥ 30 entonces 𝑇 → 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 
 
𝑋 ~𝑁 𝜇,
𝜎
 𝑛
 
 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎
 𝑛
 ~𝑁𝑜𝑟(0,1) 
 
 Distribución de 𝑝 
 
𝑝 =
 𝑋𝑖𝑛𝑖=1
𝑛
 
 
 
- Esperanza de 𝑝 : 𝐸 𝑝 = 𝑝 
 
- Varianza de 𝑝 :𝑉𝑎𝑟 𝑝 = 𝑝𝑞
𝑛
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Intervalos de confianza. 
La estimación por intervalo de un parámetro poblacional 𝜃 es un intervalo de la 
forma 𝜃𝑙 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃𝑙 donde 𝜃𝑙 𝑦 𝜃𝑙 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝜃. 
A medida que se aumenta el tamaño de la muestra, nuestra estimación está 
más cerca del parámetro lo cual tiene como resultado un intervalo más 
pequeño. 
De esta manera, el intervalo estimado, indica por su longitud, la precisión de la 
estimación puntual. 
 
Tipos: 
(1) Intervalo de confianza para la media poblacional. 
(2) Intervalo de confianza par la media poblacional con 𝜎2 desconocido. 
(3) Intervalo de confianza para la proporción P. 
(4) Intervalo de confianza para la varianza poblacional. 
 
 Intervalo de confianza para estimar la media poblacional. 
 
- Muestra aleatoria {X1,X2,….,Xn} V.A.I.I.D 
- 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎) con 𝜇 desconocida y 𝜎 conocida. 
- Estimador: 𝑍 = 𝑋
 −𝜇 
𝜎
 𝑛
~𝑁(0,1) 
 
 
 𝐼: (𝑋 − 𝑍1−𝛼2
 𝜎
 𝑛
; 𝑋 + 𝑍1−𝛼2
 𝜎
 𝑛
 ) 
 
 Observaciones: 
 
(1) El intervalo de confianza está centrado en 𝑋 
(2) Longitud del intervalo: 2 . 𝑍1−𝛼2
 𝜎
 𝑛
 
(3) Si aumento la muestra -> disminuye la longitud del intervalo. 
(4) Error: 𝜖 = 𝑍1−𝛼2
 𝜎
 𝑛
 
 
 Intervalo de confianza para la media poblacional con 𝜎2 desconocido. 
 
- Estimador: 𝑇 = 𝑋
 −𝜇 
𝑠
 𝑛
~𝑇𝑛−1 
 
𝐼: (𝑋 − 𝑇𝛼
2
 
𝑠
 𝑛
; 𝑋 + 𝑇𝛼
2
 
𝑠
 𝑛
) 
 
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 Intervalo de confianza para la proporción p. 
 
- Estimador: 𝑍 = 𝑝 −𝑝
 𝑝𝑞𝑛
~𝑁(0,1) 
 
𝐼: (𝑝 − 𝑍1−𝛼2
 
𝑝 𝑞 
𝑛
; 𝑝 + 𝑍1−𝛼2
 
𝑝 𝑞 
𝑛
) 
 
 
 
 Intervalo de confianza para la varianza poblacional. 
 
- Estimador: 𝑛−1 ∗𝑠
2
𝜎2
~ ≄𝑛−12 
 
𝐼: (
 𝑛 − 1 ∗ 𝑠2
≄𝛼
2
2 ;
 𝑛 − 1 ∗ 𝑠2
≄
1−𝛼2
2 ) 
 
 
 
 Relación entre error y confiabilidad: 
 
- Para n: fijo mayor precisión -> menor confiabilidad y viceversa. 
- Si se quiere mejorar la precisión sin perder confiabilidad debe aumentarse 
el tamaño de la muestra. 
- Intervalo más amplio -> mayor longitud. 
 
 
 
Fin tema: Estimaciones e intervalos de confianza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Unidad V – Prueba de hipótesis. 
 
 Hipótesis: 
 
Una hipótesis estadística es una conjetura (información) acerca de un 
parámetro poblacional con respecto a una o más poblaciones. 
 
Nota: La verdad o falsedad de una hipótesis nunca se sabe con absoluta 
certidumbre, a menos que se examine toda la población algo poco práctico. 
 
 Papel de probabilidad en la prueba de hipótesis: 
 
El rechazo de una hipótesis implica que la evidencia de la muestra la refuta. 
Por otro lado significa que hay una pequeña probabilidad de obtener la 
información muestral observada cuando, de hecho, la hipótesis es verdadera. 
El planteamiento de una hipótesis está influido por la estructura de la 
probabilidad de una conclusión errónea. 
 
Ej: Para probar que un medidor es más preciso que otro el ingeniero prueba la 
hipótesis de que no hay diferencia en la precisión de los dos tipos de 
medidores. 
 
 Hipótesis nula e hipótesis alternativa. 
 
- Hipótesis nula: 
Se refiere a cualquier hipótesis que deseamos probar y se denota 
con H0. 
 
Nota: El rechazo de H0 conduce a la aceptación de una hipótesis 
alternativa que se denota con H1. 
 
- Hipótesis alternativa: 
 
Representa la pregunta que debe responderse, la teoría que debe 
probarse y, por ello, su especificación es muy importante. 
 
Nota: La hipótesis nula H0 anula o se opone a H1 
 
 
 
 
 
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 Conclusión del análisis. 
 
(1) Rechazo H0: A favor de H1 debido a evidencia suficiente en los datos. 
(2) No rechazo H0: Debido a evidencia insuficiente en los datos. 
 
 Decisiones en hipótesis. 
 
Dos decisiones: 
 
 Rechazo H0: 
 
- Siendo H0 falsa -> CORRECTO 
- Siendo H0 verdadera -> ERROR TIPO I 
 
 Acepto H0: 
 
- Siendo H0 falsa -> ERROR TIPO II 
- Siendo H0 verdadera -> CORRECTO 
 
 Error tipo I: 
El rechazo de la hipótesis nula cuando es verdadera. 
 
 Error tipo II: 
 
No rechazar hipótesis nula cuando es falsa. 
 
 Probabilidades. 
 
- P rechazar H0 falsa = potencia del test = 1 − β 
- P rechazar H0 verdadera = nivel de significación = α 
- P aceptar H0 falsa = β 
- P aceptar H0 verdadera = 1 − α 
 
Nota: 
Si para un tamaño de muestra fijo: 
Si reducimos la probabilidad de cometer un error de tipo II, aumenta la 
probabilidad de cometer un error de tipo I. 
La probabilidad de cometer ambos errores se puede disminuir al 
aumentar el tamaño de la muestra. 
 
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 Propiedades importantes. 
 
- Los errores de tipo I y II están relacionados. Por lo general una disminución 
en la probabilidad de uno tiene como resultado un incremento en la 
probabilidad del otro. 
- El tamaño de la región critica y, por lo tanto, la probabilidad de cometer 
un error de tipo I, siempre se puede reducir al ajustar el (los) valor (es) 
critico (s). 
- Un aumento en el tamaño muestral n reducirá a α y β de forma 
simultánea. 
- Si la hipótesis nula es falsa, β es máximo cuando el valor real de un 
parámetro se aproxima al valor hipotético. Cuanto más grande sea la 
distancia entre el valor real y el valor hipotético, β será menor. 
 
 
 Potencia del test. 
 
La potencia de una prueba (α) es la probabilidadde rechazar H0 dado que una 
alternativa específica es verdadera, se puede calcular como: 1-β 
 
 Test o prueba de hipótesis para la media (de una población) con varianza conocida. 
 
- Estadístico de prueba: 𝑍 = 𝑋
 −𝜇0
𝜎
 𝑛
 ~𝑁𝑜𝑟(0,1) 
- Casos: 
 
 
Caso 1 
 
 
Caso 2 
 
Caso 3 
 
 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0𝐻1:𝜇 > 𝜇0
 
 
 
 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0𝐻1:𝜇 < 𝜇0
 
 
 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0𝐻1:𝜇 ≠ 𝜇0
 
 
 
 
Para los test restantes solo variará el estadístico de prueba, según los estimadores 
vistos en cada uno de los intervalos de confianza. 
 
 
 
 
 
 
 
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 Valor y cálculo del P-Valor. 
 
 
𝑃 𝑋 > 𝑋0 ; 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜇 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 =
𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟
2
 
 
 
 
Nota: 
- Si P-valor > α: no rechazo H0. 
- Si P-valor ≤ α: rechazamos H0 
 
 
Fin tema: Prueba de hipótesis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Unidad VI – Regresión Lineal. 
 
Nota: Este es un tema el cual se puede resolver en su totalidad con la tabla de fórmulas 
y la calculadora, en el apunte figura una introducción mínima para poder resolver 
ejercicios y entender la tabla. 
 
 
 Recta de regresión poblacional: 
𝑌 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋 
 
 Obtención de los coeficientes de la recta: 
 
- 𝑏1 = 𝑆𝑥𝑦
𝑆𝑥𝑥
 
 
- 𝑏0 = 𝑌 − 𝑏1𝑋 
 
 
 Cantidades básicas que se calculan. 
 
 
𝑋 =
1
𝑛
 𝑋𝑖 𝑌 =
1
𝑛
 𝑌𝑖 
 
𝑆𝑥𝑥 = 𝑋𝑖 − 𝑋 2 𝑆𝑦𝑦 = 𝑌𝑖 − 𝑌 2 
 
 𝑆𝑥𝑦 = 𝑋𝑖 − 𝑋 𝑌𝑖 − 𝑌 
 
 
 Coeficiente de determinación: 
 
𝑟2 =
𝑆𝐶𝑒𝑥𝑝
𝑆𝐶𝑡𝑜𝑡
 
 
 Coeficiente de correlación lineal: 
𝑟 =
𝑆𝑥𝑦
 𝑆𝑥𝑥𝑆𝑦𝑦
 
 
 
Fin tema: Regresión Lineal.