Anual Uni Semana 28 - Aritmetica

Vista previa del material en texto

ARITMÉTICA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo : Anual Virtual UNI
Docente: Ramiro Díaz Vásquez
CLASIFICACIÓN 
DE LOS 𝚭+ - II
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
Objetivos 
• Estudiar los divisores positivos de los
números enteros positivos.
• Conocer y aplicar las formulas para
hallar cantidad, suma, suma de
inversas y producto de divisores.
Con tarjeta CHIPLEY
• Conocer y aplicar la función de Euler.
Si 𝒂 𝒚𝒎 𝒔𝒐𝒏 𝑷𝑬𝑺𝑰
𝒂𝝋(𝒎) = ሶ𝒎+ 1
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
En este capítulo vamos a estudiar las
características de los divisores de los
números enteros positivos, tales como su
cantidad de divisores, la suma de divisores
la suma de inversas y el producto de sus
divisores. Así como la aplicación de estás
características en algunos problemas.
Además también se va a estudiar la función
de Euler y sus aplicaciones.
C U R S O D E A R I T M É T I C A
INTRODUCCIÓN 
Leonard Euler
(1707 – 1783)
ESTUDIO DE LOS 
DIVISORES POSITIVOS 
DE UN NÚMERO
ENTERO
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
TABLA DE DIVISORES
72= 23 X 32 (DC)
d
i
v
i
s
o
r
e
s
1
2
22
23
1
3
32
1 2 𝟐𝟐 𝟐𝟑
1
3
𝟑𝟐
1 2 4 8
3 6 12 24
9 18 36 72
3
divisores
4
divisores
CD(72)= 3 x 4 = 12
ESTUDIO DE LOS DIVISORES
Sea 𝑁 = 𝑎𝛼 x 𝑏𝛽 x 𝑐𝛾 (DC)
A partir de ahí se definirá
CD(𝑁) = (𝛼 + 1). 𝛽 + 1 . (𝛾 + 1)
CANTIDAD DE DIVISORES CD(N)
Ejemplo
72= 23 X 32
Divisores simples: 1, 2, 3
Divisores primos: 2, 3
CD(72)= (3+1) x (2+1) = 12
CD(N) = +CD(simples) CD(compuestos) 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
APLICACIÓN
Dado el número : N=25x 33x 53x 7x 13 (DC)
Determine cuántos de sus divisores son:
A. Primos, simples, compuestos.
B. Múltiplos de 6
D. Son PESI con 15
E. Terminan en un cero
F . Son PESI con 55
G . Son cuadrados perfectos
C. Múltiplos de 6 pero no de 9
RESOLUCIÓN
A. Primos, simples, compuestos.
De N=25x 33x 53x 7x 13 (DC)
𝐶𝐷(𝑁)𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠 = 5 𝐶𝐷(𝑁)𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 = 6
CD(N)= (5+1) x (3+1) (3+1)(1+1)(1+1)= 384 
CD(N) = +CD(simples) CD(compuestos) 
384 = 6 + CD(compuestos) 
CD(compuestos)= 378
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
De la DC, se extrae el factor 6 con la finalidad de
garantizar, divisores múltiplos de 6.
B. Múltiplos de 6
De N=25x 33x 53x 7x 13 (DC)
Sacando factor 6 se tendrá
N= 𝟔 (24x 32x 53x 7x 13)
Genera divisores múltiplos de 6
𝐶𝐷(𝑁) ሶ6 = (4+1) x (2+1) (3+1)(1+1)(1+1)
𝐶𝐷(𝑁) ሶ6 = 240
Se podría aprovechar para saber cuantos de los divisores no son
múltiplos de 6
𝐶𝐷(𝑁) ሶ𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 ሶ6 = 384 – 240 = 144
C. Múltiplos de 6 pero no de 9
De la DC, se extrae el factor 6 con la finalidad de garantizar,
divisores múltiplos de 6; pero ya no podrá quedar el factor
primo 3 ya que no deben ser múltiplos de 9
De N=25x 33x 53x 7x 13 (DC)
Sacamos factor 6 sin dejar en el paréntesis factor 3
N= 𝟔 (24x 53x 7x 13)x 32
Genera divisores múltiplos de 6 pero no de 9
𝐶𝐷(𝑁) ሶ6≠ ሶ9 = (4+1) (3+1)(1+1)(1+1)
𝐶𝐷(𝑁) ሶ6≠ ሶ9 = 80
N= 𝟔 (24x 32x 53x 7x 13)
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C AC U R S O D E A R I T M É T I C A
D. Son PESI con 15
Para generar divisores PESI con 15 no debe haber ni factor 3 ni 5
De N=25x 33x 53x 7x 13 (DC)
No tomaremos en cuenta ni al factor 3 ni al 5
N= (24x 7x 13) 32x 53
Genera divisores PESI con 15
𝐶𝐷(𝑁) 𝑃𝐸𝑆𝐼 𝑐𝑜𝑛 15 = (4+1)(1+1)(1+1)
𝐶𝐷(𝑁) 𝑃𝐸𝑆𝐼 𝑐𝑜𝑛 15 = 20
E. Terminan en cero
Para que terminen en cero debe de tener factor 10= 2 x 5
De N=25x 33x 53x 7x 13 (DC)
Extraemos factor 2 y 5
N= 𝟏𝟎 (24x 33x 52x 7x 13)
Genera divisores que terminan en cero( múltiplos de 10)
𝐶𝐷(𝑁) 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑒𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜 = (4+1)(3+1)(2+1)(1+1)(1+1)
𝐶𝐷(𝑁) 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑒𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜 = 240
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
F . Son PESI con 55
Como 55 = 5 x 11 ; para que se generen divisores PESI con 55, en
N deberíamos obviar al factor 5 ya que factor 11 no tiene.
De N=25x 33x 53x 7x 13 (DC)
No se considerará al factor 5
N=(25x 33x 7 x 13 )x 53
Genera divisores PESI con 55
𝐶𝐷(𝑁) 𝑃𝐸𝑆𝐼 𝑐𝑜𝑛 55 = (5+1)(3+1)(1+1)(1+1)
𝐶𝐷(𝑁) 𝑃𝐸𝑆𝐼 𝑐𝑜𝑛 55 = 96
G . Son cuadrados perfectos
Para generar divisores cuadrados perfectos; garantizamos en la
base factores primos al cuadrado.
De N=25x 33x 53x 7x 13 (DC)
Dando le forma a las bases
N=(22)2 (32)1 (52)1x 2 x 3 x 5 x 7 x 13 
Genera divisores cuadrados perfectos
𝐶𝐷(𝑁) 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 =(2+1)(1+1)(1+1)
𝐶𝐷(𝑁) 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 = 12
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
APLICACIÓN
¿Cuántos ceros se deben agregar a la derecha de 9 para
que el resultado tenga 239 divisores compuestos?
Resolución 
Sean n la cantidad de ceros que se agrega
A = 9 0 0 … 0 0 
n ceros
= 9 × 10n = 32 × 2n × 5n
De la descomposición canónica de A.
= 32 × 2n × 5nA 
CD(simples) 4 =
CD(compuestos) 239 =
CD(A) 243 =
Donde CD(A) 243 = (n+1) (n+1) = ××3
81 (n+1) (n+1) = ×
8 = n
Respuesta: 8
SUMA DE DIVISORES SD(N)
𝑆𝐷(𝑁) = 1 + 𝑎 +⋯+ 𝑎𝛼 1 + 𝑏 +⋯+ 𝑏𝛽 1 + ⋯+ 𝑐𝜃
también
SD(N)=
𝑎𝛼+1−1
𝑎−1
𝑏𝛽+1−1
𝑏−1
𝑐𝜃+1−1
𝑐−1
Ejemplo
72= 23 X 32
SD(72) = 1 + 2 + 22 + 23 1 + 3 + 32
SD(72) = 15 13
SD(72) = 195
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
APLICACIÓN UNI 2018 - 1
RESOLUCIÓN
Dado que tiene dos divisores primos 𝑁 = 𝑎𝛼𝑏𝛽
Además tiene 6 divisores 𝐶𝐷𝑁 = 𝛼 + 1 𝛽 + 1 = 6
2 3
𝛼 = 1
𝛽 = 2
entonces 𝑁 = 𝑎2𝑏1 (D.C.)
(D.C.)
La suma de sus divisores es 42: (1 + 𝑎 + 𝑎2)(1 + 𝑏) = 42
7 6
𝑎 = 2 𝑏 = 5 𝑁 = 20
Por lo tanto , la suma de sus cifras es 2
APLICACIÓN
Calcule la MA de los divisores de 120
RESOLUCIÓN
Piden la MA(divisores de 120)
MA(divisores de 120)=
𝑆𝐷(120)
𝐶𝐷(120)
120= 23 X 3 X 5
CD(120)= (3+1) x (1+1) x (1+1)
CD(120)= 16
SD(120) = 1 + 2 + 22 + 23 1 + 3 (1 + 5)
SD(120) = 360
MA(divisores de 120)=
𝟑𝟔𝟎
𝟏𝟔
=22,5
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES SID(N)
SID(N)=
SD(N)
N
Ejemplo
72= 23 X 32
De lo anterior
SD(72) = 195
Luego
SID(72)=
𝟏𝟗𝟓
𝟕𝟐
SID(72)=
𝟔𝟓
𝟐𝟒
PRODUCTO DE LOS DIVISORES PD(N)
PD(N)= 𝑁𝐶𝐷(𝑁)
Ejemplo
72= 23 X 32
CD(72)= (2+1) x (3+1) = 12
Luego
PD(72)= 72𝐶𝐷(72)
PD(72)= 7212
PD(72)=72𝟔
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
APLICACIÓN Resolución 
Nos pide: la cantidad de divisores de 𝑃 que sean múltiplos de 6 pero no de 7. 
Se tiene que 
PD 𝑃 =
𝑃𝐶𝐷(𝑃) =
𝑃𝐶𝐷(𝑃) =
𝑃𝐶𝐷(𝑃) =
𝑃 = 22 × 35 × 71
Se observa que
…DC En efecto 𝐶𝐷 𝑃 = 36
Para calcular la 𝐶𝐷 𝑃 que sean múltiplos de 6 pero no de 7;en su DC
debemos factorizar 6 y eliminar 71
𝑃 = 2 × 3(21 × 34) × 71
Genera divisores 6,
pero no 7
°
°
∴ 𝐶𝐷
𝑑𝑒 𝑃
6 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑒 7° °
= 1 + 1 4 + 1 = 𝟏𝟎
236 × 390 × 718
236 × 390 × 718
272 × 3180 × 736
(22× 35 × 71)36
FUNCIÓN DE 
EULER O 
INDICADOR DE 
UN NÚMERO
𝝋(𝑵)
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
INDICADOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN DE EULER
𝝋(𝑵)
El indicador de un número N, nos da la cantidad de números 
PESI con N que existen entre dos múltiplos consecutivos de N.
De manera particular el indicador de N , nos dará la cantidad de 
números menores o iguales a N que son PESI con N
Notación: ∅𝑁 𝜓𝑁o
Sea 𝑁 = 𝑎𝛼𝑏𝛽
entonces
∅𝑁 = 𝑎
𝛼−1 𝑎 − 1 𝑏𝛽−1 𝑏 − 1
(D.C.)
De ahí
Si: N=𝑝 (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜) ∅𝑁 = 𝑝 − 1
N=𝑝𝛼 (𝑝: 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜) ∅𝑁 = 𝑝
𝛼−1( 𝑝 − 1)
APLICACIÓN
Cuántos números menores que 1000 son PESI con 1000
RESOLUCIÓN
Como 
1000= 23 X 53
Para que los números sean PESI con 1000 no deben tener 
ni factor 2 ni factor 5 
Del 1 al 1000
Eliminamoslos pares (múltiplos de 2)
1000 2
500 Quedan: 1000 – 500 = 500
De los 500, que quedan eliminamos los múltiplos de 5
500 5
100 Quedan: 500 – 100 = 400
Por lo tanto se tendrán 400 números menores que 1000 y PESI 
con 1000.
1ra forma
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
2da forma
ሶ𝟐 ሶ𝟓
ሶ𝟏𝟎
1000
2
= 500
1000
5
= 200
1000
10
= 100
100 100
x
1000
400
Del gráfico 400+100+100+x= 1000
x=400
Por lo tanto se tendrán 400 números menores que 1000 y PESI con 1000.
3ra forma
1000= 23 X 53
∅1000 = 2
3−1 2 − 1 53−1 5 − 1
∅1000 = 2
2 2 − 1 52 5 − 1
∅1000 = 400
Por lo tanto se tendrán 400 números
menores que 1000 y PESI con 1000.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
APLICACIÓN (UNI 2020 – 1)
Nota: Tengamos en cuenta que el MCD de 
dos números PESI es la unidad
RESOLUCIÓN
Piden n(H)
Se observa que los elementos de H, son números
naturales, menores que 900 y PESI con 900
entonces
𝑛 𝐻 = ∅900
900 = 22 × 32 × 52 (D.C.)
∅900 = 21 × 1 × 31 × 2 × 51 × 4
∅900 = 𝟐𝟒𝟎
Por lo tanto el conjunto H tiene 240 elementos
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
APLICACIÓN
Resolución 
Piden la cantidad de números que son PESI con 2252017
Del problema se tiene:
𝑁 2252017Es PESI con
3 5≠ 3 ≠ 5
Además 300 ≤ 𝑁 ≤ 1200
Para calcular la cantidad de números PESI con 2252017
Se utilizará 𝜑(15) ya que 15 es el menor número que tiene 
factor 3 y 5
𝜑 15 = 3 − 1 5 − 1 = 8
Entre dos múltiplos consecutivos de 15 hay 8 números que 
son pesi con 15
∈ ℤ
300; 301;… ; 315; 316;… ; 330; 331;… ; 1185; 1186;… ; 1200
15(20) 15(21) 15(22) 15(79) 15(80)…
…𝟖 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝟖 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝟖 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔
80 − 20 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 8
∴ 60 8 = 𝟒𝟖𝟎
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e