Manual de Laboratorio

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Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Departamento de F́ısica
Laboratorio de F́ısica
Campus San Joaqúın
2do semestre 2022
Manual de Laboratorio
Un experimento se utiliza para comprender la naturaleza de un fenómeno y validar o comprobar
lo que teóricamente se plantea. Es necesario entonces, seguir una metodoloǵıa cient́ıfica para poder
medir y analizar los datos que permitan construir un modelo experimental o emṕırico, para luego
compararlo con el modelo teórico.
El análisis y los resultados obtenidos deben proporcionar conclusiones claras y concretas que
permitan entender el fenómeno estudiado. Aśı también, es importante que todo esto quede reflejado
en un documento de carácter cient́ıfico, que permita transmitir el conocimiento adquirido al resto de
la comunidad cient́ıfica.
Para cumplir con lo anterior se debe tener conocimiento sobre los métodos de medición, represen-
tación de cifras, generación de hipótesis y modelos emṕıricos, tratamiento y análisis de datos y por
supuesto generación de conclusiones.
1. Magnitud f́ısica
Todo objeto o sistema f́ısico tiene asociado una o más caracteŕısticas medibles que se denominan
magnitudes f́ısicas. A las magnitudes f́ısicas fundamentales se les asigna un atributo denominado
dimensión, que se representa por un śımbolo espećıfico. Las dimensiones de las magnitudes derivadas
se obtendrán a partir de cualquier expresión matemática que relacione dicha magnitud con las funda-
mentales.
Magnitud f́ısica Dimensión Unidad SI Śımbolo unidad SI
Longitud L metro m
Masa M kilogramo kg
Tiempo T segundo s
Intensidad eléctica I amperio A
Temperatura Θ kelvin K
Cantidad de sustancia S mol mol
Intensidad luminosa C candela cd
Tabla 1: Magnitudes fundamentales con su dimensión y unidad en el Sistema Internacional.
2. Métodos de medición
Existen dos métodos de medición, directa e indirecta:
Medida directa: consiste en confrontar directamente un patrón de medida con la magnitud a
medir.
Medida indirecta: en este caso se trata de magnitudes derivadas de mediciones directas. En
general su determinación requiere un procesamiento de los datos o algún cálculo, asociado a una
fórmula o función. Sin embargo, es también frecuente que la determinación de mediciones indirectas
se realice directamente con un instrumento, utilizando fenómenos f́ısicos y escalas adecuadas.
1
3. Cifras significativas
Con la medidas obtenidas de forma directa o indirecta se suelen realizar diferentes operaciones
matemáticas, por lo que los resultados de estas operaciones también representan magnitudes f́ısicas.
Tales resultados deben ser coherentes y consecuentes con el uso correcto de cifras significativas, que
son las cifras que aportan información.
Incorrecto Correcto
8,34 + 6,2901 = 14,6301 8,34 + 6,2901 = 14,63
7,810 · 0,31 = 2,4211 7,810 · 0,31 = 2,4
16,023/6,540 = 2,45 16,023/6,540 = 2,450
9,334± 0,0834 9,33± 0,08
4,2± 0,002 4,2± 0,1
Tabla 2: Ejemplos de criterios de cifras significativas.
4. Análisis dimensional
El análisis dimensional es un proceso mediante el cual se examinan las dimensiones de los fenómenos
f́ısicos y de las ecuaciones asociadas, para tener una visión de sus soluciones.
Por ejemplo, si consideramos la segunda ley de Newton ~F = m~a, deducimos una expresión
simbólica con las dimensiones
[F ] = [m][a],
que se lee “dimensión de F es igual a dimensión de m por dimensión de a”. Las dimensiones de cada
una de estas variables son [F ] = MLT−2, [m] = M y [a] = LT−2.
5. Teoŕıa del error experimental
En general, toda magnitud f́ısica susceptible de ser medida depende de muchas variables. Algunas
son relevantes, tienen mayor influencia en el valor medido, y otras no lo son. Algunas son fácilmente
controlables, mientras que otras no. Además, existen limitaciones instrumentales, f́ısicas y humanas que
afectan el proceso de medición. Dado todo lo anterior, si uno mide varias veces la misma magnitud,
en las mismas condiciones y con el mismo instrumento, es muy probable que se obtengan valores
numéricos diferentes.
Por definición, toda medición tiene asociada una incertidumbre, incerteza o error, y el conjunto
de reglas que permite su determinación se denomina teoŕıa de errores. El error se puede concebir como
la variación (dispersión) de las diferentes mediciones con respecto a un valor central. La medición de
una cantidad f́ısica por śı sola, sin la especificación de su rango de incertidumbre, no resulta útil para
el quehacer experimental.
En general, existen tres tipos de incertezas o errores de medición:
a) Errores sistemáticos: se producen por factores externos o internos que interactúan consistente-
mente con el sistema en estudio. No pueden ser detectados y eliminados por simple repetición
del experimento. Por ejemplo: mala calibración de instrumentos, malos hábitos de trabajo del
2
experimentador, errores de paralaje (mala ubicación del observador al leer los instrumentos aná-
logos), efectos de factores no considerados en el experimento.
b) Errores aleatorios: son usualmente los responsables de que se obtengan valores distintos al repetir
una medición. Por ejemplo: errores de apreciación, errores por condiciones fluctuantes, errores por
caracteŕısticas del objeto medido.
c) Errores burdos: errores producto de equivocaciones de procedimiento de parte del experimentador.
Por ejemplo: leer mal un instrumento, contar mal un número de sucesos, errores de cálculo.
Con el fin de maximizar la confiabilidad y utilidad de las mediciones, y en consecuencia la validez
del experimento, es necesario reducir lo más posible las influencias de estos factores, y para ello se
hace necesario analizar las fuentes de error.
En este punto, resulta conveniente mencionar dos conceptos importantes: exactitud y precisión. La
exactitud se refiere a la cercańıa del valor medido al valor exacto o esperado. Los errores sistemáticos
afectan la exactitud de las mediciones. La precisión se refiere al grado de dispersión de las mediciones.
Los errores aleatorios afectan la precisión de las mediciones.
6. Estimación del error experimental
Medir una sola vez una variable f́ısica no proporciona un buen criterio de fiabilidad, dado que
todas las variables que influyen en un experimento no pueden ser absolutamente controladas. Es por
ello, que las mediciones deben efectuarse muchas veces bajo idénticas condiciones, es decir, deben ser
fácilmente reproducibles. En este sentido, dependiendo de la toma de datos que realicemos, podemos
optar por diferentes tipos de procesamiento de los mismos, lo cual determinará qué tipos de errores
están involucrados en el proceso.
Todos los resultados, sean de cantidades medidas o calculadas, deben informarse siempre de la
siguiente forma, que es usual en ciencia e ingenieŕıa,
(valor± error) unidad.
El resultado o medición informada debe presentarse con el número correcto de cifras significativas,
mostrando el mismo orden de magnitud para el valor y el error, lo cual será determinado por el error
al ser mostrado con una cifra significativa.
6.1. Medición directa
Al realizar una medición directa de una determinada magnitud f́ısica, debemos considerar la
precisión del instrumento utilizado en la toma de datos, la cual determinará la forma de presentar
dichos valores. El error instrumental (EI) es la mı́nima diferencia que es capaz de distinguir el
instrumento, es decir, es la resolución o sensibilidad del mismo, y corresponde a la mı́nima cantidad
que entrega la lectura de éste. En algunos instrumentos la resolución está dada por el fabricante. Si
no es aśı, debemos tener en cuenta el tipo de instrumento utilizado y determinar si se trata de uno
digital o análogo. En base a esto el error instrumental puede estimarse como:
±12 de la división más pequeña de la sensibilidad, para instrumentos análogos.
±1 en el último d́ıgito, para instrumentos digitales.
3
Si al realizar una medición directa obtenemos un valor xy un error ∆x a partir de la lectura
del instrumento utilizado, podemos estimar la precisión de dicha medición considerando el error
relativo de la misma, el cual se define como
�R =
∆x
x
.
Por ejemplo, en la Figura 1 medimos directamente la longitud de la muestra utilizando una regla
escolar, cuya menor graduación corresponde a 1 mm y su error instrumental es igual a 0,5 mm o 0,05
cm. Al realizar la lectura de la regla, podemos estar seguros que la longitud está entre 8,2 y 8,3 cm, por
lo cual podemos estimar la centésima del cent́ımetro, es decir, la longitud de la muestra con su error
instrumental que informamos es (8,27±0,05) cm o (82,7±0,5) mm, cuyo error relativo informado con
una cifra significativa es �R = 0,006.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 1 2 3 4 5 6
cm
cm
cm
Figura 1: Ejemplo de una medición directa utilizando una regla escolar cuyo error instrumental es 0,5
mm, la imagen está a escala.
Por otro lado, en caso de que el valor obtenido a través de una sola medición directa (Vexp) cuente
con un valor teórico o aceptado como correcto (Vacep), podemos analizar la exactitud de nuestra
medición a través del error comparativo, definido como
�C =
Vexp − Vacep
Vacep
.
Los errores relativos y comparativos puede expresarse como porcentaje, aśı los errores porcen-
tuales �R % y �C % estarán dados respectivamente como
�R % = �R · 100 %
y
�C % = �C · 100 %.
Luego, podemos definir el porcentaje de precisión y exactitud de los resultados considerando los
errores relativos y comparativos porcentuales, respectivamente. Es decir,
P % = 100 %− �R %
y
E% = 100 %− �C %.
Lo anterior también aplica para cualquier magnitud x con error ∆x que haya sido obtenida de
forma indirecta mediante cualquiera de los procedimientos descritos en las siguientes secciones.
4
Es importante recordar que, como se ha mencionado anteriormente, en la mayoŕıa de los casos
debemos tener en cuenta que realizar solo una medición no garantiza la obtención de un resultado
confiable, debido a todas las variables que podŕıan condicionar la medición. Para desarrollar un proceso
experimental más riguroso y que involucre más de una medición, podemos optar por la realización de
un análisis estad́ıstico, o por establecer relaciones entre las variables involucradas en el fenómeno
estudiado que nos permitan obtener una representación gráfica de los datos, a partir de la cual
analizar parámetros como pendientes de rectas, interceptos, etc.
6.2. Análisis estad́ıstico
Un tratamiento estad́ıstico de las fluctuaciones de varias mediciones efectuadas bajo condiciones
idénticas y con resultados en torno a un cierto valor más probable, nos puede proporcionar ideas
respecto a la reproducibilidad y repetibilidad de la medida, aśı como también sobre la confiabilidad
del método de medición empleado y la validez de la teoŕıa cient́ıfica estudiada.
El valor a informar de una cantidad medida N veces, por razones estad́ısticas es el promedio de
las N medidas. Si la magnitud f́ısica a medir es x y para ello se hacen N mediciones x1, x2, ..., xN , el
promedio x̄ está dada por
x̄ =
1
N
N∑
i=1
xi.
Por lo tanto, el resultado de la medición de la magnitud f́ısica en estudio, obtenido a partir de un
análisis estad́ıstico deberá ser presentado como
(x̄±∆x) unidad.
Para la estimación del error ∆x de la magnitud medida vamos a considerar dos tipos de errores:
aleatorio (asociado a las fluctuaciones de las mediciones) e instrumental (determinado por el
instrumento de medición utilizado). Por lo tanto, considerando que en un proceso estad́ıstico están
presentes los errores aleatorios (EA) y los errores instrumentales (EI), el error total o experi-
mental ∆x, de un conjunto de mediciones de una variable x, estará dado por el valor máximo entre
ellos, es decir,
∆x = máx (EA,EI) .
El error aleatorio (EA) de una serie de mediciones debe calcularse con los siguientes parámetros
estad́ısticos: el error de la medida o desviación estándar σ de las N mediciones, la cual estará dada
por
σ =
√∑N
i=1 (x̄− xi)
2
N − 1
,
y el error t́ıpico del promedio σm, que está dado por la relación
σm =
σ√
N
,
suponiendo que los datos de la muestra responden a una distribución normal.
Para la mayoŕıa de los casos de interés práctico, si medimos 100 veces una magnitud x, aproxima-
damente 68 mediciones estarán en el intervalo (x̄− σ, x̄+ σ), 96 en el intervalo (x̄− 2σ, x̄+ 2σ), y 99
en el intervalo (x̄− 3σ, x̄+ 3σ). Estos resultados valen estrictamente para el caso en que los errores
se distribuyan “normalmente”, es decir, si el histograma formado con los resultados de las mediciones
adopta la forma de una campana de Gauss como la mostrada en la Figura 2.
5
x̄− 3σ x̄− 2σ x̄− σ x̄ x̄+ σ x̄+ 2σ x̄+ 3σ
68,3 %
95,5 %
99,7 %
x
Figura 2: Distribución normal o campana de Gauss.
Lo anterior nos permite establecer que el error de un valor promedio obtenido estad́ısticamente es
proporcional a σ. Por lo tanto, el criterio que emplearemos en nuestros datos será utilizar 3σm como
error de la muestra, es decir,
EA = 3σm.
De esta manera una campana de Gauss angosta dará cuenta de poca dispersión en los datos
tomados y un error aleatorio menor. Por el contrario, al obtener una distribución gaussiana con un
ancho mayor a causa de la dispersión de los datos, tendremos un error aleatorio mayor.
Finalmente, la forma correcta de informar un resultado obtenido luego de realizar un análisis
estad́ıstico es
(x̄±∆x) unidad = (x̄±máx (EA,EI)) unidad.
Además, por tratarse de un análisis estad́ıstico con N mediciones, podemos determinar para cada
una un error absoluto �A, el cual se define como la diferencia absoluta entre el valor medido de una
magnitud y el valor verdadero, es decir,
�A = xi − x̄,
donde xi es la i-ésima medición y x̄ el promedio de todas las mediciones. El error absoluto también
puede corresponder al error aleatorio o instrumental (∆x).
Por otro lado, el error relativo �R es un parámetro adimensional que permite establecer una
comparación entre un conjunto de mediciones. En este caso, corresponde al cociente entre el error
absoluto y el valor promedio de la muestra,
�R =
∆x
x̄
=
máx (EA,EI)
x̄
.
El error comparativo �C por su parte, corresponderá a una comparación entre el valor experi-
mental Vexp (promedio x̄) y el valor aceptado Vacep o teórico,
�C =
Vexp − Vacep
Vacep
=
x̄− Vacep
Vacep
.
6.3. Representación gráfica de los datos
Al predecir una relación entre dos variables involucradas en un fenómeno bajo estudio podemos
tomar una serie de mediciones para evaluar la dependencia entre ambas. Al analizar los datos a través
6
de la observación de una tabla de valores, dif́ıcilmente se podrá establecer el tipo de relación que existe
entre las variables. Por esta razón, un método poderoso para estudiar la dependencia de variables es la
representación gráfica de los datos, la cual puede permitirnos obtener o predecir un modelo matemático
que describa la relación entre las variables en cuestión.
La presentación y análisis de los resultados experimentales debe considerarse como parte integral
de los experimentos. Es realmente útil que los datos obtenidos se presenten en un gráfico, donde quede
resumida la información para su apreciación y análisis.
Como elemento ordenador de la información recolectada en un experimento, un gráfico debe
construirse sobre la base de una elección adecuada tanto de las variables como de las escalas. En la
Figura 3 se muestra un modelo del gráfico que se solicita en el Laboratorio de F́ısica, además de este
gráfico recuerde considerar los siguientes detalles:
Identificación de los ejes con rótulos indicando las variables que se representan y en qué unidades
se miden, y si corresponde indicar el error de las variables.
La curva debe cubrir la mayor parte del gráfico.
Uso de śımbolos para clasificar las distintas series de datos, como cuadrados, ćırculos, rombos,
etc.
Agregar informaciónen el gráfico como leyendas y ecuaciones para informar en qué contexto se
muestran los datos o sobre las condiciones experimentales de cómo se obtuvieron los datos.
No incluir t́ıtulo del gráfico.
tiempo t± 1 s
0 20 40 60 80 100
ve
lo
ci
d
a
d
v
±
0
,1
cm
/s
0,0
50,0
100,0
150,0
200,0
250,0
300,0
v = 2,42 t+ 11,1
R2 = 0,982
Figura 3: Ejemplo de gráfico solicitado en el Laboratorio de F́ısica.
Debido que a que la relación observada entre las variables por lo general presentará algún grado
de dispersión, se hace necesario realizar un ajuste adecuado a los datos mostrados en el gráfico. En
el laboratorio será usual ver que dos magnitudes se relacionan de manera lineal, y de no ser aśı, se
deberán ajustar a una función lineal aplicando la función logaŕıtmica. Esta forma de transformar los
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datos se llama linealización, y nos permite obtener una relación de tipo lineal entre los logaritmos
de las variables en estudio. De una relación lineal es factible obtener los parámetros que relacionan
las variables del experimento, tales como la pendiente y el intercepto. El ajuste para obtener estos
parámetros se denomina ajuste por mı́nimos cuadrados o regresión lineal. Llevar a cabo procesos
de linealización mediante algún software como por ejemplo, Excel, nos permite además la obtención
de los errores de los parámetros obtenidos en el ajuste, es decir, una pendiente m y su error ∆m, aśı
como también una intercepto b y su error ∆b. Es importante recordar que este no es el único tipo de
ajuste que podemos realizar y que la elección de éste dependerá de los objetivos del experimentador.
En la Figura 3 podemos apreciar que no todos los puntos pasan por la recta del ajuste, aśı podemos
inferir que el ajuste de mı́nimos cuadrados busca la mejor recta que pase por todos los puntos del
gráfico. En base a esto, existen dos coeficientes que indican la calidad del ajuste por mı́nimos cuadrados:
coeficiente de correlación y coeficiente de determinación.
El coeficiente de correlación R es una medida de la calidad del ajuste de nuestro modelo en
estudio, es decir, si la recta de regresión es una buena descripción estad́ıstica del conjunto de puntos,
se utiliza el coeficiente de correlación lineal R, el cual mide si existe una relación del tipo lineal entre
las variables de estudio. Los valores numéricos de R van desde −1 hasta 1. Cuando R = −1 indica
que existe una relación perfectamente inversa entre las variables, cuando R = 1 indica que existe una
relación directa entre las variables, y cuando R = 0 no existe ninguna relación entre las variables x e
y. El coeficiente de correlación R está dada por
R =
σ(x, y)
σx · σy
,
donde σ(x, y) es la covarianza entre las variables x e y; y σx y σy corresponden a la desviación estándar
de x e y, respectivamente.
El coeficiente de determinación R2, es el valor de R pero al cuadrado, que mide la capacidad
predictiva del modelo ajustado y se define como el cociente entre la variabilidad explicada por la
regresión y la variabilidad total. Este valor va desde 0 hasta 1, cuando R2 = 1 el modelo explica toda
la realidad.
6.4. Medición indirecta
Por lo general en el laboratorio se deben obtener magnitudes f́ısicas a partir de otras cantidades
obtenidas previamente, ya sea a través de mediciones directas, análisis estad́ısticos o representaciones
gráficas de los datos. Es decir, se realizan mediciones indirectas o cálculos usando valores que cuentan
ya con un error asociado. Por lo tanto, debemos tener presente que los resultados de las mediciones
indirectas, tendrán asociado también un error que surge de la propagación de los errores de las
magnitudes involucradas en la operación que se esté realizando. Tal error se denomina error de
propagación.
En general, podemos calcular o realizar una medida indirecta F = F (x1, x2, x3, ...) que es función
de otras mediciones. Es decir, la medición indirecta F depende de las medidas xi. En tal caso, el
diferencial total ∆F o error de propagación de la función u operación F está dado por
∆F =
√∣∣∣∣ ∂F∂x1
∣∣∣∣2 ∆x21 + ∣∣∣∣ ∂F∂x2
∣∣∣∣2 ∆x22 + ∣∣∣∣ ∂F∂x3
∣∣∣∣2 ∆x23 + ... (1)
Como ejemplo, para las operaciones matemáticas más comunes, consideraremos cuatro mediciones
ya obtenidas mediante cualquiera de los métodos descritos anteriormente, y que denotaremos como:
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x ±∆x, y ±∆y, z ±∆z y w ±∆w; donde x, y, z y w son los valores medidos y ∆x, ∆y, ∆z y ∆w
son sus respectivos errores. En la siguiente tabla se muestra el error de propagación ∆F para algunas
operaciones utilizando la ecuación (1).
Función F Expresión para calcular ∆F
F = x± y ∆F =
√
∆x2 + ∆y2
F = x · y ∆F
F
=
√(
∆x
x
)2
+
(
∆y
y
)2
F =
x
y
∆F
F
=
√(
∆x
x
)2
+
(
∆y
y
)2
F = xn
∣∣∣∣∆FF
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣n∆xx
∣∣∣∣
F = k
xn
ym
∣∣∣∣∆FF
∣∣∣∣ =
√(
n
∆x
x
)2
+
(
m
∆y
y
)2
F = k
xn · ym
zp · wq
∣∣∣∣∆FF
∣∣∣∣ =
√(
n
∆x
x
)2
+
(
m
∆y
y
)2
+
(
p
∆z
z
)2
+
(
q
∆w
w
)2
Tabla 3: Resumen reglas de propagación.
Ejemplo: Considere un cilindro regular de radio basal r y altura h. El volumen de este cilindro
está dado por V = πr2h. Consideremos las medidas directas del radio y la altura con sus respectivos
errores, r ± ∆r y h ± ∆h. El error de propagación del volumen del cilindro ∆V , de acuerdo a la
ecuación (1) o la Tabla 3 es (ver demostración):
∆V
V
=
√(
2
∆r
r
)2
+
(
1
∆h
h
)2
∆V = V
√(
2
∆r
r
)2
+
(
∆h
h
)2
,
donde V = πr2h es el valor medio del volumen.
Demostración: La operación o función F a considerar es V = πr2h, donde r y h corresponden a
cantidades con errores asociados, ∆r y ∆h, respectivamente. Es decir, solo tenemos dos magnitudes
que contribuirán en la propagación de error que nos permitirá obtener ∆V . Por lo tanto la expresión
9
(1) en este caso toma la forma
∆V =
√∣∣∣∣∂V∂r
∣∣∣∣2 ∆r2 + ∣∣∣∣∂V∂h
∣∣∣∣2 ∆h2
=
√∣∣∣∣∂(πr2h)∂r
∣∣∣∣2 ∆r2 + ∣∣∣∣∂(πr2h)∂h
∣∣∣∣2 ∆h2
=
√
|2πrh|2 ∆r2 + |πr2|2 ∆h2
=
√(
2πrh
r
r
)2
∆r2 +
(
πr2
h
h
)2
∆h2
=
√(
2
V
r
)2
∆r2 +
(
V
h
)2
∆h2
= V
√(
2
∆r
r
)2
+
(
∆h
h
)2
.
(2)
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7. Bibliograf́ıa
Baird, David Carr. Experimentación: Una introducción a la teoŕıa de mediciones y al diseño de
experimentos. Prentice Hall. 1991.
Galbiati Riesco, Jorge. Medidas de resumen. Instituto de Estad́ıstica, PUCV. 2012.
Gil, Salvador y Rodŕıguez, Eduardo. F́ısica re-Creativa Experimentos de F́ısica usando nuevas
tecnoloǵıas. Prentice Hall. 2001.
Laroze Barrios, Luciano y Porras Zúñiga, Nicolás. Conceptos y magnitudes en F́ısica. Editorial
USM. 2018.
Noda, Bertha Oda. Introducción al análisis gráfico de datos experimentales. UNAM, Facultad
de Ciencias. 2005.
Rodŕıguez Valencia, Luis. Introducción a la F́ısica. Departamento de F́ısica, USACH. 2003.
11
Índice
1. Magnitud f́ısica 1
2. Métodos de medición 1
3. Cifras significativas 2
4. Análisis dimensional 2
5. Teoŕıa del error experimental 2
6. Estimación del error experimental 3
6.1. Medición directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6.2. Análisis estad́ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6.3. Representación gráfica de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6.4. Medición indirecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7. Bibliograf́ıa 11