2 Limites y continuidad - Gabriel Solís

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Matemáticas 
Administrativas
Límites y continuidad
C
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U
C
L
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A
R
Estructura del Contenido nuclear
Metodología de trabajo
Presentación de la Unidad
Competencia específica y propósitos
Problemática
Álgebra de límites
Límite de una función y sus propiedades
Límites de una función cuando la variable tiende al infinito
Funciones continuas y discontinuas
Conceptos relacionados a la continuidad y a la discontinuidad en una 
función
Aplicación de funciones continuas y discontinuas
Cierre de Unidad
Recursos de apoyo para el aprendizaje
Fuentes de consulta
Recursos de apoyo para el aprendizaje
Recuerda: 
 Consultar la herramienta Foro de la unidad, 
en dicho espacio tu docente publicará la 
planeación de cada unidad.
 Revisar el documento Actividades.
(Se encuentra en Material de apoyo)
Metodología 
de trabajo
A continuación se presenta el contenido del curso donde abordarás el 
estudio y problemática sobre la importancia y utilidad de los límites y 
continuidad en escenarios empresariales reales y que además forman parte 
de la vida diaria de cualquier profesionista, por ello, es importante que tu 
aprendizaje sea significativo.
Con esta nueva metodología vivirás experiencias referentes a problemáticas 
y situaciones reales que te llevan desde el inicio a ubicar la importancia de 
los métodos cuantitativos en la toma de decisiones a nivel empresarial.
Asimismo, el contenido nuclear representa el inicio de las temáticas que 
comprende este curso, por lo que es necesario que tu participación sea 
activa y constante en las actividades que tu docente en línea te 
proporcionará, mismas que deberás entregar en tiempo y forma.
Recuerda que en esta modalidad tu aprendizaje es autogestivo, 
adicionalmente podrás contar con el apoyo de tu docente en línea, quien te 
apoyará para que puedas alcanzar las competencias de esta asignatura.
Presentación de unidad
En la unidad anterior viste el concepto de función y algunos de los 
diferentes tipos, así como su aplicación para describir el comportamiento de 
las diversas situaciones que se presentan dentro del área económico-
administrativa, tales como ingresos, costos, utilidades y punto de equilibrio.
En el presente tema estudiarás el concepto de límite y cómo describe de 
forma precisa el comportamiento de una función cuando los valores de la 
variable independiente están muy próximos, aunque nunca igual, a un valor 
constante y su utilidad en los procesos económico-administrativos, tales 
como rendimiento y producción máxima; asimismo, determinarás cuando 
una función es continua y su aplicación en procesos productivos y su
impacto en los costos de producción.
Determina el comportamiento de una función de acuerdo a los 
límites de la misma para conocer su impacto en los procesos
económico-administrativos, mediante la aplicación de los 
teoremas de límites de una función y su relación con funciones
continuas y discontinuas.
 Identificarás los elementos del álgebra de límites y teórico 
prácticos de la continuidad de una función. 
 Aplicarás los elementos del álgebra de límites para 
determinar el alcance de un proceso desde el punto de 
vista económico-administrativo. 
 Calcularás la continuidad de una función en relación a los 
puntos en los que el proceso de producción presenta una 
tendencia diferente de costos. 
Competencia específica
Propósitos
Problemática
De no conocer lo anterior las empresas pueden 
no maximizar sus utilidades, ni minimizar sus 
costos, en consecuencia, podría llevarlas a 
comenzar a perder utilidades, participación de 
mercado, clientes e incluso cerrar.
Resulta fundamental conocer lo que aporta una unidad adicional 
vendida o producida a las funciones de ingresos, costos y utilidades en 
una empresa, para determinar la eficiencia y eficacia en su operación. 
Para ello se debe utilizar el cálculo diferencial, cuyas bases se originan 
en la obtención de los límites y la continuidad de una función.
Problemática
Algebra de límites
Con el álgebra de límites te puedes 
aproximar a un valor, ya sea un número 
cualquiera o el infinito, de manera exacta.
Así, se puede decir que el límite de una
función describe el comportamiento de una
función f(x) conforme la variable 
independiente se aproxima a un valor 
constante.
Se tiene la función
y se requiere determinar su
comportamiento cuando los 
valores de x tienden o se acercan
a 1.
Solución 
Se puede observar que la función no está definida en x = 1, esto es porque cuando x toma el valor 
de 1, la función tiende al infinito, ya que cualquier número dividido entre cero es igual a infinito. 
Sin embargo, sí se puede determinar el comportamiento o valores que va tomando la función 
cuando x → 1 (x tiende a 1), ya sea con valores más pequeños a uno o bien más grandes a uno: 1 > 
x > 1.
Problemática
Algebra de límites
X
Gráfica
-0.5 0.166667
0.5 0.500000
0.6 -0.200000
0.7 -1.566667
0.8 -4.600000
0.9 -14.300000
0.95 -34.150000
0.98 -94.060000
0.999 -1994.0030
0.999
9
-19994.0003
1 ∞
1.000
1
20006.0003
1.001 2006.003
1.01 206.03
1.1 26.3
1.5 11.5
Observa la siguiente representación gráfica:
Como pudiste observar, conforme 
x se acerca a 1 la función es igual 
a ± 20000, dependiendo de si se 
va acercando por la derecha o por 
la izquierda a 1, es decir:
En conclusión se tiene que:
Cuando f(x) se acerca cada vez más a un 
número Límite (C), conforme x se 
aproxima a un valor constante “a” por 
cualquier lado, entonces C será el límite 
de la función y se escribe:
Problemática
Algebra de límites
Operación para determinar los límites de una función: 
En la presente fórmula de álgebra de límites se 
puede observar que para evaluar el límite de 
una función sea f(x), g(x) o cualquiera, se tiene 
que sustituir en dicha función el valor del 
número hacia el cual tiende x y el resultado 
será siempre un número constante.
Solución: Desarrollo
En esta segunda fórmula se observa que para 
sumar o restar dos funciones evaluadas en 
el valor hacia el cual tiende x, se puede 
obtener de manera independiente el resultado 
de cada función al sustituir el valor de x en 
cada una y finalmente sumar o restar ambos 
resultados según sea el caso.
En el siguiente caso se tiene que para 
multiplicar dos funciones evaluadas en el 
valor hacia el cual tiende x se puede obtener
de manera independiente el resultado de 
cada función al sustituir el valor de x en cada
una y finalmente multiplicar ambos 
resultados.
C o n c l u s i ó n: 
El evaluar un límite de una función es tan simple como sustituir el valor 
hacia el cual tiende x en la función. 
El aplicar el álgebra de límites es únicamente aplicar las operaciones 
de suma, resta, multiplicación, división, raíz n-sima y elevar a una 
potencia en los resultados obtenidos de las funciones a las que ya se 
les ha sustituido el valor límite. 
Problemática
En la siguiente fórmula se tiene que para dividir dos 
funciones evaluadas en el valor hacia el cual tiende
x, se puede obtener de manera independiente el 
resultado de cada función al sustituir el valor de x en
cada una y finalmente dividir ambos resultados.
Algebra de límites
En esta fórmula el valor hacia el cual tiende x se 
sustituye en la función y posteriormente se evaluará
la potencia a la que está elevada la función.
En esta última fórmula de igual manera sustituyes el 
valor de x en la función y posteriormente calculas la 
raíz n-sima a la que está elevada x.
Problemática
Límite de una función y sus propiedades
Si se tiene una función 
constante f(x) = C, el límite de 
la función cuando x tienda a 
un valor “a” será siempre C, 
esto es:
Para determinar el límite de la función: f(x) = 10, cuando x → 8. Y 
siguiendo el razonamiento de la fórmula general anterior, se tiene que:
Existen diferentes límites de una función, a continuación se te muestra el limite de función y su procedimiento.Función 
constante
Problemática
Límite de una función y sus propiedades
Función 
idéntica
Si se considera la función 
idéntica f(x) = x cuando x
tiende a un valor “a”, su límite 
será siempre el valor 
constante “a”, es decir:
Para determinar el límite de la función: f(x) = x cuando x → 3. Y siguiendo 
el razonamiento de la fórmula general anterior, se tiene que:
Problemática
Límite de una función y sus propiedades
Límites 
infinitos
Cuando se tiene una función 
racional 
en la que q(x) se hace cero 
cuando x tiende a un valor 
constante “a”, entonces f(x) = ∞, 
es decir:
Para determinar el límite de la función: cuando x → 1
sustituyendo el valor de x en la función, se tiene que:
Problemática
Límite de una función y sus propiedades
Cualquier 
función
Para determinar el límite de la función: 
f(x) cuando x → 0 y cuando 
x → 5.
Sustituyendo el valor de x en la 
función para cada caso se tiene que:
Para cualquier función f(x) se tiene que el límite 
de la función cuando x → a es el número 
constante que resulta de sustituir el valor de “a” 
en la función.
Para determinar el límite de la función: 
cuando x → 0 y cuando x 
→ 2.
Sustituyendo el valor de x en la 
función se tiene que:
f(x) = 
Y
1
2 Y
Problemática
Límite de una función cuando la variable tiende al infinito
A continuación verás ejemplos para el cálculo de límite de una función cuando la variable independiente tiende al 
infinito.
• El valor de la función puede
crecer o decrecer
indefinidamente, sin embargo, 
existen casos en los que la 
función adquiere valores reales.
Cuando 
x → ∞ 
¿Cuál será el límite de f(x) = 7x4 – 2x3 + x2 +100 cuando x →∞?
Solución: al aplicar el límite infinito en la función se tiene que:
Problemática
Límite de una función cuando la variable tiende al infinito
En una fábrica de electrodomésticos se tienen costos fijos de producción de 
$1’000,000.00 anuales y sus costos específicos son del orden de $430.00 por 
electrodoméstico. ¿Hasta qué punto puede reducir los costos promedio de 
producción al aumentar la producción indefinidamente?
Solución: Se observa que la función de costo tendrá la forma C(x)=430x + 1’000,000, en donde x 
representa la cantidad de electrodomésticos producidos, de ahí que para determinar el costo
promedio de producción se tendrá que dividir la función de costo entre el número de artículos a 
producir (x):
Y si lo que se desea conocer es el costo 
promedio de producción cuando el nivel 
de producción se eleve indefinidamente 
se tiene que:
Por lo tanto, el costo 
promedio de producción 
será de $430.00 cuando el 
nivel de fabricación de 
productos 
electrodomésticos crezca 
indefinidamente.
Es importante notar que cuando se divide un número 
cualquiera entre ∞ el resultado siempre será cero, ya que el 
valor del divisor siempre será mucho más grande que el valor 
del número que se quiere dividir.
Nota
Problemática
Límite de una función cuando la variable tiende al infinito
El nivel de satisfacción (%) de clientes en un 
autoservicio de acuerdo al número de artículos 
comprados fue medido a través de la siguiente función:
En donde x representa el número de artículos comprados.
¿Cuál será el nivel de satisfacción del cliente (%) conforme aumentan las compras del cliente?
Solución: Si se considera que el cliente
comprará un número infinito de artículos se 
puede observar cuál será el comportamiento
del nivel de satisfacción del cliente en el punto
más alto de sus compras:
Con el fin de eliminar la indeterminación, en el caso de una función racional es conveniente dividir cada 
uno de los factores de la función entre la variable independiente con la potencia más alta, así se tiene 
que, para este caso en particular.
Por lo que el nivel de satisfacción del cliente será del 83.33% y nunca podrá ser mayor a éste.
Problemática
Funciones continuas y discontinuas
¿A qué se refieren las 
funciones continuas y 
discontinuas? 
Son aquellas cuyas 
gráficas se pueden 
dibujar en un solo trazo, 
es decir, si no presentan 
cortes o puntos de 
discontinuidad.
Es discontinua si hay 
puntos en los cuales 
existe una pequeña 
variación de la variable 
independiente, lo que 
genera un salto en los 
valores de la variable 
dependiente.
Continuas Discontinuas
Conceptos relacionados a la continuidad y a la discontinuidad 
en una función
Según se pudo observar, al realizar el cálculo de límites de una función, no siempre el límite coincide con el valor de 
la función en el punto hacia el cual se aproxima la variable independiente, esto es fácil de detectar al graficar la 
función en los valores cercanos al límite, ya que la gráfica de la función se puede cortar o tener una interrupción en
algún punto cercano al límite.
Por ejemplo, se tiene la siguiente
función: 
en la que se dice que x → 1, y que
al graficar las coordenadas que van 
acercándose al límite se tiene la 
siguiente gráfica:
En donde se observa que hay un 
punto exactamente cuando x = 1 
en el que la gráfica de la línea ya
no continúa con el resto de los 
valores, es decir, que hay una
ruptura en la gráfica.
Problemática
Conceptos relacionados a la continuidad y a la discontinuidad 
en una función
De ahí que se puede definir que una función es continua cuando no se presenta un corte en la línea que 
representa su gráfica, mientras que en una función discontinua se presentan cortes en la línea que 
representa la gráfica de la función.
Así se tienen tres condiciones que permiten descubrir si una función es continua o discontinua:
 Una función será continua si f(x) está definida en x = a, es decir, que sus valores son reales.
 Una función será continua si el Límite de la función f(x) cuando x → a existe.
 Una función será continua si:
Por lo que si una de las condiciones anteriores no se cumple, la función será discontinua.
Operaciones con funciones continuas
Si las funciones f(x) y g(x) son continuas en un punto a, entonces las funciones podrán sumarse, 
multiplicarse o dividirse (para g(x) ≠ 0 en el caso de división).
Toda función polinomial es continua.
Problemática
Aplicación de funciones continuas y discontinuas
Oferta y demanda. Un vendedor de aceites orgánicos en frascos de 250 ml vende
aceite de uva a $90.00 cada frasco, pero si le compran más de 10 frascos el precio por
frasco es de $85.00. 
¿Qué se le podría recomendar al vendedor para que pueda conservar su escala de 
precios de mayoreo sin que se le presenten problemas económicos con su
promoción?
Solución: Si se define como p(x) 
a la función de precio de x 
frascos de aceite de uva, se 
tiene la siguiente función:
El modelo gráfico que representa a esta función de oferta vs demanda es:
Problemática
Con lo que se observa que el precio de 10 frascos es 
de $900.00 y de 11 frascos es de $935.00, por lo que 
para evitar contradicciones, el precio de 11 frascos 
debe ser superior al de 10; si se dice que p es el precio 
de cada frasco de aceite cuando se compran más de 
10 frascos, se debe cumplir que 11p > 900, es decir, p 
> 900/11 = $81.81, por lo tanto, el vendedor debe 
asignar un precio superior a $81.81 para cada frasco 
cuando le compren más de 10 frascos de aceite de 
uva.
Aplicación de funciones continuas y discontinuas
Problemática
Cierre de Unidad
En esta unidad estudiaste el concepto de límite y cómo es que describe, 
de forma precisa, el comportamiento de una función cuando los valores 
de la variable independiente están muy próximos a un valor constante, 
además de su utilidad en los procesos económico-administrativos, tales 
como rendimiento y producción máxima.
También pudiste observar cuando una función es continua, su aplicación 
en procesos productivos y su impacto en los costos de producción.
La solución de problemas de límites y continuidad de una función te 
permitirán determinar su impacto en los procesos económico-
administrativos,como pudiste observar en los ejemplos que se te 
proporcionaron.
Recursos de 
apoyo para el 
aprendizaje
Se ha seleccionado una serie de recursos en línea con el fin de ofrecerte un panorama 
general de la unidad y alternativas en caso de que se te dificulte la comprensión de 
algún concepto o proceso.
Si deseas saber más de estos temas se te sugiere revisar las siguientes ligas:
Nota: Para algunas páginas deberás tener instalado el software Java para visualizar la 
información y realizar actividades.
Universidad Técnica Particular de Loja (2009). Limite y sus propiedades ECTS 
(calculo I) (capítulo II). Recuperado de 
https://www.youtube.com/watch?v=OacQSQB7qLo&feature=related
S.a. (2010). Definición de límite. Recuperado de 
https://www.youtube.com/watch?v=G0soakUZqKE&feature=related
https://www.youtube.com/watch?v=OacQSQB7qLo&feature=related
https://www.youtube.com/watch?v=G0soakUZqKE&feature=related
Fuentes de 
consulta
Bibliografía básica:
 Chiang. (2006). Métodos fundamentales en economía matemática. (4° edición). 
Editorial México: McGraw-Hill.
 Harshbarger, R. J. & Reynolds, J. J. (2005). Matemáticas Aplicadas a la 
Administración, Economía y Ciencias Sociales (7° edición). México: McGraw-Hill.
 Leithold, L. (2006). El cálculo. (7ª edición). Oxford: Editorial Cúspide.
 Render, B., Stair, R., Hanna, M. (2006). Métodos cuantitativos para los negocios. 
México: Pearson Educación.
 Thomas. (2006). Cálculo de una Variable. Editorial Prentice Hall..
Fuentes de 
consulta
Bibliografía complementaria:
 Cissell, R., Cissell, H. y Flaspohler, D. (1999). Matemáticas Financieras. (2ª 
edición). México: Editorial CECSA. 
 García, E. (1998). Matemáticas Financieras por medio de Algoritmos, 
Calculadora Financiera y PC. México: Editorial McGraw-Hill. 
 Hernández, A. (1998). Matemáticas Financieras Teoría y Práctica. (4ª edición). 
México: Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales.
 Motoyuki, A. (2000). Matemáticas Financieras. Córdoba, Argentina:
Despeignes Editora.
 Spiegel, M. R. (1994). Manual de Fórmulas y Tablas Matemáticas. Traducción 
de la 1° edición. México: McGraw-Hill..
 Toledano y Castillo, M. A. y Himmelstine de Chavarria, L. E. (1984). 
Matemáticas Financieras. México: Editorial CECSA. 
 Vidaurri, H. M. (2001). Matemáticas Financieras. (2ª edición). México: 
Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales - Thomposn Learning.