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EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Magdalena 2614884; Los Olivos 5215182; Ingeniería 4820457; Surco 4561165 Página 1 ÁLGEBRA SEMANA 05: OPERACIONES CON CONJUNTOS, ÁLGEBRA DE CONJUNTOS, CONJUNTO POTENCIA, PROPOSICIONES Y CONJUNTOS, CUANTIFICADORES OPERACIONES CON CONJUNTOS 01. En un colegio el 60% aprobó aritmética, el 32% aprobó algebra y los que aprobaron aritmética y algebra representan el 60% de los que no aprobaron ninguno de los dos cursos. Si 42 aprobaron aritmética y algebra, calcule el número de alumnos del colegio. A) 340 B) 350 C) 360 D) 370 E) 380 UNI-2010-I 02. De un grupo de jóvenes se observa que la sexta parte no le gusta ni la natación ni el fútbol, a la tercera parte le gusta la natación y los 4/5 les gusta el fútbol, si los jóvenes que les gusta la natación y el fútbol son 54. ¿Cuantas personas conformaran el grupo? A) 240 B) 160 C) 180 D) 150 E) 120 03. De una muestra recogida de 200 transeún- tes se determinó lo siguiente: 60 eran mudos, 70 eran cantantes callejeros y 90 eran ciegos, de estos últimos, 20 eran mudos y 30 eran can- tantes callejeros. ¿Cuántos de los que no son cantantes callejeros no eran mudos ni ciegos? A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 60 04. En una selección de 100 personas, hay 10 hombres de provincia, hay 40 damas limeñas, el número de damas provincianas excede en 10 al número de varones limeños. ¿Cuántos varones hay en la selección? A) 24 B) 27 C) 30 D) 33 E) 34 05. Sean A, B y C tres conjuntos. La región som- breada: representa a: A) A (B – C) B) B – (A B C) C) (A B C) – (A (B C)) D) A – (B C) E) (A B C) [(B C) – A] 06. Indique el número de proposiciones correctas, siendo A, B, y C conjuntos no vacíos. I. Si A∩B=B, entonces A⊂B. II. Si A∪B=B, entonces A=B. III. Si A⊂C ∧ B⊂ C, entonces A∩B≠∅ . IV. {1;2;2}≠{2;1} A) 0 B)1 C)2 D)3 E)4 CEPREUNI 2013_2 07. Los siguientes conjuntos A={1; 2} B={2; 3; 4} y X satisfacen: A ⋂ X = {1}, B ⋂ X = {3} y A ⋃ B ⋃ X = {1; 2; 3; 4; 5}. Determine la suma de elementos de X A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 CEPREUNI-2010-2 08. Si A y B son subconjuntos del universo U, tal que: ( ) 5; ( ) 7; ( ) 11C CA B A B = = = y ( ) 6A B = , halle ( )U A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 CEPREUNI-2006- II 09. Dados tres conjuntos A, B y C, tales que (𝐴 ∪ 𝐵) ⊂ (𝐴 ∪ 𝐶)𝑦(𝐴 ∩ 𝐵) ⊂ (𝐴 ∩ 𝐶) 𝑦𝐴 ⊄ 𝐶 Entonces: UNI 2008_I A)𝐵 ⊂ 𝐶 B)𝐵 = 𝐶 C) 𝐶 ⊂ 𝐵 D) (𝐴 ∪ 𝐶) ⊂ 𝐵 E)(𝐴 ∪ 𝐵) ⊂ 𝐶 10. Siendo A, B, C subconjuntos de un universo U y si se verifica: I. B ∪ C = A II. A – (A ∩ B) = A Entonces concluyo que: A) A ∪ B ∪ C = Ø B) A∩ C ≠ Ø C) A = B D) B = C = Ø E) A ∩ B ∩ C = Ø ÁLGEBRA DE CONJUNTOS 11. Si A, B y C son conjuntos de un universo local U ¿Cuáles de los siguientes enunciados son correctos? I. ( ) ( )A B C A B C = II. ( ) ( )A B C A B C = U A C B EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Magdalena 2614884; Los Olivos 5215182; Ingeniería 4820457; Surco 4561165 Página 2 III. ( ) ( )A B C A B C = A) I B) II C) III D) I y III E) I, II y III 12. Sean A, B, C conjuntos de un universo U, decir el valor de verdad de las siguientes igualdades de conjuntos: I. A\(A\B) = A ∩ B II. (A\B)\C = A\(B\C) III. A\(B ∪ C) = (A\B) ∪ (A\C) A) VVV B) VVF C) VFF D) VFV E) FFF 13. Siendo A, B, C ⊂ U, indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) A–B=BC–AC II) (A ∆ B)C = A ∆ BC III)(𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐴)) ∩ (𝐴𝐶 ∪ (𝐵 ∩ 𝐴𝐶)) = ∅ A) VVV B) FVV C) VFV D) FFV E) FFF 14. Al simplificar la siguiente operación: ( ) ( ) \ C R P Q Q P Q Se obtiene: A) ∅ B) U C) P ∪ Q D) Q ∩ R E) P\Q 15. Simplificar: C C CP Q P Q P A) P Q B) P Q C) C CP Q D) C CP Q E) P \ Q 16. Sean A, B y C conjuntos contenidos en un universo U, entonces: [A \ (B ⋃ C )] ⋃ (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C) Es igual a: A) A B) B C) C D) A ᶜ E) B ᶜ CEPREUNI-2007-1 17. Dados los conjuntos A, B y C en U, simplifique la expresión: [𝐴∆(𝐵∆𝐶)]∆[𝐶∆𝐵𝐶] A)𝐴𝐶 B)𝐵𝐶 C) 𝐶𝐶 D) A E) B UNI 2007_I 18. Sean A, B, C subconjuntos de un conjunto universo U, tal que A ∩ B = ∅ y A ⊂ C. Simplificar: (A ∖ Bc) ∪ (C ∖ A) ∪ (A ∖ B) A) Ac B)A C) B D) Bc E) C 19. Si A, B, C son subconjuntos de un conjunto universal U que cumplen: 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑦 𝐶 ∩ 𝐴 = ∅ Entonces el conjunto [𝐵 ∪ (𝐶\𝐴)] ∪ [(𝐴\𝐵) ∆ 𝐶] es igual a: A)B\A B)B C)B ∪ C D) A E) ⌀ 20. Considerando los conjuntos A, B y C de un cierto universo U tal que A⊂B y C⊂B simplifique: E={[(A∪B)∩C]∖A}∪(A∩B∩C) A) A B) B C)C D) A∩C E) A∪C CEPREUNI-2013-2 CONJUNTO POTENCIA 21. Se define el conjunto A 1;1; 1 ;= . Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. P(A) tiene 4 elementos II. {} P(A) III. P(P(A)) A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FFV 22. Dado el conjunto A={x; {x}; ∅; {∅}}. Siendo ∅ el conjunto vacío. Indique el valor de verdad de los siguientes enunciados: I. { ∅} ⊂ A ⋀ {{ ∅}} ∊ P(A) II. {x} ⊂ P(A) ⋀ {{x}} ∊ P(A) III. ∅ ∊ P(A) ⋀ ∅ ⊂ P(A) A) VVV B) FFV C) VFV D) VVF E) FFF 23. Siendo A, B, C ⊂ U, indicar el valor de verdad de las siguiente proposiciones: I) ∅ es subconjunto de cualquier conjunto. II) P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B) III)Si C ⊂ A∩B ∧ C ⊂ A∆B ⇒ C=∅ A) VVV B) FVV C) VFV D) FFV E) FFF 24. Sean A y B dos conjuntos no vacíos tal que cumplen las condiciones: ( ) ( ) ( ) 6 40A B A B P P = + = Determine: ( )P A B A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16 25. El número de elementos de los conjuntos A, B y C son números naturales consecutivos. Si n(P(A))+ n(P(B))+ n(P(C))=448, EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Magdalena 2614884; Los Olivos 5215182; Ingeniería 4820457; Surco 4561165 Página 3 Calcule el valor de T=n(A) ⎯2n(B)+3n(C) Donde P(x) es la potencia del conjunto X. A) 14 B) 16 C) 17 D) 18 E) 21 CEPREUNI 2016-1 26. Sean los conjuntos A y B tales que: 𝑛(𝑃(𝐴)) − 𝑛(𝑃(𝐵)) = 384 Entonces: 𝑛(𝑃(𝐴)) + 𝑛(𝑃(𝐵)) 𝑒𝑠: A) 128 B) 192 C) 256 D) 576 E) 640 27. Siendo A y B conjuntos mútuamente exclu- yentes, tales que: n (A)P +n (B)P = 3072 Halle: n(A Δ B), donde (A)P , indica el conjunto potencia de A. A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21 28. Si A es un conjunto dado por: A 2,6,12,20,.............,992= , calcule el núme- ro de subconjuntos propios de A. A) 132 1− B) 192 1− C) 232 1− D) 312 1− E) 322 1− 29. Sean A y B conjuntos del mismo universo U. Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera(V) o falsa(F). I. Card(A∪B)=Card(A) + Card(B)- Card(A∩B) II. Card(P(A∪B))=Card(P(A)) + Card(P(B)) − Card(P(A∩B)). III. Si Card(A∩B)=0, entonces A=∅ o B=∅. A) VVV B) VVF C) VFF D) FFV E) FFF UNI-2013-II 30. Considere las siguientes proposiciones: I. Si A y B son conjuntos cualesquiera en un mismo universo, entonces P(A) ∩ P(B) ≠ ∅. II. Si ∆ ⊂ P(A) ∩ P(AC), entonces ∆ = ∅. III. Si P(A ∪{r}) ⊂ P(A), entonces r ∈ A. ¿Cuáles son ciertas? A) I B) II C) III D) I y II E) I y III CEPRE 2010 - II 31. Sea A un conjunto tal que A ≠ ∅. De las siguientes proposiciones. I. P(A) ⋃ {A} = P(A) II. P(∅) - ∅ = ∅ III. P(A) – {A} ≠ ∅ Cuál (o cuáles) son verdaderas. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) I y III PROPOSICIONES, CONJUNTOS 32. Dados los conjuntos: U = {x ∊ ℕ/ 1≤ x ≤ 9} A = { x 1 2 + ∊ ℕ / x ∊ U} B= {x ∊ U / x 1 2 + ∊ ℕ} C= {x ∊ U/ x ∊ A ↔ x ∊ B} Halle: n (Cc); donde: n( ) : cardinal A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 33. Considere los siguientes conjuntos: U = {1, 2, 3, 4, 7} conjunto universal A = {1; 3; 7}, B = {x U / x2 – 9x + 14 = 0} M = {x U / x BC x A} Determine n(M) A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 34. Dados los conjuntos: U = {x ∊ ℤ+/ 1≤ x ≤ 12} A = {1; 3; 4; 6; 8} B = {5; 3; 4; 11; 12} C= {2x ―4 ∊ U/x∊ A ↔ x ∊ B} Halle: n((A∪B)C ∩ C) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 35. Considere A, B y C tres subconjuntos de U, de modo que se cumple ∀x ∈ U, x ∈ C ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B También n(A − C) = a n(B − C) = b n(A ∪ B) = c n(A ∩ B) = d Determine n(C) en términos de los valores a, b, c y d. A) −a+b+c+d 2 B a−b+c+d 2 ) C) a−b−c+d 2 D) d+c−a−b 2 E) a+b−c−d 2 1ER PARCIAL_2015-2 y 1ER PARCIAL_2014-2 CUANTIFICADORES 36. Dado U={1 ;2 ;3 ;4 ;5}¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos? EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Magdalena 2614884; Los Olivos 5215182; Ingeniería 4820457; Surco 4561165 Página 4 I. ∃ x ∊ U / x + 3 ⩽ 10 II. ⩝ x ∊ U, ∃ y ∊ U / x + y ⩽ 7 III. ⩝ x ∊ U : x + 4 ⩽ 8 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) II y III 37. Sea 𝐴 = {1; 5; 3} determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ∀𝑥 ∈ 𝐴 : 𝑥2 ≥ 1 II.∃𝑥 ∈ 𝐴 /∀𝑦 ∈ 𝐴: 𝑥 + 2 > 𝑦 III. ∀𝑥 ∈ 𝐴, ∃𝑦 ∈ 𝐴 /𝑥 − 𝑦 = 0 A) VVV B) VFF C) FFF D) FVF E) FFV 38. Sea: A= {1; 2; 3} Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) ∃ x ∈ A/ ∀ y ∈ A: x + y = 4 II) ∀ y ∈ A; ∃ x ∈ A/ x + y = 4 III) ∀ x ∈ A, ∀ y ∈ A: x + y ≤ 5 A) VVV B) VVF C) FVF D) FFV E) FFF 39. Sean los conjuntos A= {2 ;3 ;8 }, B={1 ;2 ;7 } y los siguientes enunciados I. ∃ x ∊ A / ⩝ y ∊ B : x + y ⩾ 9 II. ∃ x ∊ A , ∃ y ∊ B / x + y = 4 III. ⩝ x ∊ A , ⩝ y ∊ B : x + y < 10 ¿Cuáles de estos enunciados son correctos? A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) I y III CEPRE2007-1 40. Determine el valor de verdad de los siguientes cuantificadores: p : x {4, 6}: y {1,3} / x + y xy q : x {–2,–3} / y {–1,–2}: x – y < x2 r : x ℕ; y {1,2}: x + y < x2 – 1 A) VVF B) VFF C) VVV D) VFV E) FVV 41. Determine el valor de verdad de las sgtes afirmaciones, donde: A={0; 1; 2; 4; 7} I. ∃x∈A/∀y∈A: x+y∈ℕ. II. ∀x∈A: ∃y∈A /x-y ≥0. III. ∃x,y ∈ A/x+y ∉ A. A)VVV B)VFV C)FVV D)VVF E)VFF CEPRE-2012-1 42. Determine el valor de verdad de las sgtes afirmaciones: I. ∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ / x+y ≥0. II. ∃y∈ ℝ/ ∀x∈ ℝ: x+y ≥0. III. ∃x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ/ x2+ y2≤0. A)VVV B)VFV C)VFF D)FFV E)FFF 43. Determine el valor de verdad de las sgtes afirmaciones: I. ∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ /x2+ y2≥0. II. ∃y∈ ℝ/ ∀x∈ ℝ, x+y ≥0. III. ∀y ∈ ℝ, ∀x ∈ ℝ, x2+ y2>0. A)VVF B)FFV C)VFF D)FVV E)FFF CEPREUNI-2013-1 44. Si A y B son dos conjuntos definidos por: A={-2; 0; 1} y B={-1; 1; 2} Entonces indique el valor de verdad: I. ⩝ x ∊ A, ∃ y ∊ B / x+y ∊(A⋃B) II. ∃ x ∊ A / ⩝ y ∊ B : x+y ∊ (A∆B) III. ∃ x ∊ P(A),∃ y ∊ P(B), x ≠ ∅; y ≠ ∅/x ∆y={-2;2} A) VFV B) VFF C) FFV D) FFF E) VVV 45. Sea U={1; 2; 3; ∅} determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ∃A ⊂ U / {∅} ∊ P(A) II. ∃ A ⊂ U / ⩝ B ⊂ U ; A⋃ B = U III. ∃ A ⊂ U / ∃ B ⊂ U / A⋂ B = ∅ A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF 46. Determine la negación de q si: 𝑞 ≡ ∀∈> 0; ∃𝛿 > 0/ |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| <∈ A) ∃∈> 0/∀𝛿 > 0: |𝑥 − 𝑥0| ≥ 𝛿 ∧ |𝑓(𝑥) − 𝐿| <∈ B) ∃∈> 0/∀𝛿 > 0: |𝑥 − 𝑥0| ≥ 𝛿 ˅|𝑓(𝑥) − 𝐿| ≥∈ C) ∄∈> 0/∀𝛿 > 0: |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 ∧ |𝑓(𝑥) − 𝐿| <∈ D) ∃∈> 0/∀𝛿 > 0: |𝑥 − 𝑥0| ≥ 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| ≥∈ E) ∃∈> 0/∀𝛿 > 0: |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 ∧ |𝑓(𝑥) − 𝐿| ≥∈ 47. Dada la siguiente proposición: ∀ε > 0; ∃δ > 0/ |x3 − b| < ε , ∀ x ∈ 〈b − δ; b + δ〉 Podemos decir que la negación es: A)∀𝜀 > 0, ∀𝛿 > 0, ∃𝑥 ∈ 〈b − δ; b + δ〉/|𝑥3 − 𝑏| ≥ 𝜀 B)∃𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0, ∃𝑥 ∈ 〈b − δ; b + δ〉/|𝑥3 − 𝑏| ≥ 𝜀 C)∃𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0/|𝑥3 − 𝑏| ≥ 𝜀, ∀𝑥 ∈ 〈b − δ; b + δ〉 D)∃𝜀 > 0, ∀𝛿 > 0, ∃𝑥 ∈ 〈b − δ; b + δ〉/|𝑥3 − 𝑏| ≥ 𝜀 E)∃𝜀 > 0, ∀𝛿 > 0/|𝑥3 − 𝑏| ≥ 𝜀, ∀𝑥 ∈ 〈b − δ; b + δ〉 CEPREUNI-2014-2 PROFESOR: IVÁN ALARCÓN
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