Analisis de sistemas de potencia Resumen 28 - Arturo Lara

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3.6 EL MODELO DE LA MÁQUINA DE DOS EJES 1 09
22 8
Vt =	/0o = 0.95 / 0o por unidad
24.0 —		
458.47+/114.62
P +jQ =	= 0.722 + JO. 1805 por unidad
i
>
1
Ia =			= 0.76-/0.19 por unidad
0.95 /0°
E¡ = V, +¡XdIa = 0.95/0° + >1.7241(0.76 ->0.19)
= 1.2776 + /1.3103 = 1.830 / 45.7239° por unidad
= 43.920/ 45.7239° kV
b) El punto ¿que corresponde a las condiciones de operación reales se puede localizar en la carta de la figura 3.14 como se muestra:
P + jQ	0.722+ J0.1805
Pk + jQk =	7" =	?	= 0-8 + 7*0.2 por unidad
0.952	0.952
La distancia n-k es igual a v0.82 + 0.782 = 1.1173 por unidad cuando se calcula o mide en la escala de la carta de la figura 3.14. Entonces, el valor real de |EZ| se calcula como
„ 1.7241
\E¡ I = (1.1173 x 0.952)	= 1.830 por unidad
0.95
que es el mismo valor obtenido anteriormente. Se puede medir fácilmente el ángulo 5 = 45°.
5 EL MODELO DE LA MÁQUINA DE DOS EJES
La teoría de rotor cilindrico que se ha desarrollado en este capítulo da buenos resultados para el comportamiento en estado estable de la máquina sincrónica. Sin embargo, en el análisis transitorio se necesita considerar un modelo de dos ejes. En esta sección se introduce este modelo por medio de ecuaciones para la máquina de polos salientes en la que el entrehierro es mucho más estrecho a lo largo del eje directo que en el eje de cuadratura entre polos. Las unidades generadoras más grandes son los alternadores impulsados por turbinas de vapor con construcción de rotor cilindrico; por razones de diseño económico y eficiencia operacional, las unidades con base en combustibles fósiles tienen dos polos y las nucleares tienen cuatro. Por lo general, los generadores hidroeléctricos tienen más pares de polos y su construcción es de polos salientes. Estas unidades corren a bajas velocidades para evitar el daño mecánico debido a las fuerzas centrífugas.
La máquina trifásica de polos salientes (como su contraparte de rotor cilindrico) tiene tres devanados de armadura, a, b y c, simétricamente distribuidos y un devanado de campo
110 CAPÍTULO 3 LA MÁQUINA SINCRÓNICA
f sobre el rotor. Éste produce una distribución de flujo sinusoidal alrededor del entrehierro.2 En ambos tipos de máquina, el campo ve (por así decirlo) el mismo entrehierro y trayectorias magnetizantes en el estator, sin importar la posición del rotor. En consecuencia, el devanado de campo tiene una inductancia propia ¿^constante. Además, ambas máquinas tienen las mismas inductancias cosenoidales mutuas con las fases de la armadura, Laf, Lb¡ y Lcfi dadas por las ecuaciones (3.4). Adicionalmente, a través de cada revolución del rotor, las inductancias propias de los devanados del estator, Laa, Lbb y y las inductancias mutuas entre ellas, Lab, Lbc y Lca, no son constantes en la máquina de polos salientes, pero también varían como una función del desplazamiento angular del rotor 0d. Los enlaces de flujo de las fases a, b y c, están relacionados con las corrientes a través de las inductancias, así que
^■a LaaÍa ^ab^b + adc + Lafíf
^b = LbaÍa + ^bdb + LbcÍc + Lbfif
Lcaía "b ^cdb + Lcc^c *b Lcfíf
(3.41)
Estas ecuaciones son similares a las ecuaciones (3.5) de la máquina de rotor cilindrico, pero todos los coeficientes son variables, como se resume en la tabla 3.1.3 Como resultado se tiene que las ecuaciones para los enlaces de flujo Xb y de la máquina de polos salientes son más difíciles de usar que las de su contraparte de rotor cilindrico. Afortunadamente, las ecuaciones de la máquina de polos salientes se pueden expresar en una forma simple transformando las variables a,b,y c del estator en conjuntos correspondientes de nuevas variables denominadas cantidades de eje directo, de eje de cuadratura y de secuencia cero, que se distinguen por los subíndices d, q y 0, respectivamente. Por ejemplo, las tres corrientes del estator ia, ib e ic se pueden transformar en corrientes equivalentes llamadas corriente de eje directo id, corriente de eje de cuadratura iq y corriente de secuencia cero iQ. La transformación se realiza a través de la matriz P, llamada transformación de Park, donde
©
cos(0¿ - 120°)
sen (0d - 120°)
1
7¿
©
cos(0¿ - 240°)
sen(0j - 240°)
1
•	72
(3.42)
que fue introducida por R.H. Park en una forma ligeramente diferente a la aquí mostrada. La matriz P tiene la conveniente propiedad (llamada ortogonalidad) de que su inversa P-1 es igual a su transpuesta Pr, que se encuentra fácilmente intercambiando las filas y columnas de la ecuación (3.42). Esta propiedad es más importante porque asegura que la potencia en
	i		-s
2 Para un mayor análisis sobre la máquina de polos salientes véase P. M. Anderson y A. A. Fouad, Power System Control and Stability, capítulo 4, lowa State University Press, Ames, lowa, 1977.
3 Los devanados de amortiguamiento D y Q a que hace mención la tabla 3.1, se analizan en la sección 3.8.
3.6 EL MODELO DE LA MÁQUINA DE DOS EJES 111
TABLA 3.1
Expresiones para las inductancias de generadores sincrónicos trifásicos de polos salientes con campo. Los devanados de amortiguamiento D y Q en el rotor.
Inductancias propias
(4>4,>0)
Estator
Inductancias mutuas (Ms>Lm>0)
Inductancias propias
Rotor
Inductancias mutuas
Armadura/campo
Inductancias mutuas	Armadura/devanado D
estator-rotor
Armadura/devanado Q
Laa'‘Ls + Lmcos20d
Lbb = Ls + Lm cos2(ed - 2ir/3)
Lcc=LS +	+ 2 ”73)
íLab = Lba= ~M, ~ Lm COS2(9d + 77/6) ! Lbc=Lcb “ ~M, - Lm cos2(0d - ir/2) ^CS=LÍC = ~M, - Lm cos 2(0 d + 5ir/6)
í	Devanado de campo: Lff
I Devanado de amortiguamiento D\ LD I Devanado de amortiguamiento Q: LQ
I
Campo/devanado D: Mr
Campo/devanado Q: 0
Devanado D/devanado Q: 0
( Laf=Lfa = Mf cos 6d
( Lbf=Lfb=Mf cos(Qd — 2tt/3)
^Lc/ = L/c = Mf cos(Od - 4tt/3)
íCOS
<	= ^£>5 = Afp COs(0rf — 2^/3)
^LcD = L£>c=AfDcos(0</ - 4tt/3)
r Loq =^LQa cos 0d
LbQ —L,Qb =MQCOs(6d — 2tf/3)
Lcq — Lqc *= Mq cos(6d ~~ 4tt/3)
las variables a, b y c no se altera por P, como se analiza en la sección 8.9. Las corrientes, voltajes y enlaces de flujo de las fases a, b, y c se transforman, a través de P en las variables óZ, q y 0 en la forma:
	V
	
	í a
	
	vd
	
	
	
	X'
	
	V
	
	= p
	ib
	
	Vq
	= p
	vb
	
	
	= p
	
	*0
	
	ic
	
	Vo
	
	vc
	
	^0
	
	Ac
(3.43)
La transformación P define un conjunto de corrientes, voltajes y enlaces de flujo para tres bobinas ficticias, una de las cuales es la bobina 0 estacionaria. Las otras dos bobinéis son la d y la q, que rotan en sincronismo con el rotor. Las bobinas dy q tienen enlaces de flujo constantes con el campo y con cualesquiera otros devanados que haya en el rotor. En la sección A.2 del apéndice se ilustra el procedimiento detallado que transforma las corrientes,
t
112 CAPÍTULOS LA MÁQUINA SINCRÓNICA
voltajes y enlaces de flujo de las fases a, b y c, en cantidades d-q-Q, de acuerdo con las ecuaciones (3.43). Las ecuaciones d, q y 0, de enlaces de flujo resultantes son
— Ldid + y 9 Afyiy
Lq^q
(3.44)
Ao
— Loío
en que ifes la corriente de campo real y las inductancias se definen por
3	3
Ld = Ls + Ms + -L„; Lq = Ls + Ms - -L„; Lo = Ls - 2MS
(3.45i
Los parámetros Ls y Ms tienen los mismos significados que antes y Lm es un número positivo A la inductancia Ld se le llama inductancia de eje directo, a Lq, inductancia de eje de cuadratura y a Zo se le conoce como inductancia de secuencia cero. Los enlaces de flujo de campo están dados todavía por la ecuación (3.24), que se repite aquí en la forma
Áf~ v ? Mfid +
(3.46
Las ecuaciones (3.44) y (3.46) tienen coeficientes de inductancia constante y por eso, resu’ tan bastante simples de aplicar. Interpretadas físicamente, estas ecuaciones simples de enla ces de flujo muestran que Ld es la inductancia propia de un devanado de armadura equiva lente sobre el eje d, que rota a la misma velocidad que el campo y que lleva una corriente / Ésta produce la misma fmm sobre el eje ¿/que producirían las corrientes reales del estator i.. ib e ic. De igual forma, Lq e iq se aplican para el eje q. Por consiguiente, id e iq dan lugar _ fmms que son estacionarias con respecto al rotor. El devanado ficticio del eje dy el devana do de campo f que representanel campo físico, pueden considerarse como dos bobina acopladas que están estacionarias una con respecto a la otra conforme van rotando, compa' tiendo la inductancia mutua kMf(k = a/3 / 2) entre ellas, como lo demuestran las ecuacione (3.44) y (3.46). Además, las bobinas de campo y del eje d no se acoplan magnéticamente cc el devanado ficticio q que está sobre el eje q, el cual atrasa en 90° en el espacio al eje d. L inductancia de secuencia cero, Zo, está asociada con la bobina estacionaria ficticia de armadura sin acoplarse con otras bobinas. Bajo condiciones balanceadas, esta bobina r lleva corriente y por tanto, se omite en el análisis posterior.	j ji
Las bobinas de los ejes d y q que representan los devanados del estator se muestran e la figura 3.15, que se debe comparar con el diagrama de un solo eje de la máquina de rot cilindrico en la figura 3.6.
Ejemplo 3.5. Bajo condiciones de operación de estado estable, la armadura de un generan sincrónico de polos salientes lleva las corrientes trifásicas sinusoidales simétricas