Analisis de sistemas de potencia Resumen 29 - Arturo Lara

Vista previa del material en texto

3.6 EL MODELO DE LA MÁQUINA DE DOS EJES 113
FIGURA 3.15
Representación de un generador sincrónico de polos salientes mediante las bobinas de ejes directo y de cuadratura del equivalente de la armadura, rotando en sincronismo con el devanado de campo en el rotor.
ia= V2|/Jsen(0d- ea)
4= V2|/a|sen(0¿-12O°-0a)
ic= V214| sen(0d-240o-0a)
donde 0d= (¿t+ 8 + 90°, como se muestra en la ecuación (3.14). Mediante la matriz de transformación P, encuentre las expresiones para las corrientes d-q-Q correspondientes de la armadura.
Solución. De las ecuaciones (3.42) y (3.43), se tiene
cos(0¿ - 120°)
sen(0¿ - 120°)
1
VÍ
cos(0¿ - 240°)
sen(0¿ — 240°)
1
12
y la multiplicación de renglón por columna da
[ia eos 0d + ib cos(0d- 120°) + ic cos(0d— 240°)]
[ia sen 0d + ib sen(0¿- 120°) + ic sen(0¿- 240°)]
114 CAPÍTULO 3' LA MÁQUINA SINCRÓNICA
Bajo Condiciones balanceadas, ia + ib + ic = 0y así, i0 - 0. Por medio de la identidad trigonométrica 2 sen a cos /3 = sen(a + /3) + sen(a - /3), se obtiene
ia cos 0d = V2 |4 | sen (0rf - 0a) cos 0d
= -=-[sen(20d- 0a) - sen 0a] V2
De la misma forma, se tiene
ib COS(0¿- 120°) - V2|ZO| sen (0d- 120° - 0a) cos (0d- 120°)
l/l
=	[sen(20rf - 240° - 0a) - sen 0a]
V2
ic cos(0d - 240°) “ 41141 sen(0d - 240° - 0a) cos(0¿ - 240°)
= —[sen(20¿ - 480° - 0a) - sen 0J V2
En las tres expansiones trigonométricas precedentes, los primeros términos dentro del paréntesis son cantidades sinusoidales de segunda armónica cuya suma, como en la sección 3.2, es cero en cada instante de tiempo. Así, se obtiene
4 = J- •^F’Í-3 sen 0J = -4Í |4| sen 0a
V3 V2
De la sección 3.3 se recuerda que 0a = 0 + 8, donde 0 es el ángulo de fase por el cual ia atrasa al voltaje en las terminales, y 0a es el ángulo de fase por el cual ia atrasa al voltaje interno de la máquina.
Por consiguiente,
4 = —4Í |4I sen 0a = - V3 |4| sen(0 + 8)
Se puede demostrar de manera similar que la corriente del eje de cuadratura es
4 = V^|/Jcos0a = \/3 |7a|cos(0 + 8)
Así, la expresión para id es exactamente la misma para la máquina de polos salientes que para la de rotor cilindrico. Los enlaces de flujo en el devanado de campo están dados por la ecuación (3.46), que muestra que la corriente del eje directo id está directamente en oposición a la influencia magnetizante del campo cuando 0a = ir/2 y la corriente iq del eje de cuadratura es cero.
3.7 ECUACIONES DE VOLTAJE: MÁQUINA DE POLOS SALIENTES 115
17 ECUACIONES DE VOLTAJE: MÁQUINA DE POLOS SALIENTES
i
Las ecuaciones para los enlaces de flujo de la sección 3.6 son marcadamente simples cuando se expresan en términos de las variables d, q, y 0. Ahora se considerarán otras simplificaciones importantes que ocurren cuando se aplica la transformación P a las ecuaciones de voltaje de la armadura.
Se escribirán las ecuaciones de los voltajes en terminales para los devanados de la armadura en la máquina de polos salientes mediante las polaridades de voltaje y las direcciones de corriente mostradas en la figura 3.4, en la forma
v„ = -Ri
dXa	„. dXb	áX,
(3AT)
En estas ecuaciones, los voltajes va, vb y vc son los voltajes en terminales línea a neutro, para las fases de la armadura. Se tienen signos negativos en los coeficientes porque las corrientes za, ib e ic están dirigidas hacia afuera del generador. Aunque la ecuación (3.47) tiene una forma simple, es difícil de manejar si se deja en términos de Xa, Xb y Xc. Nuevamente, se encuentra un conjunto mucho más simple de ecuaciones para los voltajes v¿, vq y i^, al emplear la transformación P. Los cálculos que conducen a las nuevas ecuaciones de voltaje son, como se muestra en la sección A.2 del apéndice, directos pero tediosos, y dan
dXd
vd = -Rid
dX
v< = ~Ri< ~~dr+o>Ád
(3.48)
dA°
■>. -
r
donde a> es la velocidad rotacional df)d/dt. La ecuación (3.26) para el devanado de campo, no se somete a la transformación P y así, al arreglar los enlaces de flujo d-q-0 y las ecuaciones de voltaje de acuerdo con sus ejes, se obtiene
eje d:
~ Ldid
+ kMfi
Az= kMfid
+ Lff if
(3-49)
dXf
(3.50)
116 CAPÍTULO 3 LA MÁQUINA SINCRÓNICA
eje q:
dXg
v«= ~Rit¡ ~ ~dT + ú))íd
(3.51)
donde k = -V3 / 2. Las ecuaciones que involucran a f0 y Ao se dejan por separado y no son de interés en condiciones balanceadas. Las ecuaciones (3.49) a (3.51) son mucho más simples de resolver que sus correspondientes ecuaciones de voltaje y de enlaces de flujo en términos de las variables a-b-c. Además, como se muestra en la figura 3.16, se puede dibujar un conjunto de circuitos equivalentes para satisfacer las ecuaciones más simples. El circuito f representa el campo real, puesto que la transformación P sólo afecta las fases de la armadu- - ra, los cuales se reemplazan por las bobinas d y q. Se observa que la bobina f está mutuamente acoplada a la bobina d sobre el eje d y las ecuaciones de enlaces de flujo y de voltaje se pueden escribir de forma que concuerden con las ecuaciones (3.49) y (3.50). Debido a que los ejes d y q están especialmente en cuadratura, se muestra la bobina ficticia q como desacoplada magnéticamente de los otros dos devanados. Sin embargo, hay una interacción entre los dos ejes a través de las fuentes de voltaje ~(¿Xq y coA¿, que son fems que rotan o voltajes por velocidad internos en la máquina que se deben al movimiento del rotor. Se observa que el voltaje por velocidad en el eje d depende de Xq, y similarmente, el voltaje por velocidad en el eje q depende de Xd. Estas fuentes representan el principio de la conversión de energía electromecánica. No puede ocurrir tal conversión de energía en reposo (o> = 0) debido a que tanto el circuito de campo como el del eje d actuarían como un transformador estacionario y a su vez, el circuito del eje q como una bobina de inductancia ordinaria.
Para resumir, la transformación de Park reemplaza los devanados físicos estacionarios de la armadura por:
t ■
1. Un circuito de eje directo que rota con el de campo y está mutuamente acoplado con él,
2. Un circuito de eje de cuadratura que está desplazado 90° desde el eje d y no tiene inductancia mutua con el campo u otros circuitos del eje d, aunque rote en sincronismo con ellos, y
3. Una bobina 0 que permanece sola y estacionaria sin acoplarse con ningún circuito y que por eso, no se muestra en la figura 3.16.
La figura 3.16 será muy útil cuando se analice el comportamiento de las máquinas sincrónicas bajo condiciones de cortocircuito en la siguiente sección.
Ejemplo 3.6. Se suministra una corriente directa If al devanado de campo de un generador sincrónico de polos salientes sin carga, que rota a velocidad angular constante co. Determine la forma de los voltajes de circuito abierto de la armadura en términos de sus componentes d-q-Q.
Solución. Como las terminales de la armadura están en circuito abierto, las corrientes ia, ib e ic son cero, y así
<7
0
0
0
= P