Analisis de sistemas de potencia Resumen 81 - ArturoSelect

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9.2 EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 321
K(I)
^rr= IKI |j7(ñ|	(9‘26)
y se continúa en la siguiente etapa con el valor almacenado de P4(1)corr de la barra (4), con la magnitud especificada en los cálculos que restan de la iteración.
Como se analizó en la sección 9.1, se deben especificar la magnitud del voltaje o la potencia reactiva en cada barra excepto en la de compensación, en la que el voltaje se especifica por medio de su magnitud y ángulo. En las barras con generación, se especifica tanto la magnitud del voltaje como la potencia real Pg que suministra el generador. La potencia reactiva Qg que entra a la red desde la generación es, entonces, determinada por la computadora al resolver el problema de flujos de potencia. Desde un punto de vista práctico, la salida de Qs del generador debe caer dentro de límites definidos dados por la desigualdad
donde £?mín y £?máx son los límites mínimo y máximo impuestos en la salida de potencia reactiva del generador en la barra. Si durante el transcurso de la solución de los flujos de potencia el valor calculado de Qg está fuera de cualquiera de los límites, entonces Qg se hace igual al valor del límite que se violó, la magnitud del voltaje originalmente especificado se expande a otros valores y la barra se trata como una barra P-Q para la que un nuevo voltaje se calcula por medio del programa de computadora. En las iteraciones subsecuentes, el programa intentará sostener el voltaje especificado originalmente en la barra mientras se asegura que Qg está dentro del rango permitido de valores. Esto bien podría ser posible porque otros cambios pueden ocurrir en otro lado del sistema para apoyar la acción local de la excitación del generador, conforme se ajusta para satisfacer el voltaje en terminales especificado.
Ejemplo 9.3. Encuentre el voltaje en la barra (4) del ejemplo 9.2 para completar la primera iteración del procedimiento de Gauss-Seidel, considerando los valores acelerados anteriormente indicados en lugar de los voltajes originalmente estimados en las barras (2) y (3).
Solución. En la tabla 9.4 se muestra que K41 es igual a cero y así, la ecuación (9.24) da
=_Im{<‘[K42r2% + Y43v^ + K4X0)]} —• - - v ' ~
Al sustituir los valores para las cantidades indicadas en esta ecuación, se obtiene
íl.02[( —5.169561 + (25.847809)(0.973703 -j0.051706)
Q<» = -Im< + (-3.023705 + (15.118528)(0.953949 ->0.066708)
}	+ (8.193267 —(40.863838)(l.02)]
= — Im{1.02[-5.573064 + (40.059396 + (8.193267 -(40.863838)1.02]}
= 1.654151 por unidad
322 CAPÍTULO 9 SOLUCIONES DE FLUJOS DE POTENCIA
Este valor para se sustituye en la ecuación (9.25) para obtener
2.38-j 1.654151
1.02-70.0
-(-5.573066+j 40.059398)
7.906399-j41.681115
8.193267- j40.863838
= 1.017874 -70.010604 por unidad
Por lo tanto, |K4(1) | es igual a 1.017929 y así, se debe corregir la magnitud para que sea de 1.0?
: ;	■	1.02	' —
= 1^17929 (1-°17874 "y0 010604)
= 1.019945 -j'0.010625 por unidad
En este ejemplo se encuentra que es 1.654151 por unidad en la primera iteración. Si u generación de potencia reactiva en la barra (4) estuviera limitada a un valor menor de 1.65415' por unidad, entonces, se debería usar el valor límite especificado para y en este caso, ■ barra (4) podría considerarse como de carga dentro de esta iteración. La misma estrategia se usa dentro de cualquier otra iteración en la que se violen los límites de Q del generador.
El procedimiento de Gauss-Seidel es uno de los métodos para resolver el problema flujos de potencia. Sin embargo, los estudios basados en la industria de hoy en día emplea- por lo general, un método iterativo alterno: el de Newton-Raphson. Este último es confiab en su convergencia, más rápido desde el punto de vista computacional y más económico e los requisitos de almacenamiento de información. La solución a la que convergen los ejemplos 9.2 y 9.3 está en concordancia con los resultados dados en la figura 9.4 que se encontraron después mediante el método de Newton-Raphson.
9.3 EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
La expansión en serie de Taylor para una función de dos o más variables es la base c método de Newton-Raphson para resolver el problema de flujos de potencia. El estudio c. método se iniciará por el análisis de la solución de un problema en que intervienen solame- te dos ecuaciones y dos variables. Entonces, se verá cómo extender el análisis a la solución de ecuaciones de flujos de potencia.
Considere la ecuación de una función hx, de dos variables Xi y x2, que es igual a ¿ constante bx y que se expresa como
gl(xl,x2,u) = /i1(x1,x2,w) - bx = 0	(9.2"
y una segunda ecuación que contiene una función h2 tal que
9.3 EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 323
g2(Xj, x2, «) =/i2(Xj, x2, w) - b2 = 0	(9.28)
donde b2 es también una constante. El símbolo w representa un control independiente que se considera constante en este capítulo. Las funciones g, y g2, como en las ecuaciones (9.9) y (9.10), se introducen por conveniencia para permitir el análisis de las diferencias entre los valores calculados de hxy h2y sus valores especificados respectivos bx y b2.
Para un valor especificado de u se estimará que las soluciones de estas ecuaciones son x'0’ y x20). Los superíndices cero indican que esos valores son estimados iniciales y no son las soluciones reales x* y x*. Se designarán las correcciones Axj(0) y Ax20) como los valores que se tienen que sumar a xf0* y x20) para dar las soluciones correctas y x’. Así, se puede escribir	,
gi(x*, x2,u) = g^x^ + Ax(!0), x(20) + Ax(20),u) = 0	(9.29)
g2(xr,x*,u) =g2(x<°> +Ax<0),x<0) +Ax<0),u) = 0	(9.30)
Ahora, el problema es encontrar la solución para Axi0) y Ax20) que se hace al expandir las ecuaciones (9.29) y (9.30) en series de Taylor alrededor de la solución supuesta, para tener
gi(x*, x*, u) = g^x^, x<°>, u) +
dg7
g2(xf,x$,u) = g2(x^,x^,u) + Axí0)^
(0) ag, + Ax<°>—
2 dx2
<0)	' dg2
+ Ax<°>—
2 dx2
(0)
+ ... = o
(0)
+ ... = o
(9.31)
(9.32)
donde las derivadas parciales de orden mayor que 1 en la serie de términos de la expansión no han sido listadas. El término dgx/dxx |(0) indica que la derivada parcial se evalúa para los valores estimados y x^. Términos como éstos se evalúan de manera similar.
Si se desprecian las derivadas parciales de orden mayor que 1, se pueden volver a escribir las ecuaciones (9.31) y (9.32) en forma matricial. Entonces, se tiene
dxx dg2 dxx
	dSi ’
dx2
	(0)
	■Ax<0)‘
	
	’O-g^x^x^u)'
	
	£>i — hx^x(x \ x<°>, u)
	dg2
dx2
	
	Ax<°>
	
	_0-g2(x<°>,x^,M)
	
	b2 - /i2(x(10), x<°>, u)
(9.33)
j(°)
donde la matriz cuadrada de derivadas parciales se llama jacobiana J o, en este caso, J(0) para indicar que se han usado los estimados iniciales x^ y x^} para calcular los valores numéricos de las derivadas parciales. Se observa que g^xj^, x^, u) es el valor calculado de gx que se basa en los valores estimados de Xi0) y X20), pero este valor calculado no es el valor cero especificado por la ecuación (9.27), a menos que los valores estimados x^ y x^0 sean los correctos. Como se hizo anteriormente, se designará el valor especificado de gx menos el valor calculado de gx como el error Agf^ y se define de manera similar el error Ag2°} • Se tiene entonces el siguiente sistema lineal de ecuaciones de error
324 CAPITULO 9 SOLUCIONES DE FLUJOS DE POTENCIA
Ax<0)l _ [Ag<°>
Ax<0) " Ag<0)
(9.34)
Se pueden determinar los valores de Axí0) y Ax20) al resolver las ecuaciones de error, ya sea por factorización triangular de la jacobiana o (para problemas muy pequeños) invirtiendo la matriz. Sin embargo, como se truncó la expansión en serie, estos valores añadidos a los iniciales no determinarán la solución correcta y nuevamente se hará un intento suponiendo unos nuevos estimados x^0 y x¿\ donde
</> = x<0) + Ax<0); x<n = x<0) + Ax<0)
(9.35)
Se repite el proceso hasta que la corrección es tan pequeña en magnitud que satisface el índice de precisión seleccionado e > 0; esto es, hasta que |Axí | y |Ax21 sean ambas menore que e. Los conceptos sobre los que se basa el método de Newton-Raphson son ahor? ejemplificados numéricamente.
Ejemplo 9.4. Encuentre Xj y x2 a partir de las siguientesecuaciones no lineales por medio de. método de Newton-Raphson.
gi(xi, x2, w) = ¿i(xb x2, w) - bx = 4ux2 sen Xj + 0.6 = 0
a
g2(xb x2, w) = h2(xx, x2, u) - b2 = 4x2 - 4^2 eos Xj + 0.3 = 0
a
Considere el parámetro u como un número fijo igual a 1.0 y seleccione las condiciones inicial < xí0) = 0 rad y x20) = 1.0. El índice de precisión de e es IO-5.
e
Solución. La derivada parcial con respecto a las x conduce a
J =
	
	d8i '
	
	4UX2COSXJ	4usenxí
	dxx
	dx2
	
	
	dg2
	dg2
	—
	4ux2senx1 8x2 - 4u cos xx
	dxx
	dx2
	
	
El parámetro u tiene aquí un valor fijo igual a 1.0, pero en algunos estudios podría tratarse cog^ una variable especificable o de control.
Primera iteración. Con u = 1 y mediante los estimados iniciales de X! y x2, se calci: los errores
Agí0) = 0 -gl,calc = ¿i -	= - 0.6 - 4 sen(0) = - 0.6
Ag‘0) = 0 -g2>calc = b2 -	= - 0.3 - 4 X (10)2 + 4cos (0) = - 0.3
que se usan en la ecuación (9.34) para obtener las ecuaciones de error
	4cos(0)	4sen(0)
	
	
	— 0.6
	4sen(0) 8x2 - 4 cos(O)
	
	
	-0.3