ARITMETICA_21_POTENCIANCIÓN EN LOS NATURALES - Gabriel Solis

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Magdalena; Los Olivos; Ingeniería; Surco; Carabayllo Página 1 
ARITMÉTICA 
 
SEMANA 21: POTENCIANCIÓN EN LOS NATURALES. 
TEOREMA FUNDAMENTAL: CUADRADOS Y 
CUBOS PERFECTOS. 
01. Si la diferencia de la tercera parte de un 
número de tres cifras y la quinta parte del mismo 
número es un cuadrado perfecto, entonces la 
suma de las cifras del mínimo número que cumple 
esta condición es: 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 (CEPRE 2005-I) 
 
02. Si la diferencia de la cuarta parte de un nú-
mero de tres cifras y la sexta parte del mismo 
número es un cuadrado perfecto, entonces el 
producto de las cifras del mayor número que 
cumple esta condición es: 
A) 180 B) 126 C) 72 
D) 12 E) 144 
 
03. ¿Cuál es el menor número entero, sabiendo 
que la suma de su tercera y cuarta parte da un 
número que es un cuadrado perfecto? La suma 
de sus cifras es 
A) 9 B) 10 C) 11 
D) 12 E) Más de 12 
 
04. Si ( )13
aabb es cuadrado perfecto, entonces 
(a+b) es: 
A) 10 B) 13 C) 14 
D) 15 E) 16 
 
05. Si ( )12
aabb es cuadrado perfecto, entonces 
(a+b) es: 
A) 10 B) 13 C) 14 
D) 15 E) 16 (CEPRE 2005-I) 
 
06. Si 𝑚𝑚𝑝𝑝̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅(69), es cuadrado perfecto, entonces 
(m+p) es: 
A) 69 B) 68 C) 70 
D) 72 E) 67 
 
07. Si se cumple que: = 2(5)abcabc k , ¿cuántas 
soluciones tiene? 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) Más de 5 (CEPRE 2002-I) 
 
08. Si se cumple que 𝑚𝑛𝑝𝑚𝑛𝑝̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ (7) es un cuadrado 
perfecto, ¿cuántas soluciones tiene? 
A) 0 B) 1 C) 2 
D) 3 E) 4 
09. Se tiene el siguiente cuadrado perfecto 
𝑥𝑦𝑧𝑥𝑦𝑧̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , ¿cuántas soluciones tiene? 
A) 0 B) 1 C) 2 
D) 3 E) 4 
 
10. Existen un número entero positivo de 4 cifras 
de la forma abcd que es cuadrado perfecto y es 
tal que ( )CA ab cd= . Calcule (a + b + c + d). 
A) 9 B) 10 C) 17 
D) 18 E) 19 
 
11. Si el número abcd es un cuadrado perfecto, 
tal que − = 25ab cd , entonces es: 
A) 8 B) 9 C) 10 
D) 11 E) 12 (CEPRE 2004-I) 
 
12. Sabiendo que abcd es un cuadrado 
perfecto y que 4ab cd= + . Determine 
(a+b+c+d). 
A) 12 B) 15 C) 18 
D) 19 E) 20 
 
13. Dada la siguiente secuencia: 
12 36;12 37;12 38; ;12 36000    
¿Cuántos de los términos son cubos perfectos? 
A) 11 B) 7 C) 8 
D) 9 E) 10 
 
14. ¿Cuántos números cubos perfectos hay en la 
siguiente sucesión: 18×100; 18×102; …; 
18×10000? 
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 9 
 
15. Dada la siguiente sucesión 40×42; 40×41; 
…; 40×6942. 
a) Calcular la cantidad de términos cuadrados 
perfectos. 
b) Calcular la cantidad de términos cubos perfectos. 
Dar como respuesta la razón de dichos resultados. 
A) 4,0 B) 6,4 C) 2,4 
D) 4,8 E) 5,2 
 
16. ¿Cuántos números de 4 cifras son iguales al 
cubo de la suma de sus cifras? 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
17. ¿Cuántos números de 3 cifras son iguales al 
cuadrado de la suma de sus cifras? 
A) 1 B) 4 C) 0 
D) 3 E) 2 
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18. Sabiendo que el número (5)ababab se 
convierte en cuadrado perfecto cuando se le 
multiplica por (8)272 . Determine ( )a b+ . 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
 
19. El siguiente numeral 𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ (7) se con-
vierte en un cuadrado perfecto cuando se le 
multiplica por 516. Determine x + y. 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
 
20. El siguiente numeral 1183 × 𝑚𝑝𝑚𝑝𝑚𝑝̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅(3) es 
un cubo perfecto. Calcular m + p. 
A) 3 B) 2 C) 4 
D) 1 E) 5 
 
21. Dos parejas de esposos integrados por 
Martha, Yolanda, Pepe y César se van de 
compras, al finalizar se observa lo siguiente: 
- Cada uno ha comprado tantos artículos iguales 
como soles cuesta cada artículo. 
- Cada esposa gastó S/.84 más que su esposo. 
- Yolanda compró 18 artículos más que César. 
¿Cuántos artículos compraron Martha y Pepe 
juntos? 
A) 15 B) 20 C) 25 
D) 30 E) 35 
 
22. Rocco y Sasha, fueron de compras, y se ob-
servó que cada uno ha comprado tantos artículos 
iguales como soles cuesta cada artículo; así mis-
mo la diferencia de los montos que han gastado 
resulta ser S/.120. ¿Cuántos artículos compraron 
Rocco y Sasha, ésta cantidad fue máxima? 
A) 20 B) 25 C) 30 
D) 60 E) 75 
 
23. Una fábrica tiene el pedido de elaborar cajas 
de acrílico de forma cúbica y cuyas 
especificaciones son: 
I. Las dimensiones (en cm) deben ser números 
enteros. 
II. Los volúmenes deben ser menores que 
27000 3cm . 
III. El número que representa el volumen en cm3, 
es un número con 6 divisores positivos. 
¿Cuántos tipos de cajas con dichas especi-
ficaciones debe elaborar el fabricante? 
A) 4 B) 5 C) 8 
D) 3 E) 6 
 
CRITERIOS DE INCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN PARA 
CUADRADOS Y CUBOS PERFECTOS. 
24. Si el número 9aa aa es un cuadrado 
perfecto, determine la cifra “a”. 
A) 1 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 8 
 
25. En la base 6, ¿cuántos cuadrados perfectos 
de 5 cifras terminan en 1? 
A) 9 B) 8 C) 16 
D) 17 E) 18 
 
26. El número N es un cubo perfecto y al 
expresarlo en el sistema de base 6 termina en la 
cifra “a”, ¿cuántos valores diferentes puede 
tomar dicha cifra? 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 5 E) 6 
 
27. ¿Cuántos números de la forma 6 0 0a b c son 
cuadrados perfectos? 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 8 
 
28. El número abcde es múltiplo de 7; también 
es un cuadrado perfecto, además + + = 9a c e 
y + = 9b d . Entonces la cifra de las centenas de 
dicho número es: 
A) 3 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 9 (CEPRE 2004-I) 
 
29. Siendo 25abca k= . Determine la suma de 
los posibles valores de ( )b c+ . 
A) 13 B) 14 C) 15 
 
30. Si se cumple que: 
y
xy yabcdx= , enton-
ces el valor de ( )a b c d+ + + es: 
A) 12 B) 15 C) 18 
D) 20 E) 28 (CEPRE 2009-I) 
 
31. Si el número 5abac es un cuadrado 
perfecto, entonces ( )a b c+ + es: 
A) 10 B) 11 C) 12 
D) 13 E) 14 (CEPRE 2011-I) 
 
32. Calcule la suma de las cifras de la mediana 
de los divisores positivos del número aabb 
sabiendo que es un cuadrado perfecto. 
A) 5 B) 9 C) 12 
D) 14 E) 16 (CEPRE 2006-I) 
 
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33. El número 66 5a bc es cubo perfecto y 
11a b c+ + = . Calcular la suma de las cifras de 
su raíz cúbica. 
A) 9 B) 10 C) 11 
D) 12 E) 13 (CEPRE 2010-I) 
 
34. Si: 35 3abc n= , calcule a b c n+ + + . 
A) 42 B) 43 C) 45 
D) 47 E) 48 
 
35. Si el número abcde4 es un cubo perfecto 
divisible por 27. El número de soluciones que 
existen es 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
36. Si =
4
pq 45abc6 , determinar a + b + c 
A) 20 B) 21 C) 22 
D) 23 E) 24 
 
37. Si entre dos cuadrados perfectos conse-
cutivos existen 234 números, la cantidad de 
cubos perfectos o cubos perfectos más 1 que 
existen entre dichos cuadrados es: 
A) 1 B) 2 C) 4 
D) 7 E) 9 
 
38. Entre dos cuadrados perfectos conse-
cutivos hay 38 números enteros. Calcule la 
suma de cifras del mayor número par de cifras 
significativas en dicho intervalo. 
A) 20 B) 21 C) 24 
D) 15 E) 17 
 
39. Entre dos números enteros cubos perfectos 
consecutivos existen 468 números enteros. La 
suma de las cifras del mayor de los dos cubos es: 
A) 16 B) 17 C) 18 
D) 19 E) 20 
 
40. Si 3abcde k= , hallar k, si a + c + e = 19 ∧ b 
+ d = 8 
A) 33 B) 35 C) 36 
D) 38 E) 66 
 
41. El número aabcd es múltiplo de 5; también 
es un cuadrado perfecto, además 
+ + + =2 9a b c d y + + − =2 3 4 7b c d a . 
Entonces la cifra de las centenas de dicho 
número es: 
A) 0 B) 1 C) 5 
D) 8 E) 2 
42. Si abc y bca son cubos perfectos con a b 
Calcule: (a + b)c. 
A) 16 B) 25 C) 36 
D) 49 E) 64 
 
PREGUNTAS TEÓRICAS 
43. Dadas las siguientes proposiciones, indique si 
es verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 
I. Existen números naturales “k” tales que: 
2
(7)
...3k = 
II. Un número natural cuadrado perfecto no 
puede terminar en 54. 
III. Existen 58 números de 3 cifras cuyos cuadra-
dos al ser divididosentre 31 dan como resto 16. 
A) VVV B) VVF C) FVV 
D) FFV E) FFF 
 
44. Indicar el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones: 
I. Todo número que es cubo perfecto es igual a 
un 7
○
, 7
○
+ 1 ó 7
○
− 1. 
II. Todo múltiplo de 4, mayor que 4, es la 
diferencia de los cuadrados de dos números 
enteros positivos. 
III. Un cuadrado perfecto de la base 8 puede 
terminar en 6. 
A) VVV B) VVF C) VFV 
D) FVV E) VFF (CEPRE 2005-II) 
 
45. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las 
siguientes proposiciones: 
I. El cuadrado de todo número natural es: 7 ó 
7
○
+ 1 ó 7
○
+ 2 ó 7
○
+ 4. 
II. 
2008
34000 000
cifras
N = no puede ser cuadrado 
perfecto. 
III. (9)5M = puede ser un cuadrado perfecto. 
A) VVV B) VFV C) VFF 
D) FVF E) VVF (CEPRE 2008-II) 
 
46. Dadas las siguientes proposiciones, indicar 
el valor de verdad: 
I. Para cualquier número primo “p” mayor que 
3 se cumple que 𝑝2 = 12
○
+ 1. 
II. Siendo =N abcd con + + + = 23a b c d , 
entonces existen cifras a, b, c y d tal que N sea 
cuadrado perfecto. 
III. El producto de cuatro términos consecutivos 
de una progresión aritmética de números natura-
les es la diferencia de dos cuadrados perfectos. 
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A) VFV B) VFF C) VVF 
D) FVV E) FFV 
 
47. Dadas las siguientes proposiciones: 
I. Existe un cuadrado perfecto de la forma 
(5)
aabb . 
II. Es =2 (7)....4k un posible cuadrado perfecto. 
III. Existen dos números cuadrados perfectos 
que cuando se le suma 625 se convierte en otro 
cuadrado perfecto. 
Los respectivos valores de verdad son: 
A) FFV B) VFV C) FVV 
D) VVV E) FFF (CEPRE 2003-II) 
 
48. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones: 
I. Si el número 16 5N abc= tiene una cantidad 
impar de divisores positivos, entonces el valor 
de (a + b + c) es 6. 
II. El resto máximo que se obtiene al extraer la 
raíz de orden cinco de un número entero 
siempre es múltiplo de 10. 
III. En el sistema de numeración de base siete, 
un entero cuadrado perfecto nunca termina en 
3 ni en 5. 
A) VVV B) VFV C) VVF 
D) VFF E) FFF (CEPRE 2009-II) 
 
49. Determine los valores de verdad de las 
siguientes afirmaciones: 
I. 25N a= no es un cuadrado perfecto si 
0, 2, 6a  . 
II. Un entero positivo par que no es divisible por 
4 no puede ser cuadrado perfecto. 
III. Si 
"2 "
00 00
n cifras
cero
N ab= , entonces N es cuadro 
perfecto. 
A) VVV B) FFV C) VFV 
D) VVF E) FFF (CEPRE 2008-I) 
 
50. Indique si es verdadero (V) o falso (F) en 
cada una de las siguientes proposiciones: 
I. Existe un único número capicúa de 4 cifras 
que es cubo perfecto. 
II. Si =N abcd es tal que =ab cd , entonces 
«N» puede ser cuadrado perfecto. 
III. Cualquier número entero positivo que termina 
en 4 cifras cero es un cuadrado perfecto. 
A) VVF B) FVV C) VFF 
D) FVF E) VVV (CEPRE 2004-II)