Cantidad de movimiento electromagnético - Arturo Lara (1)

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21- Cantidad de movimiento electromagnético
Ya se ha visto cómo la densidad y el flujo de energía pueden adjudicarse ai campo electromagnético. También resulta posible asociarle una cantidad de movimiento, y de hecho resulta muy conveniente hacerlo. Recuérdese el resultado (2-8), que demostraba que las fuerzas de Coulomb entre dos cargas puntuales son iguales y opuestas, es decir, que están de acuerdo con la tercera ley de Newton. Por otro lado, en (13-19) se encontró que las fuerzas entre elementos de corriente dadas por (13-17) no son, por lo general, iguales y opuestas, po lo que no satisfacen la tercera ley de Newton. De la mecánica se sabe que es un hecho que las fuerzas entre masas puntuales de un sistema compuesto son iguales y
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opuestas, y esto es la base de la derivación inicial de la conservación de la cantidad de movimiento lineal de un sistema aislado. Dado que esta propiedad de la conservación de la cantidad de movimiento es un principio tan básico y de alcances tan extendidos, sería preocupante que la ley fundamental sobre las fuerzas magnéticas (13-17) obligara a concluir que la conservación de la cantidad de movimientos no es ya un principio general en presencia de campos electromagnéticos. El objetivo aquí es, pues, buscar la manera de que ese principio se siga manteniendo. Sin embargo y para simplificar, esto se hará aquí sólo para el caso del vacío.
Considérese una distribución de cargas y corrientes libres que ocupa un volumen V y que se encuentra descrita por las densidades pf y J^. Si <7F es la fuerza sobre las cargas y las corrientes en un volumen dr, se pueden combinar (21-29), (2-14) y (12-3) para obtener
dF = (P/E + X B) dr	(21 -63)
Se puede así introducir una fuerza por unidad de volumen, fv, por medio de
dF
= p,E+JyxB	(21-64)
Más aún, la fuerza electromagnética total sobre todo el sistema se puede calcular sumando (21-63) sobre toda la distribución para obtener
F = J fvdr = f (P/E +JyXB)¿Zr	(21-65)
deséandose ahora, como ya es costumbre, expresar esto completamente en función de los campos.
Haciendo que P y M sean iguales a cero en (21-30) y (21-33) y utilizando los resultados así obtenidos, se encuentra que el integrando de (21-65) puede expresarse como
= €0E( V.E)+-J-(VXB)XB-€O^XB	(21 -66)
Puede mejorarse la simetría de esta expresión entre Ey Bsi sele suma cero expresado como
8B	1
-e0EX-e0Ex(VxE)+—B(V-B) = 0
según se desprende de (21-31) y (21-32). Haciendo esto y utilizando (1-23) se obtiene
f„ + Eo4-(EXB) = ÍO[E(V-E)-EX(V XE)]
+ — (B(V-B) — BX(VxB)]	(21-67)
Mo
Para poder apreciar bien lo que se ha obtenido, calcúlese la componente x del primer término entre corchetes a la derecha; de una manera directa se encuentra que puede escribirse como
[E(V-E)-EX(VxE)]x=2-[£/-1^) + A(£A)+^(£x£-)
(21-68)
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y habrá un resultado similar para el término en B. Esto puede escribirse más compactamente si se introduce un conjunto de cantidades T¡j definidas como
T:¡ =	1	- 1B^
(21-68)
por medio del símbolo delta de Kronecker que se definió en (8-27), donde los índices i y j pueden tomar, en forma independiente, los valores x, y y z. Al utilizar esta definición se observa que la componente x de (21-67) puede expresarse en la forma
ftJ + e0-gy(EXB) = —+ —+ -3--V-X	(21-69)
donde X = Txxx + Txyy + Txzi. (las cantidades 7^ reciben el nombre de componentes del tensor de esfuerzo de Maxwell', sin embargo, no se volverán a usar otra vez después de esta sección). Si ahora se integra (21-69) sobre el volumen V y se aplica el teorema de la divergencia (1-59), se obtiene
[)X-Ja
(21-70)
Extiéndase ahora la región de integración para incluir todo el espacio, cosa que es posible debido a que Py y Jy son iguales a cero en el exterior de V. Dado que todas las fuentes pf y Jy están dentro de una región finita, a una distancia R muy grande se tendrá, cuando mucho, que E~ 1/R2 y B~1/JR3 como ya se vio en (7-26) y (18-19), mientras que el área de la superficie de integración aumenta como R2, pero las componentes de T¡j incluyen productos de las componentes de los campos, y se puede observar en (21-69) que X disminuirá mucho más rápidamente con R que lo que el área de la superficie de integración aumentará, por lo que su integral de superficie se anula, quedando (21-70) como
todo el espacio
dr = (f) X-da — 0
•'todo el espacio
(21-71)
Se obtienen los mismos valores para las componentes y y z de esta integral, de manera que la integral vectorial se anula y, por lo tanto,
+ (EXB)
todo el espacio	<Jí
dr = F+-^[	€0(EXB)¿t = 0
J todo el espacio
(21-72)
donse se ha utilizado (21-65) para volver a introducir la fuerza total sobre las cargas y comentes. F actúa sobre los portadores de carga y corriente, es decir, sobre la materia del campo; la materia posee propiedades mecánicas y de la mecánica se sabe que F es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento de la materia, es decir, F = <7pm atería/^- Sustituyendo esto en (21-72) y observando que ya no existe distinción entre derivadas parciales y totales con respecto al tiempo en el segundo término porque la integración es con respecto a todo el espacio, se encuentra que (21-72) puede expresarse como
d dt
Pmatem + J «o(EXB)dr
todo el espacio
=0
(21-73)
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de modo que la cantidad entre corchetes es una constante. Pero ésta es justamente la manera en que se haría un enunciado de la conservación de la cantidad de movimiento total de todo el sistema. Por lo tanto, se puede interpretarla integral comocantidad de movimiento del campo electromagnético y escribir
n = f CqExBíZt	(21-74)
campo en J	v
todo el espacio
Resulta natural ya interpretar el integrando como una densidad de cantidad de movimiento, g:
g=€0ExB = g0€0S	(21-75)
donde S es el vector de Poynting porque B - p0H en este caso.
Si se recuerda de la mecánica que la cantidad de movimiento angular I de una masa puntual con cantidad de movimiento lineal p se define como I = r X p, donde r es el vector de posición, se concluirá por analogía que es posible definir una densidad de cantidad de movimiento angular £ asociada con el campo electromagnético por medio de
£ =rXg = €orX(EXB)	(21-76