ARITMETICA_18_MCD Y MCM-FRACCION CONTINUA SIMPLE - Gabriel Solis

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Magdalena; Los Olivos; Ingeniería ; Surco; Carabayllo Página 1 
ARITMÉTICA 
 
SEMANA 18: MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y 
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. FRACCIÓN 
CONTINUA SIMPLE. 
PREGUNTAS TEÓRICAS 
01. Indique el valor de las siguientes proposiciones: 
I. Si A, B y C son naturales entonces 
( ) ( ) ( )MCM A,B,C MCM A,B,C MCM A,B,C
MCD , , 1
A B C
 
  =
 
 
 
II. Si A y B son pesi entonces A y (Ak+B) son 
pesi para todo 𝑘 ∈ ℕ. 
III. De los divisores naturales de 112; solo 5 
divisores tienen como cifra o suma de cifras un 
número primo. 
A) VVV B) VFF C) FVV 
D) VFV E) FFF (CEPRE 2017 I) 
 
02. Indicar verdadero (V) o falso (F) según 
corresponda. 
I. , donde A y B 
son números enteros. 
II. MCD(D; d) = MCD(d; q), donde D, d y q son 
dividendo, divisor y cociente respectivamente 
de una división entera. 
III. Si MCD(A; B+69A)=1 entonces A y B son PESI. 
IV. Siendo A, B y C números enteros, se cumple 
que ( )  ; ; ; ;MCD A B C MCM A B C A B C    
A) VVVV B) FVFV C) VFVF 
D) FFVV E) VFVV 
 
03. Indicar el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones: 
I) Entre 60 y 80 existen 5 números primos. 
II) Si “a”∈ ℤ+ divide al MCM(A, B) entonces “a” 
divide al MCD(A, B). 
III) Si los números A1, A2, …, An son PESI 
entonces MCM(A1, A2, …, An)=A1.A2….An 
A) VFV B) VVV C) FFF 
D) VFF E) VVF (CEPRE 2017 II) 
 
04. Indique verdadero (V) o falso (F), según 
corresponda. 
I. Si “a”, “b” y “k” son enteros y , entonces 
mcd(k.a; kb) = k.mcd(a; b) 
II. mcm[A; B; C] = mcm[mcm[A; B]; mcm[B;C]] 
III. Si A, B y C son números enteros positivos, 
entonces mcm[A; B; C]. mcd(A; B; C) = A.B.C 
IV. Si mcd(a1; a2; a3; …; an) es entero positivo, 
entonces , para todo i = 1, 2, 3, …, n 
A) VVFF B) FVFF C) VVFV 
D) FVFV E) FVVF 
05. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las 
siguientes proposiciones 
I. Un número racional tiene una única repre-
sentación como FCSF 
II. Todo número real se puede representar 
como una FCS. 
III. Si [a0; a1, a2, a3, …, an] representa una FCSF, 
entonces los términos de dicha FCSF son 
números naturales. 
A) FVV B) VVV C) FFF 
D) VVF E) FVF 
 
PROPIEDADES DEL MCD-MCM 
06. ¿Cuántos pares de números existen 
tales que y 
? 
A) 4 B) 8 C) 16 
D) 32 E) 64 
 
07. Si MCM(A, B) = A2 y MCD(A, B) = 21. 
Entonces la suma de cifras de B es: 
A) 7 B) 8 C) 9 
D) 10 E) 11 (FINAL 2016 II) 
 
08. Se divide A entre B y el cociente resulta 
exacto e igual al cuadrado de su MCD. Calcule A 
sabiendo que la suma entre y 
 es igual a 520. 
A) 520 B) 512 C) 360 
D) 180 E) 240 
 
09. El producto y el cociente del MCM y MCD de 
2 números A y B son: 4050 y 50 respectiva-
mente. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar 
“A”? 
A) 330 B) 345 C) 390 
D) 405 E) 450 (CEPRE 2007-I) 
 
10. Si se cumple que: 
MCD(3A; 5B) = 60 y MCD(5B; 7C) = 140. 
Calcule MCD(3A; 5B; 7C). 
A) 420 B) 840 C) 620 
D)400 E) 340 
 
11. Si se cumple que: 
MCM(4P; 3Q; 6R) = 2400 y 
MCM(6R; 11T) = 660. 
Calcule MCM(3Q; 11T; 4P; 6R), dar como 
respuesta la suma de cifras. 
A) 16 B) 8 C) 6 
D) 10 E) 12 
( ); / ;x y Ax By MCD A B  + =
0k 
0ia 
( );A B
( ); 0 0MCM A B ab ab=
( );MCD A B ab=
( );MCD A B
( );MCM A B
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12. Si se cumple que: 
MCM(24A; 72B) = 4320 y 
MCM(90B; 198C) = 29700 
Calcule el MCM(5A; 15B; 33C) 
A) 9900 B) 4950 C) 19800 
D) 8500 E) 14850 
 
13. Si se cumple que: 
MCD(8A3; 125B6) = 8000 y 
MCD(16B4; 36C2) = 576 
Calcule el MCD(30C; 8A; 20B2) 
A) 90 B) 50 C) 40 
D) 45 E) 60 
 
14. Si se cumple que MCM(4M4; 64N8) = 1764, 
calcule el MCM(27M6; 1728N12). Dar como 
respuesta la suma de cifras. 
A) 20 B) 15 C) 24 
D) 16 E) 18 
 
15. Si MCD(𝑎𝑏𝑎̅̅ ̅̅ ̅; 45)=45, calcule el MCM(a; b). 
A) 42 B) 40 C) 45 
D) 44 E) 48 
 
16. Si A = 4(𝑏 + 1)(𝑐 + 5)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , donde b y c son 
cifras, además MCD(A; 15) = 1. Indique la 
cantidad de valores que puede tomar A. 
A) 42 B) 40 C) 45 
D) 44 E) 48 
 
17. Si MCD(7A; 35B) = 840 y MCM(5A; 25B) = 
1200. Calcule la cantidad de divisores compu-
estos que tiene el número . 
A) 43 B) 44 C) 45 
D) 47 E) 48 
 
18. Si: * MCD(55A; 33B)= 660; y 
 * MCM(10A; 6B) = 360 
Calcular la cantidad de divisores de A.B 
A) 21 B) 22 C) 24 
D) 30 E) 35 
 
19. Halle la suma de cifras del MCD de 3434–1 y 
de 4910–1. 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 8 E) 12 
 
20. Sean A = 666…666(7) y B = 666…666(7), tal 
que tienen 1038 y 1903 cifras respectiva-
mente. En qué cifras termina el MCM de A y B al 
expresarlo en base 10. 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 6 
MÉTODOS DE CÁLCULO DEL MCD-MCM Y 
ALGORITMO DE EUCLIDES 
21. Indicar el número de divisores comunes que 
tienen los números A y B; siendo: A=244.153 y 
B=183.256 
A) 108 B) 112 C) 54 
D) 81 E) 96 
 
22. Al descomponer en sus factores primos, los 
números A y B se expresan como A = 3α.b2; B = 
3β.a (con α y β consecutivos), sabiendo que su 
mínimo común múltiplo y su máximo común 
divisor son 675 y 45, respectivamente, halle el 
valor más pequeño de A + B. 
A) 360 B) 368 C) 456 
D) 720 E) 810 (UNI 2006 I) 
 
23. Calcule tres números “a”, “b” y “c” mayores 
que 28, tales que: 
 y 
 Dar como respuesta el 
menor de los tres números. 
A) 193 B) 196 C) 199 
D) 202 E) 205 
 
24. Siendo “a”, “b” y “c” números primos 
absolutos y . 
Calcule: 
A) 6 B) 7 C) 8 
D) 9 E) 10 
 
25. ¿Cuántos enteros positivos de 3 cifras 
existen, tal que el MCD de dicho número y de su 
complemento aritmético es 50? 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 7 (CEPRE 2017 I) 
 
26. La diferencia entre el MCM y el MCD de tres 
números es 897, la diferencia entre el número 
mayor y el intermedio es 26 y la diferencia 
entre el número mayor y menor es 65. El 
número mayor es: 
A) 78 B) 91 C) 104 
D) 117 E) 130 
 
27. Determine el valor de “n” sabiendo que el 
mínimo común múltiplo de A = 180n.27 y B = 
40n.60 tiene 5400 divisores. 
A) 6 B) 7 C) 8 
D) 9 E) 10 (UNI 2007 I) 
 
A B
( ) ( ) ( ); ; ; 28MCD a b MCD b c MCD a c= = =
( ), , 22932MCM a b c =
( ) ( ), , 2 0b aMCM a b c b b=
( )a b c+ +
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28. Al calcular el MCD de dos números naturales, 
los cocientes sucesivos que se obtuvieron fueron 
1, 1, 1, 2 y 2. Si la diferencia de los cuadrados de 
dichos números es 62 713, calcule la suma de las 
cifras del mayor de los números. 
A) 7 B) 8 C) 9 
D) 10 E) 11 (CEPRE 2017 I) 
 
29. Al calcular el MCD de dos números por el 
algoritmo de Euclides se obtienen los cocientes 
sucesivos 2, 3, 2 y 2. Si el MCM de dichos nú-
meros es abc , calcular la suma de cifras del ma 
yor valor posible del MCD de dichos números 
(la segunda operación de división fue por 
exceso) 
A) 8 B) 6 C) 5 
D) 4 E) 2 (CEPRE 2017 II) 
 
30. Al calcular el MCD de dos números enteros 
positivos por divisiones sucesivas, los cocien-
tes obtenidos fueron 3; 3; 2 y 2 respectiva-
mente. Si la segunda división se hizo por exceso 
y además el MCM de los dos números es 8580, 
halle el menor de los números. 
A) 195 B) 220 C) 145 
D) 180 E) 150 
 
APLICACIONES DEL MCD-MCM 
31. Determine el máximo volumen en litros de 
un recipiente, de modo que, con este recipiente, 
se puedan medir exactamente los volúmenes de 
otros tres, cuyas capacidades son de 6930 L, 
8190 L, 10710 L. 
A) 150 B) 210 C) 315 
D) 630 E) 1 260 (FINAL 2017 I) 
 
32. Un hacendado desea cercar un terreno 
triangular, cuyas dimensiones son: 114m, 72m 
y 78m, con alambres sujetos a estacas equidis-
tantes y separadas lo mayor posible, de tal 
manera que en cada esquina se ubique una 
estaca. ¿Cuántas estacas se utilizaron en total? 
A)42 B) 43 C) 44 
D) 45 E) 46 
 
33. Un terreno rectangular de 1260 m de largo 
por 380 m de ancho, debe quedar particionado 
en parcelas cuadradas iguales cuyos lados 
miden una cantidad entera de metros con una 
estaca en cada vértice. ¿Cuántas estacas como 
mínimo se necesitan? Dar como respuesta la 
suma de las cifras de esta cantidad. 
A) 7 B) 8 C) 9 
D) 10 E) 11 (CEPRE 2007-II) 
34. Nicolás compra un terreno rectangular 
cuyas dimensiones son 540 metros de largo y 
240 metros de ancho y lo cerca colocando 
postes a lo largo del perímetro. Si la distancia 
entre poste y poste es “d” metros siendo 
5 12d  y además obligatoriamente se debe 
colocar postes en los vértices y en el centro de 
los lados; determine la mayor cantidad de 
postes que utiliza Nicolás, según las condi-
ciones dadas. 
A) 26 B) 156 C) 200 
D) 260 E) 280 (CEPRE 2011-II) 
 
35. Se requiere dividir un terreno rectangular 
de 319,2 m por 487,2 m en parcelas cuadradas 
iguales que deben ser cercadas de tal forma que 
exista un poste en cada esquina de las parcelas 
y que un poste coincida en el punto medio de 
cada lado del terreno. ¿Cuántos postes se 
requiere como mínimo? 
A) 551 B) 600 C) 768 
D) 2204 E) 2301 
 
36. Manuelito; Kike; Monchito y Alex3ito visitan 
a S. Grey cada 4; 9; 8 y 6 días respectivamente. 
¿Cuántas veces como máximo la visitaran 
juntos en un año de 365 días si empiezan todos 
un mismo lunes? 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
 
37. El sr. Telechea, quiere empaquetar en cajas 
cúbicas idénticas 21 600 barras de jabón, cuyas 
dimensiones son 20; 15 y 18 cm, de tal modo 
que todas queden completamente llenas. 
¿Cuántas cajas cúbicas como máximo se podrán 
utilizar? 
A) 18 B) 20 C) 24 
D) 30 E) 36 
 
38. Se construye el cubo compacto más 
pequeño posible con ladrillos cuyas 
dimensiones son 12cm, 15cm y 9 cm, luego se 
pinta todo el cubo. ¿Cuántos de los ladrillos 
utilizados no tienen ninguna cara pintada? 
A) 2340 B) 1620 C) 1500 
D) 2430 E) 180 
 
39. Tres varillas de 3m cada una tienen 
respectivamente marcas cada 24mm, 15mm y 
12mm. ¿Cuántas marcas de las 3 varillas 
coincidirán si estas se superponen? 
A) 24 B) 25 C) 50 
D) 60 E) 120 (FINAL 2010 I) 
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40. La bolsa de valores de New York y Lima 
tienen sistemas de cotización de precios diarios 
de stocks negociables en intervalos de 15min y 
30 min respectivamente. Un inversionista 
decide tener ambas lecturas de cotizaciones 
para negociar. ¿Cuántas lecturas de 
cotizaciones son coincidentes, si ambas bolsas 
de valores abren a las 8:00 y cierran a las 
16:00? 
A) 12 B) 15 C) 16 
D) 24 E) 30 
 
41. Tres ciclistas parten a un mismo tiempo y de la 
misma línea de partida de un circuito circular. Para 
recorrer una vuelta tardan respectivamente 1min 
12seg; 1min 30seg y 1min 45seg. Sean “a”, “b” y “c” 
las cantidades de vueltas que da el primero, 
segundo y tercer ciclista respectiva-mente. 
Cuando hayan pasado nuevamente y a la vez por 
la línea de partida, entonces el valor de a+b+c es 
A) 87 B) 90 C) 93 
D) 95 E) 99 
 
FRACCIÓN CONTINUA SIMPLE 
42. Si 
𝑥𝑦𝑧̅̅ ̅̅ ̅
𝑝𝑞̅̅ ̅̅
= [2; 1, 3, 4, 5], calcular (x+y–z)(p–q) 
A) 0 B) 1 C) 2 
D) 3 E) 4 (CEPRE 2015 II) 
 
43. Expresar como fracción continua simple 
finita a 
49
17
− . 
A) [– 2; 8, 2] B) [– 3; 7, 2, 1] C) [– 3; 7, 1, 1] 
D) [– 3; 8, 1, 1] E) [– 2; 7, 3] 
 
44. Si la fracciones irreductible se expresa 
como FCSF de la forma [–6; 1, 1, 1, 1, 3] y 
 ; , ,
ad
x y z w
cb
= . Calcule x + y + z + w. 
A) 10 B) 13 C) 15 
D) 16 E) 12 
 
45. Si  ; , ,
ab
a a a a
ca
= , halle a + b + c 
A) 11 B) 12 C) 13 
D) 14 E) 15 
 
46. Sea “f” una fracción irreductible tal que 
 3 ; 1, ,2
a
f n n n n
b
= = + además, 
( )( )
( ) ( )
3
3
1 2 000
n
n n n m
+
+ + = . Halle el valor 
numérico de a + b. 
A) 21 B) 28 C) 35 
D) 38 E) 41 
 
47. Sean A = MCD(5!; 10!; 15!; …; 100!) y B = 
MCM(1!; 2!; 3!; …; 17!). Si “P” y “Q” son los 
mayores números primos absolutos que 
dividen a “A” y “B” respectivamente y 
 ; ,
Q
a b c
P
= . Determine a + b + c. 
Nota:  ; ,a b c denota a una fracción continua 
simple. 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 7 (CEPRE 2011 II) 
 
48. Al resolver la ecuación x2 + x – 5, una de sus 
raíces es de la forma   a;b,c . Calcule la 
ecuación que da origen a una raíz de la forma 
a b;c,b +
  
A) 7x2 – 2x + 1 B) x2 + 4x + 2 
C) 3x2 – 9x + 5 D) 3x2 + 9x – 5 
E) 4x2 + 2x – 5 
 
49. Halle la ecuación de segundo grado si la 
siguiente es una de sus raíces 
x = 1 + ___________________________ 
 3 + ________________________ 
 5+ ____________________ 
 3 + ________________ 
 5 + ____________ 
 3 + ………… 
 
A) 3x2 + 9x – 17 = 0 B) 8x2 + 12 = 0 
C) 3x2 + 7x – 16 = 0 D) 5x2 + 3x = 0 
E) 6x2 + 6x – 5 = 0 
 
50. Se define “x” como un número metálico si 
 =x n , donde “n” es un número natural; es 
decir cuando n=1 el “x” se denomina número 
de oro; cuando n=2 obtenemos el número de 
plata. Calcular el número de bronce. 
A) 
2 17
2
+
 B) 
3 13
2
+
 
C) 
3 15
2
+
 D) 
3 19
2
+
 
E) 
3 16
3
+
 
PROF. ALEX GAMARRA “ALEX3ITO” 
ab
cd
−
1 
1 
1 
1 
1