Función de Liapunov - Wikipedia, la enciclopedia libre - Axel

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16/6/2020 Función de Liapunov - Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/Función_de_Liapunov 1/3
Función de Liapunov
En matemática, las funciones de Liapunov, planteadas principalmente por el ruso Aleksandr
Liapunov, son funciones que demuestran la estabilidad de cierto punto fijo en un sistema dinámico o en
las ecuaciones difererenciales autónomas. Las funciones que podrían probar la estabilidad de un punto
cualquiera de equilibrio son llamadas candidatas a funciones de Liapunov.
No existe un método general para construir o encontrar una función candidata de Liapunov que
demuestre la estabilidad de un equilibrio dado, en todo caso, la incapacidad de encontrar una función de
Liapunov no implica automáticamente la inestabilidad del equilibrio mismo. Para los sistemas
dinámicos (como los sistemas físicos) las leyes de conservación proveen frecuentemente a las funciones
candidatas de Liapunov.
El segundo teorema de estabilidad de Liapunov para los sistemas autónomos los hace estrechamente
correlativos con las funciones candidatas de Liapunov y son instrumentos para demostrar la estabilidad
de los equilibrios de un sistema dinámico autónomo.
Es menester saber que el segundo teorema de estabilidad de Liapunov para los sistemas autónomos
aporta condiciones suficientes pero no necesarias para demostrar la estabilidad de un equilibrio.
Definición intuitiva
de una función de
Liapunov
Definición de una
función candidata de
Liapunov
Teorema de
Estabilidad de
Liapunov
Equilibrio estable
Equilibrio
localmente
atractivo
Equilibrio
globalmente
atractivo
Bibliografía
Índice
Definición intuitiva de una función de Liapunov
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Rusia
https://es.wikipedia.org/wiki/Aleksandr_Liapunov
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_fijo
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_din%C3%A1mico
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_diferencial_aut%C3%B3noma&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Punto_de_equilibrio&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_din%C3%A1mico
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_(f%C3%ADsica)&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_conservaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_din%C3%A1mico
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lyapunov.gif
16/6/2020 Función de Liapunov - Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/Función_de_Liapunov 2/3
Un sistema dinámico requiere un estado inicial y una función de evolución que indica la
trayectoria de los estados futuros que tendrá el sistema. Una función de Liapunov corresponde
intuitivamente a una familia de regiones de Liapunov, cada una de las cuales queda definida por una
curva de nivel. Una vez que el estado ha entrado a la región de Liapunov correspondiente a la curva
de nivel , ya no podrá salir de ella. De este modo, a medida que el tiempo avanza, el estado
irá quedando restringido a regiones de Liapunov cada vez menores, razón por la cual el valor de la
función de Liapunov irá decreciendo al pasar el tiempo. La restricción en las trayectorias que imponen
las curvas de nivel permiten asegurar que el sistema dinámico es estable.
Sea
una función escalar. y dicha función candidata de Liapunov si es localmente (en 0) una función
definida positiva o, equivalentemente, si existe un entorno de 0 tal que
Sea
un punto de equilibrio del sistema autónomo
y sea
la derivada respecto al tiempo de una función candidata de Liapunov .
Si la derivada respecto al tiempo de (la función candidata de Liapunov) está localmente semidefinida
negativa, entonces existe un entorno centrado en 0 tal que
entonces el equilibrio es estable, para algún entorno o vecindad .
Definición de una función candidata de Liapunov
Teorema de Estabilidad de Liapunov
Equilibrio estable
Equilibrio localmente atractivo
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_din%C3%A1mico
https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_nivel
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Campo_ascalar&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_definida_positiva&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Entorno
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Punto_de_equilibrio&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
https://es.wikipedia.org/wiki/Estabilidad_de_Liapunov
16/6/2020 Función de Liapunov - Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/Función_de_Liapunov 3/3
Si la derivada respecto al tiempo de la función candidata de Liapunov está localmente definida
negativa, esto es si existe un entorno de 0 tal que:
entonces el equilibrio es localmente atractivo.
Si las funciones candidatas de Liapunov están definidas como positiva sobre todo el dominio y si su
derivada respecto al tiempo es globalmente definida como negativa, esto es
entonces el equilibrio es globalmente atractivo.
Alessandro Giua, Carla Seatzu (2006). Analisi dei sistemi dinamici. Springer. ISBN:978-88-470-0284-5.
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Equilibrio globalmente atractivo
Bibliografía
https://es.wikipedia.org/wiki/Estabilidad_de_Liapunov
https://es.wikipedia.org/wiki/Estabilidad_de_Liapunov
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_Liapunov&oldid=117953653
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_3.0_Unported
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