La carta de Smith - arturo lara morales

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2.10 La carta de Smith
Todos los ejercicios que se han presentado en las últimas secciones para obtener impedancias de entrada, coeficientes de reflexión, etc., tienen algo en común: son matemáticamente tediosos y hay que hacer muchos cálculos con números complejos. Para el estudiante moderno, que cuenta con calculadoras programables de increíble versatilidad, lo anterior realmente no es mayor problema. Pero hace 50 años, realizar dichos cálculos requería de muchísima paciencia. Por tal razón, en esa época se buscaron métodos alternativos gráficos, de los cuales el que cobró mayor popularidad (y aún la tiene) fue el de la carta de Smith*. Este método utiliza el plano complejo del coeficiente de reflexión, sobre el cual se ubican resistencias y reactancias normalizadas. A continuación se explicará cómo pueden deducirse las curvas que integran una carta de Smith típica.
Recuérdese que la impedancia vista a lo largo de una línea sin pérdidas en dirección hacia la carga es, de las ecs. (2-29) y (2-30):
Z(Z) = Híl =	= z W) + W
I(z) I¡(z) - Ir(z) 0 J<(Z) - Vr(z)
• P.H. Smith publicó su método gráfico en 1939, en la revista Electrón íes, y posteriormente lo perfeccionó, publicando en 1944 en la misma revista “An improved transmission-line calculator”.
La carta de Smith 117
Si esta impedancia se divide entre la impedancia característica de la línea, se dice que está normalizada’.
- _ Z(z)	Vi^ +
Zo	Vt(z) - Kr(z)
= LíJ2Í£W£) = 1 + Pv(z)
1 - VMIW 1 - pv(z)
en donde pjz) está dada por la ec. (2-61):
PvGO = P¿e72fiZ	=(2-61)
La impedancia normalizada z es función de z y en general es una cantidad compleja. De allí que se puede emplear la siguiente notación rectangular:
z(z) = r + jx	(2-74)
en donde res una resistencia normalizada y x es una reactancia normalizada. Obviamente, ambas son también funciones de la coordenada z.
Asimismo, el coeficiente de reflexión de voltajes se puede representar como:
pv(z) = u +jv	(2-75)
Ahora, sólo falta sustituir la ec. (2-75) en la ec. (2-73) e igualar con la ec. (2-74)’.
1 - u - jv
Con un poco de álgebra, es fácil demostrar que la ecuación compleja anterior representa a dos familias de círculos que pueden graficarse en el plano complejo u -jv. Veamos su deducción:
(1 + a + jv)(l - m + jv) _ [(1 + jv) + M][(l + Jv) ~ “] r 2X (i _ M - jv) (1 - u + jv)	(1 - u)2 + v2
118 Teoría de las lineas de dos conductores
(1 + 2jv - V2) - u2 _ (1 - u2 - V2) + j2v
(1 - u)2 + v2 ~	(1 - u)2 + v2
Si se igualan las partes reales e imaginarias de ambos miembros, se tiene:
(1 - u)2 + V2
2v
(1 - »)2 + V2
(2-76)
(2-77)
El lector que quiera practicar sus matemáticas un poco más, podrá demostrar sin mucho esfuerzo que las dos ecuaciones anteriores se pueden reescnbir como:
y
La ec. (2-78) representa a una familia de círculos de r constante sobre el plano complejo u -jv. El centro de cada círculo está en [r / (1+r), 0] y su radio es [1 / (1 + r)].
Por su parte, la ec. (2- 79) representa a otra familia de círculos en el mismo plano, pero éstos son de x constante; cada círculo tiene su centro en [1, 1/x] y su radio es [ 1 / |x| ].
En la Fig. 2-30 se muestran, a manera de ejemplo, los círculos correspondientes a resistencias normalizadas de r = 0, r = 0.4, r = 1 y r = 3. El centro y el radio de cada uno de estos círculos se calculan de acuerdo con la Tabla 2-3.
Se observa que todos los círculos de resistencia normalizada tienen su centro sobre el eje u, y que conforme r aumenta, los círculos se hacen más pequeños y se desplazan hacia la derecha. El círculo mayor, correspondiente
La carta de Smith 119
a r - O, contiene a todos los demás círculos de r constante; asimismo, el círculo mayor tiene radio unitario, y los radios de los demás círculos son menores que la unidad. Por último, todos los círculos pasan por el punto u- 1, v = 0.
Tabla 2-3
	Valor de r
	centró del círculo 7
	radio del círculo.
	
	
	V
	
	0
	0
	0 ?
	1
	0.4
	0.2857
	0
	0.714
	1
	0.5
	7 ■ 0
	0.5
	3
	0.75
	0
	0.25
Fig. 2-30 Círculos de resistencia normalizada r sobre el plano complejo u -jv del coeficiente de reflexión.
Por lo que se refiere a los círculos de reactancia normalizada x, también conviene hacer una pequeña tabla para ejemplificar la obtención de sus
120 Teoría de las líneas de dos conductores
centros y radios respectivos. En este caso, la reactancia puede ser positiva (inductiva) o negativa (capacitiva). Véase la Tabla 2-4.
Tabla 2-4
	Valor de x
	centro del círculo
	radio del círculo
	
	u
	V
	
	0
	1
	00
	00
	0.3
	1
	3.33
	3.33
	1
	1
	1
	1
	2
	1
	0.5
	0.5
	-0.3
	1
	-3.33
	3.33
	-1
	1
	-1
	1
	-2
	1
	-0.5
	0.5
Fig. 2-31 Círculos de reactancia normalizada x sobre el plano complejo u - jv del coeficiente de reflexión.
La carta de Smith 121
Los círculos obtenidos para x se muestran en la Fig. 2-31. Como referencia, también se incluye al círculo unitario de r = 0, y nótese que sólo se muestran precisamente las secciones de los círculos de x constante que quedan dentro de dicho círculo con r ~ 0. Esto se debe a que la magnitud máxima que puede tener el coeficiente de reflexión es 1, y todo lo que se dibujase fuera del círculo unitario no tendría ningún sentido práctico. Recuérdese, de la ec. (2-75), que el coeficiente de reflexión para cualquiera se puede ubicar perfectamente en el plano complejo u - jv.
Si la reactancia normalizada x es positiva, su círculo queda arriba del eje w; si es negativa, queda abajo. Como el radio de cada círculo es igual al valor absoluto de la ordenada de su centro, todos los círculos pasan también por el punto u = 1, v = 0. Cuando la reactancia vale cero, su círculo tiene radio infinito y un arco infinitesimal del mismo se confunde con la línea recta horizontal, que marca el límite entre las reactancias normalizadas inductivas y capacitivas.
Para poder utilizar este método gráfico en la solución de problemas y obtener resultados con la mayor precisión posible, es necesario dibujar muchos círculos de r y x constantes. Mientras más círculos haya, mejor, pues el error visual humano por interpolación será menor. Sin embargo, también hay un límite, ya que demasiados círculos harían a la carta muy pesada, y también se dificultaría la lectura de los valores. No hay que perder de vista que el método en sí es exacto, y que con cuidado y paciencia se puede interpolar visualmente para leer resultados bastante precisos. También hay que resaltar una bondad adicional del mismo método, en el sentido de que el ingeniero diseñador tiene frente a sí, al trabajar sobre la carta, una muestra visual simultánea de las muchas soluciones que puede haber para un gran número de líneas y el rango de respuestas que se pueden obtener al variar los parámetros de trabajo.
La carta de Smith se consigue comercialmente en negocios que venden papelería para ingenieros. Con fines didácticos, nosotros emplearemos aquí nuestro propio “diseño” de la carta, que se muestra en la Fig. 2-32.
Cada impedancia normalizada se puede representar como un punto, sin importar si dicha impedancia es la de entrada de la línea, la de la carga, o la vista en cualquier lugar intermedio. Así por ejemplo, supóngase que en algún problema la impedancia normalizada de la carga vale zL =2 +j‘L2; su representación en la carta de Smith sería el punto de cruce entre los
122 Teoría de las líneas de dos conductores
círculos r=2 y x = 1.2 (véase el punto A en la Fig. 2-32). Si en otro problema, la impedancia normalizada de entrada fuese z¿ = 0.2 - y’0.5, su representación seria el punto B en la misma figura, donde se cruzan los círculos r = 0.2 y x = - 0.5.
En la misma Fig. 2-32 aparecen dos escalas circulares extenores. Una está dividida en grados y la otra en fracciones de X.
La escala en grados sirve para leer rápidamente el ángulo del coeficiente de reflexión. Su magnitud se obtiene por una simple “regla de tres”, tomando en cuenta que el radio del círculo para r = 0 es unitario. Así por ejemplo, el punto C representa un coeficiente de reflexión de 0.5 Z134°, y el punto D es un coeficiente de reflexión igual a 1Z-5O0.
La otra escala, queestá en fracciones de X, sirve para trasladar un punto a lo largo de la línea. Si el desplazamiento se desea en dirección hacia el generador, la distancia eléctrica equivalente se lee en esa escala de la carta, avanzando en el sentido de las manecillas del reloj. En cambio, si el movimiento es hacia la carga, el desplazamiento eléctrico se mide en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. Nótese que una vuelta completa en la carta, en cualquiera de las dos direcciones, equivale a avanzar media longitud de onda, y después todo se vuelve a repetir, tal como se hubiese esperado de acuerdo con la teoría de ondas estacionarias que se ha desarrollado en el texto.
Por ejemplo, supóngase que del punto B, donde está la impedancia normalizada de entrada de una cierta línea, uno quiere saber cuánto valdría la impedancia normalizada que se vería al avanzar 0.12 X hacia la carga. Recuérdese que, al tratarse de la misma línea, la magnitud de su coeficiente de reflexión es constante en cualquier lugar de la línea. En este caso, la magnitud estaría dada por la distancia proporcional entre el origen de la carta y el punto B, considerando que del origen al círculo r = 0 la distancia es unitaria. Al desplazarse uno hacia la carga, la fase del coeficiente de reflexión iría cambiando, pero su magnitud sería la misma; es decir, el desplazamiento equivale a movemos sobre un círculo cuyo radio es precisamente la distancia entre el origen y el punto B. El resto es muy simple, pues basta leer en la escala exterior un avance igual a 0.12 X en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. La impedancia normalizada buscada quedaría representada por el punto E.
Con el fin de que el lector medite sobre la interpretación de la carta de Smith, en la Fig. 2-33 se proporciona una réplica de nuestro diseño, en caso
La carta de Smith 123
de que desee fotocopiarla y amplificarla para su uso personal y realizar por su cuenta los ejercicios que se verán a continuación.
rrrrrTm
Fig. 2-32 La carta de Smith.
124 Teoría de las lineas de dos conductores
<-0.00,0.00-+
<-0.25.0.25—*
Fig. 2-33 La carta de Smith.
La carta de Smith 125
Ejercicio 2-18 Una línea sin pérdidas con impedancia característica Zo - 75 Q mide 2.2 longitudes de onda a cierta frecuencia de trabajo. Al final está conectada una carga ZL = 100 + y’50 Q. Use la carta de Smith para encontrar: a) la impedancia de entrada de la línea, b) el coeficiente de reflexión de voltajes (magnitud y fase) en la carga, c) la impedancia vista en el centro de la línea, y d) el coeficiente de reflexión de voltajes (magnitud y fase) en el mismo centro de la línea.
Solución
-	2.2 X
		1.1 X	1
B	1
i
i
i
7 ^centro
Z£= 100+750 Q
Para utilizar la carta de Smith, el primer paso obligado es normalizar las impedancias:
ZL	100+750	___
z, = — = 		— = 1.333 + /0.666
. Zo 75
La carga, entonces, queda localizada en la carta por el punto A.
a) Para transferir el punto A a la entrada de la línea, hay que trazar el círculo del coeficiente de reflexión, cuya magnitud es constante. Después, hay que avanzar sobre ese círculo, una distancia equivalente a 2.2 X, hacia el generador (en el sentido de las manecillas del reloj); cada vuelta completa equivale a 0.5 X, por lo que hay que dar cuatro vueltas más 0.2 X, medidas desde el punto A. De esta forma, se llega a la entrada de la línea (punto B), en donde la impedancia normalizada vale:
z¡ = 0.785 -7'0.52
126 Teoría de las líneas de dos conductores
Para encontrar su valor verdadero, se desnormaliza multiplicando por ZQ:
Zf = ZQz¿ = 75(0.785 - y'0.52) = 58.9 - ;39 Q
b) El coeficiente de reflexión de voltajes en la carga se lee directamente en el punto A, que representa precisamente a la carga. Para estimar su magnitud, tómese una regla o escuadra con escala en milímetros, y hágase la operación siguiente (regla de tres):
El ángulo del coeficiente se lee sobre la línea OC en la escala circular correspondiente, de donde:
p¿ = O.31Z480
Como verificación, y por simple curiosidad, revisemos este resultado con laec. (2-33):
ZL - Zo _ 100 + j50 - 75
Pi ~ ZL + Zo ~ 100 + >50 + 75
= 0.207 + y'0.226 = 0.307Z47.49’
Evidentemente, los dos resultados concuerdan, dentro de un pequeñísimo margen de error.
c) Para leer en la carta la impedancia vista en el centro de la línea, se puede partir desde B y avanzar 1.11 hacia la carga (sentido contrario al de las manecillas del reloj), o bien se puede iniciar en la carga (punto A) y desplazarse 1.11 hacia el generador (sentido de las manecillas del reloj). El resultado obtenido sería el mismo.
Tomemos a la carga (punto A) como punto de partida. Al avanzar 1.11 (dos vueltas más 0.11), se lee sobre el círculo de ¡ pv | constante la impedancia buscada (punto D):
La carta de Smith 127
¿centro - 168 -j'0.45
y ^centro = (75)(1.68 -j0.45) = 126 - >33.7 Í2
•-00 0'00 0-*
«-0.25.0,25
Carta de Smith del Ejercicio 2-18
128 Teoría de las lineas de dos conductores
d) Por último, el coeficiente de reflexión de voltajes en el centro de la línea, se lee directamente en el punto D. Por facilidad de lectura en la escala de los grados, la línea OD se prolonga hasta que corte dicha escala:
Pv
= O.31Z-240
centro de la línea
Ejercicio 2-19 Empleando la carta de Smith, encuentre la longitud mínima en metros que debe tener una línea terminada en circuito abierto para que a la entrada presente una impedancia de j’30 Q, si Zo = 100 Q. Considere que la er del dieléctrico en la línea vale 2.5 y que la frecuencia de trabajo es de 300 MHz.
Solución
Zq — 100 £7	Z^ —> co
Zi
Como r y x de la carga tienden a infinito, el punto A que identifica a la carga (circuito abierto) está en el extremo derecho de la carta. La magnitud del coeficiente de reflexión vale 1, de modo que el círculo del coeficiente de reflexión coincide con el círculo de r - 0. Al girar en el sentido de las manecillas del reloj (desplazamiento desde la carga hacia el generador), lo necesario hasta encontrar (/30) / 100 =j‘0.3, se determina que l = 0.297 X.
En la línea, X es igual a:
X =
= 0.6325 m
La carta de Smith 129
Por lo tanto, la longitud pedida es:
l = (0.297) (0.6325) = 18.8 cm
<—0 2S0.25—»
<-0.00,0.00"»
Carta de Smith del Ejercicio 2-19
130 Teoría de las lineas de dos conductores
Ejercicio 2-20 Una línea sin pérdidas con Zo ~ 50 Q termina en corto circuito. La línea mide 1.8 X a cierta frecuencia de trabajo. Use la carta de Smith y encuentre: a) la impedancia de entrada, b) la posición del primer máximo de voltaje más cercano al generador, y c) el VSWR de la línea.
Solución
a) La carga es un circuito cerrado (r = 0, x = 0) y, por lo tanto, su posición en la carta de Smith es la indicada por el punto A. La magnitud del coeficiente de reflexión es 1, y el círculo de |p | constante coincide con el círculo r = 0. Para llegar a la entrada de la línea, hay que desplazarse 1.8 Á desde el punto A hacia el generador. Finalmente, la impedancia normalizada de entrada corresponde al punto B:
b) De la figura, podría decirse rápidamente que el primer máximo de voltaje más cercano al generador está a una distancia de 0.05 X, medida desde el principio de la línea hacia la carga. Para determinar la misma respuesta con la carta de Smith, debe recordarse primero, de acuerdo con las ecs. (2-57) y (2~58), que la impedancia vista en puntos de voltajes máximos y mínimos siempre es resistiva pura e igual, respectivamente, a (Z^)(VSWR) y ZQ/VSWR.
La carta de Smith 131
El máximo de voltaje buscado estará, por lo tanto, sobre el eje real del plano complejo u -jv, o sea, sobre la línea horizontal central de la carta. La pregunta que sigue es: ¿dónde?, ¿en el extremo izquierdo o en el extremo derecho? La ec. (2-57) indica que la impedancia normalizada en un punto de voltaje máximo es:
= (Z0)(KSO) = VSWR = Vmía
^máx	^0	^mín
«—0.250.25
Carta de Smith del Ejercicio 2-20
132 Teoría de las líneas de dos conductores
Se concluye que, si la impedancia normalizada debe ser real y mayor que 1, la única posibilidad para este ejercicio es que se localice en el punto C, donde r —> oo. La distanciaentre la entrada de la línea (punto B) y su primer máximo de voltaje más cercano es entonces 0.05 X, que se determina girando en sentido contrario a las manecillas del reloj (hacia la carga).
c) De la ec. (2-57), es claro que el VSWR =	■ En la carta de Smith,
por lo tanto, el VSWR se lee en el círculo correspondiente a r para esa impedancia, sobre el eje real. Para este ejercicio, se concluye entonces que el VSWR se lee en el punto C y vale oo, como era de esperarse de acuerdo con la teoría (véase la Tabla del Ejercicio 2-13).
Ejercicio 2-21 Un cable coaxial relleno de polietileno (er = 2.26) tiene una impedancia característica de 50 Q y una longitud de 25 m. El cable se utiliza para alimentar a una carga compleja de 75 -y30 Q, a una frecuencia de trabajo de 600 MHz. Usando dos métodos diferentes (analíticamente y con la carta de Smith), calcule: a) el coeficiente de reflexión de voltajes en la carga (magnitud y fase); b) la distancia, en metros, que hay entre la carga y el primer mínimo de voltaje de la onda estacionaria; c) el valor del VSWR.
Solución
a) El coeficiente de reflexión de voltajes, pv, puede encontrarse en el punto donde está la carga por medio de la ec. (2-33):
d
Zo = 50 Q
La carta de Smith 133
ZL - ZQ = 75 -j30 - 50 = 25 - j30
Z¿ + Zo “ 75 -J30 + 50	125 - j30
39.0512Z-50.1944°
128.54962-13.4957°
= 0.3042-36.7°
Para encontrar el mismo valor anterior en la carta de Smith, primero se normaliza la carga (punto A):
75 - J30
z 			 15 _ >o.6
L 50
A continuación se trazan el círculo del coeficiente de reflexión y una línea recta que pase por el centro de la carta y el punto A (la carga). La línea recta se prolonga hasta que cruza la escala extenor donde se lee el ángulo del coeficiente de reflexión, que resulta ser idéntico al calculado analíticamente. Para comprobar la magnitud del mismo coeficiente, se efectúa una sencilla regla de tres:
radio de la carta
(círculo r = 0)	_ radio del círculo C
1	I Pv I
Efectuando las mediciones correspondientes con una regla se obtiene que:
|Pv| =
1.4 cm
4.6 cm
= 0304
lo cual concuerda nuevamente con el resultado analítico.
b) La posición del primer mínimo de voltaje se obtiene a partir de la ec, (2-54) con la relación:
2Pz + 0 = - 2pJ + 0 = -7t
134 Teoría de las líneas de dos conductores
en donde 0 es el ángulo del coeficiente de reflexión en radianes y d es la distancia entre la carga y el primer mínimo de la onda estacionaria. Por lo tanto:
' -0.6405
< 4n
0.25 X
0.199 X
Como la distancia d se pide en metros, es necesario calcular X:
Xo _ 3-xlO8
7^7 ~ (600 xlO6) 7126
= 0.33 m
De allí que la distancia d, en metros, sea:
d = (0.199) (0.33) - 0.066 m
Empleando la carta de Smith, recuérdese que en los puntos donde | K(z)| es mínima, se cumple la relación dada por la ec. (2-58):
¿o
VSWR
y normalizando,
VSWR
O sea que en el punto de voltaje mínimo, la impedancia normalizada de la línea es puramente resistiva y menor que 1. De allí que el punto correspondiente a dicho mínimo se encuentra sobre el círculo C al cruzar el eje horizontal (reactancia cero) y del lado izquierdo (donde la resistencia normalizada es menor que 1). Este punto se muestra representado por B en la carta. Su posición (yendo de la carga hacia el generador) se lee en la escala exterior de la carta y es igual a 0.1985 X, lo cual, considerando pequeños márgenes de error humano, coincide con el valor obtenido analíticamente.
La carta de Smith 135
c) De la ec. (2-56) se tiene que la relación de voltajes de la onda estacionaria, VSWR, es igual a:
00 C10C Q—►
Carta de Smith del Ejercicio 2-21
136 Teoría de las líneas de dos conductores
En la carta de Smith, dicho VSWR se lee directamente en el punto de cruce del círculo C con el eje horizontal, donde el voltaje es máximo. Esto es fácilmente comprobable a partir de la ec. (2-57), que nos indica que la impedancia de la línea en un punto donde el voltaje es máximo también es puramente resistiva e igual a:
Z = (VSWR)Z0
y normalizando:
2	= VSWR > 1
v .
r max
Este punto se indica en la carta como D y se observa que, evidentemente, concuerda con el resultado analítico.