1 Introduccion a las matematicas financieras - Pilar Carrasco

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Nombre de la asignatura 
Matemáticas financieras 
 
3º semestre 
 
Clave: 
TSU 08142314 
LIC 07142314 
 
Introducción a las matemáticas 
financieras 
 
Matemáticas financieras 
Introducción a las matemáticas financieras 
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División de Ciencias Sociales y Administrativas / Gestión y Administración de PyME 1 
 
 
 
 
Índice 
Presentación .................................................................................................................................................................................................. 2 
Competencia específica ............................................................................................................................................................................... 2 
Problemática .................................................................................................................................................................................................. 3 
1.1. Razones aritméticas y geométricas ................................................................................................................................................ 5 
1.1.1 Proporciones .................................................................................................................................................................................. 10 
1.1.2 Reparto proporcional .................................................................................................................................................................... 11 
1.1.3 Regla de Tres Inversa y Compuesta .......................................................................................................................................... 15 
1.1.4 Tanto por ciento ............................................................................................................................................................................. 25 
1.2. Progresiones aritméticas y geométricas ...................................................................................................................................... 33 
1.2.1. Progresiones aritméticas ............................................................................................................................................................. 34 
1.2.2. Progresiones geométricas .......................................................................................................................................................... 40 
Cierre de la unidad ...................................................................................................................................................................................... 45 
Fuentes de consulta .................................................................................................................................................................................... 46 
 
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Presentación 
 
 
 
 
Antes de profundizar en temas complejos como es el uso de equivalencias 
de dinero en determinados horizontes de tiempo y sus aplicaciones, es 
necesario que recuerdes el uso de operaciones relativamente sencillas, 
tales como la proporcionalidad, el porcentaje y progresiones aritméticas y 
geométricas. 
 
 
 
 
 
 
Competencia específica 
 
 
 
Recolecta datos, los organiza, para obtener información que le permita 
tener una visión introductoria del campo de las matemáticas financieras, 
mediante la evaluación de la información extraída de manera que 
contribuya al crecimiento de la empresa PyME. 
 
 
 
Fuente: 
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Problemática 
 
 
 
 
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Ponemos a tu disposición un 
material didáctico complementario 
que se encuentra en la carpeta 
material de apoyo, con la finalidad 
de que conozcas de manera más 
cercana como se aplican las 
matemáticas financieras en un 
contexto real. 
 
Fuente: 
Freedigitalphotos.com 
 
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1.1. Razones aritméticas y geométricas 
 
 
Es sumamente difícil encontrar el significado de enunciados que se expresen con 
números. No obstante, muchos de estos tienen significado si sus números son 
comparados con otros. Por ejemplo, si a un mesero le pagan $95.00 por hora de trabajo, 
éste puede darse cuenta que su salario es insuficiente para solventar sus gastos, pero no 
sabe si su trabajo está siendo bien remunerado si no lo compara con el de otra persona 
que realice la misma actividad. Sin embargo, si otro individuo está ganando $100.00, el 
mesero podría pensar que está trabajando bajo condiciones económicamente 
desfavorables. 
 
Pero, si el sueldo promedio de esta actividad es de $90.00, entonces su oferta es buena. 
 
 
Un método muy útil de comparación es la razón, que se puede definir como la comparación entre dos números similares. 
Ahora bien, es necesario mencionar que se conocen dos tipos de razones: las aritméticas y las geométricas. 
 
Fuente: 
Freedigitalphotos.com 
 
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Si en un estacionamiento se tiene un total de 100 vehículos, de los cuales 40 son camiones y 
60 son camionetas, entonces la razón de camiones a camionetas es de 40 a 60, que también 
se considera correcto expresarlo como 40:60 o 40/60. Esta última forma de expresión de 
razones se puede utilizar para realizar cálculos. Las razones expresadas como fracciones 
pueden ser menor que, igual a, o mayor que 1. 
 
Si un segundo estacionamiento tiene 85 vehículos, incluyendo 60 camionetas: 
 
 La razón de camionetas en el primer estacionamiento a camionetas en 
el segundo estacionamiento es de 60/60, o sea 1. 
 
 La razón del número de vehículos en el segundo estacionamiento en 
relación al número de vehículos existentes en el primero es de 100/85, o 
sea, más de 1. 
 
 
 
En uno de los ejemplos vistos anteriormente, la razón de camiones a camionetas es de 40/60, el cual se puede reducir a 4/6 
y se interpreta de la siguiente manera: 
 
 Existen 4 camiones por cada 6 camionetas en el primer estacionamiento. 
 En el estacionamiento hay cuatro sextas partes de camiones en comparación con las camionetas. 
 
La segunda razón con el número de camiones, a comparación del total de vehículos, 40/100, se puede reducir a 4/10 y esto 
significaría que: 
 Cuatro décimas partes del estacionamiento son camiones. 
 De cada 10 vehículos, 4 son camiones. 
Fuente: 
http://finseltruvial.org/transito/images/SI-10.jpg 
http://finsel/
 
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Un colegio compró una nueva bandera con el escudo de la institución. Si la bandera tiene 10 
metros de largo y 5 metros de ancho, ¿cuál es la razón del largo contra el ancho? 
 
 
 
La cantidad con la que se realiza la comparación es el denominador. 
 
 
 
Simplifica el quebrado dividiendo el numerador y el denominador entre un mismo número. Esto significa que el largo de la 
bandera es el doble del ancho. 
 
 
 
 
 
Durante el periodo de ventas de mediados dejunio de 2015, tres compañías fabricantes de 
computadoras en México vendieron 150 000 computadoras. De éstas, las ventas de la 
compañía1 fueron de 90 000 computadoras. La razón de las ventas de la compañía 1 en 
comparación con el total se define de la siguiente forma: 
 
 
 
 
 
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La cantidad contra la que se hace la comparación es el denominador. 
 
 
Esto significa que, de cada 5 computadoras que fueron compradas en junio del 2005, 3 fueron fabricadas por la compañía 1 
 
Si la razón trata fuera el número de computadoras de la compañía 1 vendidas en comparación con el número de 
computadoras vendidas por las demás compañías, la razón sería: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
≈ Significa “es aproximadamente igual a”. 
 
 
Esta razón señala que durante junio de 2015 se vendieron 3 computadoras de la compañía 1, por cada 2 computadoras 
vendidas por los demás fabricantes. 
 
Nota 
 
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Una tienda compró un costal de azúcar en $50.00 y lo vendió a $80.00. La ganancia bruta (la 
diferencia entre el costo y el precio de venta) fue de $30.00. Las siguientes razones pueden ser 
de utilidad para la tienda: 
 
 Costo al precio de venta = 50/80 = 5/8 
 Ganancia bruta a precio de venta = 30/80 = 3/8 
 La ganancia bruta al costo = 30/50 = 3/5 
 
La ganancia bruta fue de 3 / 5 del costo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.1.1 Proporciones 
 
 
 
 
 
Las proporciones son simplemente la comparación entre dos cantidades o 
razones, independientemente de su índole (aritmética o geométrica). 
 
La variación proporcional describe relaciones especiales entre cantidades 
variables. La variación proporcional puede ser directa, inversa o mixta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fuente: Freedigitalphotos.com 
 
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1.1.2 Reparto proporcional 
 
 
 
 
 
 
 Y=kX 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La constante K recibe el nombre de constante 
de proporcionalidad directa. 
 
 
 
 
Cuando 2 cantidades son directamente proporcionales y K es positiva, se cumple que si una de las variables se incrementa 
o disminuye, la otra también tendrá el mismo efecto. Por ejemplo, el costo del servicio de telefonía celular y el número de 
minutos consumidos son cantidades directamente proporcionales, ya que al aumentar el número de minutos consumidos, 
aumenta el costo. 
 
Se dice que Y es 
directamente proporcional a 
X, o que Y varía 
directamente con X, si existe 
una constante k diferente de 
cero, por lo que: 
 
Nota
a 
 
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Si es directamente proporcional a ;y la variable , cuando , encuentra el valor 
de cuando . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La constante de proporcionalidad es . Por tanto, la ecuación que relaciona a con es: 
 
 
 
 
Si el nuevo valor de es , entonces el nuevo valor de será: 
 
 
 
Sustituir los valores numéricos y en la ecuación . 
 
Calcular el valor de la constante de proporcionalidad: 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
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Si varía en forma directa a y cuando y , calcula cuando… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por tanto, 
 
 
 
Si los nuevos valores de y son 3 y , respectivamente, el nuevo valor de será: 
 
 
 
Solución 
 
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 Si aspiradoras cuestan , ¿cuánto costarán aspiradoras iguales a las anteriores? 
 
Mientras más aspiradoras se compren, más pesos se deben pagar, por lo tanto, estas cantidades están relacionadas de 
manera directamente proporcional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
La ecuación que relaciona con es . Si , entonces . 
 
 
También es posible escribir la relación entre y de la siguiente forma: 
 
Por tanto, 
 
Entonces, se tiene la siguiente ecuación: ). Si , entonces: 
 
Solución 
Sea la cantidad de 
aspiradoras compradas 
y la cantidad de 
dinero a pagar, en 
pesos. 
Por lo tanto… 
 
 
 
 
 
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1.1.3 Regla de Tres Inversa y Compuesta 
 
 
Se dice que es inversamente proporcional a , o varía 
inversamente con , si existe una constante diferente 
de cero, tal que: 
 
 
La constante recibe el nombre de constante de 
proporcionalidad inversa. 
 
Variación proporcional indirecta 
 
Fuente: Freedigitalphotos.com 
 
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Cuando dos cantidades son inversamente proporcionales y es positiva, entonces se cumple que si una de las variables se 
incrementa, la otra disminuye; o bien, si una de las variables disminuye, la otra se incrementa. Por ejemplo, si se va a 
organizar una reunión en la cual todo el que asista tiene que cooperar, la cantidad de dinero de cooperación es 
inversamente proporcional a la cantidad de personas que asistan a la reunión, es decir, al aumentar el número de personas, 
la cantidad de dinero con la que tiene que cooperar cada una es menor y viceversa. 
 
 
 
Si varía en forma inversamente proporcional a , y cuando y=24, encuentre y 
cuando… 
. 
 
Al sustituir los valores numéricos ; y la variable en la ecuación , se puede calcular el valor de la 
constante de proporcionalidad. 
 
 
 
 
 
 
La constante de proporcionalidad es ; por tanto, la ecuación que relaciona a con es: 
 
 
 
Si el nuevo valor de es , entonces el nuevo valor de será: 
 
Solución 
 
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Seis hombres levantan una barda en días. ¿En cuántos días podrían hacer la misma obra 
hombres? 
 
Como a más hombres trabajando en la obra, se necesitan menos días para terminarla, estas cantidades son inversamente 
proporcionales. Si es el número de hombres y es el número de días, entonces: 
 
 
 
Es decir: 
 
 
 
 
Por lo tanto: 
 días. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
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Una compañía otorga un incentivo económico a 3 de sus trabajadores de $200,000.00 en 
forma inversamente proporcional a sus ingresos por mes, los cuales son los siguientes: María 
gana $6 000.00, Jorge gana $7 000.00 y Cecilia gana $8 000.00. ¿Cuánto dinero le toca a 
cada uno? 
Sea: 
 Cantidad de dinero que le toca a María 
 Cantidad de dinero que le toca a Jorge 
 Cantidad de dinero que le toca a Cecilia 
 
Entonces despejando , y de las ecuaciones siguientes, se tiene:Sustituyendo los valores en la siguiente ecuación se tiene: 
 
 
 
 
Solución 
 
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Por tanto, 
 
 
 
Sustituyendo el valor de en cada una de las ecuaciones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fuente: http://3.bp.blogspot.com/-
8iZjLQN_u8E/TuwQoClYLiI/AAAAAAAACcg/8mT3
SdvCxxM/s1600/reduccion-de-costos.png 
 
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En los temas desarrollados con anterioridad, únicamente se contemplan 2 variables. En ocasiones, te presentarán 
problemas con más de 2 variables que se encontrarán relacionadas de manera inversa o directa, es decir, que presenten los 
2 tipos de variación. 
 
Un tipo de variación proporcional con más de 2 variables es la variación compuesta. 
 
 
 
Se dice que una variable cambia conjuntamente con 2 o 
más variables si es directamente proporcional a su producto. 
Por ejemplo, si varía conjuntamente con , y , esto 
significa que varía en forma directamente proporcional al 
producto de , y , es decir, en donde es la 
constante de proporcionalidad y diferente de . 
 
Otro ejemplo: Si , se dice que varía conjuntamente 
con y la raíz cuadrada de . 
 
Variación 
proporcional 
mixta 
Fuente: Freedigitalphotos.com 
 
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Considera que varía conjuntamente con y el cubo de e inversamente con el cuadrado de 
. Si cuando , y , determina si , y . 
 
De acuerdo al enunciado, la ecuación que une a las variables es . 
 
Sustituyendo los valores , , y , el valor de se obtiene mediante: 
 
 
 
 
 
Por tanto, la ecuación que relaciona a con , y es . 
 
 
El valor de para los nuevos valores de , y será: 
 
 
 
Solución 
 
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El total de combustible consumido por un avión que viaja con velocidad constante varía de 
forma conjunta con la distancia recorrida y con el cuadrado de la velocidad. Si un avión 
consume 250 litros al recorrer 230 kilómetros a la velocidad de 200 km/h, ¿cuánto consumirá 
si recorre 530 km a 300 km/h? 
 
 
Sea el total de combustible consumido, la distancia recorrida y la velocidad. La ecuación de variación es: 
 
2 
 
Por lo tanto, 
 
 
 
El valor de para los nuevos valores de distancia y velocidad es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Fuente: Freedigitalphotos.com 
 
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En un concurso académico llevado a cabo entre los estudiantes de una universidad pública, 
se repartió un premio de entre los finalistas en forma inversa al tiempo que se 
tardaron en resolver el conjunto de problemas y el número de problemas resueltos 
incorrectamente. Uno de los finalistas tardó minutos en resolver los problemas y tuvo 
problemas incorrectos; otro finalista tardó minutos y tuvo problemas incorrectos; y el 
tercero tardó minutos y tuvo problemas incorrectos. 
 
¿Cuánto dinero recibió cada concursante? 
 
 
 
 
De acuerdo al enunciado del problema se tiene que: 
 
 
 
En donde es la cantidad que recibirá cada finalista, es el tiempo empleado en la resolución de los problemas y es el 
número de problemas que contestaron erróneamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Sea: 
 
 Cantidad de dinero que recibe el primer finalista 
 Cantidad de dinero que recibe el segundo finalista 
 Cantidad de dinero que recibe el tercer finalista 
 
Por tanto: 
 
 
 
 
1 2 
 
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Es decir: 
 
 
 
Por otro lado se 
sabe que: 
 
 
Esto es: 
 
Por tanto: 
 
La cantidad que le toca a cada uno de los 
finalistas es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 3 6 5 
7 
 
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1.1.4 Tanto por ciento 
 
Toma el periódico cualquier día y encontrarás enunciados como los siguientes: 
 
 Descuento del en ropa de temporada. 
 Se presentó una disminución del en el precio de las hortalizas. 
 La precipitación pluvial ha disminuido , respecto al año anterior. 
 La tasa de interés anual es del . 
 El de las personas entrevistadas están de acuerdo con la nueva ley. 
 
 
 
 
 
Independientemente del tema que se esté tratando, la relación entre dos cantidades se expresa 
frecuentemente en porcentaje El término porcentaje proviene de la palabra latina que 
significa “cien” y que se representa con un quebrado cuyo denominador es . Por 
consiguiente, se podría escribir como o . 
 
Muchos problemas de la economía y la administración, y sus respuestas se expresan en forma de porcentaje. En general, 
las matemáticas financieras presentan términos expresados en porcentajes. 
 
Uno de los usos más comunes de los porcentajes se encuentra en el sistema monetario de México. Un peso está dividido en 
 partes, cada una de las cuales representa del peso, es decir, un centavo. 
 
Cualquier unidad (población, importe de dinero, costo de un artículo, etcétera.) se puede estimar dividiendo en cien partes 
iguales. Por consiguiente, cada parte es el del total. 
 
 
Fuente: Freedigitalphotos.com 
 
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Porcentaje decimal y quebrado 
 
 
 
Aunque el signo de porcentaje es conveniente y se utiliza comúnmente en la escritura, no 
se usa en el cálculo. Tiene un valor aritmético definido y antes de comenzar cualquier cálculo, la 
cantidad presentada como porcentaje se tiene que cambiar a un quebrado equivalente o un 
decimal. El equivalente aritmético de es o 
 
 
Un porcentaje se puede cambiar a un decimal o quebrado equivalente sustituyendo el signo por su valor, por ejemplo: 
 
 
Se ha cambiado la forma, pero no el valor de . Mecánicamente, el cambio se lleva a cabo en etapas. 
 
 
 
Para cambiar un porcentaje a decimal desplaza el punto decimal lugares hacia la 
izquierda y elimina el símbolo de porcentaje 
Para cambiar un porcentaje a un quebrado multiplícalo por y elimina el signo de 
porcentaje 
 
 
RReeggllaa 
Fuente: Freedigitalphotos.com 
 
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Nunca se puede añadir o eliminar el símbolo 
de porcentaje (%) sin un paso adicional. 
 
 
 
 
 
 
Los siguientes ejemplos incluyen la aritmética de los quebrados y los decimales. Se dan 
explicaciones para todos los pasos. 
 
 
Cambia 39% a decimales. 
 
39% = .39% = 0.39 
 
 
Cambia 39% a un quebrado. 
 
39% = 39 x = 
 
 
Desplaza el punto decimal dos 
lugares a la izquierda y elimina el 
símbolo%. 
 
 
Multiplica por y elimina el 
símbolo %. 
 
Comprobación: convierte a decimales dividiendo entre . El resultado 
es . Se ha cambiado la forma, pero no el valor de . 
Nota 
 
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Cambia a decimales. 
 
4% = 04% = 0.04 
 
 
Cambia a un quebrado. 
 
 
 
 
Añade un cero a la izquierda de . 
Después desplaza el punto decimal 
 lugares a la izquierda y elimina el 
 
 
Simplifica el quebrado dividiendo el 
numerador y el denominador entre 
 
 
Comprobación: convierte a decimales dividiendo entre . El resultado 
es 
 
Cambia 418% a decimales. 
 
 
 
 
Cambia a un quebrado. 
 
 
 
 
Desplaza el punto decimal 
lugares a la izquierda y elimina el 
porcentaje. 
 
 
Multiplica por y elimina el 
porcentaje. 
 
 
Simplifica el quebrado cambiando a 
un número mixto y después divide 
el numerador y el denominador 
entre . 
 
 
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Cambia 0.25% a decimales. 
 
 
 
 
Cambia a un quebrado. 
= 
 
 
 = = 
 
 
 
 
= 
 
 
 
Desplaza el punto decimal 
lugares a la izquierda añadiendo 
ceros antes del y elimina el 
porcentaje. 
 
 
Multiplica por y elimina el 
porcentaje. 
 
 
Elimina el punto decimal del 
numerador multiplicando el 
numerador y el denominador por 
. 
 
Simplifica el quebrado dividiendo el 
numerador y el denominador entre 
. 
 
Comprobación: Cambia a decimales. El resultado es 
 
Comprobación: Cambia a decimales. Divide entre y obtendrás 
 
 
 
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Para cambiar un decimal a un porcentaje desplaza el punto decimal 2 lugares hacia la 
derecha y añade el símbolo de porcentaje . 
 
Para cambiar un quebrado a porcentaje, cámbialo primero a decimal y después a 
porcentaje. 
 
 
RReeggllaa 
 Al resolver problemas aplicados a la administración 
será necesario que cambies los porcentajes a 
quebrados o a forma decimal, ya que puedes usar 
cualquiera de ellos. Sin embargo, en un caso 
específico, el quebrado es más preciso cuando no 
existe un decimal exacto equivalente para el 
porcentaje. 
 Aunque los problemas en los negocios se 
trabajan con decimales o quebrados, con 
frecuencia las respuestas se convierten a 
porcentajes. El procedimiento para cambiar un 
decimal a un porcentaje es lo opuesto al 
método utilizado para convertir un porcentaje a 
decimales. Un quebrado se debe cambiar 
primero a decimal y después a porcentaje. 
Fuente: Freedigitalphotos.com 
 
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Revisa a continuación los siguientes porcentajes. Se dan explicaciones para todos los pasos. 
 
 
 
Cambia 0.022 a porcentaje. 
 
0.022 = 2.2% 
 
 
Cambia el punto decimal lugares a la derecha y añade el símbolo de 
porcentaje. 
Cambia a porcentaje. 
 
 
 
 
Cuando estés trabajando con un número entero donde el punto 
decimal no aparece, da por hecho que el punto decimal se encuentra 
después del último dígito 
 
Añade ceros, desplaza el punto decimal dos lugares hacia la 
derecha y añade el símbolo %. 
 
 
Cambia a porcentaje. 
 
 
 
 
Cambia la fracción a un punto decimal dividiendo el numerador entre 
el denominador. 
 
 
 
Desplaza el punto decimal lugares hacia la derecha y añade el 
porcentaje 
 
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Cambia 0.37 ½ = 0.375 = 37.5% 
 
 
Primero cambia el quebrado a un decimal. Después desplaza el punto 
decimal lugares a la derecha. 
 
 
Cambia a porcentaje. 
 
 
 
 
 = 1.6 = 160% 
Primero cambia el quebrado a un decimal dividiendo el denominador 
entre el numerador. ( = 0.6). 
Por tanto, = 1.6. 
 
 
Mueve el punto decimal lugares a la derecha y añade el porcentaje. 
 
 
 
1.2. 
 
 
Cambia a porcentaje. 
 
 = 
 
 
O 
 
 
 
Cambia el quebrado a un decimal 
dividiendo entre ; el resultado 
es 2. 
 
 
 
Desplaza el punto decimal lugares 
a la derecha y añade el porcentaje. 
 
 
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1.2. Progresiones aritméticas y geométricas 
 
 
 
¿Te has preguntado para qué sirven las progresiones aritméticas y 
geométricas? 
Supongamos que en una empresa que produce chocolates, el primer día se 
elaboran 97 kilogramos a través de las progresiones aritméticas podríamos 
saber cuántos chocolates se elaboran después de 30 días, sabiendo que la 
producción aumenta en 0.5kg por día, lo que nos ayudará a calcular la 
producción a futuro. 
De igual manera, las progresiones geométricas se relacionan por ejemplo con el 
comportamiento de sumas de dinero invertidas a cierto interés, y que tienen 
como característica que crecen o decrecen de manera acelerada, lo que nos 
ayuda a planear en cualquier empresa entradas o salidas de dinero y su 
comportamiento. 
 
 
 
 
 
 
Fuente: Freedigitalphotos.com 
 
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1.2.1. Progresiones aritméticas 
 
 
Una progresión aritmética se define como una sucesión de números llamados términos, de la cual números 
consecutivos de la sucesión se encuentran separados por una misma cantidad llamada diferencia común. 
 
1, 5, 9, 13… es una progresión aritmética cuya diferencia común es 4. 
 
40, 30, 20, 10… es una progresión aritmética cuya diferencia común es -10. 
 
Si se considera como el primer término de una progresión, como la diferencia común y el número de términos de la 
misma, se genera una progresión de la forma: 
 
 
 
El último término de una progresión será igual al primer término de la misma adicionado de diferencias. 
 
 
 
 
 
En una serie de 3 términos puede verse claramente esto: 
 
 
 
 
 
El último término es igual al primer término , adicionado de veces la diferencia común, ya que , 
. 
 
 
 
 
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La suma de una progresión aritmética puede escribirse como sigue: 
 
 
 
 
 
Pero también puede escribirse en forma inversa: 
 
 
 
 
 
Si se suman las dos expresiones término a término se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
Así, la suma de una progresión aritmética de términos es igual a la suma del primero y el último término multiplicado por 
y dividido entre . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Determina el onceavo término y la suma de la siguiente progresión aritmética: 3, 6, 9… 
 
 
 
 
a) Se determina el último término aplicando y considerando y : 
 
 
 
 
 
 
b) Para determinar la suma se aplica la fórmula 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
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Determina el último término y la suma de la progresión aritmética si cuenta 
con 10 términos. 
 
 
 
a) Determina el último término aplicando considerando que , y . 
 
 
 
 
 
b) La suma se determina aplicandola fórmula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
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El primer término de una progresión aritmética es = -2, el último término es 
. 
 
Determina y . 
 
 
 
 
a) Sustituyendo se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Se sustituyen en los datos conocidos y se determina : 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
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Un empresario adquiere una deuda con el Banco Nacional. Se acuerda que el préstamo 
bancario será de , y se pagará de la siguiente manera: 
 
 pagos mensuales de de capital más $1 200 de interés en el primer pago 
. 
 El segundo pago será de más $1 200 (5% de $22 000) 
 El tercer pago será de $2 000 más $1 000 (5% de $22 000) y así sucesivamente. 
 
 
 
¿Cuántos intereses pagará el empresario? 
 
 
 
Aplicando la fórmula se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deberá pagar de intereses. 
 
 
 
Solución 
 
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1.2.2. Progresiones geométricas 
 
Una progresión geométrica es una sucesión de números llamados términos, los cuales números consecutivos 
cualesquiera que sean, que guardan un cociente o una razón común. 
 
En otras palabras, esto quiere decir que cualquier término posterior puede ser obtenido del anterior multiplicándolo por un 
número constante llamado cociente o razón común. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando el último ejemplo se puede generar una progresión geométrica con 6 términos: 
 
 
 
De ella se desprende que el último término es igual a: 
 
 
Y que una progresión con términos adoptará la forma: 
 
 
 
La suma de esta progresión es igual a: 
 
 
 
 es una progresión geométrica, cuya razón común es . 
 
... es una progresión geométrica, cuya razón común es . 
 
… es una progresión geométrica, cuya razón común es . 
 
 
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Multiplicando ambos lados de la ecuación por , se tiene: 
 
 
 
Restando la segunda expresión se tiene: 
 
 
 
 
 
Por lo que: 
 
 
 
 
 
 
Es conveniente utilizar la fórmula anterior cuando y la expresión cuando . 
 
 
 
 
 
Una progresión geométrica será creciente si la razón común es positiva mayor que . 
 
 
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 Revisa las siguientes progresiones. Se dan explicaciones para todos los pasos. 
 
 
 Genera una progresión de 6 términos si y . 
 
Solución: 
 
 
Una progresión geométrica será decreciente si la razón común es positiva menor que . 
 
 
 
 Genere una progresión geométrica de 5 términos considerando y . 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Encuentre el 10º término y la suma de los primeros 10 términos de las siguientes progresiones: 
 
a) 1, 3, 9, 27… 
b) (1+5)-1, (1+5)-2, (1+5)-3 … 
 
Solución 
 
a) Para determinar el 10º término se aplica la fórmula: 
 
 considerando que , : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 La suma de la progresión se obtiene por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) En la segunda progresión se tiene que: y . 
 
 Para calcular el 10º término se aplica la fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 La suma se determina aplicando la fórmula pues 
 
 
 
 
 
x 
 
 
 
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 = 
 
 
 
 
 
Cierre 
 
 
 
 
 
Has finalizado la primera unidad de la asignatura de 
Matemáticas financieras, en la cual conociste conceptos como 
razones, progresiones aritméticas y geométricas, al igual que 
sus fórmulas y las aplicaciones que te serán útiles en la 
siguiente unidad, así como en tu vida laboral y personal. Si 
tienes alguna duda consulta a tu docente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fuentes de consulta 
 
 
 
 
 Díaz, A. y Aguilera, V. M. (1999). Matemáticas financieras. México: Mc Graw Hill. 
 Highland, E. H. y Rosenbaum, R. S. (1987). Matemáticas financieras. México: Prentice Hall 
Hispanoamericana. 
 Vidaurri, H. (2008). Matemáticas financieras (4ª ed.). México: Cengage Learning. 
 
 
 
 
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