3 Campo del cuadripolo lineal - Arturo Lara (1)

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7- 3 Campo del cuadripolo lineal
La expresión general para el potencial cuadripolar dada en (8-30) puede llegar a ser muy complicada dependiendo de las componentes Q¡k que sean diferentes de cero. En consecuencia, se analiza solamente el caso para el que el sistema tiene un eje de simetría, de modo que el potencial dado por (8-40) sea
a_ Qa (3cos20—1)
Q 477€o	4r3
(8-53)
Aunque muchos tipos de distribuciones de carga pueden producir este potencial, es conveniente tomar como prototipo para este caso la sencilla distribución de carga de la figura
7- 5¿>, ya que posee la simetría deseada; Qa es, de hecho, negativa en esta situación, como puede verse en (8-39) y (8-26). En consecuencia, se puede considerar a (8-53) como un campo cuadripolar lineal (o axial). La ecuación para las superficies equipotenciales que se obtienen al hacer que 4>q - const en (8-53) es
3 í Qa \(3cos20-l)	1 2ü n
=		2	¿=2Ce(3cos2<'~1)
(8-54)
donde la constante Cq que caracteriza una superficie dada depende del correspondiente valor de (¡>q. Por simplicidad, sólo se muestra una de estas curvas con línea llena en la figura 8-8; las demás son de forma similar. Dado que (8-54) es independiente de <p, las superficies reales se generan aquí también al rotar estas curvas alrededor del eje de simetría (en este caso el eje z).
Las componentes del campo eléctrico que se obtienen a partir de (8-53), (5-3) y (1-101) son
E _/3Qa V(3cos2^-1)
r \ S%€0 /	2r4
r _ / 'iQa\ eos 0 sen#
£„=o
Las componentes de campo disminuyen con el inverso de la cuarta potencia de la distancia al punto de campo.
Para encontrar la ecuación de una línea de campo, se vuelve a eliminar k de (8-51) por división y usando (8-55). De esta forma se obtiene
dr _ Er _ (3eos20—1)
rdO Eg 2 eos# sen#
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Multipolos eléctricos
Figura 8-8 Una equipotencial (línea llena) y línea de campo eléctrico de un cuadri- polo lineal.
que, al integrarse, da
r2 = Á^sen^cos#	(8-56)
donde Kq es una constante de integración. De nuevo por simplicidad, la figura 8-8 solamente muestra una de estas líneas, como una curva punteada. Como se sugirió en relación con la figura 8-7, debe uno asegurarse de verificar que las direcciones de E indicadas por las flechas son consistentes con las expresiones para las componentes que se dan en (8-55) bajo el supuesto de que 0a es negativa, como sería el caso para la figura 8-5h. Nótese de nuevo que, como debe ser, las líneas de E son perpendiculares a esta superficie equipotencial mucho más complicada.