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Analisis de sistemas de potencia Resumen 66 - ArturoSelect

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7.8 FACTORIZACIÓN TRIANGULAR 261
1
L = UrD =
	21
	1
	n
	
	11
	
	
	y(D
122
	41
	
	
	yd)
J22
Y&
y(D
■*22
y®
y (3)
J44
(7.75)
donde la matriz diagonal D contiene los elementos diagonales de L. Al sustituir L de la ecuación (7.75) en la ecuación (7.71), se obtienen las ecuaciones de admitancias de nodo en la forma
YbarraV = U rDUV = I	(7.76)
La ecuación (7.76) se puede resolver para los voltajes V desconocidos, en las tres etapas consecutivas mostradas a continuación:
UrV" = I	(7.77)
DV'= V"	(7.78)
UV = V'	. . (7.79)
Estas ecuaciones serán conocidas como una extensión de las ecuaciones (7.72). Primero se encuentra el resultado intermedio V" de la ecuación (7.77) por eliminación de variables. En seguida, se calcula cada elemento de V' a partir de la ecuación (7.78) dividiendo el elemento correspondiente de V" entre el elemento diagonal apropiado de D. Finalmente, se obtiene la solución V a partir de la ecuación (7.79) por sustitución inversa, de la manera mostrada en el ejemplo 7.9.	1
Ejemplo 7.10. Determine la solución del vector V de voltajes no conocidos para el sistema y condiciones de operación del ejemplo 7.9, mediante las ecuaciones (7.77) a (7.79).
Solución. Se sustituye el vector Je corriente I y la matriz U del ejemplo 7.9 en la ecuación (7.77), y se obtiene
	1
	
	■<
	
	0
	
	-0.70149*	1
	
	V!
	
	0
	
	-0.14925	— 0.38644 *	1 ^	•
	
	y'i
	
	l.oo/-90°
	
	-0.14925 -0.61356 -0.78853 1
	
	/4".
	
	Q.6o/ -120°
	
La solución directa de este sistema de ecuaciones da
262 CAPÍTULO 7 EL MODELO DE ADMITANCIA Y CÁLCULO DE REDES
P7 = y; = 0 PJ = I.oo/-9Q° por unidad
r4" = 0.60/-120° + 0.78853K; - 1.342K)/-102.9164° por unidad
Al sustituir V" en la ecuación (7.78) se obtiene el sistema diagonal
	“—>16.75	•	. ' •
I
	>r
	
	
	0
	-/ll.00746	•	•
	V'i
	
	
	0
	-y 3.78305
	
	as
	1.002
	/—90o
	•	•	•	-yl.43082
	
	
	1.34210/
	-102.9164°
cuya solución es exactamente igual a la V' del ejemplo 7.9 y así, las etapas restantes de este ejemplo igualan a las del ejemplo 7.9.
'.9 ESPARCIMIENTO Y ORDENAMIENTO CASI-ÓPTIMO
Los sistemas de potencia a gran escala tienen solamente un pequeño número de líneas de trasmisión que se conectan a cada subestación de gran capacidad. La relación del número de ramas al de nodos, en la gráfica de la red de tales sistemas, es 1.5 aproximadamente y la Ybarra correspondiente tiene, principalmente, elementos que valen cero. En efecto, si hay 75c ramas en una red de 500 nodos (sin incluir el nodo de referencia), el número total de elementos que no son cero es de (500 + 2 x 750) = 2 000, porque cada nodo tiene un element diagonal asociado y cada rama da origen a dos elementos colocados simétricamente fuera de la diagonal. Esto, comparado con el total de 250 000 elementos en Ybarra resulta en que sólo el 0.8% de los elementos de Ybarra no son cero. Se dice que tales matrices están esparcida* por su pequeño número de elementos diferentes de cero. Desde el punto de vista de la velocidad computacional, la exactitud y el almacenamiento de información, es deseable procesa* sólo los elementos que no son cero en Ybaira y evitar rellenar nuevos elementos diferentes de cero en el transcurso de la eliminación gaussiana y de la factorización triangular. E ordenamiento se refiere a la secuencia en la que se procesan las ecuaciones del sistema. Cuando se triangula una matriz esparcida, el orden en el que las variables no conocidas s eliminan afecta la acumulación de los nuevos elementos que no son cero (llamados entradas) en las matrices triangulares L y U. Con el fin de minimizar tales acumulaciones s pueden usar esquemas de ordenamiento como los descritos en la sección B.l del apéndice.
7.10 RESUMEN
En este capítulo se desarrolla la representación nodal de la red de trasmisión de potencia. Se dan los elementos esenciales para el entendimiento de la matriz de admitancias de barra y s formación. La incorporación de ramas mutuamente acopladas en Ybami se puede hacer con l? aproximación de bloques de construcción que aquí se describe. Se da también la manera d. modificar YbaITa con el fin de que se tomen en cuenta los cambios en la red.
PROBLEMAS 263
La eliminación gaussiana ofrece una alternativa para no invertir la matriz en el proceso de solución de sistemas de potencia a gran escala. La factorización triangular de Ybarra eleva la eficiencia computacional y reduce los requisitos de capacidad de memoria especialmente cuando las matrices de la red son simétricas.
Estos modelos y procedimientos numéricos son la base de los métodos de solución para el análisis de sistemas y de flujos de potencia, que se usan en la práctica diaria en la industria eléctrica de potencia.
PROBLEMAS
7.1. Determine la Ybarra para el circuito de la figura 7.18 mediante el procedimiento de bloques de construcción que se describió en la sección 7.1. Supóngase que no hay un acoplamiento mutuo entre las ramas.
7.2. Modifique la Ybarra que se obtuvo en el problema 7.1 usando el procedimiento de modificación
de Ybarra descrito en la sección 7.4 y suponiendo que no hay acoplamiento mutuo entre las ramas, de forma que se tome en cuenta la eliminación de las dos ramas Q) - (3) y (2) - (5) del circuito de la figura 7.18. _ ,	,	. ,	,	. ,
7.3. En el circuito de la figura 7.18 se tiene la gráfica lineal mostrada en la figura 7.19, y con flechas se indican las direcciones supuestas para las ramas a a la h. Sin considerar el acoplamiento entre las ramas:
· a) Determine la matriz A de incidencia rama a nodo para el circuito tomando el nodo (0) como
;	referencia.
- b) Encuentre la Ybarra del circuito mediante la ecuación (7.37).
· 7.4. Considere que las únicas ramas acopladas mutuamente en el circuito de la figura 7.18 son la
(T)-(3)yla(2)-(3) (esto es, ignore el punto en la rama (2) - (5)), como lo indican los puntos
FIGURA 7.18
Los valores mostrados son voltajes e impedancias en por unidad. Los puntos representan el acoplamiento mutuo entre las ramas, a menos que en los problemas se especifique otra cosa.	,
264 CAPÍTULO 7 EL MODELO DE ADMITANCIA Y CÁLCULO DE REDES
al lado de ellas, y que su impedancia mutua es JO. 15 por unidad. Determine la Ybarra del circuito mediante el procedimiento descrito en la sección 7.2.
7.5. Resuelva el problema 7.4 mediante la ecuación (7.37). Determine la matriz de incidencia rama a nodo A a partir de la gráfica lineal de la figura 7.19, tomando al nodo (0) como referencia.
7.6. Modifique la solución de Ybarra del problema 7.4 (o del 7.5), mediante el procedimiento de modificación de la sección 7.4 para que tome en cuenta la eliminación de la rama (2) - (3) del circuito.
7.7. Modifique la Ybarra que se determina en el ejemplo 7.3 para que tome en cuenta la eliminación de la rama mutuamente acoplada (T) - (3) del circuito de la figura 7.11. Use el procedimiento de modificación de la sección 7.4.
7.8. En el circuito de la figura 7.11 se añade una nueva rama que tiene una impedancia propia de JO. 2 por unidad entre los nodos (2) y (3). Una impedancia mutua de JO. 1 por unidad acopla esta rama nueva coiíla que ya existe entre los nodos (2) y (3). Modifique la Ybarra obtenida en el ejemplo 7.3 para tomar en cuenta la adición de la nueva rama.
7.9. Como lo muestran los puntos sobre la figura 7.18, suponga que hay un acoplamiento mutuo entre los siguientes pares de ramas (¡) - (3) y (2) - (3) y también entre las ramas (2) - (3) y (2 - (5). La impedancia mutua entre el primer par de ramas es de JO. 15 por unidad (igual que en el problema 7.4) y entre el último par es de J0.1 por unidad. Para encontrar la Ybarra del circuito aplique el procedimiento de la sección 7.2, incluso las tres ramas mutuamente acopladas.
7.10. Resuelva la Ybarra del problema 7.9 mediante la ecuación (7.37). Use la gráfica lineal de la figura 7.19 con el nodo (0) como referencia para determinar la matriz de incidencia rama a nodo A.
7.11. Supóngase que se invierte la dirección de la rama d en la figura 7.19, de forma que ahora va de’ nodo (2) al (5). Encuentre la matriz de incidencia rama a nodo A de esta gráfica modificada y entonces,calcule Ybarra del problema 7.9 mediante la ecuación (7.37).
7.12. Elimine la rama (2) - (3) de la solución de Ybarra que se obtuvo en el problema 7.9 (o del 7.10 7.11), por medio del procedimiento de modificación de Ybarra descrito en la sección 7.4.
7.13. Escriba las ecuaciones de admitancias de nodo para el circuito de la figura 7.18 sin considerar los acoplamientos mutuos. Resuelva las ecuaciones resultantes para los voltajes de barra por U método de eliminación gaussiana.

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