Analisis de sistemas de potencia Resumen 138 - ArturoSelect

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13.8 RESOLVIENDO EL PROBLEMA DE DEMANDA DE UNIDAD 549
que es el costo de producción mínimo en la etapa 6 porque el conjunto {x(7)} no tiene elementos. El conjunto de combinaciones factibles en la etapa 6 solamente tiene un elemento, x9. Se considera ahora la etapa 5 para evaluar el costo acumulativo mínimo de las dos etapas finales. Seleccionado k = 5 y {x/6)} igual a {x9(6)} en la ecuación (13.75), se obtiene
Fz*(5) = mín{Pz*(5) + 7>9(5) + F9(6)} = {Pr(5) + 7}*9(5) + $45,868}
x9(6)
En la etapa 5 el nodo que corresponde a la combinación x9 no es factible porque las unidades 1 y 2 no pueden suministrar por sí solas los 1400 MW de la carga del sistema. Así, hay tres nodos factibles en la etapa 5 que corresponden a las combinaciones x2 y x3, pero todavía no se sabe cuál de ellos está en la trayectoria del costo acumulativo mínimo. Sistemáticamente se selecciona después	x2 y finalmente x3	como iguales a en la última ecuación, de donde se	obtiene
Fi(5) =	{^i(5) +	T1>9(5)	+ $45 868}	= [$58 428 +	$3000	+ $45	868] =	$107	296
F2(5) =	{P2(5) +	T2>9(5)	+ $45 868}	= [$59 356 +	$1500	+ $45	868] =	$106	724
F3(5) =	{p3<5) +	T3 9(5)	+ $45 868}	= [$58 236 +	$1500	+ $45	868] =	$105	604
Los cálculos anteriores son directos porque la búsqueda del costo acumulativo mínimo involucra solamente a la combinación x9(6) de la etapa final. Se registran estos resultados en cada uno de los nodos de la etapa 5 (como se muestra en la figura 13.14) y se continúa con la etapa 4 donde solamente las combinaciones y x2 tienen la capacidad suficiente de alimentar la carga de 1 800 MW. Por lo tanto, la mejor combinación xz* en la etapa 4 debe de ser jq o x2, pero no se sabe todavía cuál de las dos. La versión de la etapa 4 de la ecuación (13.75) es
Fr(4) = mín {P;.(4) + 7].,(4) + F,(5)}
x/5)
donde xy(5) varía entre el conjunto de combinaciones factibles {jq, x2, x3} de la etapa 5. Al seleccionar primero xz* igual a se obtiene
F,(4) = mín{P1(4) + T1.>(4) + F¿5)}
Xj(5)
= mín^P^) + T14(4) + ^(5)]; [Pt(4) + 7'1,2(4) + F2(5)];
[Pi(4) + T1>3(4) + F3(5)]}
Los valores numéricos de esta ecuación se pueden obtener de la figura 13.14, y dan
F/4) = mín{[76 472 + 0 + 107 296]; [76 472 + 1500 + 106 724];
[76 472 + 1500 + 105 604]}
= mín{[183 768];[184 696];[183 576]} = $183 576
550 CAPÍTULO 13 OPERACIÓN ECONÓMICA DE SISTEMAS DE POTENCIA
Este resultado debe ahora registrante (como se muestra efi la figura 13.14) y los dos valores $183 768 y $184 696, que se pueden descartar, también se muestran como información adicional.
Hasta este punto se ha determinado el costo acumulativo desde la etapa 4 a la 6 para la trayectoria que empieza con la combinación jq en la etapa 4. Se selecciona x¡* igual a x2 en la versión de la etapa 4 de la ecuación (13.75) con el fin de evaluar la trayectoria que empieza con la combinación factible x2 de la etapa 4, y se realizan cálculos similares a ios que se han demostrado. El resultado es
F2(4) = mín{[189 480]; [185 908]; [189 288]} = $185 908
que se registra en el nodo apropiado de la figura 13.14. Todavía no se puede obtener una conclusión pero, cuando se identifica cuál nodo de la etapa 4 está en la trayectoria de costo acumulativo total mínimo, se selecciona de los resultados numéricos a Fj(4) y a F2(4). Se continúa con la etapa 3 y posteriormente con la 2 y la 1, repitiendo la evaluación de la ecuación (13.75) en cada nodo factible y registrando el costo acumulativo mínimo correspondiente. Una de las trayectorias de transición que dejan a cada nodo se señala con el subíndice de la combinación (encerrado en un círculo) de la cual se obtiene el costo acumulativo mínimo en el nodo.
En la etapa 1 se determina que el costo acumulativo global mínimo es $361 536 de la etapa 6 a la combinación de la condición inicial (y viceversa). Este costo total que se muestra en la figura 13.14, se obtiene de la combinación x3 de la etapa 2, que a su vez se obtiene de la combinación x3 de la etapa 3 y así sucesivamente hasta la etapa 6. La trayectoria de costo mínimo, que se vuelve a trazar en la figura 13.14, muestra que la programación óptima de la demanda de unidad es:
	Etapa
	Nivel de carga MW
	Combinación
	Unidades
	1
	1 100
	x9
	1,2
	2
	1 400
	*3
	1,2,4
	3
	1 600
	*3
	1,2,4
	4
	1 800
	
	1,2, 3, 4
	5
	1 400
	*3
	1,2,4
	6
	1 100
	*9
	1,2
y el costo total para alimentar la carga estimada diaria de la figura 13.11esde$361536 para este ejemplo.
El ejemplo 13.9 demuestra la gran reducción que se logra en los cálculos a través de la aproximación de la programación dinámica. La función de costo acumulativo F,(£), como se muestra en los valores registrados en los nodos de la figura 13.14, sólo se evaluó 27 veces, que son la suma de (3 + 9 + 6 + 6 + 3) de las transiciones entre etapas desde la etapa 1 hasta la 6. Una aproximación completa al mismo problema podría haber involucrado 2 916 transiciones entre etapas, que son el producto de (3 x 9 x 6 x 6 * 3) de los segmentos de línea mostrados en la figura 13.14. Dados los estados inicial y final del ejemplo 13.9, y si no hay nodos no factibles en cualquiera de las etapas intermedias, el número de transiciones entre etapas dentro de las 15 combinaciones jq ax15 se podrían incrementar considerablemente a
13.9 RESUMEN 551
un número dado por 15 x 152x 152x 152x 15 = (225)4- 2.563 * 109. Así, la programación dinámica ofrece una aproximación viable a la solución del problema de la demanda de unidad cuando se tienen que tomar en cuenta restricciones prácticas de las operaciones del sistema.
13.9 RESUMEN
La solución clásica del problema de despacho económico se da por el método de multiplicadores de Lagrange. La solución establece que el costo mínimo de combustible se obtiene cuando el costo incremental de combustible dfJdPsi de cada unidad, multiplicado por su factor de penalización Li9 es el mismo para todas las unidades que operan en el sistema. Cada uno de los productos L^dfj/dP^ es igual a la X del sistema, la cual es, aproximadamente, el costo en dólares por hora necesario para incrementar la carga total suministrada en 1 MW; esto es
#1 _ dfi _
dpsx 2dpg2 3dFg3
El factor de penalización para la planta i se define por
1
1 - dPL/dPgi
(13.76)
(13.77)
donde PL es la pérdida total de potencia real transmitida. La pérdida incremental ?>Pl 'bPg, es una medida del cambio de las pérdidas del sistema debidas a un cambio incremental en la salida de la planta i cuando todas las salidas de las otras plantas se mantienen fijas.
Las pérdidas de transmisión PL se pueden expresar en términos de los coeficientes B y de las salidas de potencia Pgi, a través de
K K	K
Pl=L1L + E Bi0Pgi + Boo	(13.78)
/=!j=l	/=1
Los coeficientes B, que deben tener unidades congruentes con aquellas de Pg/, se pueden determinar a partir de los resultados de una solución de flujos de potencia convergente por medio de una transformación invariante en potencia que se base en la parte real (Rbarra) de Ia Zbarra del sistema. Un algoritmo para resolver el problema de despacho económico clásico se da en la sección 13.5.
En la sección 13.6 se explican los fundamentos del control automático de generación donde también se dan las definiciones del error de control de área (ECA) y del error de tiempo.
En la sección 13.7 se dan los rudimentos de la demanda de unidad, que explica el principio de optimización que es la base de la aproximación a la de solución dada por la programación dinámica. En la figura 13.13 se resume el procedimiento global de la solución.
552 CAPÍTULO 13 OPERACIÓN ECONÓMICA DE SISTEMAS DE POTENCIA
PROBLEMAS
13.1. Para una unidad generadora, la entrada de combustible en millones de Btu/h se expresa como una función de la salida Pg en megawatts a través de la expresión 0.032 P2g + 5.8Pg+ 120. Determine
a) La ecuación para el costo incremental de combustible en dólares por megawatt-hora millón de Btu.
5) El costo promedio de combustible por megawatt-hora cuando Pg = 200 MW.
c) El costo aproximado de combustible adicional por hora para elevar la salida de la unidad desde 200 hasta 201 MW. También, encontrar este costoadicional de manera exacta y compararlo con el valor aproximado.
13.2. Los costos increméntales de combustible en $/MWh para cuatro unidades de una planta son
dfx	df2
Aj = —- = 0.012Pgl + 9.0 A2 = —- = 0.0096Pg2 4- 6.0
dPg2
df.	df¿
A3 =	= 0.008Pg3 + 8.0 A4 =	= O.QMSPg4 + 10.0
aPg3	dPg4
Suponiendo que las cuatro unidades operan para cubrir la carga total de la planta de 80 MW, encuentre el costo incremental de combustible, X, y la salida requerida de cada unidad para que exista despacho económico.
13.3. Suponga que la carga máxima en cada una de las cuatro unidades descritas en el problema 13.2 es 200, 400, 250 y 300 MW, respectivamente, y que la carga mínima en cada unidad es de 50, 100, 80 y 110 MW, respectivamente. Con estos límites máximo y mínimo de salida, encontrar la X de la planta y los MW de salida de cada unidad para tener despacho económico.
13.4. Resolver el problema 13.3 cuando la carga mínima en la unidad 4 es de 50 MW en lugar de 110 MW.
13.5. Los costos increméntales de combustible para dos unidades de una planta son:
dj\	df2
Aj =	= 0.012Pgl 4- 8.0 A2 = —- = 0.008Pg2 + 9.6 . „ _
dPgi	aPg2
donde f está en dólares por hora ($/h) y Pg está en megawatts (MW). Grafique 1 de la planta en $/MWh en función de la salida de la planta en MW para que se tenga despacho económico conforme la carga total varía desde 200 hasta 1100 MW, si las unidades operan durante todo el tiempo y las cargas máxima y mínima en cada unidad son de 550 y 100 MW, respectivamente.
13.6. Encontrar los ahorros en $/h para despacho económico de carga entre las unidades del problema
13.5, comparados con el caso de unidades que tienen una salida igual cuando la total de la planta es de 600 MW.
13.7. Un sistema de potencia está alimentado por tres plantas que están operando en despacho económico. En la barra de la planta 1, el costo incremental es $10.0 por MWh, en la de la planta 2 es de $9.0 por MWh y en la de la planta 3 es $11.0 por MWh. ¿Qué planta tiene el factor de