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Analisis de sistemas de potencia Resumen 69 - ArturoSelect

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8.2 TEOREMA DE THÉVENIN Y 4arra
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Z1;- A/y + Z1A. &Ik
Zjj	Ar¿
Zkj + ^k
^Nj A Ij + ZNk A Ik
(8.21)
en la que el vector del lado derecho es numéricamente igual al producto de A^ por la columna j sumado al	producto	de	A7¿ por la columna k del sistema de	Z^^. Al	sumar	estos cambios de voltaje	a los voltajes	de barra originales como en la ecuación (8.16), se	obtienen para
las barras © y ©
Vj = V" + Z,.,. Mj + Zjk Mk	(8.22)
Vk-V° + ZkjMí + ZkkMk	"	'	(8.23)
Al sumar y restar Zjk^Ij en la ecuación (8.22) y de la misma forma, Z^It, en la ecuación (8.23), se tiene /
Vj = V¡° + (Z¡¡ - Zjk) + Zjk(&Ij + Mk)	(8.24)
L yk =	+ A4) + (Zkk - Zkj) Mk	(8.25)
Los elementos Zjk y Zkj soniguales porque es simétrica y el circuito que corresponde a estas dos ecuaciones se muestra en la figura 8.4¿), que representa el circuito equivalente de Thévenin del sistema entre las barras © y ©. La inspección de la figura 8.4¿) muestra que el voltaje de circuito abierto de la barra © a la barra © es Vk - Vy0 y la impedancia que se encuentra por la corriente de cortocircuito Isc de la barra © a la © en la figura 8.4c) es, evidentemente, la impedancia de Thévenin
	ZthJk~Zjj + Zkk-2Zjk	(8.26)
Este resultado se confirma fácilmente al sustituir Isc = A7, = -ÁIk en las ecuaciones (8.24) y (8.25) y conservando la diferencia Vj - Vh que hay entre las ecuaciones resultantes, igual a cero. La figura 8.4¿) representa el efecto sobre el sistema original, en lo que se refiere a las conexiones externas en las barras © y ©. Se puede trazar la impedancia de Thévenin que hay entre la barra © y el nodo de referencia, cuyo valor es = (Z^ - Zj¿) + ZJb así como el voltaje en circuito abierto Fy0; también, de la barra © al nodo de referencia tenemos la impedancia de Thévenin Zkk = (Zkk - Zkj) + Zkj y el voltaje de circuito abierto Vk; y entre las barras © y ©, la impedancia de Thévenin de la ecuación (8.26) y el voltaje de circuito abierto Vk - vfse hacen evidentes. Finalmente, cuando la impedancia de rama Zb se conecta entre las barras © y © de la figura 8.4rf), la corriente resultante Ih está dada por
274 CAPÍTULO 8 EL MODELO DE IMPEDANCIAS Y LOS CÁLCULOS DE RED
Red original con a) fuentes de corriente A/; en la barra (¿) y en la
Thévenin; c) conexión de corto circuito; d) impedancia Zb entre las barras
1
Zb
e
d)
; b) circuito equivalente de
(8.27)
\ /	= v° -	= vk-v¡
'	b Zthjk +	Zb
Esta ecuación se usará en la sección 8.3 para mostrar cómo modificar a la matriz ZbarT>
cuando se añade una impedancia de rama entre dos barras de la red.
Ejemplo 8.1. Un capacitor que tiene una reactancia de 5.0 por unidad se conecta entre el nodo de referencia y la barra (4) del circuito de los ejemplos 7.5 y 7.6. Las fems originales y sus correspondientes corrientes que se inyectan externamente a las barras (3) y (4) son iguales a las de los ejemplos citados. Encuentre la corriente que toma el capacitor.
Solución. El circuito equivalente de Thévenin en la barra (4) tiene una fem, con respecto a la referencia, dada por K4° = 0.94866 /^-20.7466° por unidad, que es el voltaje en la barra (4) que se encontró en el ejemplo 7.6 antes de conectar el capacitor. La impedancia de Thévenin Z44 en la barra (4) se calculó en el ejemplo 7.6 y es Z44 =j0.69890 por unidad, siendo así como se obtiene la figura 8.5a). Por lo tanto, la corriente tomada por el capacitor es
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0.94866/ -20.7466°
/cap	—j'5.0 + j'0.69890
= 0.22056/ 69.2534° por unidad
Ejemplo 8.2. Si se inyecta una corriente adicional igual a-0.22056 //^9,2534° por unidad en la barra (4) de la red del ejemplo 7.6, encuentre los voltajes resultantes en las barras (1), (2), (3) y
Solución. Los cambios de voltaje en las barras debidos a la inyección adicional de corriente se pueden calcular por medio de la matriz de impedancias de barra que se encontró en el ejemplo
7.6. Las impedancias que se requieren están en la columna 4 de ¿barra- L°s cambios de voltaje, debidos a la inyección de corriente adicional en la barra (4), dados en por unidad son
A^ - -7capZ14 = -0.22056/69.2534° X/0.63677 = 0.14045/ -20.7466° AK2 = -7capZ24 = -0.22056/69.2534° X/0.64178 = 0.14155/ -20.7466° Ay3- -/capZ34 = -0.22056/ 69.2534° X >0.55110 = 0.12155/ -20.7466°
AK4 - ~/canZ44 = /o.22Q56/ 69.2534° Xj0.69890 = 0.15415/ -20.7466°
6)
FIGURA 8.5
Circuito para los ejemplos 8.1 y 8.2 en el que se muestra: a) el circuito equivalente de Thévenin; b) el diagrama fasorial en la barra (4).
276 CAPÍTULO 8 EL MODELO DE IMPEDANCIAS Y LOS CÁLCULOS DE RED
Los voltajes resultantes se determinan por superposición mediante la ecuación (8.16) y añadiendo los cambios a los voltajes de barra originales del ejemplo 7.6. Los nuevos voltajes en por unidad son
Fj = 0.96903/-18.4189° + 0.14045/ -20.7466° = 1.10938/ -18.7135°
V2 = 0.96734/-18.6028° + 0.14155/ -20.7466° = 1.1088p/ -18.8764°
V3 = 0.99964/ -15.3718° + 0.12155/ -20.7466° = 1.12071/ -15.9539°
V4 = 0.94866/ -20.7466° + 0.15415/-20.7466° = 1.10281/ -20.7466°
v
Con frecuencia, una aproximación dará respuestas satisfactorias debido a que los cambios en los voltajes a consecuencia de las corrientes que se inyectan tiene el mismo ángulo, mostrado en la figura 8.56), y este ángulo difiere en poco de los de los voltajes originales. El cambio en la magnitud de voltaje en una barra se puede obtener de manera aproximada a través del producto de la magnitud de la corriente en por unidad y la impedancia de transferencia o de punto de operación apropiada. Si estos valores se suman a las magnitudes de los voltajes originales, la aproximación a los nuevos voltajes es muy cercana. Esta aproximación es válida en este caso porque la red es puramente reactiva, pero también da una buena estimación en los casos en los que la reactancia es mucho mayor que la resistencia, lo que es común en las líneas de trasmisión.
Estos últimos dos ejemplos ilustran la importancia de la matriz de impedancias de barra e incidentalmente muestran cómo el añadir un capacitor a la barra causa una elevación en el voltaje de las barras. La suposición de que los ángulos de voltaje y de las fuentes de corriente permanecen constantes después de conectar los capacitores a las barras no es del todo válida si se considera la operación del sistema de potencia. Tal operación se tratará en el capítulo 9 mediante un programa computacional de flujos de potencia.
8.3 MODIFICACIÓN DE UNA Zbarra EXISTENTE
En la sección 8.2 se vio cómo usar el circuito equivalente de Thévenin y la Zbarra existente para encontrar la solución a nuevos voltajes de barra en la red cuando se añaden ramas, sir tener que desarrollar una nueva matriz Z^. Como la Zbarra es una herramienta importante en el análisis de sistemas de potencia, se examinará ahora cómo se puede modificar una Zbam existente para añadir nuevas barras o para conectar nuevas líneas a las barras establecidas. Por supuesto, se podría crear una nueva Ybarra e invertirla, pero se tienen disponibles ;	métodos directos de modificar Z^a que son mucho más simples que una inversión de ma
triz aun para un número pequeño de barras. También, cuando se sabe cómo modificar 2^^- se puede ver cómo construirla de manera directa.
Se conocen varios tipos de modificaciones en las que una rama que tiene una impedanca Zb se añade a la red con una Z^ conocida. La matriz de impedancias de barra original es . una matriz de N x N y se identifica como Zorig.
En la notación para usarse en el análisis, las barras existentes se identifican con núme-

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