Analisis de sistemas de potencia Resumen 65 - ArturoSelect

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7.8 FACTORIZACIÓN TRIANGULAR 257
Cálculos similares conducen a los otros elementos de la matriz con reducción de Kron
(D ®	@
Q T-/9.57791	y4.02597	/5.55195
(3) >4.02597	—y'5.47532	y0.64935
(4) y'5.55195	y0.64935	-y'7.00130
Vx
V3
V.
o
l.oo/ -90°
0.68/ -135°
El circuito equivalente de la figura 7.17 es el que se aplica a este caso porque la matriz de coeficientes es simétrica. Un uso mayor de la ecuación (7.17) para eliminar el nodo (¡) de la figura 7.17 conduce al circuito equivalente con la reducción de Kron mostrado en la figura 7.15.
7.6 FACTORIZACIÓN TRIANGULAR
Las ecuaciones de admitancias de nodo de un sistema de potencia de gran escala se resuelven, en estudios prácticos, bajo diferentes condiciones de operación. Frecuentemente, en tales estudios la configuración de la red y los parámetros están fijos y las condiciones de operación difieren sólo por los cambios que se hagan a las fuentes externas que sean conectados al sistema de barras. En tales casos se aplica la misma Ybarra y, entonces, el problema consiste en resolver las ecuaciones repetidamente para los voltajes que corresponden a los diferentes conjuntos de inyecciones de corriente. Se evita un considerable esfuerzo computacional, al buscar soluciones repetitivas, si todos los cálculos en la primera fase del proceso de eliminación gaussiana (eliminación de variables), no se tuvieran que repetir. Lo anterior se puede hacer expresando a la matriz Ybarra como el producto de las matrices L y U que se definen para un sistema de cuatro barras por
	AZ
	
	
	
	
	V13
	^14 ‘
	*11
	
	
	
	1 Yn
	*\1
	Yxx
	*21
	y(D J22
	•
	u =
	1
	y(D
123
yfi)
I22
	Y£
y(D . z22
	*Si
	Y$>
	y(2) z33
	
	•
	1
	Ytf
y (2)
*33
	y41
	Y&
	y (2)	y (3)
t43	J44 J
	
	•
	•
	1
(7.68)
A las matrices L y U se les llama factores triangulares inferior y superior de Ybarra porque tienen elementos iguales a cero arriba y abajo de sus respectivas diagonales principales. Estas matrices tienen la importante y conveniente propiedad de que su producto es igual a Ybarra (problema 7.13). Así, se puede escribir
LU=Ybarra '	(7.69)
Al proceso de desarrollar las matrices triangulares L y U de Ybarra se le llama factorización triangular porque Ybarra se factoriza en el producto LU. Una vez que YbaiTa sefactoriza en esta forma, los cálculos en la primera etapa del proceso de eliminación gaussiana (la elimi
258 CAPÍTULO 7 EL MODELO DE ADMITANCIA Y CÁLCULO DE REDES
nación de variables) no se tienen que repetir porque L y U son únicas y no cambian para ui Ybana determinada. Los elementos en L y U se forman registrando sistemáticamente la salida de los cálculos en cada etapa de un solo paso a través del proceso de eliminación gaussiana.* Así, no intervienen nuevos cálculos en la formación de L y U.
Lo anterior se demuestra para el sistema de cuatro barras que tiene la siguiente man ? de coeficientes
(7.70)
Cuando se aplica el proceso de eliminación gaussiana a las cuatro ecuaciones de nodos correspondientes a esta Ybarra, se observa lo que a continuación se detalla.
La etapa 1 conduce a los resultados dados por las ecuaciones (7.47) a (7.50) en las que:
1. Los coeficientes Kn, K2i, J31 y Í41 se eliminan de la primera columna de la matriz de coeficientes original de la ecuación (7.70).
2. Se generan los nuevos coeficientes 1, K12/Kn, ^13/^11 y ^14/fn para reemplazar a los de la primera fila de la ecuación (7.70).
También, los coeficientes en las otras filas y columnas se alteran, pero solamente se conserva un registro separado de los especificados en 1) y 2) porque estos son los únicos resultados de la etapa 1 que no se usan ni se alteran en las etapas 2 y subsecuentes del proceso de eliminación gaussiana. En la columna 1 de L y la fila 1 de U en las ecuaciones (7.68), se muestran los coeficientes registrados.
i La Etapa 2 conduce a los resultados dados por las ecuaciones (7.56) a (7.58) en las que:
; 1. Se eliminan los coeficientes Y®9 Y® y Y® de la segunda columna de la matriz de coeficientes reducida que corresponde a las ecuaciones (7.47) a (7.50).
2. Se generan los nuevos coeficientes 1, Y®/Y® y Y®/Y® en la ecuación (7.56) para la segunda fila.
Estos coeficientes no se necesitan en las etapas restantes de la eliminacióiígaussiana y por tanto, se registran como la columna 2 de L y la fila 2 de U para mostrar el registro de la etapa 2. Se forman las columnas 3 y 4 de L y las filas 3 y 4 de U, si se continúa con este procedimiento de conservar los registros, mediante los resultados de las etapas 3 y 4 de la sección 7.6.
Por lo tanto, la matriz L es simplemente un registro de aquellas columnas que son eliminadas sucesivamente y la matriz U registra aquellos elementos de las filas que son generados sucesivamente en cada etapa del proceso de eliminación gaussiana de variables.
Se usarán los factores triangulares para resolver el sistema de ecuaciones original, mediante la sustitución del producto LU por Ybarra en la ecuación (7.38) para así obtener
7.8 FACTORIZACIÓN TRIANGULAR 259
L	= I
NxN NxN Nxl Nxl
(7-71)
Se puede reemplazar el producto UV, como una etapa intermedia en la solución de la ecuación (7.71), por un nuevo vector de voltaje V' tal que
I
!	^ V' =	y	(7-72)
NXN Nxl Nxl	NXN Nxl Nxl
La expresión de la ecuación (7.72) en un formato completo muestra que el sistema original de la ecuación (7.38) se reemplaza ahora por los dos sistemas triangulares dados por
	yn •	•	•
	v{
	
	A
	• •
	Vi
	
	h
	
	
	SE
	
	y31 y$> y® •
	Vi
	
	I3
	y y® y® y<3> ,41	Z42	J43	J44 J
	Vi.
	
	_A.
(7.74)
El sistema triangular de la ecuación (7.73) se resuelve fácilmente mediante la eliminación de variables, empezando por K/. Entonces, se usan los valores calculados de y;, K2’, K3’ y K4’ para resolver la ecuación (7.74) por sustitución inversa para las incógnitas reales Vu V2> ^3 y r4.
Por lo tanto, cuando se hacen cambios en el vector de corriente I, se encuentra la solución del vector V en dos etapas secuenciales; la primera incluye la eliminación de variables usando L y la segunda realiza la sustitución inversa usando U.
Ejemplo 7.9. Determine el voltaje en la barra (3) de la figura 7.11 mediante los factores triangulares de Ybarra, cuando la fuente de corriente en la barra (4) se cambia por /4 = 0.60 /-120o por unidad. Todas las demás condiciones de la figura 7.11 permanecen sin cambio.
Solución. En el ejemplo 7.3 se da la Ybarra para la red de la figura 7.11. Del ejemplo 7.7 se puede ensamblar columna por columna la matriz L correspondiente, simplemente registrando la co
260 CAPÍTULO 7 EL MODELO DE ADMITANCIA Y CÁLCULO DE REDES
lumna que se elimina de la matriz de coeficientes en cada etapa del procedimiento de eliminación gaussiana de variables. Entonces, al sustituir la L y el nuevo vector de corriente I en ecuación LV' = I, se obtiene
	■ —>16.75
	
	
	
	
	
	0	.
	>11.75
	->11.00746
	
	
	V'z
	
	0
	>2.50
	>4.25373
	->3.78305
	
	
	
	1.00/-90°
	>2.50
	>6.75373
	>2.98305
	->1.43082
	
	
	0.60/ -120°
La solución por eliminación gaussiana de variables comenzando con K/ conduce a	$
LOO/-90°
= 0; V' = 	z 7	= 0.26434
3.78305/ -90°
0.60/ -120° -(>2.98305)1^
->1.43082
= 0.93800/-12.9163°
Si se sigue directamente la etapa 4 de la eliminación realizada en el ejemplo 7.7, se tiene la matriz U. Al sustituir en la ecuación UV = V' los valores de U y los elementos calculados de V . se obtiene
	"1	-0.70149 -0.14925
	- 0.14925_
	
	>1‘
	
	0
	1	-0.38644
	-0.61356
	
	Vi
	
	0
	1
	-0.78853
	
	v3
	—
	0.26434
	
	1
	
	K,
	
	0.93800/ -12.9163°
que se puede resolver por sustitución inversa para obtener
V4 = V4 = 0.93800 /-12.9163o por unidad
V3 = 0.26434 -(-0.78853)^ = 0.99904 /--9.5257o por unidad
Se puede continuar la sustitución inversa, si se desea, usando los valores de V3 y V4 para evaluar V2 = 0.96118 / -11.5551° por unidad y Vx = 0.96324 / -11.4388° por unidad.
« &
Cuando la matriz de coeficientes Ybarra es simétrica (que casi siempre es el caso),
tiene una importante simplificación. Cuando la primera columna de L se divide entre Kn
obtiene la primera fila de U, como puede verse de una inspección de la ecuación (7.68cuando la segunda columna de L se divide entre /W , se obtiene la segunda fila de U; y
sucesivamente para las otras columnas y filas de la ecuación (7.68), siempre y cuando
Yy = Yji. Por lo tanto, dividir los elementos en cada columna de L entre el elemento de la
diagonal principal en esa columna, conduce a Ur siempre que Ybarra sea simétrica. Se puede
entonces escribir
.. ■	■■	■	■ ■. ■	.. . .	■	1