Apunte Teselados - Maleno Baez

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MORFOLOGÍA II 
 
TESELADOS EN EL PLANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autoras 
Prof. y Esp. Gabriela Gescovich 
Arq. Susana Geat 
 
 
 
 
 
 
2015 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
Facultad De Arquitectura y Urbanismo 
 
TESELADOS 
 
INTRODUCCIÓN 
 
Los teselados han sido utilizados en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para 
recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, 
tapices y ropas. 
 
Se le podría ameritar el origen de este arte a los griegos, quienes, desde fines del siglo V A.C. 
realizaban el pavimento con piedrecitas que se encontraban a orilla de los ríos, que como 
tenían tamaños y colores distintos, les permitían hacer pequeños dibujos de temas 
geométricos. 
El término teselado deriva del sustantivo del latín tessellātus que quiere decir “formado por 
teselas”, esta última acepción proviene también del latín cuyo significado es cubito, azulejo, 
referido a una pequeña parte de un mosaico. 
 
EJEMPLOS DE TESELADOS EN LA NATURALEZA Y VIDA COTIDIANA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLOS DE TESELADOS APLICADOS AL DISEÑO GRÁFICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINICIÓN 
 Una teselación (también conocido como teselado) consiste en el recubrimiento de una 
superficie plana por medio de figuras de tal forma que : 
 
1. No exista ningún hueco entre una figura y otra, y 
2. Las figuras estén dispuestas sin superponerse unas sobre otras. 
 
A su vez, para que esto sea posible es necesario que en cada vértice la suma de los ángulos 
de los polígonos en contacto sea igual 360º 
. 
 
 
 
 
 
 
TIPOS DE TESELADOS 
 
Clasificación: 
1) Regulares 
 
a) Semirregulares 
 b) Demirregulares 
 2) Irregulares 
También veremos otros teselados muy particulares como lo son los mosaicos de la Alhambra 
y los teselados de Escher. 
Teselados regulares: Se llaman así los teselados que están formados por polígonos regulares. 
Solo hay existen 3 tipos de teselados regulares, los generados por triángulos equiláteros, por 
cuadrados y los generados por hexágonos regulares. 
. 
Comprovemos si en cada vértice la suma de los ángulos de estos polígonos regulares es 
igual 360º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como cada ángulo del cuadrado vale 90° y en cada vértice del teselado 
concurren 4 cuadrados. Entonces se tiene que: 4.90°= 360° 
¡Se cumple la condición! 
Como cada ángulo interior de un hexágono regular mide 120° y 
en cada vértice del teselado concurren 3 hexágonos. 
Entonces se tiene que: 3.120°= 360° 
¡Se cumple la condición! 
Como cada ángulo del triángulo equilátero mide 60° y en 
cada vértice del teselado concurren 6 triángulos. 
 Entonces se tiene que: 6.60°= 360° 
¡Se cumple la condición! 
Ángulo exterior 
Ángulo interior 
Veamos ahora que ocurre con otro polígono regular, por ejemplo con el pentágono 
 
 
 
 
 
 Se puede demostrar matemáticamente que los únicos teselados regulares son los generados 
por el cuadrado, triángulo equilátero y hexágono regular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Realizando cálculos la ecuación puede escribirse
 
 
Además como m y n deben ser números naturales, y mayores o iguales que 3. Solo hay tres 
posibilidades: 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto los 3 únicos polígonos regulares que teselan el plano son: El triángulo 
equilátero, el cuadrado y el hexágono regular
 
m n 
6 3(triángulos) 
4 4(cuadrados) 
3 6(hexágonos) 
Como cada ángulo interior de un pentágono regular mide 108° y 
en cada vértice solo pueden concurrir 3 pentágonos. 
Entonces se tiene que: 3.108°= 324° 
¡No cumple la condición! 
 
Angulo Exterior: 
 
Angulo Exterior + Angulo Interior: 180° 
 
Angulo Interior: 
Entonces para m polígonos, cada uno de n lados, debe cumplirse que: 
º360)
º360
º180.( 
n
m
4)2).(2(  nm
¿Cómo podemos describir e identificar a los teselados? 
Hay una manera de describir los teselados. Fíjate en un vértice ¿Cuáles son las figuras que 
coinciden en un vértice? 
 
 
 
En este vértice coinciden 3 hexágonos, y un hexágono tiene 6 lados. Así que esta teselación se 
llama «6.6.6» .A este código se le llama símbolo de Schläfli 
 
 
 
 
De acuerdo a este criterio ¿cómo describirías los teselados triangulares y cuadrados? 
Teselados semirregulares: Son aquellas que contienen 2 o más tipos de polígonos regulares 
en su formación. Existen sólo 8 teselados semirregulares. 
 Un teselado semirregular tiene las siguientes propiedades: 
1) Está formado sólo por polígonos regulares. 
2) El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice. 
 
 
 
 
(3,3,3,3,3,3) 
(3,4,3,3,4) 
Teselados Demirregulares: Los teselados demirregulares se forman usando los tres teselados 
regulares y los 8 teselados semirregulares, pero de modo que no todos los vértices tengan la 
misma distribución. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teselados Irregulares: Los teselados irregulares están generados por polígonos irregulares o 
combinaciones de polígonos regulares e irregulares. 
Teselados generados por pentágonos irregulares (pentágonos casita). 
 
 
 
 
Teselados generados por polígonos regulares e irregulares 
 
 
 
 
 
Teselados de la Alhambra: La Alhambra constituye una de las expresiones más grandiosas de 
arte geométrico. No hay que olvidar que La Alhambra fue palacio y fortaleza; residencia de 
los sultanes Nazaríes, de los altos funcionarios, de los servidores de la corte y de los soldados 
de élite desde los siglos XIII al XIV. La causa principal por la que se produjo esta gran 
expansión de la geometría en el arte Hispano-musulmán es de carácter básicamente religioso. 
En primer lugar el Corán prohibía cualquier representación figurativa de seres vivos o de alá, 
por lo que tuvieron que desarrollar nuevas técnicas para generar otras figuras o motivos para 
sus creaciones artísticas, por otra parte como identificaban a la divinidad con el uno, con la 
singularidad evitaban que en sus diseños hubiera algún elemento que sobresalga más que los 
otros. Precisamente si analizamos estos mosaicos el efecto visual que producen es que ningún 
punto es singular ni más importante que los demás, no existe un centro de gravedad de la 
composición. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta obsesión por llenar el plano de forma armoniosa y regular ha obligado a los artistas 
musulmanes, no solo a recurrir a la Geometría, sino además a la Geometría Dinámica basada 
en la composición de movimientos en el plano. 
 
Una de las técnicas utilizadas para crear nuevas figuras consistía en efectuar sobre un 
polígono regular (polígono generador) diversas trasformaciones hasta obtener una nueva 
figura distinta a la original pero de igual superficie. Este método se basa en el principio de 
"variar la forma pero mantener la superficie". 
 
Los 3 teselados que más se repiten en La Alhambra se llaman El Hueso, El Pétalo y La 
Pajarita. 
 
Teselado El Hueso: Este teselado se construye utilizando un polígono nazarí, llamado El 
Hueso, se obtiene a partir de un cuadrado en el que se recortan dos trapecios de dos lados 
opuestos y se colocan mediante giros en los otros dos lados también opuestos. Como en todos 
los polígonos nazaríes se conserva el área del polígono inicial 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una vez construido el motivo principal, efectuando giros o combinaciones de otros 
movimientos se consigue la teselación final del plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teselado La Pajarita: Este teselado se construye utilizando un polígono nazarí, llamado La 
Pajarita, se obtiene a partir de un triángulo equilátero, en el que se recortan en cada lado un 
segmento circular para colocarlo en el mismo lado mediante un giro de 180º 
 
 
 
 
 
 
 
Una vez construido el motivo principal, efectuando giros de 60° con centro en uno de los 
vérticesde la figura y luego realizando traslaciones conseguimos la teselación final del 
plano. 
 
 
 
 
 
 
Teselado El Pétalo: Este teselado se construye utilizando un polígono nazarí, llamado El 
Pétalo, que se obtiene a partir de un rombo formado por dos triángulos equiláteros mediante la 
traslación de dos pequeños segmentos circulares que se recortan de dos de los lados y se 
colocan en los lados paralelos. 
 
 
 
 
Una vez construido el motivo principal, por medio de traslaciones conseguimos la teselación 
final del plano. 
 
 
 
Teselados de Escher: 
Maurits Cornelis Escher (1898-1972), es uno de los más grandes artistas gráficos del siglo 
XX. Mundialmente conocido por sus fascinantes juegos visuales, perspectivas, figuras 
imposibles y especialmente, por sus dibujos basados en la partición y división regular del 
plano. 
 Para realizar sus magníficas teselaciones, Escher se inspiró en los mosaicos de la Alhambra 
de Granada. Con una diferencia. Si el Islam prohibía las imágenes de animales o personas, el 
artista holandés no tenía esa limitación por lo que realizó todo tipo de recubrimientos de 
asombrosa complejidad. Aquí podemos ver algunos ejemplares: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Técnica: La técnica de Escher para obtener estas figuras tan particulares que teselan el plano, 
se basa en el método utilizado por los artistas musulmanes de la Alhambra. Se deforma un 
polígono regular que tesele el plano, mediante distintas trasformaciones geométricas hasta 
obtener una nueva figura distinta a la original pero de igual superficie. 
Teselado “La Salamandra”: Esta es una de las teselaciones más famosas de Escher, 
compuesta a base de una figura en forma de reptil. Este motivo se obtiene partiendo de un 
hexágono al que se le va aplicando sucesivas transformaciones. 
 
 
 
 
 
 
Una vez construido el motivo principal, por medio de rotaciones y traslaciones conseguimos 
la teselación final del plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
 NICOLINI Ángeles, SANTA MARÍA Graciela, VASINO Susana: “Matemática para 
Arquitectura y Diseño”. Editorial Nueva Librería. Buenos Aires, 1999. 
 SANTALÓ Luis A.: “La Geometría en la formación de profesores”. Red Olímpica. 
Buenos Aires, 1993. 
 COMBES Leonardo: “Contribuciones a los Sistemas de Diseño”. 20 años de Laboratorio. 
Edición Magna. San Miguel de Tucumán, 2003. 
 SORRENTINO R., GOMEZ LOPEZ C. R., BORSETTI R.: “Los Teselados Periódicos de 
M. C. Escher”. Actas SIGRADI 2. Mar del Plata, 1998. 
 FEDERICO Carlos Vicente, ENRICH Rosa Susana, Cripa Ana Lía, DÍAZ Néstor Alberto: 
“El arte de la Geometría + La Geometría del Arte. GEOMETRIZARTE”. Editorial de la 
Universidad Nacional de La Plata. La Plata, 2001. 
 
 BUSH – OBREANU: “Introducción a la Matemática Superior”. Ed. Trillas. México, 
1975. 
 ROJO Armando: “Álgebra I”. “Álgebra II”. Ed. El Ateneo. Buenos Aires, 1984. 
 SPINADEL Vera W. de, NOTTOLI Hernán S.: “Notas de Matemática. Para Arquitectos 
y Diseñadores”. NODO Libros. Buenos Aires, 2008.