Analisis de sistemas de potencia Resumen 64 - ArturoSelect

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7.6 EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN SUCESIVA 253
y la corriente modificada en la barra (4) está dada por
y(2)
r(3) _ r(2)	ÍL r(2)
4	4	*33	3
= 0.68/-135'
>2.98305	,
	1.00/-90°
—>3.78305 L	
= 1.35738/ -110.7466° por unidad
En la figura 7.16a) se muestra la única admitancia que resulta de la etapa 3.
Etapa 4
El proceso de eliminación termina con el siguiente cálculo que corresponde a la transformación de fuente de la figura 7.166).
/<3)	1.35738/-110.7466°	.
VA =	= 0.94867/ -20.7466° por unidad
4	X¿3)	1.43082/-90°	L	
Por lo tanto, la eliminación conduce a la matriz triangular de coeficientes dada por
	T
	-0.70149
	-0.14925
	-0.14925
	
	
	0
	0
	1
	-0.38644
	-0.61356
	
	
	0
	0
	0
	1
	-0.78853
	y.
	—
	0.26434/0°
	0
	0
	0
	1
	K
	
	0.94867/ -20.7466°
Se empieza, entonces, el proceso de sustitución inversa, sabiendo que V4 = 0.94867 /-20 .7466o, se determina V3 por medio de los elementos de la tercera fila en la siguiente forma:
V3 - 0.78853K4 = K3 - 0.74805/ -20.7466° = 0.26434/ 0°
lo cual da
V3 = 0.99965/ -15.3716° por unidad
Al sustituir V3 y V4 en la ecuación de la segunda fila, se tiene
J/2 - 0.38644K3 - 0.61356K = 0
lo que conduce a
V2 = 0.96734/ -18.6030° por unidad
Se sustituyen los valores de V2, V3 y V4 en la ecuación de la primera fila
254 CAPITULO 7 ' EL MODELO DE ADMITANCIA Y CÁLCULO DE REDES
1.35738/-110.7466°
.43082 v
a)	b)
FIGURA 7.16
Circuitos equivalentes que se obtienen de a) la etapa 3 y b) la etapa 4 del ejemplo 7.7.
Vx - 0.70149K2 - 0.14925K3 - 0.14925K4 = 0
se obtiene
= 0.96903/-18.4189° por unidad
y así, los voltajes de barra en por unidad son
Vx = 0.96903/-18.4189° = 0.91939 ->0.30618
V2 = 0.96734/ -18.6030° = 0.91680 - >0.30859
V3 = 0.99964/ -15.3716° = 0.96388 - >0.26499
r4 = 0.94867/ -20.7466° = 0.88715 ->0.33605
que concuerdan casi exactamente con los resultados encontrados en el ejemplo 7.6.
... . . ■ ■
7.6 ELIMINACIÓN DE NODOS (REDUCCIÓN DE KRON)
En la sección 7.6 se muestra que la eliminación gaussiana evita la necesidad de invertir it matriz cuando se resuelven las ecuaciones de nodos de un sistema de potencia a gran escala. Al mismo tiempo, se muestra también que la eliminación de variables es idéntica a la redu ción de la red porque conduce a redes equivalentes de orden reducido por la eliminación de nodos que se realiza en cada etapa. Este proceso es importante cuando se analiza un gn - sistema de potencia interconectado y se tiene un interés especial en los voltajes de alguna de las barras del sistema. Por ejemplo, una compañía eléctrica interconectada con otras desearía limitar su estudio al de los niveles de voltaje de las subestaciones que están dentro oe la región en que da servicio. Se puede aplicar la eliminación gaussiana para reducir tai ecuaciones de Ybarra del sistema a un conjunto que contenga sólo las barras deseadas, a trav^ de una numeración apropiada de las que existen en la red. La matriz de coeficientes en d conjunto de ecuaciones de orden reducido representa la Ybarra para una red equivalente que
7.7 ELIMINACIÓN DE NODOS (REDUCCIÓN DE KRON) 255
contiene sólo aquellas barras que se desee mantener. Las demás barras se eliminan en el sentido matemático de que sus voltajes y las corrientes que se inyectan no aparecen de forma explícita. Esta reducción en el tamaño de la ecuación conduce a la eficiencia del cálculo y ayuda a enfocar de una forma más directa la porción de la red que es de interés primario.
En el proceso de eliminación gaussiana, se quita secuencialmente del sistema original de N ecuaciones con N incógnitas, una variable de voltaje de barra en cada etapa. Si se hace la etapa 1 del proceso, la variable V\ no aparece explícitamente en el sistema resultante (N- 1) x (N- 1), el cual representa por completo la red original si el valor real del voltaje V\ en la barra (1) no es de interés vital. Si el conocimiento de V2 tampoco es de mayor importancia, se puede usar el sistema de ecuaciones de (N - 2) x (N - 2) que resulta de la etapa 2 del procedimiento al reemplazar la red real por una barra (N - 2) equivalente que no tiene las barras (T) y (2) y así sucesivamente. En consecuencia, se pueden eliminar k nodos de la representación de la red (si es que esto representa una ventaja en los cálculos) empleando las primeras k etapas del procedimiento de eliminación gaussiana. Por supuesto que se siguen tomando en cuenta en los restantes (N - k) nodos las corrientes (si es que las hay) inyectadas a los nodos eliminados, a través de la aplicación sucesiva de expresiones como las de la ecuación (7.54).
La corriente que se inyecta siempre es cero en las barras de la red que no tienen conectada una carga externa o una fuente generadora. En estas barras no es necesario, por lo general, calcular los voltajes explícitamente y así, se pueden eliminar de la representación. Por ejemplo, se pueden escribir las ecuaciones de admitancias de nodo cuando I\ = 0 en el sistema de cuatro barras, en la forma
(7.65)
y al eliminar el nodo (¡), se obtiene el sistema de 3 x 3
Y#
y(D
133 y(D
•*43
(7.66)
en la que los elementos con superíndice de la matriz de coeficientes reducidos se calculan como antes se hizo. Se dice que un sistema tiene una reducción de Kron\ cuando se le han eliminado los nodos que tienen corrientes inyectadas con valor cero. Por lo tanto, el sistema que tiene la forma particular de la ecuación (7.65) es reducido (Kron) a la ecuación (7.66) y para este caso, la eliminación de nodos y la reducción de Kron son términos sinónimos.
1 En honor del Dr. Gabriel Kron (1901-1968) de la compañía General Electric, Schenectady, N. Y, quien contribuyó grandemente al análisis de los sistemas de potencia.
256 CAPÍTULO 7 EL MODELO DE ADMITANCIA Y CÁLCULO DE REDES
Sin considerar cuál de los nodos tiene la inyección de corriente cero, un sistema pue4’ tener una reducción de Kron sin, por supuesto, tener que rearreglar las ecuaciones como er la ecuación (7.65). Por ejemplo, se pueden calcular directamente los elementos de la míe matriz de admitancias de barra reducida, si Ip = 0 en las ecuaciones de nodo del sistema de A barras, seleccionando a Ypp como el pivote y eliminando a la barra p mediante la ecuacic
=	_ YjpYpk
■*jfc(nueva) *jk
Ipp
(7.6-
donde j y k toman todos los valores enteros desde 1 hasta N con la excepción de p porque ’ fila y columnap se eliminan. El subíndice (nuevo) distingue los elementos de la Ybarra nue\ de dimensión (N - 1) x (N - 1) de los de la Ybarra original.
Ejemplo 7.8. Del sistema de 4 x 4 del ejemplo 7.7, elimine el nodo (2) y su valor correspondier te de voltaje V2 usando a Y22 como el pivote inicial.	.
Solución. El pivote Y22 es igual a -j 19.25. Se puede eliminar la fila y la columna 2 de la Ybarra de ejemplo 7.7 para obtener los nuevos elementos de la fila 1, haciendo que p sea igual a 2 en ecuación (7.67)
fll (nueva) ^11
fl2f21
Y 22
=-ji6.75-C-711,75^11,75 =-j9.57792
7	- j'19.25
f¡3(nueva) fl3
Y77
( 7’11.75)( 7’2.50)
= 72.50 - —	—	- = J4.02597
-jn.25
fl4(nueva) ^14
ri2f24
Y 22
(711.75X75.00)
72.50 - —	—		 = y5.55195
-j’19.25
FIGURA 7.17
La red con reducción de Kron del ejemplo 7.8.