Analisis de sistemas de potencia Resumen 62 - ArturoSelect

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' 7.5 LA MATRIZ DE INCIDENCIA DE LA RED Y Ybarra 245
La matriz Ybarra tiene una fila y una columna para cada una de las jV barras en la red y así, la forma estándar de las cuatro ecuaciones independientes del sistema de ejemplo de la figura
7.11 es '	.	.....
	>11
	yl2
	yl3
	yl4'
	
	
	V
	Xzi
	y22
	y23
	y24
	
	v2
	
	A
	V31
	y32
	y33
	y34
	
	y3
	
	A
	y4l
	y42
	y43
	X,4
	
	v4
	
	A
(7.38)
Cuando se especifican las cuatro corrientes 7b I2, e I4, que se inyectan a las barras, las cuatro incógnitas son los voltajes de barra Lb V2> y V4. Por lo general, la matriz Ypr es simétrica, en cuyo caso, al tomar la transpuesta de cada lado de la ecuación (7.37) se muestra que Ybarra también es simétrica.
I
Ejemplo 7.5. Determine la matriz de admitancias de barra en por unidad del sistema de ejemplo de la figura 7.11, mediante el árbol mostrado en la figura 7.13 con el nodo (0) como refe- rencia.
Solución, La matriz de admitancias elementales Ypn que describe las admitancias de las ramas, está dada por la ecuación (7.28) y la matriz A de incidencia rama-nodo para el árbol especificado está dada por la ecuación (7.31). Por lo tanto, al realizar las multiplicaciones fila por columna para indicadas por
	0
	0
	1
	0'
	T
	“ —>0.8
	
	
	0
	-1
	1
	0
	
	
	-j6.25
	>3.75	•	*	*	*
	-1
	0
	1
	0
	
	
	73.75
	—j6.25	•
	-1
	1
	0
	0
	
	
	
	—j’8.0
	0
	-1
	0
	1
	
	
	
	—j*5.0
	-1
	0
	0
	1
	
	
	
	- •	.	*	• < -J2.5	•
	0
	0
	0
	1
	
	
	
	• u. •	*	*	- j0.8
se obtiene el resultado intermedio siguiente
	0
	—>3.75
	j’6.25
	78.0
	0
	j2.5
	0'
	0
	76.25
	-;3.75
	-78.0
	;5.0
	0
	0
	JO.8
	-72.5
	-)2.5
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	->5.0
	-j2.5
	-70.8
que se puede postmultiplicar por A para calcular
I
· = A7 Y
· barra A *pr
3
4
3
2
1
2,
4
	J16.75
	>11.75
	72.50
	72.50-
	>11.75
	-719.25
	~ 72.50
	75.00
	72.50
	72.50
	-75.80
	0
	72.50
	75.00
	0
	-78.30
246 CAPITULO 7 EL MODELO DE ADMITANCIA Y CÁLCULO DE REDES
Ejemplo 7.6. Resuelva las ecuaciones de nodo del ejemplo 7.5 para encontrar los voltajes de barra invirtiendo la matriz de admitancias de barra.
Solución. Al premultiplicar ambos lados de la ecuación matricial de nodos por el inverso de la matriz de admitancias de barra (la que se determina al usar un programa estándar de una computadora o calculadora), se obtiene	>
	>1’
	
	‘>0.73128 >0.69140 >0.61323 >0.63677 ‘
	0
	Y2
	
	>0.69140 >0.71966 >0.60822 >0.64178
	0
	V3
	se
	>0.61323 >0.60822 >0.69890 >0.55110
	1.00/ -90°
	
	
	>0.63677 >0.64178 >0.55110 >0.69890
	0.68/-135°
Se realizan las multiplicaciones indicadas y se obtienen los siguientes resultados en por unidad
	
	T 0.969032
	' -18.4189° '
	I"0.91939 - >0.30618
	V2
	
	0.96734/
	' -18.6028°
	
	0.91680 - >0.30859
	V3
	
	0.999642
	'-15.3718°
	
	0.96388 ->0.26499
	v4
	
	0.948662
	f -20.7466°
	
	0.88715 —>0.33605
7.6 EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN SUCESIVA i 
En estudios industriales de los sistemas de potencia, las redes por resolver están extendidas geográficamente y en muchas ocasiones incluyen varios cientos de subestaciones, plantas generadoras y centros de carga. Las matrices Ybarra para estas redes grandes de miles de nodos tienen asociados sistemas de ecuaciones de nodos que se resuelven para un correspondiente número de voltajes de barra desconocidos. Con el fin de resolver tales redes, se requieren técnicas numéricas basadas en el uso de computadoras que eviten la inversión directa de la matriz, con lo cual disminuye el esfuerzo computacional y la capacidad de memoria requerida. El método de eliminación sucesiva llamado eliminación gaussiana es la base de muchos de los métodos numéricos que resuelven ecuaciones de los sistemas de potencia a gran escala. Ahora se describirá este método mediante las ecuaciones de nodos del sistema de cuatro barras
+ Wl + ^13^3 + Y14V4 = h	(7-39)
Y2lVl + Y22V2 + Y23V3 + Y24V4 = I2	(7.40)
: 7.6 EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN SUCESIVA 247
y31K + Y32v2 + y33r3 + y34K = z3 '	(7.4i)
Y^ + Y42V2 + Y43V3 + Y^ = I4	(7.42)
El método de eliminación gaussiana consiste en reducir este sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, F1? V2, V3 y F4, a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, después a uno de dos ecuaciones con dos incógnitas y así hasta que sólo quede una ecuación con una incógnita. La ecuación final determina el valor de la incógnita correspondiente que se sustituye en la ecuación previa para obtener la siguiente incógnita y así, en sentido inverso, se van haciendo las sustituciones correspondientes para calcular cada una de las incógnitas restantes. La eliminación sucesiva de incógnitas hasta que quede una de ellas se llama eliminación de variables mientras al proceso de sustituir por medio de los últimos valores calculados se le conoce como sustitución inversa. La eliminación de variables comienza al seleccionar una ecuación y eliminar de ella una variable cuyo coeficiente es denominado pivote. Se ejemplificará este procedimiento, eliminando V\ de las ecuaciones (7.39) a (7.42) en la siguiente manera:
Etapa 1
1. Se divide la ecuación (7.39) entre el pivote yn para obtener
(7-43) ru rll rll
2.	Se multiplica la ecuación (7.43) por y2i, ^31 y I41 Y los resultados se restan de las ecuaciones (7.40) a (7.42), respectivamente, para obtener
21* 12
22
11
23
212 13
11
24
— K
Yn ) 4
r ¿21
2 y rn
(7-44)
312 12
312 13
32
11
33
11
34
y.! J4
r _ ¿21
3 y
(7-45)
412 12
412 13
42
11
43
44
11
241
4 - /A
T11
(7-46)
Las ecuaciones (7.43) a (7.46) se pueden escribir en una forma más compacta como sigue
1
12
13
14
11
11
11
11
(7.47)
248 CAPÍTULO 7 EL MODELO DE ADMITANCIA Y CÁLCULO DE REDES
o	Yg>V2 + Yg>V3 + Y$>V4 = /<*>	" (7.48)
Y£>V2 + Y£V3 + Y£>V4-I™	(7.49)
y^v2 + y^v3 + y4(4’>r4 = /<’>	(7.50)
donde el superíndice designa el conjunto de la etapa 1 de los coeficientes desarrollados
Y^=YA-^L parajy k = 2,3,4	(7.51)
U1
y las expresiones del lado derecho modificadas son
Y
/*1’ =7/~—A paraj = 2,3,4	(7.52)
1
Obsérvese que las ecuaciones (7.48) a (7.50) pueden ahora ser resueltas para K2, V3 y VA porque se ha eliminado V}. Los coeficientes constituyen una matriz reducida de 3 x 3 que representa una red equivalente reducida con la barra (¡) ausente. Los voltajes L2, V3 y VA de este equivalente de tres barras tienen los mismos valores que en el sistema original de cuatro barras. Además, en las barras (2), (3) y (4) se toma en cuenta el efecto de la inyección de corriente sobre la red como se muestra en la ecuación (7.52). La corriente en la barra (¡) se multiplica por el factor -Y^/Y^ antes de que se distribuya en cada barra j que todavía permanezca en la red.
En seguida se considera la eliminación de la variable V2.
Etapa 2
1. Se divide la ecuación (7.48) entre el nuevo pivote Y22y para obtener
Y2(P	Y%>	1
122	122	122
(7.53)
2.	Se multiplica la ecuación (7.53) por y£ } y Y^} y los resultados se restan de las ecuaciones
(7.49) y (7.50) para obtener
y(i)y(i)
CD _ y32 ^23
r33	y(l)
*22
y(i)y(i) \	y(i)
y(D _ r3V24_ y = r(i) _	/(D
r34	y(l) K4 *3	y(l)72
122	122
(7.54)
y(l)y(l) \	/	y(l)y(i) \	y(l)
y(i) _ 42 23 11/ _i_ I y(i) _ _í?—I y = j(i) _ 4?_j(i)
r43	V(l) y 3	J44	V(l) y 4 J4 v(l)72
122	/	\	122	/	122
(7.55)