Apuntes_1445_1569_-_AmandaLPN_FI_UNAM (1) - Axel

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Facultad de Ingeniería 
División de Ciencias Básicas 
Coordinación de Ciencias Aplicadas 
Academia de Probabilidad, Estadística y Dibujo 
Materia: Fundamentos de Estadística / Estadística 
Semestre 2021-1 
Profesora: Mtra. Amanda Lolita Pineda Norman 
 
Objetivo del curso 
El alumno aplicará los conceptos de la teoría, metodología y las técnicas estadísticas; 
modelará y resolverá problemas de ingeniería relacionados con el muestreo, 
representación de datos e inferencia estadística para la toma de decisiones. 
 
Fundamentos de Estadística: 
 
Estadística: 
 
Universidad Nacional Autónoma 
de México 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
1 
 
ÍNDICE 
 
Tema Pág. 
Bibliografía 4 
Tema 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 5 
Investigación básica y aplicada 5 
El método científico o método de investigación 5 
Etapas del método científico 6 
¿Qué es Estadística? 7 
La estadística en la investigación 8 
Clasificación de la estadística 9 
La población y la muestra 11 
Relación entre la probabilidad y la estadística 12 
Generación de números aleatorios 12 
Uso de Tabla de números aleatorios 13 
Muestreo probabilístico 15 
Estadística descriptiva para datos no agrupados 18 
Medidas de tendencia central 18 
Medidas de dispersión 23 
Medidas de forma 25 
Tablas de distribución de frecuencias 29 
Construcción de una tabla de distribución de frecuencias completa. 31 
Datos agrupados 33 
Medidas de tendencia central y de dispersión para datos agrupados 33 
Gráficos 37 
Tema 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE INFERENCIA ESTADÍSTICA 43 
Definiciones 43 
El proceso de una investigación estadística 44 
A menudo necesitamos estimar los siguientes parámetros 45 
¿Son estadísticos? 45 
Muestra aleatoria 45 
Realización 45 
Estadísticos comunes 46 
Distribuciones muestrales 47 
Demostración de los estadísticos muestrales 47 
Teorema central del límite (TCL) 52 
¿Cómo calcular probabilidades? 53 
Distribución Normal 53 
Ejercicios del Teorema central del límite 59 
Distribución Ji-cuadrada (𝜒 ) 63 
Distribución t-Student 64 
Distribución F 67 
Problemas con estadísticos de prueba 70 
Tema 3. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS 72 
¿A dónde voy? 72 
Estimador 73 
Estimación puntual 73 
Propiedades de los estimadores 74 
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Tema Pág. 
Métodos para determinar estimadores puntuales 80 
Método de Momentos 80 
Método de máxima probabilidad o máxima verosimilitud 82 
Estimación por intervalos de confianza 84 
Intervalo de confianza para la media 86 
Intervalo de confianza para la media poblacional, 𝜎 conocida. Distribución normal. Nota: no importa 
el tamaño de la muestra. 
86 
Intervalo de confianza para la media poblacional 𝜇 de muestra grande (𝑛 ≥ 30), 𝜎 desconocida. Por 
el TCL 
89 
Intervalo de confianza cuando el tamaño de la muestra es pequeño, (n<30). Distribución normal. 𝜎 
desconocida. 
90 
Intervalo de confianza para la diferencia de medias 91 
Poblaciones normales y se conocen la varianzas poblacionales 𝜎 y 𝜎 91 
Poblaciones grandes y se desconocen las varianzas poblacionales 𝜎 y 𝜎 se sustituyen por 𝑆 y 
𝑆 
92 
Cuando la varianza de las poblaciones son desconocida pero iguales (𝜎 = 𝜎 ) y la muestra es 
pequeña 
94 
Cuando la varianza de las poblaciones son desconocidas y diferentes (𝜎 ≠ 𝜎 ) y la muestra es 
pequeña 
96 
Intervalo de confianza para la varianza 98 
Intervalo de confianza para la razón de varianzas 100 
Intervalo de confianza para la proporción 101 
Intervalo de confianza de diferencia de proporciones 103 
Tamaño de muestra 104 
Tema 4. PRUEBAS DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS 108 
¿Dónde estamos? 108 
Prueba de hipótesis estadística 108 
Hipótesis nula (𝐻 ) y alternativa 𝐻 108 
Tipos de hipótesis alternativas 109 
Regiones de aceptación y rechazo de 𝐻 109 
Tipos de error en las pruebas de hipótesis 109 
Potencia de la prueba 110 
¿Cómo se dice? 110 
Prueba de hipótesis para la media 111 
Prueba de hipótesis para la media poblacional, 𝜎 conocida. Distribución normal. Nota: no importa 
el tamaño de la muestra. 
111 
Nivel de significancia alcanzado (valor p o p value) 112 
Prueba de hipótesis para la media poblacional 𝜇 de muestra grande (𝑛 ≥ 30), 𝜎 desconocida. Por 
el TCL 
113 
Prueba de hipótesis para la media poblacional 𝜇 cuando el tamaño de la muestra es pequeño, 
(n<30). Distribución normal. 𝜎 desconocida. 
114 
Pruebas de hipótesis sobre la igualdad de dos medias 115 
Poblaciones normales y se conocen la varianzas poblacionales 𝜎 y 𝜎 / Poblaciones grandes y se 
desconocen las varianzas poblacionales 𝜎 y 𝜎 se sustituyen por 𝑆 y 𝑆 115 
Pruebas de hipótesis sobre la igualdad de dos medias, muestras pequeñas. Distribuciones normales 116 
Muestras pequeñas de poblaciones normales (𝑛 < 30) y varianzas desconocidas pero iguales 116 
Muestras pequeñas (𝑛 < 30) de poblaciones normales y varianzas desconocidas y diferentes 117 
Pruebas de hipótesis para la varianza. Donde 𝜇 y 𝜎 se desconocen 118 
Pruebas de hipótesis para la igualdad (razón) de varianzas 120 
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Tema Pág. 
Prueba de hipótesis sobre una proporción (muestras grandes) 121 
Prueba de hipótesis sobre dos proporciones (muestras grandes) 123 
Prueba de bondad de ajuste 124 
Tema 5. INTRODUCCIÓN A LA REGRESIÓN LINEAL SIMPLE 130 
Modelo de regresión o modelo estadístico 130 
Tipos de regresión 130 
Diagrama de dispersión 130 
Modelo determinista 131 
Regresión lineal simple 132 
Suposiciones acerca del error aleatorio 133 
Suposiciones acerca del error aleatorio 𝜀 133 
Método de mínimos cuadrados 134 
Covarianza (Cov) 135 
Coeficiente de determinación (𝑟 ) 135 
Coeficiente de correlación (𝑟) 136 
Error cuadrático medio (𝑠 ) y error estándar de estimación (𝑠) 137 
Fórmula para calcular el error cuadrático medio (𝑠 ) y error estándar de estimación (𝑠) 140 
Intervalo de confianza para 𝛽 141 
Intervalo de Confianza para 𝛽 143 
Prueba de hipótesis para 𝛽 144 
Prueba de hipótesis para 𝛽 145 
Regresión múltiple 146 
Tema 6. PROCESOS ESTOCÁSTICOS 149 
Proceso estocástico 149 
Cadena de Markov 149 
Probabilidad de transición en k pasos 153 
Probabilidades totales 153 
Matriz de transición regular 154 
Clasificación de los estados de la cadena de Markov 154 
Diagramas de transición 155 
Matriz de transición en estado estable 157 
Teoría de colas o líneas de espera 162 
Estos modelos ayudan a responder preguntas como 162 
Diagrama de teoría de colas o líneas de espera 162 
Costos de servicio y costos de espera 163 
Variaciones 163 
Características en la línea de espera 164 
Notación de Kendall 165 
Cola: M/M/1 167 
Notación universal 167 
 
 
 
 
 
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BIBLIOGRAFÍA DEL TEMARIO 
- MONTGOMERY, Douglas, HINES, William W. 
Probabilidad y Estadística para Ingeniería 
4ta edición 
México 
CECSA, 2005 
 
- DEVORE, Jay L. 
Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias 
8ª edición 
México 
Cengage Learning, 2011 
 
- MENDENHALL, William, SINCICH, Terry 
Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias 
4ª edición 
México 
Pearson, 2000 
 
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA 
- GUTIÉRREZ, Eduardo, VLADIMIROVNA, Olga 
Probabilidad y estadística. Aplicaciones a la ingeniería 
1ª edición 
México 
Edición Patria, 2014 
 
- GUTIÉRREZ, Eduardo, VLADIMIROVNA, Olga 
Estadística inferencial 1 para ingeniería y ciencias 
1ª edición 
México 
Edición Patria, 2016 
 
- WACKERLY, MENDENHALL, SCHEAFFER 
Estadística matemática con aplicaciones. 
7ma edición 
HainesVille: Cengage Learning, 2009 
 
- BRASE, Charles, BRASE, Corrinne 
Estadística Básica 
1ª edición 
México 
Cengage, 2019 
 
Comprar en: https://libreria-ditesa.com/vs-estadistica-basica-1ed.html 
 
 
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Tema 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 
Objetivo: El alumno describirá las distintas formas en las que se puedenpresentar los datos de una 
muestra y calculará sus parámetros más significativos. 
Investigación básica y aplicada 
 
Investigación básica Investigación aplicada 
 Elaborar una teoría de la 
superconductividad. 
 Elaborar una teoría de la personalidad. 
 Leyes de la electricidad. 
 Leyes de la contabilidad. 
 Ensayar materiales superconductivos. 
 Construir un test en base a una teoría 
de la personalidad. 
 Investigar los fenómenos que 
producen inflación para resolver los 
aumentos salariales. 
 
El método científico o método de investigación 
El método científico es el conjunto de postulados, reglas y normas para el estudio y solución de los 
problemas de investigación, institucionalizados por la denominada comunidad científica 
reconocida. 
 
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Etapas del método científico 
 
EJEMPLO: 
Observación: 
Queremos estudiar si la velocidad de caída libre de los cuerpos depende de su 
masa. Para ello, dejamos caer, desde una misma altura un gis y una hoja de 
papel. 
Observamos que el gis llega mucho antes que el papel al suelo. Si medimos la 
masa del gis, vemos que éste es mayor que la masa del papel. 
Hipótesis: 
Podemos formular, como hipótesis, el siguiente razonamiento: 
 "Cae con mayor velocidad el cuerpo que posee mayor masa". 
 
 
 
Experimentación: 
 Si lanzamos el gis junto a una hoja de papel arrugada, vemos que llegan al 
suelo prácticamente al mismo tiempo. 
Si seguimos esta línea de investigación y lanzamos una hoja de papel 
arrugada y otra hoja sin arrugar desde la misma altura, vemos que la hoja 
arrugada llega mucho antes al suelo. 
M
ét
od
o 
ci
en
tíf
ic
o
Observación Examinar la naturaleza de los objetos.
Hipótesis Suposición de una cosa posible, de la que se saca una consecuencia.
Experimentación Verificación de la hipótesis.
Conclusiones Comprobar si la hipótesis es correcta.
Teoría Conocimiento especulativo
Ley Es la regla constante
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Conclusiones: 
A la vista de los resultados experimentales, se puede concluir que no es la masa la que determina 
que un objeto caiga antes que otro en la Tierra; más bien, será la forma del objeto la determinante. 
Como comprobación de nuestro resultado deducimos que nuestra hipótesis inicial era incorrecta. 
Tenemos, por EJEMPLO, el caso de un paracaidista: su masa es la misma con el paracaídas abierto 
y sin abrir; sin embargo, cae mucho más rápido si el paracaídas se encuentra cerrado. 
Teoría y Ley: 
 A veces se repiten ciertas pautas en todos los hechos y fenómenos observados. En este 
caso puede enunciarse una ley. 
 Una ley científica es la formulación de las regularidades observadas en un hecho o 
fenómeno natural. Por lo general, se expresa matemáticamente. 
 Las leyes científicas se integran en teorías. Una teoría científica es una explicación global de 
una serie de observaciones y leyes interrelacionadas. 
 
¿Qué es Estadística? 
 La palabra estadística significa literalmente “ciencia del estado”, debido a 
que en sus inicios servía para proporcionar datos que fueran de interés para 
los gobernantes de una nación. En la actualidad la estadística es mucho más 
que eso. 
La estadística no solo proporciona datos, sino que los agrupa, analiza, 
interpreta y permite generar inferencias o conclusiones de una población a 
partir de los datos de una muestra. 
 
Estadística descriptiva: 
 
 
 
Estadística inferencial: 
 
 
 
 
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La estadística en la investigación 
 
La estadística permite probar hipótesis planteadas por el experimentador, determina 
procedimientos prácticos para estimar parámetros que intervienen en modelos matemáticos y de 
esa manera construir ecuaciones empíricas. 
No existe investigación, proceso o trabajo encaminado a obtener información cuantitativa en 
general, en la que la estadística no tenga una aplicación. La estadística no puede ser ignorada por 
ningún investigador, aun cuando no tenga ocasión de emplear la estadística aplicada en todos sus 
detalles y ramificaciones. 
Por lo general, cuando la estadística se usa adecuadamente, hace más eficientes las 
investigaciones, por lo que es recomendable que todos los investigadores se familiaricen con ella 
El papel de la estadística en la investigación representa una poderosa herramienta en el diseño de 
investigaciones, en el análisis de datos y en la obtención de conclusiones a partir de ellos. 
La investigación científica se lleva a cabo cuando hay un problema, el cual debe ser resoluble y 
enunciado en forma de pregunta. La investigación tiene su origen entonces a la formulación de 
una o varias hipótesis como posibles soluciones al problema, la cual o las cuales se comprueban 
para determinar si son falsas o verdaderas. 
 
 
 
 
 
Estadística
Permite probar 
hipótesis
Representa una poderosa 
herramienta
Determina procedimientos 
prácticos
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Clasificación de la estadística 
 
 
Estadística descriptiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
La estadística descriptiva trata de: 
a) Calcular medidas numéricas como medias, desviación estándar, etc. 
b) Agrupar datos con una tabla de distribución de frecuencias (t.d.f.) 
c) Presentar los datos en forma gráfica como histogramas, diagramas de caja, etc. 
Recopila, organiza y presenta datos para su estudio. 
Estadística
Descriptiva
Inferencial
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Estadística inferencial 
La estadística inferencial incluye: 
a) Análisis (hacer estimación) y validación de los resultados. 
b) Interpretación de los resultados. 
c) Publicar resultados. 
Nos lleva hacia la toma de decisiones y conclusiones. 
 Procedimientos inferenciales: 
 Estimación puntual. 
 Comprobación de hipótesis. 
 Estimación mediante intervalos de confianza. 
 
Estadística paramétrica 
La estadística paramétrica estudia las pruebas y modelos en los que se conoce la distribución de la 
población bajo estudio, o que, por las condiciones del muestreo, se sabe la distribución que se debe 
utilizar para el análisis. 
Estadística no paramétrica 
La estadística no paramétrica estudia las pruebas y modelos cuando la distribución no puede 
ajustarse mediante la estadística paramétrica, esto ocurre generalmente cuando no se conoce la 
distribución poblacional. 
En la estadística no paramétrica también hay parámetros, pero no es de interés interpretarlos, solo 
modelar de la mejor forma el parámetro. 
La mayoría de las veces estos supuestos se refieren a la simetría o continuidad de la distribución 
poblacional. 
Dejan de lado el supuesto de normalidad en una población: 
 Prueba de signo de Fisher (caso no paramétrico). 
Estadística
Paramétrica
No 
paramétrica
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Estadística de una variable 
¿Qué es una variable? 
Es cualquier característica cuyo valor puede cambiar de un objeto a otro en la población. 
EJEMPLO: 
X = marca de la calculadora de un estudiante. 
Y = número de visitas a un sitio web particular durante un periodo específico 
Z = la distancia de frenado de un automóvil en condiciones específicas. 
Una variable o varias variables 
 
La población y la muestra 
Población. Es cualquier grupo completo, ya sea de personas, 
animales o cosas. Es la totalidad de elementos o cosas bajo 
consideración. La población se refiere a un grupo finito de 
elementos. 
Muestra. Es una porción de la población que se selecciona para fines 
de análisis, siempre debe de ser representativa de la población. 
Estadística
Una 
variable
Varias 
variables
N
úm
er
o 
de
 v
ar
ia
bl
es
Univariante. Observaciones realizadas en una sola variable. EJEMPLO: transmisión
automática (A) o manual (M) en cada uno de diez automóvilesadquiridos. El
conjunto de datos categóricos es M A A A M A A M A A
Bivariante. Cuando se realizan observaciones en cada una de dos variables.
EJEMPLO: (peso,altura) por cada integrante de un equipo de basquetbol, con la
primera observación como (72, 168), la segunda (75, 212), etc.
Multivariante. Cuando se realizan observaciones en más de una variable
(bivariante es un caso especial de multivariante). EJEMPLO: un médico podría
determinar la presión sanguínea sistólica, la presión sanguínea diastólica y el nivel
de colesterol en suero de cada paciente. Cada observación sería una terna de
número, tal como (120, 80, 146)
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Relación entre la probabilidad y la estadística 
En un problema de probabilidad se supone que las 
propiedades de la población estudiada son conocidas y se 
pueden plantear y responder preguntas respecto a una 
muestra tomada de una población. 
En un problema de estadística inferencial el 
experimentador dispone de una muestra y esta 
información le permite sacar conclusiones respecto a la 
población. 
La relación entre las dos disciplinas se resume diciendo que la probabilidad discurre (o pasa) de la 
población a la muestra (razonamiento deductivo es de lo general a lo particular), mientras que la 
estadística inferencial lo hace de la muestra a la población (razonamiento inductivo es de lo 
particular a lo general). 
 
Generación de números aleatorios 
Los números “elegidos al azar” son útiles en diversas aplicaciones, 
entre las cuales se pueden mencionar: 
• Muestreo: con el fin de seleccionar datos de una población. 
• Análisis numérico: algunas técnicas para resolver 
problemas de análisis numérico complejos han sido desarrollados 
usando números aleatorios. 
• Programación: la generación de valores aleatorios puede 
ser útil para poner a prueba la efectividad de un algoritmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Uso de Tabla de números aleatorios 
 
EJEMPLO. Generación de números aleatorios con la Tabla 
Suponga que se desea saber cuál es la edad promedio y su variabilidad, de acuerdo a su género, en 
una población (𝑵) de 330 habitantes de la ranchería Santa Rosa; se decide hacer una muestra (𝒏) 
de 14 debido a que no se cuenta con suficientes recursos económicos. 
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PROCEDIMIENTO: Para que los individuos de la población (𝑵) tengan la posibilidad de pertenecer a 
la muestra (𝒏) deben tomarse 3 dígitos en la tabla de números aleatorios, eligiendo un punto de 
partida al azar o intencional; para este EJEMPLO se tomó como punto de partida el 133 (ver tabla 
columna 12 fila 7); a partir de ese valor se sigue la ruta para la búsqueda de los elementos de la 
muestra hacia la derecha, pero pudo haber sido hacia la izquierda o hacia abajo o hacia arriba. 
Respuesta: _______________________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________ 
Ejercicio es clase: 
Obtener una muestra aleatoria de tamaño 10 (𝒏 = 𝟏𝟎) de alumnos que estudian la materia de 
Fundamentos de Estadística del semestre 2017-2. Utilizar la lista de asistencia donde están 
numerados del 1 a 50. Preguntar a los alumnos su estatura y calcular el promedio. 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
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Muestreo probabilístico 
 
Muestreo probabilístico Aleatorio 
Si se selecciona un tamaño de muestra n de una población de tamaño N de tal manera que cada 
muestra tenga la misma probabilidad de ser seleccionada, el procedimiento de muestreo se 
denomina muestreo aleatorio simple (m.a.s). 
EJEMPLO: una muestra de tamaño 100 de un marco de 1,000,000 de números de serie. Se pueden 
hacer papelitos y meterlos en una urna y después de revolverlos se sacan hasta obtener la muestra 
deseada. O se puede utilizar una tabla de números aleatorios o algún software. 
 
 
Muestreo probabilístico Sistemático 
Una muestra obtenida al seleccionar aleatoriamente un elemento de los primeros k elementos en 
el marco y después cada k-ésimo elemento se denomina muestra sistemática. 
EJEMPLO: Una muestra de n nombres se selecciona de una larga lista. Se elige un intervalo 
apropiado y se seleccionan los nombres a intervalos iguales a lo largo de la lista. De este modo, cada 
décimo nombre podría seleccionarse, por EJEMPLO. 
 
 
Muestreo 
probabilístico
Aleatorio Sistemático Estratificado Por conglomerados
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Muestreo probabilístico Estratificado 
Una muestra aleatoria estratificada es la obtenida mediante la separación de los elementos de la 
población en grupos no solapados (no se traslapan), llamados estratos, y la selección posterior de 
una muestra irrestricta (ilimitada) aleatoria simple de cada estrato o por muestreo sistemático. Se 
sugiere que el tamaño de cada muestra sea proporcional a los tamaños de los estratos con respecto 
al tamaño poblacional. 
EJEMPLO: Un fabricante de DVD desea información sobre las unidades. Si se vendieron tres modelos 
diferentes, se seleccionaría una muestra distinta de cada uno de los estratos. Esto daría información 
de los tres modelos y ningún modelo estaría sobrerrepresentado o subrrepresentado en la muestra. 
 
 
 
 
 
 
Otro EJEMPLO. 
Supóngase que se selecciona una muestra de 2% de toda la población estudiantil de UPIICSA que 
tiene 12,500 alumnos. La muestra debe cumplir la condición de que exista al menos un 
representante de cada una de las carreras: administración industrial (4,200), ingeniería industrial 
(3,250), ingeniería en transporte (850), ingeniería en informática (1,700) y licenciatura en 
informática (2,500). 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Los estratos contienen elementos de características similares. 
Muestreo probabilístico por Conglomerados 
Una muestra por conglomerados es una muestra aleatoria en la que cada unidad de muestreo es 
un conjunto o conglomerado de elementos. 
EJEMPLO: Un investigador desea estudiar el rendimiento académico de los estudiantes de 
secundaria en México. Divide a toda la población (México) en diferentes conglomerados (estados). 
Selecciona una serie de conglomerados a través de un muestreo aleatorio simple o sistemático. De 
los conglomerados seleccionados (ciudades seleccionadas al azar) el investigador puede incluir a 
todos los estudiantes secundarios como sujetos o seleccionar un número de sujetos de cada 
conglomerado a través de un muestreo aleatorio simple o sistemático. 
1. Aguascalientes, Aguascalientes 
2. Baja California, Mexicali 
3. Baja California Sur, La Paz 
4. Campeche, San Francisco de Campeche 
5. Chihuahua, Chihuahua 
6. Chiapas, Tuxtla Gutiérrez 
7. Ciudad de México, Ciudad de México 
8. Coahuila, Saltillo 
9. Colima, Colima 
10. Durango, Victoria de Durango 
11. Guanajuato, Guanajuato 
12. Guerrero, Chilpancingo de los Bravo 
13. Hidalgo, Pachuca de Soto 
14. Jalisco, Guadalajara 
15. México, Toluca de Lerdo 
16. Michoacán, Morelia 
17. Morelos, Cuernavaca 
18. Nayarit, Tepic 
19. Nuevo León, Monterrey 
20. Oaxaca, Oaxaca de Juárez 
21. Puebla, Puebla de Zaragoza 
22. Querétaro, Santiago de Querétaro 
23. Quintana Roo, Chetumal 
24. San Luis Potosí, San Luis Potosí 
25. Sinaloa, Culiacán Rosales 
26. Sonora, Hermosillo 
27. Tabasco, Villahermosa 
28. Tamaulipas, Ciudad Victoria 
29. Tlaxcala, Tlaxcala de Xicohténcatl 
30. Veracruz, Xalapa-Enríquez 
31. Yucatán, Mérida 
32. Zacatecas, Zacatecas 
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Los conglomerados contienen elementos con las mayores diferencias posibles. 
 
Técnicasde la estadística descriptiva 
 
Estadística descriptiva para datos no agrupados 
Medidas de tendencia central 
La media, la mediana, la moda y cuantiles 
Media (promedio aritmético) 
DEFINICIÓN: Sea un conjunto finito de datos muestrales 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 al valor que representa el 
promedio de los datos y se simboliza por 𝒙 (x barra o x testada) y se calcula: 
𝒙 =
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏
𝒏
=
𝟏
𝒏
𝒙𝒊
𝒏
𝒊 𝟏
 
 
Estadística 
descriptiva
Medidas 
numéricas
Datos no 
agrupados
Datos 
agrupados
Tabla de 
distribución de 
frecuencias
Gráficas
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EJEMPLO de media 
EJEMPLO: Un fabricante de pistones toma una muestra aleatoria de 20 de estos para medir su 
diámetro interno promedio. Los diámetros en centímetros, que el fabricante obtuvo están dados a 
continuación. Calcule el diámetro medio de dichos pistones. 
 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Datos aberrantes 
Cuando se tienen datos aberrantes que se alejan considerablemente del resto de los demás valores, 
el valor promedio no refleja la realidad del caso. 
EJEMPLO: Supóngase que se quiere estimar el sueldo promedio de los trabajadores de una fábrica 
y se eligen aleatoriamente 10 de todos los trabajadores, 
 
 𝒙 = 𝟒, 𝟓𝟔𝟎 
Donde 25,000 es un dato aberrante. 
Mediana 
DEFINICIÓN: La mediana de un conjunto de datos 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 es el valor central de los datos 
cuando estos se han ordenado en forma no decreciente en cuanto a su magnitud. Se denota por 𝒙 
(x tilde). Se ordenan por medio de tildes de la siguiente forma: 
𝒙𝟏 ≤ 𝒙𝟐 ≤ ⋯ ≤ 𝒙𝒏 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
20 
 
Se calcula de la siguiente forma: 
𝒙 =
𝒙𝒏 𝟏
𝟐
 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓
𝒙𝒏
𝟐
+ 𝒙𝒏
𝟐
𝟏
𝟐
 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓
 
EJEMPLO: EJEMPLO de los sueldos. Encontrar la mediana de los salarios. 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La moda 
DEFINICIÓN: La moda de un conjunto de datos es el valor de estos que se presenta en su distribución 
con mayor frecuencia. 
No existe una notación estándar por lo que se puede emplear 𝑴 o 𝒙𝑴𝑶. 
EJEMPLO: En la siguiente lista se muestran las calificaciones de 20 exámenes de lingüística. 
Encuentre la moda de las calificaciones. 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
21 
 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
La moda presenta los siguientes problemas: 
 La moda puede no existir. Cuando esto sucede se llama amodal o sin moda. 
 La moda puede no ser la única. Se le llama multimodal, bimodal si son dos modas, trimodal 
si son tres, etc. 
Cuantiles 
Percentiles o centiles, cuartiles, deciles. 
DEFINICIÓN: Dado un conjunto de datos, se llama 𝑪 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍 a la cantidad 𝑪𝒑, que representa el 
número para el cual la fracción 𝑪 ∈ [𝟎, 𝟏] de los valores son menores o iguales a este. 
Algunos valores para ciertos cuantiles son: 
 Cuando 𝑪 está dado en porcentaje se nombra 𝑪 𝒑𝒆𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒊𝒍 o 𝒑𝒆𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒊𝒍 o 𝑪 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒊𝒍. 
 Cuando se trata de 0, 0.25, 0.50 y 0.75 cuantiles (o percentil 0, 25, 50 y 75%) se llaman el 0 
cuartil, primer cuartil, segundo cuartil y el tercer cuartil, respectivamente. 
 Cuando se trata de 𝟎. 𝟏𝟎, 𝟎. 𝟐𝟎, 𝟎. 𝟑𝟎, … cuantiles se suele llamar el primer decil, segundo 
decil, tercer decil, etcétera, respectivamente. 
Regla para buscar al 𝑪 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍 en un conjunto de datos 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 (𝒏 datos no agrupados): 
1. Se ordenan los datos en forma no decreciente, 𝒙𝟏 ≤ 𝒙𝟐 ≤ ⋯ ≤ 𝒙𝒏. 
2. Determinar el valor de la fracción 𝑪 de los 𝒏 datos; es decir, 𝒄 = 𝒏𝑪. 
3. 3. Dependiendo del valor de 𝒄, resulta: 
a) Si la cantidad anterior es entera, entonces 
𝑪𝒄𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍 =
𝒙𝒄 𝒙𝒄 𝟏
𝟐
 
b) Si 𝒄 no es entero, entonces 𝑪𝒄𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍 = 𝒙[𝒄] 𝟏. 
Donde [𝒄] representa la parte entera de 𝒄. Por EJEMPLO, si 𝒄 = 𝟐𝟒. 𝟕, [𝒄] = 𝟐𝟒, si 𝒄 =
𝟐𝟒. 𝟐, [𝒄] = 𝟐𝟒. 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
22 
 
EJEMPLO: Sean las calificaciones de 20 estudiantes. 
 
a) Calcular el cuantil 0.65. 
b) Calcular el cuantil 0.42. 
 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
23 
 
Medidas de dispersión 
Rango, varianza y desviación estándar 
Cuando el cálculo de las medidas centrales no es suficiente. 
EJEMPLO: Si un conjunto de datos tiene los valores 20, 12, 15, 16, 13 y 14; un segundo conjunto los 
valores 5, 0, 50, 17, 8 y 10, vemos que ambos tienen un promedio de 15 (𝒙 = 𝟏𝟓). El segundo 
conjunto tiene una mayor dispersión. 
Distribución de los datos del primer conjunto 
 
Distribución de los datos del segundo conjunto 
 
Rango 
DEFINICIÓN: Se denota por 𝒓 y es una medida variacional de los datos que lo único que indica es el 
tamaño o longitud del intervalo en el que estos se encuentran distribuidos y se calcula: 
𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 = 𝑬𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔 
EJEMPLO: Para los datos anteriores se tiene que 
 
 
 
Varianza 
DEFINICIÓN: Sean 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 los valores de una muestra aleatoria con 𝒏 datos y 𝒙 el valor medio, 
llamaremos 
𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒔𝒆𝒔𝒈𝒂𝒅𝒂: 𝒔𝒏
𝟐 =
𝟏
𝒏
(𝒙𝒊 − 𝒙)
𝟐
𝒏
𝒊 𝟏
 
𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒊𝒏𝒔𝒆𝒔𝒈𝒂𝒅𝒂: 𝒔𝒏 𝟏
𝟐 =
𝟏
𝒏 − 𝟏
(𝒙𝒊 − 𝒙)
𝟐
𝒏
𝒊 𝟏
 
Donde (𝒙𝟏 − 𝒙)𝟐, (𝒙𝟐 − 𝒙)𝟐, 𝒆𝒕𝒄. son los cuadrados de las desviaciones de cada uno de los datos 
con respecto a su valor medio. 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
24 
 
 La varianza sesgada o poblacional 𝒔𝒏𝟐 es el promedio de los cuadrados de las desviaciones 
y se usa en el estudio de las probabilidades. 
 La varianza insesgada o muestral 𝒔𝒏 𝟏
𝟐 se usa más en los cálculos estadísticos y se usa en 
las muestras, de ahí su nombre de varianza muestral. 
Desviación estándar 
DEFINICIÓN: Se llama desviación estándar de un conjunto de datos a la raíz cuadrada positiva de la 
varianza, esta dependerá del tipo de varianza que se esté empleando (𝒔𝒏 o 𝒔𝒏 𝟏). 
EJEMPLO: Calcular 𝒔𝒏 𝟏
𝟐 y 𝒔𝒏 𝟏 para los dos conjuntos dados anteriormente. 
Primer conjunto: 20, 12, 15, 16, 13 y 14. 
Segundo conjunto: 5, 0, 50, 17, 8 y 10. 
Respuesta: 
Se intuye que el primer conjunto de datos es más homogéneo que el segundo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
25 
 
DEFINICIÓN: Otras formas equivalentes de calcular las varianzas son: 
𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒔𝒆𝒔𝒈𝒂𝒅𝒂 𝒐 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 : 
𝒔𝒏
𝟐 =
𝟏
𝒏
𝒙𝒊
𝟐 − 𝒙𝟐
𝒏
𝒊 𝟏
=
𝒏 − 𝟏
𝒏
𝒔𝒏 𝟏
𝟐 
𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒊𝒏𝒔𝒆𝒔𝒈𝒂𝒅𝒂 𝒐 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍: 
 𝒔𝒏 𝟏
𝟐 =
𝟏
𝒏 − 𝟏
𝒙𝒊
𝟐
𝒏
𝒊 𝟏
−
𝒏
𝒏 − 𝟏
𝒙𝟐 =
𝒏
𝒏 − 𝟏
𝒔𝒏
𝟐 
Medidas de tendencia central y dispersión en R: 
 
 
 
 
 
 
Medidas de forma 
Coeficiente de sesgo o de asimetría y curtosis 
Coeficiente de sesgo o de asimetría 
DEFINICIÓN: Sean 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 datos con media 𝒙 y desviación estándar muestral 𝒔𝒏 𝟏, entonces 
se llama coeficiente de sesgo o coeficiente de asimetría a la medida que representa el grado de 
asimetría de la gráfica y lo denotaremos por 𝑪𝑨, y se usan dos fórmulas para el cálculo: 
𝑪𝑨𝟏 =
𝒏
(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟐)
𝒙𝒊 − 𝒙
𝒔𝒏 𝟏
𝟑𝒏
𝒊 𝟏
 
𝑪𝑨𝟐 =
𝒎𝟑
(𝒔𝒏 𝟏)
𝟑
=
𝟏
𝒏
𝒙𝒊 − 𝒙
𝒔𝒏 𝟏
𝟑𝒏
𝒊 𝟏
 
Donde, 𝒎𝟑 =
𝟏
𝒏
∑ (𝒙𝒊 − 𝒙)
𝟑𝒏
𝒊 𝟏 es el tercer momento respecto al origen, y 𝒔𝒏 𝟏 es la desviación 
estándar correspondiente a la varianza insesgada o muestral. 
El 𝑪𝑨 caracteriza el grado de alejamiento de los datos con respecto a su media y generalmente se 
encuentra entre -4 y 4. 
𝑪𝑨=
𝟎, 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂
< 𝟎, 𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒆𝒔𝒕á𝒏 𝒔𝒆𝒔𝒈𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒂 𝒍𝒂 𝒊𝒛𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒅𝒂
> 𝟎, 𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒆𝒔𝒕á𝒏 𝒔𝒆𝒔𝒈𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒂 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
26 
 
Asimétrica a la izquierda o sesgo negativo cumple 𝒙 ≤ 𝒙 ≤ 𝑴. Y asimétrica a la derecha o sesgo 
positivo cumple 𝑴 ≤ 𝒙 ≤ 𝒙. Cuando es insesgado o simétrica 𝑴 = 𝒙 = 𝒙. 
De forma gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO: Calcular 𝑪𝑨 para los datos referentes a la estatura de 50 estudiantes del IPN. Ver 
siguiente tabla. 
 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coeficiente de sesgo o asimetría en R: 
 
 
 
 
 
 
 
Curtosis 
DEFINICIÓN: Sean 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏, 𝒏 datos con media 𝒙 y desviación estándar muestral 𝒔𝒏 𝟏, 
entonces llamamos curtosis a la medida que representa el achatamiento relativo de la distribución 
de los datos al compararse con la distribución normal. 
En la literatura se encuentran diferentes fórmulas para su cálculo, 
𝑪𝑼𝟏 =
𝒏(𝒏 + 𝟏)
(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟐)(𝒏 − 𝟑)
𝒙𝒊 − 𝒙
𝒔𝒏 𝟏
𝟒𝒏
𝒊 𝟏
−
𝟑(𝒏 − 𝟏)𝟐
(𝒏 − 𝟐)(𝒏 − 𝟑)
 
𝑪𝑼𝟐 =
𝒏(𝒏 + 𝟏)
(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟐)(𝒏 − 𝟑)
𝒙𝒊 − 𝒙
𝒔𝒏 𝟏
𝟒𝒏
𝒊 𝟏
 
𝑪𝑼𝟑 =
𝒎𝟒
(𝒔𝒏 𝟏)
𝟒
− 𝟑 =
𝟏
𝒏
𝒙𝒊 − 𝒙
𝒔𝒏 𝟏
𝟒𝒏
𝒊 𝟏
− 𝟑 
𝑪𝑼𝟒 =
𝒎𝟒
(𝒔𝒏 𝟏)
𝟒
=
𝟏
𝒏
𝒙𝒊 − 𝒙
𝒔𝒏 𝟏
𝟒𝒏
𝒊 𝟏
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
28 
 
Las fórmulas son: 
𝑪𝑼𝟏 𝒐 𝑪𝑼𝟑 =
𝟎, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍, 𝒔𝒆 𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂 𝒎𝒆𝒔𝒐𝒄ú𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂
< 𝟎, 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒂𝒑𝒖𝒏𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍, 𝒑𝒍𝒂𝒕𝒊𝒄ú𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂
> 𝟎, 𝒎á𝒔 𝒂𝒑𝒖𝒏𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍, 𝒍𝒆𝒑𝒕𝒐𝒄ú𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂
 
𝑪𝑼𝟐 𝒐 𝑪𝑼𝟒 =
𝟑, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍, 𝒔𝒆 𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂 𝒎𝒆𝒔𝒐𝒄ú𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂
< 𝟑, 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒂𝒑𝒖𝒏𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍, 𝒑𝒍𝒂𝒕𝒊𝒄ú𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂
> 𝟑, 𝒎á𝒔 𝒂𝒑𝒖𝒏𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍, 𝒍𝒆𝒑𝒕𝒐𝒄ú𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂
 
En forma gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO: Para los datos del EJEMPLO referente a la estatura de 50 estudiantes del IPN. 
Respuesta 
𝑪𝑼𝟏 =
𝒏(𝒏 + 𝟏)
(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟐)(𝒏 − 𝟑)
𝒙𝒊 − 𝒙
𝒔𝒏 𝟏
𝟒𝒏
𝒊 𝟏
−
𝟑(𝒏 − 𝟏)𝟐
(𝒏 − 𝟐)(𝒏 − 𝟑)
 
𝑪𝑼𝟏 =
𝟓𝟎(𝟓𝟎 + 𝟏)
(𝟓𝟎 − 𝟏)(𝟓𝟎 − 𝟐)(𝟓𝟎 − 𝟑)
𝒙𝒊 − 𝟏𝟕𝟑. 𝟐𝟎𝟒
𝟓. 𝟗𝟓𝟓𝟒
𝟒𝒏
𝒊 𝟏
−
𝟑(𝟓𝟎 − 𝟏)𝟐
(𝟓𝟎 − 𝟐)(𝟓𝟎 − 𝟑)
 
𝑪𝑼𝟏 =
𝟓𝟎(𝟓𝟎 + 𝟏)
(𝟓𝟎 − 𝟏)(𝟓𝟎 − 𝟐)(𝟓𝟎 − 𝟑)
𝟏𝟑𝟐. 𝟕𝟖𝟒 −
𝟑(𝟓𝟎 − 𝟏)𝟐
(𝟓𝟎 − 𝟐)(𝟓𝟎 − 𝟑)
= _____________ 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
29 
 
Curtosis en R: 
 
 
 
 
 
 
Tablas de distribución de frecuencias 
Tipos de tablas de distribución de frecuencias 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
30 
 
Intervalos de clase o clases de frecuencia: Se utiliza la notación de Cálculo para los intervalos 
abiertos y cerrados. No puede existir traslape en ningún intervalo. 
 
Marcas de clase: Es el punto medio de una clase. Se considera como el valor representativo de un 
intervalo. Se obtienen promediando los límites de un intervalo. Se denota por 𝒙𝒊. 
EJEMPLO: Si los datos de una muestra son: 1, 9, 5, 8, 4, 1, 2, 7, 6, 3, 3, 2, 7, 9; entonces al agrupar 
por intervalos se obtienen las siguientes frecuencias. 
 
 
Frecuencia: Es el número de elementos en la muestra o en la población que pertenecen a la clase 
en cuestión. Se denota por 𝒇𝒊. 
Frecuencia acumulada: Es el número de datos en la muestra o población, que son menores o iguales 
que el límite superior del intervalo en cuestión. Se denota por 𝑭𝒊, y se obtiene sumando la frecuencia 
del intervalo actual y de los intervalos anteriores. 
Frecuencia relativa: Es la proporción de datos que pertenecen a la clase en cuestión. Se denota por 
𝒇𝒊
∗. Es el cociente de la frecuencia entre el número total de datos, esto es: 𝒇𝒊
∗ =
𝒇𝒊
𝒏
. Para la tabla del 
ejemplo si 𝒏 = 𝟏𝟒, entonces: 
Frecuencia acumulada relativa: Es la proporción de los datos en la muestra o población que son 
menores o iguales al límite superior de la clase en cuestión. Se denota por 𝑭𝒊
∗. Es el cociente de la 
frecuencia acumulada entre el número de datos: 𝑭𝒊
∗ =
𝑭𝒊
𝒏
 . Del ejemplo: 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
31 
 
Longitud de clase: Es la diferencia entre el límite superior y el inferior de una misma clase. Se denota 
por 𝒄. 
Cualquier tabla que contenga una columna de intervalo y una columna de frecuencias, es una tabla 
de distribución de frecuencias. 
Construcción de una tabla de distribución de frecuencias completa 
 El número de clases estará entre 5 y 20. La primera aproximación del número de clases se 
obtendrá con √𝑛. 
 Todas las clases serán de la misma longitud (𝑐). 
 La longitud de clase se aproxima mediante: 
𝒄 =
𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐
𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒍𝒂𝒔𝒆𝒔
 
Donde: 
𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 = 𝑴𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔 − 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔 
Posteriormente se ajusta de manera conveniente, de forma que el primer límite inferior sea 
ligeramente menor o igual que el menor valor, y el último límite superior sea ligeramente mayor o 
igual que el mayor dato. 
 Tratará de evitarse que haya clases con frecuencia cero. 
 La primera y última clase nunca tendrán frecuencia cero. 
EJEMPLO: Los siguientes valores representan el tiempo diario de transporte de una muestra de 50 
alumnos de cierta universidad al sur de Copilco. 
 
Construir una tabla de distribución de frecuencias completa. 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
32 
 
 
EJEMPLO. Considere las calificaciones (con escala de 0 a 100) de 80 estudiantes de la materia de 
física, distribuir en 7 intervalos de clase las calificaciones y construya una tabla de distribución de 
frecuencias completa. 
 
Tabla de distribución de frecuencias en R: 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
33 
 
Datos agrupados 
Medidas de tendencia central y de dispersión para datos agrupados 
Si los datos están “perdidos” 
 
Media para datos agrupados 
DEFINICIÓN: Para datos agrupados 
𝒙 =
𝟏
𝒏
𝒙𝒊𝒇𝒊
𝒎
𝒊 𝟏
 
Donde la suma va desde 1 hasta 𝒎, donde 𝒎 es el número de intervalos, y 𝒙𝒊 y 𝒇𝒊 son la marca de 
clase y la frecuencia del intervalo, respectivamente. 
EJEMPLO: Calcular la media por clases de frecuencia referente a las 80 calificaciones de estudiantes 
en la materia de física. 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
Mediana para datos agrupados 
DEFINICIÓN: Cuando los datos están agrupados se realiza una interpolación lineal utilizando las 
fronteras, los límites de clase o intervalos y la frecuencia acumulada, para encontrar el valor de 𝒙 
en el cual la frecuencia acumulada es de 𝒏
𝟐
. 
𝒙 = 𝑳 +
𝒏
𝟐
− 𝑭𝒊 𝟏
𝒇𝒊
𝐜 
Donde: 
𝑳 = es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana. 
𝒏 = es el número total de los datos. 
𝑭𝒊 𝟏 = es la frecuencia acumulada de la clase 𝒊 − 𝟏. 
𝒄 = es la longitud de la clase. 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
34 
 
EJEMPLO: Para el ejemplo de las calificaciones de física calcular la mediana para datos agrupados. 
Respuesta: Con la fórmula y gráficamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
35 
 
Moda para datos agrupados 
DEFINICIÓN: Para datos agrupados primero se define la clase modal, que es la clase que tiene la 
mayor frecuencia. La moda se calcula con la siguiente fórmula: 
𝑴 = 𝑳 +
𝒅𝟏
𝒅𝟏 + 𝒅𝟐
𝐜 
Donde: 
𝑳 = es la frontera o límite inferiorde la clase modal. 
𝒅𝟏 = es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior. 
𝒅𝟐 = es la diferencia en la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente. 
𝒄 = es la longitud de la clase. 
EJEMPLO: Calcular la moda para el ejemplo de las 80 calificaciones de física. 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
Rango para datos agrupados 
DEFINICIÓN: Para datos agrupados se utilizan los límites mayor y menor. Es común no realizar la 
operación de resta y solamente indicarla. 
EJEMPLO: Calcular el rango para nuestro ejemplo de las calificaciones de física. 
Respuesta: 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
36 
 
Varianza para datos agrupados 
DEFINICIÓN: Para la varianza sesgada por clases se calcula 
𝒔𝒏
𝟐 =
𝟏
𝒏
(𝒙𝒊 − 𝒙)
𝟐𝒇𝒊
𝒎
𝒊 𝟏
 
Y la varianza insesgada por clases se calcula 
𝒔𝒏 𝟏
𝟐 =
𝟏
𝒏 − 𝟏
(𝒙𝒊 − 𝒙)
𝟐𝒇𝒊
𝒎
𝒊 𝟏
 
EJEMPLO: Para nuestro ejemplo de las calificaciones de física. 
Respuesta: Resolviendo para: 𝒔𝒏𝟐 =
𝟏
𝒏
∑ (𝒙𝒊 − 𝒙)
𝟐𝒇𝒊
𝒎
𝒊 𝟏 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
37 
 
Gráficos 
Histograma 
DEFINICIÓN: Gráfica de barras rectangulares cuyas bases están centradas en la marca de clase del 
intervalo. 
 
Formas de un histograma 
Un histograma unimodal es el que se eleva a una sola cresta y luego declina. Uno bimodal tiene dos 
crestas diferentes. Un histograma con más de dos crestas es multimodal. 
Histograma de frecuencias en Excel 
EJEMPLO: Tiempo diario de transporte de 50 alumnos de cierta universidad al sur de Copilco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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38 
 
Histograma en R 
 
Histograma en R 
 
 
 
Polígono de frecuencia 
DEFINICIÓN: Se realizan trazando los puntos que representan las frecuencias o frecuencias relativas 
y uniéndolos mediante segmentos. 
EJEMPLO: Para nuestro ejemplo de las calificaciones de física. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
39 
 
Polígono de frecuencia en R 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ojivas 
DEFINICIÓN: Se dibuja utilizando los intervalos contra las frecuencias acumuladas (o acumulada 
relativa). 
La ojiva indica, para cada intervalo, los elementos (o proporción de elementos), que son menores o 
iguales que dicho límite. 
EJEMPLO: Para nuestro ejemplo de las calificaciones de física. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ojivas de frecuencia acumulada y frecuencia acumulada relativa en R 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
40 
 
Gráfica o diagrama de tallo y hojas (o de árbol) 
DEFINICIÓN: Consiste en separar los números en dos partes, por ejemplo decenas y unidades. 
Pasos para hacer una gráfica de tallos y hojas. 
1. Seleccione uno o más de los primeros dígitos para los valores de tallo. Los segundos dígitos 
se convierten en hojas. 
2. Enumere los posibles valores de tallos en una columna vertical. Se recomienda entre 5 y 10 
tallos. 
3. Anote la hoja para cada observación junto al correspondiente valor de tallo. 
4. Indique las unidades para tallos y hojas en algún lugar de la gráfica. 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO: Vida media de una película fotográfica 
 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
41 
 
Otro ejemplo de gráfica de tallos y hojas 
El siguiente diagrama de tallos y hojas muestra las emisiones por persona de dióxido de carbono. El 
tallo es el primer dígito con el punto decimal y la hoja es el dígito restante. 
Los datos son: 0.3, 0.7, 2.6, 2.6, 2.8, 3.0, 5.2 y 5.4. 
 
Gráfica o diagrama de tallo y hojas (o de árbol) en R 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de caja 
DEFINICIÓN: Presenta los tres cuartiles, así como los datos mínimo y máximo, en una caja 
rectangular alineada horizontal o verticalmente. La caja encierra el rango intercuartil con la línea 
izquierda (o inferior) en el primer cuartil, y la línea derecha (o superior) en el tercer cuartil. Se dibuja 
una línea a través de la caja en el segundo cuartil que es igual a la mediana. Una línea se extiende a 
los valores extremos. 
EJEMPLO: Para nuestro ejemplo de las calificaciones de física 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
42 
 
Diagrama de caja en R 
 
 
 
 
 
 
Es útil para comparar dos o más muestras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
43 
 
Tema 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE INFERENCIA ESTADÍSTICA 
Objetivo: El alumno describirá los conceptos más usuales de la inferencia estadística. 
Definiciones 
 ESTADÍSTICA INFERENCIAL: Es la parte de la estadística que trabaja con muestras, a partir 
de las cuales pretende inferir aspectos relevantes de toda la población. 
 ESTADÍSTICOS Y PARÁMETROS: Son la base para el desarrollo de la estadística inferencial. 
El ESTADÍSTICO es un valor numérico que expresa una característica de una muestra. Ejemplo: 𝑿. 
El PARÁMETRO es un valor numérico que expresa una característica de una población. Ejemplo: 𝝁. 
EJEMPLO: 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
44 
 
El proceso de una investigación estadística 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
45 
 
A menudo necesitamos estimar los siguientes parámetros 
 La media μ de una sola población 
 La varianza σ2 (o desviación estándar de σ) de una sola población 
 La proporción de p artículos en una población que pertenece a la clase de interés 
 La diferencia entre las medias de dos poblaciones, es decir, μ1-μ2 
 La diferencia entre dos proporciones de población, p1-p2 
 
ESTADÍSTICO: Cualquier función que se obtenga de las variables aleatorias correspondientes a una 
muestra aleatoria, pero que 𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒆𝒏𝒈𝒂 𝒂𝒍𝒈ú𝒏 𝒑𝒂𝒓á𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 (𝜽). 
¿Son estadísticos? 
EJEMPLO: Sean 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 vv.aa. con función de densidad 𝒇(𝒙, 𝜽) donde 𝜽 es el parámetro 
de la distribución. 
a) 𝑻(𝑿) = 𝑿 = 𝟏
𝒏
∑ 𝑿𝒊
𝒏
𝒊 𝟏 d) 𝑻(𝑿) = ∑ (𝑿𝒊 − 𝟓)𝟐
𝒏
𝒊 𝟏 
b) 𝑻(𝑿) = 𝟏
𝒏
∑ 𝑿𝒊
𝟑𝒏
𝒊 𝟏 e) 𝑻(𝑿) = ∑ (𝑿𝒊 − 𝜽)𝟐
𝒏
𝒊 𝟏 
c) 𝑻(𝑿) = 𝟏
𝒏
∑ (𝑿𝒊 − 𝑿)
𝟔𝒏
𝒊 𝟏 f) 𝑻(𝑿) = 𝜽 + ∑ 𝑿𝒊
𝟑𝒏
𝒊 𝟏 
Muestra aleatoria 
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE: Se dice que las variables aleatorias 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 obtenidas del 
proceso de muestreo de una población forman una muestra aleatoria simple de tamaño 𝒏, si son 
independientes e idénticamente distribuidas (ii.ii.dd.). 
Independientes significa que el valor que toma una de las variables no afecta al valor que podrán 
tomar el resto de las variables; mientras que idénticamente distribuidas son variables extraídas de 
la misma población. 
Antes nos referimos a 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 como una muestra (no como muestra aleatoria), ya que 𝒙𝒊 no 
es más que un valor de la variable 𝑿𝒊, para 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 las cuales si pueden formar una muestra 
aleatoria. 
Realización 
DEFINICIÓN: Sea 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 una muestra aleatoria simple de tamaño 𝒏 obtenida de una 
población, se le denomina realización de la muestra a los valores 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏, donde 𝒙𝒊 es un 
valor de la variable 𝑿𝒊, para 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏. 
Cuando se hace referencia a los valores de 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 sus medidas 
como la media y varianza son 
𝒙 =
𝟏
𝒏
∑ 𝒙𝒊
𝒏
𝒊 𝟏 y 𝒔𝒏 𝟏
𝟐 =
𝟏
𝒏 𝟏
∑ (𝒙𝒊 − 𝒙)
𝟐𝒏
𝒊 𝟏 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
46 
 
EJEMPLO: Si elegimos la realización de una muestra para cuatro refrigeradores (duración en años) 
𝒙𝟏 =
𝟒 + 𝟒. 𝟏 + 𝟓 + 𝟑. 𝟖
𝟒
= 𝟒. 𝟐𝟐𝟓 𝒂ñ𝒐𝒔Se elige una segunda realización 
𝒙𝟐 =
𝟓. 𝟐 + 𝟔. 𝟒 + 𝟕 + 𝟓. 𝟗
𝟒
= 𝟔. 𝟏𝟐𝟓 𝒂ñ𝒐𝒔 
La media muestral varía de realización en realización, por lo que 𝒙 es un valor de 𝑿 (llamado 
estadístico). 
Estadísticos comunes 
Media muestral. Sea una muestra aleatoria 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏, el estadístico media es: 
𝑿 =
𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏
𝒏
=
𝟏
𝒏
𝑿𝒌
𝒏
𝒌 𝟏
 
Diferencia de medias. Sean dos muestras aleatorias 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 y 𝒀𝟏, 𝒀𝟐, … , 𝒀𝒏 
independientes, el estadístico de la diferencia de medias es 
𝑿 − 𝒀 
Varianza insesgada. Sea una muestra aleatoria 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏, el estadístico varianza es: 
𝑺𝒏 𝟏
𝟐 =
𝟏
𝒏 − 𝟏
(𝑿𝒊 − 𝑿)
𝟐
𝒏
𝒊 𝟏
=
𝟏
𝒏 − 𝟏
𝑿𝒊
𝟐
𝒏
𝒊 𝟏
−
𝒏
𝒏 − 𝟏
𝑿𝟐 
Proporción. Sea una muestra aleatoria 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 de distribuciones Bernoulli, el estadístico 
para las proporciones es 
𝒑 = 𝑿 =
𝑻
𝒏
 
Donde: 
𝑻 = 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + … , +𝑿𝒏 = 𝑿𝒊
𝒏
𝒊 𝟏
 
que representa la cantidad de éxitos de la muestra y tiene una distribución binomial. 
EJEMPLO: Ingeniería.- ¿Existe diferencia entre la proporción de artículos defectuosos que genera 
la máquina A a los que genera la máquina B? 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
47 
 
Distribuciones muestrales 
DEFINICIÓN: Son las distribuciones de 
los estadísticos o estimadores de los 
parámetros de la población que son 
variables aleatorias al ser funciones de 
una muestra aleatoria y se 
representan como las variables 
aleatorias: 𝑋, 𝑆 , etc. 
 
Distribuciones muestrales para la 
media y la varianza. 
 
 
Distribuciones muestrales en R 
 
Demostración de los estadísticos muestrales 
 Distribución muestral para la media. (Normal) 
 Distribución muestral para la diferencia de medias. 
 Distribución muestral para la proporción 
 Distribución muestral para la diferencia de proporciones. 
 Distribución muestral para la varianza. 
 Distribución muestral para razón de varianzas. 
 Distribución muestral para la media. (t-Student) 
 TCL 
Empiezan demostraciones 
 
 
 
 
 
 
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Teorema central del límite (TCL) 
TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE (TCL) para la media 
Sean 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 las variables de una muestra aleatoria (i.i.d.) de una distribución con valor 
medio 𝝁𝑿 y varianza 𝝈𝑿
𝟐 , 
La v.a. 𝑿 definida como 𝑿 = 𝟏
𝒏
∑ 𝑿𝒊
𝒏
𝒊 𝟏 
𝑿~𝑵 𝝁𝑿 = 𝝁𝑿, 𝝈𝑿 =
𝝈𝑿
√𝒏
 
tiene una distribución que converge a la normal cuando 𝒏 → ∞. 
En la práctica con un tamaño de muestra 𝒏 ≥ 𝟑𝟎 el teorema da buenas aproximaciones. 
𝒁 =
𝑿 − 𝝁𝑿
𝝈𝑿
=
𝑿 − 𝝁𝑿
𝝈𝑿
√𝒏
 
Cuando la población que estamos muestreando es normal, la distribución de 𝑿 es una distribución 
normal sin importar el tamaño de 𝒏. Pero en general las vv.aa. pueden tener cualquier distribución, 
en estos casos se utiliza el TCL: 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
53 
 
Suponga que se tira un dado balanceado n=1 vez. La v.a. X es el número observado en la cara 
superior. Esta v.a. toma 6 valores, cada uno con probabilidad 1/6. La forma de la distribución es 
uniforme y simétrica alrededor de la media 3.5 y desviación estándar 1.71. 
Demostración: simulación en Excel 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿Cómo calcular probabilidades? 
Distribución Normal 
Carl Friedrich Gauss nació en Brunswick, en 1777, y murió en Gotinga, en 1855 (Alemania). 
Matemático, astrónomo y físico alemán, autor de una gran cantidad de trabajos acerca de 
mecánica celeste, geodesia, magnetismo, electromagnetismo y óptica. Su concepción moderna de 
la naturaleza abstracta de las matemáticas le permitió ampliar el campo de los números. Fue el 
primero en descubrir la geometría hiperbólica no euclidiana. 
Modelo normal 
 Es uno de los modelos continuos con mayor aplicación en la probabilidad y la estadística. 
 Esta distribución fue descubierta por Carl Friedrich Gauss. 
 La representación gráfica de la distribución normal tiene forma de campana. 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
54 
 
 
Propiedades de la distribución normal estándar 
a) Propiedad de simetría. La función 𝒇(𝒛) es simétrica con respecto con respecto al eje de 
las ordenadas. Es decir, 𝑷(𝒁 < −𝒁𝟎) = 𝑷(𝒁 > 𝒁𝟎). 
b) Propiedad del complemento. En los casos de 𝑷(𝒁 > 𝒁𝟎) se puede emplear la simetría, 
inciso a), o el complemento. Es decir, 𝑷(𝒁 > 𝒁𝟎) = 𝟏 − 𝑷(𝒁 ≤ 𝒁𝟎). 
c) 𝑷(−𝟏 < 𝒁 < 𝟏) = 𝟎. 𝟔𝟖𝟐𝟕 
d) 𝑷(−𝟐 < 𝒁 < 𝟐) = 𝟎.9545 
e) La suma de las probabilidades fuera del intervalo (−𝟒, 𝟒), no puede ser mayor a 0.0001, 
es decir, valen cero. 
Uso de tablas de la función acumulada 
 
En la tabla, la función acumulada se representa por medio de la función 𝜱(𝒛). 
También se tiene el cálculo de probabilidades en intervalos simétricos: 
𝑫(𝒛𝟎) = 𝜱(𝒛𝟎) − 𝜱(−𝒛𝟎) 
En las tablas, los bloques están divididos en cuatro columnas: 𝒁 de centésima en centésima de 0 a 
3.59, función acumulada hasta −𝒁, función acumulada hasta 𝒁 e intervalos simétricos con 
extremos −𝒁 y 𝒁. 
El cálculo de probabilidades se realiza de la siguiente forma: 
1. 𝑷(𝒁 < 𝒁𝟎) = 𝜱(𝒁𝟎) 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
55 
 
2. 𝑷(𝒁 > 𝒁𝟎) = 𝑷(𝒁 < −𝒁𝟎) = 𝜱(−𝒁𝟎) 
3. 𝑷(−𝒁𝟎 < 𝒁 < 𝒁𝟎) = 𝑫(𝒁𝟎) 
4. 𝑷(𝒂 < 𝒁 < 𝒃) = 𝜱(𝒃) − 𝜱(𝒂) 
 
EJEMPLO 1: 𝑷(𝒁 < ) = 𝜱( )=_____________ 
 
 
 
 
EJEMPLO 2: 𝑷(𝒁 < ) = 𝜱( ) = ____________________ 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
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EJEMPLO 3: 
 
 
 
 
EJEMPLO 4: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
57 
 
EJEMPLO 5: 
 
 
 
 
 
EJEMPLO 6: Si 𝑿 es una variable aleatoria continua con distribución normal. Si 𝑬(𝑿) = 𝟒 y 𝑽(𝑿) =
𝟗; calcular la probabilidad 𝑷(𝑿 ≥ 𝟕). 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
Uso de tablas porcentuales 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
58 
 
En las tablas, los bloques están divididos en tres columnas: 
 Probabilidades dadas en porcentajes en décimas de porcentaje de 0.0 a 99.9. 
 Valores de Z, cuya función acumulada proporciona el porcentaje de la primera columna. 
 Valores de Z, con intervalos simétricos (extremos −𝒁 y 𝒁), de manera que la 
probabilidad en este intervalo es igual al porcentaje de la primera columna. 
 
EJEMPLO 1: Encontrar el valor de 𝒛𝟎, tal que 𝑷(𝒁 < 𝒛𝟎) = 𝟎. 𝟏𝟎𝟖 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO 2: Encontrar el valor de 𝒛𝟎, tal que 𝑷(𝒁 ≥ 𝒛𝟎) = 𝟎. 𝟎𝟓 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
59 
 
En R: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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60 
 
Ejercicios del Teorema central del límite 
EJEMPLO 1: Se fabrica cierto tipo de tornillos con un diámetro promedio de 10 mm y una 
desviación estándar de 1mm ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 400tornillos tenga un diámetro promedio menor o igual a 10.05 mm? 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO 2: En una fábrica una máquina rellena contenedores con tapabocas con un contenido 
medio de 150 𝑔𝑟 y una varianza de 120 𝑔𝑟 . Si se toma una muestra aleatoria de 40 
contenedores, ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté entre 145 y 153 gr? 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
61 
 
EJEMPLO 3: El tiempo de vida de los componentes electrónicos de los amplificadores de los radios 
que transmiten las señales sísmicas desde la brecha de Guerrero hasta la Ciudad de México tienen 
una distribución exponencial. Para uno de ellos el Tiempo Medio Entre Fallas (TMEF) es desconocido 
pero dentro de la gama de valores que pueden tomar consideremos que 𝜆 = 0.01 componentes/día 
y con este valor se tienen los parámetros de la población 𝝁 = 𝟏 𝟎. 𝟎𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 𝒅í𝒂𝒔 y 𝝈 =
𝟏
𝟎. 𝟎𝟏 =
𝟏𝟎𝟎 𝒅í𝒂𝒔. Con la distribución de 𝑿 con una muestra de 100 componentes calculemos la 
probabilidad de que 𝑿 esté comprendida dentro del intervalo 𝝁 ∓ 𝟓 𝒅í𝒂𝒔. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios para hacer en casa 
EJERCICIO 1. La resistencia a la ruptura de un remache tiene un valor medio de 10,000 libras por 
pulgada cuadrada y una desviación estándar de 500 libras por pulgada cuadrada. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia media a la ruptura de la muestra, para una 
muestra aleatoria de 40 remaches, sea entre 9,900 y 10,200? 
b) Si el tamaño de la muestra hubiera sido 15 en lugar de 40, ¿podría calcularse la probabilidad 
pedida en el inciso a)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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62 
 
EJERCICIO 2. La duración de la enfermedad de Alzheimer desde el principio de los síntomas hasta el 
fallecimiento del paciente varía de 3 a 20 años; el promedio es 8 años con una desviación estándar 
de 4 años. El administrador de un gran centro médico selecciona al azar 30 registros de pacientes 
de Alzheimer ya fallecidos y anota la duración promedio. Encuentre la probabilidad de que la 
duración promedio de esa muestra esté entre 7 y 9 años. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO 3. Una empresa metalúrgica produce rodamientos con un diámetro que tiene una 
distribución normal, con media 3.0005 pulgadas y desviación estándar de 0.0010 pulgadas. Las 
especificaciones requieren que los diámetros estén en el intervalo 3.000 ± 0.0020 pulgadas. Los 
cojinetes cuyos diámetros quedan fuera de ese intervalo se rechazan. 
 ¿Qué fracción de la producción total no será rechazada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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63 
 
Distribución Ji-cuadrada (𝝌𝟐) - formulario 
Uso de tablas de la distribución Ji cuadrada (𝝌𝟐) 
Las tablas sirven para calcular los valores de la distribución para ciertas probabilidades. 
 
La tabla muestra los valores de la distribución 𝒋𝒊 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒂 con los cuales el área derecha bajo la 
curva es igual a 𝜶. 
𝑷(𝑿𝝂 > 𝒌) = 𝜶 = 𝟏 − 𝑷(𝑿𝝂 ≤ 𝒌)𝝂 = 𝟏 − 𝑭𝑿𝝂(𝒌) 
Es la probabilidad de que 𝑿 (con 𝝂 grados de libertad) sea mayor al valor 𝒌 y 𝑭 su función de 
distribución acumulada. 
En la tabla se tiene: primera columna están los 𝑮𝒍 = 𝝂, y después se forman parejas de columnas 
que en la parte de arriba muestran el valor de la probabilidad. 
Encuentra el valor correspondiente a la probabilidad indicada de una distribución 𝒋𝒊 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒂 
EJEMPLO 1: 𝑷(𝑿𝟖 > 𝒌) = 𝟎. 𝟗𝟗 
Respuesta: 
 
 
 
 
EJEMPLO 2: 𝑷(𝑿𝟗 < 𝒌) = 𝟎. 𝟗𝟖 
Respuesta: 
 
 
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64 
 
Ejercicios para hacer en casa 
 Sea X una variable aleatoria con distribución ji cuadrada con 8 grados de libertad, calcular 
el valor de k, tal que 𝑷(𝑿 > 𝒌) = 𝟎. 𝟎𝟐. 
 
 
 
 
 Sea X una variable aleatoria con distribución ji cuadrada con 10 grados de libertad, calcule 
el valor de k, tal que 𝑷(𝑿 < 𝒌) = 𝟎.10. 
 
 
 
 
Ejercicio en clase 
Para un gerente de planta es muy importante controlar la variación en el espesor de un material 
plástico. Se sabe que la distribución del espesor del material es normal con una desviación estándar 
de 0.01 cm. Una muestra aleatoria de 25 piezas de este material da como resultado una desviación 
estándar muestral de 0.015 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea igual o 
mayor que (𝟎. 𝟎𝟏𝟓)𝟐 𝒄𝒎𝟐? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distribución t-Student 
Esta distribución de probabilidad se publicó por primera vez en 1908, por el irlandés W. S. Gosset. 
En esa época Gosset trabajaba en una cervecería irlandesa que desaprobaba la publicación de 
trabajos de investigación, por lo que Gosset publicó su trabajo con el seudónimo “Student”. Por 
este motivo, a esta distribución se le asignó el nombre de t-Student. 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
65 
 
Uso de tablas de la distribución t-Student 
Las probabilidades se denotan por 𝜶. 
𝑷(𝑿𝝂 > 𝒌) = 𝜶 = 𝟏 − 𝑷(𝑿𝝂 ≤ 𝒌) = 𝟏 − 𝑭𝑿𝝂(𝒌) 
 
Las tablas están de la siguiente manera: en la primera columna se muestran los 𝑮𝒍 = 𝝂 = 𝒏, en la 
primera fila los valores de las probabilidades 𝜶, y en los cruces se muestran los valores de 𝒌, que 
cumplen 𝑷(𝑿𝝂 > 𝒌) = 𝜶 o 𝑭𝑿𝝂(𝒌) = 𝟏 − 𝜶 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO 1: Encuentre el valor correspondiente de la probabilidad indicada para una distribución 
t-Student. 𝑷(𝑿𝟏𝟐 > 𝒌) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒 
 
 
 
 
EJEMPLO 2: 𝑷(𝑿𝟏𝟒 < 𝒌) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟕 
 
 
 
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66 
 
Ejercicio en clase 
Durante los 12 meses pasados el volumen diario de ventas de un restaurante fue de $2000. el 
gerente piensa que los próximos 25 días serán típicos con respecto al volumen de ventas normal. 
Al finalizar los 25 días, el volumen de ventas y su desviación estándar promedio fueron de $1800 y 
$200, respectivamente. Supóngase que el volumen de ventas diario es una variable aleatoria 
normal. Si usted fuese el gerente, ¿cuál es la probabilidad de que el volumen promedio de ventas 
sea menor a $1800?. 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios para hacer en casa 
 Sea 𝑻 una variable aleatoria con distribución t-Student con 15 𝑔. 𝑙., calcular 𝒌, tal que 
𝑷(𝑻𝝂 < 𝒌) = 𝟎. 𝟗𝟓. 
 
 
 
 
 
 
 Sea 𝑻 una variable aleatoria con distribución t-Student con 19 𝑔. 𝑙., calcular 𝒌, tal que 
𝑷(𝑻𝝂 > 𝒌) = 𝟎. 𝟗𝟎. 
 
 
 
 
 
 
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67 
 
Distribución F - formulario 
Uso de tablas de la distribución F 
 
 La tabla muestra los valores de la F para diferentes probabilidades que se denotan por 𝜶. 
 Si la variable aleatoria 𝑋 tiene una distribución 𝐹 con 𝝂𝟏 𝑔. 𝑙. en el numerador y 𝝂𝟐 𝑔. 𝑙. en 
el denominador, 
𝑷(𝑿(𝝂𝟏, 𝝂𝟐) > 𝒌) = 𝜶 = 𝟏 − 𝑷(𝑿(𝝂𝟏, 𝝂𝟐) ≤ 𝒌) = 𝟏 − 𝑭𝑿(𝝂𝟏,𝝂𝟐)(𝒌) 
𝜶 = 𝟏 − 𝑭𝑿(𝝂𝟏,𝝂𝟐)(𝒌) ⇒ 𝑭𝑿(𝝂𝟏,𝝂𝟐)(𝒌) = 𝟏 − 𝜶 
 
EJEMPLO 1: Encuentre el valor de 𝒌, para que 𝑷(𝑿(𝟓, 𝟕) > 𝒌) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟓, donde 𝑿 tiene una 
distribución 𝑭. 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
PREPOSICIÓN: Si 𝑿(𝝂𝟏, 𝝂𝟐) representa a una variable aleatoria con distribución F, con 𝝂𝟏 y 𝝂𝟐 
grados de libertad del numerador y del denominador, respectivamente, entonces, 
𝒇𝟏 𝜶(𝝂𝟏, 𝝂𝟐) =
𝟏
𝒇𝜶(𝝂𝟐, 𝝂𝟏)
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
68 
 
EJEMPLO: Sea 𝑿 una variable aleatoria con distribución F, calcular la siguiente probabilidad: 
𝑷(𝑿(𝟔, 𝟕) < 𝒌) = 𝟎. 𝟎𝟓 
Respuesta: 
 
 
 
 
Ejercicios para hacer en clase 
 Sea 𝑿 una variable aleatoria con distribución 𝑭 con ocho y veinte grados de libertad, en el 
numerador y denominador, respectivamente. Calcular el valor de 𝒌, tal que 
 𝑷(𝑿(𝟖, 𝟐𝟎) > 𝒌) = 𝟎. 𝟎𝟏 = 𝜶 
Respuesta: Sea 𝑿 una variable aleatoria con distribución 𝑭 con 15 y 7 grados de libertad, en el 
numerador y denominador, respectivamente. Calcular el valor de 𝒌, tal que 
 𝑷(𝑿(𝟏𝟓, 𝟕) > 𝒌) = 𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟐𝟓 = 𝟎. 𝟗𝟕𝟓 
Respuesta: 
 
 
 
Ejercicios con distribución F 
EJERCICIO: El gerente de una refinería piensa modificar el proceso para producir gasolina a partir de 
petróleo crudo. Con base en un experimento de laboratorio y mediante el empleo de dos muestras 
aleatorias de tamaño 12, una para cada proceso, la cantidad de gasolina promedio del proceso en 
uso es de 24.6 con una desviación estándar de 2.3, y para el proceso propuesto fue de 28.2 con una 
desviación estándar de 2.7. El gerente piensa que los resultados proporcionados por los dos 
procesos son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas con varianzas iguales. 
Con base en la información proporcionada, ¿existe alguna razón para creer que las varianzas de los 
dos procesos son iguales? 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
69 
 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios para hacer en casa 
 Sea 𝑿 una variable aleatoria con distribución 𝑭 con ocho y veinte grados de libertad, en el 
numerador y denominador, respectivamente. Calcular el valor de 𝒌, tal que 
 𝑷(𝑿(𝟖, 𝟐𝟎) > 𝒌) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 Sea 𝑿 una variable aleatoria con distribución 𝑭 con 15 y 7 grados de libertad, en el 
numerador y denominador, respectivamente. Calcular el valor de 𝒌, tal que 
 𝑷(𝑿(𝟏𝟓, 𝟕) > 𝒌) = 𝟎. 𝟗𝟕𝟓 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
70 
 
Problemas con estadísticos de prueba 
Ji cuadrada 
EJEMPLO 1: Sea una muestra aleatoria de tamaño 20 tomada de una población con media 8 y 
varianza 4. Obtener la probabilidad de que la varianza muestral 𝑺𝒏 𝟏
𝟐 sea mayor o igual a 5.7. 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ji cuadrada 
EJEMPLO 2: Supongamos que el espesor de una parte usada en un semiconductor es su dimensión 
crítica y que el proceso de fabricar estas partes se considera que está bajo control si la variación real 
entre el espesor de las partes está dada por una desviación estándar no mayor que 𝝈 = 𝟎. 𝟔𝟎 
milésimas de pulgada. Para mantener un control sobre el proceso, periódicamente se toman 
muestras aleatorias de tamaño 𝒏 = 𝟐𝟎 y se considera que está “fuera de control” si la probabilidad 
de que 𝑺𝟐 asumirá un valor mayor o igual que (𝟎. 𝟖𝟒)𝟐. ¿Qué puede uno concluir sobre el proceso 
con un 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟏? 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
71 
 
T-Student 
EJERCICIO 1: En 16 corridas de prueba de una hora, el consumo de gasolina de una máquina 
promedió 16.4 galones con una desviación estándar de 2.1 galones. Pruebe la afirmación de que 
el consumo promedio de gasolina es de 12.0 galones por hora. 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
t-Student 
EJEMPLO 2: Un proceso para fabricar ciertos cojinetes está bajo control si los diámetros de los 
cojinetes tienen una media de 0.500 cm. ¿Qué podemos decir de este proceso si una muestra de 10 
cojinetes tiene un diámetro medio de 0.506 cm y una desviación estándar de 0.004 cm? 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
72 
 
Tema 3. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS 
Objetivo: El alumno evaluará la estimación puntual de uno o varios parámetros y elegirá el mejor 
en base en la comparación de sus características. 
¿A dónde voy? 
Los métodos para hacer inferencias acerca de parámetros poblacionales caen en una de estas dos 
categorías: 
 Estimación: estimar o predecir el valor del parámetro. 
 1. Estimación puntual. Con base en datos muestrales, se calcula un solo número para 
estimar el parámetro poblacional. 
 2. Estimación por intervalos. Con base en datos muestrales, se calculan dos números para 
formar un intervalo dentro del cual se espera esté el parámetro. También se la llama intervalo de 
confianza. 
 Prueba de hipótesis: tomar una decisión acerca del valor de un parámetro, con base en 
alguna idea preconcebida acerca de cuál podría ser su valor. 
Ejemplo de estimación puntual y estimación por intervalos. 
 
Se desea estimar el parámetro desconocido: 
 𝝁 = 𝒆𝒍 𝒂𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒆𝒔𝒐 
Un estimador es 
 ; 
En estimación puntual puede ser 1.7 kilogramos. 
O por estimación por intervalos que el aumento promedio esté entre 1.2 y 2.2 kilogramos. 
 
 
 
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Estimador 
DEFINICIÓN: Si 𝑿 es una v.a. con función de densidad o de probabilidad 𝒇𝑿(𝒙; 𝜽), donde 𝜽 es un 
parámetro desconocido, y si 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 es una muestra aleatoria de la población de tamaño 𝒏, 
entonces el estadístico 
𝜣 = 𝑼(𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏) 
recibe el nombre de estimador de 𝜽. 
Se puede decir que un estimador es un estadístico que tiene como propósito definido 
“aproximar” un parámetro desconocido. 
Estimación puntual 
DEFINICIÓN: El estimador 𝜣 del parámetro 𝜽, es una v.a. porque es una función de los datos de 
muestreo. Cuando se sustituyen las vv.aa. 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 por sus valores observados 
(realizaciones) 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏, entonces se tiene una estimación puntual 𝜽 del parámetro 𝜽. 
 Puede haber varios estadísticos que podrían usarse como 
estimadores puntuales para un parámetro poblacional. 
 Para determinar cuál de las opciones en el mejor, uno 
necesita saber cómo se comporta el estimador en muestreo 
repetido, descrito por su distribución muestral. 
 
 
 
Estimación puntual. ¿Cuál tirador es el mejor? 
El parámetro de interés es la diana. Cada bala representa una sola estimación muestral que es el 
estimador. 
 
 
 
 
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Propiedades de los estimadores 
En la elección de un estimador deben tenerse en cuenta las siguientes propiedades: 
 Insesgabilidad 
 Eficiencia 
 Error cuadrático medio 
 Consistencia 
 Suficiencia 
Insesgabilidad 
Sea 𝜣 un estimador puntual del parámetro 𝜽. Entonces si 𝐄 𝜣 = 𝜽 se dice que 𝜣 es un estimador 
insesgado de 𝜽, de lo contrario se dice que es sesgado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO. Sea 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 una muestra aleatoria de tamaño 𝒏 extraída de una población con 
media 𝝁 y varianza 𝝈𝟐. Determinar si los siguientes estimadores son sesgados o insesgados. 
𝒂) 𝑿 =
𝟏
𝒏
𝑿𝒊
𝒏
𝒊 𝟏
 
𝒃) 𝒔𝒏
𝟐 =
𝟏
𝒏
(𝒙𝒊 − 𝒙)
𝟐
𝒏
𝒊 𝟏
 
𝒄) 𝒔𝒏 𝟏
𝟐 =
𝟏
𝒏 − 𝟏
(𝒙𝒊 − 𝒙)
𝟐
𝒏
𝒊 𝟏
 
Respuesta: 
 
 
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En la práctica se suelen preferir los estimadores insesgados sobre los sesgados; por ello cuando se 
desea hacer estimación sobre la varianza de la población se utiliza el estadístico 𝑺𝒏 𝟏
𝟐 . 
Ejercicio para hacer en casa 
Considérese una muestra aleatoria 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 de la función de densidad 
𝒇𝑿(𝒙) =
𝟎. 𝟓(𝟏 + 𝜽𝒙) ; −𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏
𝟎 ; 𝒆𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐
 
Donde −𝟏 ≤ 𝜽 ≤ 𝟏. Demostrar que 𝜣 = 𝟑𝑿 es un estimador insesgado de 𝜽. 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eficiencia 
Puesto que es posible obtener más de un estimador insesgado para el mismo parámetro, deberá 
utilizarse el de mínima varianza, que recibe el nombre de estimador eficiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EJEMPLO. Supóngase que se tiene una muestra aleatoria de tamaño 𝟐𝒏 de una población 
denotada por 𝑿 y 𝑬(𝑿) = 𝝁 y 𝑽𝒂𝒓(𝑿) = 𝝈𝟐. Sean𝑿𝟏 =
𝟏
𝟐𝒏
𝑿𝒊
𝟐𝒏
𝒊 𝟏
 
y 
𝑿𝟐 =
𝟏
𝒏
𝑿𝒊
𝒏
𝒊 𝟏
 
dos estimadores de 𝝁. Determinar cuál es el mejor estimador de 𝝁. 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio para hacer en casa 
EJERCICIO 1. Sea 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, 𝑿𝟑, 𝑿𝟒 y 𝑿𝟓 una muestra aleatoria de una población cuya distribución es 
normal con media 𝜇 y varianza 𝜎 . Considérense los estadísticos: 
 
Como estimadores de 𝝁. Identificar al estimador que posee la varianza más pequeña. 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO 2. Una variable aleatoria se distribuye en forma Normal. Se extraen muestras aleatorias 
simples de tamaño 4. Se tienen los siguientes estimadores del parámetro 𝜇: 
𝝁𝟏 =
𝑿𝟏 + 𝟐𝑿𝟐 + 𝟑𝑿𝟑
𝟔
, 𝝁𝟐 =
𝑿𝟑 − 𝟒𝑿𝟐
−𝟑
 
a) Comprobar si los estimadores son insesgados. 
b) Indicar cuál de los dos estimadores es más eficiente. 
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Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Error cuadrático medio (ECM) 
Cuando se desean comparar dos estimadores, de los cuales al menos uno no es insesgado 
entonces se utiliza el ECM. 
El ECM de un estimador 𝜣, del parámetro 𝜽, se define como: 
𝑬𝑪𝑴 𝜣 = 𝑬 𝜣 − 𝜽
𝟐
 
Y también se puede demostrar que: 
𝑬𝑪𝑴 𝜣 = 𝑽𝒂𝒓 𝜣 + 𝜽 − 𝑬 𝜣
𝟐
 
Donde a 𝜽 − 𝑬 𝜣 se le llama sesgo o error cometido. 
Si el estimador 𝜣 es insesgado: 𝑬𝑪𝑴 𝜣 = 𝑽𝒂𝒓 𝜣 
EJEMPLO 1: Supóngase que 𝜣𝟏, 𝜣𝟐 y 𝜣𝟑 son estimadores del parámetro 𝜽. Si se sabe que 
𝑬 𝜣𝟏 = 𝑬 𝜣𝟐 = 𝜽, 𝑬 𝜣𝟑 ≠ 𝜽, 𝑽𝒂𝒓 𝜣𝟏 = 𝟏𝟐, 𝑽𝒂𝒓 𝜣𝟐 = 𝟏𝟎 y 𝑬 𝜣𝟑 − 𝜽
𝟐
= 𝟔, 
utilizando el criterio de ECM, determinar el mejor estimador. 
Respuesta: 
 
 
 
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EJEMPLO 2: En un experimento binomial se observan 𝒙 éxitos en 𝒏 ensayos independientes. Se 
proponen los siguientes dos estadísticos como estimadores del parámetro de proporción: 
p : 𝑻𝟏 =
𝑿
𝒏
 𝑦 𝑻𝟐 =
𝑿 𝟏
𝒏 𝟐
 
a) Obtener los errores cuadráticos medios para 𝑻𝟏 y 𝑻𝟐. 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio para hacer en casa 
Ejemplo 3: Supóngase que 𝜣𝟏 y 𝜣𝟐 son estimadores del parámetro 𝜽. Si se sabe que 𝑬 𝜣𝟏 = 𝜽 y 
𝑬 𝜣𝟐 =
𝜽
𝟐
, 𝑽𝒂𝒓 𝜣𝟏 = 𝟏𝟎 y 𝑽𝒂𝒓 𝜣𝟐 = 𝟒. ¿Cuál estimador es el mejor?¿En qué rango de 
valores de 𝜃 es mejor uno y otro? 
 
 
 
 
Métodos para determinar estimadores puntuales 
Existen varias formas de estimar un parámetro. 
Dos de los métodos más comunes son: 
 Método de momentos. 
 Método de máxima verosimilitud. 
Método de Momentos 
Sugiere utilizar como estimador de alguno de los momentos de la población, al mismo momento 
con respecto a la muestra. 
Elegir como estimadores puntuales, a aquellos valores de los parámetros que sean solución de las 
ecuaciones 
𝝁𝒌 = 𝒎𝒌 ; 𝒌 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 
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Donde 𝒏 es igual al número de parámetros a estimar y 𝝁𝒌 y 𝒎𝒌 representan los momentos con 
respecto al origen de la población y de la muestra, respectivamente. 
En la práctica también se pueden igualar momentos respecto a la media según sea más 
conveniente 
𝝁𝒌 = 𝒎𝒌 ; 𝒌 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 
EJEMPLO 1: Sea 𝑿 una variable aleatoria con distribución normal y parámetros 𝝁 y 𝝈𝟐 
desconocidos. Determinar los estimadores de dichos parámetros por el método de los momentos. 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO 2: Sea 𝒀 una variable aleatoria con distribución Pascal (binomial negativa) con 
parámetros 𝒓 y 𝒑 desconocidos. Utilizar el método de los momentos para obtener estimadores de 
dichos parámetros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Método de máxima probabilidad o máxima verosimilitud 
 La mayoría de los estadísticos recomiendan este método, al menos cuando el tamaño de 
muestra es grande, puesto que los estimadores resultantes tienen ciertas propiedades de 
eficiencia deseables. 
 Básicamente consiste en obtener una función de verosimilitud y maximizarla. 
Sea 𝒇𝑿(𝒙; 𝜽) la distribución de una población donde 𝜽 es el parámetro a estimar. La función de 
verosimilitud es una función de las vv.aa. de muestreo y del parámetro 𝜽 a estimar definida como 
sigue 
𝑳(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏; 𝜽) = 𝒇𝑿𝒊(𝒙𝒊; 𝜽)
𝒏
𝒊 𝟏
 
Nótese que la función de verosimilitud L es la distribución conjunta de las vv.aa. de muestreo si 
éstas son independientes. 
Un estimador de máxima verosimilitud es aquel que maximiza la función de verosimilitud. 
En la práctica, para maximizar la función de verosimilitud se utiliza el cambio de la variable L por ln 
L. 
EJEMPLO 1. Construir un estimador de máxima verosimilitud para el parámetro 𝒑 de una 
distribución Bernoulli, utilizando una muestra de tamaño 𝒏. 
Respuesta: 
 
 
 
 
Apuntes 1445/1569 - DCB - FI - UNAM Amanda L. Pineda Norman 
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EJEMPLO 2. Obtener el estimador de máxima verosimilitud para el parámetro 𝒑 de una 
distribución geométrica, utilizando una muestra aleatoria de tamaño 𝒏. 
Respuesta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Estimación por intervalos de confianza 
 La estimación puntual es útil pues proporciona el valor más representativo para el 
parámetro que se desea estimar; sin embargo, la probabilidad de que el estimador tome 
el valor del parámetro es prácticamente cero, además de que puede variar mucho de 
realización en realización. 
 En algunos problemas es más útil un intervalo para el cual la probabilidad de que el 
parámetro se encuentre en dicho intervalo sea alta. 
La estimación por intervalos parte de construir intervalos aleatorios, donde al menos uno de sus 
límites es una variable aleatoria. 
En general, un intervalo aleatorio se construye a través de los estadísticos 𝑳𝟏 y 𝑳𝟐 tales que 
𝑷(𝑳𝟏 ≤ 𝜽 ≤ 𝑳𝟐) = 𝟏 − 𝜶 
Donde 𝟏 − 𝜶 recibe el nombre de nivel o coeficiente de confianza, 𝑳𝟏 y 𝑳𝟐 se denominan límites 
de confianza inferior y superior, respectivamente y 𝜶 se llama nivel de significancia o 
significancia. 
DEFINICIÓN: Un intervalo de confianza para el parámetro poblacional 𝜽 al nivel de confianza 
𝟏𝟎𝟎(𝟏 − 𝜶)%, siendo 𝜶 un valor en el intervalo [𝟎, 𝟏], se define como un intervalo de la forma 
𝑳𝟏 ≤ 𝜽 ≤ 𝑳𝟐 cuyos extremos son estadísticos y tiene la propiedad de que 
𝑷(𝑳𝟏 ≤ 𝜽 ≤ 𝑳𝟐) = 𝟏 − 𝜶 
 
 
 
 
 
 
Con frecuencia los experimentadores 
construyen intervalos de confianza del 95%, es 
decir, el coeficiente de confianza (𝟏 − 𝜶), o la 
probabilidad de que el intervalo contenga al 
parámetro estimado, sea 0.95. 
También se usan los valores de: 0.90, 0.98 y 
0.99. 
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Interpretación del intervalo de confianza para la media poblacional 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construcción de un intervalo de confianza 
1. De todos los valores posibles del estimador que podríamos seleccionar, el 95% de ellos 
estarán en el intervalo. 
2. ¿Con qué frecuencia este intervalo funcionará en forma correcta y encerrará el parámetro 
de interés? Ver figura siguiente. 
 
Si se quiere cambiar el coeficiente de confianza (𝟏 − 𝜶) = 𝟎. 𝟗𝟓 a otro nivel de confianza (𝟏 − 𝜶) 
es necesario cambiar el valor de 𝒛 = 𝟏. 𝟗𝟔. 
 
 
 
 
 
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Intervalo de confianza para la media 
Intervalo de confianza para la media poblacional, 𝝈𝟐 conocida. Distribución normal. Nota: no 
importa el tamaño de la muestra. 
Sea el estadístico 
𝑿 =
𝟏
𝒏
𝑿𝒊
𝒏
𝒊 𝟏