Analisis de sistemas de potencia Resumen 61 - ArturoSelect

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7.5 LA MATRIZ DE INCIDENCIA DE LA RED Y Ybarra 241
Al restar apropiadamente y sumar las tres matrices de incremento y la Ybarra original, se obtiene la matriz de admitancias de barra nueva para las ramas desacopladas
AY =
* barra(nueva) q
y 8.o
74.0
j2.5
78.0 —717.0
74.0
75.0
74.0
74.0
—78.8
0
72.5
75.0
0
-78.3
que concuerda con el ejemplo 7.1.
' 5 LA MATRIZ DE INCIDENCIA DE LA RED Y Ybarra
i á w
f
4
-i?
Las ecuaciones de admitancias de nodo para cada rama y par de ramas mutuamente acopla-
do se desarrollaron en las secciones 7.1 y 7.2 de manera independiente de las otras ramas de
la red. Entonces, las matrices de admitancias de nodo de las ramas individuales se combinan
con el fin de construir la Ybarra del sistema. Como ya se ha explicado el proceso, ahora se
procederá a considerar un análisis más formal que trata todas las ecuaciones del sistema de
manera simultánea, en lugar de hacerlo por separado. Con el fin de establecer el procedi-
miento general se utilizará el sistema de ejemplo de la figura 7.11.
Como se muestra en la figura 7.11, dos de las siete ramas se encuentran mutuamente
acopladas. Los pares mutuamente acoplados se describen mediante la ecuación (7.14), mien-
tras las otras cinco ramas por medio de la ecuación (7.4). Se arreglan las siete ecuaciones de
rama en una matriz, y se obtiene
V 4
	' -70.80
	
	
	
	
	V
	-76.25
	j'3.75	•
	
	vb
	
	k
	73.75
	-Í6.25
	
	Vc
	
	k
	•
	—y 8.00
	. ... •
	Vd
	
	k
	•
	•
	-y'5.00
	Ve
	
	k
	•
	•
	—/2.50
	Vf
	
	k
	•
	
	-jO8O
	
	
	k.
(7.28)
f
La matriz de coeficientes es la matriz de admitancias elementale que se forma al observar la figura 7.11. Cada rama de la red contribuye a un elemento diagonal que es igual al recíproco de su impedancia de rama con la excepción del caso de las ramas b y c, que están mutuamente acopladas y tienen elementos determinados por la ecuación (7.13). La ecuación (7.28) se puede escribir de forma compacta para el caso más general como se muestra a continuación
prpr pr
(7.29)
242 CAPÍTULO
EL MODELO DE ADMITANCIA Y CÁLCULO DE REDES
donde e Ipr son los vectores columna respectivos de las ramas de voltaje y corriente, mientras Ypr representa la matriz de admitancias elementales de la red. Las ecuaciones elementales no dicen nada en relación con la forma en que están configuradas las ramas en el interior de la red. La configuración geométrica de las ramas recibe el nombre de topología y está dada por la llamada gráfica dirigida que se muestra en la figura 7.13a). En esta gráfica, cada rama de la red de la figura 7.11 está representada entre sus nodos terminales por un segmento de línea recta con la punta de una flecha dirigida en el sentido de la corriente. Cuando una rama se conecta a un nodo se dice que la rama y el nodo son incidentes. Las ramas de la gráfica que interconectan o alcanzan todos los nodos de la gráfica sin formar una trayectoria cerrada constituyen un árbol. En general, una red tiene muchos árboles posibles porque se tienen diferentes combinaciones de ramas que alcanzan a todos los nodos. Así. por ejemplo, en la figura 7.13b) las ramas a,b,cyf definen un árbol. Las ramas restantes, esto es, d, e y g se llaman enlaces y cuando uno de éstos se añade al árbol, se forma una trayectoria cerrada o lazo.
Una gráfica se puede describir en términos de una matriz de incidencia o de conexiones. Se pondrá un especial interés en la matriz de incidencia rama-nodo A, que tiene una fila para cada rama y una columna para cada nodo con un elemento a^ en la fila i y en la columna j en concordancia con la siguiente regla:
si la rama i no está onectada al nodo
si la corriente en la rama i se aleja del nodo
si la corriente en la rama i se dirige hacia el nodo
(7.30)
Esta regla formaliza el procedimiento general por usarse en la construcción de matrices de coeficientes dadas por las ecuaciones (7.6) y (7.15) para las ramas individuales de una red. Generalmente, se selecciona un nodo de referencia para los cálculos de redes. Entonces, la columna que corresponde al nodo de referencia se omite de Á y la matriz resultante se denomina A. Por ejemplo, se obtiene la siguiente matriz rectangular de rama-nodo, si se selecciona el nodo (0) como el de referencia en la figura 7.13 y se aplica la regla de la ecuación (7.30)	.
FIGURA 7.13
Gráfica dirigida de la figura 7.11 que irifiestra: a) segmentos de línea recta para las ramas; b) las ramas a, b, c y / que definen un árbol, mientras que las ramas d,ey g son enlaces.
- ~	' 7.5 LA MATRIZ DE INCIDENCIA DE LA RED Y Ybarra 243
	©
	(2)
	(3)
	
	a
	0
	0
	1
	0
	
	
	b
	0
	-1
	1
	0
	
	
	c
	-1
	0
	1
	0
	(7.31)
	¡ ”
	A=¿
	-1
	1
	0
	0
	
	4
1
	e
	0
	-1
	0
	1
	
	
	f
	-1
	0
	0
	1
	
	
	g
	0
	0
	0
	1
	
	
A los nodos que no son de referencia en una red se les llama con frecuencia nodos independientes o barras, y cuando se dice que la red tiene N barras, se quiere decir, por lo general, que hay N nodos independientes sin incluir el de referencia. La matriz A tiene una dimensión fila-columna de B x Nelementos para cualquier red con B ramas y Anodos sin considerar el de referencia. Se puede observar que cada fila de la ecuación (7.31) tiene dos elementos que no son cero, pero cuya suma sí lo es, excepto para las filas a y g que sólo tienen un elemento que no es cero. Esto se debe a que las ramas a y g de la figura 7.11 tienen una terminal conectada al nodo de referencia cuya columna no se muestra.
El voltaje a través de cada rama se puede expresar como la diferencia de los voltajes en cada terminal de barra, medidos con respecto al nodo de referencia. Por ejemplo, en la figura
7.11 los voltajes en las barras (T), (2), Q) y (4) con respecto al nodo de referencia (0) están designados por V\, K2, V3 y K4, respectivamente y así, las caídas de voltaje a través de las ramas están dadas por
y a = y3
yb = y3- y2
yc = y3- Vi
yd = y2-Vr o
donde la matriz de coeficientes es la matriz A de la ecuación (7.31). Ésta es una ilustración
del resultado general para una red de N barras
►
►
►
_	.	Vpr = AV 		 ..	(7.32)
donde Vpr es el vector columna B x 1 de las caídas de voltaje de rama y V es el vector columna N x 1 de los voltajes de barra medidos con respecto al nodo de referencia seleccionado. Las ecuaciones (7.6) y (7.15) son aplicaciones particulares de la ecuación (7.32) para ramas individuales. Además, se puede observar que la ley de corrientes de Kirchhoff en los nodos (T) y (4) de la figura 7.11 da
fe <fe
244 CAPÍTULO 7 EL MODELO DE ADMITANCIA Y CÁLCULO DE REDES
0 o
1 o
0	-1	-i
-1	0	1
1	1	o
0	0	0
o
-1
o
1
-1
o
o
1
o o o
1
b
d
o o ¡3
g
donde Z3 = 1.00 /-90o e Z4 = 0.68 /-135° son las corrientes externas que se inyectan en
los nodos (3) y (4), respectivamente. La matriz de coeficientes en esta ecuación es AL De
nuevo esto es ilustrativo de un resultado general que se aplica a cada red eléctrica, puesto
que simplemente establece que la suma de todas las corrientes de rama que inciden en el
nodo de una red es igual a la corriente que se inyecta en el nodo, en concordancia con la ley
de corrientes de Kirchhoff. Por consiguiente, se puede escribir
ArIpr = I	(7.33^
donde Ipr es el vector columna B x 1 de las corrientes de rama e I es el vector columna N x 1
con un elemento que no es cero para cada barra que tiene una fuente externa de corriente.	!
Las ecuaciones (7.5) y (7.16) son ejemplos particulares de la ecuación (7.33).	i
La matriz A describe por completo la topología de la red y es independiente de los
valores particulares de los parámetros de la rama. Estos últimos los da la matriz de admitancias
elementales. Por lo tanto, dos configuraciones diferentes de red que empleen las mismas
ramas tendrán matrices A diferentes pero la misma Ypr. Por otro lado, solamente se altera Y^
y no A, si ocurren cambios en los parámetros de la rama manteniendo la misma configura-
ción de la red.	>
Al multiplicar la ecuación (7.29) por A7 se obtiene	fi
ArYprVpr = ArIpr' ,	(7.34)
El lado derecho de la ecuación (7.34) es igual a I y al sustituirlo por Vpr de la ecuación
(7.32), se encuentra	*
(ArYprA}V = I	(7.35)	*La ecuación (7.35) se puede escribir en una forma más concisa	;
. ... YbairaV = I	(7.36)
donde la matriz de admitancias de barra Ybarra es una matriz de N x N dada por	j,
. Yb- =. Xpr-- A -	(7-37)
NxB
NxN
BxB
BxN