Notas 06 Álgebra Vectorial - Axel Sánchez Nazario

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ÁLGEBRA VECTORIAL 
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* SISTEMAS DE REFERENCIA EN TRES DIMENSIONES 
 
 
Cuando llevamos la idea de referencia a tres dimensiones, debemos partir de la referencia en dos dimensiones y 
añadir la tercera. 
 
 
Esto nos permite la posibilidad de iniciar desde el sistema cartesiano o desde el sistema polar. 
 
 
De acuerdo con la referencia elegida, tendremos los siguientes sistemas de referencia en tres dimensiones: 
 
 
Sistema cartesiano Sistema cilíndrico Sistema esférico 
 
 
 
* SISTEMA CARTESIANO DE TRES DIMENSIONES 
 
 
Si el plano cartesiano XY lo colocamos sobre el nivel del suelo, la tercera dimensión rectangular, será la altura 
seleccionada desde un punto del plano. 
 
 
Recordemos que por definición, una altura siempre es perpendicular a la base seleccionada, en nuestro caso, el 
plano XY 
 
 
Toda medición hacia arriba del plano XY (en color 
azul en nuestra imagen) se considera positiva, 
mientras que si la medimos hacia abajo, será 
negativa. 
 
 
Entonces, un punto cualquiera en el espacio tendrá 
una terna ordenada de valores única que lo identifica. 
 
 
𝑃(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 
 
Esta representación se conoce como proyección isométrica y nunca muestra al objeto como realmente es. 
 
 
Algunas personas tardan un poco en apreciar la idea de tres dimensiones en una figura de solo dos dimensiones. 
Para ayudarnos un poco, recurrimos a un pequeño truco. 
 
 
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Si el observador se coloca en una posición completamente por arriba del plano XY y mira perpendicularmente 
hacia abajo, apreciaría una imagen como la siguiente: 
 
 
Se conoce como vista superior. 
 
 
En ella apreciamos el conocido plano cartesiano XY, 
así como el punto P, que parece estar contenido en el 
plano XY, aunque sabemos que se encuentra a una 
altura z 
 
 
Lo anterior ocurre porque en una vista superior, tanto 
el eje Z como cualquier medición paralela con él se 
ven como puntos. 
 
 
Si ponemos atención, el eje Z parece un punto en 
color azul en el origen cartesiano. 
 
 
 
También tendríamos dos vistas laterales, y en cada una de ellas, un eje se encuentra perpendicular a nuestra vista, 
por lo que parece un punto. El plano XY no se aprecia por estar horizontal a nuestra vista. 
 
Vista de frente al plano XZ 
 
 
Vista de frente al plano YZ 
 
 
 
El punto no ha cambiado, pero nosotros elegimos la perspectiva que mejor nos favorece para trabajar. 
 
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En ocasiones, para ayudarnos a las diferentes perspectivas, se dibujan los planos cartesianos por parejas de ejes. 
El origen cartesiano 𝑃(0 , 0 , 0) siempre es la intersección de los tres planos cartesianos. 
 
 
En esta imagen podemos ver el plano XY en color verde 
claro, y se encuentra horizontal con relación al espacio 
tridimensional. 
 
 
El plano XZ lo apreciamos en color azul, y se encuentra 
vertical y de canto a un espectador situado en el eje X 
positivo. 
 
 
El plano YZ se encuentra en color amarillo, y lo tenemos 
vertical y de frente a un espectador situado en el eje X 
positivo. 
 
Desde esta perspectiva, el espacio en tres dimensiones queda dividido en ocho regiones iguales e infinitas, 
conocidas como octantes. 
 
 
El sistema cartesiano en tres dimensiones es un sistema ortogonal, porque para todos los puntos del espacio 
conjuga tres referencias ortogonales entre sí, cuya intersección define a dicho punto. 
 
 
Así, los valores constantes de cada una de las variables 
o componentes de referencia, están formando por 
separado un plano cada una de ellas, y es la 
intersección de dichos planos lo que define a un punto. 
 
 
Cuando escribimos el punto 𝑃( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) en 
coordenadas cartesianas, estamos intersectando tres 
planos, construidos con el valor constante de cada 
referencia: 
 
𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥 = 𝑐 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒 
 
𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦 = 𝑘 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑓é 
 
𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑧 = 𝐶 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑧𝑢𝑙 
 
 
 
 
 
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Una grúa viajera es un claro ejemplo del uso de este 
sistema de referencia. 
 
 
Las podemos encontrar en almacenes o puertos, y 
permiten la carga, descarga y almacenaje de un gran 
número de mercancías y materiales diversos. 
 
 
Como ejercicio, dibuja en un isométrico en tres dimensiones, los siguientes puntos: 
 
 𝐴(3 , 2 , 5) 𝐵( −4 , 2 , −5) 𝐶( 2 , −4 , 5) 𝐷(−4 , −1 , −2) 
 
 
 
* SISTEMA CÍLINDRICO EN TRES DIMENSIONES 
 
 Ahora vamos a colocar el plano polar sobre el nivel del suelo y la tercera dimensión será la altura seleccionada 
desde un punto del plano. Este arreglo nos lleva a intersectar tres superficies nuevamente. 
 
 
En el sistema de coordenadas cilíndricas circulares, 
estaremos intersectando dos planos con un cilindro 
circular recto que usa al eje Z como su eje de simetría. 
 
 
También es un sistema ortogonal, puesto que todos los 
puntos resultan de la intersección de las superficies 
siempre en ángulos rectos entre pares de ellas. 
 
 
𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑟 = 𝑘 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒 
 
 
𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝜃 = 𝑐 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑧𝑢𝑙 
 
 
𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑧 = 𝐶 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜 
 
 
 
 
 
 
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Por supuesto que en forma simplificada, escribimos que el punto 𝑃( 𝑟 , 𝜃 , 𝑧 ) en coordenadas cilíndricas 
circulares, tiene un radio 𝑟 sobre el plano polar medido desde el Polo, un ángulo 𝜃 medido desde el sentido 
positivo del eje Polar, y una altura 𝑧 medida desde la proyección del punto sobre el plano polar hasta donde se 
encuentre el punto 𝑃 
 
 
 
 
Toda medición hacia arriba del plano polar (en color 
azul en nuestra imagen) se considera positiva, 
mientras que si la medimos hacia abajo, será 
negativa. 
 
 
Entonces, un punto cualquiera en el espacio tendrá 
una terna ordenada de valores que lo identifica. 
 
 
𝑃(𝑟 , 𝜃 , 𝑧) 
 
 
Como partimos de las coordenadas polares, habrá muchas posibles combinaciones de valores para r y θ, lo que 
nos llevará a muchas posibles combinaciones para las coordenadas cilíndricas. 
 
 
Sin embargo, para hacerlo más práctico, se acostumbra restringir los valores de las dimensiones así 
 
𝑟 ≥ 0 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 𝑧 ∈ ℝ 
 
 
 
Con estos lineamientos estamos considerando 
siempre avanzar hacia adelante al medir el radio, y al 
girar horizontalmente hacerlo contra las manecillas 
del reloj máximo una sola vuelta a la circunferencia. 
 
 
Una grúa pluma es un claro ejemplo del uso de este 
sistema de referencia, en el cual la base de la grúa 
funciona como polo. 
 
 
 
 
 
 
 
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Para hacer las transformaciones entre el sistema cartesiano y el cilíndrico, basta con apoyarnos en las conocidas 
ecuaciones entre el sistema cartesiano y el sistema polar, puesto que la variable z es la misma referencia en ambos 
sistemas. 
 
𝑟 = √ 𝑥2 + 𝑦2 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( 
𝑦
𝑥
 ) 𝑧 = 𝑧 
 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑧 = 𝑧 
 
 
* SISTEMA ESFÉRICO EN TRES DIMENSIONES 
 
 
En el sistema de coordenadas esféricas, estaremos 
intersectando un plano con una esfera con un cono 
circular recto que usa al eje Z como su eje de simetría. 
 
 
𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝜌 = 𝑘 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒 
 
 
𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝜃 = 𝑐 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑧𝑢𝑙 
 
 
𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝜙 = 𝐶 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜 
 
 
También es un sistema ortogonal, puesto que todos los puntos resultan de la intersección de las superficies 
siempre en ángulos rectos entre pares de ellas. 
 
 
Por supuesto que en forma simplificada, escribimos 
que en coordenadas esféricas, el punto 
 
 
𝑃( 𝜌 , 𝜃 , 𝜙 ) 
 
 
tiene un radio 𝜌 medido en línea recta desde el Polo, 
un ángulo 𝜃 medido desde el sentido positivo del eje 
Polar, y un ángulo 𝜙 medido desde el sentido positivo 
del eje Z hasta donde debemos medir al radio 𝜌 
 
 
 
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Paraevitar ambigüedades, se acostumbra restringir el rango de valores para cada variable 
 
 
𝜌 ≥ 0 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋 
 
 
Una escalera de carro de bomberos es un ejemplo del 
uso de coordenadas esféricas. 
 
El polo se encuentra en la base de la escalera. 
 
Mediante un sistema hidráulico puede girar 
horizontalmente para alinearse hacia donde debe 
trabajar. 
 
Otro sistema hidráulico eleva con diferentes ángulos 
la inclinación de la escalera. 
 
Finalmente, otro sistema hidráulico despliega la 
escalera a diferentes distancias. 
 
 
 
Para las ecuaciones de transformación, basta con superponer los sistemas de forma conveniente 
 
 
 
Del triángulo rectángulo que forman 𝜌 , 𝑟 , 𝜙 , 𝑧 
podemos establecer las siguientes equivalencias: 
 
 
 
cos 𝜙 =
𝑧
𝜌
 𝑠𝑒𝑛 𝜙 =
𝑟
𝜌
 𝑟2 + 𝑧2 = 𝜌2 
 
 
𝑧 = 𝜌 cos 𝜙 𝑟 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 
 
 
 
 
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Como 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 en el plano polar, entonces 
 
 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝜌2 
 
 
Y en la misma analogía 
 
 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 cos 𝜃 
 
 
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
 
Con algo de tiempo y práctica, cada sistema puede ayudarnos en la construcción de diferentes ecuaciones de 
curvas y superficies, que son la base para trabajar las ideas y conceptos del cálculo diferencial, integral y vectorial. 
 
 
Como de costumbre, cada uno tiene sus ventajas y desventajas. 
 
 
En este curso nos enfocaremos al uso del sistema cartesiano de tres dimensiones. 
 
 
Para acostumbrarnos al manejo de estas referencias, las simetrías serán una herramienta. 
 
 
* SIMETRÍA CON RESPECTO DE UN PUNTO 
 
 
Se dice que un punto A es simétrico de otro B con 
respecto de un tercero C, si y sólo si, el punto C es el 
punto medio del segmento de recta que une los puntos 
A y B. 
 
 
 
 
 
 
 
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* SIMETRÍA CON RESPECTO DE UNA RECTA 
 
 
Se dice que un punto A es simétrico de otro B con 
respecto de una recta R, si y sólo si, la recta R es 
mediatriz del segmento de recta que une los puntos A 
y B 
 
 
 
 
* SIMETRÍA CON RESPECTO DE UN PLANO 
 
 
Se dice que un punto A es simétrico de otro B con 
respecto de un plano 𝜋 , si y sólo si, el plano 𝜋 es 
normal bisector del segmento de recta que une los 
puntos A y B 
 
 
 
En nuestro sistema cartesiano en tres dimensiones podemos percatarnos que: 
 
 
 El origen cartesiano es un punto. 
 
 
 Los ejes cartesianos, eje X, eje Y, eje Z, son líneas rectas. 
 
 
 El plano XY, el plano XZ, el plano YZ, obviamente son planos. 
 
 
Entonces, podemos usarlos como referencia para trazar simetrías en tres dimensiones, lo que nos conduce a las 
siguientes ideas. 
 
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Simetría con respecto del origen 
 
 
La distancia del punto 𝑃(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) al origen debe ser la 
misma que su punto simétrico al origen. 
 
 
Como los puntos 𝑃 y 𝑃′ son diametralmente opuestos, 
basta con recorrer sus coordenadas en sentido 
contrario. 
 
 
Así es como llegamos a las coordenadas del punto 
simétrico 𝑃′(−𝑥 , −𝑦 , −𝑧) 
 
 
 
 
Simetría con respecto de un eje coordenado 
 
 
El eje seleccionado, en nuestra imagen el eje X, debe 
ser mediatriz del segmento que une los puntos 
simétricos. 
 
 
Pero recordemos que las coordenadas cartesianas ya 
están construidas perpendicularmente entre ellas, por 
lo tanto solo debemos asegurarnos que se encuentren 
los simétricos a la misma distancia del eje X 
 
 
Observa que ambos puntos simétricos comparten la 
coordenada 𝑥, por lo que solo debemos recorrer a las 
otras dos en sentido contrario 𝑃′(𝑥 , −𝑦 , −𝑧) 
 
 
Esta misma idea se puede extender fácilmente a los otros dos ejes coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Simetría con respecto de un plano coordenado 
 
 
El plano seleccionado, en nuestra imagen el plano YZ 
en color azul, debe ser normal bisector del segmento 
que une los puntos simétricos. 
 
 
Pero recordemos que las coordenadas cartesianas ya 
están construidas perpendicularmente entre ellas, por 
lo tanto solo debemos asegurarnos que se encuentren 
los simétricos a la misma distancia del plano YZ 
 
 
Observa que ambos puntos simétricos comparten las 
coordenadas 𝑦 , 𝑧, por lo que solo debemos recorrer a 
la coordenada 𝑥 en sentido contrario 𝑃′(−𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 
 
 
Esta misma idea se puede extender fácilmente a los otros dos planos coordenados. 
 
 
Por ejemplo, para el punto 𝐴(4 , 5 , 6) tendríamos sus respectivos simétricos con las referencias cartesianas: 
 
 
Con el origen 𝐴′(−4 , −5 , −6) Con el plano XY 𝐴′(4 , 5 , −6) 
Con el eje X 𝐴′(4 , −5 , −6) Con el plano XZ 𝐴′(4 , −5 , 6) 
Con el eje Y 𝐴′(−4 , 5 , −6) Con el plano YZ 𝐴′(−4 , 5 , 6) 
Con el eje Z 𝐴′(−4 , −5 , 6) 
 
 
 
* Ejercicio. Determina para cada uno de los siguientes puntos, su respectivo punto simétrico con respecto de cada 
una de las referencias cartesianas. 
 
𝐴(5 , 3 , 7) 𝐵(−6 , −2 , 1) 𝐶(3 , −4 , −5) 
 
 
 
 
 
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* Cantidades Escalares y Cantidades Vectoriales 
 
 
CANTIDAD ESCALAR: Son aquellas que sólo requieren de su MAGNITUD para estar perfectamente definidas 
 
Por ejemplo: masa, longitud, área, volumen, densidad, tiempo, temperatura. 
 
 
 
CANTIDAD VECTORIAL: Son aquellas que requieren de MAGNITUD, DIRECCIÓN y SENTIDO para estar 
perfectamente definidas 
 
Por ejemplo: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, momento. 
 
MAGNITUD: tamaño de la cantidad vectorial 
 
DIRECCIÓN: línea de acción de la cantidad vectorial 
 
SENTIDO: sobre la línea de acción, hacia donde se dirige la cantidad vectorial 
 
 
 
Los vectores son la representación gráfica o analítica de una cantidad vectorial. 
 
 
Gráficamente, un vector lo representamos 
con una flecha. 
 
 
Su tamaño medido a escala es su magnitud. 
 
 
Su dirección es la línea de desplazamiento. 
 
 
Su sentido lo indica la punta de la flecha. 
 
 
 
Los vectores se representan con letras minúsculas con una pequeña raya encima �̅� para recordar que se trata de 
un vector. También podemos utilizar los nombres de los puntos de inicio y de final con una pequeña raya encima 
de ellos, escribiendo primero al punto inicial y después al punto final 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
 
 
 
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Sin embargo, si desplazamos a un vector en forma paralela, conservando su magnitud y su sentido, el vector no 
cambia. 
 
 
Una situación muy útil de los vectores es que son entidades libres. Los podemos colocar en cualquier parte y están 
trabajando. Cuando definimos un de los puntos del vector, ya sea al inicio o al final, el vector se define. 
 
 
Por ejemplo una fuerza aplicada sobre una barra en posición diferente, causará un efecto diferente, pero la fuerza 
es la misma. 
 
 
 
Para trabajar un vector de forma analítica debemos elegir un sistema de referencia. Este tipo de representación 
nos permitirá trabajar de forma cotidiana con cantidades vectoriales. 
 
 
 
* Componentes Escalares de un Vector 
 
En el trabajo analítico decimos que un vector es un arreglo ordenado de 𝑛 componentes, las cuales se conocen 
como componentes escalares del vector. 
 
�̅� = ( 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , ⋯ , 𝑎𝑛 ) 
 
 
Pero, ¿cuántas componentes constituyen a un vector? Depende de cuantas condiciones rigen al vector. 
 
 
Si solo rige una condición, esta será el tamaño del 
vector. La referencia es la línea de desplazamiento. 
Tendremos un vector de una dimensión 
 
�̅� = (𝑎) 
 
 
 
A la magnitud del vector �̅� le llamamos módulo del vector, y se representa así | �̅� | 
 
 
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Si el vector requiere de dos condiciones, tendremos un 
vector de dos dimensiones. 
 
 
�̅� = ( 𝑎1 , 𝑎2 ) 
 
 
Para representarlas gráficamente, usamos el plano 
cartesiano.Cada componente quedará expresada de 
forma ortogonal sobre cada uno de los ejes cartesianos. 
 
 
La punta de flecha siempre indica el sentido, por lo tanto, la sombra que proyecte la punta de flecha sobre el eje 
coordenado, nos indicara si es positiva, cuando mire hacia el sentido positivo del eje, o bien si es negativa, cuando 
mire hacia el lado opuesto. 
 
 
Como las componentes 𝑎1 y 𝑎2, junto con el módulo del vector �̅� forman un triángulo rectángulo, se puede aplicar 
con ellas el teorema de Pitágoras. 
 
| �̅� |2 = (𝑎1)
2 + (𝑎2)
2 
 
 
 
Y con un simple despeje algebraico, tendremos que la magnitud o módulo del vector es 
 
 
| �̅� | = √ (𝑎1)2 + (𝑎2)2 
 
 
Si el vector requiere de tres condiciones, tendremos un 
vector de tres dimensiones. 
 
 
�̅� = ( 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) 
 
 
Para representarlas gráficamente, usamos el espacio 
cartesiano. Cada componente quedará expresada de 
forma ortogonal sobre cada uno de los ejes cartesianos. 
 
 
 
 
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La punta de flecha siempre indica el sentido, por lo tanto, la sombra que proyecte la punta de flecha sobre el eje 
coordenado, nos indicara si es positiva, cuando mire hacia el sentido positivo del eje, o bien si es negativa, cuando 
mire hacia el lado opuesto. 
 
 
Su magnitud o módulo se obtendrá en todos los casos como la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de sus 
componentes escalares. 
 
| �̅� | = √ (𝑎1)2 + (𝑎2)2 + (𝑎3)2 
 
 
En nuestro curso nos vamos a limitar a trabajar vectores de 2 y 3 dimensiones. 
 
 
Los vectores de más de tres dimensiones no tenemos una representación gráfica para ellos, pero todos los vectores 
cumplen las mismas propiedades y definiciones, adecuadas a la cantidad de componentes. 
 
 
Cuando conocemos las coordenadas de los puntos de inicio y fin de un vector, las componentes del vector se 
obtienen restando algebraicamente, los valores de destino menos los valores de origen. 
 
 
𝑃1(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1) 
 
𝑃2(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2) 
�̅� = ( 𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1 ) 
 
�̅� = ( 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) 
 
 
Otra forma de escribir las componentes de un vector es la siguiente: 
 
�̅� = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 
 
 
Esta notación se conoce como forma trinómica de un vector, y hablaremos de ella más adelante. 
 
 
Recordemos que los vectores son entidades libres. Los podemos colocar en cualquier parte y sus componentes no 
cambian. Cuando definimos un de los puntos del vector, ya sea al inicio o al final, el vector se define en su punto 
de acción. 
 
* Ejercicio: Determina el módulo de los siguientes vectores: 
 
�̅� = ( 4 , −3 , 0 ) �̅� = ( −4 , 2 , 3 ) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴( 0 , −3 , 5 ) 𝑦 𝐵( −4 , 1 , 4 ) 
 
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* Vector de Posición. 
 
 
Cuando el punto de inicio coincide con el origen de coordenadas 𝑃1( 0 , 0 , 0 ) y el punto final tiene coordenadas 
genéricas 𝑃2( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ), al obtener las componentes del vector que forman haciendo la resta destino menos origen, 
las componentes son �̅� = ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) 
 
 
Podemos percatarnos que las coordenadas del punto 
final coinciden en valores con las componentes del 
vector. Cuando esto ocurre, decimos que se trata de un 
vector de posición, porque tenemos un vector asociado 
a la posición de un punto único. 
 
 
�̅� = ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) 
 
 
Este tipo de vectores serán muy útiles al establecer 
ecuaciones vectoriales. 
 
 
 
 
 
* Operaciones con vectores. 
 
 
Como con cualquier otra herramienta matemática, al definir vectores se pueden establecer ciertas operaciones 
básicas inherentes a ellos. 
 
 
En este tema nos enfocaremos en la igualdad, la suma, la resta y la multiplicación. 
 
 
Esta última en cuatro modalidades. Cada una cumple con ciertas características que resultarán útiles en temas más 
avanzados. 
 
 
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* Igualdad de Vectores. 
 
Decimos que dos vectores son iguales cuando una a una, sus componentes son iguales. 
 
 
La igualdad de vectores nos ayudará a establecer la idea de ecuaciones vectoriales. 
 
 
Ejercicio: determina si los vectores 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ son iguales. 
 
𝐴( 3 , 4 , −1 ) 𝐵( 2 , 6 , 4 ) 𝐶( −2 , −6 , 1 ) 𝐷( −3 , −4 , 6 ) 
 
 
*Suma de Vectores. 
 
Método del paralelogramo. Este es un método gráfico para sumar dos vectores. Desplazamos paralelamente uno 
de ellos hasta coincidir ambos inicios. Después trazamos dos líneas paralelas a cada uno de ellos desde sus puntos 
finales. El punto donde coinciden estas paralelas, es el punto final del vector suma o vector resultante, que tiene 
por inicio el punto compartido al inicio de los vectores. 
 
 
 
 
Método del triángulo. Este es un método gráfico para sumar dos vectores. Desplazamos paralelamente uno de 
ellos hasta coincidir el final del primero con el inicio del segundo. El punto donde termina el segundo vector es 
el punto final del vector suma o vector resultante, que tiene por inicio el punto inicial del primer vector. 
 
 
 
 
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Método del polígono. Este es un método gráfico para sumar más de dos vectores. Tomamos un vector como base 
o inicio de la suma. Desplazamos paralelamente otro de los vectores hasta coincidir el final del primero con el 
inicio del segundo. Repetimos este paso con el resto de los vectores por sumar, de manera que se estará formando 
una poligonal. El punto donde termine el último vector es el punto final del vector suma o vector resultante, que 
tendrá por inicio el punto inicial del primer vector. 
 
 
 
 
 
Método analítico. Este procedimiento es el de uso más frecuente. Consiste en sumar algebraicamente componente 
a componente, conservando el lugar que ocupa en el vector resultante o vector suma. 
 
 
�̅� = ( 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) �̅� = ( 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) �̅� = �̅� + �̅� = ( 𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , 𝑎3 + 𝑏3 ) 
 
 
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* Propiedades de la suma de vectores. 
 
 
Sean los vectores �̅� , �̅� , 𝑐̅, vectores del espacio de tres dimensiones con componentes en los Reales. Para la 
suma de vectores se cumplen las siguientes propiedades: 
 
Cerradura: La suma de dos vectores de tres dimensiones, da 
como resultado un vector de tres dimensiones. 
�̅� + �̅� = 𝑐̅ 
Conmutativa: El orden de los vectores en la suma no altera el 
vector resultante. 
�̅� + �̅� = �̅� + �̅� 
Asociativa: Los vectores de una suma pueden agruparse de la 
manera que se prefiera, sin que ello afecte el resultado final 
del vector suma. 
�̅� + ( �̅� + 𝑐̅ ) = ( �̅� + �̅� ) + 𝑐̅ 
Elemento neutro: Es el vector que al sumarse con cualquier 
otro, no modifica al segundo vector. 
 
Se le conoce como vector nulo o vector cero 0̅ 
�̅� + 0̅ = �̅� 
Elemento inverso: Es el vector que sumado con su vector que 
le dio origen, da como resultado el vector nulo. 
 
El vector inverso tiene la misma magnitud y dirección del 
vector original pero sentido contrario. 
�̅� + ( −�̅� ) = 0̅ 
 
 
 
 
 
 
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* Resta de vectores. 
 
Método del triángulo. Es un procedimiento gráfico para restar dos vectores. Desplazamos paralelamente uno de 
los vectores hasta hacer coincidir ambos inicios. El vector que une los puntos finales será el vector resta o vector 
diferencia. 
 
 
 
 
En la resta es muy importante el orden en el cual se realiza, porque eso determina el sentido del vector resultante. 
Para identificarlo en el esquema, recurrimos a una regla ya mencionada anteriormente: destino menos origen. 
 
Observa a donde llega la flecha del vector diferencia. Ese es su destino, y el vector que se encuentre ahí será el 
minuendo en la resta. 
 
Por el contrario, el vector donde inicia el vector diferencia, es el origen en la operación, y será el sustraendo de la 
resta. 
 
 
Método analítico. Este procedimiento es el de uso más frecuente. Consiste en restar algebraicamente componente 
a componente, conservandoel lugar que ocupa en el vector resta o vector diferencia. 
 
 
�̅� = ( 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) �̅� = ( 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) �̅� = �̅� − �̅� = ( 𝑎1 − 𝑏1 , 𝑎2 − 𝑏2 , 𝑎3 − 𝑏3 ) 
 
 
La suma y la resta de vectores son operaciones íntimamente relacionadas. Dependen de cómo se establezcan los 
vectores en una figura. 
 
 
 
 
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*Producto de un vector por un escalar. 
 
 
Siendo 𝜆 (letra griega lambda) un escalar en los Reales, se define al producto 
 
 
𝜆�̅� = 𝜆( 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) = ( 𝜆𝑎1 , 𝜆𝑎2 , 𝜆𝑎3 ) 
 
 
Esta operación multiplica a todas las componentes del vector por un mismo escalar 𝜆 de forma simultánea, de 
manera que el vector resultante cambia de magnitud y en ocasiones de sentido, pero nunca modifica su dirección. 
 
 
 
 
 
* Propiedades del producto de un vector por un escalar. 
 
 
Sean los vectores �̅� , �̅�, vectores del espacio de tres dimensiones con componentes en los Reales y sea 𝜆 un 
escalar real. Para el producto de un vector por un escalar se cumplen las siguientes propiedades: 
 
 
𝜆 ( �̅� + �̅� ) = 𝜆�̅� + 𝜆�̅� ( 𝜆1 + 𝜆2 ) �̅� = 𝜆1�̅� + 𝜆2�̅� 
 
 
( 𝜆1𝜆2 ) �̅� = 𝜆1( 𝜆2�̅� ) | 𝜆�̅� | = | 𝜆 | | �̅� | 
 
 
0 �̅� = 0̅ 1 �̅� = �̅� (−1) �̅� = −�̅� 0̅ = −0̅ 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
22 
 
* Ejercicio: Determina las componentes del vector resultante �̅� = 3�̅� + 2�̅� − 4𝑐̅ + 5�̅� si sus componentes son 
 
�̅� = ( 0 , 4 , −1 ) �̅� = ( −1 , 3 , 2 ) 𝑐̅ = ( 4 , 2 , 4 ) �̅� = ( 3 , 1 , −2 ) 
 
 
* Ejercicio: Para el paralelogramo que se muestra, determina las coordenadas de todos sus vértices empleando 
álgebra vectorial. 
 
 
El punto D tiene por coordenadas 𝐷( −1 , 2 , 5 ) 
 
 
Los vectores son 
 
 
�̅� = ( 3 , −1 , 4 ) �̅� = ( −1 , 5 , 6 ) 
 
 
 
* Vector Unitario. 
 
Se dice que un vector es unitario cuando su magnitud es igual a 1. Para distinguirlos, se acostumbra escribir el 
nombre del vector con un subíndice indicando que es unitario. 
 
 
�̅�𝑢 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 | �̅�𝑢 | = 1 
 
 
La mayoría de las veces, los vectores no son unitarios. Sin embargo, nos convendrá en ocasiones que el tamaño 
de un vector sea 1, conservando su dirección. 
 
 
Ya sabemos que el producto de un escalar por un vector, cambia el tamaño conservando la dirección pero, ¿cuál 
es el escalar adecuado para que resulte el tamaño 1? 
 
 
Esta situación se resuelve aplicando las propiedades de la operación 
 
 
𝑆𝑖 �̅�𝑢 = 𝜆 �̅� 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 | �̅�𝑢 | = 𝜆 | �̅� | = 1 ⟹ 𝜆 =
1
| �̅� |
 
 
 
Que es el escalar con el cual un vector se vuelve unitario. 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
23 
 
* Ejercicio: Determina las componentes del vector �̅� de tal manera que su magnitud es igual a la del vector �̅�, 
pero el sentido del vector �̅� deberá ser contrario al vector resultante �̅� 
 
�̅� = ( 3 , 2 , −1 ) �̅� = ( 2 , −4 , 6 ) 𝑐̅ = ( 4 , −1 , −3 ) 
 
�̅� = ( 2 , 5 , 1 ) 𝑒̅ = ( −1 , 3 , 2 ) 
 
�̅� = 3�̅� − 5�̅� + 2𝑐 ̅ �̅� = �̅� + 𝑒̅ 
 
 
 
* Producto Escalar de dos vectores. 
 
 
Se define al producto escalar de dos vectores �̅� = ( 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) y �̅� = ( 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) al resultado de la siguiente 
operación 
 
�̅� ⋅ �̅� = ∑ 𝑎𝑖 ⋅ 𝑏𝑖
3
𝑖=1
= 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 
 
 
Como se puede ver, el resultado de este producto será un escalar, de ahí recibe su nombre. Debido a la notación 
también se le llama producto punto. Y puede conocerse por un tercer nombre: producto interno. 
 
 
* Propiedades del producto escalar de dos vectores. 
 
 
Sean los vectores �̅� , �̅� , 𝑐̅, vectores del espacio de tres dimensiones con componentes en los Reales y sea 𝜆 un 
escalar Real. Para el producto escalar se cumplen las siguientes propiedades: 
 
Conmutativa �̅� ⋅ �̅� = �̅� ⋅ �̅� 
Distributiva del producto sobre la suma �̅� ⋅ ( �̅� + 𝑐̅ ) = ( �̅� ⋅ �̅� ) + ( �̅� ⋅ 𝑐̅ ) 
Producto por un escalar ( 𝜆 �̅� ) ⋅ �̅� = 𝜆 ( �̅� ⋅ �̅� ) 
Producto por sí mismo �̅� ⋅ �̅� > 0 𝑐𝑜𝑛 �̅� ≠ 0̅ 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
24 
 
* Ejercicio: Sean los vectores �̅� = ( 3 , 4 − 5 ) , �̅� = ( −6 , 7 , 2 ) , 𝑐̅ = ( 5 , 0 , 2 ) , �̅� = ( −3 , −5 , 5 ). Realiza 
las siguientes multiplicaciones. 
 
�̅� ⋅ �̅� 𝑐̅ ⋅ �̅� �̅� ⋅ �̅� �̅� ⋅ 𝑐 ̅
 
 
* Ortogonalidad de vectores. 
 
 
Cuando el producto escalar de dos vectores es igual a cero, implica que los vectores son ortogonales. (Para fines 
de nuestro curso, la idea de Ortogonalidad será equivalente a la idea de Perpendicularidad) 
 
 
�̅� ⋅ �̅� = 0 ⟺ �̅� ⊥ �̅� 
 
 
 
* Ejercicio: Determina si las siguientes parejas de vectores son ortogonales entre sí. 
 
�̅� = ( −4 , 3 , 2 ) 
 
�̅� = ( 1 , 2 , 0 ) 
𝑐̅ = ( 3 , 5 , −7 ) 
 
�̅� = ( 4 , −1 , 1 ) 
𝑒̅ = ( 4 , −1 , 5 ) 
 
𝑓̅ = ( −2 , 8 , 3 ) 
 
 
* Componentes de un vector sobre otro vector. 
 
 
A partir de dos vectores cualesquiera �̅� y �̅�, vamos a definir la siguiente idea: 
 
 
Si el vector �̅� proyecta su sombra ortogonalmente 
sobre la dirección del vector �̅� , tendríamos un 
segmento de tamaño 𝜆 paralelo al vector �̅� 
 
Esta sombra se conoce como componente escalar del 
vector �̅� sobre el vector �̅� y se obtiene con la siguiente 
operación: 
 
𝐶𝑜𝑚𝑝 𝐸𝑠𝑐 �̅��̅� =
 �̅� ⋅ �̅� 
| �̅� |
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
25 
 
Si la sombra de la flecha mira hacia el mismo sentido que el vector �̅� entonces la componente 𝜆 será positiva. 
 
 
Si la sombra de la flecha mira hacia el sentido opuesto que el vector �̅� entonces la componente 𝜆 será negativa. 
 
 
Si los vectores �̅� 𝑦 �̅� son perpendiculares, el vector �̅� no proyecta sombra sobre el vector �̅� por lo tanto, el 
producto punto de ambos vectores es cero. 
 
 
Si a este segmento 𝜆 lo usamos como magnitud de un 
vector paralelo al vector �̅�, tendremos lo que se conoce 
como componente vectorial del vector �̅� sobre el 
vector �̅� 
 
 
Para obtenerlo, sólo se requiere multiplicar el tamaño 
de la sombra, por el vector unitario de �̅� 
 
 
𝐶𝑜𝑚𝑝 𝑉𝑒𝑐𝑡 �̅��̅� =
 �̅� ⋅ �̅� 
| �̅� |
�̅�𝑢 
 
 
 
* Angulo entre dos vectores. 
 
 
Aprovechando las figuras anteriores, podemos desarrollar una nueva idea. 
 
 
En el triángulo rectángulo que tenemos se cumple 
 
 
cos 𝜃 =
 𝜆 
| �̅� |
 
 
 
Pero sabemos que 
 
𝜆 =
 �̅� ⋅ �̅� 
| �̅� |
 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
26 
 
Sustituyendo en la primera expresión se tiene 
 
cos 𝜃 =
�̅� ⋅ �̅�
| �̅� | | �̅� |
 
 
 
Con lo cual llegamos a dos resultados, dependiendo del despeje que se realice 
 
 
Ángulo entre dos vectores 
 
 
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 [ 
�̅� ⋅ �̅�
| �̅� | | �̅� |
 ] 
Producto escalar de vectores 
 
 
�̅� ⋅ �̅� = | �̅� | | �̅� | cos 𝜃 
 
 
 
* Ejercicio: Para las siguientes parejas de vectores, determina las componentes escalar y vectorial del primero 
sobre el segundo, así como el ángulo entre ellos. Dibuja cada pareja en un plano cartesiano. 
 
 
�̅� = ( 3 , 2 ) 
 
�̅� = (−1 , 5 ) 
𝑐̅ = ( 3 , 4 ) 
 
�̅� = ( 4 , −1 ) 
𝑒̅ = ( 4 , −7 ) 
 
𝑓̅ = ( 0 , 3 ) 
 
 
 
* Ejercicio: Si el ángulo entre los vectores �̅� y �̅� es de 120° y sus módulos respectivamente son 6 y 3, determina 
el valor de los siguientes productos: 
 
�̅� ⋅ �̅� �̅� ⋅ �̅� �̅� ⋅ �̅� 
 
 
* Ejercicio: Sean los vectores �̅� y �̅� que tienen módulos de 15 y 5 respectivamente. Si el vector �̅� tiene el mismo 
sentido que el vector �̅�, y el vector �̅� tiene el mismo sentido que el vector 𝑐̅, determina: 
 
a) El ángulo entre los vectores �̅� y �̅� 
 
b) El módulo del vector suma �̅� + �̅� 
 
c) Las componentes escalares del vector suma �̅� + �̅� 
�̅� = ( 3 , 4 , 0 ) 
 
𝑐̅ = ( −8 , 0 , 6 ) 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
27 
 
* Vectores unitarios 𝒊 , 𝒋 , 𝒌 
 
 
Son tres vectores que siempre apuntan hacia el sentido 
positivo de los ejes cartesianos: 
 
 
𝑖 = ( 1 , 0 , 0 ) 
 
𝑗 = ( 0 , 1 , 0 ) 
 
𝑘 = ( 0 , 0 , 1 ) 
 
 
Como nunca cambian,son los únicos vectores que 
escribimos sin rayita de vector encima, y serán la base 
para el desarrollo algebraico de vectores y operaciones 
superiores. 
 
 
 
 
 
* Forma Trinómica de un Vector 
 
 
Cuando a un vector �̅� lo escribimos como la suma de los vectores unitarios 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 modificados en tamaño por un 
escalar 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 respectivamente, decimos que el vector está en su forma trinómica. 
 
 
�̅� = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 
 
 
La forma trinómica interpreta a un vector como una suma de tres vectores unitarios ortogonales entre sí, 
modificados convenientemente en tamaño y sentido. 
 
 
�̅� = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 = 𝑎1 ( 1 , 0 , 0 ) + 𝑎2 ( 0 , 1 , 0 ) + 𝑎3 ( 0 , 0 , 1 ) = ( 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
28 
 
* Ángulos directores de un vector. 
 
 
Para un vector �̅� cualquiera, se pueden medir los 
ángulos que forma con el sentido positivo de los ejes 
cartesianos. 
 
 
Se les conoce como ángulos directores del vector, y se 
designan con las letras 𝛼 , 𝛽 , 𝛾 cada uno 
respectivamente con los ejes cartesianos X, Y, Z. 
 
 
Juntos señalan la dirección y el sentido del vector, de 
ahí viene su nombre. 
 
 
Obtener su valor es bastante sencillo. Observa el 
triángulo rectángulo que forma el vector �̅� con su 
segunda componente 𝑎2 
 
 
Entonces se cumple la identidad trigonométrica 
 
 
cos 𝛽 =
𝑎2
| �̅� |
 
 
 
Basta con despejar el ángulo 𝛽 
 
 
𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1 [ 
𝑎2
| �̅� |
 ] 
 
 
 
Si procedemos de forma análoga con las otras dos componentes, tendremos las tres expresiones para los ángulos 
directores: 
 
 
𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1 [ 
𝑎1
| �̅� |
 ] 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1 [ 
𝑎2
| �̅� |
 ] 𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1 [ 
𝑎3
| �̅� |
 ] 
 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
29 
 
Si en las tres expresiones anteriores no despejamos al ángulo, tendremos los cosenos directores del vector: 
 
 
cos 𝛼 =
𝑎1
| �̅� |
 cos 𝛽 =
𝑎2
| �̅� |
 cos 𝛾 =
𝑎3
| �̅� |
 
 
 
Se puede apreciar que los cosenos directores corresponden con las componentes del vector unitario de �̅� 
 
 
�̅�𝑢 = ( 
𝑎1
| �̅� |
 ,
𝑎2
| �̅� |
 ,
𝑎3
| �̅� |
 ) = ( cos 𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾 ) 
 
 
Y como el módulo de un vector unitario siempre es 1, entonces tenemos la regla de oro para los cosenos directores: 
 
 
𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾 = 1 
 
 
Finalmente podemos concluir que si se conocen dos de los cosenos directores, el tercero se obliga (habrá dos 
posibles opciones por resolver una ecuación de segundo grado) 
 
 
* Ejercicio: Determina los ángulos y los cosenos directores para los siguientes vectores: 
 
 
�̅� = ( −4 , 3 , 2 ) �̅� = ( 0 , 5 , 0 ) 
 
 
* Ejercicio: Determina un vector �̅� de magnitud 12, que tenga el mismo sentido que el vector �̅�, si sabemos que 
para este último dos de sus cosenos directores son: 
 
 
cos 𝛼 =
1
2
 cos 𝛾 =
1
3
 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
30 
 
* Producto Vectorial de Vectores 
 
 
Se define al producto vectorial de dos vectores �̅� = ( 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) y �̅� = ( 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) al resultado de la siguiente 
operación 
 
�̅� × �̅� = ( 𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 ) 𝑖 + ( 𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 ) 𝑗 + ( 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 ) 𝑘 
 
 
Como se puede ver, el resultado de este producto será un vector, de ahí recibe su nombre. Debido a la notación 
también se le llama producto cruz. 
 
 
* Propiedades del producto vectorial de dos vectores. 
 
 
Sean los vectores �̅� , �̅� , 𝑐̅, vectores del espacio de tres dimensiones con componentes en los Reales y sea 𝜆 un 
escalar Real. Para el producto vectorial se cumplen las siguientes propiedades: 
 
Anti-conmutativa �̅� × �̅� = −( �̅� × �̅� ) 
Distributiva por la izquierda �̅� × ( �̅� + 𝑐̅ ) = ( �̅� × �̅� ) + ( �̅� × 𝑐̅ ) 
Distributiva por la derecha ( �̅� + �̅� ) × 𝑐̅ = ( �̅� × 𝑐̅ ) + ( �̅� × 𝑐̅ ) 
Multiplicación por un escalar 𝜆 ( �̅� × �̅� ) = ( 𝜆�̅� ) × �̅� 
Perpendicularidad con los 
vectores originales 
�̅� × �̅� ⊥ �̅� , �̅� 
Módulo del producto vectorial 
| �̅� × �̅� | = | �̅� | | �̅� | 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
Donde 𝜃 es el ángulo entre los vectores 
 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
31 
 
* Ejercicio: determina el producto cruz con cada pareja de vectores: 
 
�̅� = ( 2 , 1 , 4 ) 
 
�̅� = ( 3 , 2 , 5 ) 
𝑐̅ = (−1 , 2 , −3 ) 
 
�̅� = ( 0 , −4 , 5 ) 
𝑒̅ = (−2 , −3 , −1 ) 
 
𝑓̅ = (−1 , −3 , −2 ) 
 
 
 
* Ejercicio: Sean los vectores �̅� , �̅� , �̅�. Determina el vector �̅� que cumple con la siguiente ecuación vectorial 
 
4�̅� − 3�̅� + 2�̅� = �̅� 
 
Y determina el vector 𝑐̅ que es perpendicular simultáneamente a los vectores �̅� y �̅�, pero con magnitud √14 
 
�̅� = 3𝑖 − 2𝑗 + 5𝑘 �̅� = ( 2 , 1 , 0 ) �̅� = ( −2 , 5 , 4 ) 
 
 
 
* Ejercicio: Determina las componentes del vector �̅� que es perpendicular simultáneamente a los vectores �̅� , 𝑐̅ y 
que además se verifique �̅� ⋅ �̅� = 2 
 
�̅� = 2𝑖 + 4𝑘 𝑐̅ = 2𝑗 − 2𝑘 �̅� = 𝑖 + 𝑘 
 
 
 
* Ejercicio: Determina el ángulo entre los vectores �̅� y �̅� si sabemos que 
 
| �̅� × �̅� | = 8 �̅� ⋅ �̅� = 2 
 
 
 
 
* Paralelismo entre vectores. 
 
“Dos vectores son paralelos, si y sólo si, su producto cruz es igual al vector nulo” 
 
 
�̅� ∥ �̅� ⟺ �̅� × �̅� = 0̅ 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
32 
 
*Área de un paralelogramo. 
 
 
Si en un paralelogramo colocamos un vector �̅� en uno de sus lados, y a otro vector �̅� en un lado adyacente al 
primero, compartiendo el punto de inicio, tendremos el siguiente esquema: 
 
 
Área del paralelogramo = base x altura 
 
 
base = | �̅� | altura = | �̅� | 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
Entonces el área es 𝐴 = | �̅� | | �̅� | 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
𝐴 = | �̅� × �̅� | 
 
 
Cuando conocemos dos vectores que son aristas adyacentes de un paralelogramo, el área se obtiene con el módulo 
de su producto vectorial. 
 
 
Nota: Si se tratara del área de un triángulo, sólo habría que dividir entre dos el área del paralelogramo. 
 
 
 
* Ejercicio: Los vértices un triángulo son los puntos 𝐴( 3 , −2 , 6 ) , 𝐵( 4 , −1 , 6 ) , 𝐶( 1 , 4 , −2 ). Empleando 
álgebra vectorial, determina el área del triángulo. 
 
 
 
* Ejercicio: Determina el área de un paralelogramo cuyas diagonales son los vectores: 
 
 
�̅� = 3𝑖 + 𝑗 − 2𝑘 �̅� = 𝑖 − 3𝑗 + 6𝑘 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
33 
 
* Producto Mixto de Vectores. 
 
 
Es la combinación de multiplicar dos vectores en forma vectorial, y con el vector resultante, hacer el producto 
escalar con un tercer vector. 
 
�̅� ⋅ ( �̅� × 𝑐̅ ) 
 
 
El resultado es un escalar, que podrá ser positivo, negativo o cero. 
 
 
Al estar trabajando las diferentes combinaciones de estos tres vectores dentro del producto mixto, se puede 
comprobar que 
 
�̅� ⋅ ( �̅� × 𝑐̅ ) = ( �̅� × �̅� ) ⋅ 𝑐 ̅
 
 
Por esta razón, para indicar el producto mixto entre tres vectores, se escriben simplemente entre corchetes a los 
tres vectores. 
 
�̅� ⋅ ( �̅� × 𝑐̅ ) = [ �̅� �̅� 𝑐̅ ] 
 
 
El producto mixto tiene muchas aplicaciones matemáticas, aunque en nuestro curso sólo veremos una aplicación 
geométrica. 
 
 
* Volumen de un Paralelepípedo. 
 
 
Un paralelepípedo es un cuerpo regular formado por seis caras planas, las cuales se presentan paralelas en pares 
opuestos. En esta figura, dibujamos tres vectores �̅� , �̅� , 𝑐 ̅que coinciden en un mismo vértice, conocidos como 
lados adyacentes del paralelepípedo. 
 
 
Los vectores �̅� y �̅� forman parte del paralelogramo 
que sirve de base al paralelepípedo. 
 
 
El vector �̅� × �̅� es perpendicular a la base, y por lo 
tanto es paralelo a la altura H 
 
 
Los vectores �̅� × �̅� y 𝑐̅ forman un ángulo 𝜙 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
34 
 
El volumen de un paralelepípedo se obtiene multiplicando el área de la base por su altura. 
 
 
Como el área de la base es el área de un paralelogramo, lo obtendremos con 𝐴 = | �̅� × �̅� | 
 
 
La altura se puede obtener utilizando trigonometría entre el vector 𝑐̅ y la altura H: 𝐻= | 𝑐̅ | cos 𝜙 
 
 
En consecuencia, el volumen del paralelepípedo es 𝑉 = | �̅� × �̅� | | 𝑐̅ | cos 𝜙 
 
 
Pero como 𝜙 es el ángulo que forman los vectores �̅� × �̅� y 𝑐̅, llegamos a 
 
 
𝑉 = | �̅� × �̅� | | 𝑐̅ | cos 𝜙 = (�̅� × �̅�) ⋅ 𝑐 ̅
 
 
Finalmente concluimos que el volumen de un paralelepípedo es resultado del producto mixto de tres vectores 
adyacentes del mismo. 
 
𝑉 = [ �̅� �̅� 𝑐̅ ] 
 
 
Si el producto mixto es igual acero, entonces los vectores se encuentran sobre un mismo plano, y reciben el 
nombre de coplanares. 
 
 
Tenemos dos variantes del paralelepípedo: prisma triangular y tetraedro. 
 
 
𝑉 =
1
2
 [ �̅� �̅� 𝑐̅ ] 𝑉 =
1
6
 [ �̅� �̅� 𝑐̅ ] 
 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
35 
 
* Ejercicio: Determina el volumen de un paralelepípedo con aristas concurrentes en el punto 𝐴( 3 , 2 , −4 ) y que 
llegan a los puntos 𝐵( 1 , 0 , −4 ) , 𝐶( 6 , 4 , −3 ) , 𝐷( 6 , −8 , 4 ) respectivamente. 
 
 
 
* Ejercicio: Determina el volumen de un prisma triangular que tiene por aristas concurrentes a los vectores 
 
�̅� = 3𝑖 + 4𝑗 − 𝑘 �̅� = 2𝑗 + 5𝑘 𝑐̅ = 4𝑖 − 3𝑗 − 7𝑘 
 
 
 
* Ejercicio: Determina el volumen de un tetraedro con vértices 
 
𝐴( 2 , 0 , −3 ) 𝐵(−2 , 4 , 3 ) 𝐶( 5 , −1 , 4 ) 𝐷( 2 , −1 , 5 ) 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
36 
 
* Ecuación vectorial de una curva en el espacio de tres dimensiones. 
 
Cuando tenemos una curva trabajando en tres dimensiones, nuestro objetivo principal es poder encontrar un vector 
de posición para cada uno de los puntos que constituyen a la curva. 
 
Razonemos un poco este asunto relacionándolo con lo que hemos visto sobre vectores en este tema. 
 
 
�̅�0 = ( 3 , 4 , 5 ) 
 
Aquí tenemos el vector de posición de un solo 
punto 𝑃0 
 �̅� = ( 𝑓1(𝑡) , 𝑓2(𝑡) , 𝑓3(𝑡) ) 
 
Aquí estamos estableciendo una familia de vectores de 
posición �̅� que dependen del valor del parámetro 𝑡 , 
para poder establecer uno solo de ellos. 
 
Todos los vectores de posición de la familia, describen 
la trayectoria de la curva en toda su extensión. 
 
 
 
 
 
Al vector de posición genérico que describe una curva, se le conoce como Ecuación vectorial de la Curva 
 
 
�̅� = 𝑓1(𝑡) 𝑖 + 𝑓2(𝑡) 𝑗 + 𝑓3(𝑡) 𝑘 
 
 
El conjunto de parámetros válido para que funcionen en común las tres ecuaciones se llama intervalo paramétrico. 
 
 
𝐼. 𝑃. = 𝑑1 ∩ 𝑑2 ∩ 𝑑3 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑖 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 
 
 
La idea por sí misma es bastante simple, pero su desarrollo matemático es otro asunto. 
 
Cada una de las ecuaciones será tan elaborada como lo requiera la curva para ser descrita. 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
37 
 
Sin embargo, el presente curso se enfoca en las bases de estas ideas, por lo tanto, sólo analizaremos curvas 
contenidas en un plano paralelo a alguno de los planos cartesianos. 
 
 
Con esta restricción, la ecuación vectorial de la curva 
tendrá una componente constante: 
 
 
�̅� = 𝑓1(𝑡) 𝑖 + 𝑀 𝑗 + 𝑓3(𝑡) 𝑘 
 
 
Y el intervalo paramétrico estará determinado por 
 
 
𝐼. 𝑃. = 𝑑1 ∩ 𝑑3 
 
 
Si escribimos las componentes por separado, 
tendremos las ecuaciones paramétricas de la curva: 
 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 𝑓1(𝑡)
𝑦 = 𝑀 
𝑧 = 𝑓3(𝑡)
 
 
 
 
Pero lo importante es que, en forma paramétrica o en forma vectorial, las tres ecuaciones siempre están trabajando 
juntas, determinando un punto de la curva para cada valor del parámetro que se elija. 
 
 
Si eliminamos el parámetro de estas tres ecuaciones, llegaremos a dos ecuaciones cartesianas, que juntas definen 
a la curva en el espacio de tres dimensiones. 
 
 
𝐶 ∶ { 
𝑧 = 𝐹(𝑥)
𝑦 = 𝑀 
 
 
 
 
¿Cómo sabemos qué curva estamos describiendo? Empecemos con el análisis de una curva en tres dimensiones, 
expresada en su ecuación vectorial. 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
38 
 
* Identificación de curvas en forma vectorial. 
 
 
Se requiere identificar a la curva �̅� = ( 2𝑡 , 4 − 𝑡 , 3 ) 
 
 
En forma paramétrica luce así 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 2𝑡 
𝑦 = 4 − 𝑡
𝑧 = 3 
 
 
Como en todas las ecuaciones el parámetro es lineal, no tiene ningún tipo de restricción, permitiendo tomar 
cualquier valor en los reales. De ahí 
 
𝐼. 𝑃. = ℝ 
 
 
Si despejamos el parámetro en la primera y lo sustituimos en la segunda 
 
𝑡 =
𝑥
2
 ⟹ 𝑦 = 4 −
𝑥
2
 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑧 = 3 
 
Entonces, la curva en forma cartesiana luce así 
 
𝐶 ∶ { 𝑦 = −
1
2
𝑥 + 4
𝑧 = 3 
 𝑥 ∈ ℝ ; 𝑦 ∈ ℝ ; 𝑧 = 3 
 
 
Podemos darnos cuenta que se trata de una recta contenida en el plano 𝑧 = 3, con pendiente 𝑚 = − 1 2⁄ que pasa 
por el punto 𝑃(0 , 4 , 3) 
 
 
Vista tridimensional Vista superior 
 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
39 
 
Revisemos un ejemplo más elaborado 
 
�̅� = (6 − 𝑡) 𝑖 − 2 𝑗 + √ 6 − 𝑡 𝑘 
 
Sus ecuaciones paramétricas son 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 6 − 𝑡 
𝑦 = −2 
𝑧 = √ 6 − 𝑡 
 
 
 
El parámetro tiene una restricción en la tercera ecuación: 
 
 
6 − 𝑡 ≥ 0 ⟹ 𝑡 ≤ 6 
 
 
Por lo tanto, el intervalo paramétrico aplicable a las tres ecuaciones, se restringe también 
 
 
𝐼. 𝑃. ∈ (−∞ , 6 ] 
 
 
Con este conjunto de trabajo se definen los intervalos para cada una de las variables, haciendo caso al resultado 
en cada una de las ecuaciones: 
 
 
𝑥 ∈ [ 0 , ∞ ) 𝑦 = −2 𝑧 ∈ ℝ 
 
 
¿Por qué el conjunto de 𝑧 se encuentra en todos los reales? Porque cuando una raíz cuadrada es factible, puede 
ser positiva, negativa o cero, abarcando en consecuencia a todos los números reales. 
 
 
Aún no hemos identificado a la curva pero ya sabemos los intervalos en los cuales se mueven sus variables. 
 
 
Para llevarla a su forma cartesiana podemos sustituir la primera en la tercera 
 
 
𝑥 = 6 − 𝑡 ⟹ 𝑧 = √ 6 − 𝑡 = √𝑥 ⟹ 𝑧2 = 𝑥 
 
La curva tiene por ecuaciones cartesianas 
𝐶 ∶ { 
𝑧2 = 𝑥 
𝑦 = −2
 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
40 
 
Se trata de una parábola contenida en el plano 𝑦 = −2 
por lo tanto es paralela al plano 𝑋𝑍 
 
 
𝐶 ∶ { 
𝑧2 = 𝑥 
𝑦 = −2
 
 
 
Es cóncava hacia las 𝑋+ con vértice 𝑉( 0 , −2 , 0 ) 
con ecuación vectorial 
 
 
𝐶 ∶ �̅� = (6 − 𝑡) 𝑖 − 2 𝑗 + √ 6 − 𝑡 𝑘 
 
 
 
Una situación importante de las ecuaciones vectoriales, es que no son únicas. Se pueden establecer muchas 
posibles combinaciones de ecuaciones que corresponden al parámetro seleccionado. 
 
 
Una de las más utilizadas hablando de las parábolas, es considerar como parámetro a la variable cartesiana 
cuadrática. En nuestro ejemplo, el parámetro será la variable 𝑧. Podemos elegir ese nombre o cualquier otro. 
 
 
De esta manera, para la parábola de ecuaciones cartesianas 
 
 
𝐶 ∶ { 
𝑧2 = 𝑥 
𝑦 = −2
 
 
 
Podemos escribir las siguientes ecuaciones paramétricas y ecuación vectorial 
 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 𝑧2 
𝑦 = −2
𝑧 = 𝑧 
 𝐶 ∶ �̅� = ( 𝑧2 , −2 , 𝑧 ) 
 
 
Esta característica de elegir al parámetro, será muy útil en cálculo avanzado. 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
41 
 
Revisemos un tercer ejemplo 
�̅� = ( 4 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 2 , 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ) 
 
 
Sus ecuaciones paramétricas son 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 4 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑦 = 2 
𝑧 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
 
 
Para las funciones trigonométricas seno y coseno, el parámetro 𝜃 no tiene ninguna restricción, por lo tanto el 
intervalo paramétrico se encuentra en todos los reales 
 
 
𝐼. 𝑃. = ℝ 
 
 
Sin embargo, ambas funciones trigonométricas, están restringidas al intervalo [ −1 , 1 ] y por lo tanto, las 
variables 𝑥 , 𝑧 se encuentran acotadas por ese intervalo multiplicado por el factor que acompaña a cada función 
trigonométrica 
 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∈ [ −1 , 1 ] → 4 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∈ [ −4 , 4 ] ⟹ 𝑥 ∈ [ −4 , 4 ] 
 
 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∈ [ −1 , 1 ] → 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∈ [ −4 , 4 ] ⟹ 𝑧 ∈ [ −4 , 4 ] 
 
 
La ecuación 𝑦 = 2 indica que la curvaestá contenida en un plano paralelo al plano 𝑋𝑍 
 
 
Ya tenemos los intervalos de trabajo para sus tres variables pero, ¿de qué curva se trata? 
 
 
Cuando hay funciones trigonométricas, el procedimiento más simple para eliminar el parámetro es usar 
identidades trigonométricas. Por lo tanto, vamos a despejar a las dos funciones de nuestra curva: 
 
 
cos 𝜃 =
𝑥
4
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑧
4
 
 
 
Y lo vamos a llevar a la identidad pitagórica básica 
 
 
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 ⟹ ( 
𝑧
4
 )
2
+ ( 
𝑥
4
 )
2
= 1 ⟹ 𝑥2 + 𝑧2 = 16 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
42 
 
Entonces, las ecuaciones cartesianas de la curva son 
 
 
{ 
𝑥2 + 𝑧2 = 16
𝑦 = 2
 
 
 
Con lo cual podemos ver que se trata de una circunferencia contenida en el plano 𝑦 = 2, con centro en el punto 
𝐶( 0 , 2 , 0 ) y tiene radio 𝑟 = 4 
 
 
 
 
 
 
Ecuación vectorial 
 
�̅� = ( 4 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 2 , 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ) 
Ecuaciones paramétricas 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 4 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑦 = 2 
𝑧 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
Ecuaciones cartesianas 
 
{ 
𝑥2 + 𝑧2 = 16
𝑦 = 2
 
 
 
 
En todos los ejemplos anteriores hemos visto como el intervalo paramétrico, aplicado sobre las ecuaciones 
paramétricas o la ecuación vectorial, nos indica cómo se comporta la curva y cuál es su forma. 
 
 
Pero también podemos considerar sólo un sub-intervalo del intervalo paramétrico, y con ello tendremos sólo una 
sección de la curva, situación que será de mucha utilidad en matemáticas más avanzadas. 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
43 
 
En la circunferencia que estamos trabajando, podemos restringir los valores del parámetro 𝜃 , con lo cual 
tendremos sólo una sección de la curva. Por ejemplo, para trabajar con la mitad superior de la circunferencia: 
 
 
𝜃 ∈ [ 0 , 𝜋 ] 
 
 
 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∈ [ −1 , 1 ] 
 
 
 
4 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∈ [ −4 , 4 ] 
 
 
 
𝑥 ∈ [ −4 , 4 ] 
𝜃 ∈ [ 0 , 𝜋 ] 
 
 
 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∈ [ 0 , 1 ] 
 
 
 
4 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∈ [ 0 , 4 ] 
 
 
 
𝑧 ∈ [ 0 , 4 ] 
 
 
 
Si nos interesa la mitad inferior, cambiamos el sub-intervalo del parámetro 𝜃 
 
 
𝜃 ∈ [ 𝜋 , 2𝜋 ] 
 
 
 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∈ [ −1 , 1 ] 
 
 
 
4 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∈ [ −4 , 4 ] 
 
 
 
𝑥 ∈ [ −4 , 4 ] 
𝜃 ∈ [ 𝜋 , 2𝜋 ] 
 
 
 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∈ [−1 , 0 ] 
 
 
 
4 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∈ [−4 , 0 ] 
 
 
 
𝑧 ∈ [−4 , 0 ] 
 
 
 
 
Por esta razón, en muchas ocasiones será más conveniente trabajar con la ecuación vectorial o las ecuaciones 
paramétricas, en vez de hacerlo con las ecuaciones en forma cartesiana. 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
44 
 
* Elaboración de la ecuación vectorial de una curva. 
 
 
Recordemos que la elección del parámetro es completamente libre y arbitraria, razón por la cual, existen un 
infinito número de ecuaciones paramétricas y ecuación vectorial para una misma curva. 
 
 
Sin embargo, ya vimos en el tema de cónicas en dos dimensiones que algunas combinaciones son muy prácticas 
para la recta y las curvas cónicas. 
 
 
Recta. El parámetro es lineal 
 
 
�̅� = ( 𝑥0 + ∆𝑥 𝑡 , 𝑦0 + ∆𝑦 𝑡 ) 
 
 
{ 
𝑥 = 𝑥0 + ∆𝑥 𝑡
𝑦 = 𝑦0 + ∆𝑦 𝑡
 
 
 
𝑦 =
 ∆𝑦 
∆𝑥
𝑥 + 𝑏 
 
 
 
 
Circunferencia 
 
El parámetro con funciones 
trigonométricas pitagóricas 
 
 
�̅� = ( 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + ℎ , 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑘 ) 
 
 
{ 
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + ℎ
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑘
 
 
 
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 
 
 
Las funciones 𝑐𝑜𝑠 𝑡 y 𝑠𝑒𝑛 𝑡 se pueden intercambiar entre las distintas variables. La curva se empieza a describir 
desde la variable que acompaña al 𝑐𝑜𝑠 𝑡 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
45 
 
Elipse 
 
El parámetro con funciones 
trigonométricas pitagóricas 
 
 
�̅� = ( 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + ℎ , 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑘 ) 
 
 
{ 
𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + ℎ
𝑦 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑘
 
 
 
 ( 𝑥 − ℎ )2 
𝑎2
+
 ( 𝑦 − 𝑘 )2 
𝑏2
= 1 
 
 
Las funciones 𝑐𝑜𝑠 𝑡 y 𝑠𝑒𝑛 𝑡 se pueden intercambiar entre las distintas variables. La curva se empieza a describir 
desde la variable que acompaña al 𝑐𝑜𝑠 𝑡. Los radios 𝑎 , 𝑏 pueden ser del tamaño que se requiera. 
 
 
Hipérbola 
 
El parámetro con funciones 
trigonométricas pitagóricas 
 
 
�̅� = ( 𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝑡 + ℎ , 𝑏 𝑡𝑎𝑛 𝑡 + 𝑘 ) 
 
 
{ 
𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝑡 + ℎ
𝑦 = 𝑏 𝑡𝑎𝑛 𝑡 + 𝑘
 
 
 
 ( 𝑥 − ℎ )2 
𝑎2
−
 ( 𝑦 − 𝑘 )2 
𝑏2
= 1 
 
 
La hipérbola siempre abre hacia la variable con la función 𝑠𝑒𝑐 𝑡. Las distancias 𝑎 , 𝑏 pueden ser del tamaño que 
se requiera. 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
46 
 
Parábola 
 
Un parámetro cuadrático y otro lineal 
 
 
�̅� = ( ℎ + 𝑎 𝑡2 , 𝑘 + 𝑏 𝑡 ) 
 
 
{ 
𝑥 = ℎ + 𝑎 𝑡2
𝑦 = 𝑘 + 𝑏 𝑡 
 
 
 
(𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝 (𝑥 − ℎ) 
 
 
4𝑝 =
 𝑏2 
𝑎
 
 
 
La parábola abre hacia la variable con el parámetro cuadrático, con el sentido del signo que le acompañe. 
 
 
Con estas bases, y tomando en cuenta que sólo trabajaremos con curvas contenidas en planos paralelos a los 
planos coordenados, es muy simple reconocer curvas en tres dimensiones. 
 
 
�̅� = ( 6𝑡 , −2 , 3𝑡2 ) 
 
 
Se trata de una parábola contenida en el plano 𝑦 = −2 
con vértice 𝑉( 0 , −2 , 0 ) y cóncava hacia 𝑍+ 
 
 
Los intervalos de variación para cada variable son: 
 
 
𝐷𝑥 = ℝ ; 𝐷𝑦 = −2 ; 𝐷𝑧 = [ 0 , ∞ ) 
 
 
Sus ecuaciones cartesianas son 
 
{ 
𝑥2 = 12𝑧
 𝑦 = −2
 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
47 
 
Otros ejemplos son las siguientes curvas 
 
 
 
�̅� = ( 6 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 , −4 ) 
 
 
Se trata de una elipse contenida en el plano 𝑧 = −4 
con centro 𝐶( 0 , 0 , −4 ), radio hacia 𝑋 de 6 unidades, 
radio hacia 𝑌 de 3 unidades. 
 
 
Los intervalos de variación para cada variable son: 
 
 
𝐷𝑥 = [ −6 , 6 ] ; 𝐷𝑦 = [ −3 , 3 ] ; 𝐷𝑧 = −4 
 
 
 
Sus ecuaciones cartesianas son 
 
{ 
 𝑥2 
36
+
 𝑦2 
9
= 1
 𝑧 = −4
 
 
 
 
 
�̅� = ( 0 , 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 , 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 ) 
 
 
Se trata de una hipérbola contenida en el plano 𝑥 = 0 
con centro 𝐶( 0 , 0 , 0 ) , cóncava hacia las 𝑌 con 
distancia a los vértices de 2 unidades. 
 
 
Los intervalos de variación para cada variable son: 
 
 
𝐷𝑥 = 0 ; 𝐷𝑦 = ( −∞ , −2 ] ∪ [ 2 , ∞ ) ; 𝐷𝑧 = ℝ 
 
 
Sus ecuaciones cartesianas son 
 
{ 
 𝑦2 
4
−
 𝑧2 
9
= 1
 𝑥 = 0
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VECTORIAL 
48 
 
* Ejercicio: Identifica y dibuja en tres dimensiones cada una de las ecuaciones vectoriales. En cada una, indica 
los intervalos de variación para 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 así como sus correspondientes ecuaciones cartesianas. 
 
 
 
�̅� = ( 6𝑡 − 3, −2 , 3𝑡2 − 5 ) �̅� = ( 6 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 2 , 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 1 , −4 ) 
 
 
 
�̅� = ( 0 , 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 4 , 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 − 1 ) �̅� = ( 4 , 5 − 𝑐𝑜𝑡2𝜃 , 4 + cot 𝜃 ) 
 
 
 
�̅� = ( −2 + 4𝑡 , 3 , 4 + 𝑡2 ) �̅� = ( 3 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡 , −2 + cos 𝑡 , −3 ) 
 
 
 
�̅� = ( −4 , 4 − 3 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 3 + 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ) �̅� = ( 2 − 3 sec 𝜃 , 4 , 2 sec 𝜃 − 6 )