NotasTema1_0 - Axel

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Tema 1: Aproximación numérica y errores
M. I. Luis Ángel Santamaŕıa Padilla
Facultad de Ingenieŕıa, UNAM
1 Introdución a los métodos numéricos
2 Conceptos básicos
3 Errores y medidas de error
4 Condicionamiento del problema, estabilidad y convergencia del método
5 Aproximación de fuciones por medio de polinomios
Introdución a los métodos numéricos
Objetivo tema 1
El estudiante describirá los diferentes tipos de errores que se presentan y las limitaciones de exactitud
cuando se utiliza equipo de cómputo. Aplicará el concepto de polinomios de Taylor para aproximar
funciones y medirá el error de aproximación.
Introdución a los métodos numéricos
Rama de las matemáticas y ciencias de la
computación. Crea, analiza e implementa
algoritmos para resolver problemas
matemáticos numéricamente
Estos métodos proveen técnicas sistemáticas
para resolver problemas matemáticos
numéricamente
Herramienta poderosa para resolver problemas.
Permite manejar
Sistemas grandes de ecuaciones
No linealidades
Geometŕıas complicadas
Algunos problemas en que se aplican
Ráıces de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales
Optimización
Ajuste de curvas (regresiones, interpolaciones)
Derivadas e integrales
Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Conceptos básicos
Aproximación numérica y error
Aproximación numérica
Es el resultado obtenido a partir de un
método numérico
Error
Diferencia entre dos valores, uno
considerado ideal o nominal y algún otro
medido, calculado u observado.
Exactitud
Que tan cercano es un valor medido o
calculado a el valor real
Precisión
Que tan cercanos son los valores medidos
o calculados entre śı
Exactitud
P
re
c
is
ió
n
Errores y medidas de error
Errores
Errores de medición
Instrumentos de medición
Procesamiento de datos
Error por redondeo. Aproximación de un
valor numérico con un valor con menos
digitos, considerando una cantidad de
cifras significativas
27.1345→ 27.13
27.8793→ 27.88
27.354→ 27.35
Error por truncamiento. Aparece como
resultado de aproximar un conjunto
infinito de valores con un conjunto finito
(series)
Medidas de error
Sea xT el valor real y xc la aproximación
calculada o medida
Error absoluto
Ea = |xT − xc| (1)
Error relativo
Er =
∣∣∣∣xT − xcxT
∣∣∣∣ (2)
Porcentaje de error relativo
Ep = Er × 100% (3)
Condicionamiento del problema, estabilidad y convergencia del método
Nociones básicas
Condicionamiento del problema
Buen condicionamiento implica que cambios pequeños en la entrada
produce cambios pequeños en la salida
Mal condicionamiento implica que cambios pequeños en la entrada
produce cambios grandes en la salida
Estabilidad de un algoritmo
Un algoritmo estable posee errores de redondeamiento acotados
Es estable si con pequeos cambios en la entrada hay cambios pequeños en
la salida, en caso contrario es inestable
El algoritmo es estable si está bien condicionado e inestable si está mal
condicionado.
Convergencia
El método llega a un valor dado con una velocidad determinada
Aproximación de fuciones por medio de polinomios
Teorema de Taylor
Si la función f y sus primeras n+ 1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene xi y xi+1,
entonces el valor de la función en xi+1 está dado por
f(xi+1) = f(xi) + f
′(xi)(xi+1 − xi) +
f ′′(xi)
2!
(xi+1 − xi)2 +
f ′′′(xi)
3!
(xi+1 − xi)3 + . . .
+
f (n)(xi)
n!
(xi+1 − xi)n +Rn (4)
Rn =
∫ ∞
0
(x− t)n
n!
f (n+1)(t)dt
Es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un tamaño de paso h = xi+1 − xi
f(xi+1) = f(xi) + f
′(xi)h+
f ′′(xi)
2!
h2 +
f ′′′(xi)
3!
h3 + . . .+
f (n)(xi)
n!
hn +Rn (5)
Aproximación de fuciones por medio de polinomios
Aproximación de fuciones por medio de polinomios
Aproximación de orden cero.
f(xi+1) ' f(xi)
Para una función constante se tiene
una aproximación perfecta.
Aproximación de primer orden
f(xi+1) ' f(xi) + f ′(xi)h
Posee la forma de una ĺınea recta y
puede predecir el incremento o
decremento de la función entre xi y
xi+1
Aproximación de segundo orden
f(xi+1) 'f(xi) + f ′(xi)h+
f ′′(xi)
2!
h2
Captura un poco de la curvatura de
la función
Orden cero
Primer orden
Segundo orden
Real
Aproximación de fuciones por medio de polinomios
Ejemplo 1
Utilizar aproximaciones de la serie de Taylor desde
orden cero a cuatro para aproximar la función
f(x) = −0.1x4 − 0.15x3 − 0.5x2 − 0.25x+ 1.2
donde xi = 0 con h = 1. Esto es, se debe predecir
el valor de la función en xi+1 = 1
Solución
Se conoce la función, podemos calcular
f(0) = 1.2, f(1) = 0.2 = f(xi+1)T
Aproximación de orden cero
f(xi+1) = f(xi) = 1.2
f(xi+1) = f(1) ' 1.2
Error absoluto
Ea = |f(xi+1)T − f(xi+1)|
Ea = |0.2− 1.2| = 1
Aproximación de primer orden
Se requiere f ′(xi)
f ′(x) = −0.4x3 − 0.45x2 − 1.0x− 0.25
f ′(xi) = f
′(0) = −0.25
Se sustituyen los términos para realizar la
aproximación.
f(xi+1) = f(xi) + f
′(xi)h = 1.2− 0.25h
f(xi+1) = f(1) ' 1.2− 0.25(1)
f(1) = 0.95
Error absoluto
Ea = |f(xi+1)T − f(xi+1)|
Ea = |0.2− 0.95| = 0.75
Aproximación de fuciones por medio de polinomios
Ejemplo 1 (continuación)
Aproximación de segundo orden
Se requiere f ′′(xi)
f ′′(x) = −1.2x2 − 0.9x− 1.0
f ′′(xi) = f
′(0) = −1.0
Se sustituyen los términos para realizar la
aproximación.
f(xi+1) = f(xi) + f
′(xi)h+
f ′′(xi)
2!
h2
= 1.2− 0.25h− 0.5h2
f(xi+1) = f(1) ' 1.2− 0.25(1)− 0.5(1)2
f(1) = 0.45
Error absoluto
Ea = |f(xi+1)T − f(xi+1)|
Ea = |0.2− 0.45| = 0.25
Aproximación de tercer orden
Se requiere f ′′′(xi)
f ′′′(x) = −2.4x− 0.9
f ′′′(xi) = f
′(0) = −0.9
Se sustituyen los términos para realizar la
aproximación.
f(xi+1) = f(xi) + f
′(xi)h+
f ′′(xi)
2!
h2 +
f ′′′(xi)
3!
h3
= 1.2− 0.25h− 0.5h2 − 0.15h3
f(xi+1) = f(1) ' 1.2− 0.25(1)− 0.5(1)2 − 0.15(1)3
f(1) = 0.3
Error absoluto
Ea = |f(xi+1)T − f(xi+1)|
Ea = |0.2− 0.3| = 0.1
Aproximación de fuciones por medio de polinomios
Ejemplo 1 (continuación)
Aproximación de cuarto orden
Se requiere f ′′′′(xi)
f ′′′′(x) = −2.4
f ′′′′(xi) = f
′(0) = −2.4
Se sustituyen los términos para realizar la aproximación.
f(xi+1) = f(xi) + f
′(xi)h+
f ′′(xi)
2!
h2 +
f ′′′(xi)
3!
h3 +
f ′′′′(xi)
4!
h4
= 1.2− 0.25h− 0.5h2 − 0.15h3 − 0.1h4
f(xi+1) = f(1) ' 1.2− 0.25(1)− 0.5(1)2 − 0.15(1)3 − 0.1(1)4
f(1) = 0.2
Error absoluto
Ea = |f(xi+1)T − f(xi+1)|
Ea = |0.2− 0.2| = 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
De este ejemplo:
La expansión en series de Taylor de
orden n será exacta para un polinomio
de orden n
Para otras funciones diferenciables y
continuas (senoidales, exponenciales),
un número finito de términos no
brindará un estimado exacto
Aproximación de fuciones por medio de polinomios
Ejemplo 2
Utilizar la serie de Taylor para aproximar
f(x) = cos(x)
en xi+1 =
π
3 , partiendo del valor xi =
π
4
⇒ h = π3 −
π
4 =
π
12
Solución:
Sabemos que f(π3 ) = cos(
π
3 ) = 0.5 = f(xi+1)T
Aproximación de orden cero
f(xi+1) = f(xi)
f(xi+1) = f(
π
4
) ' 0.7071
Error absoluto
Ep =
∣∣∣∣f(xi+1)T − f(xi+1)f(xi+1)T
∣∣∣∣× 100
Ep =
∣∣∣∣0.5− 0.70710.5
∣∣∣∣× 100 = 41.4%
Aproximación de primer orden
f ′(x) = − sin(x)
Se sustituyen los términos para
realizar la aproximación.
f(xi+1) = f(xi) + f
′(xi)h
f(xi+1) = cos(
π
4
)− sin(π
4
)(
π
12
) ' 0.5220
Error absoluto
Ep =
∣∣∣∣f(xi+1)T − f(xi+1)f(xi+1)T
∣∣∣∣× 100
Ep =
∣∣∣∣0.5− 0.52200.5
∣∣∣∣× 100 = 4.4%
Aproximación de fuciones por medio de polinomios
Ejemplo 2 cont...
Aproximación de segundo orden
f ′′(x) = − cos(x)
Se sustituyen los términos para realizar la
aproximación.
f(xi+1) = f(xi) + f
′(xi)h+
f ′′(xi)
2!
h2
f(xi+1) = cos(
π
4
)− sin(π
4
)(
π
12
)−
cos(π4 )
2
(
π
12
)2
' 0.4978
Error absoluto
Ep =
∣∣∣∣f(xi+1)T − f(xi+1)f(xi+1)T
∣∣∣∣× 100
Ep =
∣∣∣∣0.5− 0.49780.5
∣∣∣∣× 100 = 0.44%
0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
	Introdución a los métodos numéricos
	Conceptos básicos
	Errores y medidas de error
	Condicionamiento delproblema, estabilidad y convergencia del método
	Aproximación de fuciones por medio de polinomios