Estrcuturas algebraicas - Axel Sánchez Nazario

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Operación binaria 
Definición: una operación binaria * definida en un conjunto S es una función de SxS en S. 
La imagen del par ordenado (a,b) bajo la operación a*b se representa como a*b 
*: SXS  S 
Ejemplo 
1) S=Q 
*=+ 
+=QxQ  Q 
 
¿Cuál es la imagen del par ordenado 
 
 
 
 
 
 
2) S=Z 
*=+ 
+=ZxZ  Z 
3) S=Z 
*=- 
+=ZxZ  Z 
4) S=N 
*=- 
+=NxN  N 
5) S=P 
*=+ 
+=PxP  P 
 
 
Cerradura 
Definición: Sea * una operación binaria definida en un conjunto S, y sea T un subconjunto 
de S. Se dice que T es cerrado respecto a la operación * si 
Elemento idéntico 
Definición: Sea * una operación binaria definida en un conjunto S 
i) Un elemento es un elemento idéntico izquierdo para * si 
 
ii) Un elemento es un elemento idéntico derecho para * si 
 
iii) Un elemento es un elemento idéntico para * si es elemento idéntico 
izquierdo y derecho 
 
Elemento inverso 
Definición: Sea * una operación binaria definida en un conjunto S 
i) Sea es un elemento idéntico izquierdo para * . Un elemento es 
un elemento inverso izquierdo del elemento si: 
ii) Sea es un elemento idéntico derecho para * . Un elemento es un 
elemento inverso derecho del elemento si: 
iii) Sea es un elemento idéntico para * . Un elemento es un 
elemento inverso del elemento si: y 
 
Grupos 
Definición: Sea G un conjunto no vacío y sea * una operación binaria definida en G. El 
sistema (G,*) tiene estructura de grupo si 
i) La operación es cerrada en G 
ii) 
iii) 
iv) 
Subgrupo 
Definición: Sea (G,*) un grupo y sea , se dice que S es un grupo de G para la 
operación * si (S,*) es un grupo 
Teorema.- Sea (G,*) un grupo y sea , S es un subgrupo de G para la operación * si y 
solo si 
i) 
ii) 
Grupo abeliano 
Definición: Un grupo (G,*) se dice que es abeliano si 
 
 
Anillos 
 (G,*)  (G,*, #)  (R,+, ) 
Definición: Sea A un conjunto no vacío y sean *, # dos operaciones binarias definidas en A. 
El sistema (A, *, #) tiene estructura de anillo si 
i) 
ii) 
iii) 
iv) 
v) 
vi) 
vii) 
viii) 
Dominio Entero 
Definición: Sea (A, *, #) un anillo conmutativo con unidad de por lo menos dos elementos, 
donde si se dice que (A, *, #) es un dominio entero