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ALGEBRA_14_FUNCIONES POLINOMIALES - Gabriel Solís Flores

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EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor 
Magdalena; Los Olivos; Ingeniería; Surco, Carabayllo Página 1 
-3
-2
0 2
x
y
-192
ÁLGEBRA 
SEMANA 14: FUNCIONES POLINOMIALES, 
FUNCIONES POLINOMIALES-GRÁFICAS 
01. Indicar el valor de verdad de las siguientes 
afirmaciones. 
I. La gráfica de toda función polinomial corta al 
eje “y”. 
II. La gráfica de cualquier función polinomial de 
grado mayor que uno es una curva suave. 
III. Ninguna función polinomial es acotada. 
A) VVV B) VVF C) VFV 
D) FVV E) FFF 
 
02. Determine la figura que representa mejor la 
gráfica de la función polinomial. 
( ) 3 2P x x 9x 23x 15= − + − 
A) 
y
0
x
 B) 
y
0
x
 
C) 
y
0
x
 D) 
y
0
x
 
E) 
y
x
 
 
03. Determine la función polinomial f(x) de 
menor grado; cuya gráfica se muestra 
 
A) f(x) = x(x – 2)4 (x – 5)3 
B) f(x) = –x(x – 2)3(x – 5) 
C) f(x) = –x(x – 2)2 (x – 5) 
D) f(x) = x(x – 2)2 (x –5) 
E) f(x) = x(x – 2)3 (x – 5)2 
 
04. Si la función polinomial: 
P(x) = (x – m)3.(x – 5)n.(x – n)2.(x + 3)m. admite 
10 raíces y además la suma de las raíces es 21. 
Determine el producto de las raíces. 
A) 56,800 B) 48,000 C) 36,000 
D) 42,000 E) 81,000 
 
05. Con respecto a la gráfica de la función: 
F(x) = (x+3) (x+1)5(x−2)4(x−4)3 
No es cierto que: 
A) Es una curva suave y continua 
B) Es tangente y rebota en el punto (2; 0) 
C) Tiene término independiente negativo 
D) La curva se interseca con el eje “x” en 4 
puntos 
E) La curva está encima del eje “x” en el intervalo 
de ⦋−1; 2⦌ de su dominio. 
 
06. Sea ( ) ( ) ( ) ( )
a b c
P x a x 2 x 2 x 3= + − + un po-
linomio de sexto grado, su gráfica aproximada 
se indica en la figura adjunta. Determine el valor 
de P(1). 
 
A) –83 
B) –72 
C) –70 
D) 60 
E) 68 
 
07. Determine P(2) siendo P una función 
polinomial de 5to grado, cuya gráfica se 
muestra. 
A) – 60 
B) – 48 
C) 36 
D) 48 
E) 72 
 
08. Siendo f y g funciones polinomiales cuyas 
gráficas se muestran en el plano adjunto. El 
menor grado de la función f + g es: 
A) 4 
B) 6 
C) 8 
D) 9 
E) 11 
 
09. Si las gráficas mostradas corresponden a 
funciones polinomiales: 
 
 
 
 
 
 
 
4
x
21 5
f 
g 
y 
f g 
x 
1 – 2 
P 
108 
y 
x 
3 
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( )xP
Podemos afirmar que el grado mínimo de “f . g” es: 
A) 12 B) 11 C) 8 
D) 7 E) 6 
 
10. La siguiente figura, representa aproximada-
mente la gráfica de una función polinomial real 
de variable real. 
 
 
 
 
 
 
Entonces podemos afirmar que: 
A) Tiene grado 6 
B) Tiene 6 raíces reales y 2 complejas 
C) Tiene 6 raíces: una raíz negativa, una raíz 
igual a cero y 4 raíces positivas. 
D) Es un polinomio cuyo grado es por lo menos 7. 
E) Es un polinomio con una raíz de 
multiplicidad, que es compleja 
11. Sean las gráficas de funciones polinomiales f 
y g son las mostradas: 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces el conjunto solución de la inecuación 
f(x) . g(x)< 0 es: 
A) 
1 5
;x x ;−   
B) 
1 1 6 6
;x x ;x x ;−    
C) 
1 1 2 5 6 6
;x x ;x x ;x x ;−     
D) 
1 1 3 3 5 5 6 6
;x x ;x x ;x x ;x x ;−      
E) 
1 2 2 3 5 6 6
x ;x x ;x x ;x x ;    
 
12. Sea ( )xP una función polinomial de grado “n”, 
donde “n” es el menor posible y cuya gráfica se 
representa a continuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Encuentre el residuo obtenido al efectuar la 
división de ( )xP con ( ) 3xq x= − . 
A) ‒6 B) ‒4 C) ‒1 
D) 1 E) 4 
 
13. Con respecto a la función: 
F(x) = x3 ‒ 4x + 20; podemos afirmar que: 
A) Tiene 1 raíz racional y 2 raíces irracionales 
B) Tiene 1 raíz real positiva 
C) Es una función acotada inferiormente 
D) No es inyectiva en 〈2; ∞〉 
E) Existe x ∊ 〈-2; 0〉 tal que f(x) toma un máximo 
valor relativo. 
 
PARIDAD DE RAÍCES IRRACIONALES E 
IMAGINARIAS, TEOREMA DE CARDANO, 
ECUACIONES POLINOMIALES 
14. Si P es una función polinomial de grado 5 de 
coeficientes enteros con primer coeficiente igual 
a 2 y término independiente igual a 3, indique la 
alternativa que presenta una posible raíz 
racional: 
A)1/3 B)5/2 C)2/3 
D)-3/2 E)-2/3 
 
15. Las raíces del polinomio: 
P(x)=x5−2x4−11x3+22x2+18x−36 son: 
A)-3 simple,-2 de multiplicidad 2, 3− de 
multiplicidad 2. 
B) Una raíz real y 4 imaginarias 
C) 2 racionales, 1 irracional y 2 imaginarias 
D) 3 racionales y 2 irracionales 
E) 3i;−3i, 1 simple, 2 de multiplicidad 2 
 
16. Determine el número de raíces no racionales 
de la ecuación 
x5 + 4 x4 + x3 – 2x2 – 8x – 2 = 0 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
17. La suma de todas las soluciones de la 
ecuación polinomial: 4 3x 4x 16x 16 0+ − − = es: 
A) −4 B) 4 C) −2 
D) 2 E) 0 
 
18. Determine el polinomio de menor grado con 
coeficientes racionales y que tenga como raíces 
a 1 y 1 + 5 . De como respuesta el término 
independiente. 
A) – 4 B) 0 C) 1 
D) 2 E) 4 
 
x1 x2 
x3 
x4 x5 x6 
y 
x 
g 
y 
x 
g 
f f 
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19. Si 
5
6 1−
 es una raíz de la ecuación 
3 2x (2a 1)x (b 3)x 4 0+ − + − + = con a 
y b  Q, calcule el valor (a + 2)b. 
A) –
11
50
 B) – 
9
50
 C) –
11
25
 
D) 
11
25
 E) 
11
50
 
 
20. Sea P una función polinomial definida por 
3 2P(x) x ax bx 4= + + + , con a y b  Q. Si 1 7+ 
es una raíz de la ecuación P(x) = 0, cuál (ó 
cuales) de las siguientes afirmaciones son 
verdaderas. 
I: a . b > 0 II. a2 +b2 = 13 
III: 2a = b 
A) solo I B) solo III C) solo III 
D) I y II E) II y III 
 
21. Siendo 2 3+ una raíz de la ecuación 
5 4 3 2x x 8x 7x Ax B 0- - - + + = ;A, B ∈ℚ enton-
ces, el valor de 
2 2+A B es: 
A) 25 B) 29 C) 34 
D) 5 E) 41 
 
22. Si en la ecuación 
4 3 22x 7x 13x ax b 0- - + + = ; a, b ∈ℝ;; se tiene 
que 3- i es raíz. Determine la menor raíz 
racional. 
A) 1/2 B) – 3 C) – 2 
D) – 1 E) 3/2 
 
23. Si 𝑃(𝑥) = 𝑥
3 + 𝑎𝑥2 − 𝑥 + 𝑏 − 6 es divisible 
entre 𝑥2 − 1 y la suma de valores de 𝑥 que 
cumplen 𝑃(𝑥) = 0 es -4. Calcule el producto de 
𝑎 𝑦 𝑏. 
A) -7 B) -4 C) 4 D) 5 E) 8 UNI 2011-I 
24. La polinomial 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥
3 + 𝑏𝑥2 − 𝑏 + 𝑎, 
Con 𝑎 ∈ ℤ+, y tal que 𝑃(1) < 4, tiene dos raíces 
positivas iguales, entonces un valor de 𝑎 − 𝑏 es. 
A) 3 B) 5 C) 6 
D)4 E)7 UNI 2001-II 
 
25. Si a,b,c son las raíces de 3x3 + 6x + 1 = 0; 
determine 
 
3 3 3
ab ac bc
E
a b c
+ +
=
+ +
 
A) – 3 B) – 2 C) – 1 
D) 0 E) 3 
26. Si la ecuación 4x 39x 22 0+ − = tiene dos 
raíces que suman 3, determine la suma de las 
inversas de las otras dos raíces. 
A) 
3
2
 B) 
3
4
 C) 
3
5
 
D) 
3
7
 E) 
3
8
 
 
27. La ecuación: x4 – 12x – 5 = 0 tiene 2 raíces 
cuya suma es 2. Calcule la suma de los inversos 
de las otras dos raíces. 
A) – 0,4 B) – 0,2 C) 0,2 
D) 0,4 E) 5 
 
28. Si las sgtes ecuaciones polinomiales 
 x3 + px2 + 18 = 0 y x3 + qx +12 = 0 tienen 
exactamente 2 raíces comunes, halle los valores 
reales que deben tener p y q. Dar como 
respuesta (p2+q2). 
A) 3 B) 5 C) 7 
D) 9 E) 11 CEPREUNI 2006-2 
29. Si las siguientes ecuaciones polinomiales: 
3 2x ax 32 0+ + = y 3x bx 16 0+ + = 
Tiene exactamente 2 raíces comunes, halle los 
valores reales que deben tener a y b. Dar como 
respuesta (a2 – b). 
A) −2 B) 2 C) 1 
D) 0 E) −4 
 
CONSTRUCCIÓN DE ECUACIONES POLINOMIALES y 
TEOREMAS DE TRANSFORMACIÓN 
30. Determine la suma de coeficientes de un 
polinomio de coeficientes enteros que tiene 
como coeficiente principal a 3 y cuyas raíces son 
la tercera parte de las raíces del polinomio: 
𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 − 18 
A) 15 B) 14 C) 13 
D) 12 E) 11 
 
31. Determine el coeficiente del término lineal 
de un polinomio de coeficientes enteros, 
mónico, cuyas raíces son las de R(x) =x3−x+5 
aumentadas en 3. 
A) 12 B) −9 C) −19 
D) 26 E) 27 
 
32. Si a, b y c son las raíces de la ecuación 
, determinar el valor de 
. 
A) B) –1C) 0 
3x x 1 0− − =
( ) ( )
1 11E (2a 1) 2b 1 2c 1
− −−= − + − + −
1
11
−
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D) E) 
 
33. Si las raíces de la ecuación 3x x 1 0− − = son 
 ,  y  , determine el valor de 
1 1 1
1 1 1
+ + + 
+ +
− − − 
 
A) –7 B) –6 C) –5 
D) –4 E) –3 
 
34. Sea: 
𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
un polinomio cuyas raíces son r1, r2, r3. Halle la 
expresión del polinomio que tiene como raíces a 
r2r3, r3r1 y r1r2. 
𝐴) 𝑥3 + 𝑏𝑥2 − 𝑎𝑐𝑥 + 𝑐2 
𝐵) 𝑥3 − 𝑏𝑥2 − 𝑎𝑐𝑥 − 𝑐2 
𝐶) 𝑥3 − 𝑏𝑥2 + 𝑎𝑐𝑥 − 𝑐2 
𝐷) 𝑥3 − 𝑏𝑥2 + 𝑎𝑐𝑥 + 𝑐2 
𝐸) 𝑥3 + 𝑏𝑥2 − 𝑎𝑐𝑥 − 𝑐2
 
 
2do PARCIAL 2012-2
 
 
35. Sea P(x) = x3 + ax2 + bx + c 
Un polinomio cuyas raíces son r1, r2, r3. Hallar la 
expresión del polinomio que tiene como raíces a: 
–r1–r2, –r2–r3, –r1–r3 
A) 3 2 2x 2ax (a b)x c ab− + + − + 
B) 3 2 2x 2ax (a b)x c ab+ + + + + 
C) 3 2 2x 2ax (a b)x c ab− − + + − 
D) 3 2 2x 2ax (a b)x c ab+ − + + − 
E) 3 2 2x 2ax (a b)x c ab− + + + − 
 
36. Si: x1, x2 y x3 son las raíces de la ecuación: 
x3 + x - 2 = 0 
Determine el valor de : 
J =
1
𝑥1
2 + 1
+
1
𝑥2
2 + 1
+
1
𝑥3
2 + 1
 
A)-1/2 B)0 C)1/2 
D)1 E)2 CEPREUNI 2010-2 
 
37. Si {𝑎, 𝑏, 𝑐} es el conjunto solución de la 
ecuación 𝑥3 + 5𝑥 + 𝑟 = 0. ¿Cuál es el valor de 
𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4? 
A)10 B) 20 C)30 D)50 E)40 
 
38. Si el conjunto solución de la ecuación: 
x5 + x + 1 = 0 es  a;b;c;d;e , calcule 
5 5 5 5 5a b c d e+ + + + . 
A) –5 B) –4 C) –3 
D) –2 E) –1 
39. Si x1, x2, x3, x4 son las raíces de la ecuación 
x4+x3+x2+x+1=0, entonces calcular el valor de: 
𝑥1
6 + 𝑥2
6 + 𝑥3
6 + 𝑥4
6 
A) −1 B) 0 C) 1 
D) 2 E) 4 CEPREUNI 2013-1 
 
40. Determine el polinomio con coeficientes ente-
ros de menor grado posible, si una de sus raíces 
 √2 − √3. 
A) P(x)=x5 -10x3 + x 
B) P(x)=x5 +10x3 - x 
C) P(x)=x4 -12x2 + 1 
D) P(x)=x4 -10x2 + 1 
E) P(x)=x4 +10x2 - 1 2do PARCIAL 2013-1 
 
41. Determine un polinomio mónico de menor 
grado posible con coeficientes enteros, si una de 
sus raíces es √2 + √3 + √6. Como respuesta, de la 
suma de los coeficientes de dicho polinomio. 
A) –93 B) –92 C) –60 
D) –56 E) –54 
 
42. Determine el polinomio mónico de menor 
grado con coeficientes enteros que tenga como 
raíz a 3 2 3+ . Dar como respuesta su término 
independiente. 
A) −23 B) −44 C) −25 
D) −45 E) 0 
 
43. Determine un polinomio mónico de grado 
mínimo con coeficientes enteros, si una de sus 
raíces es 642 4 9+ + . Como respuesta, indique 
el término independiente de dicho polinomio. 
A) ―484 B) ―490 C) ―500 
D) ―503 E) ―513 
 
44. El valor 3 33 3 3 3+ + − es una de las 
raíces del polinomio de grado mínimo y de 
coeficientes enteros 3p 2p pP(x) x nx mx q= − + + , 
entonces: m + n + p + q es igual a: 
A) – 249 B) – 339 C) – 345 
D) – 354 E) – 360 
 
LOCALIZACIÓN DE RAÍCES 
45. Sea P una función polinomial definida por 
P(x)=x3 + 4x2 – 4. 
¿En qué intervalo está ubicada una de las raíces 
de la ecuación P(x)=0? 
A) ⟨-3; -2⟩ B)⟨-2; -1⟩ C)⟨1; 2⟩ 
D) ⟨2; 3⟩ E)⟨4;6⟩ CEPREUNI 2010-1 
 
1
11
2
3
EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor 
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46. Dado P(x) = x4 -3x - 1 se sabe que su raíz real 
positiva está en el intervalo n; n + 1, 
 n  ℤ, determine el valor de n. 
A) – 2 B) – 1 C) 0 
D) 1 E) 2 
 
47. Dado F(x)=𝑥7 + 𝑥 − 8 
Indique el intervalo que contiene al valor x0 que 
anula a F(x). 
A) ⟨0; 1⟩ B)⟨1; 2⟩ C)⟨ −1; 0⟩ 
D) ⟨2; 3⟩ E)⟨ −2;1⟩ 
 
48. Hallar el número de raíces reales del 
polinomio P(x) = x4 -2x+3 
A) – 2 B) – 1 C) 0 
D) 1 E) 2 
 
49. Al resolver el sistema en “ℝ”: 
 
 
Podemos afirmar que: 
A) Tiene 3 soluciones de componentes reales. 
B) Tiene 2 soluciones de componentes reales. 
C) Tiene 1 solución de componentes reales. 
D) No tiene solución de componentes reales. 
E) Tiene infinitas soluciones de componentes 
reales. 
 
PROFESOR: IVÁN ALARCÓN 
 
 
 
3 2x 7x 15x y 9− + − =
52x y 1− − =

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