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EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Magdalena; Los Olivos; Ingeniería; Surco, Carabayllo Página 1 -3 -2 0 2 x y -192 ÁLGEBRA SEMANA 14: FUNCIONES POLINOMIALES, FUNCIONES POLINOMIALES-GRÁFICAS 01. Indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. I. La gráfica de toda función polinomial corta al eje “y”. II. La gráfica de cualquier función polinomial de grado mayor que uno es una curva suave. III. Ninguna función polinomial es acotada. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FFF 02. Determine la figura que representa mejor la gráfica de la función polinomial. ( ) 3 2P x x 9x 23x 15= − + − A) y 0 x B) y 0 x C) y 0 x D) y 0 x E) y x 03. Determine la función polinomial f(x) de menor grado; cuya gráfica se muestra A) f(x) = x(x – 2)4 (x – 5)3 B) f(x) = –x(x – 2)3(x – 5) C) f(x) = –x(x – 2)2 (x – 5) D) f(x) = x(x – 2)2 (x –5) E) f(x) = x(x – 2)3 (x – 5)2 04. Si la función polinomial: P(x) = (x – m)3.(x – 5)n.(x – n)2.(x + 3)m. admite 10 raíces y además la suma de las raíces es 21. Determine el producto de las raíces. A) 56,800 B) 48,000 C) 36,000 D) 42,000 E) 81,000 05. Con respecto a la gráfica de la función: F(x) = (x+3) (x+1)5(x−2)4(x−4)3 No es cierto que: A) Es una curva suave y continua B) Es tangente y rebota en el punto (2; 0) C) Tiene término independiente negativo D) La curva se interseca con el eje “x” en 4 puntos E) La curva está encima del eje “x” en el intervalo de ⦋−1; 2⦌ de su dominio. 06. Sea ( ) ( ) ( ) ( ) a b c P x a x 2 x 2 x 3= + − + un po- linomio de sexto grado, su gráfica aproximada se indica en la figura adjunta. Determine el valor de P(1). A) –83 B) –72 C) –70 D) 60 E) 68 07. Determine P(2) siendo P una función polinomial de 5to grado, cuya gráfica se muestra. A) – 60 B) – 48 C) 36 D) 48 E) 72 08. Siendo f y g funciones polinomiales cuyas gráficas se muestran en el plano adjunto. El menor grado de la función f + g es: A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 11 09. Si las gráficas mostradas corresponden a funciones polinomiales: 4 x 21 5 f g y f g x 1 – 2 P 108 y x 3 EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Magdalena; Los Olivos; Ingeniería; Surco, Carabayllo Página 2 ( )xP Podemos afirmar que el grado mínimo de “f . g” es: A) 12 B) 11 C) 8 D) 7 E) 6 10. La siguiente figura, representa aproximada- mente la gráfica de una función polinomial real de variable real. Entonces podemos afirmar que: A) Tiene grado 6 B) Tiene 6 raíces reales y 2 complejas C) Tiene 6 raíces: una raíz negativa, una raíz igual a cero y 4 raíces positivas. D) Es un polinomio cuyo grado es por lo menos 7. E) Es un polinomio con una raíz de multiplicidad, que es compleja 11. Sean las gráficas de funciones polinomiales f y g son las mostradas: Entonces el conjunto solución de la inecuación f(x) . g(x)< 0 es: A) 1 5 ;x x ;− B) 1 1 6 6 ;x x ;x x ;− C) 1 1 2 5 6 6 ;x x ;x x ;x x ;− D) 1 1 3 3 5 5 6 6 ;x x ;x x ;x x ;x x ;− E) 1 2 2 3 5 6 6 x ;x x ;x x ;x x ; 12. Sea ( )xP una función polinomial de grado “n”, donde “n” es el menor posible y cuya gráfica se representa a continuación: Encuentre el residuo obtenido al efectuar la división de ( )xP con ( ) 3xq x= − . A) ‒6 B) ‒4 C) ‒1 D) 1 E) 4 13. Con respecto a la función: F(x) = x3 ‒ 4x + 20; podemos afirmar que: A) Tiene 1 raíz racional y 2 raíces irracionales B) Tiene 1 raíz real positiva C) Es una función acotada inferiormente D) No es inyectiva en 〈2; ∞〉 E) Existe x ∊ 〈-2; 0〉 tal que f(x) toma un máximo valor relativo. PARIDAD DE RAÍCES IRRACIONALES E IMAGINARIAS, TEOREMA DE CARDANO, ECUACIONES POLINOMIALES 14. Si P es una función polinomial de grado 5 de coeficientes enteros con primer coeficiente igual a 2 y término independiente igual a 3, indique la alternativa que presenta una posible raíz racional: A)1/3 B)5/2 C)2/3 D)-3/2 E)-2/3 15. Las raíces del polinomio: P(x)=x5−2x4−11x3+22x2+18x−36 son: A)-3 simple,-2 de multiplicidad 2, 3− de multiplicidad 2. B) Una raíz real y 4 imaginarias C) 2 racionales, 1 irracional y 2 imaginarias D) 3 racionales y 2 irracionales E) 3i;−3i, 1 simple, 2 de multiplicidad 2 16. Determine el número de raíces no racionales de la ecuación x5 + 4 x4 + x3 – 2x2 – 8x – 2 = 0 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 17. La suma de todas las soluciones de la ecuación polinomial: 4 3x 4x 16x 16 0+ − − = es: A) −4 B) 4 C) −2 D) 2 E) 0 18. Determine el polinomio de menor grado con coeficientes racionales y que tenga como raíces a 1 y 1 + 5 . De como respuesta el término independiente. A) – 4 B) 0 C) 1 D) 2 E) 4 x1 x2 x3 x4 x5 x6 y x g y x g f f EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Magdalena; Los Olivos; Ingeniería; Surco, Carabayllo Página 3 19. Si 5 6 1− es una raíz de la ecuación 3 2x (2a 1)x (b 3)x 4 0+ − + − + = con a y b Q, calcule el valor (a + 2)b. A) – 11 50 B) – 9 50 C) – 11 25 D) 11 25 E) 11 50 20. Sea P una función polinomial definida por 3 2P(x) x ax bx 4= + + + , con a y b Q. Si 1 7+ es una raíz de la ecuación P(x) = 0, cuál (ó cuales) de las siguientes afirmaciones son verdaderas. I: a . b > 0 II. a2 +b2 = 13 III: 2a = b A) solo I B) solo III C) solo III D) I y II E) II y III 21. Siendo 2 3+ una raíz de la ecuación 5 4 3 2x x 8x 7x Ax B 0- - - + + = ;A, B ∈ℚ enton- ces, el valor de 2 2+A B es: A) 25 B) 29 C) 34 D) 5 E) 41 22. Si en la ecuación 4 3 22x 7x 13x ax b 0- - + + = ; a, b ∈ℝ;; se tiene que 3- i es raíz. Determine la menor raíz racional. A) 1/2 B) – 3 C) – 2 D) – 1 E) 3/2 23. Si 𝑃(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑎𝑥2 − 𝑥 + 𝑏 − 6 es divisible entre 𝑥2 − 1 y la suma de valores de 𝑥 que cumplen 𝑃(𝑥) = 0 es -4. Calcule el producto de 𝑎 𝑦 𝑏. A) -7 B) -4 C) 4 D) 5 E) 8 UNI 2011-I 24. La polinomial 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥2 − 𝑏 + 𝑎, Con 𝑎 ∈ ℤ+, y tal que 𝑃(1) < 4, tiene dos raíces positivas iguales, entonces un valor de 𝑎 − 𝑏 es. A) 3 B) 5 C) 6 D)4 E)7 UNI 2001-II 25. Si a,b,c son las raíces de 3x3 + 6x + 1 = 0; determine 3 3 3 ab ac bc E a b c + + = + + A) – 3 B) – 2 C) – 1 D) 0 E) 3 26. Si la ecuación 4x 39x 22 0+ − = tiene dos raíces que suman 3, determine la suma de las inversas de las otras dos raíces. A) 3 2 B) 3 4 C) 3 5 D) 3 7 E) 3 8 27. La ecuación: x4 – 12x – 5 = 0 tiene 2 raíces cuya suma es 2. Calcule la suma de los inversos de las otras dos raíces. A) – 0,4 B) – 0,2 C) 0,2 D) 0,4 E) 5 28. Si las sgtes ecuaciones polinomiales x3 + px2 + 18 = 0 y x3 + qx +12 = 0 tienen exactamente 2 raíces comunes, halle los valores reales que deben tener p y q. Dar como respuesta (p2+q2). A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 CEPREUNI 2006-2 29. Si las siguientes ecuaciones polinomiales: 3 2x ax 32 0+ + = y 3x bx 16 0+ + = Tiene exactamente 2 raíces comunes, halle los valores reales que deben tener a y b. Dar como respuesta (a2 – b). A) −2 B) 2 C) 1 D) 0 E) −4 CONSTRUCCIÓN DE ECUACIONES POLINOMIALES y TEOREMAS DE TRANSFORMACIÓN 30. Determine la suma de coeficientes de un polinomio de coeficientes enteros que tiene como coeficiente principal a 3 y cuyas raíces son la tercera parte de las raíces del polinomio: 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 − 18 A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11 31. Determine el coeficiente del término lineal de un polinomio de coeficientes enteros, mónico, cuyas raíces son las de R(x) =x3−x+5 aumentadas en 3. A) 12 B) −9 C) −19 D) 26 E) 27 32. Si a, b y c son las raíces de la ecuación , determinar el valor de . A) B) –1C) 0 3x x 1 0− − = ( ) ( ) 1 11E (2a 1) 2b 1 2c 1 − −−= − + − + − 1 11 − EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Magdalena; Los Olivos; Ingeniería; Surco, Carabayllo Página 4 D) E) 33. Si las raíces de la ecuación 3x x 1 0− − = son , y , determine el valor de 1 1 1 1 1 1 + + + + + − − − A) –7 B) –6 C) –5 D) –4 E) –3 34. Sea: 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 un polinomio cuyas raíces son r1, r2, r3. Halle la expresión del polinomio que tiene como raíces a r2r3, r3r1 y r1r2. 𝐴) 𝑥3 + 𝑏𝑥2 − 𝑎𝑐𝑥 + 𝑐2 𝐵) 𝑥3 − 𝑏𝑥2 − 𝑎𝑐𝑥 − 𝑐2 𝐶) 𝑥3 − 𝑏𝑥2 + 𝑎𝑐𝑥 − 𝑐2 𝐷) 𝑥3 − 𝑏𝑥2 + 𝑎𝑐𝑥 + 𝑐2 𝐸) 𝑥3 + 𝑏𝑥2 − 𝑎𝑐𝑥 − 𝑐2 2do PARCIAL 2012-2 35. Sea P(x) = x3 + ax2 + bx + c Un polinomio cuyas raíces son r1, r2, r3. Hallar la expresión del polinomio que tiene como raíces a: –r1–r2, –r2–r3, –r1–r3 A) 3 2 2x 2ax (a b)x c ab− + + − + B) 3 2 2x 2ax (a b)x c ab+ + + + + C) 3 2 2x 2ax (a b)x c ab− − + + − D) 3 2 2x 2ax (a b)x c ab+ − + + − E) 3 2 2x 2ax (a b)x c ab− + + + − 36. Si: x1, x2 y x3 son las raíces de la ecuación: x3 + x - 2 = 0 Determine el valor de : J = 1 𝑥1 2 + 1 + 1 𝑥2 2 + 1 + 1 𝑥3 2 + 1 A)-1/2 B)0 C)1/2 D)1 E)2 CEPREUNI 2010-2 37. Si {𝑎, 𝑏, 𝑐} es el conjunto solución de la ecuación 𝑥3 + 5𝑥 + 𝑟 = 0. ¿Cuál es el valor de 𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4? A)10 B) 20 C)30 D)50 E)40 38. Si el conjunto solución de la ecuación: x5 + x + 1 = 0 es a;b;c;d;e , calcule 5 5 5 5 5a b c d e+ + + + . A) –5 B) –4 C) –3 D) –2 E) –1 39. Si x1, x2, x3, x4 son las raíces de la ecuación x4+x3+x2+x+1=0, entonces calcular el valor de: 𝑥1 6 + 𝑥2 6 + 𝑥3 6 + 𝑥4 6 A) −1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 4 CEPREUNI 2013-1 40. Determine el polinomio con coeficientes ente- ros de menor grado posible, si una de sus raíces √2 − √3. A) P(x)=x5 -10x3 + x B) P(x)=x5 +10x3 - x C) P(x)=x4 -12x2 + 1 D) P(x)=x4 -10x2 + 1 E) P(x)=x4 +10x2 - 1 2do PARCIAL 2013-1 41. Determine un polinomio mónico de menor grado posible con coeficientes enteros, si una de sus raíces es √2 + √3 + √6. Como respuesta, de la suma de los coeficientes de dicho polinomio. A) –93 B) –92 C) –60 D) –56 E) –54 42. Determine el polinomio mónico de menor grado con coeficientes enteros que tenga como raíz a 3 2 3+ . Dar como respuesta su término independiente. A) −23 B) −44 C) −25 D) −45 E) 0 43. Determine un polinomio mónico de grado mínimo con coeficientes enteros, si una de sus raíces es 642 4 9+ + . Como respuesta, indique el término independiente de dicho polinomio. A) ―484 B) ―490 C) ―500 D) ―503 E) ―513 44. El valor 3 33 3 3 3+ + − es una de las raíces del polinomio de grado mínimo y de coeficientes enteros 3p 2p pP(x) x nx mx q= − + + , entonces: m + n + p + q es igual a: A) – 249 B) – 339 C) – 345 D) – 354 E) – 360 LOCALIZACIÓN DE RAÍCES 45. Sea P una función polinomial definida por P(x)=x3 + 4x2 – 4. ¿En qué intervalo está ubicada una de las raíces de la ecuación P(x)=0? A) ⟨-3; -2⟩ B)⟨-2; -1⟩ C)⟨1; 2⟩ D) ⟨2; 3⟩ E)⟨4;6⟩ CEPREUNI 2010-1 1 11 2 3 EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Magdalena; Los Olivos; Ingeniería; Surco, Carabayllo Página 5 46. Dado P(x) = x4 -3x - 1 se sabe que su raíz real positiva está en el intervalo n; n + 1, n ℤ, determine el valor de n. A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2 47. Dado F(x)=𝑥7 + 𝑥 − 8 Indique el intervalo que contiene al valor x0 que anula a F(x). A) ⟨0; 1⟩ B)⟨1; 2⟩ C)⟨ −1; 0⟩ D) ⟨2; 3⟩ E)⟨ −2;1⟩ 48. Hallar el número de raíces reales del polinomio P(x) = x4 -2x+3 A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2 49. Al resolver el sistema en “ℝ”: Podemos afirmar que: A) Tiene 3 soluciones de componentes reales. B) Tiene 2 soluciones de componentes reales. C) Tiene 1 solución de componentes reales. D) No tiene solución de componentes reales. E) Tiene infinitas soluciones de componentes reales. PROFESOR: IVÁN ALARCÓN 3 2x 7x 15x y 9− + − = 52x y 1− − =
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