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EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Magdalena; Los Olivos; Ingeniería ; Surco; Carabayllo Página 1 ARITMÉTICA SEMANA 20: NÚMEROS RACIONALES II. FRACCIÓN GENERATRIZ Y CAMBIO DE BASE 01. Calcular ( ) 2 44 1,44 0,694+ A) 121/15 B) 120/17 C) 121/30 D) 169/30 E) 171/45 02. Al simplificar la expresión: ( ) 9 0,5 0,666 0,0555 . 10 3,111 2,0666 E + − = − indicar la diferencia entre el denominador y el numerador de la fracción irreductible obtenida. A) 4 B) 3 C) 2 D) 5 E) 1 03. Reducir la expresión 𝑃 = 2(1,1 + √0,21) 3/2 (1,1 − √0,21) 3/2 3, 9̂ A) √0,5 B) √1,21 C) 0,5 D) 1,21 E) 0,21 04. Si A y B son números enteros positivos; hallar A – B si se sabe que B es el menor posible. 𝐴 9 + 𝐵 11 = 2, 71̂ A) 41 B) 19 C) 42 D) 11 E) 21 05. Si: “a” y “b” son números naturales, y cumplen que: 𝑎 3 + 𝑏 37 = 0, 711̂; hallar “b – a” A) 16 B) 15 C) 13 D) 11 C) 10 06. Indicar el número de parejas a y b que verifican la siguiente igualdad: 6,02777...4 9 a b+ = A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 07. La fracción 1/5, como una expresión decimal en base dos, tiene la expansión: A) 0,00111111… B) 0,00110011… C) 0,10101010… D) 0,011011011011… E) 0,101101101… (UNI 2007 II) 08. Expresar 0,123̂(5) en base 7. Dar como respuesta la suma de cifras de la parte periódica. A) 2 B) 4 C) 6 D) 5 E) 3 09. Convertir ( )4213,12 a la base 16. A) ( )1624,24 B) ( )1625,25 C) ( )1626,74 D) ( )1627,6A E) ( )1627,7B CEPRE 2008-I 10. Si 0, 𝑎𝑏𝑐𝑑 … = 1 3 + 1 33 + 2 35 + 1 36 + 2 38 + ⋯, calcular el valor de a+b+c+d. A) 14 B) 10 C) 12 D) 8 E) 9 11. Si 0, 𝑎𝑏𝑎𝑏 …(5) = 5 6 + 3 36 , entonces el valor de (a+b) es: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 CEPRE 2003-I 12. Si (8) 3 1 3 1 0, ... 5 25 125 625 abab = + + + + , entonces el valor de ( )2a b+ es: A) 11 B) 18 C) 26 D) 27 E) 37 CEPRE 2010-I 13. Si se cumple que 0, 𝑎�̂� + 0, 𝑏�̂� = 1, 4̂; calcular a+b. A) 11 B) 10 C) 8 D) 13 E) 9 (UNI 2007 I) 14. Hallar: “a + b” si: ( ) ( ) ( )66 60, 0, 1,2ab ba+ = A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 15. Halle “a2 + b2 + c2” si: ( )( )( ) ( ) 4 5 6 n n n n abc− − − = y 0, 5̂(7) = 0, 91̂(𝑛). A) 146 B) 246 C) 256 D) 300 E) 316 16. Si ( ) ( )58,52 1423,mnp abc= , Calcule m + n + p + a + b + c. A) 22 B) 16 C) 21 D) 20 E) 18 17. Se cumple que ( ) ( )68,32 425,abc xyzmn= , además ( ) ( ) ( )8 6 120, 0, 0,ab xy pqr = . Calcule p+q+r. EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Magdalena; Los Olivos; Ingeniería ; Surco; Carabayllo Página 2 A) 16 B) 15 C) 12 D) 18 E) 20 18. Si (5)(6),13 12,bc a= , calcule el valor de ( )a b c+ + . A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 CEPRE 2013-I 19. Dos fracciones que tienen denominadores 13 y por numeradores dos números enteros consecutivos comprenden entre ellas la fracción cuyo valor decimal es 0,1545̂. Halle la menor de las fracciones. A) 2/13 B) 3/13 C) 4/13 D) 5/13 E) 6/13 (UNI 2010 II) 20. Si el número 0,3417̂ se encuentre entre dos fracciones cuyos numeradores son consecutivos y como denominador común a 17. Dar como respuesta la suma de los numeradores. A) 8 B) 10 C) 9 D) 11 E) 13 CLASIFICACION DE NUMEROS AVALES: CANTIDAD DE CIFRAS PERIODICAS Y NO PERIODICAS 21. ¿Cuál de las siguientes fracciones genera un número decimal exacto, periódico puro y periódico mixto respectivamente? A) 5/15; 2/13 y 7/65 B) 51/136; 12/45 y 1/55 C) 8/125; 6/7 y 28/68 D) 78/130; 54/63 y 5/22 E) 3/4; 5/41 y 76/164 22. Al reducir la fracción: 2205 980 5445 2420 F − = + dará origen a un número: A) Irracional B) Decimal exacto C) D.I. periódico puro D) D.I. periódico mixto E) entero 23. Calcule la suma de la cantidad de cifras en la parte no periódica y periódica que genera la fracción 19! 20! 21! f = + A) 8 B) 6 C) 5 D) 9 E) 7 24. Determine la cantidad de cifras no periódicas que genera la siguiente fracción: 29 9 55! 44! k k F + − = − A) 41 B) 37 C) 38 D) 8 E) 9 25. ¿Cuántas cifras tiene la parte no periódica de la fracción 505 50! ? A) 12 B) 38 C) 47 D) 50 E) 51 26. Si la fracción irreductible N ab origina un decimal periódico puro de la forma 0, (𝑏 − 2)(𝑏 − 1)𝑏̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̂ , entonces el valor de “N+a+b” es A) 20 B) 29 C) 30 D) 31 E) 35 27. Si se cumple 𝑎𝑏̅̅ ̅̅ 𝑐𝑎̅̅̅̅ = 0, 𝑐𝑎𝑐𝑑𝑒̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̂̅ , donde además la fracción inicial es irreductible. calcular el valor de “a+b+c+d+e” A) 21 B) 20 C) 23 D) 19 E) 18 28. Si la fracción 𝑥𝑦𝑦̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝐴 es irreductible y genera el decimal 0, 𝑐𝑐𝑦𝑦̅̅ ̅̅ ̅̂̅ , calcular la cantidad de cifras periódicas que genera la fracción 𝑐 𝑐𝑥̅̅ ̅ . A) 4 B) 7 C) 5 D) 3 E) 6 29. Si 1 𝐴+𝑇 = 0, 1̂ y 𝐴 𝑇 = 0, 𝐴𝑅𝐼𝑇𝑁𝐸̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̂ . Hallar la cantidad de cifras no periódicas que genera la fracción 𝑁+𝐸+𝑅+𝐼 𝐴+𝑅+𝐼+𝐴+𝑁+𝐴 . A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 30. Se cumple que 0, 𝑚𝑛̅̅ ̅̂̅ (5) = 0, (2𝑚)𝑛̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̂ (7). Calcule la cantidad de cifras periódicas que genera m f nm mn = . A) 28 B) 30 C) 60 D) 15 E) 45 31. Si (𝑎 + 1)1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, 5𝑐̅̅ ̅̂(𝑛) = 𝑎5̅̅̅̅ , 6̂; halle la suma de cifras periódicas que genera la fracción ( ) 25 1 2 n c − . EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Magdalena; Los Olivos; Ingeniería ; Surco; Carabayllo Página 3 A) 30 B) 25 C) 27 D) 18 E) 15 32. La fracción irreductible 11/37 se expresa en la base exaval. Sea N: la cifra que ocupa el orden –23. M: el número de cifras periódicas. Halle N+M. A) 5 B) 10 C) 8 D) 9 E) 2 33. Halle la suma de la cantidad de cifras periódicas y no periódicas de la representación decimal de 101 84000 en el sistema de base 20. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 34. Una ecuación da como solución una fracción ordinaria irreductible, de manera que el término del denominador excede al numerador en 10878. Halle la suma de los términos de la fracción sabiendo que reducida a decimal da una periódica mixta que tiene 3 cifras en la parte no periódica y seis en la periódica. A) 18872 B) 22872 C) 23872 D) 24872 E) 25782 CIFRA EN LA CUAL TERMINA LA PARTE NO ENTERA 35. ¿en qué cifra decimal termina E al expresarlo en el sistema decimal? 5 26 24 8 21 7 13 5 14 4 E = A) 6 B) 4 C) 8 D) 9 E) 2 36. Calcule la última cifra del desarrollo decimal de ( )( )79 51 353 3 1 4 1 5 M − − = A) 3 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 37. Calcular la última cifra del desarrollo decimal de: 17 313 4000 2 5 8 f = A) 2 B) 4 C) 5 D) 8 E) 6 38. Calcule las tres últimas cifras del periodo que genera 5 29 . La suma de cifras es: A) 10 B) 13 C) 14 D) 16 E) 20 CEPRE 2010-I 39. Si la fracción 43 267 se convierte a decimal, entonces la suma de las tres últimas cifras de su parte periódica es: A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 CEPRE 2004-I 40. Si 23 𝑎𝑏𝑐̅̅ ̅̅ ̅ = 0, 𝑚𝑛𝑝 … 321̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅̂ y 𝑎 𝑏𝑐̅̅̅̅ = 0, 𝑥𝑦𝑧̅̅ ̅̅ ̅̂, entonces x + y + z es A) 6 B) 7 C) 9 D) 12 E) 15 41. Si: 2 2 1 40 28n n F + = genera 60 cifras en la parte no periódica. Calcule la suma de cifras del periodo que genera la fracción 3n n − . A) 31 B) 30 C) 29 D) 28 E) 27 42. Se sabe que ( ) ( ) ( )20, 0, 6n nabb n b= + . Calcule x+y, si 𝑎𝑏̅̅ ̅̅ 𝑏𝑛̅̅ ̅̅ = 0, … 𝑥𝑦̅̅ ̅̅ ̅̂̅ . A) 12 B) 11 C) 9 D) 10 E) 13 43. Si 0, 3(7) + 0,24̂(7) = 0, 𝑎𝑏 … 𝑥𝑦̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̂ (K cifras decimales). Calculea + b + x + y +k A) 18 B) 19 C) 20 D) 15 E) 16 44. Se cumple que 13 29 = 0, 𝑎𝑏 … 𝑐𝑑̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅̂ , calcule la cantidad de cifras no periódicas que se genera al expresar d abc a su número exaval A) 5 B) 2 C) 1 D) 3 E) 4 PREGUNTAS TEÓRICAS 45. Dada las siguientes proposiciones. I. El conjunto de los números racionales es denso en el conjunto de los números reales. II. El conjunto de los números enteros es denso en el conjunto de los números reales. EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor Magdalena; Los Olivos; Ingeniería ; Surco; Carabayllo Página 4 III. El conjunto de los números naturales es denso en el conjunto de los números enteros. IV. El conjunto de los números irracionales es denso en el conjunto de los números reales. Indique las proposiciones correctas A) I y III B) solo I C) III y IV D) I y IV E) solo III 46. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes enunciados I. ∀ a; b números enteros a/b es un número racional. II. ∀ a; b números enteros, 2 a b 1 a + + es un número racional. III. Si a ∈ ℝ/a2 ∈ ℚ, entonces a ∈ ℚ A) FFF B) FVV C) FVF D) VVV E) VFV 47. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Si un número es periódico puro en cierta base, entonces será periódico mixto en otra base. II. Una fracción 5/37 genera tres cifras periódicas en base 6. III. La fracción A/27 genera tres cifras periódicas en base 10. IV. Un número irracional genera un decimal periódico mixto. A) FVVF B) VFVF C) FFFF D) VVVV E) FFVF 48. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones I. Si un número decimal periódico puro posee 3 cifras decimales periódicas, entonces al hallar la fracción generatriz irreductible, el denominador es 37. II. Si en una fracción irreductible, el deno- minador contiene como divisor al 7; entonces dicha fracción genera un decimal periódico puro con 6 cifras decimales. III. Al sumar las cifras decimales del decimal generado por la fracción propia e irreductible a/7 siempre se obtiene 27. A) FVV B) VVV C) FFF D) VVF E) FFV 49. Determine si son verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes proposiciones. I. Si 1 𝑁 = 0, 𝑥𝑦�̂�, entonces N tiene 2 cifras. II. Sabemos que el conjunto de los números reales y racionales son conjuntos infinitos, por tanto diremos que tienen el mismo cardinal. III. Sea la fracción 15/17 genera 17 cifras decimales periódicas. I. 5,39999… =5,4 A) VFVV B) VFFV C) FFVV D) VFVF E) FFFV 50. Indique V si es verdadero y F si es falso I. La fracción n/26 genera un decimal periódico mixto para todo entero positivo n que no sea múltiplo de 13. II. La fracción 1/21 genera un decimal periódico puro con seis cifras en el período. III. La suma de dos decimales periódico puro es otro decimal periódico puro. A) VVV B) FFF C) FVV D) FVF E) VFF PROF. ALEX GAMARRA “ALEX3ITO”
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