Analisis de sistemas de potencia Resumen 129 - ArturoSelect

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13.3 LA ECUACIÓN DE LAS PÉRDIDAS DE TRANSMISIÓN 513
Se recuerda que la transpuesta de un producto de matrices es igual al producto en orden inverso de sus transpuestas. Por ejemplo, si hay tres matrices A, B y C, se tiene que (ABC)7 = C^B^A7, y aal tomar el complejo conjugado de cada lado se tiene (ABC)r* = Cr*Br*Ar*. Así, se puede demostrar que la matriz Tade la ecuación (13.36) tiene la propiedad de ser igual al complejo conjugado de su propia transpuesta. Una matriz con esta propiedad se conoce como hermitiana2 Cada elemento my fuera de la diagonal de una matriz hermitiana es igual al complejo conjugado del elemento mJf correspondiente y todos los elementos en la diagonal son números reales. Consecuentemente, al sumar Ta y T* se cancelan las partes imaginarias de los elementos fuera de la diagonal y se obtiene el doble de la parte real simétrica de Ta, que se denotará por
	’ Bn
	«12
	B10/2
	«21
	^22
	Bw/2
	«10/2
	B20/2
	
(13.37)
Para estar en conformidad con las prácticas industriales, se usarán los símbolos B10/2, B2q/2
y Bqq. Sumando la ecuación (13.36) a este complejo corrugado y aplicando la ecuación
(13.37) al resultado, se obtiene
’.i í’.zl
	
	
	
	
	«11	B12
	510/21
	
	«21	P22
	«20/2
	
	«io/2 «20/2
	«oo
rgi
Pg2
1
(13.38)
en donde B12 es igual a B21. Expandiendo la ecuación (13.38) al multiplicar filas por columnas, se tiene
” ^11^/1 +	+ ^22^g2 + «!0^1 + ^20^g2 + ^00
2	2	2
= E E PgiBtjPgJ+ Y,BmPgi + Bm
1=1J=1	1 = 1
(13.39)
que puede ser rearreglada en la forma equivalente
Pl = [Psi
M
5ii
•®21
b121 Pg,
&22 Pg2
+ [p.l
«10
«20
(13.40)
o en la forma vector-matriz más general
PL = PGBPG + PGB0 + Boo	(13.41)
2 Un ejemplo de una matriz hermitiana es
1
J-Jl
1+jl
1
514 CAPÍTULO 13 OPERACIÓN ECONÓMICA DE SISTEMAS DE POTENCIA
Cuando el sistema tiene K fuentes en lugar de las dos analizadas en este ejemplo, los vectores y matrices de la ecuación (13.41) tienen K filas y/o K columnas y las sumatorias de la ecuación (13.39) van de 1 a K, de manera que se obtiene la forma general de la ecuación de pérdidas de trasmisión
K K	K
Pl~ HPM+ '£Bi0Pg¡ + B00	(13.42)
1=1j=l	1 = 1
A los términos B se les llama coeficientes B o coeficientes de pérdida y la matriz cuadrada B de K X K, que siempre es simétrica; se conoce simplemente como la matriz B. La unidad de los coeficientes de pérdida es el megawatt recíproco cuando las potencias trifásicas Pgl a PgK se expresan en megawatts, en cuyo caso, PL también estará en megawatts. Las unidades de Boo son iguales a las de PL mientras B/0 es adimensional. En los cálculos normalizados se utilizan los coeficientes en por unidad.
•-w Para el sistema del que se obtuvieron los coeficientes B, se tienen las pérdidas exactas solamente para esa carga en particular y para las condiciones de operación usadas en el desarrollo. Los coeficientes B de la ecuación (13.40) son constantes conforme Pgl y Pg2 varían, solamente mientras los voltajes en las barras de carga y de las plantas mantengan una magnitud constante, al igual que los factores de potencia de las plantas. Por fortuna, el uso de valores constantes para los coeficientes de pérdida da resultados razonablemente aproximados cuando se calculan para algunas condiciones de operación promedio y si no ocurren desfasamientos extremadamente grandes de la carga entre plantas o en la carga total. En la práctica, los grandes sistemas se cargan económicamente usando conjuntos diferentes de coeficientes de pérdidas calculados para diversas condiciones de carga.
Ejemplo 13.3. El sistema de cuatro barras de la figura 13.5 tiene los datos de líneas y barras dados en la tabla 13.2. Calcular los coeficientes B del sistema y demuestre que las pérdidas de trasmisión calculadas con la fórmula de pérdidas coinciden con los resultados del flujo de potencia.
TABLA 13.2
Datos de líneas y barras del ejemplo 13.3f
	Datos de líneas
	Datos de barras
	De barra a barra
	Z serie
	Y paralelo
	Generación
	Carga
	
	R
	X
	B
	Barra
	p
	IM/sl
	P
	Q
	Línea (1)- (4)
	.00744
	m
	.0775
	©
	
	lo/0o
	
	
	Línea Q)- (3)
	.01008
	.0504
	.1025
	©
	3.18
	LO
	
	
	Línea (5)- (3)
	.00744
	.0372
	.0775
	©
	
	
	2.20
	1.3634
	Línea (2)- (?)
	.01272
	.0636
	.1275
	©
	
	
	2.80
	1.7352
f Todos los valores están en por unidad sobre la base de 230 kV y 100 MVA
13.3 LA ECUACIÓN DE LAS PÉRDIDAS DE TRANSMISIÓN 515
TABLA 13.3	"
Solución al flujo de potencia del ejemplo 13.3f
	Caso base
	Barra
	Generación
	Voltaje
	
	P
	Q
	Magnitud (por unidad)
	Ángulo (grados)
	(D
	1.913152
	1.872240
	LO /
	0.0
	
	3.18
	1.325439
	1,0 /
	2.43995
	
	
	
	1.96051
	-1.07932
	
	
	
	0.94304
	-2.62658
	Total
	5.093152 3.197679
	
	
	
tTodos los valores están en por unidad sobre la base de 230 kV y 100 MVA.
Solución. Cada línea de transmisión se representa con su circuito equivalente n con la mitad de (n) la susceptancia de carga de línea al neutro en ambos extremos. Seleccionando el nodo neutro como referencia, se construye la matriz de impedancias de barra	= Rbarra+ Jaharra» donde
(D ©	(3)	(4)
(T) T +2.911963
R = @
^barra
-1.786620
-0.795044
-0.072159
-1.786620
+ 2.932995
-0.072159
-1.300878
-0.795044 - 0.072159 -0.072159 -1.300878 + 2.911963 -1.786620 -1.786620 + 2.932995
1
4.
2
	-2.582884
	-2.606321
	-2.601379
	-2.597783'
	-2.606321
	-2.582784
	-2.597783
	-2.603899
	-2.601379
	-2.597783
	-2.582884
	-2.606321
	-2.597783
	-2.603899
	-2.606321
	-2.582784
De los resultados del flujo de potencia de la tabla 13.3, las corrientes de carga son
P3-JQ3 -2.2+jl .36340	z
tz.		 2.694641/147:1331°
v* 0.96051/1.07932°		
*3 =
P*~ j'Qí
K*
— 2.8 +/1.73520	z
	7	 3.493043/145.5863'
0.94304/ 2.62658°		
y entonces se encuentra que
¿3 =
= 0.435473 + /0.006637
X
2
I
h
3 “T 24
I4
d4 = -X- - 0.564527 -/0.006637
I3 + *4
516 CAPÍTULO 13 OPERACIÓN ECONÓMICA DE SISTEMAS DE POTENCIA
Las cantidades Í! y t2 de la ecuación (13.27) se calculan a partir de d3, d4 y de los elementos de la fila uno de Zbarra, en la forma
Zn
G =	\	= 0.993664 + >0.001259
a3Zi3 + u4Z14
*2 ~
^12
^3^13 + ^4^14
= 1.002681 -yO .000547
Con base en los resultados anteriores se calculan los términos -d^de la ecuación (13.31) para obtener la matriz de transformación de corrientes C
®	(2)
®	1
(2)	•	1	•
(5) -0.432705 -yO.007143	- 0.436644 - >0.006416	-0.432705 ->0.007143
®	-0.560958 + >0.005884	- 0.566037 + >0.006964	-0.560958 + >0.005884
y entonces se encuentra que
2
4.282185 + j0
- -0.030982 + j0.010638
®	0. 0.985724 + j0.005255
-0.030982 - j0.010638
5.080886 + j0
1.367642 - ;0.006039
©
0.985724 - y0.005255 “
1.367642 + j0.006039
0.601225 4- j0
xlO"3
Los números de las filas y columnas de las dos últimas ecuaciones se explican en la sección 13.4. La corriente sin carga en por unidad es entonces
/0=^
n 7
-¿11
1.0 + yo.o
0.002912 - y2.582884
-0.000436 - y0.387164
y pormedio de los resultados del caso base de flujo de potencia, se calcula a partir de la ecuación (13.34)
1 - Jsj
( 1.872240 \
1	1.913152 /
= 1.0 ->0.978615
1 -js2
K>*
7 1.325439 3
1 -•'l 3.180000 )
	f		 = 1.016838 - >0.373855
1.0/ -2.43995°
La matriz hermitiana Ta de la ecuación (13.36) está dada por