Araiza_Rincón_Sánchez_T1 - Axel

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Análisis Numérico
Grupo: 13
UNAM / FI / DCB(DIE)
Semestre 2021-1
Tarea 1
Métodos de bisección, regla falsa y punto fijo
Carlos Rincón, Araiza Alfredo, Sánchez Axel
1. Resultados para la función ex = 3x
1. Método Bisección
Raíz: x = 0.2576
Iteraciones: 14
Tabla 1: Método de bisección
Iteración a b c Ck+1 − Ck
1 0.0000 1.0000 0.5000
2 0.0000 0.5000 0.2500 0.25
3 0.2500 0.5000 0.3750 0.125
4 0.2500 0.3750 0.3125 0.0625
5 0.2500 0.3125 0.2812 0.0312
6 0.2500 0.2812 0.2656 0.0156
7 0.2500 0.2656 0.2578 0.0078
8 0.2500 0.2578 0.2539 0.0039
9 0.2539 0.2578 0.2558 0.0019
10 0.2558 0.2578 0.2568 0.0010
11 0.2568 0.2578 0.2573 0.0005
12 0.2573 0.2578 0.2575 0.0002
13 0.2576 0.2578 0.2576 0.0001
14 0.2576 0.2577 0.2576 0.00006
AN21-1x13: Tarea 1 Araiza Alfredo, Rincón Mejía, Sánchez Axel
2. Método Regla falsa
Raíz: x = 0.2576
Iteraciones: 4
Tabla 2: Método de regla falsa
Iteración k a b ck Ck+1 − Ck
1 0.0000 1.0000 0.2573 -
2 0.0000 0.2573 0.2581 0.0172
3 0.0000 0.2581 0.2576 0.0005
4 0.2576 0.2581 0.2576 0.000026
3. Método Punto fijo
Raíz: x = 0.2576
Iteraciones: 5
Tabla 3: Método de punto fijo
Iteración n xn xn+1 |xn+1 − xn|
1 0.2500 0.2596 0.0096
2 0.2596 0.2571 0.0025
3 0.2571 0.2578 0.0007
4 0.2578 0.2576 0.0002
5 0.2576 0.2576 0.0000
2. Resultados para la ecuación 3x2 + 2.72x− 1.24 = 0
1. Método Bisección
Raíz: x = −1.2400
Iteraciones: 14
2
AN21-1x13: Tarea 1 Araiza Alfredo, Rincón Mejía, Sánchez Axel
Tabla 4: Método de bisección
Iteración a b c Ck+1 − Ck
1 -2.0000 -1.0000 -1.5000 -
2 -1.5000 -1.0000 -1.2500 0.2500
3 -1.2500 -1.0000 -1.1250 0.1250
4 -1.2500 -1.1250 -1.1875 0.0525
5 -1.2500 -1.1875 -1.2187 0.0312
6 -1.2500 -1.2187 -1.2344 0.0156
7 -1.2500 -1.2344 -1.2422 0.0078
8 -1.2422 -1.2344 -1.2383 0.0039
9 -1.2422 -1.2383 -1.2402 0.0019
10 -1.2402 -1.2383 -1.2392 0.0010
11 -1.2402 -1.2392 -1.2397 0.0005
12 -1.2402 -1.2397 -1.2399 0.0002
13 -1.2402 -1.2399 -1.2400 0.0001
14 -1.2400 -1.2399 -1.2400 0.0000
2. Método Regla falsa
Raíz: x = −1.2400
Iteraciones: 8
3
AN21-1x13: Tarea 1 Araiza Alfredo, Rincón Mejía, Sánchez Axel
Tabla 5: Método de regla falsa
Iteración k a b ck Ck+1 − Ck
1 -2.0000 -1.0000 -1.1529 -
2 -2.0000 -1.1529 -1.2105 0.0576
3 -2.0000 -1.2105 -1.2303 0.0198
4 -2.0000 -1.2303 -1.2368 0.0065
5 -2.0000 -1.2368 -1.2390 0.0022
6 -2.0000 -1.2390 -1.2397 0.0007
7 -2.0000 -1.2397 -1.2399 0.0002
8 -2.0000 -1.2399 -1.2400 0.0001
3. Método Punto fijo
Raíz: x = −1.2401
Iteraciones: 5
Tabla 6: Método de punto fijo
Iteración n xn xn+1 |xn+1 − xn|
1 -1.2500 -1.2436 0.0064
2 -1.2436 -1.2413 0.0023
3 -1.2413 -1.2405 0.0008
4 -1.2405 -1.2402 0.0003
5 -1.2402 -1.2401 0.0001
3. Descripción de trabajo en equipo
Para obtener los resultados de las raíces, nos repartimos equitativamente todo el desarrollo,
Alfredo se encargó de realizar los programas que posteriormente nos explicó, mientras que
Carlos y Axel desarrollaron los ejercicios a mano y capturaron la información en LATEX,
comparando los resultados con los programas realizados.
4
AN21-1x13: Tarea 1 Araiza Alfredo, Rincón Mejía, Sánchez Axel
4. Desarrollo
Para la primer función:
5
AN21-1x13: Tarea 1 Araiza Alfredo, Rincón Mejía, Sánchez Axel
6
AN21-1x13: Tarea 1 Araiza Alfredo, Rincón Mejía, Sánchez Axel
Para la segunda función:
7
AN21-1x13: Tarea 1 Araiza Alfredo, Rincón Mejía, Sánchez Axel
8
AN21-1x13: Tarea 1 Araiza Alfredo, Rincón Mejía, Sánchez Axel
5. Códigos utilizados
Código Principal
1
2 %Datos para métodos numéricos de función 1
3 a=0; %limite inferior para primera función
4 b=1; % limite superior para primera función
5 x1=0.25; % punto inicial para punto fijo
6 %para primera función
7
8 %Datos para métodos numéricos de función 2
9 a2=-2; %limite inferior para segunda función
10 b2=-1; % limite superior para segunda función
11 x2=-1.25; % punto inicial para punto fijo
12 %para segunda función
13
14
15 syms x
16 f1 = @(x) exp(-x) - 3*x; % función de la cual se encontrarán las raíces
17 g1= @(x) (exp(-x))/(3); % función para método de punto fijo
18
19 dg1=inline(diff(g1,x)); % Función creada por la derivada de gx
20
21
22 f2 = @(x) 3*x^2 + 2.72*x -1.24; % función de la cual se encontrarán
23 %las raíces
24 g2= @(x) (-sqrt((-2.72*x+1.24)/(3))); % función para método de punto fijo
25
26 dg2=inline(diff(g2,x)); % Función creada por la derivada de gx
27
28
29 epsilon = 0.0001; % tolerancia
30 kmax =20; % Iteraciones maximas
31
32
33 %Métodos para función 1
34
35 [raiz,iteraciones] = biseccion(f1,epsilon,a,b,kmax);
36 %método de bisección, del cual se
37 %obtiene un conjunto de valores de
38 % aproximaciones a la raíz
39 [raiz1,iteraciones1] = reglafalsa(f1,epsilon,a,b,kmax);
40 %método de regla falsa, del cual se
41 %obtiene un conjunto de valores de
9
AN21-1x13: Tarea 1 Araiza Alfredo, Rincón Mejía, Sánchez Axel
42 % aproximaciones a la raíz
43 [raiz2,iteraciones2] = puntofijo(dg1,g1,epsilon,x1,kmax);
44 %método de punto fijo, del cual se
45 %obtiene un conjunto de valores
46 % de aproximaciones a la raíz
47
48
49 %Métodos para función 2
50
51 [raizf,iteracionesf] = biseccion(f2,epsilon,a2,b2,kmax);
52 %método de bisección, del cual se
53 %obtiene un conjunto de valores de
54 % aproximaciones a la raíz
55 [raizf1,iteracionesf1] = reglafalsa(f2,epsilon,a2,b2,kmax);
56 %método de regla falsa, del cual se
57 %obtiene un conjunto de valores de
58 % aproximaciones a la raíz
59 [raizf2,iteracionesf2] = puntofijo(dg2,g2,epsilon,x2,kmax);
60 %método de punto fijo, del cual se
61 %obtiene un conjunto de valores
62 % de aproximaciones a la raíz
63 disp("Primera Funcin resultados: ")
64 disp("----------------------------------------------------------------- ")
65 disp(’Biseccin : ’)
66 disp(raiz)
67 disp(’Iteraciones: ’)
68 disp(iteraciones)
69 disp(’Raz: ’)
70 disp(raiz(iteraciones))
71 disp(’---------------------’)
72 disp(’Regla Falsa : ’)
73 disp(raiz1)
74 disp(’Iteraciones: ’)
75 disp(iteraciones1)
76 disp(’Raz: ’)
77 disp(raiz1(iteraciones1))
78 disp(’---------------------’)
79 disp(’Punto Fijo : ’)
80 disp(raiz2)
81 disp(’Iteraciones: ’)
82 disp(iteraciones2)
83 disp(’Raz: ’)
84 disp(raiz2(iteraciones2))
85 disp("----------------------------------------------------------------- ")
86
10
AN21-1x13: Tarea 1 Araiza Alfredo, Rincón Mejía, Sánchez Axel
87
88 disp(’Segunda funcin resultados’)
89 disp("----------------------------------------------------------------- ")
90 disp(’Biseccin : ’)
91 disp(raizf)
92 disp(’Iteraciones: ’)
93 disp(iteracionesf)
94 disp(’Raz: ’)
95 disp(raizf(iteracionesf))
96 disp(’---------------------’)
97 disp(’Regla Falsa : ’)
98 disp(raizf1)
99 disp(’Iteraciones: ’)
100 disp(iteracionesf1)
101 disp(’Raz: ’)
102 disp(raizf1(iteracionesf1))
103 disp(’---------------------’)
104 disp(’Punto Fijo : ’)
105 disp(raizf2)
106 disp(’Iteraciones: ’)
107 disp(iteracionesf2)
108 disp(’Raz: ’)
109 disp(raizf2(iteracionesf2))
110 disp("------------------------------------------------------------------ ")
111
112
’Codigo Método de Bisección’
1 function [raiz,iter] = biseccion(fx,epsilon,a,b,kmax)
2
3
4 for i = 1:kmax
5
6 if fx(a)*fx(b) <0 % La raz se encuentra en [a,b]?
7 c(i)=(a+b)/2;
8 if fx(c(i))== 0
9 raiz=c;
10 iter=i;
11 return
12 end
13
14
15
11
AN21-1x13: Tarea 1 Araiza Alfredo, Rincón Mejía, Sánchez Axel
16 if fx(a)*fx(c(i)) <0 %La raz esta contenida en [a,c]
17 b=c(i);
18 else %La raz esta contenida en [c,b]
19 a=c(i);
20 end
21
22
23 if i>1
24 tolerancia= abs(c(i)-c(i-1));
25
26 if tolerancia < epsilon %Se verifica que la tolerancia
27 % establecida
28 %se haya alcanzado
29 raiz=c;
30 iter=i;
31 return
32 end
33 end
34
35 else %Significa que no hay una raz en este intervalo
36 return
37 end
38 end
39 raiz=c;
40 iter=i;
41 end
’Código Método de Regla Falsa’
1 function [raiz,iter] = reglafalsa(fx,epsilon,a,b,kmax)
2
3
4 for i = 1:kmax
5
6 if fx(a)*fx(b) <0 % ¿La raíz se encuentra en [a,b]?
7 c(i)= (a*fx(b) - b*fx(a))/ (fx(b)-fx(a));
8
9 if fx(c(i))== 0
10 raiz=c;
11 iter=i;12 return
13 end
14
15
12
AN21-1x13: Tarea 1 Araiza Alfredo, Rincón Mejía, Sánchez Axel
16
17 if fx(a)*fx(c(i)) <0 %La raíz esta contenida en [a,c]
18 b=c(i);
19 else %La raíz esta contenida en [c,b]
20 a=c(i);
21 end
22
23
24
25 if i>1 % La condición se evalúa hasta que se haga una iteración
26 tolerancia= abs(c(i)-c(i-1));
27
28 if tolerancia < epsilon %Se verifica que la tolerancia
29 %establecida se haya alcanzado
30 raiz=c;
31 iter=i;
32 return
33 end
34 end
35
36 else %Significa que no hay una raíz en este intervalo
37 return
38 end
39 end
40 raiz=c;
41 iter=i;
42 end
’Código Método de Punto Fijo’
1 function [raiz2,iter2] = puntofijo(dgx,gx,epsilon,v,kmax)
2
3 condicion=dgx(v); % Se evalúa la derivada en el valor inicial
4 % proporcionado y se le da a condición
5
6 if abs(condicion)< 1 % Se compara la condición del método, haciendo
7 %absoluto al valor condición
8 xn(1)=v; % El valor inicial es el primer acercamiento de raíz
9 for i=2:kmax
10 xn(i)= gx(v); % Se evalúa el valor v en la función g(x)
11 % y se le da como un acercamiento de raíz al arreglo
12 tolerancia = abs(xn(i)-v);
13 v=xn(i); % Se actualiza el valor v por el valor de la función
14 % g(x) evaluada en v
13
AN21-1x13: Tarea 1 Araiza Alfredo, Rincón Mejía, Sánchez Axel
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16 if(tolerancia < epsilon) % Se verifica que la tolerancia
17 % establecida se haya alcanzado
18 raiz2=xn;
19 iter2=i-1;
20 return
21 end
22
23 end
24 end % Si la condición if no se cumple, los valores que se entregarán
25 % serán incorrectos de raíz e iteraciones y marcara error el programa
26 raiz2=xn;
27 iter2=i-1;
28 end
14
AN21-1x13: Tarea 1 Araiza Alfredo, Rincón Mejía, Sánchez Axel
Tabla 7: Método de bisección
Iteración Bisección Regla Falsa Punto Fijo
1 -2.0000 -1.0000 -1.5000
2 -1.5000 -1.0000 -1.2500
3 -1.2500 -1.0000 -1.1250
4 -1.2500 -1.1250 -1.1875
5 -1.2500 -1.1875 -1.2187
6 -1.2500 -1.2187 -1.2344
7 -1.2500 -1.2344 -1.2422
8 -1.2422 -1.2344 -1.2383
9 -1.2422 -1.2383 -1.2402
10 -1.2402 -1.2383 -1.2392
11 -1.2402 -1.2392 -1.2397
12 -1.2402 -1.2397 -1.2399
13 -1.2402 -1.2399 -1.2400
14 -1.2400 -1.2399 -1.2400
15